สมการคืออะไร?
สมการเป็นหนึ่งในแนวคิดหลักสำคัญของคณิตศาสตร์ทั้งหมด ทั้งโรงเรียนและอุดมศึกษา มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะคิดออกใช่ไหม? นอกจากนี้ นี่เป็นแนวคิดที่เรียบง่ายมาก ดูตัวเองด้านล่าง :) แล้วสมการคืออะไร?
ความจริงที่ว่าคำนี้มีรากเดียวกันกับคำว่า "เท่าเทียมกัน" "ความเท่าเทียมกัน" ฉันคิดว่าไม่ได้ทำให้เกิดข้อโต้แย้งจากใครเลย สมการคือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์สองตัวที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายเท่ากับ “=” แต่... ไม่ใช่แค่อะไรก็ได้ และอันที่มี (อย่างน้อยหนึ่งรายการ) ประกอบด้วย ปริมาณที่ไม่รู้จัก . หรือในลักษณะอื่น ปริมาณตัวแปร . หรือเรียกสั้น ๆ ว่า “ตัวแปร” อาจมีตัวแปรได้ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป ในวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน สมการด้วย หนึ่งตัวแปร. ซึ่งโดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษรx . หรืออักษรตัวสุดท้ายอื่นของอักษรละติน -ย , z , ที และอื่น ๆ
ในตอนนี้ เราจะพิจารณาสมการด้วยตัวแปรตัวเดียวด้วย มีตัวแปรสองตัวขึ้นไป - ในบทเรียนพิเศษ
การแก้สมการหมายความว่าอย่างไร?
ไปข้างหน้า. ตัวแปรในนิพจน์ที่รวมอยู่ในสมการสามารถรับค่าที่ถูกต้องใดๆ ได้ นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมมันถึงแปรผัน :) สำหรับค่าบางค่าของตัวแปรจะได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง แต่สำหรับค่าอื่น ๆ มันไม่ใช่ แก้สมการ- นี่หมายถึงการค้นหาค่าดังกล่าวทั้งหมดของตัวแปรเมื่อทำการแทนค่าเหล่านั้น ต้นฉบับ สมการปรากฎ ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง . หรือในเชิงวิทยาศาสตร์มากกว่านั้น ตัวตน. ตัวอย่างเช่น 5=5, 0=0, -10=-10 และอื่นๆ :) หรือพิสูจน์ว่าไม่มีค่าตัวแปรดังกล่าว
ฉันเน้นไปที่คำว่า "ดั้งเดิม" โดยเฉพาะ เหตุใดจึงจะชัดเจนด้านล่าง
ค่าของตัวแปรเหล่านี้เมื่อมีการทดแทนสมการที่กลายเป็นเอกลักษณ์ถูกเรียกอย่างสวยงามมาก - รากของสมการ. หากพิสูจน์ได้ว่าไม่มีค่าดังกล่าว ในกรณีนี้ก็จะเรียกว่าสมการ ไม่มีราก.
เหตุใดจึงจำเป็นต้องมีสมการ?
ทำไมเราต้องมีสมการ? ประการแรก สมการเป็นเครื่องมือที่ทรงพลังและอเนกประสงค์ที่สุด การแก้ปัญหา . แตกต่างกันมาก :) ตามกฎแล้วที่โรงเรียนพวกเขาทำงานด้วย ปัญหาคำศัพท์. งานเหล่านี้เป็นงานด้านความเคลื่อนไหว งาน เปอร์เซ็นต์ และอื่นๆ อีกมากมาย อย่างไรก็ตาม การใช้สมการไม่ได้จำกัดอยู่เพียงปัญหาของโรงเรียนเกี่ยวกับสระว่ายน้ำ ท่อ รถไฟ และอุจจาระ :)
หากไม่มีความสามารถในการเขียนและแก้สมการ ก็เป็นไปไม่ได้เลยที่จะแก้ไขปัญหาทางวิทยาศาสตร์ร้ายแรงใดๆ ทั้งทางกายภาพ วิศวกรรมศาสตร์ หรือเศรษฐศาสตร์ เช่น คำนวณตำแหน่งที่จรวดจะชน หรือตอบคำถามว่าโครงสร้างที่สำคัญบางอย่าง (เช่น ลิฟต์หรือสะพาน) จะรับน้ำหนักบรรทุกได้หรือไม่ หรือพยากรณ์สภาพอากาศ การขึ้น (หรือลง) ของราคาหรือรายได้...
โดยทั่วไปสมการคือ - บุคคลสำคัญในการแก้ปัญหาด้านคอมพิวเตอร์ที่หลากหลาย
มีสมการอะไรบ้าง?
สมการทางคณิตศาสตร์มีมากมายนับไม่ถ้วน ที่สุด ประเภทต่างๆ. อย่างไรก็ตาม สมการทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็น 4 คลาสเท่านั้น:
1) เชิงเส้น
2) สี่เหลี่ยม
3) เศษส่วน (หรือเศษส่วน-ตรรกยะ)
4) อื่น ๆ
สมการประเภทต่างๆ ต้องใช้แนวทางที่แตกต่างกันในการแก้โจทย์ เช่น สมการเชิงเส้นแก้ได้ด้วยวิธีหนึ่ง สมการกำลังสองในอีกวิธีหนึ่ง สมการเศษส่วนในวิธีที่สาม ตรีโกณมิติ ลอการิทึม เลขชี้กำลัง และอื่นๆ ก็แก้ได้โดยใช้วิธีการของตัวเองเช่นกัน
แน่นอนว่ายังมีสมการอื่นอีกมากมาย สิ่งเหล่านี้ได้แก่ สมการไม่ลงตัว ตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม และสมการอื่นๆ อีกมากมาย และแม้แต่สมการเชิงอนุพันธ์ (สำหรับนักเรียน) โดยที่ไม่ทราบไม่ใช่ตัวเลขแต่ การทำงาน.หรือแม้กระทั่งฟังก์ชั่นทั้งตระกูล :) ในบทเรียนที่เกี่ยวข้องเราจะวิเคราะห์สมการทุกประเภทเหล่านี้โดยละเอียด และที่นี่เรามีเทคนิคพื้นฐานที่สามารถนำไปประยุกต์แก้ไขได้ ใด ๆ อย่างแน่นอน(ใช่ มีก็ได้!) สมการ เทคนิคเหล่านี้เรียกว่า การแปลงสมการที่เท่ากัน . มีเพียงสองคนเท่านั้น และไม่มีทางรอบตัวพวกเขา เอาล่ะมาทำความรู้จักกันเถอะ!
จะแก้สมการได้อย่างไร? การแปลงสมการที่เหมือนกัน (เทียบเท่า)
สารละลาย ใดๆสมการประกอบด้วยการแปลงนิพจน์ที่รวมอยู่ในนั้นทีละขั้นตอน แต่ไม่ใช่แค่การเปลี่ยนแปลงใดๆ เท่านั้น แต่เป็นเช่นนั้น แก่นแท้ของสมการทั้งหมดไม่เปลี่ยนแปลง. แม้ว่าหลังจากการเปลี่ยนแปลงแต่ละครั้งสมการจะเปลี่ยนไปและท้ายที่สุดจะแตกต่างไปจากเดิมโดยสิ้นเชิง การเปลี่ยนแปลงทางคณิตศาสตร์ดังกล่าวเรียกว่า เทียบเท่า หรือ เหมือนกัน . ในบรรดาการแปลงสมการที่เหมือนกันหลากหลายรูปแบบ มีสิ่งหนึ่งที่โดดเด่น สองพื้นฐาน. เราจะพูดถึงพวกเขา ใช่ ใช่ แค่สองคนเท่านั้น! และแต่ละคนสมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษ การใช้การแปลงที่เหมือนกันทั้งสองนี้ในลำดับเดียวรับประกันความสำเร็จในการแก้สมการทั้งหมด 99%
เอาล่ะมาทำความรู้จักกันเถอะ!
การแปลงข้อมูลระบุตัวตนครั้งแรก:
คุณสามารถเพิ่ม (หรือลบ) ตัวเลขหรือนิพจน์ใดๆ (แต่เหมือนกัน!) (รวมถึงที่มีตัวแปร) ลงทั้งสองข้างของสมการได้
สาระสำคัญของสมการจะยังคงเหมือนเดิม คุณใช้การแปลงนี้ทุกที่ โดยคิดแบบไร้เดียงสาว่าคุณกำลังถ่ายโอนพจน์บางคำจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่ง โดยเปลี่ยนเครื่องหมาย :)
ตัวอย่างเช่น สมการเจ๋งๆ นี้:
ไม่มีอะไรต้องคิดที่นี่: ย้ายลบสามไปทางขวา เปลี่ยนลบเป็นบวก:
แต่เกิดอะไรขึ้นจริงๆ? แต่ในความเป็นจริงแล้วคุณ บวกสามทั้งสองข้างของสมการ! แบบนี้:
แก่นแท้ของสมการทั้งหมดจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อบวกสามเข้าทั้งสองข้าง ทางด้านซ้ายยังคงเป็น X บริสุทธิ์ (ซึ่งในความเป็นจริงแล้วเรากำลังพยายามทำให้สำเร็จ) และทางขวาไม่ว่าจะเกิดอะไรขึ้นก็ตาม
การโอนเงื่อนไขจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งคือ เวอร์ชันย่อการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ครั้งแรก ข้อผิดพลาดเดียวที่คุณสามารถทำได้ที่นี่คือลืมเปลี่ยนป้ายเมื่อทำการโอน ตัวอย่างเช่น สมการนี้:
มันไม่ใช่เรื่องที่ซับซ้อน เราทำงานโดยตรงตามคาถา: โดยมี X อยู่ทางซ้าย โดยไม่มี X อยู่ทางขวา เทอมที่มี X อยู่ทางขวาคือข้อใด? อะไร 2x? ผิด! ทางขวาเรามี -2x (ลบ x สองอัน)! ดังนั้นคำนี้จึงจะโอนไปฝั่งซ้าย ด้วยเครื่องหมายบวก :
การต่อสู้เสร็จสิ้นไปครึ่งหนึ่งแล้ว X's ถูกรวบรวมไว้ทางด้านซ้าย สิ่งที่เหลืออยู่คือย้ายหน่วยไปทางขวา คำถามอีกครั้งคือ - มีสัญญาณอะไร? ไม่มีสิ่งใดเขียนไว้ทางด้านซ้ายหน้าหน่วย ซึ่งหมายความว่าจะต้องนำหน้าหน่วย บวก. ดังนั้น เลข 1 จะเลื่อนไปทางขวา ด้วยเครื่องหมายลบ:
นั่นคือเกือบทั้งหมด ทางด้านซ้ายเรานำเสนอสิ่งที่คล้ายกัน และทางขวาเรานับพวกมัน และเราได้รับ:
ตอนนี้เรามาวิเคราะห์กลไกของเราด้วยเงื่อนไขการโอน เราทำอะไรเมื่อเราเลื่อน -2x ไปทางซ้าย? ใช่! เรา เพิ่มทั้งสองส่วนของสมการชั่วร้ายของเรา พจน์คือ 2x ฉันบอกคุณแล้วว่าเรามีสิทธิ์บวก (ลบ) ตัวเลขใดก็ได้และแม้แต่นิพจน์ที่มี X! ตราบใดที่มันเป็นเรื่องเดียวกัน :) แล้วคุณเลื่อนอัน 1 ไปทางขวาเมื่อไหร่? ถูกต้องที่สุด! เรา ลบออกจากทั้งสองข้างของสมการหนึ่ง. แค่นั้นแหละ.) นั่นคือจุดรวมของการแปลงที่เท่ากันครั้งแรก
หรือตัวอย่างนี้สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย:
สมการเป็นลอการิทึม แล้วไงล่ะ? ใครสน? อย่างไรก็ตาม ขั้นตอนแรกคือทำการแปลงข้อมูลประจำตัวพื้นฐาน - เราย้ายคำที่มีตัวแปร (นั่นคือ -log 3 x) ไปทางซ้าย และเราย้ายบันทึกนิพจน์ตัวเลข 3 4 ไปทางขวา แน่นอนว่ามีการเปลี่ยนสัญญาณ:
นั่นคือทั้งหมดที่ ใครก็ตามที่คุ้นเคยกับลอการิทึมจะเติมสมการในหัวให้สมบูรณ์และได้รับ:
อะไร คุณต้องการไซน์ไหม? กรุณานี่คือไซน์:
เราทำการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันครั้งแรกอีกครั้ง - เราถ่ายโอน บาป xไปทางซ้าย (มีเครื่องหมายลบ) และเลื่อน -1/4 ไปทางขวา (มีเครื่องหมายบวก):
เราได้รับสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดกับไซน์ ซึ่งก็ไม่ยากสำหรับผู้รู้ที่จะแก้เช่นกัน
มาดูกันว่าการแปลงที่เทียบเท่าครั้งแรกนั้นเป็นสากลแค่ไหน! พบได้ทุกที่ทุกเวลาและไม่มีทางที่จะหลีกเลี่ยงได้ ดังนั้นคุณจะต้องสามารถทำได้โดยอัตโนมัติ สิ่งสำคัญคืออย่าลืมเปลี่ยนป้ายเมื่อโอน! เรายังคงทำความคุ้นเคยกับการแปลงสมการที่เหมือนกันต่อไป)
การเปลี่ยนแปลงตัวตนครั้งที่สอง:
ทั้งสองด้านของสมการสามารถคูณ (หาร) ด้วยจำนวนหรือนิพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์เดียวกันได้
เรายังใช้การแปลงที่เหมือนกันนี้อยู่ตลอดเวลาเมื่อสัมประสิทธิ์บางอย่างในสมการมารบกวนเราและเราต้องการกำจัดมันออกไป ปลอดภัยต่อสมการนั่นเอง :) ตัวอย่างเช่น สมการที่ชั่วร้ายนี้:
เป็นที่ชัดเจนสำหรับทุกคนที่นี่ว่า x = 3. คุณเดาได้อย่างไร? คุณหยิบมันขึ้นมา? หรือคุณชี้นิ้วไปที่ท้องฟ้าแล้วเดา?
เพื่อไม่ให้เลือกและเดา (เราเป็นนักคณิตศาสตร์ทุกคน ไม่ใช่หมอดู :)) คุณต้องเข้าใจว่าคุณเป็นเพียง แบ่งทั้งสองข้างของสมการสำหรับสี่ ซึ่งเป็นสิ่งที่รบกวนใจเรา
แบบนี้:
แท่งแบ่งนี้หมายความว่าพวกมันถูกหารด้วยสี่ ทั้งสองส่วนสมการของเรา ด้านซ้ายทั้งหมดและด้านขวาทั้งหมด:
ทางด้านซ้าย สี่ส่วนจะลดลงอย่างปลอดภัย และ x ยังคงแยกออกจากกันอย่างสวยงาม และทางขวา เมื่อหาร 12 ด้วย 4 ผลลัพธ์ก็คือ 3 แน่นอน :)
หรือสมการนี้:
จะทำอย่างไรกับหนึ่งในเจ็ด? ย้ายใช่มั้ย? ไม่ คุณไม่สามารถ! หนึ่งในเจ็ดเกี่ยวข้องกับการคูณ x ค่าสัมประสิทธิ์ คุณก็เข้าใจ :) คุณไม่สามารถแยกค่าสัมประสิทธิ์และย้ายแยกจาก X ได้ เฉพาะนิพจน์ทั้งหมด (1/7)x แต่ก็ไม่จำเป็น :) มาจำเรื่องการคูณ/หารกันอีกครั้ง อะไรหยุดเรา? เศษส่วนคือ 1/7 ใช่ไหม? ดังนั้นเรามากำจัดมันกันเถอะ ยังไง? และผลจากการกระทำใดที่เราสูญเสียเศษส่วนไป? เศษส่วนของเราจะหายไปเมื่อ การคูณด้วยจำนวนที่เท่ากับตัวส่วน! ลองคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 7:
ทางด้านซ้าย เซเว่นจะลดลงและเหลือเพียง X เดียว และทางด้านขวา หากคุณจำตารางสูตรคูณได้ คุณจะได้ 21:
ตอนนี้เป็นตัวอย่างสำหรับนักเรียนมัธยมปลาย:
เพื่อให้ได้ค่า x และด้วยเหตุนี้จึงแก้สมการตรีโกณมิติชั่วร้ายของเรา เราต้องได้โคไซน์บริสุทธิ์ทางด้านซ้ายก่อน โดยไม่มีสัมประสิทธิ์ใดๆ แต่ผีสางก็เข้ามาขวางทาง :) ดังนั้นเราจึงหารด้านซ้ายทั้งหมดด้วย 2:
แต่ทางด้านขวาจะต้องถูกหารด้วยสองด้วย ซึ่งคณิตศาสตร์กำหนดไว้แล้ว แบ่ง:
เราได้รับค่าตารางของโคไซน์ทางด้านขวา และตอนนี้สมการก็ได้รับการแก้ไขแล้วสำหรับจิตวิญญาณอันแสนหวาน)
ทุกอย่างชัดเจนกับการคูณ/หารหรือไม่? ยอดเยี่ยม! แต่… ความสนใจ!การเปลี่ยนแปลงนี้แม้จะเรียบง่าย แต่ก็มีแหล่งที่มาของข้อผิดพลาดที่น่ารำคาญมาก! ก็เรียกว่า การสูญเสียราก และ การได้มาซึ่งรากต่างประเทศ .
ฉันได้กล่าวไปแล้วข้างต้นว่าทั้งสองข้างของสมการสามารถคูณ (หาร) ด้วยจำนวนใดก็ได้หรือ การแสดงออกด้วย x. แต่มีข้อแม้ที่สำคัญอย่างหนึ่ง: สำนวนที่เราคูณ (หาร) จะต้องเป็น แตกต่างจากศูนย์ . จุดนี้เองที่หลายคนเพิกเฉยในตอนแรกซึ่งนำไปสู่ข้อผิดพลาดอันโชคร้ายดังกล่าว จริงๆ แล้ว ความหมายของข้อจำกัดนี้ชัดเจน การคูณด้วยศูนย์ถือเป็นเรื่องโง่ และโดยทั่วไปไม่อนุญาตให้ทำการหาร ลองคิดดูว่าอะไรคืออะไร? เริ่มต้นด้วยการแบ่งและ การสูญเสียราก .
สมมติว่าเรามีสมการนี้:
ตรงนี้คุณอยากจะหารทั้งสองข้างของสมการด้วยวงเล็บร่วม (x-1):
สมมติว่างาน Unified State Exam บอกว่าให้หาผลรวมของรากของสมการนี้ เราจะเขียนอะไรตอบ? สาม? หากคุณตัดสินใจว่าเป็นสามคุณก็แล้ว ถูกซุ่มโจมตี. เรียกว่า “การสูญเสียราก” :) เกิดอะไรขึ้น?
ลองเปิดวงเล็บในสมการดั้งเดิมแล้วรวบรวมทุกอย่างทางด้านซ้าย:
เราได้สมการกำลังสองแบบคลาสสิก เราแก้โจทย์โดยการเลือกปฏิบัติ (หรือผ่านทฤษฎีบทของเวียตา) และได้รากสองอัน:
ดังนั้นผลรวมของรากคือ 1+3 = 4 สี่ ไม่ใช่สาม! รากของเรา “หายไป” ที่ไหน?
x = 1
ด้วยวิธีแก้ปัญหาแรก? และอันหนึ่งของเราหายไปเมื่อเราหารทั้งสองส่วนด้วยวงเล็บ (x-1) ทำไมมันถึงเกิดขึ้น? และทั้งหมดเป็นเพราะที่ x = 1 วงเล็บนี้ (x-1) จึงถูกรีเซ็ตเป็นศูนย์ และเรามีสิทธิที่จะหารด้วยเท่านั้น การแสดงออกที่ไม่เป็นศูนย์! จะหลีกเลี่ยงการสูญเสียรูทนี้ได้อย่างไร? และการสูญเสียรากโดยทั่วไป? ในการดำเนินการนี้ ประการแรก ก่อนที่จะหารด้วยนิพจน์บางตัวด้วย x เราจะเพิ่มเงื่อนไขว่านิพจน์นี้แตกต่างจากศูนย์เสมอ และเราพบว่า ศูนย์ของนิพจน์นี้. เช่นนี้ (ใช้สมการของเราเป็นตัวอย่าง):
และประการที่สอง เพื่อไม่ให้รากบางส่วนหายไปในระหว่างกระบวนการแบ่ง เราต้องตรวจสอบแยกกันว่าเป็นตัวเลือกสำหรับราก ทั้งหมด ศูนย์ของนิพจน์ของเรา (อันที่เราหารด้วย). ยังไง? เพียงแค่ใส่พวกเขาเข้าไป สมการดั้งเดิมและนับ ในกรณีของเรา เราจะตรวจสอบสิ่งหนึ่ง:
ทุกอย่างยุติธรรม ดังนั้นหนึ่งคือราก!
โดยทั่วไปแล้วในอนาคตควรพยายามหลีกเลี่ยงอยู่เสมอ หน่วยงาน ไปยังนิพจน์ที่มี X การสูญเสียรากเป็นสิ่งที่อันตรายและน่ารำคาญมาก! ใช้วิธีการอื่น - เปิดวงเล็บและโดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแยกตัวประกอบ. การแยกตัวประกอบเป็นวิธีที่ง่ายและปลอดภัยที่สุดในการหลีกเลี่ยงการสูญเสียราก ในการทำเช่นนี้ เรารวบรวมทุกอย่างทางด้านซ้าย จากนั้นเรานำตัวประกอบร่วม (ซึ่งเราต้องการ "ลด" ด้วย) ออกจากวงเล็บ แยกตัวประกอบออกเป็นตัวประกอบ จากนั้นให้นำตัวประกอบผลลัพธ์แต่ละตัวมาเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น สมการของเราสามารถแก้ได้ค่อนข้างไม่เป็นอันตราย ไม่เพียงแต่การลดทอนให้เป็นกำลังสองเท่านั้น แต่ยังแก้โดยการแยกตัวประกอบด้วย ดูด้วยตัวคุณเอง:
ย้ายนิพจน์ทั้งหมด (x-1) ไปทางซ้าย ด้วยเครื่องหมายลบ:
เรานำ (x-1) ออกจากวงเล็บเป็นปัจจัยร่วมแล้วแยกตัวประกอบ:
สินค้าเป็นศูนย์เมื่อ มีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวที่เป็นศูนย์. ตอนนี้เราถือเอา (ในใจเรา!) แต่ละวงเล็บเป็นศูนย์และรับรากที่สองที่ถูกต้อง:
และไม่มีแม้แต่รากเดียวที่หายไป!
ตอนนี้เรามาดูสถานการณ์ตรงกันข้าม - การได้มาซึ่งรากต่างประเทศ สถานการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อ การคูณ ทั้งสองด้านของสมการกับนิพจน์ด้วย x มักเกิดขึ้นเมื่อแก้สมการตรรกยะเศษส่วน ตัวอย่างเช่น สมการง่ายๆ นี้:
เป็นเรื่องที่คุ้นเคย - เราคูณทั้งสองข้างด้วยตัวส่วนเพื่อกำจัดเศษส่วนและรับสมการไม้บรรทัด:
เราแบ่งแต่ละปัจจัยให้เป็นศูนย์และรับค่ารากสองค่า:
ทุกอย่างดูเหมือนจะดี แต่มาลองทำการตรวจสอบเบื้องต้นกัน และถ้า ณ x = 0ทุกอย่างจะเติบโตไปพร้อมๆ กันอย่างสวยงาม เราจะได้อัตลักษณ์ 2=2 แล้วเมื่อไร x = 1ซึ่งจะส่งผลให้มีการหารด้วยศูนย์ สิ่งที่คุณทำไม่ได้อย่างแน่นอน อันหนึ่งไม่เหมาะเป็นรากของสมการของเรา ในกรณีเช่นนี้ว่ากันว่า x = 1- ที่เรียกว่า รากภายนอก . หนึ่งคือรากของสมการใหม่ที่ไม่มีเศษส่วน x(x-1) = 0,แต่ ไม่ใช่ราก ต้นฉบับสมการเศษส่วน รากต่างประเทศนี้ปรากฏอย่างไร? ปรากฏเมื่อทั้งสองฝ่ายคูณด้วยตัวส่วน x-1.ซึ่งที่ x = 1แค่ไปที่ศูนย์! และเรามีสิทธิ์คูณด้วยนิพจน์อื่นที่ไม่ใช่ศูนย์เท่านั้น!
จะเป็นอย่างไร? อย่าคูณเลยเหรอ? แล้วเราจะไม่สามารถแก้ไขอะไรได้เลย ฉันควรตรวจสอบทุกครั้งหรือไม่? สามารถ. แต่มักจะต้องใช้แรงงานมากหากสมการเริ่มต้นซับซ้อนเกินไป ในกรณีเช่นนี้ จดหมายวิเศษสามฉบับก็เข้ามาช่วยเหลือ - ODZ เกี่ยวกับพื้นที่ ดีละเว้น ซีความสำเร็จ และเพื่อที่จะแยกการปรากฏตัวของรากที่ไม่เกี่ยวข้องเมื่อคูณด้วยนิพจน์ด้วย X คุณต้องเขียน ODZ เพิ่มเติมเสมอ ในกรณีของเรา:
ด้วยข้อจำกัดนี้ คุณสามารถคูณทั้งสองข้างด้วยตัวส่วนได้อย่างปลอดภัย ทั้งหมด ผลกระทบที่เป็นอันตรายเราจะแยกออกจากการคูณดังกล่าว (เช่น รากที่ไม่เกี่ยวข้อง) ตาม ODZ และเราจะทิ้งอันหนึ่งของเราอย่างไร้ความปราณี
ดังนั้นการปรากฏตัวของรากภายนอกจึงไม่อันตรายเท่ากับการสูญเสีย: ODZ เป็นสิ่งที่ทรงพลัง และแข็งแกร่ง เธอจะกำจัดทุกสิ่งที่ไม่จำเป็นออกไปเสมอ :) ODZ และฉันจะเป็นเพื่อนกันและจะได้รู้จักกันโดยละเอียดในบทเรียนแยกต่างหาก
นั่นคือการแปลงที่เหมือนกันทั้งหมด) มีเพียงสองเท่านั้น อย่างไรก็ตามนักเรียนที่ไม่มีประสบการณ์อาจประสบปัญหาบางประการที่เกี่ยวข้อง ลำดับการใช้งาน: ในบางกรณีเริ่มต้นด้วยการคูณ (หรือการหาร) ส่วนตัวอย่างอื่น ๆ - ด้วยการโอน ตัวอย่างเช่น สมการเชิงเส้นนี้:
จะเริ่มตรงไหน? คุณสามารถเริ่มต้นด้วยการโอน:
หรือคุณสามารถหารทั้งสองส่วนด้วยห้าก่อนแล้วจึงโอน จากนั้นตัวเลขจะง่ายขึ้นและนับได้ง่ายขึ้น:
อย่างที่เราเห็นเป็นไปได้ทั้งสองวิธี ดังนั้นจึงมีคำถามเกิดขึ้นกับนักเรียนบางคนว่า “ข้อไหนถูกต้อง” คำตอบ: “ถูกต้องทุกประการ!” แล้วแต่สะดวกสำหรับคุณ :) ตราบใดที่การกระทำของคุณไม่ขัดแย้งกับกฎของคณิตศาสตร์ และลำดับของการกระทำเหล่านี้ขึ้นอยู่กับความชอบและนิสัยส่วนตัวของผู้ตัดสินใจเท่านั้น อย่างไรก็ตามด้วยประสบการณ์คำถามดังกล่าวจะหายไปเองและในท้ายที่สุดมันจะไม่ใช่คณิตศาสตร์ที่จะสั่งคุณ แต่คุณจะสั่งคณิตศาสตร์ :)
โดยสรุปฉันอยากจะพูดแยกกันเกี่ยวกับสิ่งที่เรียกว่า การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันตามเงื่อนไข, ใช้ได้สำหรับ เงื่อนไขบางประการ. เช่น การยกกำลังทั้งสองข้างของสมการให้มีกำลังเท่ากัน หรือแยกรากออกจากทั้งสองส่วน หากเลขชี้กำลังเป็นเลขคี่ แสดงว่าไม่มีข้อจำกัด - สร้างและแยกข้อมูลโดยไม่ต้องกลัว แต่ถ้าเป็นเลขคู่ การแปลงจะเหมือนกันก็ต่อเมื่อ ทั้งสองด้านของสมการไม่เป็นลบ. เราจะพูดถึงข้อผิดพลาดเหล่านี้โดยละเอียดในหัวข้อเกี่ยวกับสมการไม่ลงตัว
สมการ
จะแก้สมการได้อย่างไร?
ในส่วนนี้ เราจะจำ (หรือศึกษา ขึ้นอยู่กับผู้ที่คุณเลือก) สมการเบื้องต้นที่สุด แล้วสมการคืออะไร? ในภาษามนุษย์ นี่คือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์บางประเภทที่มีเครื่องหมายเท่ากับและไม่ทราบค่า ซึ่งโดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษร "เอ็กซ์". แก้สมการ- นี่คือการค้นหาค่าของ x ที่เมื่อแทนค่าเข้าไป ต้นฉบับการแสดงออกจะทำให้เรามีตัวตนที่ถูกต้อง ฉันขอเตือนคุณว่าอัตลักษณ์คือการแสดงออกที่ไม่ต้องสงสัย แม้แต่กับบุคคลที่ไม่มีภาระกับความรู้ทางคณิตศาสตร์เลยก็ตาม เช่น 2=2, 0=0, ab=ab เป็นต้น แล้วจะแก้สมการได้อย่างไร?ลองคิดดูสิ
มีสมการทุกประเภท (แปลกใจใช่ไหม?) แต่ความหลากหลายอันไม่มีที่สิ้นสุดทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสี่ประเภทเท่านั้น
4. อื่น.)
แน่นอนว่าที่เหลือทั้งหมด ที่สำคัญที่สุด ใช่...) ซึ่งได้แก่ ลูกบาศก์ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และอื่นๆ อีกมากมาย เราจะทำงานอย่างใกล้ชิดกับพวกเขาในส่วนที่เหมาะสม
ฉันจะบอกทันทีว่าบางครั้งสมการของสามประเภทแรกก็เสียหายมากจนคุณจำไม่ได้ด้วยซ้ำ... ไม่มีอะไร เราจะเรียนรู้วิธีผ่อนคลายพวกเขา
และเหตุใดเราจึงต้องมีสี่ประเภทนี้? แล้วไงต่อ สมการเชิงเส้นแก้ได้ด้วยวิธีเดียว สี่เหลี่ยมคนอื่น, เหตุผลเศษส่วน - ที่สามก พักผ่อนพวกเขาไม่กล้าเลย! ไม่ใช่ว่าพวกเขาตัดสินใจไม่ได้เลย แต่ฉันผิดวิชาคณิตศาสตร์) เพียงแต่พวกเขามีเทคนิคและวิธีการพิเศษเป็นของตัวเอง
แต่สำหรับสิ่งใด ๆ (ฉันขอย้ำ - เพื่อ ใดๆ!) สมการให้พื้นฐานที่เชื่อถือได้และปลอดภัยสำหรับการแก้ปัญหา ทำงานได้ทุกที่และตลอดเวลา รองพื้นตัวนี้ - ฟังดูน่ากลัวแต่มันง่ายมาก และมาก (มาก!)สำคัญ.
จริงๆ แล้ว การแก้สมการประกอบด้วยการแปลงพวกนี้เหมือนกัน 99% ตอบคำถาม: " จะแก้สมการได้อย่างไร?" อยู่ในการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้อย่างชัดเจน คำใบ้ชัดเจนหรือไม่)
การแปลงสมการที่เหมือนกัน
ใน สมการใดๆหากต้องการค้นหาสิ่งที่ไม่ทราบ คุณต้องแปลงและทำให้ตัวอย่างดั้งเดิมง่ายขึ้น และเมื่อรูปลักษณ์เปลี่ยนไป แก่นแท้ของสมการไม่เปลี่ยนแปลงการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเรียกว่า เหมือนกันหรือเทียบเท่า.
โปรดทราบว่าการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้มีผล โดยเฉพาะสมการนอกจากนี้ยังมีการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วย การแสดงออกนี่เป็นอีกหัวข้อหนึ่ง
ตอนนี้เราจะทำซ้ำทั้งหมด ทั้งหมด ทั้งหมด ขั้นพื้นฐาน การแปลงสมการที่เหมือนกัน
พื้นฐานเพราะสามารถประยุกต์เข้ากับ ใดๆสมการ - เชิงเส้น กำลังสอง เศษส่วน ตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ฯลฯ และอื่น ๆ
การแปลงข้อมูลระบุตัวตนครั้งแรก: คุณสามารถเพิ่ม (ลบ) ทั้งสองข้างของสมการใดก็ได้ ใดๆ(แต่เหมือนกัน!) ตัวเลขหรือสำนวน (รวมถึงสำนวนที่ไม่รู้จักด้วย!) สิ่งนี้ไม่ได้เปลี่ยนแก่นแท้ของสมการ
ยังไงก็ตาม คุณใช้การแปลงนี้ตลอดเวลา คุณแค่คิดว่าคุณกำลังโอนเทอมบางเทอมจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย พิมพ์:
กรณีนี้เป็นที่คุ้นเคย เราย้ายทั้งสองไปทางขวา และเราได้รับ:
ที่จริงแล้วคุณ เอาออกไปจากทั้งสองข้างของสมการคือสอง ผลลัพธ์ก็เหมือนกัน:
x+2 - 2 = 3 - 2
การย้ายเงื่อนไขไปทางซ้ายและขวาโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นเพียงเวอร์ชันย่อของการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ครั้งแรก และเหตุใดเราจึงต้องมีความรู้เชิงลึกเช่นนี้? - คุณถาม. ไม่มีสิ่งใดในสมการ เพื่อประโยชน์ของพระเจ้า อดทนไว้ อย่าลืมเปลี่ยนป้ายด้วย แต่ในความไม่เท่าเทียมกัน นิสัยในการโอนย้ายสามารถนำไปสู่ทางตันได้...
การเปลี่ยนแปลงตัวตนครั้งที่สอง: ทั้งสองด้านของสมการสามารถคูณ (หาร) ด้วยสิ่งเดียวกันได้ ไม่ใช่ศูนย์หมายเลขหรือการแสดงออก ข้อ จำกัด ที่เข้าใจได้ปรากฏขึ้นที่นี่แล้ว: การคูณด้วยศูนย์นั้นโง่และการหารนั้นเป็นไปไม่ได้เลย นี่คือการแปลงที่คุณใช้เมื่อคุณแก้อะไรเจ๋งๆ แบบนี้
ก็เป็นที่ชัดเจน เอ็กซ์= 2. คุณค้นพบมันได้อย่างไร? โดยการคัดเลือก? หรือมันเพิ่งจะเริ่มต้นกับคุณ? เพื่อไม่ให้เลือกและไม่รอความเข้าใจคุณต้องเข้าใจว่าคุณเป็นคนยุติธรรม แบ่งทั้งสองข้างของสมการ 5 เท่า เมื่อหารทางด้านซ้าย (5x) ทั้ง 5 ตัวก็ลดลงเหลือเพียง X ล้วนๆ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการจริงๆ และเมื่อหารด้านขวาของ (10) ด้วย 5 ผลลัพธ์ก็คือ 2 แน่นอน
นั่นคือทั้งหมดที่
มันตลกดี แต่การแปลงที่เหมือนกันทั้งสอง (เพียงสองเท่านั้น!) นี้เป็นพื้นฐานของวิธีแก้ปัญหา สมการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดว้าว! มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะดูตัวอย่างของอะไรและอย่างไรใช่ไหม?)
ตัวอย่างการแปลงสมการที่เหมือนกัน ปัญหาหลัก
เริ่มต้นด้วย อันดับแรกการเปลี่ยนแปลงตัวตน โอนซ้าย-ขวา
เป็นตัวอย่างแก่น้องๆ)
สมมติว่าเราต้องแก้สมการต่อไปนี้:
3-2x=5-3x
มาจำคาถากัน: "มี X - ไปทางซ้าย ไม่มี X - ไปทางขวา!"คาถานี้เป็นคำแนะนำในการใช้การแปลงข้อมูลประจำตัวครั้งแรก) นิพจน์ที่มี X อยู่ทางขวาคืออะไร? 3x? คำตอบไม่ถูกต้อง! ทางด้านขวามือของเรา - 3x! ลบสามเอ็กซ์! ดังนั้นเมื่อเคลื่อนไปทางซ้ายเครื่องหมายจะเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายบวก มันจะเปิดออก:
3-2x+3x=5
ดังนั้น X's จึงถูกรวบรวมเป็นกอง เรามาเข้าเรื่องตัวเลขกันดีกว่า มีสามอันทางซ้าย ด้วยสัญญาณอะไร? ไม่ยอมรับคำตอบว่า "ไม่มีเลย"!) ต่อหน้าทั้งสามนั้นไม่มีอะไรถูกดึงออกมาจริงๆ และนี่หมายความว่าก่อนทั้งสามจะมี บวกนักคณิตศาสตร์จึงตกลงกัน ไม่มีอะไรเขียนซึ่งหมายความว่า บวกดังนั้นทริปเปิลจะถูกโอนไปทางด้านขวา ด้วยเครื่องหมายลบเราได้รับ:
-2x+3x=5-3
เหลือเพียงเรื่องเล็กๆ น้อยๆ เท่านั้น ทางซ้าย - นำอันที่คล้ายกันมาทางขวา - นับ คำตอบมาทันที:
ในตัวอย่างนี้ การแปลงข้อมูลประจำตัวเพียงครั้งเดียวก็เพียงพอแล้ว อันที่สองไม่จำเป็น โอเค.)
ตัวอย่างสำหรับเด็กโต)
หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...
ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้
ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ที่เราเผชิญหน้ากันเป็นครั้งแรก สมการที่มีตัวแปรสองตัวแต่มีการศึกษาเฉพาะในบริบทของระบบสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัวเท่านั้น นั่นคือสาเหตุที่ปัญหาทั้งชุดซึ่งมีเงื่อนไขบางประการเกิดขึ้นกับสัมประสิทธิ์ของสมการที่จำกัดเงื่อนไขเหล่านั้นให้อยู่นอกสายตา นอกจากนี้ วิธีการแก้ปัญหาเช่น “แก้สมการในจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนเต็ม” ก็จะถูกละเว้นเช่นกัน แม้ว่าใน สื่อการสอบ Unified Stateและต่อไป การสอบเข้าปัญหาประเภทนี้เริ่มมีมากขึ้นเรื่อยๆ
สมการใดจะเรียกว่าสมการที่มีตัวแปรสองตัว
ตัวอย่างเช่น สมการ 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 หรือ xy = 12 เป็นสมการที่อยู่ในตัวแปรสองตัว
พิจารณาสมการ 2x – y = 1 มันจะเป็นจริงเมื่อ x = 2 และ y = 3 ดังนั้นค่าตัวแปรคู่นี้จึงเป็นคำตอบของสมการที่เป็นปัญหา
ดังนั้นการแก้สมการใด ๆ ที่มีตัวแปรสองตัวคือชุดของคู่อันดับ (x; y) ซึ่งเป็นค่าของตัวแปรที่เปลี่ยนสมการนี้ให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง
สมการที่มีไม่ทราบค่าสองตัวสามารถ:
ก) มีทางออกหนึ่งทางตัวอย่างเช่น สมการ x 2 + 5y 2 = 0 มี การตัดสินใจเท่านั้น (0; 0);
ข) มีหลายโซลูชั่นตัวอย่างเช่น (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 มีคำตอบ 4 แบบ: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2); - 2);
วี) ไม่มีวิธีแก้ปัญหาตัวอย่างเช่น สมการ x 2 + y 2 + 1 = 0 ไม่มีคำตอบ
ช) มีทางแก้มากมายนับไม่ถ้วนตัวอย่างเช่น x + y = 3 ผลเฉลยของสมการนี้จะเป็นตัวเลขที่ผลรวมเท่ากับ 3 ชุดคำตอบของสมการนี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบ (k; 3 – k) โดยที่ k เป็นจำนวนจริงใดๆ ตัวเลข.
วิธีการหลักในการแก้สมการที่มีตัวแปรสองตัวคือวิธีการที่ใช้นิพจน์การแยกตัวประกอบ การแยกกำลังสองสมบูรณ์ โดยใช้คุณสมบัติของสมการกำลังสอง นิพจน์ที่จำกัด และวิธีการประมาณค่า โดยปกติสมการจะถูกแปลงเป็นรูปแบบที่สามารถหาระบบในการค้นหาสิ่งที่ไม่ทราบได้
การแยกตัวประกอบ
ตัวอย่างที่ 1
แก้สมการ: xy – 2 = 2x – y
สารละลาย.
เราจัดกลุ่มคำศัพท์ตามวัตถุประสงค์ของการแยกตัวประกอบ:
(xy + y) – (2x + 2) = 0 จากแต่ละวงเล็บ เราจะหาตัวประกอบร่วมออกมา:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0 เรามี:
y = 2, x – จำนวนจริงใดๆ หรือ x = -1, y – จำนวนจริงใดๆ
ดังนั้น, คำตอบคือทุกคู่ของแบบฟอร์ม (x; 2), x € R และ (-1; y), y € R
ความเท่ากันของจำนวนที่ไม่เป็นลบเป็นศูนย์
ตัวอย่างที่ 2
แก้สมการ: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y)
สารละลาย.
การจัดกลุ่ม:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0 ตอนนี้แต่ละวงเล็บสามารถพับได้โดยใช้สูตรผลต่างกำลังสอง
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0
ผลรวมของนิพจน์ที่ไม่ใช่เชิงลบสองตัวจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ 3x – 2 = 0 และ 2y – 3 = 0
ซึ่งหมายความว่า x = 2/3 และ y = 3/2
คำตอบ: (2/3; 3/2)
วิธีการประมาณค่า
ตัวอย่างที่ 3
แก้สมการ: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2
สารละลาย.
ในแต่ละวงเล็บเราเลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2 ลองประมาณกัน 
ความหมายของสำนวนในวงเล็บ
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 และ (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 ดังนั้นด้านซ้ายของสมการจะมีค่าอย่างน้อย 2 เสมอ ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นได้หาก:
(x + 1) 2 + 1 = 1 และ (y – 2) 2 + 2 = 2 ซึ่งหมายถึง x = -1, y = 2
คำตอบ: (-1; 2)
มาทำความรู้จักกับวิธีอื่นในการแก้สมการด้วยตัวแปรสองตัวในระดับที่สอง วิธีนี้ประกอบด้วยการรักษาสมการดังนี้ กำลังสองเทียบกับตัวแปรบางตัว.
ตัวอย่างที่ 4
แก้สมการ: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0
สารละลาย.
ลองแก้สมการเป็นสมการกำลังสองของ x กัน เรามาค้นหาความแตกต่างกัน:
ง = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . สมการจะมีคำตอบก็ต่อเมื่อ D = 0 นั่นคือถ้า y = 4 เราจะแทนค่า y ลงในสมการดั้งเดิมแล้วพบว่า x = 3
คำตอบ: (3; 4)
บ่อยครั้งอยู่ในสมการที่มีสิ่งไม่รู้สองตัวที่ระบุ ข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวแปร.
ตัวอย่างที่ 5
แก้สมการด้วยจำนวนเต็ม: x 2 + 5y 2 = 20x + 2
สารละลาย.
ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ x 2 = -5y 2 + 20x + 2 ทางด้านขวาของสมการเมื่อหารด้วย 5 จะได้เศษเป็น 2 ดังนั้น x 2 จึงหารด้วย 5 ไม่ลงตัว แต่กำลังสองของ a จำนวนที่หารด้วย 5 ไม่ลงตัวจะให้เศษเป็น 1 หรือ 4 ดังนั้น ความเท่าเทียมกันจึงเป็นไปไม่ได้และไม่มีวิธีแก้
คำตอบ: ไม่มีราก
ตัวอย่างที่ 6
แก้สมการ: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3
สารละลาย.
เรามาเน้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์ในแต่ละวงเล็บ:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3 ทางด้านซ้ายของสมการมักจะมากกว่าหรือเท่ากับ 3 เสมอ หากมีความเท่าเทียมกัน |x| – 2 = 0 และ y + 3 = 0 ดังนั้น x = ± 2, y = -3
คำตอบ: (2; -3) และ (-2; -3)
ตัวอย่างที่ 7
สำหรับจำนวนเต็มลบทุกคู่ (x;y) จะเป็นไปตามสมการ
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, คำนวณผลรวม (x + y) โปรดระบุจำนวนเงินที่น้อยที่สุดในคำตอบของคุณ
สารละลาย.
มาเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37 เนื่องจาก x และ y เป็นจำนวนเต็ม กำลังสองของมันจึงเป็นจำนวนเต็มด้วย เราจะได้ผลรวมของกำลังสองของจำนวนเต็มสองตัวเท่ากับ 37 ถ้าเราบวก 1 + 36 ดังนั้น:
(x – y) 2 = 36 และ (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 และ (y + 2) 2 = 36
เมื่อแก้ระบบเหล่านี้และพิจารณาว่า x และ y เป็นลบ เราจะพบวิธีแก้ปัญหา: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8)
คำตอบ: -17
อย่าสิ้นหวังหากคุณมีปัญหาในการแก้สมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว ด้วยการฝึกฝนเพียงเล็กน้อย คุณก็จะจัดการกับสมการต่างๆ ได้
ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่ทราบวิธีแก้สมการในตัวแปรสองตัวใช่ไหม?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!
เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา
สมการคือความเท่าเทียมกันที่มีตัวอักษรซึ่งจะต้องค้นหาค่า
ในสมการ สิ่งที่ไม่ทราบมักจะแสดงด้วยตัวพิมพ์เล็ก อักษรละติน. ตัวอักษรที่ใช้บ่อยที่สุดคือ "x" [ix] และ "y" [y]
- รากของสมการ- นี่คือค่าของตัวอักษรที่ได้รับความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้องจากสมการ
- แก้สมการ- หมายถึง ค้นหารากให้หมด หรือต้องแน่ใจว่าไม่มีราก
เมื่อแก้สมการแล้ว เราจะเขียนเช็คไว้หลังคำตอบเสมอ
ข้อมูลสำหรับผู้ปกครอง
เรียนคุณพ่อคุณแม่ เราขอดึงความสนใจของคุณไปที่ข้อเท็จจริงดังกล่าว โรงเรียนประถมและชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 เด็กจะไม่รู้หัวข้อ “จำนวนลบ”
ดังนั้นจึงต้องแก้สมการโดยใช้เพียงคุณสมบัติของการบวก ลบ คูณหารเท่านั้น วิธีการแก้สมการสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 มีดังต่อไปนี้
อย่าพยายามอธิบายการแก้สมการโดยการโอนตัวเลขและตัวอักษรจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยที่เครื่องหมายเปลี่ยน
คุณสามารถทบทวนแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับการบวก การลบ การคูณ และการหารได้ในบทเรียน "กฎเลขคณิต"
การแก้สมการการบวกและการลบ
วิธีค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก
ภาคเรียน
วิธีค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก
ข้อเสีย
วิธีค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก
ต่ำกว่า
หากต้องการค้นหาคำที่ไม่รู้จัก คุณต้องลบคำที่ทราบออกจากผลรวม
หากต้องการค้นหา minuend ที่ไม่รู้จัก คุณต้องเพิ่มส่วนย่อยให้กับส่วนต่าง
ในการหาค่าลบที่ไม่รู้จัก คุณต้องลบผลต่างออกจากค่า minuend
x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
การตรวจสอบ
x - 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
การตรวจสอบ
16 − 2 = 14
14 = 14
5 - x = 3
x = 5 − 3
x = 2
การตรวจสอบ
การแก้สมการการคูณและการหาร
วิธีค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก
ปัจจัย
วิธีค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก
เงินปันผล
วิธีค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก
ตัวแบ่ง
หากต้องการค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบ คุณต้องหารผลคูณด้วยปัจจัยที่ทราบ
หากต้องการหาเงินปันผลที่ไม่ทราบ คุณต้องคูณผลหารด้วยตัวหาร
หากต้องการหาตัวหารที่ไม่รู้จัก คุณต้องหารเงินปันผลด้วยผลหาร
ปี 4 = 12
ย=12:4
ย=3
การตรวจสอบ
ย: 7 = 2
ย = 2 7
ย=14
การตรวจสอบ
8:y=4
ย=8:4
ย=2
การตรวจสอบ
สมการคือความเท่าเทียมกันที่มีตัวอักษรซึ่งต้องพบเครื่องหมาย วิธีแก้สมการคือชุดของค่าตัวอักษรที่เปลี่ยนสมการให้มีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง:
จำได้ว่าต้องแก้ สมการคุณต้องโอนเงื่อนไขที่ไม่รู้จักไปยังส่วนหนึ่งของความเท่าเทียมกัน และเงื่อนไขที่เป็นตัวเลขไปยังอีกส่วนหนึ่ง นำเงื่อนไขที่คล้ายกันและรับความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
จากความเท่าเทียมกันครั้งล่าสุด เราจะหาค่าที่ไม่รู้จักตามกฎ: "หนึ่งในปัจจัยเท่ากับผลหารหารด้วยปัจจัยที่สอง"
เนื่องจากจำนวนตรรกยะ a และ b สามารถมีค่าและเท่ากันได้ สัญญาณที่แตกต่างกันจากนั้นเครื่องหมายของสิ่งที่ไม่รู้จักจะถูกกำหนดโดยกฎสำหรับการหารจำนวนตรรกยะ
ขั้นตอนการแก้สมการเชิงเส้น
สมการเชิงเส้นจะต้องทำให้ง่ายขึ้นโดยการเปิดวงเล็บและดำเนินการขั้นตอนที่สอง (การคูณและการหาร)
ย้ายสิ่งที่ไม่รู้จักไปด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ และตัวเลขไปอีกด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ จะได้ค่าเท่ากันกับเครื่องหมายที่กำหนด
นำสิ่งที่คล้ายกันไปทางซ้ายและขวาของเครื่องหมายเท่ากับเพื่อให้ได้รูปแบบที่เท่าเทียมกัน ขวาน = ข.
คำนวณรากของสมการ (หาค่าที่ไม่ทราบ เอ็กซ์จากความเท่าเทียมกัน x = ข : ก),
ตรวจสอบโดยการแทนที่ค่าที่ไม่รู้จักลงในสมการที่กำหนด
หากเราได้รับข้อมูลประจำตัวในความเท่าเทียมกันของตัวเลข สมการก็จะได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง
กรณีพิเศษของการแก้สมการ
- ถ้า สมการเมื่อให้ผลคูณเท่ากับ 0 จากนั้นเพื่อแก้โจทย์ เราใช้คุณสมบัติของการคูณ: “ผลคูณจะเท่ากับศูนย์ถ้าตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งหรือทั้งสองตัวเท่ากับศูนย์”
- ขยายวงเล็บ ถ้ามี
- ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรไปด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ และย้ายเทอมที่ไม่มีตัวแปรไปอีกด้านหนึ่ง
- ระบุเงื่อนไขที่คล้ายกันทางซ้ายและขวาของเครื่องหมายเท่ากับ
- หารสมการผลลัพธ์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$
- สมการนี้ไม่มีคำตอบเลย ตัวอย่างเช่น เมื่อผลลัพธ์เช่น $0\cdot x=8$ ปรากฏออกมา นั่นคือ ทางซ้ายเป็นศูนย์ และทางขวาเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ ในวิดีโอด้านล่าง เราจะดูสาเหตุหลายประการที่ทำให้สถานการณ์นี้เป็นไปได้
- ผลเฉลยคือตัวเลขทั้งหมด กรณีเดียวที่เป็นไปได้คือเมื่อสมการลดลงเหลือโครงสร้าง $0\cdot x=0$ มันค่อนข้างสมเหตุสมผลที่ไม่ว่าเราจะแทนที่ $x$ อะไรก็ตาม มันก็ยังกลายเป็น "ศูนย์เท่ากับศูนย์" เช่น ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง
- ก่อนอื่น คุณต้องขยายวงเล็บ (ถ้ามี) (ดังตัวอย่างที่แล้ว)
- จากนั้นจึงผสมให้เข้ากัน
- สุดท้าย ให้แยกตัวแปรออก เช่น ย้ายทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร - ข้อกำหนดที่มีอยู่ - ไปด้านหนึ่ง และย้ายทุกสิ่งที่เหลือโดยไม่มีตัวแปรไปยังอีกด้านหนึ่ง
- ขยายวงเล็บออก ถ้ามี
- เราแยกตัวแปรต่างๆ เช่น เราย้ายทุกอย่างที่มี "X's" ไปด้านหนึ่ง และทุกอย่างที่ไม่มี "X's" ไปอีกด้านหนึ่ง
- เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน
- เราหารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x"
- อย่างที่ผมบอกไปแล้ว ไม่ใช่ทุกสมการเชิงเส้นจะมีวิธีแก้ปัญหา บางครั้งมันก็ไม่มีรากเลย
- แม้ว่าจะมีราก แต่ก็อาจมีศูนย์อยู่ด้วย - ไม่มีอะไรผิดปกติ
- แยกตัวแปร
- กำจัดเศษส่วน.
- เปิดวงเล็บ
- เอาอันที่คล้ายกันมาด้วย
- หารด้วยอัตราส่วน.
- รู้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น
- ความสามารถในการเปิดวงเล็บ
- ไม่ต้องกังวลหากคุณเห็น ฟังก์ชันกำลังสองเป็นไปได้มากว่าในกระบวนการของการเปลี่ยนแปลงเพิ่มเติมพวกเขาจะลดลง
- สมการเชิงเส้นมีรากอยู่สามประเภท แม้แต่รากที่ง่ายที่สุด: รากเดียว เส้นจำนวนทั้งหมดคือราก และไม่มีรากเลย
- สมการไม่ลงตัว: การเรียนรู้การแก้โดยใช้วิธีแยกราก
- วิธีแก้สมการกำลังสอง
- ทดสอบบทเรียน “สำนวนเชิงซ้อนกับเศษส่วน” (ง่าย)
- Trial Unified State Exam 2012 ตั้งแต่วันที่ 7 ธันวาคม ตัวเลือก 1 (ไม่มีลอการิทึม)
- บทเรียนวิดีโอเกี่ยวกับปัญหา C2: ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ
- ครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์: จะหานักเรียนได้ที่ไหน?
27 (x - 3) = 0
27 ไม่เท่ากับ 0 ซึ่งหมายถึง x - 3 = 0
ตัวอย่างที่สองมีสองคำตอบของสมการ เนื่องจาก
นี่คือสมการระดับที่สอง:
หากสัมประสิทธิ์ของสมการเป็นเศษส่วนสามัญ ก่อนอื่นคุณต้องกำจัดตัวส่วนออก สำหรับสิ่งนี้:
ค้นหาตัวส่วนร่วม
หาปัจจัยเพิ่มเติมสำหรับแต่ละเทอมของสมการ
คูณตัวเศษของเศษส่วนและจำนวนเต็มด้วยปัจจัยเพิ่มเติมและเขียนเงื่อนไขทั้งหมดของสมการโดยไม่มีตัวส่วน (ตัวส่วนร่วมสามารถละทิ้งได้)
ย้ายพจน์ที่ไม่ทราบค่าไปด้านหนึ่งของสมการ และย้ายพจน์ที่เป็นตัวเลขจากเครื่องหมายเท่ากับไปอีกด้านหนึ่ง เพื่อให้ได้ค่าความเท่าเทียมกัน
นำสมาชิกที่คล้ายกัน;
คุณสมบัติพื้นฐานของสมการ
ในส่วนใดๆ ของสมการ คุณสามารถเพิ่มคำศัพท์ที่คล้ายกันหรือเปิดวงเล็บได้
พจน์ใดๆ ของสมการสามารถถ่ายโอนจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม
ทั้งสองด้านของสมการสามารถคูณ (หาร) ด้วยจำนวนเดียวกัน ยกเว้น 0
ในตัวอย่างข้างต้น คุณสมบัติทั้งหมดถูกใช้เพื่อแก้สมการ
กฎสำหรับการแก้สมการง่ายๆ
ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับคนที่มาก”ไม่มาก »
และสำหรับใครที่”เป็นอย่างมากนั้น ")
สมการเชิงเส้น
สมการเชิงเส้นไม่ใช่ที่สุด หัวข้อที่ซับซ้อน คณิตศาสตร์ของโรงเรียน. แต่มีเทคนิคบางอย่างที่สามารถไขปริศนาได้แม้แต่นักเรียนที่ผ่านการฝึกอบรมแล้ว ลองคิดดูสิ?)
โดยทั่วไปสมการเชิงเส้นถูกกำหนดให้เป็นสมการของรูปแบบ:
ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม? โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณไม่สังเกตเห็นคำว่า: “โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขใดๆ”. และถ้าคุณสังเกตและคิดอย่างไม่ระมัดระวังล่ะ?) ถ้าอย่างนั้น ก=0, ข=0(ตัวเลขใด ๆ ที่เป็นไปได้?) จากนั้นเราจะได้สำนวนตลก:
แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! ถ้าพูดว่า ก=0,ก ข=5,นี่กลายเป็นสิ่งที่ไม่ธรรมดาโดยสิ้นเชิง:
ซึ่งเป็นเรื่องเครียดและบั่นทอนความมั่นใจในวิชาคณิตศาสตร์ครับ) โดยเฉพาะช่วงสอบ แต่จากสำนวนแปลกๆ เหล่านี้ คุณต้องหา X ด้วย! ซึ่งไม่มีอยู่เลย และที่น่าประหลาดใจคือ X นี้หาง่ายมาก เราจะเรียนรู้การทำเช่นนี้ ในบทเรียนนี้
จะจดจำสมการเชิงเส้นตามรูปลักษณ์ได้อย่างไร? มันขึ้นอยู่กับอะไร รูปร่าง.) เคล็ดลับก็คือ ไม่เพียงแต่สมการของแบบฟอร์มเท่านั้นที่ถูกเรียกว่าสมการเชิงเส้น ขวาน + ข = 0 แต่ยังรวมถึงสมการใดๆ ที่สามารถลดทอนให้อยู่ในรูปแบบนี้ได้ด้วยการแปลงและทำให้ง่ายขึ้น แล้วใครจะรู้ว่าจะลงหรือเปล่า?)
ในบางกรณีสามารถจดจำสมการเชิงเส้นได้อย่างชัดเจน สมมติว่าถ้าเรามีสมการที่มีแต่ค่าที่ไม่รู้จักในระดับแรกและตัวเลขเท่านั้น และในสมการก็ไม่มี เศษส่วนหารด้วย ไม่ทราบ , มันเป็นสิ่งสำคัญ! และแบ่งตาม ตัวเลข,หรือเศษส่วนตัวเลข ยินดีด้วย! ตัวอย่างเช่น:
นี่คือสมการเชิงเส้น มีเศษส่วนตรงนี้ แต่ไม่มี x อยู่ในสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลูกบาศก์ ฯลฯ และไม่มี x ในตัวส่วน เช่น เลขที่ หารด้วย x. และนี่คือสมการ
ไม่สามารถเรียกว่าเชิงเส้นได้ ตรงนี้ X ล้วนแต่อยู่ในระดับแรก แต่ก็มีอยู่ การหารด้วยนิพจน์ด้วย x. หลังจากลดความซับซ้อนและการแปลงแล้ว คุณจะได้สมการเชิงเส้น สมการกำลังสอง หรืออะไรก็ได้ที่คุณต้องการ
ปรากฎว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะจดจำสมการเชิงเส้นในตัวอย่างที่ซับซ้อนบางอย่างจนกว่าคุณจะเกือบจะแก้มันได้ นี่เป็นเรื่องที่น่าหงุดหงิด แต่ในงานมอบหมายตามกฎแล้วเขาไม่ถามถึงรูปแบบของสมการใช่ไหม? งานมอบหมายจะถามหาสมการ ตัดสินใจ.สิ่งนี้ทำให้ฉันมีความสุข)
การแก้สมการเชิงเส้น ตัวอย่าง.
โซลูชั่นทั้งหมด สมการเชิงเส้นประกอบด้วยการแปลงสมการที่เหมือนกัน อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ (สองรายการ!) เป็นพื้นฐานของการแก้ปัญหา สมการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดกล่าวอีกนัยหนึ่งคือการแก้ปัญหา ใดๆสมการเริ่มต้นด้วยการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ ในกรณีของสมการเชิงเส้น มัน (คำตอบ) จะขึ้นอยู่กับการแปลงเหล่านี้และจบลงด้วยคำตอบที่สมบูรณ์ ตามลิงค์ไปก็เข้าท่าใช่ไหม?) ยิ่งไปกว่านั้น ยังมีตัวอย่างการแก้สมการเชิงเส้นอยู่ที่นั่นด้วย
ก่อนอื่น เรามาดูตัวอย่างที่ง่ายที่สุดกันก่อน โดยไม่มีข้อผิดพลาดใดๆ สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้สมการนี้
นี่คือสมการเชิงเส้น X ทั้งหมดอยู่ในยกกำลังแรก ไม่มีการหารด้วย X แต่จริงๆ แล้ว มันไม่สำคัญสำหรับเราว่าสมการจะเป็นแบบไหน เราจำเป็นต้องแก้ไขมัน โครงการที่นี่เรียบง่าย รวบรวมทุกอย่างที่มีเครื่องหมาย X ทางด้านซ้ายของสมการ ทุกสิ่งที่ไม่มีเครื่องหมาย X (ตัวเลข) ทางด้านขวา
ในการทำเช่นนี้คุณต้องทำการโอน — 4x ไปทางซ้าย พร้อมเปลี่ยนป้ายแน่นอน และ — 3 - ไปทางขวา. โดยวิธีการนี้คือ การแปลงสมการที่เหมือนกันครั้งแรกน่าประหลาดใจ? ซึ่งหมายความว่าคุณไม่ได้ติดตามลิงก์ แต่ไร้ผล) เราได้รับ:
นี่คือสิ่งที่คล้ายกัน เราพิจารณา:
เราต้องการอะไรเพื่อความสุขที่สมบูรณ์? ใช่ เพื่อให้มี X บริสุทธิ์ทางด้านซ้าย! ห้าขวางทางอยู่ กำจัดทั้งห้าด้วยความช่วยเหลือ การแปลงสมการที่เหมือนกันครั้งที่สองกล่าวคือเราหารทั้งสองข้างของสมการด้วย 5 เราได้คำตอบพร้อมแล้ว:
แน่นอนว่าเป็นตัวอย่างเบื้องต้น นี่เป็นการวอร์มอัพ) ยังไม่ชัดเจนนักว่าทำไมฉันถึงจำการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันได้ที่นี่ ตกลง. เอาวัวข้างเขากันเถอะ) มาตัดสินใจอะไรที่มั่นคงกว่านี้กันดีกว่า
ตัวอย่างเช่น นี่คือสมการ:
เราจะเริ่มต้นที่ไหน? ด้วย X - ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา? อาจจะเป็นเช่นนั้น ก้าวเล็ก ๆ ไปตามถนนยาว หรือคุณสามารถทำได้ทันทีด้วยวิธีที่เป็นสากลและทรงพลัง แน่นอนว่าหากคุณมีการแปลงสมการที่เหมือนกันในคลังแสงของคุณ
ฉันถามคำถามสำคัญกับคุณ: คุณไม่ชอบอะไรมากที่สุดเกี่ยวกับสมการนี้
95 จาก 100 คนจะตอบว่า: เศษส่วน ! คำตอบนั้นถูกต้อง ดังนั้นเรามากำจัดพวกมันกันเถอะ ดังนั้นเราจึงเริ่มทันทีด้วย การเปลี่ยนแปลงตัวตนครั้งที่สอง. คุณต้องคูณเศษส่วนทางซ้ายด้วยอะไรจึงจะลดตัวส่วนลงได้หมด? ถูกต้องตอนตี 3 และทางขวา? คูณ 4 แต่คณิตศาสตร์ยอมให้เราคูณทั้งสองข้างได้ หมายเลขเดียวกัน. เราจะออกไปได้อย่างไร? ลองคูณทั้งสองข้างด้วย 12 กัน! เหล่านั้น. ถึงตัวส่วนร่วม จากนั้นทั้งสามและสี่ก็จะลดลง อย่าลืมว่าคุณต้องคูณแต่ละส่วน โดยสิ้นเชิง. ขั้นตอนแรกจะมีลักษณะดังนี้:
บันทึก! เศษ (x+2)ฉันใส่มันไว้ในวงเล็บแล้ว! เพราะเวลาคูณเศษส่วน ตัวเศษก็ต้องคูณด้วย! ตอนนี้คุณสามารถลดเศษส่วนได้:
ขยายวงเล็บที่เหลือ:
ไม่ใช่ตัวอย่างแต่ ความสุขที่แท้จริง!) ทีนี้มาจำคาถาตั้งแต่มัธยมต้นกันดีกว่า: มี X - ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา!และใช้การแปลงนี้:
และหารทั้งสองส่วนด้วย 25 นั่นคือ ใช้การแปลงครั้งที่สองอีกครั้ง:
นั่นคือทั้งหมดที่ คำตอบ: เอ็กซ์=0,16
โปรดทราบ: เพื่อนำสมการสับสนดั้งเดิมมาอยู่ในรูปแบบที่ดี เราใช้สอง (เพียงสอง!) การเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์– การแปลซ้าย-ขวาด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมายและการคูณหารของสมการด้วยจำนวนเดียวกัน นี่เป็นวิธีสากล! เราจะทำงานในลักษณะนี้ด้วย ใดๆ สมการ! ใครก็ได้อย่างแน่นอน นั่นเป็นเหตุผลที่ฉันซ้ำซากซ้ำซากเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันเหล่านี้ตลอดเวลา)
อย่างที่คุณเห็น หลักการแก้สมการเชิงเส้นนั้นง่ายมาก เราใช้สมการและทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้การแปลงที่เหมือนกันจนกว่าเราจะได้คำตอบ ปัญหาหลักอยู่ที่การคำนวณ ไม่ใช่หลักการของการแก้ปัญหา
แต่. มีเรื่องน่าประหลาดใจในกระบวนการแก้สมการเชิงเส้นระดับพื้นฐานที่สุดจนทำให้คุณมึนงงได้) โชคดีที่มีเรื่องน่าประหลาดใจได้เพียงสองเรื่องเท่านั้น เรามาเรียกพวกเขาว่ากรณีพิเศษกันดีกว่า
กรณีพิเศษในการแก้สมการเชิงเส้น
ความประหลาดใจครั้งแรก
สมมติว่าคุณเจอสมการพื้นฐานบางอย่าง เช่น:
เบื่อเล็กน้อยเราย้ายไปโดยให้ X ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา ด้วยการเปลี่ยนป้ายทุกอย่างเรียบร้อยดี เราได้รับ:
เราคิดและ อ๊ะ. เราได้รับ:
ความเท่าเทียมกันในตัวเองนี้เป็นสิ่งที่น่ารังเกียจไม่ได้ ศูนย์ก็คือศูนย์จริงๆ แต่ X หายไป! และเราต้องเขียนลงในคำตอบว่า x เท่ากับอะไร?ไม่อย่างนั้นจะไม่นับวิธีแก้ปัญหาใช่ไหม) การหยุดชะงัก?
เงียบสงบ! ในกรณีที่น่าสงสัย กฎทั่วไปส่วนใหญ่จะช่วยคุณได้ จะแก้สมการได้อย่างไร? การแก้สมการหมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่า หาค่าทั้งหมดของ x ซึ่งเมื่อแทนค่าลงในสมการดั้งเดิมแล้วจะทำให้เรามีความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง
แต่เรามีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง เรียบร้อยแล้วเกิดขึ้น! 0=0 แม่นกว่าขนาดไหน! ยังต้องดูว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นกับ x อะไร ค่า X ใดที่สามารถทดแทนได้ ต้นฉบับสมการถ้า x พวกนี้ พวกเขาจะยังคงลดลงเหลือศูนย์หรือไม่?มาเร็ว?)
ใช่. X ก็ใช้แทนกันได้ ใดๆ!คุณต้องการอันไหน? อย่างน้อย 5 อย่างน้อย 0.05 อย่างน้อย -220 พวกเขาจะยังคงหดตัว ไม่เชื่อก็ตรวจสอบได้) แทนค่า X ใดๆ ลงไป ต้นฉบับสมการและคำนวณ คุณจะได้รับความจริงอันบริสุทธิ์ตลอดเวลา: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 และอื่นๆ
นี่คือคำตอบของคุณ: x - ตัวเลขใด ๆ
คำตอบสามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันได้ สาระสำคัญไม่เปลี่ยนแปลง นี่เป็นคำตอบที่ถูกต้องและครบถ้วนสมบูรณ์
ความประหลาดใจครั้งที่สอง
ลองใช้สมการเชิงเส้นเบื้องต้นแบบเดียวกันแล้วเปลี่ยนตัวเลขเพียงตัวเดียวในนั้น นี่คือสิ่งที่เราจะตัดสินใจ:
หลังจากการแปลงที่เหมือนกัน เราก็ได้สิ่งที่น่าสนใจ:
แบบนี้. เราแก้สมการเชิงเส้นแล้วได้ความเท่าเทียมกันแปลกๆ ในแง่คณิตศาสตร์เราได้ ความเท่าเทียมกันที่ผิดพลาดและการพูด ในภาษาง่ายๆ, นี่ไม่เป็นความจริง. เรฟ. แต่ถึงกระนั้นก็ตาม เรื่องไร้สาระนี้เป็นเหตุผลที่ดีมากในการแก้สมการอย่างถูกต้อง)
เราคิดตามอีกครั้ง กฎทั่วไป. เมื่อแทนค่า x ในสมการเดิม เราจะได้อะไร จริงความเท่าเทียมกัน? ใช่ไม่มี! ไม่มีค่า X ดังกล่าว ใส่อะไรลงไปทุกอย่างก็ลดลงเหลือแต่เรื่องไร้สาระ)
นี่คือคำตอบของคุณ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
นี่เป็นคำตอบที่สมบูรณ์เช่นกัน ในทางคณิตศาสตร์มักพบคำตอบเช่นนี้
แบบนี้. ตอนนี้ ฉันหวังว่าการหายไปของ X ในกระบวนการแก้สมการใดๆ (ไม่ใช่แค่เชิงเส้น) จะไม่ทำให้คุณสับสนเลย นี่เป็นเรื่องคุ้นเคยอยู่แล้ว)
ตอนนี้เราได้จัดการกับหลุมพรางทั้งหมดในสมการเชิงเส้นแล้ว ก็สมเหตุสมผลที่จะแก้มัน
พวกเขาจะเข้าสอบ Unified State หรือไม่? - ฉันได้ยินคำถามของคนที่ใช้งานได้จริง ฉันตอบ. ในรูปแบบที่บริสุทธิ์ - ไม่ พื้นฐานเกินไป แต่ใน GIA หรือเมื่อแก้ไขปัญหาในการสอบ Unified State คุณจะพบพวกเขาอย่างแน่นอน! ดังนั้นเราจึงเปลี่ยนเมาส์เป็นปากกาแล้วตัดสินใจ
คำตอบได้รับความระส่ำระสาย: 2.5; ไม่มีวิธีแก้ปัญหา 51; 17.
เกิดขึ้น?! ยินดีด้วย! คุณมีโอกาสที่ดีในการสอบ)
คำตอบไม่ตรงกัน? อืม. สิ่งนี้ไม่ทำให้ฉันมีความสุข นี่ไม่ใช่หัวข้อที่คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้อง แนะนำให้ไปดูมาตรา 555 ครับ อธิบายไว้ละเอียดมาก อะไรจะต้องทำและ ยังไงทำเช่นนี้เพื่อไม่ให้สับสนในการตัดสินใจ โดยใช้สมการเหล่านี้เป็นตัวอย่าง
ก วิธีแก้สมการฉลาดแกมโกงมากขึ้น - นี่คือในหัวข้อถัดไป
หากคุณชอบเว็บไซต์นี้
ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
ที่นี่คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)
และที่นี่คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้
การแก้สมการเชิงเส้นเกรด 7
สำหรับ การแก้สมการเชิงเส้นใช้กฎพื้นฐานสองข้อ (คุณสมบัติ)
คุณสมบัติหมายเลข 1
หรือ
กฎการโอน
เมื่อถ่ายโอนจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งของสมการ สมาชิกของสมจะเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม
ลองดูกฎการโอนโดยใช้ตัวอย่าง สมมติว่าเราต้องแก้สมการเชิงเส้น
จำไว้ว่าสมการใดๆ ก็มีด้านซ้ายและขวา
ลองย้ายเลข "3" จากด้านซ้ายของสมการไปทางด้านขวา
เนื่องจากตัวเลข “3” มีเครื่องหมาย “+” ทางด้านซ้ายของสมการ หมายความว่า “3” จะถูกโอนไปทางด้านขวาของสมการที่มีเครื่องหมาย “−”
ได้รับ ค่าตัวเลข"x = 2" เรียกว่ารากของสมการ
อย่าลืมจดคำตอบหลังจากแก้สมการใดๆ แล้ว
ลองพิจารณาอีกสมการหนึ่ง
ตามกฎการโอนย้าย "4x" จากด้านซ้ายของสมการไปทางขวาโดยเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม
แม้ว่าจะไม่มีป้ายหน้า "4x" แต่เราเข้าใจว่ามีป้าย "+" ที่หน้า "4x"
ทีนี้ลองให้อันที่คล้ายกันแล้วแก้สมการจนจบ
คุณสมบัติหมายเลข 2
หรือ
กฎการแบ่ง
ในสมการใดๆ คุณสามารถหารด้านซ้ายและด้านขวาด้วยจำนวนเดียวกันได้
แต่คุณไม่สามารถแบ่งออกเป็นสิ่งที่ไม่รู้จักได้!
ลองดูตัวอย่างวิธีใช้กฎการหารเมื่อแก้สมการเชิงเส้น
ตัวเลข “4” ที่ย่อมาจาก “x” เรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขของสิ่งที่ไม่ทราบ
ระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขกับค่าไม่ทราบ จะต้องมีการคูณเสมอ
ในการแก้สมการ คุณต้องแน่ใจว่า "x" มีค่าสัมประสิทธิ์เป็น "1"
ลองถามตัวเองด้วยคำถาม: “เราควรหาร “4” ด้วยอะไรเพื่อที่จะได้
ได้ "1"? คำตอบชัดเจน คุณต้องหารด้วย "4"
เราใช้กฎการหารและหารด้านซ้ายและด้านขวาของสมการด้วย "4" อย่าลืมว่าต้องแบ่งทั้งส่วนซ้ายและขวา
ลองใช้การลดเศษส่วนแล้วแก้สมการเชิงเส้นจนจบ
วิธีแก้สมการถ้า "x" เป็นลบ
บ่อยครั้งในสมการมีสถานการณ์ที่ "x" มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นลบ เหมือนในสมการด้านล่างนี้
ในการแก้สมการดังกล่าว เราถามตัวเองอีกครั้งว่า "เราต้องหาร "−2" ด้วยอะไรจึงจะได้ "1"? คุณต้องหารด้วย “−2”
การแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย
ในวิดีโอนี้ เราจะวิเคราะห์สมการเชิงเส้นทั้งชุดที่แก้โดยใช้อัลกอริทึมเดียวกัน นั่นคือสาเหตุที่เรียกว่าสมการที่ง่ายที่สุด
ก่อนอื่น เรามานิยามกันดีกว่า: สมการเชิงเส้นคืออะไร และอันไหนเรียกว่าง่ายที่สุด?
สมการเชิงเส้นคือสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวและอยู่ที่ระดับแรกเท่านั้น
สมการที่ง่ายที่สุดหมายถึงการก่อสร้าง:
สมการเชิงเส้นอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกลดขนาดให้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดโดยใช้อัลกอริทึม:
แน่นอนว่าอัลกอริทึมนี้ไม่ได้ช่วยเสมอไป ความจริงก็คือบางครั้งหลังจากการใช้เครื่องจักรทั้งหมดนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$ จะเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ เป็นไปได้สองทางเลือก:
ตอนนี้เรามาดูกันว่าทั้งหมดนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างในชีวิตจริง
ตัวอย่างการแก้สมการ
วันนี้เรากำลังพูดถึงสมการเชิงเส้น และเฉพาะสมการที่ง่ายที่สุดเท่านั้น โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นหมายถึงความเท่าเทียมกันใดๆ ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวเท่านั้น และจะไปที่ระดับแรกเท่านั้น
โครงสร้างดังกล่าวได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกันโดยประมาณ:
ตามกฎแล้วคุณจะต้องนำสิ่งที่คล้ายกันมาในแต่ละด้านของความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นและหลังจากนั้นสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x" แล้วเราจะได้คำตอบสุดท้าย
ตามทฤษฎี สิ่งนี้ดูดีและเรียบง่าย แต่ในทางปฏิบัติ แม้แต่นักเรียนมัธยมปลายที่มีประสบการณ์ก็สามารถสร้างข้อผิดพลาดที่ไม่เหมาะสมในสมการเชิงเส้นที่ค่อนข้างง่ายได้ โดยทั่วไปแล้วข้อผิดพลาดจะเกิดขึ้นเมื่อเปิดวงเล็บหรือเมื่อคำนวณ "บวก" และ "ลบ"
นอกจากนั้น ยังเกิดขึ้นที่สมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบเลย หรือคำตอบคือเส้นจำนวนทั้งหมด กล่าวคือ หมายเลขใดก็ได้ เราจะดูรายละเอียดปลีกย่อยเหล่านี้ในบทเรียนของวันนี้ แต่เราจะเริ่มต้นด้วยงานที่ง่ายที่สุดตามที่คุณเข้าใจแล้ว
โครงการแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย
ก่อนอื่น ให้ฉันเขียนโครงร่างทั้งหมดสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดอีกครั้ง:
แน่นอนว่าโครงการนี้ไม่ได้ผลเสมอไปมีรายละเอียดปลีกย่อยและลูกเล่นบางอย่างอยู่และตอนนี้เราจะมาทำความรู้จักกับพวกเขา
การแก้ตัวอย่างจริงของสมการเชิงเส้นอย่างง่าย
ขั้นตอนแรกต้องการให้เราเปิดวงเล็บ แต่ไม่ได้อยู่ในตัวอย่างนี้ เราจึงข้ามขั้นตอนนี้ไป ในขั้นตอนที่ 2 เราต้องแยกตัวแปรต่างๆ ออก โปรดทราบ: เรากำลังพูดถึงเฉพาะข้อกำหนดส่วนบุคคลเท่านั้น ลองเขียนมันลงไป:
เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันทางซ้ายและขวา แต่ได้ดำเนินการไปแล้วที่นี่ ดังนั้นเราจึงไปยังขั้นตอนที่สี่: หารด้วยสัมประสิทธิ์:
ดังนั้นเราจึงได้คำตอบ
เราเห็นวงเล็บในปัญหานี้ ดังนั้นมาขยายกันดีกว่า:
ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาเราเห็นการออกแบบเดียวกันโดยประมาณ แต่ให้ดำเนินการตามอัลกอริทึมนั่นคือ การแยกตัวแปร:
งานนี้มีรากฐานมาจากอะไร? คำตอบ: สำหรับใด ๆ ดังนั้นเราจึงเขียนได้ว่า $x$ เป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้
สมการเชิงเส้นที่สามน่าสนใจกว่า:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
มีวงเล็บหลายอันที่นี่ แต่ไม่ได้คูณด้วยอะไรเลย แต่นำหน้าด้วยเครื่องหมายต่างกัน มาทำลายพวกเขากัน:
เราทำขั้นตอนที่สองที่เราทราบอยู่แล้ว:
เราดำเนินการขั้นตอนสุดท้าย - หารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ "x":
สิ่งที่ต้องจำเมื่อแก้สมการเชิงเส้น
หากเราเพิกเฉยต่องานง่าย ๆ เกินไป ฉันอยากจะพูดดังต่อไปนี้:
ศูนย์เป็นตัวเลขเดียวกันกับตัวเลขอื่นๆ คุณไม่ควรเลือกปฏิบัติไม่ว่าในทางใดทางหนึ่งหรือคิดว่าถ้าคุณได้ศูนย์ แสดงว่าคุณทำอะไรผิด
คุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งเกี่ยวข้องกับการเปิดวงเล็บ โปรดทราบ: เมื่อมี "ลบ" อยู่ข้างหน้า เราจะลบออก แต่ในวงเล็บเราเปลี่ยนเครื่องหมายเป็น ตรงข้าม. จากนั้นเราสามารถเปิดมันได้โดยใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน: เราจะได้สิ่งที่เราเห็นในการคำนวณด้านบน
ทำความเข้าใจเรื่องนี้ ข้อเท็จจริงง่ายๆจะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดที่โง่เขลาและน่ารังเกียจในโรงเรียนมัธยม เมื่อการกระทำดังกล่าวถูกละเลย
การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน
เรามาดูสมการที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า ตอนนี้การก่อสร้างจะซับซ้อนมากขึ้นและเมื่อทำการแปลงต่าง ๆ ฟังก์ชันกำลังสองจะปรากฏขึ้น อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรกลัวสิ่งนี้ เพราะถ้าตามแผนของผู้เขียน เรากำลังแก้สมการเชิงเส้น ในระหว่างกระบวนการแปลง monomials ทั้งหมดที่มีฟังก์ชันกำลังสองจะถูกยกเลิกอย่างแน่นอน
แน่นอนว่าขั้นตอนแรกคือการเปิดวงเล็บออก เรามาทำสิ่งนี้อย่างระมัดระวัง:
มาดูความเป็นส่วนตัวกันดีกว่า:
แน่นอนว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ ดังนั้นเราจะเขียนสิ่งนี้ไว้ในคำตอบ:
เราทำการกระทำแบบเดียวกัน ขั้นแรก:
มาย้ายทุกอย่างด้วยตัวแปรไปทางซ้ายและไม่มีตัวแปรไปทางขวา:
แน่นอนว่าสมการเชิงเส้นนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ดังนั้นเราจะเขียนมันแบบนี้:
หรือไม่มีราก
ความแตกต่างของการแก้ปัญหา
สมการทั้งสองได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ จากการใช้สองนิพจน์นี้เป็นตัวอย่าง เรามั่นใจอีกครั้งว่าแม้ในสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด ทุกอย่างอาจไม่ง่ายนัก อาจมีรากเดียวหรือไม่มีก็ได้ หรือหลายรากอย่างไม่สิ้นสุด ในกรณีของเรา เราพิจารณาสมการสองสมการ ซึ่งทั้งสองสมการไม่มีรากเลย
แต่ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปยังข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่ง: วิธีทำงานกับวงเล็บและวิธีเปิดหากมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า พิจารณานิพจน์นี้:
ก่อนที่จะเปิด คุณต้องคูณทุกอย่างด้วย "X" โปรดทราบ: ทวีคูณ แต่ละเทอม. ข้างในมีสองเทอม - ตามลำดับ, สองเทอมและคูณ
และหลังจากการเปลี่ยนแปลงที่ดูเหมือนขั้นพื้นฐาน แต่สำคัญมากและเป็นอันตรายเสร็จสิ้นแล้ว คุณสามารถเปิดวงเล็บได้จากมุมมองของข้อเท็จจริงที่ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หลังจากนั้น ใช่ ใช่: ตอนนี้เมื่อการแปลงเสร็จสิ้น เราจำได้ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าทุกสิ่งด้านล่างเพียงเปลี่ยนเครื่องหมาย ในขณะเดียวกันวงเล็บก็หายไปและที่สำคัญที่สุดคือ "ลบ" ด้านหน้าก็หายไปเช่นกัน
เราทำเช่นเดียวกันกับสมการที่สอง:
ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันจะให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงเล็กๆ น้อยๆ ที่ดูเหมือนไม่มีนัยสำคัญเหล่านี้ เนื่องจากการแก้สมการนั้นเป็นลำดับของการแปลงเบื้องต้นเสมอ โดยที่การไม่สามารถดำเนินการง่ายๆ ได้อย่างชัดเจนและมีความสามารถนำไปสู่ความจริงที่ว่านักเรียนมัธยมปลายมาหาฉันและเรียนรู้ที่จะแก้สมการง่ายๆ ดังกล่าวอีกครั้ง
แน่นอนว่าวันนั้นจะมาถึงเมื่อคุณจะต้องฝึกฝนทักษะเหล่านี้จนเป็นไปโดยอัตโนมัติ คุณไม่จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงมากมายในแต่ละครั้งอีกต่อไป คุณจะเขียนทุกอย่างในบรรทัดเดียว แต่ในขณะที่คุณเพิ่งเรียนรู้ คุณต้องเขียนแต่ละการกระทำแยกกัน
การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น
สิ่งที่เรากำลังจะแก้ไขตอนนี้แทบจะเรียกได้ว่าเป็นงานที่ง่ายที่สุด แต่ความหมายยังคงเหมือนเดิม
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21=3\]
คูณองค์ประกอบทั้งหมดในส่วนแรก:
มาทำความเป็นส่วนตัวกันเถอะ:
มาทำขั้นตอนสุดท้ายให้เสร็จ:
นี่คือคำตอบสุดท้ายของเรา และแม้ว่าในกระบวนการแก้เรามีสัมประสิทธิ์กับฟังก์ชันกำลังสอง พวกมันก็หักล้างกัน ซึ่งทำให้สมการเป็นเส้นตรงและไม่ใช่กำลังสอง
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
มาทำขั้นตอนแรกกันอย่างระมัดระวัง: คูณแต่ละองค์ประกอบจากวงเล็บแรกด้วยแต่ละองค์ประกอบจากวินาที ควรมีคำศัพท์ใหม่ทั้งหมดสี่คำหลังการเปลี่ยนแปลง:
ตอนนี้เรามาทำการคูณอย่างระมัดระวังในแต่ละเทอม:
ย้ายเงื่อนไขที่มี "X" ไปทางซ้ายและเงื่อนไขที่ไม่มี - ไปทางขวา:
ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:
เราได้รับคำตอบสุดท้ายอีกครั้ง
หมายเหตุที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับสมการทั้งสองนี้มีดังต่อไปนี้: ทันทีที่เราเริ่มคูณวงเล็บที่มีมากกว่าหนึ่งเทอม ก็จะเสร็จสิ้นตามกฎต่อไปนี้: เราใช้เทอมแรกจากเทอมแรกและคูณด้วยแต่ละองค์ประกอบจาก ที่สอง; จากนั้นเราก็นำองค์ประกอบที่สองจากองค์ประกอบแรกและคูณกับแต่ละองค์ประกอบจากวินาทีในทำนองเดียวกัน ผลก็คือเราจะมีเทอมสี่เทอม
เกี่ยวกับผลรวมพีชคณิต
จากตัวอย่างสุดท้ายนี้ ฉันอยากจะเตือนนักเรียนว่าผลรวมพีชคณิตคืออะไร ในคณิตศาสตร์คลาสสิก 1-7$ เราหมายถึงโครงสร้างง่ายๆ คือ ลบ 7 จาก 1 ในพีชคณิตเราหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: ไปที่ตัวเลข "หนึ่ง" เราจะบวกอีกจำนวนหนึ่งคือ "ลบเจ็ด" นี่คือสาเหตุที่ผลรวมพีชคณิตแตกต่างจากผลรวมเลขคณิตทั่วไป
ทันทีที่เมื่อทำการแปลงทั้งหมด การบวกและการคูณแต่ละครั้ง คุณเริ่มเห็นโครงสร้างที่คล้ายกับที่อธิบายไว้ข้างต้น คุณจะไม่มีปัญหาใดๆ ในพีชคณิตเมื่อทำงานกับพหุนามและสมการ
สุดท้ายนี้ เรามาดูตัวอย่างอีกสองสามตัวอย่างที่จะซับซ้อนกว่าตัวอย่างที่เราเพิ่งดูไป และเพื่อแก้ปัญหานี้ เราจะต้องขยายอัลกอริธึมมาตรฐานของเราเล็กน้อย
การแก้สมการด้วยเศษส่วน
เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว เราจะต้องเพิ่มอีกหนึ่งขั้นตอนให้กับอัลกอริทึมของเรา แต่ก่อนอื่น ฉันขอเตือนคุณเกี่ยวกับอัลกอริทึมของเรา:
อนิจจา อัลกอริธึมที่ยอดเยี่ยมนี้ แม้จะมีประสิทธิภาพทั้งหมด กลับกลายเป็นว่าไม่เหมาะสมเลยเมื่อเรามีเศษส่วนอยู่ตรงหน้า และสิ่งที่เราจะเห็นด้านล่างนี้ เรามีเศษส่วนทั้งทางซ้ายและขวาในสมการทั้งสอง
วิธีการทำงานในกรณีนี้? ใช่ มันง่ายมาก! ในการทำเช่นนี้คุณต้องเพิ่มขั้นตอนอีกขั้นตอนหนึ่งให้กับอัลกอริทึมซึ่งสามารถทำได้ทั้งก่อนและหลังการดำเนินการครั้งแรก ได้แก่ การกำจัดเศษส่วน ดังนั้นอัลกอริทึมจะเป็นดังนี้:
“การกำจัดเศษส่วน” หมายความว่าอย่างไร? และเหตุใดจึงสามารถทำได้ทั้งหลังและก่อนขั้นตอนมาตรฐานแรก? ที่จริงแล้ว ในกรณีของเรา เศษส่วนทั้งหมดเป็นตัวส่วนเป็นตัวเลข เช่น ทุกที่ตัวส่วนเป็นเพียงตัวเลข. ดังนั้น ถ้าเราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนนี้ เราก็จะกำจัดเศษส่วนออกไป
กำจัดเศษส่วนในสมการนี้:
โปรดทราบ: ทุกอย่างคูณด้วย "สี่" หนึ่งครั้ง เช่น เพียงเพราะคุณมีวงเล็บสองวงเล็บไม่ได้หมายความว่าคุณต้องคูณแต่ละวงเล็บด้วย "สี่" มาเขียนกัน:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(-1 \right)\cdot 4\]
เราแยกตัวแปร:
เราดำเนินการลดข้อกำหนดที่คล้ายกัน:
\[-4x=-1\ซ้าย| :\left(-4 \right) \right.\]
เราได้รับคำตอบสุดท้ายแล้ว มาดูสมการที่สองกันดีกว่า
ที่นี่เราทำการกระทำเดียวกันทั้งหมด:
นั่นคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอกคุณในวันนี้
ประเด็นสำคัญ
ข้อค้นพบที่สำคัญคือ:
ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเชี่ยวชาญหัวข้อที่เรียบง่าย แต่สำคัญมากสำหรับการทำความเข้าใจคณิตศาสตร์ทั้งหมดเพิ่มเติม หากมีบางอย่างไม่ชัดเจน ให้ไปที่ไซต์และแก้ไขตัวอย่างที่นำเสนอที่นั่น คอยติดตามสิ่งที่น่าสนใจอีกมากมายรอคุณอยู่!
หากต้องการดูวิดีโอ ให้กรอกอีเมลของคุณแล้วคลิกปุ่ม "เริ่มการฝึกอบรม"
- อาจารย์ผู้สอนที่มีประสบการณ์ 12 ปี
- บันทึกวิดีโอของแต่ละบทเรียน
- ค่าเรียนเดี่ยว - 3,000 รูเบิลเป็นเวลา 60 นาที
