สั่งได้นะคะ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดงานของคุณ!!!
ความเท่าเทียมกันที่ไม่ทราบค่าภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (`sin x, cos x, tan x` หรือ `ctg x`) เรียกว่าสมการตรีโกณมิติ และเราจะพิจารณาต่อไปเป็นสูตรของสมการเหล่านี้
สมการที่ง่ายที่สุดคือ `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` โดยที่ `x` คือมุมที่จะหา ส่วน `a` คือตัวเลขใดๆ ให้เราเขียนสูตรรูทของแต่ละสูตร
1. สมการ `บาป x=a`
สำหรับ `|a|>1` มันไม่มีวิธีแก้ปัญหา
เมื่อ `|a| \leq 1` มีคำตอบจำนวนอนันต์
สูตรราก: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. สมการ `cos x=a`
สำหรับ `|a|>1` - เช่นเดียวกับในกรณีของไซน์ มันไม่มีคำตอบระหว่างจำนวนจริง
เมื่อ `|a| \leq 1` มีคำตอบจำนวนอนันต์
สูตรราก: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
กรณีพิเศษสำหรับไซน์และโคไซน์ในกราฟ 
3. สมการ `tg x=a`
มีคำตอบจำนวนไม่สิ้นสุดสำหรับค่าใดๆ ของ `a`
สูตรราก: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. สมการ `ctg x=a`
นอกจากนี้ยังมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์สำหรับค่าใด ๆ ของ 'a'
สูตรราก: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
สูตรรากของสมการตรีโกณมิติในตาราง
สำหรับไซน์: 
สำหรับโคไซน์: 
สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์: 
สูตรสำหรับการแก้สมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน:
วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ
การแก้สมการตรีโกณมิติประกอบด้วยสองขั้นตอน:
- ด้วยความช่วยเหลือในการเปลี่ยนแปลงให้เป็นสิ่งที่ง่ายที่สุด
- แก้สมการที่ง่ายที่สุดที่ได้รับโดยใช้สูตรรูทและตารางที่เขียนด้านบน
ลองดูวิธีการแก้ปัญหาหลักโดยใช้ตัวอย่าง
วิธีพีชคณิต
วิธีการนี้เกี่ยวข้องกับการแทนที่ตัวแปรและแทนที่ตัวแปรให้มีความเท่าเทียมกัน
ตัวอย่าง. แก้สมการ: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
ทำการแทนที่: `cos(x+\frac \pi 6)=y` จากนั้น `2y^2-3y+1=0`,
เราพบราก: `y_1=1, y_2=1/2` ซึ่งจะมี 2 กรณีดังนี้:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm อาร์คคอส 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`
คำตอบ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`
การแยกตัวประกอบ
ตัวอย่าง. แก้สมการ: `sin x+cos x=1`
สารละลาย. ลองย้ายเงื่อนไขความเท่าเทียมกันทั้งหมดไปทางซ้าย: `sin x+cos x-1=0` การใช้ เราจะแปลงและแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือ:
`บาป x — 2ซิน^2 x/2=0`,
`2ซิน x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2ซิน x/2 (cos x/2-ซิน x/2)=0`,
- `บาป x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`
คำตอบ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`
การลดลงเป็นสมการเอกพันธ์
ก่อนอื่นคุณต้องสิ่งนี้ สมการตรีโกณมิตินำไปสู่หนึ่งในสองประเภท:
`a sin x+b cos x=0` (สมการเอกพันธ์ของดีกรี 1) หรือ `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (สมการเอกพันธ์ของดีกรี 2)
จากนั้นหารทั้งสองส่วนด้วย `cos x \ne 0` - สำหรับกรณีแรก และด้วย `cos^2 x \ne 0` - สำหรับกรณีที่สอง เราได้สมการสำหรับ `tg x`: `a tg x+b=0` และ `a tg^2 x + b tg x +c =0` ซึ่งจำเป็นต้องแก้ไขโดยใช้วิธีที่ทราบ
ตัวอย่าง. แก้สมการ: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`
สารละลาย. ลองเขียนด้านขวาเป็น `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 บาป^2 x+บาป x cos x — cos^2 x=` `บาป^2 x+cos^2 x`,
`2 บาป^2 x+บาป x cos x — cos^2 x -` ` บาป^2 x — cos^2 x=0`
`บาป^2 x+บาป x cos x — 2 cos^2 x=0`
นี่คือสมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของระดับที่สอง เราหารด้านซ้ายและด้านขวาด้วย `cos^2 x \ne 0` เราได้:
`\frac (บาป^2 x)(cos^2 x)+\frac(บาป x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. เรามาแนะนำการแทนที่ `tg x=t` ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็น `t^2 + t - 2=0` รากของสมการนี้คือ `t_1=-2` และ `t_2=1` แล้ว:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \ใน Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \ใน Z`
คำตอบ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`
ย้ายไปครึ่งมุม
ตัวอย่าง. แก้สมการ: `11 บาป x - 2 cos x = 10`
สารละลาย. ลองใช้สูตรมุมคู่ ซึ่งจะได้ผลลัพธ์เป็น: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 คอส^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
เมื่อใช้วิธีพีชคณิตที่อธิบายไว้ข้างต้น เราได้รับ:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 ส่วนโค้ง 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \ใน Z`
คำตอบ. `x_1=2 ส่วนโค้ง 2+2\pi n, n \ใน Z`, `x_2=ส่วนโค้ง 3/4+2\pi n`, `n \ใน Z`
การแนะนำมุมเสริม
ในสมการตรีโกณมิติ `a sin x + b cos x =c` โดยที่ a,b,c เป็นสัมประสิทธิ์และ x เป็นตัวแปร ให้หารทั้งสองข้างด้วย `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +ข^2))`.
สัมประสิทธิ์ทางด้านซ้ายมีคุณสมบัติเป็นไซน์และโคไซน์ กล่าวคือ ผลรวมของกำลังสองของพวกมันเท่ากับ 1 และโมดูลของพวกมันไม่มากกว่า 1 ให้เราแสดงพวกมันดังนี้: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C` จากนั้น:
`cos \วาร์ฟี บาป x + บาป \วาร์ฟี cos x =C`
ลองมาดูตัวอย่างต่อไปนี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้น:
ตัวอย่าง. แก้สมการ: `3 sin x+4 cos x=2`
สารละลาย. หารทั้งสองข้างของความเท่ากันด้วย `sqrt (3^2+4^2)` เราจะได้:
`\frac (3 บาป x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 บาป x+4/5 เพราะ x=2/5`
ลองแสดงว่า `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` กัน เนื่องจาก `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` เราจึงถือว่า `\varphi=arcsin 4/5` เป็นมุมช่วย จากนั้นเราเขียนความเท่าเทียมกันของเราในรูปแบบ:
`cos \วาร์ฟี บาป x+ซิน \วาร์ฟี cos x=2/5`
เมื่อใช้สูตรสำหรับผลรวมของมุมของไซน์ เราจะเขียนความเท่าเทียมกันในรูปแบบต่อไปนี้:
`บาป (x+\วาร์ฟี)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n อาร์คซิน 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n อาร์คซิน 2/5-` `อาร์คซิน 4/5+ \pi n`, `n \in Z`
คำตอบ. `x=(-1)^n อาร์คซิน 2/5-` `อาร์คซิน 4/5+ \pi n`, `n \in Z`
สมการตรีโกณมิติเชิงเศษส่วน
สิ่งเหล่านี้คือความเท่าเทียมกันของเศษส่วนซึ่งมีทั้งเศษและส่วนประกอบด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ตัวอย่าง. แก้สมการ `\frac (บาป x)(1+cos x)=1-cos x`
สารละลาย. คูณและหารทางด้านขวาของค่าเท่ากันด้วย `(1+cos x)` เป็นผลให้เราได้รับ:
`\frac (บาป x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (บาป x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (บาป x)(1+cos x)=` `\frac (บาป^2 x)(1+cos x)`
`\frac (บาป x)(1+cos x)-` `\frac (บาป^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (บาป x-บาป^2 x)(1+cos x)=0`
เมื่อพิจารณาว่าตัวส่วนไม่สามารถเท่ากับศูนย์ เราจะได้ `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`
ลองหาตัวเศษของเศษส่วนให้เป็นศูนย์: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0` จากนั้น `บาป x=0` หรือ `1-บาป x=0`
- `บาป x=0`, `x=\pi n`, `n \ใน Z`
- `1-บาป x=0`, `บาป x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \ใน Z`
เมื่อพิจารณาว่า ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ผลเฉลยคือ `x=2\pi n, n \in Z` และ `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ใน Z`
คำตอบ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`
โดยเฉพาะอย่างยิ่งตรีโกณมิติและสมการตรีโกณมิติถูกนำมาใช้ในเรขาคณิต ฟิสิกส์ และวิศวกรรมศาสตร์เกือบทั้งหมด การศึกษาเริ่มต้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 มีงานสำหรับการสอบ Unified State อยู่เสมอ ดังนั้นพยายามจำสูตรสมการตรีโกณมิติทั้งหมด - สูตรเหล่านี้จะเป็นประโยชน์กับคุณอย่างแน่นอน!
อย่างไรก็ตาม คุณไม่จำเป็นต้องจดจำสิ่งเหล่านี้ด้วยซ้ำ สิ่งสำคัญคือการเข้าใจแก่นแท้และสามารถสืบทอดมาได้ มันไม่ยากอย่างที่คิด ดูตัวคุณเองด้วยการดูวิดีโอ
สมการตรีโกณมิติไม่ใช่เรื่องง่าย มีความหลากหลายมากเกินไป) ตัวอย่างเช่น:
บาป 2 x + cos3x = ctg5x
บาป(5x+π /4) = เตียงเด็ก(2x-π /3)
ซิน x + cos2x + tg3x = ctg4x
ฯลฯ...
แต่สัตว์ประหลาดเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติเหล่านี้ (และอื่น ๆ ทั้งหมด) มีคุณสมบัติทั่วไปและบังคับสองประการ อย่างแรก - คุณจะไม่เชื่อ - มีฟังก์ชันตรีโกณมิติในสมการ) ประการที่สอง: พบนิพจน์ทั้งหมดที่มี x ภายในฟังก์ชันเดียวกันนี้และที่นั่นเท่านั้น! หาก X ปรากฏที่ไหนสักแห่ง ข้างนอก,ตัวอย่างเช่น, บาป2x + 3x = 3,นี่จะเป็นสมการอยู่แล้ว ประเภทผสม. สมการดังกล่าวต้องการ แนวทางของแต่ละบุคคล. เราจะไม่พิจารณาพวกเขาที่นี่
เราจะไม่แก้สมการชั่วร้ายในบทเรียนนี้เช่นกัน) เราจะพูดถึงที่นี่ สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดทำไม ใช่เพราะว่าทางแก้ ใดๆสมการตรีโกณมิติประกอบด้วยสองขั้นตอน ในระยะแรก สมการชั่วร้ายจะลดลงเหลือเพียงสมการง่ายๆ ผ่านการเปลี่ยนแปลงต่างๆ ประการที่สอง สมการที่ง่ายที่สุดนี้ได้รับการแก้ไขแล้ว ไม่มีทางอื่น.
ดังนั้นหากคุณมีปัญหาในระยะที่สอง ระยะแรกก็ไม่ค่อยสมเหตุสมผลนัก)
สมการตรีโกณมิติเบื้องต้นมีหน้าตาเป็นอย่างไร?
บาป = ก
คอกซ์ = ก
tgx = ก
CTGX = ก
ที่นี่ ก ย่อมาจากตัวเลขใดๆ ใดๆ.
อย่างไรก็ตาม ภายในฟังก์ชันอาจไม่มี X บริสุทธิ์ แต่มีนิพจน์บางอย่าง เช่น:
คอส(3x+π /3) = 1/2
ฯลฯ สิ่งนี้ทำให้ชีวิตซับซ้อน แต่ไม่ส่งผลกระทบต่อวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ
จะแก้สมการตรีโกณมิติได้อย่างไร?
สมการตรีโกณมิติสามารถแก้ไขได้สองวิธี วิธีแรก: การใช้ตรรกะและวงกลมตรีโกณมิติ เราจะดูเส้นทางนี้ที่นี่ วิธีที่สอง - การใช้หน่วยความจำและสูตร - จะกล่าวถึงในบทถัดไป
วิธีแรกชัดเจน เชื่อถือได้ และลืมยาก) เหมาะสำหรับแก้สมการตรีโกณมิติ อสมการ และตัวอย่างที่ไม่ได้มาตรฐานที่ยุ่งยากทุกประเภท ตรรกะแข็งแกร่งกว่าหน่วยความจำ!)
การแก้สมการโดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ
เรารวมตรรกะเบื้องต้นและความสามารถในการใช้วงกลมตรีโกณมิติ คุณไม่ทราบวิธีการ? อย่างไรก็ตาม... คุณจะมีช่วงเวลาที่ยากลำบากในวิชาตรีโกณมิติ...) แต่มันก็ไม่สำคัญ มาดูบทเรียน "วงกลมตรีโกณมิติ...... คืออะไร" และ "การวัดมุมบนวงกลมตรีโกณมิติ" ทุกอย่างเรียบง่ายที่นั่น ต่างจากตำราเรียน...)
โอ้รู้ยัง!? แถมยังเชี่ยวชาญเรื่อง “การปฏิบัติจริงกับวงกลมตรีโกณมิติ” อีกด้วย!? ยินดีด้วย. หัวข้อนี้จะใกล้เคียงและเข้าใจสำหรับคุณ) สิ่งที่น่ายินดีเป็นพิเศษคือวงกลมตรีโกณมิติไม่สนใจว่าคุณจะแก้สมการใด ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์ - ทุกอย่างเหมือนกันสำหรับเขา มีหลักการแก้ปัญหาเพียงข้อเดียว
เราก็หาสมการตรีโกณมิติเบื้องต้นมา อย่างน้อยสิ่งนี้:
คอกซ์ = 0.5
เราจำเป็นต้องค้นหา X. คุณต้องพูดเป็นภาษามนุษย์ ค้นหามุม (x) ที่มีโคไซน์เท่ากับ 0.5
ก่อนหน้านี้เราใช้วงกลมอย่างไร? เราวาดมุมบนมัน เป็นองศาหรือเรเดียน และทันที เลื่อย ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมนี้ ทีนี้ลองทำตรงกันข้ามกัน ลองวาดโคไซน์บนวงกลมเท่ากับ 0.5 และทันที เราจะเห็น มุม. สิ่งที่เหลืออยู่คือจดคำตอบ) ใช่แล้ว!
วาดวงกลมและทำเครื่องหมายโคไซน์เท่ากับ 0.5 บนแกนโคไซน์แน่นอน แบบนี้:
ทีนี้ลองวาดมุมที่โคไซน์นี้ให้เราดู วางเมาส์เหนือรูปภาพ (หรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ต) และ คุณจะเห็นมุมนี้เอง เอ็กซ์
โคไซน์ของมุมใดคือ 0.5?
x = π /3
เพราะ 60°= cos( พาย /3) = 0,5
บางคนจะหัวเราะอย่างไม่เชื่อหู ใช่แล้ว... เช่น คุ้มไหมที่จะเป็นวงกลมเมื่อทุกอย่างชัดเจนแล้ว... คุณสามารถหัวเราะได้แน่นอน...) แต่ความจริงก็คือว่านี่เป็นคำตอบที่ผิดพลาด หรือค่อนข้างไม่เพียงพอ ผู้ชื่นชอบวงกลมเข้าใจว่ายังมีมุมอื่นๆ อีกมากที่นี่ที่ให้โคไซน์เป็น 0.5 เช่นกัน
หากหมุนด้านเคลื่อนที่ OA เลี้ยวเต็มจุด A จะกลับสู่ตำแหน่งเดิม โดยมีโคไซน์เท่ากันเท่ากับ 0.5 เหล่านั้น. มุมจะเปลี่ยนคูณ 360° หรือ 2π เรเดียน และ โคไซน์ - ไม่มุมใหม่ 60° + 360° = 420° จะเป็นคำตอบของสมการของเราด้วย เพราะ
การปฏิวัติที่สมบูรณ์นั้นสามารถเกิดขึ้นได้ไม่จำกัดจำนวน... และมุมใหม่ทั้งหมดนี้จะเป็นคำตอบของสมการตรีโกณมิติของเรา และพวกเขาทั้งหมดจำเป็นต้องเขียนลงไปเพื่อตอบโต้ ทั้งหมด.ไม่งั้นไม่นับรวมการตัดสินใจครับ...)
คณิตศาสตร์สามารถทำได้ง่ายและสวยงาม เขียนลงในคำตอบสั้นๆ คำตอบเดียว ชุดอนันต์การตัดสินใจ สมการของเรามีลักษณะดังนี้:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
ฉันจะถอดรหัสมัน ยังคงเขียน อย่างมีความหมายมันน่าสนุกมากกว่าการเขียนตัวอักษรลึกลับอย่างโง่เขลาใช่ไหม?)
พาย /3 - นี่คือมุมเดียวกับเรา เลื่อยบนวงกลมและ มุ่งมั่นตามตารางโคไซน์
2π คือการปฏิวัติที่สมบูรณ์ในหน่วยเรเดียน
n - นี่คือจำนวนที่สมบูรณ์นั่นคือ ทั้งหมดรอบต่อนาที เป็นที่ชัดเจนว่า n สามารถเท่ากับ 0, ±1, ±2, ±3.... และอื่นๆ ตามที่ระบุโดยรายการสั้น:
n ∈ Z
n เป็นของ ( ∈ ) ชุดของจำนวนเต็ม ( ซี ). โดยวิธีการแทนจดหมาย n สามารถใช้ตัวอักษรได้ดี เค, ม, ที ฯลฯ
สัญกรณ์นี้หมายความว่าคุณสามารถใช้จำนวนเต็มใดก็ได้ n . อย่างน้อย -3 อย่างน้อย 0 อย่างน้อย +55 สิ่งที่คุณต้องการ หากคุณแทนตัวเลขนี้เป็นคำตอบ คุณจะได้มุมเฉพาะ ซึ่งจะเป็นคำตอบของสมการที่รุนแรงของเราอย่างแน่นอน)
หรืออีกนัยหนึ่งคือ x = π /3 เป็นเพียงรากเดียวของเซตอนันต์ หากต้องการหารากอื่นๆ ทั้งหมด ก็เพียงพอที่จะเพิ่มจำนวนรอบการหมุนทั้งหมดให้กับ π /3 ( n ) เป็นเรเดียน เหล่านั้น. 2πn เรเดียน.
ทั้งหมด? เลขที่ ฉันจงใจยืดเวลาความสุขออกไป เพื่อให้จำได้ดีขึ้น) เราได้รับคำตอบของสมการเพียงบางส่วนเท่านั้น ฉันจะเขียนส่วนแรกของวิธีแก้ปัญหาดังนี้:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x1 - ไม่ใช่แค่รากเดียว แต่เป็นรากทั้งชุดที่เขียนในรูปแบบย่อ
แต่ก็มีมุมที่ให้โคไซน์เท่ากับ 0.5 ด้วย!
กลับไปที่รูปภาพที่เราจดคำตอบไว้ เธออยู่นี่:
วางเมาส์เหนือภาพและ ที่เราเห็นอีกมุมหนึ่งนั้น ให้โคไซน์เป็น 0.5 ด้วยคุณคิดว่ามันเท่ากับอะไร? สามเหลี่ยมก็เหมือนกัน...ใช่แล้ว! เขา เท่ากับมุม เอ็กซ์ ล่าช้าไปในทิศทางลบเท่านั้น นี่คือมุม -เอ็กซ์ แต่เราคำนวณ x แล้ว π /3 หรือ 60° ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้อย่างปลอดภัย:
x 2 = - π /3
แน่นอนว่า เราบวกมุมทั้งหมดที่ได้รับจากการปฏิวัติแบบเต็ม:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
เท่านี้ก็เรียบร้อย) เราอยู่บนวงกลมตรีโกณมิติ เลื่อย(ใครเข้าใจแน่นอน)) ทั้งหมดมุมที่ให้โคไซน์เท่ากับ 0.5 และเราเขียนมุมเหล่านี้ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์สั้นๆ คำตอบทำให้เกิดรากสองชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง
หวัง, หลักการทั่วไปในการแก้สมการตรีโกณมิติใช้วงกลมก็ชัดเจน เราทำเครื่องหมายโคไซน์ (ไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์) จากสมการที่กำหนดบนวงกลม วาดมุมที่สอดคล้องกับมันแล้วจดคำตอบแน่นอน เราต้องรู้ว่าเราอยู่มุมไหน เลื่อยบนวงกลม บางครั้งมันก็ไม่ได้ชัดเจนนัก ฉันบอกว่าต้องใช้ตรรกะที่นี่)
ตัวอย่างเช่น ลองดูสมการตรีโกณมิติอื่น:
โปรดทราบว่าเลข 0.5 ไม่ใช่ตัวเลขเดียวที่เป็นไปได้ในสมการ!) ฉันเขียนมันได้สะดวกกว่ารากและเศษส่วน
เราทำงานตามหลักการทั่วไป เราวาดวงกลมทำเครื่องหมาย (บนแกนไซน์แน่นอน!) 0.5 เราวาดมุมทั้งหมดที่สอดคล้องกับไซน์นี้ทันที เราได้รับภาพนี้:
มาจัดการกับมุมกันก่อน เอ็กซ์ ในไตรมาสแรก เราจำตารางไซน์และกำหนดค่าของมุมนี้ มันเป็นเรื่องง่ายๆ:
x = π /6
เราจำได้ประมาณผลัดกันเต็มและเขียนคำตอบชุดแรกด้วยมโนธรรมที่ชัดเจน:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
งานเสร็จไปครึ่งหนึ่งแล้ว แต่ตอนนี้เราต้องตัดสินใจ มุมที่สอง...มันยากกว่าการใช้โคไซน์ ใช่แล้ว... แต่ตรรกะจะช่วยเราได้! วิธีการกำหนดมุมที่สอง ผ่าน x? ใช่ง่าย! สามเหลี่ยมในภาพเหมือนกันและมุมสีแดง เอ็กซ์ เท่ากับมุม เอ็กซ์ . นับจากมุม π ไปในทิศทางลบเท่านั้น ด้วยเหตุนี้จึงเป็นสีแดง) และสำหรับคำตอบ เราจำเป็นต้องมีมุมที่วัดได้อย่างถูกต้องจาก OX กึ่งแกนบวก เช่น จากมุม 0 องศา
เราวางเคอร์เซอร์ไว้เหนือภาพวาดแล้วดูทุกอย่าง ฉันลบมุมแรกออกเพื่อไม่ให้ภาพซับซ้อน มุมที่เราสนใจ (วาดด้วยสีเขียว) จะเท่ากับ:
π - x
เอ็กซ์ เรารู้เรื่องนี้ พาย /6 . ดังนั้นมุมที่สองจะเป็น:
π - π /6 = 5π /6
เราจำอีกครั้งเกี่ยวกับการเพิ่มการปฏิวัติเต็มรูปแบบและเขียนคำตอบชุดที่สอง:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
นั่นคือทั้งหมดที่ คำตอบที่สมบูรณ์ประกอบด้วยรากสองชุด:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
สมการแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สามารถแก้ได้อย่างง่ายดายโดยใช้หลักการทั่วไปเดียวกันในการแก้สมการตรีโกณมิติ แน่นอน หากคุณรู้วิธีวาดแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติ
ในตัวอย่างข้างต้น ฉันใช้ค่าตารางของไซน์และโคไซน์: 0.5 เหล่านั้น. ความหมายหนึ่งที่นักเรียนรู้ ต้อง.ตอนนี้เรามาขยายขีดความสามารถของเราไปที่ ค่าอื่นๆ ทั้งหมดตัดสินใจแล้วตัดสินใจ!)
สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้สมการตรีโกณมิตินี้:
ค่าโคไซน์ดังกล่าวเป็น ตารางสั้น ๆเลขที่ เราเพิกเฉยต่อข้อเท็จจริงอันเลวร้ายนี้อย่างเย็นชา วาดวงกลม ทำเครื่องหมาย 2/3 บนแกนโคไซน์ แล้ววาดมุมที่สอดคล้องกัน เราได้ภาพนี้มา
มาดูมุมในไตรมาสแรกกันก่อน ถ้าเรารู้ว่า x เท่ากับอะไร เราก็จะเขียนคำตอบทันที! เราไม่รู้...ล้มเหลว!? เงียบสงบ! คณิตศาสตร์ไม่ทำให้คนเดือดร้อน! เธอคิดอาร์คโคไซน์ในกรณีนี้ได้ ไม่ทราบ? เปล่าประโยชน์. ค้นหาว่ามันง่ายกว่าที่คุณคิดมาก ลิงก์นี้ไม่มีคาถาที่ซับซ้อนเกี่ยวกับ "ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน"... สิ่งนี้ไม่จำเป็นในหัวข้อนี้
หากคุณรู้อยู่แล้ว เพียงพูดกับตัวเองว่า “X คือมุมที่มีโคไซน์เท่ากับ 2/3” และในทันทีโดยนิยามของอาร์คโคไซน์ เราสามารถเขียนได้:
เราจำเกี่ยวกับการปฏิวัติเพิ่มเติมและเขียนรากชุดแรกของสมการตรีโกณมิติของเราอย่างใจเย็น:
x 1 = ส่วนโค้ง 2/3 + 2π n, n ∈ Z
รากชุดที่สองของมุมที่สองเกือบจะเขียนลงไปโดยอัตโนมัติ ทุกอย่างเหมือนกัน มีเพียง X (arccos 2/3) เท่านั้นที่จะมีเครื่องหมายลบ:
x 2 = - ส่วนโค้ง 2/3 + 2π n, n ∈ Z
แค่นั้นแหละ! นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง ง่ายกว่าด้วยค่าตาราง ไม่จำเป็นต้องจำอะไรเลย) อย่างไรก็ตาม ผู้ใส่ใจมากที่สุดจะสังเกตเห็นว่าภาพนี้แสดงคำตอบผ่านอาร์คโคไซน์ โดยพื้นฐานแล้วไม่ต่างจากในรูปของสมการ cosx = 0.5
อย่างแน่นอน! หลักการทั่วไปจึงเป็นเรื่องธรรมดา! ฉันจงใจวาดภาพที่เกือบจะเหมือนกันสองภาพ วงกลมแสดงให้เราเห็นมุม เอ็กซ์ โดยโคไซน์ของมัน ไม่ว่ามันจะเป็นโคไซน์แบบตารางหรือไม่ก็ตามนั้นทุกคนไม่ทราบ มุมนี้เป็นมุมแบบไหน π /3 หรือส่วนโค้งโคไซน์เป็นเท่าใด ขึ้นอยู่กับเราที่จะตัดสินใจ
เพลงเดียวกันกับไซน์ ตัวอย่างเช่น:
วาดวงกลมอีกครั้ง ทำเครื่องหมายไซน์เท่ากับ 1/3 วาดมุม นี่คือภาพที่เราได้รับ:
และอีกครั้งที่ภาพเกือบจะเหมือนกับสมการ บาปx = 0.5อีกครั้งเราเริ่มจากมุมในควอเตอร์แรก X จะเท่ากับอะไรถ้าไซน์ของมันคือ 1/3? ไม่มีปัญหา!
ตอนนี้รูทชุดแรกพร้อมแล้ว:
x 1 = อาร์คซิน 1/3 + 2π n, n ∈ Z
มาจัดการกับมุมที่สองกันดีกว่า ในตัวอย่างที่มีค่าตาราง 0.5 จะเท่ากับ:
π - x
ที่นี่ก็จะเหมือนกันทุกประการ! ต่างกันแค่ x อาร์คซิน 1/3 แล้วไง!? คุณสามารถจดรากชุดที่สองได้อย่างปลอดภัย:
x 2 = π - ส่วนโค้ง 1/3 + 2π n, n ∈ Z
นี่เป็นคำตอบที่ถูกต้องสมบูรณ์ ถึงแม้จะดูไม่ค่อยคุ้นเคยก็ตาม แต่ฉันหวังว่ามันชัดเจน)
นี่คือวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติโดยใช้วงกลม เส้นทางนี้ชัดเจนและเข้าใจได้ เขาคือผู้ที่บันทึกสมการตรีโกณมิติด้วยการเลือกรากในช่วงเวลาที่กำหนดในอสมการตรีโกณมิติ - โดยทั่วไปแล้วจะแก้ไขเป็นวงกลมเกือบตลอดเวลา กล่าวโดยสรุปก็คือ ในงานใดก็ตามที่ยากกว่างานมาตรฐานเล็กน้อย
เรามาประยุกต์ความรู้ในทางปฏิบัติกันไหม?)
แก้สมการตรีโกณมิติ:
ขั้นแรก ง่ายกว่า ตรงจากบทเรียนนี้
ตอนนี้มันซับซ้อนมากขึ้น
คำแนะนำ: ที่นี่คุณจะต้องคิดถึงวงกลม ส่วนตัว.)
และตอนนี้ภายนอกก็เรียบง่าย... เรียกอีกอย่างว่ากรณีพิเศษ
บาป = 0
บาป = 1
คอกซ์ = 0
คอกซ์ = -1
คำแนะนำ: ในที่นี้ คุณต้องหาคำตอบในวงกลมว่ามีคำตอบสองชุดและมีคำตอบเดียว... และจะเขียนคำตอบได้อย่างไรแทนที่จะเขียนคำตอบสองชุด ใช่ เพื่อไม่ให้สูญเสียรากเดียวจากจำนวนอนันต์!)
ง่ายมาก):
บาป = 0,3
คอกซ์ = π
ทีจีเอ็กซ์ = 1,2
ซีทีจีเอ็กซ์ = 3,7
คำแนะนำ: ที่นี่คุณต้องรู้ว่าอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์คืออะไร? อาร์กแทนเจนต์ อาร์กโคแทนเจนต์ คืออะไร? ที่สุด คำจำกัดความง่ายๆ. แต่คุณไม่จำเป็นต้องจำค่าตารางใดๆ เลย!)
แน่นอนว่าคำตอบคือความยุ่งเหยิง):
x1= ส่วนโค้งซิน0,3 + 2π n, n ∈ Z
x2= π - ส่วนโค้งซิน0.3 + 2
ทุกอย่างไม่ได้ผลใช่ไหม? เกิดขึ้น อ่านบทเรียนอีกครั้ง เท่านั้น รอบคอบ(ก็มีแบบนี้. คำล้าสมัย...) และติดตามลิงค์ ลิงค์หลักเกี่ยวกับวงกลม หากไม่มีสิ่งนี้ ตรีโกณมิติก็เหมือนกับการปิดตาข้ามถนน บางครั้งก็ได้ผล)
หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...
ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้
การแก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย
การแก้สมการตรีโกณมิติในระดับความซับซ้อนใดๆ ท้ายที่สุดแล้วต้องอาศัยการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด และในวงกลมตรีโกณมิตินี้กลับกลายเป็นผู้ช่วยที่ดีที่สุดอีกครั้ง
เรามาจำคำจำกัดความของโคไซน์และไซน์กันดีกว่า
โคไซน์ของมุมคือค่าแอบซิสซา (นั่นคือ พิกัดตามแกน) ของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งสอดคล้องกับการหมุนผ่านมุมที่กำหนด
ไซน์ของมุมคือพิกัด (นั่นคือ พิกัดตามแกน) ของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งสอดคล้องกับการหมุนผ่านมุมที่กำหนด
ทิศทางการเคลื่อนที่เชิงบวกบนวงกลมตรีโกณมิติจะเป็นทวนเข็มนาฬิกา การหมุน 0 องศา (หรือ 0 เรเดียน) สอดคล้องกับจุดที่มีพิกัด (1;0)
เราใช้คำจำกัดความเหล่านี้เพื่อแก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย
1. แก้สมการ
สมการนี้พอใจกับค่าทั้งหมดของมุมการหมุนที่สอดคล้องกับจุดบนวงกลมซึ่งมีพิกัดเท่ากับ .
เรามาทำเครื่องหมายจุดด้วยการวางแนวบนแกนกำหนด:
วาดเส้นแนวนอนขนานกับแกน x จนกระทั่งตัดกับวงกลม เราได้สองแต้มบนวงกลมและมีออร์ดิเนท จุดเหล่านี้สอดคล้องกับมุมการหมุนในและเรเดียน:
ถ้าเราปล่อยให้จุดที่สอดคล้องกับมุมการหมุนเป็นเรเดียน ให้เดินไปรอบๆ วงกลมเต็มจากนั้นเราจะมาถึงจุดที่สอดคล้องกับมุมการหมุนต่อเรเดียนและมีพิกัดเดียวกัน นั่นคือมุมการหมุนนี้เป็นไปตามสมการของเราด้วย เราสามารถทำการปฏิวัติ "ไม่ได้ใช้งาน" ได้มากเท่าที่ต้องการ โดยกลับไปที่จุดเดิม และค่ามุมทั้งหมดเหล่านี้จะเป็นไปตามสมการของเรา จำนวนการปฏิวัติ "ไม่ได้ใช้งาน" จะแสดงด้วยตัวอักษร (หรือ) เนื่องจากเราสามารถทำการปฏิวัติทั้งในทิศทางบวกและลบ (หรือ) สามารถใช้ค่าจำนวนเต็มใดก็ได้
นั่นคือคำตอบชุดแรกของสมการดั้งเดิมมีรูปแบบ:
, , - ชุดของจำนวนเต็ม (1)
ในทำนองเดียวกัน โซลูชันชุดที่สองมีรูปแบบ:
, ที่ไหน , . (2)
ดังที่คุณอาจเดาได้ ชุดวิธีแก้ปัญหานี้อิงจากจุดบนวงกลมที่สอดคล้องกับมุมการหมุนด้วย
โซลูชันทั้งสองชุดนี้สามารถรวมกันเป็นรายการเดียวได้:
หากเราทำ (นั่นคือ คู่) ในรายการนี้ เราจะได้คำตอบชุดแรก
ถ้าเราเอา (นั่นคือคี่) ในรายการนี้ เราจะได้คำตอบชุดที่สอง
2. ทีนี้มาแก้สมการกัน
เนื่องจากนี่คือจุดแอบซิสซาของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ได้จากการหมุนมุมหนึ่ง เราจึงทำเครื่องหมายจุดนั้นด้วยจุดแอบซิสซาบนแกน:
มาดำเนินการกัน เส้นแนวตั้งขนานกับแกนจนตัดกับวงกลม เราจะได้สองแต้มที่วางอยู่บนวงกลมและมีแอบซิสซา จุดเหล่านี้สอดคล้องกับมุมการหมุนในและเรเดียน โปรดจำไว้ว่าเมื่อเคลื่อนที่ตามเข็มนาฬิกา เราจะได้มุมการหมุนที่เป็นลบ:
ให้เราเขียนวิธีแก้ปัญหาสองชุด:
,
,
(เราจะไปถึงจุดที่ต้องการโดยไปจากวงเวียนหลักนั่นคือ
มารวมสองซีรี่ส์นี้เป็นรายการเดียว:
3. แก้สมการ
เส้นสัมผัสกันลากผ่านจุดด้วยพิกัด (1,0) ของวงกลมหนึ่งหน่วยขนานกับแกน OY
ลองทำเครื่องหมายจุดนั้นด้วยพิกัดเท่ากับ 1 (เรากำลังมองหาแทนเจนต์ที่มุมเท่ากับ 1):
ลองเชื่อมต่อจุดนี้กับจุดกำเนิดของพิกัดด้วยเส้นตรงและทำเครื่องหมายจุดตัดของเส้นด้วยวงกลมหน่วย จุดตัดของเส้นตรงและวงกลมสอดคล้องกับมุมการหมุนบน และ :
เนื่องจากจุดที่สอดคล้องกับมุมการหมุนที่เป็นไปตามสมการของเรานั้นอยู่ห่างจากกันเป็นเรเดียน เราจึงสามารถเขียนคำตอบได้ดังนี้:
4. แก้สมการ
เส้นโคแทนเจนต์ผ่านจุดโดยมีพิกัดของวงกลมหนึ่งหน่วยขนานกับแกน
ลองทำเครื่องหมายจุดด้วย abscissa -1 บนเส้นโคแทนเจนต์:
ลองเชื่อมต่อจุดนี้กับจุดกำเนิดของเส้นตรงแล้วทำต่อไปจนกว่าจะตัดกับวงกลม เส้นตรงนี้จะตัดวงกลมที่จุดที่สอดคล้องกับมุมการหมุนในและเรเดียน:
เนื่องจากจุดเหล่านี้แยกจากกันด้วยระยะห่างเท่ากับ เราจึงสามารถเขียนคำตอบทั่วไปของสมการนี้ได้ดังนี้:
ในตัวอย่างที่ให้มาซึ่งแสดงให้เห็นถึงการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดจะใช้ค่าตารางของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
อย่างไรก็ตาม หากทางด้านขวาของสมการมีค่าที่ไม่ใช่ตาราง เราจะแทนค่าดังกล่าวลงในคำตอบทั่วไปของสมการ:
โซลูชั่นพิเศษ:
ให้เราทำเครื่องหมายจุดบนวงกลมที่มีพิกัดเป็น 0:
ให้เราทำเครื่องหมายจุดเดียวบนวงกลมที่มีพิกัดเป็น 1:
ให้เราทำเครื่องหมายจุดเดียวบนวงกลมซึ่งมีพิกัดเท่ากับ -1:
เนื่องจากเป็นเรื่องปกติที่จะต้องระบุค่าที่ใกล้กับศูนย์มากที่สุดเราจึงเขียนวิธีแก้ปัญหาดังนี้:
ให้เราทำเครื่องหมายจุดบนวงกลมที่มี abscissa เท่ากับ 0:
5.
ให้เราทำเครื่องหมายจุดเดียวบนวงกลมซึ่งมีจุดตัดเท่ากับ 1:
ให้เราทำเครื่องหมายจุดเดียวบนวงกลมซึ่งมีจุด Abscissa เท่ากับ -1:
และตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย:
1.
ไซน์เท่ากับหนึ่งถ้าอาร์กิวเมนต์เท่ากับ
อาร์กิวเมนต์ของไซน์ของเราเท่ากัน ดังนั้นเราจึงได้:
ลองหารทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกันด้วย 3:
คำตอบ:
2.
โคไซน์เป็นศูนย์ถ้าอาร์กิวเมนต์ของโคไซน์เป็น
อาร์กิวเมนต์ของโคไซน์ของเราเท่ากับ ดังนั้นเราจึงได้:
มาแสดงกัน เพื่อทำสิ่งนี้ก่อนอื่นเราย้ายไปทางขวาโดยมีเครื่องหมายตรงข้าม:
มาทำให้ด้านขวาง่ายขึ้น:
หารทั้งสองข้างด้วย -2:
โปรดทราบว่าเครื่องหมายหน้าเทอมจะไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจาก k สามารถรับค่าจำนวนเต็มใดๆ ก็ได้
คำตอบ:
และสุดท้าย ชมวิดีโอสอนเรื่อง “การเลือกรากในสมการตรีโกณมิติโดยใช้ วงกลมตรีโกณมิติ"
นี่เป็นการสรุปการสนทนาของเราเกี่ยวกับการแก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย คราวหน้าเราจะมาพูดถึงวิธีการตัดสินใจกัน
เมื่อแก้ได้หลายอย่าง ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกิดขึ้นก่อนชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 มีการกำหนดลำดับการกระทำที่จะนำไปสู่เป้าหมายอย่างชัดเจน ปัญหาดังกล่าวได้แก่ เช่น ปัญหาเชิงเส้นและ สมการกำลังสอง, เชิงเส้นและ อสมการกำลังสอง, สมการเศษส่วนและสมการที่ลดขนาดเป็นกำลังสอง หลักการแก้ปัญหาแต่ละอย่างให้ประสบความสำเร็จมีดังนี้: คุณต้องกำหนดประเภทของปัญหาที่คุณกำลังแก้ไข จำลำดับการกระทำที่จำเป็นที่จะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ต้องการ เช่น ตอบและทำตามขั้นตอนเหล่านี้
เห็นได้ชัดว่าความสำเร็จหรือความล้มเหลวในการแก้ปัญหาเฉพาะนั้นขึ้นอยู่กับวิธีการกำหนดประเภทของสมการที่กำลังแก้อย่างถูกต้องและวิธีการสร้างลำดับของทุกขั้นตอนของการแก้ปัญหาอย่างถูกต้องเพียงใด แน่นอน ในกรณีนี้ จำเป็นต้องมีทักษะในการดำเนินการแปลงและการคำนวณที่เหมือนกัน
สถานการณ์จะแตกต่างออกไปด้วย สมการตรีโกณมิติไม่ใช่เรื่องยากเลยที่จะระบุความจริงที่ว่าสมการนี้เป็นวิชาตรีโกณมิติ ความยากลำบากเกิดขึ้นเมื่อกำหนดลำดับการกระทำที่จะนำไปสู่คำตอบที่ถูกต้อง
โดย รูปร่างสมการ บางครั้งจึงระบุชนิดของสมการได้ยาก และหากไม่ทราบประเภทของสมการ ก็แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเลือกสมการที่ถูกต้องจากสูตรตรีโกณมิติหลายสิบสูตร
ในการแก้สมการตรีโกณมิติ คุณต้องลอง:
1. นำฟังก์ชันทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการมาสู่ "มุมเดียวกัน"
2. นำสมการมาสู่ "ฟังก์ชันเหมือนกัน"
3. แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ ฯลฯ
ลองพิจารณาดู วิธีพื้นฐานในการแก้สมการตรีโกณมิติ
I. การลดสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
แผนภาพการแก้ปัญหา
ขั้นตอนที่ 1.แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติในแง่ขององค์ประกอบที่ทราบ
ขั้นตอนที่ 2.ค้นหาอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร:
คอส x = ก; x = ±อาร์คคอส a + 2πn, n ЄZ
บาป x = ก; x = (-1) n อาร์คซิน a + πn, n Є Z
สีแทน x = ก; x = อาร์คแทน a + πn, n Є Z
ซีทีจี x = ก; x = ส่วนโค้ง a + πn, n Є Z
ขั้นตอนที่ 3ค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จัก
ตัวอย่าง.
2 คอส(3x – π/4) = -√2
สารละลาย.
1) คอส(3x – π/4) = -√2/2
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z
คำตอบ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z
ครั้งที่สอง การแทนที่ตัวแปร
แผนภาพการแก้ปัญหา
ขั้นตอนที่ 1.ลดสมการให้อยู่ในรูปพีชคณิตโดยเทียบกับหนึ่งในฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ขั้นตอนที่ 2.แสดงฟังก์ชันผลลัพธ์ด้วยตัวแปร t (หากจำเป็น ให้กำหนดข้อจำกัดของ t)
ขั้นตอนที่ 3เขียนและแก้สมการพีชคณิตที่ได้
ขั้นตอนที่ 4ทำการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ
ขั้นตอนที่ 5แก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
ตัวอย่าง.
2คอส 2 (x/2) – 5ซิน (x/2) – 5 = 0
สารละลาย.
1) 2(1 – บาป 2 (x/2)) – 5บาป (x/2) – 5 = 0;
2ซิน 2 (x/2) + 5ซิน (x/2) + 3 = 0
2) ให้บาป (x/2) = t โดยที่ |t| ≤ 1
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 หรือ e = -3/2 ไม่ตรงตามเงื่อนไข |t| ≤ 1
4) บาป(x/2) = 1
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z
คำตอบ: x = π + 4πn, n Є Z
สาม. วิธีการลดลำดับสมการ
แผนภาพการแก้ปัญหา
ขั้นตอนที่ 1.แทนที่สมการนี้ด้วยสมการเชิงเส้นโดยใช้สูตรลดระดับ:
บาป 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
คอส 2 x = 1/2 · (1 + คอส 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x)
ขั้นตอนที่ 2.แก้สมการผลลัพธ์โดยใช้วิธีที่ I และ II
ตัวอย่าง.
คอส 2x + คอส 2 x = 5/4
สารละลาย.
1) คอส 2x + 1/2 · (1 + คอส 2x) = 5/4
2) คอส 2x + 1/2 + 1/2 · คอส 2x = 5/4;
3/2 คอส 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z
คำตอบ: x = ±π/6 + πn, n Є Z
IV. สมการเอกพันธ์
แผนภาพการแก้ปัญหา
ขั้นตอนที่ 1.ลดสมการนี้ให้อยู่ในรูปแบบ
ก) a sin x + b cos x = 0 (สมการเอกพันธ์ของดีกรีแรก)
หรือเพื่อชมวิว
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (สมการเอกพันธ์ของดีกรีที่สอง)
ขั้นตอนที่ 2.หารทั้งสองข้างของสมการด้วย
ก) cos x ≠ 0;
ข) cos 2 x ≠ 0;
และรับสมการของ tan x:
ก) สีน้ำตาล x + b = 0;
b) สีน้ำตาล 2 x + b arctan x + c = 0
ขั้นตอนที่ 3แก้สมการโดยใช้วิธีที่ทราบ
ตัวอย่าง.
5ซิน 2 x + 3ซิน x คอส x – 4 = 0
สารละลาย.
1) 5ซิน 2 x + 3ซิน x · cos x – 4(ซิน 2 x + cos 2 x) = 0;
5ซิน 2 x + 3ซิน x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
บาป 2 x + 3ซิน x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0
2) ทีจี 2 x + 3ทีจี x – 4 = 0
3) ให้ tg x = t แล้ว
เสื้อ 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 หรือ t = -4 ซึ่งหมายถึง
tg x = 1 หรือ tg x = -4
จากสมการแรก x = π/4 + πn, n Є Z; จากสมการที่สอง x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
คำตอบ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z
V. วิธีการแปลงสมการโดยใช้สูตรตรีโกณมิติ
แผนภาพการแก้ปัญหา
ขั้นตอนที่ 1.การใช้ทุกประเภท สูตรตรีโกณมิติลดสมการนี้เป็นสมการที่แก้ได้โดยวิธีที่ I, II, III, IV
ขั้นตอนที่ 2.แก้สมการผลลัพธ์โดยใช้วิธีที่ทราบ
ตัวอย่าง.
บาป x + บาป 2x + บาป 3x = 0
สารละลาย.
1) (บาป x + บาป 3x) + บาป 2x = 0;
2ซิน 2x คอส x + บาป 2x = 0
2) บาป 2x (2cos x + 1) = 0;
บาป 2x = 0 หรือ 2cos x + 1 = 0;
จากสมการแรก 2x = π/2 + πn, n Є Z; จากสมการที่สอง cos x = -1/2
เรามี x = π/4 + πn/2, n Є Z; จากสมการที่สอง x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z
ผลลัพธ์ก็คือ x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z
คำตอบ: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z
ความสามารถและทักษะในการแก้สมการตรีโกณมิติเป็นอย่างมาก 
ที่สำคัญการพัฒนาต้องใช้ความพยายามอย่างมากทั้งในส่วนของนักเรียนและในส่วนของครู
ปัญหาหลายประการของสามมิติ ฟิสิกส์ ฯลฯ เกี่ยวข้องกับการแก้สมการตรีโกณมิติ กระบวนการในการแก้ปัญหาดังกล่าวรวบรวมความรู้และทักษะมากมายที่ได้รับจากการศึกษาองค์ประกอบของตรีโกณมิติ
สมการตรีโกณมิติมีบทบาทสำคัญในกระบวนการเรียนรู้คณิตศาสตร์และการพัฒนาตนเองโดยทั่วไป
ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่รู้วิธีแก้สมการตรีโกณมิติใช่ไหม?
เพื่อขอความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ -.
บทเรียนแรกฟรี!
blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม
การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ
การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล
ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ
คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา
ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว
เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:
- เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ
เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:
- รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
- ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
- เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
- หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว
การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม
เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม
ข้อยกเว้น:
- หากจำเป็น - ตามกฎหมาย กระบวนการยุติธรรม การดำเนินคดี และ/หรือ ตามคำขอสาธารณะ หรือการร้องขอจาก เจ้าหน้าที่รัฐบาลในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
- ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง
การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล
เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต
การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท
เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด
