W grudniu 1963 na amerykańskim kanale TV NBC program wydany po raz pierwszy Dobijmy Targu(„Let's Make a Deal!”), w którym wybrani z publiczności w studiu zawodnicy targowali się ze sobą iz prowadzącym, grali w drobne gry lub po prostu odgadywali odpowiedź na pytanie. Na zakończenie audycji uczestnicy mogli zagrać w „deal of the day”. Przed nimi znajdowały się troje drzwi, o których wiadomo było, że za jednym z nich znajduje się Nagroda Główna (np. samochód), a za pozostałymi dwoje mniej wartościowe lub zupełnie absurdalne prezenty (np. żywe kozy) . Po dokonaniu przez gracza wyboru gospodarz programu, Monty Hall, otworzył jedne z dwojga pozostałych drzwi, pokazując, że nie kryje się za nimi Nagroda i pozwalając uczestnikowi cieszyć się, że ma szansę na wygraną.
W 1975 roku naukowiec z UCLA Steve Selvin zastanawiał się, co by się stało, gdyby w tym momencie, po otwarciu drzwi bez nagrody, uczestnik został poproszony o zmianę swojego wyboru. Czy w tym przypadku zmienią się szanse gracza na zdobycie Nagrody, a jeśli tak, to w jakim kierunku? Złożył odpowiednie pytanie jako numer do czasopisma Amerykański statystyk(„The American Statistician”), a także samego Monty'ego Halla, który udzielił mu dość ciekawej odpowiedzi. Pomimo tej odpowiedzi (a może właśnie dzięki niej) problem stał się popularny pod nazwą "problem Monty Halla".
Zadanie
Skończyłeś na pokazie Monty Hall jako uczestnik - iw ostatniej chwili, otwierając drzwi kozą, prowadzący zaproponował zmianę wyboru. Czy Twoja decyzja – zgoda czy nie – wpłynie na prawdopodobieństwo wygranej?
Wskazówka
Postaraj się wziąć pod uwagę osoby, które wybrały różne drzwi w tym samym przypadku (tzn. gdy Nagroda znajduje się np. za drzwiami numer 1). Kto skorzysta na zmianie swojego wyboru, a kto nie?
Decyzja
Jak zasugerowano w podpowiedzi, rozważ ludzi, którzy dokonali różnych wyborów. Załóżmy, że Nagroda znajduje się za drzwiami #1, a za drzwiami #2 i #3 są kozy. Załóżmy, że mamy sześć osób i każde drzwi zostały wybrane przez dwie osoby iz każdej pary jedna zmieniała decyzję, a druga nie.
Zwróć uwagę, że Gospodarz, który wybierze drzwi nr 1, otworzy według własnego gustu jedne z dwojga drzwi, natomiast niezależnie od tego, Samochód otrzyma ten, który nie zmieni swojego wyboru, ale ten, który zmienił swój pierwotny wybór pozostanie bez Nagrody. Spójrzmy teraz na tych, którzy wybrali drzwi #2 i #3. Ponieważ za drzwiami nr 1 znajduje się Samochód, Gospodarz nie może go otworzyć, co nie pozostawia mu wyboru – otwiera dla nich odpowiednio drzwi nr 3 i nr 2. Jednocześnie ten, kto zmienił decyzję w każdej parze, w rezultacie wybierze Nagrodę, a ten, kto nie zmienił, pozostanie z niczym. Tak więc z trzech osób, które zmienią zdanie, dwie otrzyma Nagrodę, a jedna kozę, a z trzech, które pozostawiły swój pierwotny wybór bez zmian, tylko jedna otrzyma Nagrodę.
Należy zauważyć, że gdyby samochód znajdował się za drzwiami nr 2 lub nr 3, wynik byłby taki sam, zmieniliby się tylko konkretni zwycięzcy. Zakładając zatem, że początkowo każde drzwi są wybierane z równym prawdopodobieństwem, otrzymujemy, że ci, którzy zmienią swój wybór, zdobywają Nagrodę dwa razy częściej, czyli prawdopodobieństwo wygranej w tym przypadku jest większe.
Spójrzmy na ten problem z punktu widzenia matematycznej teorii prawdopodobieństwa. Przyjmiemy, że prawdopodobieństwo początkowego wyboru każdych drzwi jest takie samo, jak również prawdopodobieństwo znalezienia się za każdymi drzwiami Samochodu. Dodatkowo warto zrobić zastrzeżenie, że Lider, kiedy może otworzyć dwoje drzwi, wybiera z równym prawdopodobieństwem każde z nich. Potem okazuje się, że po pierwszej decyzji prawdopodobieństwo, że Nagroda znajduje się za wybranymi drzwiami wynosi 1/3, a prawdopodobieństwo, że znajduje się za jednym z dwóch pozostałych drzwi wynosi 2/3. Jednocześnie po tym, jak Gospodarz otworzył jedne z dwóch „niewybranych” drzwi, całe prawdopodobieństwo 2/3 przypada tylko na jedne z pozostałych drzwi, tworząc tym samym podstawę do zmiany decyzji, która zwiększy prawdopodobieństwo wygranej o 2 razy. Co oczywiście nie gwarantuje tego w żaden sposób w jednym konkretnym przypadku, ale doprowadzi do bardziej pomyślnych wyników w przypadku wielokrotnego powtarzania eksperymentu.
Posłowie
Problem Monty Halla nie jest pierwszym znanym sformułowaniem tego problemu. W szczególności w 1959 r. Martin Gardner opublikował w czasopiśmie Amerykański naukowiec podobny problem „o trzech więźniach” (problem trzech więźniów) o następującym sformułowaniu: „ Spośród trzech więźniów jeden powinien zostać ułaskawiony, a dwóch straconych. Więzień A przekonuje strażnika, aby podał mu nazwisko jednego z pozostałych dwóch, który zostanie stracony (albo jeśli obaj zostaną straceni), po czym otrzymawszy imię B, uważa, że prawdopodobieństwo jego własnego zbawienia nie jest 1/3, ale 1/2. Jednocześnie więzień C twierdzi, że prawdopodobieństwo jego ucieczki wynosi 2/3, podczas gdy dla A nic się nie zmieniło. Który z nich ma rację?»
Jednak Gardner nie był pierwszy, ponieważ w 1889 r. francuski matematyk Joseph Bertrand (nie mylić z Anglikiem Bertrandem Russellem!) w swoim rachunku prawdopodobieństwa przedstawia podobny problem (patrz paradoks pudełka Bertranda): „ Są trzy pudełka, z których każda zawiera dwie monety: dwie złote w pierwszej, dwie srebrne w drugiej i dwie różne w trzeciej. Z losowo wybranego pudełka losowo wyjęto monetę, która okazała się złota. Jakie jest prawdopodobieństwo, że moneta pozostała w pudełku jest złota?»
Jeśli zrozumiesz rozwiązania wszystkich trzech problemów, łatwo zauważysz podobieństwo ich pomysłów; matematycznie wszystkie z nich łączy pojęcie prawdopodobieństwa warunkowego, czyli prawdopodobieństwa zdarzenia A, jeśli wiadomo, że zaszło zdarzenie B. Najprostszy przykład: prawdopodobieństwo wypadnięcia jednostki na zwykłą kostkę wynosi 1/6; jeśli jednak wiadomo, że wyrzucona liczba jest nieparzysta, prawdopodobieństwo, że jest to jeden, wynosi już 1/3. Problem Monty Halla, podobnie jak pozostałe dwa przytoczone problemy, pokazuje, że z prawdopodobieństwami warunkowymi należy obchodzić się ostrożnie.
Problemy te nazywane są też często paradoksami: paradoks Monty Halla, paradoks pudełka Bertranda (tego ostatniego nie należy mylić z prawdziwym paradoksem Bertranda podanym w tej samej książce, co dowodzi niejednoznaczności istniejącego wówczas pojęcia prawdopodobieństwa) – które implikuje pewną sprzeczność (na przykład w „paradoksie kłamcy” wyrażenie „to stwierdzenie jest fałszywe” jest sprzeczne z prawem wyłączonego środka). W tym przypadku jednak nie ma sprzeczności z rygorystycznymi twierdzeniami. Ale istnieje wyraźna sprzeczność z „opinią publiczną” lub po prostu „oczywistym rozwiązaniem” problemu. Rzeczywiście, większość ludzi, patrząc na problem, uważa, że po otwarciu jednych z drzwi prawdopodobieństwo znalezienia Nagrody za którąkolwiek z dwóch pozostałych zamkniętych wynosi 1/2. W ten sposób twierdzą, że nie ma znaczenia, czy zgadzają się, czy nie zgadzają się na zmianę zdania. Co więcej, wiele osób ma trudności ze zrozumieniem innej odpowiedzi niż ta, nawet po przedstawieniu szczegółowego rozwiązania.
Wyobraź sobie, że pewien bankier oferuje Ci wybór jednej z trzech zamkniętych skrzynek. W jednym 50 centów, w drugim 1 dolar, w trzecim 10 tys. Którąkolwiek wybierzesz, otrzymasz ją jako nagrodę.
Wybierasz losowo, powiedzmy pole numer 1. A potem bankier (który oczywiście wie, gdzie wszystko jest) na twoich oczach otwiera pudełko z jednym dolarem (powiedzmy, że jest to nr 2), po czym proponuje ci zmianę początkowo wybranego pola nr. 1 do pudełka nr 3.
Czy powinieneś zmienić zdanie? Czy to zwiększy Twoje szanse na zdobycie 10 tys.
To paradoks Monty'ego Halla - problem teorii prawdopodobieństwa, którego rozwiązanie na pierwszy rzut oka przeczy zdrowemu rozsądkowi. Ludzie drapią się po głowach nad tym problemem od 1975 roku.
Paradoks został nazwany na cześć gospodarza popularnego amerykańskiego programu telewizyjnego Let's Make a Deal. Ten program telewizyjny miał podobne zasady, tylko uczestnicy wybierali drzwi, z których dwoje ukrywało kozy, a trzecim był Cadillac.
Większość graczy uznała, że po tym, jak było dwoje zamkniętych drzwi, a za jednym z nich był cadillac, szanse na zdobycie go wynosiły 50 do 50. Oczywiście, gdy gospodarz otwiera jedne drzwi i zaprasza cię do zmiany zdania, on rozpoczyna nową grę. Niezależnie od tego, czy zmienisz zdanie, czy nie, Twoje szanse nadal będą wynosić 50 procent. Więc dobrze?
Okazuje się, że nie. W rzeczywistości zmieniając zdanie, podwajasz swoje szanse na sukces. Czemu?
Najprostszym wyjaśnieniem tej odpowiedzi jest następująca uwaga. Aby wygrać samochód bez zmiany wyboru, gracz musi od razu odgadnąć drzwi, za którymi stoi samochód. Prawdopodobieństwo tego wynosi 1/3. Jeśli gracz początkowo uderzy w drzwi z kozą za nimi (a prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi 2/3, ponieważ są dwie kozy i tylko jeden samochód), to na pewno może wygrać samochód zmieniając zdanie, ponieważ samochód i jeden kozioł zostaje, a gospodarz już otworzył drzwi z kozłem.
Tak więc, nie zmieniając wyboru, gracz pozostaje z początkowym prawdopodobieństwem wygranej 1/3, a zmieniając początkowy wybór, gracz obraca na swoją korzyść dwukrotność pozostałego prawdopodobieństwa, że nie odgadł poprawnie na początku.
Ponadto intuicyjne wyjaśnienie można uzyskać, zamieniając dwa zdarzenia. Pierwszym zdarzeniem jest decyzja gracza o zmianie drzwi, drugim zdarzeniem jest otwarcie dodatkowych drzwi. Jest to akceptowalne, ponieważ otwarcie dodatkowych drzwi nie daje graczowi żadnych nowych informacji (zobacz ten artykuł jako dowód). Wtedy problem można sprowadzić do następującego sformułowania. W pierwszej chwili gracz dzieli drzwi na dwie grupy: w pierwszej grupie są jedne drzwi (te, które wybrał), w drugiej grupie są dwoje pozostałych drzwi. W następnej chwili gracz dokonuje wyboru między grupami. Oczywiste jest, że dla pierwszej grupy prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/3, dla drugiej 2/3. Gracz wybiera drugą grupę. W drugiej grupie może otworzyć obydwoje drzwi. Jeden otwiera gospodarz, a drugi sam gracz.
Spróbujmy podać „najbardziej zrozumiałe” wyjaśnienie. Przeformułuj problem: Uczciwy gospodarz ogłasza graczowi, że za jednymi z trzech drzwi znajduje się samochód i zaprasza go, aby najpierw wskazał jedne z drzwi, a następnie wybrał jedną z dwóch akcji: otwórz określone drzwi (w stare sformułowanie, nazywa się to „nie zmieniaj wyboru”) lub otwórz pozostałe dwa (w starym brzmieniu byłoby to po prostu „zmień wybór”. Pomyśl o tym, to jest klucz do zrozumienia!). Oczywiste jest, że gracz wybierze drugą z dwóch akcji, ponieważ prawdopodobieństwo zdobycia samochodu w tym przypadku jest dwukrotnie większe. A drobiazg, że lider jeszcze przed wyborem akcji „pokazał kozę” nie pomaga i nie przeszkadza w wyborze, bo za jednym z dwojga drzwi zawsze stoi koza i lider na pewno ją w każdej chwili pokaże podczas gry, więc gracz może na tej kozie i nie oglądać. Zadaniem gracza, jeśli wybrał drugą akcję, jest powiedzieć „dziękuję” gospodarzowi za oszczędzenie mu trudu samodzielnego otwierania jednych z dwóch drzwi i otwierania drugich. Cóż, a nawet łatwiej. Wyobraźmy sobie tę sytuację z punktu widzenia gospodarza, który podobną procedurę przeprowadza z dziesiątkami graczy. Ponieważ doskonale wie, co jest za drzwiami, to średnio w dwóch przypadkach na trzy widzi z góry, że gracz wybrał „złe” drzwi. Dlatego dla niego na pewno nie ma paradoksu, że właściwą strategią jest zmiana wyboru po otwarciu pierwszych drzwi: w końcu w tych samych dwóch przypadkach na trzy gracz opuści studio nowym samochodem.
Wreszcie najbardziej „naiwny” dowód. Niech ten, kto stoi za swoim wyborem, będzie nazywany „Upartym”, a ten, kto postępuje zgodnie z instrukcjami przywódcy, „Uważnym”. Następnie Uparty wygrywa, jeśli początkowo odgadł samochód (1/3), a Uważny - jeśli pierwszy nie trafił i uderzył w kozę (2/3). W końcu tylko w tym przypadku wskaże wtedy drzwi z autem.
Monty Hall, producent i gospodarz programu Dobijmy Targu od 1963 do 1991 roku.
W 1990 roku ten problem i jego rozwiązanie zostały opublikowane w amerykańskim czasopiśmie Parade. Publikacja wywołała lawinę oburzonych recenzji czytelników, z których wielu miało stopnie naukowe.
Głównym zarzutem było to, że nie określono wszystkich warunków problemu, a wszelkie niuanse mogły wpłynąć na wynik. Na przykład gospodarz może zaproponować zmianę decyzji tylko wtedy, gdy gracz wybrał samochód w pierwszym ruchu. Oczywiście zmiana początkowego wyboru w takiej sytuacji doprowadzi do gwarantowanej straty.
Jednak przez cały czas istnienia programu telewizyjnego Monty Hall ludzie, którzy zmienili zdanie, wygrywali dwa razy częściej:
Na 30 graczy, którzy zmienili zdanie, Cadillac wygrał 18 - czyli 60%
Spośród 30 graczy, którzy zostali z wyborem, Cadillac wygrał 11 - czyli około 36%
Tak więc rozumowanie podane w orzeczeniu, bez względu na to, jak nielogiczne może się wydawać, znajduje potwierdzenie w praktyce.
Wzrost liczby drzwi
Aby ułatwić zrozumienie istoty tego, co się dzieje, możemy rozważyć przypadek, w którym gracz widzi przed sobą nie troje drzwi, ale np. sto. W tym samym czasie za jednymi drzwiami stoi samochód, a za pozostałymi 99 kozy. Gracz wybiera jedne z drzwi, natomiast w 99% przypadków wybierze drzwi z kozą, a szanse na natychmiastowy wybór drzwi z samochodem są bardzo małe – wynoszą 1%. Następnie gospodarz otwiera 98 drzwi z kozami i prosi gracza o wybranie pozostałych drzwi. W tym przypadku w 99% przypadków samochód będzie znajdował się za pozostałymi drzwiami, ponieważ szanse na to, że gracz od razu wybierze właściwe drzwi są bardzo małe. Oczywiste jest, że w tej sytuacji racjonalnie myślący gracz powinien zawsze akceptować propozycję lidera.
Rozważając zwiększoną liczbę drzwi, często pojawia się pytanie: jeśli w pierwotnym zadaniu lider otwiera jedne drzwi z trzech (czyli 1/3 ogólnej liczby drzwi), to dlaczego mamy zakładać, że w przypadku na 100 drzwi lider otworzy 98 drzwi z kozami, a nie 33? Ta uwaga jest zwykle jednym z istotnych powodów, dla których paradoks Monty'ego Halla koliduje z intuicyjnym postrzeganiem sytuacji. Słuszne byłoby założenie otwarcia 98 drzwi, ponieważ zasadniczym warunkiem problemu jest to, że dla gracza jest tylko jeden alternatywny wybór, który oferuje gospodarz. Dlatego, aby zadania były podobne, w przypadku 4 drzwi lider musi otworzyć 2 drzwi, w przypadku 5 drzwi – 3 itd., aby zawsze były jedne nieotwarte drzwi inne niż te którą początkowo wybrał gracz. Jeśli moderator otworzy mniej drzwi, zadanie nie będzie już podobne do oryginalnego zadania Monty Hall.
Należy zauważyć, że w przypadku wielu drzwi, nawet jeśli gospodarz pozostawi nie jedne, ale kilka zamkniętych i zaproponuje graczowi wybór jednego z nich, to przy zmianie początkowego wyboru szanse gracza na wygranie samochodu będą rosły. nadal rosną, choć nie tak znacząco. Rozważmy na przykład sytuację, w której gracz wybiera jedne drzwi ze stu, a następnie moderator otwiera tylko jedne z pozostałych, zapraszając gracza do zmiany swojego wyboru. Jednocześnie szanse, że samochód znajduje się za drzwiami pierwotnie wybranymi przez gracza pozostają takie same - 1/100, a dla pozostałych drzwi zmieniają się: całkowite prawdopodobieństwo, że samochód znajduje się za jednymi z pozostałych drzwi ( 99/100) jest teraz rozdzielone nie na 99 drzwi, ale na 98. Dlatego prawdopodobieństwo znalezienia samochodu za każdym z tych drzwi nie będzie wynosić 1/100, ale 99/9800. Wzrost prawdopodobieństwa wyniesie około 1%.
Możliwe drzewo decyzyjne gracza i gospodarza pokazujące prawdopodobieństwo każdego wyniku Bardziej formalnie, scenariusz gry można opisać za pomocą drzewa decyzyjnego. W pierwszych dwóch przypadkach, gdy gracz po raz pierwszy wybrał drzwi, za którymi znajduje się koza, zmiana wyboru skutkuje wygraną. W dwóch ostatnich przypadkach, gdy gracz po raz pierwszy wybrał drzwi samochodem, zmiana wyboru skutkuje przegraną.
Jeśli nadal nie rozumiesz, spluń na formuły i po prostusprawdź wszystko statystycznie. Inne możliwe wyjaśnienie:
- Gracz, którego strategią byłaby zmiana wybranych drzwi za każdym razem, przegrałby tylko wtedy, gdyby początkowo wybrał drzwi, za którymi znajduje się samochód.
- Ponieważ szansa na wybór samochodu za pierwszym razem wynosi jeden na trzy (lub 33%), szansa na niewybranie samochodu, jeśli gracz zmieni swój wybór, wynosi również jedną trzecią (lub 33%).
- Oznacza to, że gracz, który wykorzystał strategię do zmiany drzwi, wygra z prawdopodobieństwem 66% lub dwa do trzech.
- To podwoi szanse na wygranie gracza, którego strategią jest nie zmienianie swojego wyboru za każdym razem.
Nadal nie wierzysz? Powiedzmy, że wybierasz drzwi #1. Oto wszystkie możliwe opcje tego, co może się zdarzyć w tym przypadku.
Ludzie są przyzwyczajeni do akceptowania słuszności tego, co oczywiste. Z tego powodu często wpadają w kłopoty, źle oceniając sytuację, ufając swojej intuicji i nie poświęcając czasu na krytyczną refleksję nad swoim wyborem i jego konsekwencjami.
Monty jest jasną ilustracją niezdolności człowieka do zważenia swoich szans na sukces pod względem wyboru korzystnego wyniku w obecności więcej niż jednego niekorzystnego.
Sformułowanie paradoksu Monty Hall
Więc czym jest to zwierzę? O czym dokładnie mówimy? Najbardziej znanym przykładem paradoksu Monty Hall jest popularny w Ameryce w połowie ubiegłego wieku program telewizyjny „Załóżmy się!”. Nawiasem mówiąc, to dzięki gospodarzowi tego quizu paradoks Monty Hall otrzymał później swoją nazwę.
Gra składała się z następujących czynności: uczestnikowi pokazano trzy drzwi, które wyglądały dokładnie tak samo. Jednak za jednym z nich czekał na gracza drogi nowy samochód, a za dwoma pozostałymi niecierpliwie marniała koza. Jak zwykle w przypadku quizów telewizyjnych, to, co znajdowało się za drzwiami wybranymi przez zawodnika, stało się jego wygraną.
Jaka jest sztuczka?
Ale nie wszystko jest takie proste. Po dokonaniu wyboru prezenter, wiedząc, gdzie ukryta jest główna nagroda, otworzył jedne z dwóch pozostałych drzwi (oczywiście te, za którymi czaił się artiodaktyl), a następnie zapytał gracza, czy chce zmienić zdanie.
Paradoks Monty'ego Halla, sformułowany przez naukowców w 1990 roku, polega na tym, że wbrew intuicji, że nie ma różnicy w podejmowaniu wiodącej decyzji na podstawie pytania, trzeba zgodzić się na zmianę swojego wyboru. Oczywiście, jeśli chcesz mieć świetny samochód.
Jak to działa?
Istnieje kilka powodów, dla których ludzie nie chcą rezygnować z wyboru. Intuicja i prosta (ale niepoprawna) logika mówią, że od tej decyzji nic nie zależy. Co więcej, nie każdy chce podążać za innym przykładem - to prawdziwa manipulacja, prawda? Nie, nie tak. Ale gdyby wszystko było od razu intuicyjnie jasne, to by tego nie nazwali. Nie ma nic dziwnego w wątpliwościach. Kiedy ta zagadka została po raz pierwszy opublikowana w jednym z głównych czasopism, tysiące czytelników, w tym uznanych matematyków, wysłało listy do redakcji, twierdząc, że odpowiedź zamieszczona w numerze nie jest prawdziwa. Gdyby istnienie teorii prawdopodobieństwa nie było nowością dla osoby, która pojawiła się w programie, to być może byłby w stanie rozwiązać ten problem. A tym samym zwiększyć szanse na wygraną. W rzeczywistości wyjaśnienie paradoksu Monty Halla sprowadza się do prostej matematyki.
Pierwsze wyjaśnienie jest bardziej skomplikowane
Prawdopodobieństwo, że nagroda znajduje się za pierwotnie wybranymi drzwiami, wynosi jeden do trzech. Szansa na znalezienie go za jedną z dwóch pozostałych wynosi dwie z trzech. Logiczne, prawda? Teraz, gdy jedne z tych drzwi są otwarte, a za nimi znajduje się koza, w drugim zestawie pozostaje tylko jedna opcja (ta, która odpowiada 2/3 szansy powodzenia). Wartość tej opcji pozostaje taka sama i jest równa dwóm z trzech. Tym samym staje się oczywiste, że zmieniając swoją decyzję, gracz podwoi prawdopodobieństwo wygranej.
Wyjaśnienie numer dwa, prostsze
Po takiej interpretacji decyzji, wielu wciąż upiera się, że nie ma sensu ten wybór, bo są tylko dwie opcje i jedna z nich zdecydowanie wygrywa, a druga zdecydowanie prowadzi do porażki.
Ale teoria prawdopodobieństwa ma własny pogląd na ten problem. I staje się to jeszcze jaśniejsze, jeśli wyobrazimy sobie, że początkowo nie było trzech drzwi, ale powiedzmy sto. W tym przypadku możliwość odgadnięcia gdzie nagroda po raz pierwszy wynosi tylko jeden do dziewięćdziesięciu dziewięciu. Teraz zawodnik dokonuje wyboru, a Monty eliminuje dziewięćdziesiąt osiem kozich drzwi, pozostawiając tylko dwie, z których jeden wybrał gracz. Tak więc wybrana początkowo opcja utrzymuje szanse wygranej na poziomie 1/100, podczas gdy druga oferowana opcja to 99/100. Wybór powinien być oczywisty.
Czy są obalania?
Odpowiedź jest prosta: nie. Nie ma ani jednego wystarczająco uzasadnionego obalenia paradoksu Monty Halla. Wszystkie „rewelacje”, jakie można znaleźć w sieci, sprowadzają się do niezrozumienia zasad matematyki i logiki.
Dla każdego, kto dobrze zna zasady matematyczne, nielosowość prawdopodobieństw jest absolutnie oczywista. Tylko ci, którzy nie rozumieją, jak działa logika, mogą się z nimi nie zgodzić. Jeśli to wszystko nadal brzmi nieprzekonująco – uzasadnienie paradoksu zostało przetestowane i potwierdzone w słynnym programie MythBusters, a kto jeszcze uwierzy, jeśli nie im?
Możliwość upewnienia się
Dobrze, niech wszyscy brzmią przekonująco. Ale to tylko teoria, czy można jakoś spojrzeć na działanie tej zasady w działaniu, a nie tylko w słowach? Po pierwsze, nikt nie odwołał żywych ludzi. Znajdź partnera, który wcieli się w rolę lidera i pomoże Ci zagrać w powyższy algorytm w rzeczywistości. Dla wygody możesz zabrać pudełka, pudełka, a nawet rysować na papierze. Po kilkudziesięciokrotnym powtórzeniu procesu porównaj liczbę wygranych w przypadku zmiany pierwotnego wyboru z liczbą wygranych, które przyniosły upór, a wszystko stanie się jasne. A możesz zrobić jeszcze łatwiej i korzystać z Internetu. W sieci jest wiele symulatorów paradoksu Monty Hall, w których wszystko można sprawdzić samemu i bez zbędnych rekwizytów.
Jaki jest pożytek z tej wiedzy?
Może się wydawać, że to tylko kolejna łamigłówka, która ma na celu obciążenie mózgu i służy jedynie celom rozrywkowym. Paradoks Monty'ego Halla znajduje jednak praktyczne zastosowanie przede wszystkim w grach hazardowych i różnych loteriach. Ci, którzy mają duże doświadczenie, doskonale zdają sobie sprawę z powszechnych strategii zwiększania szans na znalezienie valuebeta (od angielskiego słowa value, co dosłownie oznacza „value” – taka prognoza, która spełni się z większym prawdopodobieństwem niż szacują bukmacherzy) . Jedna z takich strategii bezpośrednio angażuje się w paradoks Monty'ego Halla.
Przykład pracy z torbą
Sportowy przykład będzie niewiele różnił się od klasycznego. Powiedzmy, że są trzy drużyny z pierwszej ligi. W ciągu najbliższych trzech dni każda z tych drużyn musi rozegrać jeden decydujący mecz. Ten, który na koniec meczu zdobędzie więcej punktów niż pozostała dwójka, pozostanie w pierwszej lidze, a reszta będzie zmuszona ją opuścić. Oferta bukmachera jest prosta: trzeba postawić na zachowanie pozycji jednego z tych klubów piłkarskich, a kursy zakładów są równe.
Dla wygody przyjmuje się takie warunki, w których rywale klubów biorących udział w selekcji są w przybliżeniu równe sile. Tym samym nie będzie możliwe jednoznaczne określenie faworyta przed rozpoczęciem rozgrywek.
Tutaj musisz przypomnieć sobie historię o kozach i samochodzie. Każda drużyna ma szansę pozostać na swoim miejscu w jednym przypadku na trzy. Każdy z nich jest wybierany, stawia się na niego zakład. Niech to będzie „Baltika”. Według wyników pierwszego dnia jeden z klubów przegrywa, a dwa jeszcze nie zagrały. To ta sama „Baltika” i, powiedzmy, „Shinnik”.
Większość zachowa swoje dotychczasowe udziały – Baltika pozostanie w pierwszej lidze. Należy jednak pamiętać, że jej szanse pozostały takie same, ale szanse „Shinnika” podwoiły się. Dlatego logiczne jest postawienie kolejnego, większego zakładu na zwycięstwo „Shinnika”.
Nadchodzi kolejny dzień, a mecz z udziałem „Baltiki” kończy się remisem. „Shinnik” gra jako następny, a jego gra kończy się zwycięstwem 3-0. Okazuje się, że pozostanie w pierwszej lidze. Dlatego chociaż pierwszy zakład na Baltikę jest przegrany, stratę tę pokrywa zysk z nowego zakładu na Shinnik.
Można przypuszczać, a większość tak zrobi, że zwycięstwo „Shinnika” to tylko przypadek. W rzeczywistości branie prawdopodobieństwa na przypadek jest największym błędem osoby biorącej udział w loteriach sportowych. W końcu profesjonalista zawsze powie, że wszelkie prawdopodobieństwo wyraża się przede wszystkim w jasnych wzorach matematycznych. Jeśli znasz podstawy tego podejścia i wszystkie niuanse z nim związane, ryzyko utraty pieniędzy zostanie zminimalizowane.
Przydatność w prognozowaniu procesów gospodarczych
Tak więc w zakładach sportowych paradoks Monty'ego Halla jest po prostu konieczny do poznania. Ale zakres jego zastosowania nie ogranicza się do jednej loterii. Teoria prawdopodobieństwa jest zawsze ściśle powiązana ze statystyką, dlatego w polityce i ekonomii zrozumienie zasad paradoksu jest nie mniej ważne.
W warunkach niepewności ekonomicznej, z jaką często mają do czynienia analitycy, należy pamiętać o następującym wniosku wynikającym z rozwiązania problemu: nie trzeba znać dokładnie jedynego poprawnego rozwiązania. Szanse na pomyślną prognozę zawsze wzrastają, jeśli wiesz, co dokładnie się nie wydarzy. Właściwie jest to najbardziej użyteczny wniosek z paradoksu Monty Hall.
Gdy świat znajduje się na skraju wstrząsów gospodarczych, politycy zawsze starają się odgadnąć właściwy kierunek działań, aby zminimalizować skutki kryzysu. Wracając do poprzednich przykładów, w dziedzinie ekonomii zadanie można opisać następująco: przed przywódcami krajów stoi troje drzwi. Jeden prowadzi do hiperinflacji, drugi do deflacji, a trzeci do upragnionego umiarkowanego wzrostu gospodarki. Ale jak znaleźć właściwą odpowiedź?
Politycy twierdzą, że w taki czy inny sposób ich działania doprowadzą do większej liczby miejsc pracy i wzrostu gospodarki. Ale czołowi ekonomiści, doświadczeni ludzie, w tym nawet nobliści, wyraźnie pokazują im, że jedna z tych opcji na pewno nie przyniesie pożądanego rezultatu. Czy po tym politycy zmienią swój wybór? Jest to wysoce nieprawdopodobne, gdyż pod tym względem nie różnią się zbytnio od tych samych uczestników programu telewizyjnego. Dlatego prawdopodobieństwo błędu wzrośnie tylko wraz ze wzrostem liczby doradców.
Czy to wyczerpuje informacje na ten temat?
Właściwie do tej pory rozważano tu tylko „klasyczną” wersję paradoksu, czyli sytuację, w której prezenter dokładnie wie, za którymi drzwiami znajduje się nagroda i otwiera drzwi dopiero kozłem. Ale istnieją inne mechanizmy zachowania lidera, w zależności od tego, jaka będzie zasada działania algorytmu i wynik jego wykonania.
Wpływ zachowania lidera na paradoks
Co więc może zrobić lider, aby zmienić bieg wydarzeń? Miejmy różne opcje.
Tak zwany „Diabelski Monty” to sytuacja, w której gospodarz zawsze zaproponuje graczowi zmianę swojego wyboru, pod warunkiem, że początkowo miał rację. W takim przypadku zmiana decyzji zawsze będzie prowadzić do porażki.
Wręcz przeciwnie, „Angelic Monty” nazywa się podobną zasadą zachowania, ale w przypadku, gdyby wybór gracza był początkowo błędny. Logiczne jest, że w takiej sytuacji zmiana decyzji doprowadzi do zwycięstwa.
Jeśli gospodarz otworzy drzwi na chybił trafił, nie mając pojęcia, co kryje się za każdym z nich, to szanse na wygraną zawsze będą równe pięćdziesiąt procent. W takim przypadku samochód może również znajdować się za otwartymi drzwiami prowadzącymi.
Gospodarz może w 100% otworzyć drzwi kozą, jeśli gracz wybrał samochód, a z prawdopodobieństwem 50%, jeśli wybrał kozę. Przy takim algorytmie działań, jeśli gracz zmieni wybór, zawsze wygra w jednym przypadku z dwóch.
Gdy gra jest powtarzana w kółko, a prawdopodobieństwo, że dane drzwi zwyciężą, jest zawsze arbitralne (a także jakie drzwi otworzy gospodarz, a on wie, gdzie schowany jest samochód, a drzwi zawsze otwiera kozą i proponuje zmianę wyboru) – szansa na wygraną zawsze będzie jedna na trzy. Nazywa się to równowagą Nasha.
Podobnie jak w tym samym przypadku, ale pod warunkiem, że gospodarz nie musi w ogóle otwierać jednych z drzwi, prawdopodobieństwo wygranej nadal będzie wynosić 1/3.
Chociaż schemat klasyczny jest dość łatwy do przetestowania, w praktyce znacznie trudniej jest eksperymentować z innymi możliwymi algorytmami zachowania lidera. Ale przy należytej skrupulatności eksperymentatora jest to również możliwe.
A jednak po co to wszystko?
Zrozumienie mechanizmów działania wszelkich paradoksów logicznych jest bardzo przydatne dla człowieka, jego mózgu i zrozumienia, jak świat może faktycznie działać, jak bardzo jego urządzenie może się różnić od zwykłego wyobrażenia o nim jednostki.
Im więcej człowiek wie o tym, jak działa to, co go otacza w codziennym życiu, a o czym w ogóle nie jest przyzwyczajony, tym lepiej działa jego świadomość i tym skuteczniej może być w swoich działaniach i dążeniach.
Decyzja, która na pierwszy rzut oka jest sprzeczna ze zdrowym rozsądkiem.
Encyklopedyczny YouTube
-
1 / 5
Zadanie sformułowane jako opis Gry na podstawie amerykańskiego Gra telewizyjna"Let's Make a Deal" i nosi nazwę gospodarza tego programu. Najczęstsze sformułowanie tego problemu, opublikowane w: 1990 w dzienniku Magazyn paradny, brzmi tak:
Wyobraź sobie, że stałeś się uczestnikiem gry, w której musisz wybrać jedno z trzech drzwi. Za jednymi z drzwi jest samochód, za dwojgiem innych drzwi - kozy. Wybierasz jedne z drzwi, np. numer 1, po czym gospodarz, który wie gdzie jest samochód i gdzie są kozy, otwiera jedne z pozostałych drzwi np. numer 3, za którymi stoi koza. Następnie pyta cię - czy chciałbyś zmienić swój wybór i wybrać drzwi numer 2? Czy twoja szanse wygrać samochód, jeśli zaakceptujesz ofertę gospodarza i zmienisz swój wybór? Po publikacji od razu stało się jasne, że problem został sformułowany niepoprawnie: nie określono wszystkich warunków. Na przykład facylitator może zastosować strategię „piekielnego Monty”: zaoferować zmianę wyboru wtedy i tylko wtedy, gdy gracz wybrał samochód w pierwszym ruchu. Oczywiście zmiana początkowego wyboru doprowadzi w takiej sytuacji do gwarantowanej straty (patrz niżej).
Najpopularniejszy jest problem z dodatkowym warunkiem – uczestnik gry zna z góry następujące zasady:
- samochód z równym prawdopodobieństwem zostanie umieszczony za którymkolwiek z trzech drzwi;
- w każdym przypadku gospodarz ma obowiązek otworzyć drzwi z kozą (ale nie tą, którą wybrał gracz) i zaproponować graczowi zmianę wyboru;
- jeśli lider ma wybór, które z dwojga drzwi otworzyć, wybiera jedno z nich z takim samym prawdopodobieństwem.
Poniższy tekst omawia problem Monty'ego Halla w tym sformułowaniu.
Rozbiór gramatyczny zdania
Dla zwycięskiej strategii ważne jest, co następuje: jeśli zmienisz wybór drzwi po działaniach lidera, wygrasz, jeśli początkowo wybrałeś przegrywające drzwi. To prawdopodobnie się wydarzy 2 ⁄ 3 , ponieważ początkowo możesz wybrać przegrywające drzwi na 2 sposoby z 3.
Ale często, rozwiązując ten problem, spierają się mniej więcej tak: gospodarz zawsze na końcu usuwa jedne tracące drzwi, a wtedy prawdopodobieństwo pojawienia się samochodu za dwoma nieotwartymi staje się równe ½, niezależnie od początkowego wyboru. Ale to nieprawda: chociaż rzeczywiście istnieją dwie możliwości wyboru, te możliwości (biorąc pod uwagę tło) nie są jednakowo prawdopodobne! Dzieje się tak, ponieważ początkowo wszystkie drzwi miały równe szanse na wygraną, ale potem miały różne szanse na wyeliminowanie.
Dla większości ludzi ten wniosek jest sprzeczny intuicyjny percepcji sytuacji, a ze względu na rozbieżność między logicznym wnioskiem a odpowiedzią, do której skłania intuicyjna opinia, zadanie nazywa się paradoks Monty Hall.
Sytuacja z drzwiami staje się jeszcze bardziej oczywista, jeśli wyobrazimy sobie, że nie ma 3 drzwi, ale powiedzmy 1000, a po wyborze gracza gospodarz usuwa 998 dodatkowych drzwi, pozostawiając 2 drzwi: te, które wybrał gracz i jeszcze jedno . Bardziej oczywiste wydaje się, że prawdopodobieństwa znalezienia nagrody za tymi drzwiami są różne i nie są równe ½. Jeśli zmienimy drzwi, przegramy tylko wtedy, gdy jako pierwsze wybraliśmy drzwi z nagrodami, których prawdopodobieństwo wynosi 1:1000. Wygrywamy, jeśli naszym początkowym wyborem było nie poprawne, a prawdopodobieństwo tego wynosi 999 na 1000. W przypadku 3 drzwi logika jest zachowana, ale prawdopodobieństwo wygranej przy zmianie decyzji jest odpowiednio niższe, a mianowicie 2 ⁄ 3 .
Innym sposobem rozumowania jest zastąpienie warunku równoważnym. Wyobraźmy sobie, że zamiast gracza dokonującego początkowego wyboru (niech zawsze będą to drzwi nr 1), a następnie otwierającego drzwi z kozą wśród pozostałych (czyli zawsze między nr 2 a nr 3), wyobraźmy sobie, że gracz musi odgadnąć drzwi za pierwszym razem, ale jest z góry informowany, że za drzwiami nr 1 z początkowym prawdopodobieństwem (33%) może znajdować się samochód, a wśród pozostałych drzwi jest wskazane, dla których drzwi samochód zdecydowanie nie jest w tyle (0%). W związku z tym ostatnie drzwi zawsze będą stanowiły 67%, a strategia ich wyboru jest preferowana.
Inne zachowanie lidera
Klasyczna wersja paradoksu Monty Hall mówi, że gospodarz poprosi gracza o zmianę drzwi, niezależnie od tego, czy wybrał samochód, czy nie. Możliwe jest jednak również bardziej złożone zachowanie gospodarza. W tej tabeli pokrótce opisano kilka zachowań.
Możliwe zachowanie lidera Zachowanie gospodarza Wynik „Infernal Monty”: Gospodarz proponuje zmianę, jeśli drzwi są prawidłowe. Zmiana zawsze da kozę. „Angelic Monty”: Gospodarz proponuje zmianę, jeśli drzwi są złe. Zmiana zawsze da samochód. „Ignorant Monty” lub „Monty Buch”: gospodarz niechcący upada, drzwi się otwierają i okazuje się, że za nimi nie ma samochodu. Innymi słowy sam gospodarz nie wie, co jest za drzwiami, otwiera drzwi zupełnie na chybił trafił i tylko przypadkiem nie było za nimi auta. Zmiana daje wygraną w ½ przypadków.
Tak układa się amerykański program „Deal or No Deal” - jednak sam gracz otwiera losowe drzwi, a jeśli za nimi nie ma samochodu, prezenter proponuje zmianę.Gospodarz wybiera jedną z kóz i otwiera ją, jeśli gracz wybrał inne drzwi. Zmiana daje wygraną w ½ przypadków. Gospodarz zawsze otwiera kozę. Jeśli wybrany jest samochód, lewa koza jest otwierana z prawdopodobieństwem p i dobrze z prawdopodobieństwem q=1−p. Jeśli lider otworzył lewe drzwi, przesunięcie daje wygraną z prawdopodobieństwem 1 1 + p (\displaystyle (\frac (1)(1+p))). Jeśli słuszne 1 1 + q (\displaystyle (\frac (1)(1+q))). Podmiot nie może jednak wpływać na prawdopodobieństwo, że otworzą się właściwe drzwi – niezależnie od jego wyboru, stanie się to z prawdopodobieństwem 1 + q 3 (\displaystyle (\frac (1+q)(3))). To samo, p=q= ½ (przypadek klasyczny). Zmiana daje wygraną z prawdopodobieństwem 2 ⁄ 3 . To samo, p=1, q=0 ("bezsilny Monty" - zmęczony prezenter stoi przy lewych drzwiach i otwiera bliższą kozę). Jeśli prezenter otworzy właściwe drzwi, zmiana daje gwarantowaną wygraną. Jeśli zostanie - prawdopodobieństwo ½. Gospodarz zawsze otwiera kozę, jeśli zostanie wybrany samochód, a z prawdopodobieństwem ½ w przeciwnym razie. Zmiana daje wygraną z prawdopodobieństwem ½. Ogólny przypadek: gra powtarza się wiele razy, prawdopodobieństwo ukrycia auta za tymi lub innymi drzwiami, a także otwarcia tych lub innych drzwi jest arbitralne, ale gospodarz wie, gdzie jest samochód i zawsze proponuje zmianę otwierając któreś z kozy. Równowaga Nasha: to paradoks Monty Halla w jego klasycznej formie jest najbardziej korzystny dla gospodarza (prawdopodobieństwo wygranej 2 ⁄ 3 ). Samochód chowa się za którymkolwiek z drzwi z prawdopodobieństwem ⅓; jeśli jest wybór, otwórz losowo dowolną kozę. To samo, ale gospodarz może w ogóle nie otworzyć drzwi. Równowaga Nasha: dla gospodarza korzystne jest, aby nie otwierać drzwi, prawdopodobieństwo wygranej wynosi ⅓. Zobacz też
Uwagi
- Tierney, John (21 lipca 1991), „Za Drzwiami MontyHall: Łamigłówka, Debata i Odpowiedź? ", New York Times,
