Niemożliwy trójkąt. Co to jest niemożliwy trójkąt? Historia liczb niemożliwych

Dzisiaj Otwieram nowy dział o nazwie „Wytnij”, w którym będę zamieszczać rysunki, szablony, a także wzory złudzeń optycznych. Dzisiaj zrobimy niemożliwy trójkąt z papieru. Ponieważ nie możemy stworzyć niemożliwego trójkąta, stworzymy model, który będziemy oglądać pod pewnym kątem.

Pobierz i wydrukuj
Postępuj zgodnie z instrukcjami na obrazku

Jak poprawnie rozważyć niemożliwy trójkąt?

Skoro więc iluzja opiera się na niejednoznacznym narysowaniu sześcianu rzut izometryczny. Następnie w tej orientacji kąty najbliższe widzowi i kąt najdalszy od widza będą się pokrywać. Oznacza to, że mijając najbliższą krawędź sześcianu i dwie dolne krawędzie, wracamy do punkt początkowy, w którym ścieżka faktycznie kończy się w odległym rogu.

Ten niemożliwy trójkąt Penrose’a

W takim obszarze Sztuka obrazowa Podobnie jak malowanie ludzkiej skóry, najnowszym trendem są dziś figury złudzeń optycznych, w szczególności trójkąt Penrose'a, czyli tribar, nazywany także niemożliwym. Formę tę po raz pierwszy odkrył, czyli wynalazł szwedzki malarz Oscar Reutersvard, który na przełomie 1935 i 1935 roku przedstawił ją światu w postaci zestawu kostek. Później, już w latach 80. naszego wieku, wzór plemienny został wydrukowane w Szwecji na znaczku pocztowym.

Jednak obraz niemożliwego trójkąta Penrose'a, należącego do kategorii złudzeń optycznych, stał się powszechnie znany w 1958 roku, po opublikowaniu w British Journal of Psychology publikacji angielskiego matematyka Rogera Penrose'a na temat liczb niemożliwych. Zainspirowany tą publikacją słynny holenderski malarz Maurits Escher stworzył w 1961 roku jedno ze swoich najpopularniejszych dzieł „Wodospad”.

Złudzenie optyczne

Złudzenia optyczne w malarstwie są wizualnym złudzeniem postrzegania prawdziwego obrazu, stworzony przez artystę pewien układ linii na płaszczyźnie. W tym przypadku widz błędnie ocenia wielkość kątów postaci lub długość jej boków, co służy jako przedmiot badań takich dziedzin psychologii, jak na przykład terapia gestalt. Oprócz Eschera tworzeniem złudzeń optycznych interesowała się jeszcze jedna osoba wspaniały artysta- na całym świecie słynny Salwador Dali. Uderzającą ilustracją jego pasji jest na przykład obraz „Łabędzie odbite w słoniach”.

Wspomniany trójkąt odnosi się także do złudzeń optycznych, a dokładniej do ich części zwanej figurami niemożliwymi. Nazywa się je tak ze względu na uczucie, które pojawia się, gdy patrzy się na taką formę, w której istnieje prawdziwy świat To po prostu niemożliwe.

Zastosowanie iluzji

Dzięki swojemu niepowtarzalnemu kształtowi iluzoryczne przedmioty są przedmiotem szczególnej uwagi nie tylko artystów i tatuatorów – wykonany własnoręcznie lub przy pomocy profesjonalistów trójkąt może pełnić także funkcję logo firmy. Świetnymi przykładami takiego wykorzystania iluzorycznych kształtów jest logo psychodelicznego folkowego zespołu Conundum in Deed, które jest niemożliwą kostką, czy marka producenta chipów Digilent Inc, która jest klasycznym trójkątnym obrazem Penrose'a.

Możesz samodzielnie stworzyć własne logo, bez zwracania się do profesjonalistów. Aby to zrobić, postępuj zgodnie z instrukcjami, po których możesz wykonać prosty rysunek na papierze lub tablecie lub wykonać trójwymiarowa figura. Można go umieścić jako znak lub Reklama zewnętrzna Twój sklep.

Jak to zrobić samemu

Instrukcje krok po kroku, jak narysować tribar za pomocą programu Adobe Illustrator:

Najpierw musisz zrobić 3 kwadraty za pomocą narzędzia Prostokąt. Aby to zrobić, musisz najpierw przejść do menu Widok i włączyć Inteligentne przewodniki.
Teraz musisz zaznaczyć wszystko i przejść do menu Obiekt, następnie do Przekształć i otworzyć Przekształć każdy, gdzie w oknie Skala należy wpisać wartość Skala pionowa = 86,6% i kliknąć OK.
Teraz musisz ustawić dla każdej ściany własny kąt obrotu i w tym celu przejdź do Okna i otwórz Przekształć. Tam najpierw wprowadź wartość skosu (Shear), a następnie obrotu (Rotate): górna powierzchnia sześcianu to Shear +30°, Rotate -30°; prawa powierzchnia - Ścięcie +30°, Obrót +30°; lewa powierzchnia - Ścinanie -30°, Obrót -30°.
Teraz za pomocą linii Smart Guides należy zadokować razem wszystkie części sześcianu: w tym celu należy zaczepić myszkę o róg jednego z boków i przeciągnąć ją do drugiego, wyrównując je.
Na tym etapie należy obrócić sześcian o 30°: w tym celu należy przejść do Obiektu, wybrać Przekształć i Obróć, wpisać tam wartość kąta 30° i kliknąć OK.
Ponieważ do uzyskania tribaru potrzeba 6 kostek, należy zaznaczyć kostkę, nacisnąć Alt i Shift i przeciągnąć myszką zaznaczony obiekt na bok, rozciągając go w kierunku poziomym. Nie usuwając zaznaczenia, naciśnij 6 razy CMD + D. Otrzymujemy 6 kostek.
Pozostawiając zaznaczenie na ostatniej kostce, naciśnij Enter i w oknie Przesuń zmień wartość kąta na 240°, a następnie naciśnij Kopiuj. Następnie naciśnij ponownie CMD + D, aż otrzymasz 6 kopii.
Teraz powtórz wszystko: naciśnij ponownie Enter, wybierz ostatnią kostkę, ustaw tylko kąt na 120° i wykonaj tylko 5 kopii.
Za pomocą narzędzia Zaznaczanie musisz zaznaczyć górną powierzchnię kształtu (możesz ją ponownie pokolorować, aby była wyraźniejsza), otwórz menu Obiekt - Rozmieść - Przesuń do tyłu. Teraz wybierz pomalowaną powierzchnię górnej kostki, przejdź do Obiekt – Ułóż – Przesuń na przód.

Iluzja Penrose'a jest kompletna. Możesz opublikować go na swojej stronie w mediach społecznościowych lub blogu albo wykorzystać go w celach biznesowych.

kierownik

nauczyciel matematyki

1.Wprowadzenie………………………………………………….……3

2. Tło historyczne…………………………………..…4

3. Część główna…………………………………………………………….7

4. Dowód niemożliwości trójkąta Penrose'a......9

5. Wnioski……………………………………………………………..…………11

6. Literatura…………………………………………….…… 12

Znaczenie: Matematyka jest przedmiotem, którego uczy się od pierwszej do średniej szkoły. Wielu uczniów uważa, że jest to trudne, nieciekawe i niepotrzebne. Ale jeśli spojrzysz poza strony podręcznika, przeczytaj dalsze czytanie, matematyczne sofizmaty i paradoksy, wówczas zmieni się idea matematyki i pojawi się chęć studiowania więcej, niż uczy się na szkolnym kursie matematyki.

Cel pracy:

pokazują, że istnienie figur niemożliwych poszerza horyzonty, rozwija wyobraźnię przestrzenną i jest wykorzystywane nie tylko przez matematyków, ale także przez artystów.

Zadania :

1. Przestudiuj literaturę na ten temat.

2. Rozważ niemożliwe figury, wykonaj model niemożliwego trójkąta, udowodnij, że niemożliwy trójkąt nie istnieje na płaszczyźnie.

3. Wykonaj rozwinięcie niemożliwego trójkąta.

4. Rozważ przykłady zastosowania niemożliwego trójkąta w sztukach wizualnych.

Wstęp

Historycznie rzecz biorąc, matematyka odgrywała ważną rolę w sztukach wizualnych, zwłaszcza w malarstwie perspektywicznym, które polega na realistycznym przedstawieniu trójwymiarowej sceny na płaskim płótnie lub kartce papieru. Według współczesne poglądy, matematyka i sztuka dyscyplin bardzo od siebie oddalonych, pierwsza ma charakter analityczny, druga emocjonalny. W większości zawodów matematyka nie odgrywa oczywistej roli Sztuka współczesna i tak naprawdę wielu artystów rzadko lub w ogóle nie używa perspektywy. Jednak jest wielu artystów, którzy skupiają się na matematyce. Kilka znaczących postaci w sztukach wizualnych utorowało drogę tym osobom.

Ogólnie rzecz biorąc, nie ma żadnych zasad ani ograniczeń dotyczących stosowania różnych tematów w sztuce matematycznej, takich jak figury niemożliwe, wstęgi Möbiusa, zniekształcenia lub nietypowe układy perspektywiczne i fraktale.

Historia liczb niemożliwych

Liczby niemożliwe – pewien typ paradoksy matematyczne, składający się z regularnych części połączonych w nieregularny kompleks. Gdybyśmy próbowali sformułować definicję terminu „obiekty niemożliwe”, brzmiałoby to prawdopodobnie mniej więcej tak – fizycznie możliwe figury złożone w niemożliwą formę. Ale o wiele przyjemniej jest na nie patrzeć, wymyślać definicje.

Na błędy w konstrukcji przestrzennej artyści napotykali już tysiąc lat temu. Ale słusznie uważa się go za pierwszego, który konstruował i analizował niemożliwe obiekty. Szwedzki artysta Oscar Reutersvärd, który namalował w 1934 roku pierwszy niemożliwy trójkąt, składający się z dziewięciu kostek.

trójkąt Reutersvaerda

Niezależnie od Reutersa angielski matematyk i fizyk Roger Penrose na nowo odkrywa niemożliwy trójkąt i w 1958 roku publikuje jego obraz w brytyjskim czasopiśmie psychologicznym. Iluzja wykorzystuje „fałszywą perspektywę”. Czasami tę perspektywę nazywa się chińską, ponieważ podobną metodę rysowania, gdy głębia rysunku jest „niejednoznaczna”, często spotykano w pracach chińskich artystów.

Wodospad Eschera

W 1961 r Holender M. Escher, zainspirowany niemożliwym trójkątem Penrose'a, tworzy słynną litografię „Wodospad”. Woda na zdjęciu płynie bez końca, za kołem wodnym płynie dalej i wraca do punktu wyjścia. W zasadzie jest to obraz perpetuum mobile, jednak jakakolwiek próba faktycznego zbudowania takiej konstrukcji jest skazana na niepowodzenie.

Inny przykład niemożliwych postaci przedstawiono na rysunku „Moskwa”, który przedstawia niezwykły schemat moskiewskiego metra. W pierwszej chwili postrzegamy obraz jako całość, jednak śledząc wzrokiem poszczególne linie, nabieramy przekonania o niemożliwości ich istnienia.

« Moskwa”, grafika (tusz, ołówek), 50x70 cm, 2003.

Rysunek „Trzy ślimaki” kontynuuje tradycję drugiej słynnej niemożliwej postaci - niemożliwej kostki (pudełka).

Niemożliwa kostka „Trzy ślimaki”.

Kombinację różnych obiektów można odnaleźć także w niezbyt poważnym rysunku „IQ” (iloraz inteligencji). Co ciekawe, niektórzy ludzie nie dostrzegają obiektów niemożliwych, ponieważ ich umysły nie potrafią utożsamiać płaskich obrazów z obiektami trójwymiarowymi.

Donald Simanek zasugerował, że zrozumienie paradoksów wizualnych jest jedną z cech charakterystycznych tego rodzaju potencjał twórczy, którą posiadają najlepsi matematycy, naukowcy i artyści. Wiele prac z obiektami paradoksalnymi można zaliczyć do „intelektualnych gier matematycznych”. Nowoczesna nauka mówi o 7- lub 26-wymiarowym modelu świata. Taki świat można modelować jedynie za pomocą wzorów matematycznych, człowiek po prostu nie jest w stanie go sobie wyobrazić. Tutaj z pomocą przychodzą liczby niemożliwe.

Trzecią popularną niemożliwą figurą są niesamowite schody stworzone przez Penrose'a. Będziesz stale albo wznosić się (w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara), albo schodzić (zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Podstawą był model Penrose’a sławny obraz M. Escher „W górę i w dół” Niesamowite schody Penrose'a

Niemożliwy trójząb

„Widelec diabła”

Jest jeszcze jedna grupa obiektów, których nie da się zrealizować. Klasyczną figurą jest niemożliwy trójząb, czyli „diabelski widelec”. Jeśli dokładnie przestudiujesz zdjęcie, zauważysz, że trzy zęby stopniowo zamieniają się w dwa na jednej podstawie, co prowadzi do konfliktu. Porównujemy liczbę zębów powyżej i poniżej i dochodzimy do wniosku, że obiekt jest niemożliwy. Jeśli zamkniemy dłonią górną część trójzębu, zobaczymy całkowicie prawdziwe zdjęcie- trzy okrągłe zęby. Jeśli zamkniemy dolną część trójzębu, zobaczymy również prawdziwy obraz - dwa prostokątne zęby. Ale jeśli weźmiemy pod uwagę całą figurę jako całość, okaże się, że trzy okrągłe zęby stopniowo zamieniają się w dwa prostokątne.

Zatem widać, że pierwszy plan i tło tego rysunku są w konflikcie. Oznacza to, że to, co pierwotnie było na pierwszym planie, wraca, a tło (środkowy ząb) wysuwa się do przodu. Oprócz zmiany pierwszego planu i tła, na tym rysunku pojawia się jeszcze jeden efekt - płaskie krawędzie górnej części trójzębu stają się zaokrąglone u dołu.

Głównym elementem.

Trójkąt- figura składająca się z 3 przylegających do siebie części, która poprzez niedopuszczalne połączenia tych części stwarza iluzję konstrukcji matematycznie niemożliwej. Ta trójbelkowa konstrukcja nazywana jest również inaczej kwadrat Penrose'y

Graficzna zasada stojąca za tą iluzją została sformułowana przez psychologa i jego syna Rogera, fizyka. Kwadrat Penruzowa składa się z 3 kwadratowych prętów rozmieszczonych w 3 wzajemnie prostopadłych kierunkach; każdy łączy się z kolejnym pod kątem prostym, a wszystko to umieszczone jest w trójwymiarowej przestrzeni. Oto prosty przepis na narysowanie rzutu izometrycznego kwadratu Penrose'a:

· Przytnij rogi trójkąta równobocznego wzdłuż linii równoległych do boków;

· Narysuj podobieństwa do boków wewnątrz przyciętego trójkąta;

· Ponownie przytnij rogi;

· Ponownie narysuj podobieństwa wewnątrz;

· Wyobraź sobie, że w jednym z rogów znajduje się dowolny z dwóch możliwych sześcianów;

· Kontynuuj z „rzeczą” w kształcie litery L;

· Uruchom ten projekt w kółku.

· Gdybyśmy wybrali inny sześcian, kwadrat zostałby „przekręcony” w drugą stronę .

Rozwój niemożliwego trójkąta.

Linia przegięcia

Linia cięcia

Z jakich elementów zbudowano niemożliwy trójkąt? A dokładniej, z jakich elementów wydaje nam się (właśnie tak się wydaje!) zbudowany? Konstrukcja opiera się na prostokątnym narożniku, który uzyskuje się poprzez połączenie dwóch identycznych prostokątnych prętów pod kątem prostym. Wymagane są trzy takie rogi, a zatem sześć kawałków prętów. Narożniki te muszą być wizualnie „połączone” ze sobą w określony sposób, aby tworzyły zamknięty łańcuch. To, co się dzieje, to niemożliwy trójkąt.

Umieść pierwszy narożnik w płaszczyźnie poziomej. Przymocujemy do niego drugi róg, kierując jedną z jego krawędzi do góry. Na koniec dołączamy trzeci róg do tego drugiego narożnika, tak aby jego krawędź była równoległa do pierwotnej płaszczyzny poziomej. W takim przypadku dwie krawędzie pierwszego i trzeciego narożnika będą równoległe i skierowane w różnych kierunkach.

Spróbujmy teraz spojrzeć na figurę z różnych punktów przestrzeni (lub stworzyć prawdziwy model z drutu). Wyobraź sobie, jak to wygląda z jednego punktu, z drugiego, z trzeciego… Kiedy zmienia się punkt obserwacji (lub – co na to samo – kiedy konstrukcja obraca się w przestrzeni), będzie się wydawać, że oba „końce” krawędzie naszych narożników przesuwają się względem siebie. Wybór pozycji, w której będą się łączyć, nie jest trudny (oczywiście najbliższy róg będzie nam się wydawał grubszy niż dłuższy).

Ale jeśli odległość między żebrami będzie znacznie mniejsza niż odległość od narożników do punktu, z którego oglądamy naszą konstrukcję, wówczas oba żebra będą miały dla nas tę samą grubość i pojawi się pomysł, że te dwa żebra są w rzeczywistości kontynuacją siebie nawzajem.

Nawiasem mówiąc, jeśli jednocześnie spojrzymy na przedstawienie konstrukcji w lustrze, nie zobaczymy tam zamkniętego obwodu.

I z wybranego punktu obserwacyjnego widzimy na własne oczy cud, który się wydarzył: istnieje zamknięty łańcuch trzech narożników. Tylko nie zmieniaj punktu obserwacji, żeby ta iluzja (właściwie to iluzja!) nie upadła. Teraz możesz narysować obiekt, który widzisz lub umieścić obiektyw aparatu w znalezionym punkcie i uzyskać zdjęcie niemożliwego obiektu.

Penrosesowie jako pierwsi zainteresowali się tym zjawiskiem. Wykorzystali możliwości, jakie pojawiły się podczas ekspozycji przestrzeń trójwymiarowa i obiektów trójwymiarowych na płaszczyznę dwuwymiarową (czyli już na etapie projektowania) i zwrócił uwagę na pewną niepewność projektową – otwartą strukturę trzech narożników można postrzegać jako obwód zamknięty.

Jak już wspomniano, prosty model można łatwo wykonać z drutu, co w zasadzie wyjaśnia zaobserwowany efekt. Weź prosty kawałek drutu i podziel go na trzy równe części. Następnie zegnij części zewnętrzne tak, aby tworzyły kąt prosty z częścią środkową i obróć względem siebie o 900. Teraz odwróć tę figurę i obserwuj ją jednym okiem. W pewnym momencie będzie się wydawało, że jest uformowany z zamkniętego kawałka drutu. Włączając lampę stołową, możesz obserwować cień padający na stół, który również w określonym miejscu figury w przestrzeni zamienia się w trójkąt.

Jednak tę cechę konstrukcyjną można zaobserwować w innej sytuacji. Jeśli zrobisz pierścień z drutu, a następnie rozłożysz go w różnych kierunkach, otrzymasz jeden zwój cylindrycznej spirali. Ta pętla jest oczywiście otwarta. Ale rzutując to na płaszczyznę, możesz uzyskać zamkniętą linię.

Po raz kolejny przekonaliśmy się, że z rzutu na płaszczyznę, z rysunku, trójwymiarowa figura rekonstruowana jest niejednoznacznie. Oznacza to, że projekcja zawiera pewną dwuznaczność, niedopowiedzenie, które rodzi „niemożliwy trójkąt”.

I można powiedzieć, że „niemożliwy trójkąt” Penrose’ów, podobnie jak wiele innych złudzeń optycznych, dorównuje logiczne paradoksy i kalambury.

Dowód niemożliwości trójkąta Penrose'a

Analizując cechy dwuwymiarowego obrazu trójwymiarowych obiektów na płaszczyźnie, zrozumieliśmy, w jaki sposób cechy tego wyświetlacza prowadzą do niemożliwego trójkąta.

Niezwykle łatwo jest udowodnić, że niemożliwy trójkąt nie istnieje, gdyż każdy z jego kątów jest prosty, a ich suma wynosi 2700 zamiast „ustawionych” 1800.

Co więcej, nawet jeśli weźmiemy pod uwagę niemożliwy trójkąt sklejony z kątami mniejszymi niż 900, to w tym przypadku możemy udowodnić, że niemożliwy trójkąt nie istnieje.

Rozważmy inny trójkąt, który składa się z kilku części. Jeśli części, z których się składa, zostaną ułożone inaczej, otrzymasz dokładnie ten sam trójkąt, ale z jedną małą wadą. Będzie brakować jednego kwadratu. Jak to jest możliwe? A może to wciąż iluzja?

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="Niemożliwy trójkąt" width="298" height="161">!}

Wykorzystanie zjawiska percepcji

Czy można w jakiś sposób wzmocnić efekt niemożliwości? Czy niektóre obiekty są bardziej „niemożliwe” od innych? I tutaj na ratunek przychodzą osobliwości ludzkiej percepcji. Psychologowie odkryli, że oko zaczyna badać obiekt (obraz) od lewego dolnego rogu, następnie wzrok przesuwa się w prawo do środka i opada w prawy dolny róg obrazu. Trajektoria ta może wynikać z faktu, że nasi przodkowie spotykając wroga, najpierw patrzyli na najbardziej niebezpieczne prawa ręka, a potem wzrok przesunął się w lewo, na twarz i sylwetkę. Zatem, percepcja artystyczna będzie w znacznym stopniu zależeć od tego, jak zbudowana jest kompozycja obrazu. Cecha ta była wyraźnie widoczna w średniowieczu w produkcji gobelinów: ich konstrukcja była odbicie lustrzane oryginał, a wrażenie wywierane na gobelinach i na oryginałach jest odmienne.

Właściwość tę można z powodzeniem wykorzystać przy tworzeniu kreacji z obiektów niemożliwych, zwiększając lub zmniejszając „stopień niemożliwości”. Istnieje także perspektywa uzyskania ciekawych kompozycji za pomocą technologii komputerowej lub z kilku obróconych obrazów (być może za pomocą różne rodzaje symetrie) jedna względem drugiej, wywołując u widza odmienne wrażenie obiektu i głębsze zrozumienie istoty projektu, lub takie, które obraca się (ciągle lub gwałtownie) za pomocą prostego mechanizmu pod pewnymi kątami.

Kierunek ten można nazwać wielokątnym (wielokątnym). Na ilustracjach przedstawiono obrazy obrócone względem siebie. Kompozycja powstała w następujący sposób: rysunek na papierze, wykonany tuszem i ołówkiem, został zeskanowany, przetworzony do postaci cyfrowej i poddany obróbce w edytorze graficznym. Można zauważyć prawidłowość – obrócony obraz ma większy „stopień niemożliwości” niż obraz oryginalny. Łatwo to wytłumaczyć: artysta w procesie pracy podświadomie dąży do stworzenia „właściwego” obrazu.

Wniosek

Stosowanie różnych liczb i praw matematycznych nie ogranicza się do powyższych przykładów. Uważnie studiując wszystkie podane figury, możesz odkryć inne ciała geometryczne, o których nie wspomniano w tym artykule lub interpretacja wizualna prawa matematyczne.

Matematyczne sztuki plastyczne kwitną dziś, a wielu artystów tworzy obrazy w stylu Eschera i po swojemu własny styl. Artyści ci pracują w różnorodnych mediach, w tym w rzeźbie, malarstwie na płaskich i trójwymiarowych powierzchniach, litografii i grafice komputerowej. A najpopularniejszymi tematami w sztuce matematycznej pozostają wielościany, figury niemożliwe, wstęgi Möbiusa, zniekształcone układy perspektywiczne i fraktale.

Wnioski:

1. Zatem rozważanie figur niemożliwych rozwija naszą wyobraźnię przestrzenną, pomaga nam „wydostać się” z płaszczyzny w przestrzeń trójwymiarową, co pomoże w badaniu stereometrii.

2. Modele figur niemożliwych pomagają uwzględnić rzuty na płaszczyznę.

3. Rozważanie sofizmatów i paradoksów matematycznych wzbudza zainteresowanie matematyką.

Podczas wykonywania tej pracy

1. Dowiedziałem się, jak, kiedy, gdzie i przez kogo po raz pierwszy zaczęto rozważać postacie niemożliwe, że takich postaci jest wiele, artyści nieustannie próbują te postacie przedstawić.

2. Razem z tatą zrobiłem model niemożliwego trójkąta, zbadałem jego rzut na płaszczyznę i dostrzegłem paradoks tej figury.

3. Badane reprodukcje artystów przedstawiających te postacie

4. Moi koledzy z klasy byli zainteresowani moimi badaniami.

W przyszłości zdobytą wiedzę wykorzystam na lekcjach matematyki i zaciekawiło mnie, czy istnieją jeszcze inne paradoksy?

LITERATURA

1. Kandydat nauk technicznych D. RAKOV Historia liczb niemożliwych

2. Rutesward O. Niemożliwe liczby.- M.: Stroyizdat, 1990.

3. Strona internetowa V. Alekseeva Illusions · 7 komentarzy

4. J. Tymoteusz Unrach. – Niesamowite postacie.
(AST Publishing House LLC, Astrel Publishing House LLC, 2002, 168 s.)

5. . - Sztuka graficzna.
(Art-Rodnik, 2001)

6. Douglasa Hofstadtera. – Gödel, Escher, Bach: ta niekończąca się girlanda. (Wydawnictwo „Bakhrakh-M”, 2001)

7. A. Konenko – Tajemnice liczb niemożliwych
(Omsk: Lewsza, 199)

Niemożliwy trójkąt to jeden z niesamowitych paradoksów matematycznych. Gdy spojrzysz na niego po raz pierwszy, nie możesz w niego wątpić ani przez sekundę. prawdziwe istnienie. Jest to jednak tylko złudzenie, oszustwo. A samą możliwość takiej iluzji wyjaśni nam matematyka!

Otwarcie Penroses

W 1958 roku w British Journal of Psychology opublikowano artykuł L. Penrose'a i R. Penrose'a, w którym przedstawili oni nowy typ złudzenie optyczne, które nazwali „niemożliwym trójkątem”.

Trójkąt niemożliwy wizualnie postrzegany jest jako struktura istniejąca faktycznie w trójwymiarowej przestrzeni, zbudowanej z prostokątnych prętów. Ale to tylko złudzenie optyczne. Niemożliwe jest zbudowanie prawdziwego modelu niemożliwego trójkąta.

Artykuł Penrosesa zawierał kilka opcji przedstawienia niemożliwego trójkąta. - jego „klasyczna” prezentacja.

Z jakich elementów zbudowano niemożliwy trójkąt?

Dokładniej, z jakich elementów wydaje nam się, że jest zbudowany? Konstrukcja opiera się na prostokątnym narożniku, który uzyskuje się poprzez połączenie dwóch identycznych prostokątnych prętów pod kątem prostym. Wymagane są trzy takie rogi, a zatem sześć kawałków prętów. Narożniki te muszą być wizualnie „połączone” ze sobą w określony sposób, aby tworzyły zamknięty łańcuch. To, co się dzieje, to niemożliwy trójkąt.

Jeśli uznamy pręt za odcinek o długości jednostkowej, to końce prętów pierwszego narożnika mają współrzędne, a drugiego narożnika - , i trzeciego - , i. Otrzymaliśmy „skręconą” strukturę, która faktycznie istnieje w przestrzeni trójwymiarowej.

Spróbujmy teraz spojrzeć na to mentalnie z różnych punktów przestrzeni. Wyobraź sobie, jak to wygląda z jednego punktu, z drugiego, z trzeciego. Gdy zmienia się punkt widzenia, dwie „końcowe” krawędzie naszych rogów będą wydawać się poruszać względem siebie. Znalezienie pozycji, w której się połączą, nie jest trudne.

Nawiasem mówiąc, jeśli jednocześnie spojrzymy na odbicie konstrukcji w lustrze, nie zobaczymy tam zamkniętego obwodu.

I z wybranego punktu obserwacyjnego widzimy na własne oczy cud, który się wydarzył: istnieje zamknięty łańcuch trzech narożników. Tylko nie zmieniaj punktu obserwacji, żeby ta iluzja się nie zawaliła. Teraz możesz narysować obiekt, który widzisz lub umieścić obiektyw aparatu w znalezionym punkcie i uzyskać zdjęcie niemożliwego obiektu.

Penrosesowie jako pierwsi zainteresowali się tym zjawiskiem. Wykorzystali możliwości, jakie pojawiają się przy mapowaniu trójwymiarowej przestrzeni i trójwymiarowych obiektów na dwuwymiarową płaszczyznę i zwrócili uwagę na część niepewności projektowych – otwartą strukturę trzech narożników można postrzegać jako obwód zamknięty.

Dowód niemożliwości trójkąta Penrose'a

Analizując cechy dwuwymiarowego obrazu trójwymiarowych obiektów na płaszczyźnie, zrozumieliśmy, w jaki sposób cechy tego wyświetlacza prowadzą do niemożliwego trójkąta. Być może kogoś zainteresuje dowód czysto matematyczny.

Niezwykle łatwo jest udowodnić, że niemożliwy trójkąt nie istnieje, gdyż każdy z jego kątów jest prosty, a ich suma wynosi 270 stopni zamiast „ustawionych” 180 stopni.

Co więcej, nawet jeśli weźmiemy pod uwagę niemożliwy trójkąt sklejony pod kątem mniejszym niż 90 stopni, to w tym przypadku możemy udowodnić, że niemożliwy trójkąt nie istnieje.

Widzimy trzy płaskie krawędzie. Przecinają się parami wzdłuż linii prostych. Płaszczyzny zawierające te ściany są parami ortogonalne, więc przecinają się w jednym punkcie.

Ponadto linie wzajemnego przecięcia płaszczyzn muszą przechodzić przez ten punkt. Dlatego linie proste 1, 2, 3 muszą przecinać się w jednym punkcie.

Ale to nieprawda. Dlatego przedstawiony projekt jest niemożliwy.

Sztuka „niemożliwa”.

Los tej czy innej idei - naukowej, technicznej, politycznej - zależy od wielu okoliczności. I przede wszystkim zależy to od dokładnej formy, w jakiej ten pomysł zostanie zaprezentowany, w jakiej formie pojawi się ogółowi społeczeństwa. Czy ucieleśnienie będzie suche i trudne do dostrzeżenia, czy też odwrotnie, manifestacja idei będzie jasna, przyciągając naszą uwagę nawet wbrew naszej woli.

Niemożliwy trójkąt ma szczęśliwy los. W 1961 r Holenderski artysta Moritz Escher ukończył litografię, którą nazwał „Wodospadem”. Artysta wiele przeszedł, ale szybki sposób od samego pomysłu niemożliwego trójkąta do jego niesamowitego artystyczne ucieleśnienie. Przypomnijmy, że artykuł Penrose’ów ukazał się w 1958 roku.

„Wodospad” opiera się na pokazanych dwóch niemożliwych trójkątach. Jeden trójkąt jest duży, w środku znajduje się drugi trójkąt. Może się wydawać, że przedstawiono trzy identyczne niemożliwe trójkąty. Ale nie o to tu chodzi, prezentowany projekt jest dość skomplikowany.

Na pierwszy rzut oka jego absurdalność nie będzie od razu widoczna dla wszystkich, ponieważ każde przedstawione połączenie jest możliwe. jak mówią, lokalnie, czyli na niewielkim obszarze rysunku, taki projekt jest wykonalny... Ale generalnie jest to niemożliwe! Poszczególne jego elementy nie pasują do siebie, nie zgadzają się ze sobą.

Aby to zrozumieć, musimy włożyć pewien wysiłek intelektualny i wizualny.

Wybierzmy się w podróż po aspektach tej konstrukcji. Ścieżka ta jest niezwykła, ponieważ, jak nam się wydaje, poziom w stosunku do płaszczyzny poziomej pozostaje niezmieniony. Poruszając się tą ścieżką, nie idziemy ani w górę, ani w dół.

I wszystko byłoby dobrze, znajomo, gdybyśmy na końcu ścieżki – czyli w punkcie – nie odkryli, że w stosunku do początkowego, początkowego punktu, w jakiś tajemniczy, niepojęty sposób wznieśliśmy się do pionu!

Aby dojść do tego paradoksalnego wyniku, musimy wybrać dokładnie tę ścieżkę, a także monitorować poziom względem płaszczyzny poziomej... Nie jest to łatwe zadanie. W jej decyzji z pomocą przyszła Escher… woda. Przypomnijmy sobie piosenkę o ruchu ze wspaniałego cykl wokalny„Piękna żona młynarza” Franza Schuberta:

I najpierw w wyobraźni, a potem pod ręką wspaniałego mistrza, nagie i suche konstrukcje zamieniają się w akwedukty, którymi płyną czyste i szybkie strumienie wody. Ich ruch przykuwa nasz wzrok i teraz wbrew naszej woli pędzimy w dół rzeki, pokonując wszystkie zakręty i zakręty ścieżki, opadamy z prądem, wpadamy na ostrza młyna wodnego, by znów pędzić w dół rzeki...

Okrążamy tę ścieżkę raz, dwa, trzy razy... i dopiero wtedy zdajemy sobie sprawę: idąc w dół, jakoś jesteśmy w fantastyczny sposób Wznieśmy się na sam szczyt! Początkowe zaskoczenie przeradza się w swego rodzaju intelektualny dyskomfort. Wygląda na to, że staliśmy się ofiarą jakiegoś żartu, obiektem żartu, którego jeszcze nie zrozumieliśmy.

I znowu powtarzamy tę drogę dziwnym przewodem, już powoli, ostrożnie, jakby obawiając się sztuczki z paradoksalnego obrazu, krytycznie oceniając wszystko, co dzieje się na tej tajemniczej ścieżce.

Próbujemy rozwikłać tajemnicę, która nas zadziwiła, i nie możemy uciec z jej niewoli, dopóki nie odnajdziemy ukrytej sprężyny, która leży u jej podstawy i wprawia w nieustanny ruch niewyobrażalną trąbę powietrzną.

Artysta szczególnie podkreśla i narzuca nam postrzeganie swojego malarstwa jako obrazu rzeczywistych, trójwymiarowych obiektów. Wolumetryczność podkreślają przedstawienia bardzo realnych wielościanów na wieżach, cegła z najwierniejszym odwzorowaniem każdej cegły w ścianach akweduktu oraz wznoszące się tarasy z ogrodami w tle. Wszystko ma na celu przekonanie widza o realności tego, co się dzieje. A dzięki sztuce i świetna technologia cel ten został osiągnięty.

Kiedy wyrwiemy się z niewoli, w której popada nasza świadomość, zaczniemy porównywać, kontrastować, analizować i odkrywamy, że podstawa, źródło tego obrazu ukryte jest w cechach konstrukcyjnych.

I otrzymaliśmy jeszcze jeden - „fizyczny” dowód na niemożliwość powstania „niemożliwego trójkąta”: gdyby taki trójkąt istniał, istniałby również „Wodospad” Eschera, który jest w istocie maszyną perpetuum mobile. Ale perpetuum mobile jest niemożliwe, dlatego „niemożliwy trójkąt” również jest niemożliwy. I być może ten „dowód” jest najbardziej przekonujący.

Co uczyniło Moritza Eschera fenomenem, wyjątkowym, nie mającym oczywistych poprzedników w sztuce i nie dającym się naśladować? To połączenie płaszczyzn i objętości, zwrócenie szczególnej uwagi na dziwaczne formy mikroświata - żywego i nieożywionego, z niezwykłymi punktami widzenia na zwykłe rzeczy. Głównym efektem jego kompozycji jest efekt pojawienia się niemożliwych relacji między znanymi przedmiotami. Na pierwszy rzut oka takie sytuacje mogą zarówno przestraszyć, jak i wywołać uśmiech. Można z radością patrzeć na zabawę, jaką oferuje artysta, ale można też poważnie zanurzyć się w otchłań dialektyki.

Moritz Escher pokazał, że świat może zupełnie różnić się od tego, jak go widzimy i do którego jesteśmy przyzwyczajeni – wystarczy tylko spojrzeć na niego z innej, nowej perspektywy!

Moritza Eschera

Moritz Escher miał więcej szczęścia jako naukowiec niż jako artysta. Jego ryciny i litografie były postrzegane jako klucze do dowodu twierdzeń lub oryginalnych kontrprzykładów, które sprzeciwiały się zdrowemu rozsądkowi. W najgorszym przypadku byli postrzegani jako wspaniałe ilustracje do traktatów naukowych z zakresu krystalografii, teorii grup, psychologii poznawczej czy Grafika komputerowa. Moritz Escher zajmował się związkami pomiędzy przestrzenią, czasem i ich tożsamością, wykorzystując podstawowe wzory mozaiki i poddając je przekształceniom. Ten Wielki mistrz iluzje optyczne. Ryciny Eschera przedstawiają nie świat formuł, ale piękno świata. Ich intelektualna budowa radykalnie przeciwstawia się nielogicznej twórczości surrealistów.

Holenderski artysta Moritz Cornelius Escher urodził się 17 czerwca 1898 roku w prowincji Holandia. Dom, w którym urodził się Escher, jest obecnie muzeum.

Od 1907 roku Moritz studiuje stolarstwo i grę na fortepianie, studiując na Liceum. Oceny Moritza ze wszystkich przedmiotów, z wyjątkiem rysunku, były słabe. Nauczyciel plastyki dostrzegł talent chłopca i nauczył go wykonywać drzeworyty.

W 1916 roku Escher wykonał swój pierwszy utwór praca graficzna, rycina na fioletowym linoleum - portret jego ojca G. A. Eschera. Odwiedza pracownię artysty Gerta Stiegemanna, który posiadał prasę drukarską. Na tej prasie wydrukowano pierwsze ryciny Eschera.

W latach 1918-1919 Escher uczęszczał do Wyższej Szkoły Technicznej w holenderskim mieście Delft. Otrzymuje odroczenie służby wojskowej w celu kontynuowania nauki, ale ze względu na zły stan zdrowia Moritz nie radził sobie z programem nauczania i został wydalony. W rezultacie nigdy nie otrzymał wyższa edukacja. Studiuje w Szkole Architektury i Ozdoby w Haarlemie, gdzie pobiera lekcje rysunku u Samuela Geserina de Mesquite, który wywarł kształtujący wpływ na życie i twórczość Eschera.

W 1921 roku rodzina Escherów odwiedziła Riwierę i Włochy. Zafascynowany roślinnością i kwiatami klimatu śródziemnomorskiego Moritz wykonał szczegółowe rysunki kaktusów i drzew oliwnych. Naszkicował wiele szkiców krajobrazów górskich, które później stały się podstawą jego dzieł. Później stale wracał do Włoch, które były dla niego źródłem inspiracji.

Escher zaczyna eksperymentować w nowym dla siebie kierunku, nawet wtedy w jego pracach można znaleźć lustrzane odbicia, krystaliczne postacie i kule.

Koniec lat dwudziestych okazał się dla Moritza okresem bardzo owocnym. Jego prace pokazywane były na wielu wystawach w Holandii, a do 1929 roku jego popularność osiągnęła taki poziom, że w ciągu jednego roku odbyło się pięć wystaw indywidualnych w Holandii i Szwajcarii. To właśnie w tym okresie obrazy Eschera po raz pierwszy zaczęto nazywać mechanicznymi i „logicznymi”.

Asher dużo podróżuje. Mieszka we Włoszech i Szwajcarii, Belgii. Studiuje mozaiki mauretańskie, wykonuje litografie i ryciny. Na podstawie szkiców podróżniczych tworzy swój pierwszy obraz rzeczywistości niemożliwej Martwa natura z ulicą.

Pod koniec lat trzydziestych Escher kontynuował eksperymenty z mozaikami i transformacjami. Tworzy mozaikę w postaci dwóch lecących ku sobie ptaków, która stała się podstawą obrazu „Dzień i noc”.

W maju 1940 r. hitlerowcy zajęli Holandię i Belgię, a 17 maja Bruksela wkroczyła do strefy okupacyjnej, w której wówczas mieszkał Escher z rodziną. Znajdują dom w Warnie i przeprowadzają się tam w lutym 1941 roku. Asher będzie mieszkał w tym mieście aż do końca swoich dni.

W 1946 roku Escher zaczął interesować się technologią druku wklęsłego. I choć technologia ta była znacznie bardziej złożona niż technologia, której używał wcześniej Escher i wymagała więcej czasu na utworzenie obrazu, rezultaty były imponujące — cienkie linie i dokładne odwzorowanie cieni. Jeden z najbardziej znane prace techniką druku wklęsłego „Kropla rosy” została ukończona w 1948 roku.

W 1950 roku Moritz Escher zyskał popularność jako wykładowca. Następnie w 1950 roku odbyła się jego pierwsza osobista wystawa w Stanach Zjednoczonych i zaczęto kupować jego prace. 27 kwietnia 1955 Moritz Escher otrzymał tytuł szlachecki i tytuł szlachecki.

W połowie lat 50. Escher łączył mozaiki z figurami sięgającymi w nieskończoność.

Na początku lat 60. ukazała się pierwsza książka z twórczością Eschera, Grafiek en Tekeningen, w której 76 prac zostało skomentowanych przez samego autora. Książka pomogła zyskać zrozumienie wśród matematyków i krystalografów, w tym niektórych w Rosji i Kanadzie.

W sierpniu 1960 Escher wygłosił wykład na temat krystalografii w Cambridge. Matematyczne i krystalograficzne aspekty twórczości Eschera stają się bardzo popularne.

W 1970 r. po Nowa seria Działalność Eschera została przeniesiona do nowy dom w Laren, która posiadała pracownię, ale zły stan zdrowia uniemożliwiał dużo pracy.

Moritz Escher zmarł w 1971 roku w wieku 73 lat. Escher żył wystarczająco długo, aby zobaczyć tłumaczenie Świata M. C. Eschera język angielski i był z tego bardzo zadowolony.

Na stronach internetowych matematyków i programistów można znaleźć różne niemożliwe obrazy. Bardzo pełna wersja z tych, które obejrzeliśmy, naszym zdaniem, jest miejsce Vlada Aleksiejewa

Strona ta prezentuje nie tylko szeroką gamę znane obrazy, w tym M. Eschera, ale także obrazy animowane, śmieszne rysunki niemożliwych zwierząt, monet, znaczków itp. Ta strona żyje, jest okresowo aktualizowana i uzupełniana niesamowitymi rysunkami.

Niemożliwe jest nadal możliwe. Wyraźnym potwierdzeniem tego jest niemożliwy trójkąt Penrose'a. Odkryty w ubiegłym stuleciu, nadal często można go spotkać literatura naukowa. I niezależnie od tego, jak zaskakujące może to zabrzmieć, możesz nawet zrobić to sam. I wcale nie jest to trudne. Wiele osób, które lubią rysować lub składać origami, potrafi to robić od dawna.

Znaczenie trójkąta Penrose'a

Istnieje kilka nazw tej figury. Niektórzy nazywają to niemożliwym trójkątem, inni po prostu nazywają to tribarem. Ale najczęściej można znaleźć definicję „trójkąta Penrose’a”.

Pod tymi definicjami rozumiemy jedną z głównych liczb niemożliwych. Sądząc po nazwie, w rzeczywistości nie można uzyskać takiej liczby. Jednak w praktyce udowodniono, że nadal można to zrobić. To po prostu kształt, jaki przybierze, jeśli spojrzysz na niego z pewnego punktu i pod odpowiednim kątem. Ze wszystkich innych stron postać jest całkiem realna. Reprezentuje trzy krawędzie sześcianu. Wykonanie takiego projektu jest łatwe.

Historia odkryć

Trójkąt Penrose'a został odkryty w 1934 roku przez szwedzkiego artystę Oscara Reutersvarda. Figurę przedstawiono w formie połączonych ze sobą kostek. Później artystę zaczęto nazywać „ojcem postaci niemożliwych”.

Być może rysunek Reutersvarda pozostałby mało znany. Ale w 1954 roku szwedzki matematyk Roger Penrose napisał artykuł o liczbach niemożliwych. To były drugie narodziny trójkąta. To prawda, że naukowiec przedstawił to w bardziej znanej formie. Użył belek, a nie sześcianów. Trzy belki zostały połączone ze sobą pod kątem 90 stopni. Różniło się również tym, że Reutersvard podczas rysowania stosował perspektywę równoległą. Penrose zastosował perspektywę liniową, co jeszcze bardziej utrudniło rysowanie. Taki trójkąt został opublikowany w 1958 roku w jednym z brytyjskich magazynów psychologicznych.

W 1961 roku artysta Maurits Escher (Holandia) stworzył jedną ze swoich najpopularniejszych litografii „Wodospad”. Powstał pod wrażeniem wywołanym artykułem o liczbach niemożliwych.

W latach osiemdziesiątych ubiegłego wieku na państwie przedstawiano plemiona i inne niemożliwe postacie znaczki pocztowe Szwecja. Trwało to kilka lat.

Pod koniec ubiegłego stulecia (a dokładniej w 1999 r.) powstała w Australii aluminiowa rzeźba przedstawiająca niemożliwy trójkąt Penrose'a. Osiągnął wysokość 13 metrów. Podobne rzeźby, tylko mniejsze, można znaleźć w innych krajach.

Niemożliwe w rzeczywistości

Jak można się domyślić, trójkąt Penrose'a nie jest w rzeczywistości trójkątem w zwykłym tego słowa znaczeniu. Reprezentuje trzy boki sześcianu. Ale jeśli spojrzeć z pewien kąt, iluzję trójkąta uzyskuje się dzięki temu, że 2 kąty całkowicie pokrywają się na płaszczyźnie. Najbliższy i najdalszy kąt od widza są wizualnie łączone.

Jeśli będziesz ostrożny, możesz się domyślić, że plemię to nic innego jak iluzja. Prawdziwy wygląd postaci można rozpoznać po jej cieniu. Pokazuje, że rogi w rzeczywistości nie są połączone. I oczywiście wszystko staje się jasne, jeśli podniesiesz figurę.

Tworzenie figury własnymi rękami

Trójkąt Penrose'a możesz złożyć samodzielnie. Na przykład z papieru lub tektury. Pomogą w tym diagramy. Wystarczy je wydrukować i skleić ze sobą. W Internecie dostępne są dwa schematy. Jedna z nich jest trochę łatwiejsza, druga trudniejsza, ale za to bardziej popularna. Obydwa pokazane są na zdjęciach.

Trójkąt Penrose będzie ciekawym produktem, który z pewnością przypadnie do gustu gościom. Na pewno nie pozostanie to niezauważone. Pierwszym krokiem w jego tworzeniu jest przygotowanie diagramu. Przenosi się go na papier (tekturę) za pomocą drukarki. A wtedy wszystko jest jeszcze prostsze. Wystarczy wyciąć go na obwodzie. Schemat zawiera już wszystkie niezbędne linie. Wygodniej będzie pracować z grubszym papierem. Jeśli schemat jest drukowany na cienkim papierze, ale chcesz coś grubszego, blankiet po prostu nakłada się na wybrany materiał i wycina wzdłuż konturu. Aby zapobiec przemieszczaniu się diagramu, można go zabezpieczyć spinaczami biurowymi.

Następnie musisz określić linie, wzdłuż których przedmiot będzie się wyginał. Z reguły jest to przedstawiane na schemacie poprzez zgięcie części. Następnie określamy miejsca, które należy skleić. Są pokryte klejem PVA. Część jest połączona w jedną figurę.

Część można pomalować. Możesz też początkowo użyć kolorowego kartonu.

Rysowanie niemożliwej postaci

Można również narysować trójkąt Penrose'a. Na początek narysuj prosty kwadrat na kartce papieru. Jego rozmiar nie ma znaczenia. Mając podstawę na dolnej stronie kwadratu, rysujemy trójkąt. W jego rogach narysowane są małe prostokąty. Ich boki będą musiały zostać usunięte, pozostawiając tylko te, które są wspólne z trójkątem. Rezultatem powinien być trójkąt ze ściętymi narożnikami.

Linię prostą rysuje się od lewej strony górnego dolnego rogu. Ta sama linia, ale nieco krótsza, jest rysowana od lewego dolnego rogu. Rysowana jest linia równoległa do podstawy trójkąta wychodząca z prawego rogu. W rezultacie powstaje drugi wymiar.

Zgodnie z zasadą drugiego rysowany jest trzeci wymiar. Tylko w tym przypadku wszystkie linie proste opierają się na kątach figury nie w pierwszym, ale w drugim wymiarze.