จะมีปัญหาให้คุณแก้ไขด้วยตัวเองซึ่งคุณสามารถดูคำตอบได้
หากในปัญหาทั้งความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างเวกเตอร์ถูกนำเสนอ "บนจานเงิน" แสดงว่าสภาพของปัญหาและวิธีแก้ไขจะเป็นดังนี้:
ตัวอย่างที่ 1มีการกำหนดเวกเตอร์ ค้นหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์หากความยาวและมุมระหว่างเวกเตอร์แสดงด้วยค่าต่อไปนี้:
คำจำกัดความอื่นก็ใช้ได้เช่นกัน ซึ่งเทียบเท่ากับคำจำกัดความ 1 โดยสิ้นเชิง
คำจำกัดความ 2. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์คือตัวเลข (สเกลาร์) เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งและการฉายภาพของเวกเตอร์อื่นบนแกนที่กำหนดโดยเวกเตอร์ตัวแรกเหล่านี้ สูตรตามคำจำกัดความ 2:
เราจะแก้ปัญหาโดยใช้สูตรนี้หลังจากประเด็นทางทฤษฎีที่สำคัญถัดไป
คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ในแง่ของพิกัด
สามารถรับจำนวนเดียวกันได้หากเวกเตอร์ที่ถูกคูณได้รับพิกัด
คำจำกัดความ 3ผลคูณดอทของเวกเตอร์คือตัวเลขเท่ากับผลรวมของผลคูณคู่ของพิกัดที่สอดคล้องกัน
บนพื้นผิว
ถ้าเวกเตอร์สองตัวและบนระนาบถูกกำหนดโดยสองตัวนั้น พิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน
ดังนั้นผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้จะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์แบบคู่ของพิกัดที่สอดคล้องกัน:
.
ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าตัวเลขของการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนที่ขนานกับเวกเตอร์
สารละลาย. เราค้นหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์โดยการเพิ่มผลคูณคู่ของพิกัด:
ตอนนี้เราต้องเปรียบเทียบผลคูณสเกลาร์ที่ได้กับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์และการฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนขนานกับเวกเตอร์ (ตามสูตร)
เราพบว่าความยาวของเวกเตอร์เป็นรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด:
.
เราสร้างสมการและแก้มัน:
คำตอบ. ค่าตัวเลขที่ต้องการคือลบ 8
ในที่ว่าง
ถ้าเวกเตอร์สองตัวและในอวกาศถูกกำหนดโดยพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนทั้งสามตัว
,
ดังนั้นผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้ก็เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์แบบคู่ของพิกัดที่สอดคล้องกันด้วย มีเพียงสามพิกัดเท่านั้น:
.
งานในการค้นหาผลคูณสเกลาร์โดยใช้วิธีที่พิจารณาคือหลังจากวิเคราะห์คุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์แล้ว เพราะในโจทย์ คุณจะต้องพิจารณาว่าเวกเตอร์คูณนั้นสร้างมุมเท่าใด
คุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์
คุณสมบัติพีชคณิต
1. (ทรัพย์สินทดแทน: การกลับตำแหน่งของเวกเตอร์ที่คูณแล้วจะไม่เปลี่ยนค่าของผลิตภัณฑ์สเกลาร์)
2. (สมบัติการเชื่อมโยงที่เกี่ยวข้องกับปัจจัยเชิงตัวเลข: ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์คูณด้วยตัวประกอบที่แน่นอน และเวกเตอร์อีกตัวหนึ่งเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้คูณด้วยตัวประกอบเดียวกัน)
3. (สมบัติการกระจายสัมพันธ์กับผลรวมของเวกเตอร์: ผลคูณสเกลาร์ของผลรวมของเวกเตอร์สองตัวคูณกับเวกเตอร์ที่สาม เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ตัวแรกคูณเวกเตอร์ที่สาม และเวกเตอร์ตัวที่สองคูณเวกเตอร์ที่สาม)
4. (สเกลาร์กำลังสองของเวกเตอร์ที่มากกว่าศูนย์) ถ้า เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ และ ถ้า เป็นเวกเตอร์ศูนย์
คุณสมบัติทางเรขาคณิต
ในคำจำกัดความของการดำเนินการภายใต้การศึกษา เราได้สัมผัสแนวคิดเรื่องมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวแล้ว ถึงเวลาชี้แจงแนวคิดนี้แล้ว
ในรูปด้านบน คุณจะเห็นเวกเตอร์สองตัวที่มีต้นกำเนิดร่วมกัน และสิ่งแรกที่คุณต้องใส่ใจคือ มีมุมสองมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ - φ 1 และ φ 2 . มุมใดต่อไปนี้ปรากฏในคำจำกัดความและคุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ผลรวมของมุมที่พิจารณาคือ 2 π ดังนั้นโคไซน์ของมุมเหล่านี้จึงเท่ากัน คำจำกัดความของผลคูณดอทจะรวมเฉพาะโคไซน์ของมุมเท่านั้น ไม่ใช่ค่าของนิพจน์ แต่คุณสมบัติพิจารณาเพียงมุมเดียวเท่านั้น และนี่คือมุมหนึ่งในสองมุมที่ไม่เกิน π นั่นคือ 180 องศา ในรูปมุมนี้ระบุเป็น φ 1 .
1. เรียกเวกเตอร์สองตัว ตั้งฉาก และ มุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้เป็นเส้นตรง (90 องศาหรือ π /2 ) ถ้า ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้คือศูนย์ :
.
ความตั้งฉากในพีชคณิตเวกเตอร์คือความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว
2. เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวประกอบกัน มุมที่คมชัด (จาก 0 ถึง 90 องศาหรือซึ่งเท่ากัน - น้อยกว่า π ดอทโปรดัคเป็นบวก .
3. เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวประกอบกัน มุมป้าน (จาก 90 ถึง 180 องศาหรือที่เหมือนกัน - มากกว่านั้น) π /2) หากและเฉพาะในกรณีที่พวกเขา ผลคูณดอทเป็นลบ .
ตัวอย่างที่ 3พิกัดถูกกำหนดโดยเวกเตอร์:
.
คำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่กำหนดทุกคู่ คู่เวกเตอร์เหล่านี้ก่อตัวเป็นมุมใด (เฉียบพลัน, ขวา, ป้าน)?
สารละลาย. เราจะคำนวณโดยการเพิ่มผลคูณของพิกัดที่เกี่ยวข้อง
เราได้จำนวนลบ เวกเตอร์จึงกลายเป็นมุมป้าน
เราได้จำนวนบวก เวกเตอร์จึงกลายเป็นมุมแหลม
เราได้ศูนย์, เวกเตอร์จึงมีมุมฉาก
เราได้จำนวนบวก เวกเตอร์จึงกลายเป็นมุมแหลม
.
เราได้จำนวนบวก เวกเตอร์จึงกลายเป็นมุมแหลม
สำหรับการทดสอบตัวเองคุณสามารถใช้ เครื่องคิดเลขออนไลน์ ผลคูณดอทของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน .
ตัวอย่างที่ 4เมื่อพิจารณาความยาวของเวกเตอร์สองตัวและมุมระหว่างพวกมัน:
.
พิจารณาว่าค่าของเวกเตอร์เป็นจำนวนเท่าใดและตั้งฉาก (ตั้งฉาก)
สารละลาย. ลองคูณเวกเตอร์โดยใช้กฎสำหรับการคูณพหุนาม:
ตอนนี้เรามาคำนวณแต่ละเทอมกัน:
.
มาสร้างสมการกันดีกว่า (ผลคูณเท่ากับศูนย์) เพิ่มพจน์ที่คล้ายกันและแก้สมการ:
คำตอบ: เราได้คุณค่าแล้ว λ = 1.8 โดยที่เวกเตอร์ตั้งฉาก
ตัวอย่างที่ 5พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ ตั้งฉาก (ตั้งฉาก) กับเวกเตอร์
สารละลาย. ในการตรวจสอบความเป็นมุมตั้งฉาก เราจะคูณเวกเตอร์และเป็นพหุนาม โดยแทนที่นิพจน์ที่ให้ไว้ในคำสั่งปัญหาแทน:
.
ในการทำเช่นนี้ คุณต้องคูณแต่ละเทอม (เทอม) ของพหุนามตัวแรกด้วยแต่ละเทอมของวินาทีและเพิ่มผลลัพธ์ที่ได้:
.
ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนจะลดลง ผลลัพธ์ต่อไปนี้จะได้รับ:
สรุป: จากการคูณเราได้ศูนย์ ดังนั้นการตั้งฉาก (ตั้งฉาก) ของเวกเตอร์จึงได้รับการพิสูจน์แล้ว
แก้ไขปัญหาด้วยตัวเองแล้วดูวิธีแก้ไข
ตัวอย่างที่ 6ความยาวของเวกเตอร์และค่าที่กำหนด และมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้คือ π /4 . กำหนดว่ามีค่าเท่าใด μ เวกเตอร์และตั้งฉากกัน
สำหรับการทดสอบตัวเองคุณสามารถใช้ เครื่องคิดเลขออนไลน์ ผลคูณดอทของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน .
การแสดงเมทริกซ์ของผลิตภัณฑ์ดอทของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์ n มิติ
บางครั้ง การแสดงเวกเตอร์คูณสองตัวในรูปของเมทริกซ์จะเป็นประโยชน์สำหรับความชัดเจน จากนั้นเวกเตอร์แรกจะแสดงเป็นเมทริกซ์แถวและเวกเตอร์ที่สอง - เป็นเมทริกซ์คอลัมน์:
แล้วผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์จะเป็น ผลคูณของเมทริกซ์เหล่านี้ :
ผลลัพธ์ก็เหมือนกับที่ได้จากวิธีที่เราได้พิจารณามาแล้ว เรามีตัวเลขตัวเดียว และผลคูณของเมทริกซ์แถวคูณเมทริกซ์คอลัมน์ก็เป็นตัวเลขตัวเดียวเช่นกัน
สะดวกในการแสดงผลคูณของเวกเตอร์ n มิติเชิงนามธรรมในรูปแบบเมทริกซ์ ดังนั้น ผลคูณของเวกเตอร์สี่มิติสองตัวจะเป็นผลคูณของเมทริกซ์แถวที่มีสี่องค์ประกอบโดยเมทริกซ์คอลัมน์และมีองค์ประกอบสี่ตัวด้วย ผลคูณของเวกเตอร์ห้ามิติสองตัวจะเป็นผลคูณของเมทริกซ์แถวที่มีห้าองค์ประกอบโดย เมทริกซ์คอลัมน์ที่มีห้าองค์ประกอบเป็นต้น
ตัวอย่างที่ 7ค้นหาผลคูณสเกลาร์ของคู่เวกเตอร์
,
โดยใช้การแทนเมทริกซ์
สารละลาย. เวกเตอร์คู่แรก เราแสดงเวกเตอร์ตัวแรกเป็นเมทริกซ์แถว และเวกเตอร์ตัวที่สองเป็นเมทริกซ์คอลัมน์ เราพบผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นผลคูณของเมทริกซ์แถวและเมทริกซ์คอลัมน์:
เราเป็นตัวแทนของคู่ที่สองในทำนองเดียวกันและพบว่า:
อย่างที่คุณเห็น ผลลัพธ์จะเหมือนกับคู่เดียวกันจากตัวอย่างที่ 2
มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว
การหาสูตรโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวนั้นสวยงามและกระชับมาก
เพื่อแสดงผลคูณดอทของเวกเตอร์
(1)
ในรูปแบบพิกัด ก่อนอื่นเราจะหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์หน่วย ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่มีตัวมันเองตามคำจำกัดความ:
สิ่งที่เขียนในสูตรข้างต้นหมายความว่า: ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่มีตัวมันเองเท่ากับกำลังสองของความยาว. โคไซน์ของศูนย์เท่ากับ 1 ดังนั้นกำลังสองของแต่ละหน่วยจะเท่ากับ 1:
เนื่องจากเวกเตอร์
ตั้งฉากกันเป็นคู่ ดังนั้นผลคูณของเวกเตอร์หน่วยจะเท่ากับศูนย์:
ทีนี้มาทำการคูณพหุนามเวกเตอร์:
เราแทนที่ค่าของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์หน่วยไปทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน:
เราได้สูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว:
ตัวอย่างที่ 8ให้สามคะแนน ก(1;1;1), บี(2;2;1), ค(2;1;2).
หามุม.
สารละลาย. การค้นหาพิกัดของเวกเตอร์:
,
.
เมื่อใช้สูตรมุมโคไซน์เราจะได้:
เพราะฉะนั้น, .
สำหรับการทดสอบตัวเองคุณสามารถใช้ เครื่องคิดเลขออนไลน์ ผลคูณดอทของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน .
ตัวอย่างที่ 9ให้เวกเตอร์สองตัวมา
ค้นหาผลรวม ผลต่าง ความยาว ผลคูณดอท และมุมระหว่างสิ่งเหล่านั้น
2.ความแตกต่าง
ผลคูณดอทของเวกเตอร์
เรายังคงจัดการกับเวกเตอร์ต่อไป ในบทเรียนแรก เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลอง เราดูแนวคิดของเวกเตอร์ การกระทำกับเวกเตอร์ พิกัดเวกเตอร์ และปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับเวกเตอร์ หากคุณมาที่หน้านี้เป็นครั้งแรกจากเครื่องมือค้นหา ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้อ่านบทความเบื้องต้นข้างต้น เนื่องจากเพื่อที่จะเชี่ยวชาญเนื้อหา คุณต้องคุ้นเคยกับคำศัพท์และสัญลักษณ์ที่ฉันใช้ มีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์และ สามารถแก้ไขปัญหาเบื้องต้นได้ บทเรียนนี้เป็นการต่อเนื่องของหัวข้อเชิงตรรกะ และในนั้นฉันจะวิเคราะห์งานทั่วไปโดยละเอียดที่ใช้ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ นี่เป็นกิจกรรมที่สำคัญมาก. พยายามอย่าข้ามตัวอย่าง เนื่องจากมาพร้อมกับโบนัสที่มีประโยชน์ - การฝึกฝนจะช่วยให้คุณรวบรวมเนื้อหาที่คุณพูดถึงและแก้ไขปัญหาทั่วไปในเรขาคณิตวิเคราะห์ได้ดีขึ้น
การบวกเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข.... คงจะไร้เดียงสาถ้าคิดว่านักคณิตศาสตร์ไม่ได้คิดอะไรอย่างอื่นขึ้นมา นอกเหนือจากการดำเนินการที่กล่าวถึงแล้ว ยังมีการดำเนินการอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์อีกจำนวนหนึ่ง ได้แก่: ผลคูณดอทของเวกเตอร์, ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ และ ผลคูณผสมของเวกเตอร์ . ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์นั้นคุ้นเคยกับเราตั้งแต่สมัยเรียน ส่วนอีก 2 ผลตามปกติแล้วเป็นของวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง หัวข้อนั้นเรียบง่าย อัลกอริธึมในการแก้ปัญหาต่าง ๆ นั้นตรงไปตรงมาและเข้าใจได้ สิ่งเดียวเท่านั้น มีข้อมูลในปริมาณที่เหมาะสม ดังนั้นจึงไม่เป็นที่พึงปรารถนาที่จะพยายามเชี่ยวชาญและแก้ไขทุกอย่างในคราวเดียว นี่เป็นเรื่องจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับหุ่นจำลอง เชื่อฉันสิ ผู้เขียนไม่อยากรู้สึกเหมือน Chikatilo จากคณิตศาสตร์เลย แน่นอนว่าไม่ใช่จากคณิตศาสตร์ =) นักเรียนที่เตรียมพร้อมมากขึ้นสามารถใช้สื่อการสอนแบบเลือกได้ในแง่หนึ่ง "รับ" ความรู้ที่ขาดหายไป สำหรับคุณ ฉันจะเป็นเคานต์แดร็กคูล่าที่ไม่เป็นอันตราย =)
ในที่สุดเรามาเปิดประตูและดูด้วยความกระตือรือร้นว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเวกเตอร์สองตัวมาพบกัน...
คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์
คุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์ งานทั่วไป
แนวคิดของผลคูณดอท
อันดับแรกเกี่ยวกับ มุมระหว่างเวกเตอร์. ฉันคิดว่าทุกคนเข้าใจโดยสัญชาตญาณว่ามุมระหว่างเวกเตอร์คืออะไร แต่ในกรณีนี้ จะมีรายละเอียดเพิ่มเติมอีกเล็กน้อย ลองพิจารณาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ฟรีและ หากคุณพล็อตเวกเตอร์เหล่านี้จากจุดใดก็ได้คุณจะได้ภาพที่หลายคนจินตนาการไว้แล้ว:
ฉันยอมรับว่าที่นี่ฉันอธิบายสถานการณ์ในระดับความเข้าใจเท่านั้น หากคุณต้องการคำจำกัดความที่เข้มงวดของมุมระหว่างเวกเตอร์ โปรดดูหนังสือเรียน สำหรับปัญหาในทางปฏิบัติ โดยหลักการแล้ว มันไม่มีประโยชน์สำหรับเรา นอกจากนี้ ที่นี่และในที่นี้ ฉันจะเพิกเฉยต่อเวกเตอร์ศูนย์ในตำแหน่งต่างๆ เนื่องจากมีความสำคัญเชิงปฏิบัติต่ำ ฉันจองไว้โดยเฉพาะสำหรับผู้เยี่ยมชมไซต์ขั้นสูงที่อาจตำหนิฉันสำหรับความไม่สมบูรณ์ทางทฤษฎีของข้อความที่ตามมาบางส่วน
สามารถรับค่าได้ตั้งแต่ 0 ถึง 180 องศา (0 ถึงเรเดียน) รวมอยู่ด้วย ในเชิงวิเคราะห์ ข้อเท็จจริงนี้เขียนในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า: หรือ (เป็นเรเดียน)ในวรรณคดี สัญลักษณ์มุมมักถูกข้ามและเขียนง่ายๆ
คำนิยาม:ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวคือ NUMBER เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้:
นี่เป็นคำจำกัดความที่ค่อนข้างเข้มงวด
เรามุ่งเน้นไปที่ข้อมูลที่สำคัญ:
การกำหนด:ผลคูณสเกลาร์แสดงโดยหรือเพียงแค่
ผลลัพธ์ของการดำเนินการคือ NUMBER: เวกเตอร์คูณด้วยเวกเตอร์ และผลลัพธ์คือตัวเลข อันที่จริง ถ้าความยาวของเวกเตอร์เป็นตัวเลข โคไซน์ของมุมจะเป็นตัวเลข แล้วผลคูณของเวกเตอร์ จะเป็นตัวเลขด้วย
ตัวอย่างการอุ่นเครื่องสองสามอย่าง:
ตัวอย่างที่ 1
สารละลาย:เราใช้สูตร . ในกรณีนี้:
คำตอบ:
ค่าโคไซน์สามารถพบได้ใน ตารางตรีโกณมิติ . ฉันแนะนำให้พิมพ์ออกมา - จะต้องใช้ในเกือบทุกส่วนของหอคอยและจะต้องใช้หลายครั้ง
จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ผลคูณสเกลาร์นั้นไม่มีมิติ นั่นคือผลลัพธ์ในกรณีนี้เป็นเพียงตัวเลขเท่านั้นเอง จากมุมมองของปัญหาทางฟิสิกส์ ผลคูณสเกลาร์จะมีความหมายทางกายภาพที่แน่นอนเสมอ นั่นคือ หลังจากผลลัพธ์แล้ว จะต้องระบุหน่วยทางกายภาพหนึ่งหรือหน่วยอื่น ตัวอย่างที่เป็นที่ยอมรับของการคำนวณการทำงานของแรงสามารถพบได้ในตำราเรียนทุกเล่ม (สูตรนี้เป็นผลคูณสเกลาร์ทุกประการ) งานของแรงวัดเป็นจูลส์ ดังนั้นคำตอบจะถูกเขียนค่อนข้างเฉพาะเจาะจง เช่น .
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาว่า และมุมระหว่างเวกเตอร์เท่ากับ
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง คำตอบอยู่ท้ายบทเรียน
มุมระหว่างเวกเตอร์กับมูลค่าผลิตภัณฑ์ดอท
ในตัวอย่างที่ 1 ผลคูณสเกลาร์กลายเป็นบวก และในตัวอย่างที่ 2 กลายเป็นลบ เรามาดูกันว่าสัญญาณของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ขึ้นอยู่กับอะไร ลองดูสูตรของเรา: . ความยาวของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็นค่าบวกเสมอ ดังนั้นเครื่องหมายจึงขึ้นอยู่กับค่าของโคไซน์เท่านั้น
บันทึก: เพื่อให้เข้าใจข้อมูลด้านล่างได้ดีขึ้น ควรศึกษากราฟโคไซน์ในคู่มือจะดีกว่า กราฟฟังก์ชันและคุณสมบัติ . ดูว่าโคไซน์ทำงานอย่างไรในส่วนนั้น
ตามที่ระบุไว้แล้ว มุมระหว่างเวกเตอร์อาจแตกต่างกันไปภายใน และกรณีต่อไปนี้เป็นไปได้:
1) ถ้า มุมระหว่างเวกเตอร์ เผ็ด: (ตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา) จากนั้น , และ ผลคูณดอทจะเป็นค่าบวก ร่วมกำกับจากนั้นมุมระหว่างพวกมันจะถือเป็นศูนย์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ก็จะเป็นบวกเช่นกัน เนื่องจาก สูตรลดความซับซ้อน:
2) ถ้า มุมระหว่างเวกเตอร์ ทื่อ: (จาก 90 ถึง 180 องศา) จากนั้น และตามลำดับ ผลคูณดอทเป็นลบ: . กรณีพิเศษ: ถ้าเป็นเวกเตอร์ ทิศทางตรงกันข้ามจากนั้นจึงพิจารณามุมระหว่างพวกเขา ขยาย: (180 องศา) ผลคูณสเกลาร์ก็เป็นลบเช่นกัน เนื่องจาก
ข้อความสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน:
1) ถ้า แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นมุมแหลม อีกทางหนึ่ง เวกเตอร์เป็นแบบมีทิศทางร่วม
2) ถ้า แล้วมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นมุมป้าน อีกทางหนึ่ง เวกเตอร์อยู่ในทิศทางตรงกันข้าม
แต่กรณีที่สามเป็นที่สนใจเป็นพิเศษ:
3) ถ้า มุมระหว่างเวกเตอร์ ตรง: (90 องศา) จากนั้น ผลคูณสเกลาร์เป็นศูนย์: . การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้า แล้ว คำกล่าวสามารถกำหนดได้กระชับดังนี้: ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์นั้นตั้งฉากเท่านั้น. สัญกรณ์คณิตศาสตร์แบบสั้น:
! บันทึก : ทำซ้ำ พื้นฐานของตรรกะทางคณิตศาสตร์ : ไอคอนผลลัพธ์เชิงตรรกะสองด้านมักจะอ่านว่า "หากและหากเท่านั้น", "หากและหากเท่านั้น" อย่างที่คุณเห็น ลูกศรถูกชี้ไปทั้งสองทิศทาง - "จากสิ่งนี้เป็นไปตามสิ่งนี้ และในทางกลับกัน - จากสิ่งนี้ตามมาสิ่งนี้" อะไรคือความแตกต่างจากไอคอนการติดตามทางเดียว? ไอคอนระบุว่า ว่ามีเพียงว่า “จากนี้ไปนี้” และไม่ใช่ข้อเท็จจริงที่สิ่งที่ตรงกันข้ามจะเป็นจริง ตัวอย่างเช่น แต่ไม่ใช่ว่าสัตว์ทุกตัวจะเป็นเสือดำ ดังนั้นในกรณีนี้ คุณจะไม่สามารถใช้ไอคอนนี้ได้ ในเวลาเดียวกันแทนที่จะเป็นไอคอน สามารถใช้ไอคอนด้านเดียว ตัวอย่างเช่น ขณะแก้ไขปัญหา เราพบว่าเราสรุปได้ว่าเวกเตอร์นั้นตั้งฉาก: - รายการดังกล่าวจะถูกต้องและเหมาะสมกว่าด้วยซ้ำ .
กรณีที่สามมีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างยิ่งเนื่องจากช่วยให้คุณตรวจสอบว่าเวกเตอร์ตั้งฉากหรือไม่ เราจะแก้ไขปัญหานี้ในส่วนที่สองของบทเรียน
คุณสมบัติของผลคูณดอท
กลับมาที่สถานการณ์เมื่อมีเวกเตอร์สองตัวกัน ร่วมกำกับ. ในกรณีนี้ มุมระหว่างพวกมันคือศูนย์ และสูตรผลคูณสเกลาร์จะอยู่ในรูปแบบ:
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเวกเตอร์คูณด้วยตัวมันเอง? เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในแนวเดียวกันกับตัวมันเอง ดังนั้นเราจึงใช้สูตรง่ายๆ ข้างต้น:
เบอร์นั้นเรียกว่า สเกลาร์สแควร์เวกเตอร์ และแสดงเป็น .
ดังนั้น, สเกลาร์กำลังสองของเวกเตอร์เท่ากับกำลังสองของความยาวของเวกเตอร์ที่กำหนด:
จากความเท่าเทียมกันนี้เราสามารถได้สูตรสำหรับคำนวณความยาวของเวกเตอร์:
จนถึงตอนนี้ดูเหมือนจะไม่ชัดเจน แต่วัตถุประสงค์ของบทเรียนจะทำให้ทุกอย่างเข้าที่ เพื่อแก้ปัญหาที่เราต้องการด้วย คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ดอท.
สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดเองและตัวเลขใดๆ คุณสมบัติต่อไปนี้จะเป็นจริง:
1) – สับเปลี่ยนหรือ สับเปลี่ยนกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์
2) – การจำหน่ายหรือ การกระจายกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์ เพียงคุณก็สามารถเปิดวงเล็บได้
3) – สมาคมหรือ เชื่อมโยงกฎหมายผลิตภัณฑ์สเกลาร์ ค่าคงที่สามารถหาได้จากผลคูณสเกลาร์
บ่อยครั้งที่นักเรียนมองว่าคุณสมบัติทุกประเภท (ซึ่งจำเป็นต้องพิสูจน์ด้วย!) ว่าเป็นขยะที่ไม่จำเป็น ซึ่งจะต้องจดจำและลืมอย่างปลอดภัยทันทีหลังการสอบ ดูเหมือนว่าสิ่งสำคัญที่นี่ทุกคนรู้อยู่แล้วตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ว่าการจัดเรียงปัจจัยใหม่ไม่ทำให้ผลิตภัณฑ์เปลี่ยนแปลง: . ฉันต้องเตือนคุณว่าในคณิตศาสตร์ชั้นสูง เป็นเรื่องง่ายที่จะทำให้เกิดความสับสนกับแนวทางดังกล่าว ตัวอย่างเช่น สมบัติการสับเปลี่ยนไม่เป็นความจริง เมทริกซ์พีชคณิต . มันก็ไม่เป็นความจริงเช่นกันสำหรับ ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ . ดังนั้น อย่างน้อยที่สุด เจาะลึกคุณสมบัติใดๆ ที่คุณเจอในหลักสูตรคณิตศาสตร์ชั้นสูงจะดีกว่า เพื่อทำความเข้าใจว่าคุณสามารถทำอะไรได้บ้างและทำอะไรไม่ได้
ตัวอย่างที่ 3
.
สารละลาย:ก่อนอื่น เรามาอธิบายสถานการณ์ด้วยเวกเตอร์กันก่อน นี่มันอะไรกันเนี่ย? ผลรวมของเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ที่มีการกำหนดไว้อย่างดี ซึ่งเขียนแทนด้วย การตีความทางเรขาคณิตของการกระทำด้วยเวกเตอร์สามารถพบได้ในบทความ เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลอง . ผักชีฝรั่งชนิดเดียวกันกับเวกเตอร์คือผลรวมของเวกเตอร์ และ
ดังนั้นตามเงื่อนไขจึงต้องหาผลคูณสเกลาร์ ตามทฤษฎีคุณต้องใช้สูตรการทำงาน แต่ปัญหาคือเราไม่ทราบความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้น แต่เงื่อนไขให้พารามิเตอร์ที่คล้ายกันสำหรับเวกเตอร์ ดังนั้นเราจะใช้เส้นทางที่แตกต่างออกไป:
(1) แทนนิพจน์ของเวกเตอร์
(2) เราเปิดวงเล็บตามกฎสำหรับการคูณพหุนาม สามารถพบได้ในบทความของ twister ลิ้นหยาบคาย จำนวนเชิงซ้อน หรือ การรวมฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ . ฉันจะไม่พูดซ้ำ =) อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติการกระจายของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ทำให้เราสามารถเปิดวงเล็บได้ เรามีสิทธิ์
(3) ในเทอมแรกและเทอมสุดท้าย เราจะเขียนกำลังสองของเวกเตอร์ให้แน่น: . ในระยะที่สอง เราใช้ความสามารถในการสับเปลี่ยนของผลิตภัณฑ์สเกลาร์:
(4) เรานำเสนอคำที่คล้ายกัน: .
(5) ในเทอมแรก เราใช้สูตรกำลังสองแบบสเกลาร์ ซึ่งกล่าวไปเมื่อไม่นานมานี้ ในระยะสุดท้าย สิ่งเดียวกันนี้ได้ผล: . เราขยายเทอมที่สองตามสูตรมาตรฐาน .
(6) แทนเงื่อนไขเหล่านี้ และดำเนินการคำนวณขั้นสุดท้ายอย่างระมัดระวัง
คำตอบ:
ค่าลบของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ระบุถึงความจริงที่ว่ามุมระหว่างเวกเตอร์นั้นเป็นมุมป้าน
ปัญหาเป็นเรื่องปกติ นี่คือตัวอย่างในการแก้ปัญหาด้วยตนเอง:
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ และดูว่าทราบหรือไม่ .
ตอนนี้เป็นงานทั่วไปอีกอย่างหนึ่ง เฉพาะสำหรับสูตรใหม่สำหรับความยาวของเวกเตอร์ สัญลักษณ์ที่นี่จะทับซ้อนกันเล็กน้อย ดังนั้นเพื่อความชัดเจน ฉันจะเขียนมันใหม่ด้วยตัวอักษรอื่น:
ตัวอย่างที่ 5
จงหาความยาวของเวกเตอร์ถ้า .
สารละลายจะเป็นดังนี้:
(1) เราจัดหานิพจน์สำหรับเวกเตอร์
(2) เราใช้สูตรความยาว: และนิพจน์ทั้งหมดทำหน้าที่เป็นเวกเตอร์ “ve”
(3) เราใช้สูตรโรงเรียนสำหรับกำลังสองของผลรวม สังเกตว่ามันทำงานอย่างไรที่นี่ในลักษณะที่น่าสงสัย: – อันที่จริง มันคือกำลังสองของความแตกต่าง และอันที่จริง มันเป็นอย่างนั้น ผู้ที่ต้องการสามารถจัดเรียงเวกเตอร์ใหม่ได้: - สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้น ขึ้นอยู่กับการจัดเรียงคำศัพท์ใหม่
(4) สิ่งที่ตามมาเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วจากปัญหาสองข้อก่อนหน้านี้
คำตอบ:
เนื่องจากเรากำลังพูดถึงความยาวอย่าลืมระบุมิติ - "หน่วย"
ตัวอย่างที่ 6
จงหาความยาวของเวกเตอร์ถ้า .
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน
เรายังคงบีบสิ่งที่มีประโยชน์ออกจากดอทโปรดัคต่อไป เรามาดูสูตรของเรากันอีกครั้ง . เมื่อใช้กฎสัดส่วน เราจะรีเซ็ตความยาวของเวกเตอร์ให้เป็นตัวส่วนของด้านซ้าย:
มาเปลี่ยนชิ้นส่วนกัน:
ความหมายของสูตรนี้คืออะไร? หากทราบความยาวของเวกเตอร์สองตัวและผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของพวกมัน เราก็สามารถคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ได้ และผลที่ตามมาคือตัวมันเอง
ดอทโปรดัคเป็นตัวเลขใช่หรือไม่? ตัวเลข. ความยาวของเวกเตอร์เป็นตัวเลขหรือไม่? ตัวเลข ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนก็เป็นตัวเลขเช่นกัน และถ้าทราบโคไซน์ของมุม: จากนั้นการใช้ฟังก์ชันผกผันทำให้ง่ายต่อการค้นหามุม: .
ตัวอย่างที่ 7
จงหามุมระหว่างเวกเตอร์ และถ้ารู้ว่า .
สารละลาย:เราใช้สูตร:
ในขั้นตอนสุดท้ายของการคำนวณมีการใช้เทคนิคทางเทคนิค - ขจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน เพื่อขจัดความไม่ลงตัว ฉันจึงคูณทั้งเศษและส่วนด้วย
แล้วถ้า , ที่:
ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันสามารถพบได้โดย ตารางตรีโกณมิติ . แม้ว่าสิ่งนี้จะเกิดขึ้นไม่บ่อยนัก ในปัญหาของเรขาคณิตวิเคราะห์ มักมีหมีเงอะงะเช่น และค่าของมุมจะต้องหาได้โดยประมาณโดยใช้เครื่องคิดเลข จริงๆแล้วเราจะเห็นภาพดังกล่าวมากกว่าหนึ่งครั้ง
คำตอบ:
อย่าลืมระบุขนาด - เรเดียนและองศาอีกครั้ง โดยส่วนตัวแล้ว เพื่อที่จะ "แก้ไขคำถามทั้งหมด" ได้อย่างชัดเจน ฉันต้องการระบุทั้งสองอย่าง (เว้นแต่เงื่อนไขนั้นแน่นอนว่าต้องนำเสนอคำตอบเป็นเรเดียนหรือเป็นองศาเท่านั้น)
ตอนนี้คุณสามารถรับมือกับงานที่ซับซ้อนมากขึ้นได้อย่างอิสระ:
ตัวอย่างที่ 7*
ให้ไว้คือความยาวของเวกเตอร์และมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้น จงหามุมระหว่างเวกเตอร์ , .
งานไม่ได้ยากมากนักเพราะมีหลายขั้นตอน
ลองดูอัลกอริธึมการแก้ปัญหา:
1) ตามเงื่อนไข คุณต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์ และ ดังนั้นคุณจึงต้องใช้สูตร .
2) ค้นหาผลคูณสเกลาร์ (ดูตัวอย่างที่ 3, 4)
3) ค้นหาความยาวของเวกเตอร์และความยาวของเวกเตอร์ (ดูตัวอย่างหมายเลข 5, 6)
4) การสิ้นสุดของการแก้ปัญหาเกิดขึ้นพร้อมกับตัวอย่างที่ 7 - เรารู้ตัวเลข ซึ่งหมายความว่าหามุมได้ง่าย:
คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
ส่วนที่สองของบทเรียนเน้นไปที่ผลคูณสเกลาร์เดียวกัน พิกัด. มันจะง่ายกว่าในภาคแรกด้วยซ้ำ
ดอทโปรดัคของเวกเตอร์
กำหนดโดยพิกัดในลักษณะออร์โธนอร์มอล
คำตอบ:
ไม่จำเป็นต้องพูดว่า การจัดการกับพิกัดเป็นเรื่องที่น่าพึงพอใจกว่ามาก
ตัวอย่างที่ 14
ค้นหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และถ้า
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ที่นี่คุณสามารถใช้การเชื่อมโยงของการดำเนินการนั่นคือไม่นับ แต่นำสามออกไปนอกผลคูณสเกลาร์ทันทีแล้วคูณด้วยค่าสุดท้าย คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน
ในตอนท้ายของส่วน ตัวอย่างที่เร้าใจในการคำนวณความยาวของเวกเตอร์:
ตัวอย่างที่ 15
ค้นหาความยาวของเวกเตอร์ , ถ้า
สารละลาย:วิธีการของหัวข้อที่แล้วแนะนำตัวเองอีกครั้ง แต่มีวิธีอื่น:
มาหาเวกเตอร์กัน:
และความยาวตามสูตรมโนสาเร่ :
dot product ไม่เกี่ยวข้องที่นี่เลย!
มันไม่มีประโยชน์เช่นกันเมื่อคำนวณความยาวของเวกเตอร์:
หยุด. เราไม่ควรใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติที่ชัดเจนของความยาวเวกเตอร์ไม่ใช่หรือ? คุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับความยาวของเวกเตอร์ได้บ้าง? เวกเตอร์นี้ยาวกว่าเวกเตอร์ 5 เท่า ทิศทางนั้นตรงกันข้าม แต่ก็ไม่สำคัญ เพราะเรากำลังพูดถึงความยาว แน่นอนว่าความยาวของเวกเตอร์เท่ากับผลคูณ โมดูลตัวเลขต่อความยาวเวกเตอร์:
– เครื่องหมายโมดูลัส “กิน” ค่าที่เป็นไปได้ลบของตัวเลข
ดังนั้น:
คำตอบ:
สูตรโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่ระบุโดยพิกัด
ตอนนี้เรามีข้อมูลที่ครบถ้วนเพื่อแสดงสูตรที่ได้รับมาก่อนหน้านี้สำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ผ่านพิกัดของเวกเตอร์:
โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ระนาบและ ระบุไว้ตามหลักออร์โธนอร์มอล แสดงโดยสูตร:
.
โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์อวกาศระบุไว้ตามหลักออร์โธนอร์มอล แสดงโดยสูตร:
ตัวอย่างที่ 16
เมื่อพิจารณาจากจุดยอดสามจุดของรูปสามเหลี่ยม ค้นหา (มุมจุดยอด)
สารละลาย:ตามเงื่อนไขไม่จำเป็นต้องวาดรูป แต่ยังคง:
มุมที่ต้องการจะถูกทำเครื่องหมายด้วยส่วนโค้งสีเขียว ให้เราจำชื่อโรงเรียนของมุมได้ทันที: – เอาใจใส่เป็นพิเศษ เฉลี่ยจดหมาย - นี่คือจุดยอดของมุมที่เราต้องการ เพื่อความกระชับ คุณสามารถเขียนง่ายๆ ก็ได้
จากการวาดภาพ เห็นได้ชัดว่ามุมของสามเหลี่ยมเกิดขึ้นพร้อมกับมุมระหว่างเวกเตอร์ หรืออีกนัยหนึ่งคือ: .
ขอแนะนำให้เรียนรู้วิธีการวิเคราะห์ทางจิตใจ
มาหาเวกเตอร์กันดีกว่า:
มาคำนวณผลคูณสเกลาร์กัน:
และความยาวของเวกเตอร์:
โคไซน์ของมุม:
นี่เป็นลำดับของงานที่ฉันแนะนำสำหรับหุ่นเชิดทุกประการ ผู้อ่านขั้นสูงสามารถเขียนการคำนวณ "ในบรรทัดเดียว":
นี่คือตัวอย่างของค่าโคไซน์ "ไม่ดี" ค่าผลลัพธ์ไม่ใช่ค่าสุดท้าย ดังนั้นจึงแทบไม่มีประโยชน์อะไรที่จะกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วนได้
มาหามุมกัน:
หากคุณดูภาพวาดผลลัพธ์ก็ค่อนข้างเป็นไปได้ หากต้องการตรวจสอบ คุณสามารถวัดมุมได้ด้วยไม้โปรแทรกเตอร์ อย่าทำให้ฝาครอบจอภาพเสียหาย =)
คำตอบ:
ในคำตอบเราไม่ลืมสิ่งนั้น ถามเรื่องมุมของสามเหลี่ยม(และไม่เกี่ยวกับมุมระหว่างเวกเตอร์) อย่าลืมระบุคำตอบที่แน่นอน: และค่าประมาณของมุม: พบว่าใช้เครื่องคิดเลข
ผู้ที่ชื่นชอบกระบวนการนี้สามารถคำนวณมุมและตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกันตามรูปแบบบัญญัติได้
ตัวอย่างที่ 17
รูปสามเหลี่ยมถูกกำหนดไว้ในอวกาศด้วยพิกัดของจุดยอด ค้นหามุมระหว่างด้านและ
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน
ส่วนสุดท้ายสั้นๆ จะเน้นไปที่การฉายภาพ ซึ่งเกี่ยวข้องกับผลคูณสเกลาร์ด้วย:
การฉายภาพเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์ การฉายภาพเวกเตอร์ลงบนแกนพิกัด
โคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์
พิจารณาเวกเตอร์และ:
ลองฉายภาพเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์ โดยเราละเว้นตั้งแต่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ตั้งฉากเป็นเวกเตอร์ (เส้นประสีเขียว) ลองนึกภาพว่ารังสีตกกระทบในแนวตั้งฉากกับเวกเตอร์ จากนั้นส่วน (เส้นสีแดง) จะเป็น "เงา" ของเวกเตอร์ ในกรณีนี้ เส้นโครงของเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์คือ LENGTH ของเซกเมนต์ นั่นคือการฉายภาพเป็นตัวเลข
NUMBER นี้แสดงดังนี้: , “เวกเตอร์ขนาดใหญ่” หมายถึงเวกเตอร์ ที่โครงการ “เวกเตอร์ตัวห้อยเล็ก” หมายถึงเวกเตอร์ บนซึ่งมีการฉายภาพไว้
รายการอ่านได้ดังนี้: “การฉายภาพเวกเตอร์ “a” ลงบนเวกเตอร์ “be”
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเวกเตอร์ "be" "สั้นเกินไป" เราวาดเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ "เป็น" และเวกเตอร์ “a” จะถูกฉายภาพไว้แล้ว ไปในทิศทางของเวกเตอร์ "เป็น"เพียง - ไปยังเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ "เป็น" สิ่งเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นหากเวกเตอร์ "a" ถูกเลื่อนออกไปในอาณาจักรที่สามสิบ - มันจะยังคงฉายภาพบนเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ "เป็น" ได้อย่างง่ายดาย
ถ้าจะหักมุม.ระหว่างเวกเตอร์ เผ็ด(ตามภาพ) แล้ว
ถ้าเป็นเวกเตอร์ ตั้งฉากจากนั้น (การฉายภาพคือจุดที่ถือว่ามิติเป็นศูนย์)
ถ้าจะหักมุม.ระหว่างเวกเตอร์ ทื่อ(ในรูปให้จัดเรียงลูกศรเวกเตอร์ใหม่ทางจิตใจ) จากนั้น (ความยาวเท่ากัน แต่ถ่ายด้วยเครื่องหมายลบ)
ให้เราพล็อตเวกเตอร์เหล่านี้จากจุดหนึ่ง:
แน่นอนว่าเมื่อเวกเตอร์เคลื่อนที่ เส้นโครงของเวกเตอร์จะไม่เปลี่ยนแปลง
I. ผลคูณสเกลาร์จะหายไปก็ต่อเมื่อเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์หรือถ้าเวกเตอร์ตั้งฉากกัน ในความเป็นจริง ถ้า หรือ หรือ จากนั้น
ในทางกลับกัน ถ้าเวกเตอร์ที่ถูกคูณไม่เป็นศูนย์ ก็เพราะว่า จากเงื่อนไข
เมื่อเป็นไปตามนี้:
เนื่องจากทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์ไม่แน่นอน จึงถือว่าเวกเตอร์ศูนย์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ใดๆ ได้ ดังนั้น คุณสมบัติที่ระบุของผลิตภัณฑ์สเกลาร์จึงสามารถกำหนดได้สั้นกว่านี้: ผลิตภัณฑ์สเกลาร์จะหายไปหากเวกเตอร์ตั้งฉากกัน
ครั้งที่สอง ผลคูณสเกลาร์มีคุณสมบัติการสับเปลี่ยน:
คุณสมบัตินี้ตามโดยตรงจากคำจำกัดความ:
เพราะชื่อต่างกันในมุมเดียวกัน
สาม. กฎหมายการกระจายสินค้ามีความสำคัญอย่างยิ่ง แอปพลิเคชั่นนี้ใช้งานได้ดีพอ ๆ กับเลขคณิตหรือพีชคณิตทั่วไปซึ่งมีสูตรดังนี้: ในการคูณผลรวมคุณต้องคูณแต่ละเทอมและเพิ่มผลลัพธ์ที่ได้เช่น
แน่นอนว่าการคูณตัวเลขที่มีหลายค่าในเลขคณิตหรือพหุนามในพีชคณิตนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคูณนี้
กฎข้อนี้มีความสำคัญพื้นฐานเหมือนกันในพีชคณิตเวกเตอร์ เนื่องจากบนพื้นฐานของกฎนี้ เราสามารถใช้กฎปกติในการคูณพหุนามกับเวกเตอร์ได้
ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับเวกเตอร์สามตัวใดๆ A, B, C ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง:
ตามคำจำกัดความที่สองของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ซึ่งแสดงโดยสูตร เราได้:
ตอนนี้ใช้คุณสมบัติของ 2 ประมาณการจาก§ 5 เราพบว่า:
Q.E.D.
IV. ผลคูณสเกลาร์มีคุณสมบัติของการรวมกันโดยคำนึงถึงปัจจัยเชิงตัวเลข คุณสมบัตินี้แสดงโดยสูตรต่อไปนี้:
นั่นคือในการคูณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ด้วยตัวเลข ก็เพียงพอที่จะคูณตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งด้วยจำนวนนี้