ไปที่ช่อง youtube ของเว็บไซต์ของเราเพื่อรับทราบบทเรียนวิดีโอใหม่ทั้งหมด

อันดับแรก ให้นึกถึงสูตรพื้นฐานขององศาและคุณสมบัติของมัน

ผลิตภัณฑ์ของตัวเลข เอเกิดขึ้นด้วยตัวเอง n ครั้ง เราสามารถเขียนนิพจน์นี้เป็น a … a=a n

1. 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

สมการกำลังหรือเลขชี้กำลัง- สมการเหล่านี้เป็นสมการที่ตัวแปรอยู่ในกำลัง (หรือเลขชี้กำลัง) และฐานคือตัวเลข

ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลัง:

ในตัวอย่างนี้ เลข 6 เป็นฐาน อยู่ด้านล่างเสมอ และตัวแปร xองศาหรือการวัด

ให้เรายกตัวอย่างเพิ่มเติมของสมการเลขชี้กำลัง
2 x *5=10
16x-4x-6=0

ทีนี้มาดูว่าแก้สมการเลขชี้กำลังได้อย่างไร

ลองใช้สมการง่ายๆ:

2 x = 2 3

ตัวอย่างดังกล่าวสามารถแก้ไขได้แม้ในใจ จะเห็นว่า x=3 ท้ายที่สุด เพื่อให้ด้านซ้ายและขวาเท่ากัน คุณต้องใส่เลข 3 แทน x
ตอนนี้เรามาดูกันว่าการตัดสินใจครั้งนี้ควรทำอย่างไร:

2 x = 2 3
x = 3

ในการแก้สมการนี้ เราได้ลบ เหตุเดียวกัน(นั่นคือ ดูซ) และจดสิ่งที่เหลืออยู่ นี่คือองศา เราได้คำตอบที่เรากำลังมองหา

ตอนนี้เรามาสรุปวิธีแก้ปัญหาของเรากัน

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง:
1. ต้องตรวจสอบ เหมือนไม่ว่าจะเป็นฐานของสมการทางขวาและทางซ้าย หากเหตุผลไม่เหมือนกัน เรากำลังหาตัวเลือกเพื่อแก้ไขตัวอย่างนี้
2. หลังจากที่ฐานเหมือนกันแล้ว เท่ากับองศาและแก้สมการใหม่ที่เกิดขึ้น

ทีนี้มาแก้ตัวอย่างกัน:

มาเริ่มกันง่ายๆ

ฐานทางซ้ายและขวาเท่ากับเลข 2 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถละทิ้งฐานและเทียบองศาของพวกมันได้

x+2=4 สมการที่ง่ายที่สุดได้ปรากฏออกมาแล้ว
x=4 - 2
x=2
คำตอบ: x=2

ในตัวอย่างต่อไปนี้ คุณจะเห็นว่าฐานต่างกัน ซึ่งได้แก่ 3 และ 9

3 3x - 9 x + 8 = 0

เริ่มต้นด้วยเราโอนเก้าไปทางขวาเราได้รับ:

ตอนนี้คุณต้องสร้างฐานเดียวกัน เรารู้ว่า 9=3 2 . ลองใช้สูตรกำลัง (a n) m = a nm กัน

3 3x \u003d (3 2) x + 8

เราได้ 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าฐานทางด้านซ้ายและด้านขวาเท่ากันและเท่ากับสาม ซึ่งหมายความว่าเราสามารถทิ้งมันและเท่ากับองศา

3x=2x+16 ได้สมการที่ง่ายที่สุด
3x-2x=16
x=16
คำตอบ: x=16.

ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

ก่อนอื่น เราดูที่ฐาน ฐานแตกต่างกันสองและสี่ และเราต้องเหมือนกัน เราแปลงสี่เท่าตามสูตร (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

และเรายังใช้สูตรหนึ่ง a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

เพิ่มในสมการ:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

เรายกตัวอย่างด้วยเหตุผลเดียวกัน แต่เลข 10 กับ 24 อื่นๆ มารบกวนเรา จะทำอย่างไรกับพวกเขา? หากสังเกตดีๆ คุณจะเห็นว่าทางซ้ายเราทำซ้ำ 2 2x นี่คือคำตอบ - เราสามารถใส่ 2 2x ออกจากวงเล็บ:

2 2x (2 4 - 10) = 24

มาคำนวณนิพจน์ในวงเล็บ:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

เราหารสมการทั้งหมดด้วย 6:

ลองนึกภาพ 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 ฐานเหมือนกัน ทิ้งมันและเท่ากับองศา
2x \u003d 2 กลายเป็นสมการที่ง่ายที่สุด เราหารด้วย 2 เราจะได้
x = 1
คำตอบ: x = 1

มาแก้สมการกัน:

9 x - 12*3 x +27= 0

มาแปลงร่างกันเถอะ:
9 x = (3 2) x = 3 2x

เราได้รับสมการ:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

ฐานของเราเท่ากัน เท่ากับ 3 ในตัวอย่างนี้ เห็นได้ชัดว่าสามชั้นแรกมีดีกรีเป็นสองเท่า (2x) มากกว่าวินาทีที่สอง (แค่ x) ในกรณีนี้ คุณตัดสินใจได้ วิธีการทดแทน. ตัวเลขที่มีดีกรีน้อยที่สุดจะถูกแทนที่ด้วย:

จากนั้น 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

เราแทนที่องศาทั้งหมดด้วย x ในสมการด้วย t:

เสื้อ 2 - 12t + 27 \u003d 0
เราได้สมการกำลังสอง เราแก้ไขผ่านการเลือกปฏิบัติ เราได้รับ:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

กลับไปที่ตัวแปร x.

เราใช้ t 1:
เสื้อ 1 \u003d 9 \u003d 3 x

นั่นคือ,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

พบหนึ่งราก เรากำลังมองหาอันที่สองจาก t 2:
เสื้อ 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
คำตอบ: x 1 \u003d 2; x 2 = 1

บนเว็บไซต์ คุณสามารถในส่วน ช่วยตัดสินใจ เพื่อถามคำถามที่น่าสนใจ เราจะตอบคุณอย่างแน่นอน

เข้าร่วมกลุ่ม

อุปกรณ์:

• คอมพิวเตอร์,
• โปรเจ็กเตอร์มัลติมีเดีย,
• หน้าจอ,
• ภาคผนวก 1(การนำเสนอภาพนิ่งใน PowerPoint) “วิธีการแก้สมการเลขชี้กำลัง”
• ภาคผนวก 2(การแก้สมการเช่น "สามฐานองศาที่แตกต่างกัน" ใน Word)
• ภาคผนวก 3(เอกสารแจกใน Word สำหรับการใช้งานจริง)
• ภาคผนวก 4(เอกสารแจกใน Word สำหรับการบ้าน)

ระหว่างเรียน

1. เวทีองค์กร

• ข้อความของหัวข้อบทเรียน (เขียนไว้บนกระดาน)
• ความต้องการบทเรียนทั่วไปในเกรด 10-11:

ขั้นตอนการเตรียมนักเรียนสำหรับการดูดซึมความรู้

การทำซ้ำ

คำนิยาม.

สมการเลขชี้กำลังคือสมการที่มีตัวแปรอยู่ในเลขชี้กำลัง (นักเรียนตอบ)

บันทึกของครู สมการเลขชี้กำลังอยู่ในคลาสของสมการยอดเยี่ยม ชื่อที่ออกเสียงยากนี้บ่งชี้ว่าสมการดังกล่าว โดยทั่วไปแล้วจะไม่สามารถแก้ไขได้ในรูปของสูตร

สามารถแก้ไขได้โดยวิธีตัวเลขโดยประมาณบนคอมพิวเตอร์เท่านั้น แต่คำถามเกี่ยวกับข้อสอบล่ะ? เคล็ดลับทั้งหมดคือการที่ผู้ตรวจสอบเขียนปัญหาในลักษณะที่ยอมรับวิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณสามารถ (และควร!) ทำการแปลงที่เหมือนกันซึ่งลดสมการเลขชี้กำลังที่กำหนดให้เป็นสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด นี่คือสมการที่ง่ายที่สุดและเรียกว่า: สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด แก้ได้ ลอการิทึม.

สถานการณ์ที่มีการแก้สมการเลขชี้กำลังคล้ายกับการเดินทางผ่านเขาวงกต ซึ่งผู้รวบรวมปัญหาเป็นผู้คิดค้นขึ้นเป็นพิเศษ จากข้อพิจารณาทั่วไปเหล่านี้ คำแนะนำที่เฉพาะเจาะจงค่อนข้างจะตามมา

ในการแก้สมการเลขชี้กำลังได้สำเร็จ คุณต้อง:

1. ไม่เพียงแต่รู้เอกพจน์เลขชี้กำลังทั้งหมดอย่างแข็งขัน แต่ยังค้นหาชุดของค่าของตัวแปรที่กำหนดตัวตนเหล่านี้ เพื่อที่ว่าเมื่อใช้ข้อมูลประจำตัวเหล่านี้ เราจะไม่ได้รับรากที่ไม่จำเป็น และยิ่งกว่านั้น จะไม่สูญเสีย แก้สมการ

2. รู้อัตลักษณ์เลขชี้กำลังทั้งหมดอย่างแข็งขัน

3. ดำเนินการแปลงสมการทางคณิตศาสตร์ในรายละเอียดอย่างชัดเจนและปราศจากข้อผิดพลาด (ย้ายเงื่อนไขจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังส่วนอื่น อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม ฯลฯ) สิ่งนี้เรียกว่าวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ ในเวลาเดียวกัน การคำนวณด้วยตนเองควรทำโดยอัตโนมัติ และหัวหน้าควรคำนึงถึงเกลียวนำทั่วไปของสารละลาย จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงอย่างระมัดระวังและละเอียดที่สุด วิธีนี้เท่านั้นที่จะรับประกันได้ว่าโซลูชันที่ถูกต้องและปราศจากข้อผิดพลาด และจำไว้ว่า: ความคลาดเคลื่อนทางคณิตศาสตร์เพียงเล็กน้อยสามารถสร้างสมการเหนือธรรมชาติซึ่งตามหลักการแล้วไม่สามารถแก้ไขได้ในเชิงวิเคราะห์ ปรากฎว่าคุณหลงทางและวิ่งเข้าไปในกำแพงของเขาวงกต

4. รู้วิธีการแก้ปัญหา (นั่นคือ รู้เส้นทางทั้งหมดผ่านเขาวงกตของการแก้ปัญหา) สำหรับการวางแนวที่ถูกต้องในแต่ละขั้นตอน คุณจะต้อง (อย่างมีสติหรือสัญชาตญาณ!):

• กำหนด ประเภทสมการ;
• จำประเภทที่สอดคล้องกัน วิธีการแก้ปัญหางาน

ขั้นตอนการวางนัยทั่วไปและการจัดระบบของเนื้อหาที่ศึกษา

ครูร่วมกับนักเรียนโดยใช้คอมพิวเตอร์ ดำเนินการทบทวนซ้ำของสมการเลขชี้กำลังทุกประเภทและวิธีการแก้สมการ และร่างโครงร่างทั่วไป (ใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ฝึกอบรมของ L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000" ผู้เขียนงานนำเสนอ PowerPoint คือ T.N. Kuptsova)

ข้าว. หนึ่ง.รูปแสดงแผนภาพทั่วไปของสมการเลขชี้กำลังทุกประเภท

ดังที่เห็นได้จากแผนภาพนี้ กลวิธีในการแก้สมการเลขชี้กำลังคือการลดสมการเลขชี้กำลังนี้เป็นสมการ อย่างแรกเลย ที่มีฐานเดียวกัน , แล้วก็ - และ ที่มีเลขชี้กำลังเท่ากัน

เมื่อได้สมการที่มีฐานและเลขชี้กำลังเท่ากันแล้ว ให้คุณแทนที่ดีกรีนี้ด้วยตัวแปรใหม่ แล้วได้สมการพีชคณิตอย่างง่าย (โดยปกติ เป็นตรรกยะเศษส่วนหรือกำลังสอง) เทียบกับตัวแปรใหม่นี้

การแก้สมการนี้และการแทนที่แบบผกผัน คุณจะได้ชุดสมการเลขชี้กำลังอย่างง่ายที่แก้ได้โดยทั่วไปโดยใช้ลอการิทึม

สมการแยกจากกันซึ่งมีเฉพาะผลิตภัณฑ์ของอำนาจ (ส่วนตัว) เท่านั้นที่เกิดขึ้น การใช้ข้อมูลเฉพาะตัวแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล เป็นไปได้ที่จะนำสมการเหล่านี้ไปไว้ในฐานเดียวโดยเฉพาะอย่างยิ่งในสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

พิจารณาวิธีการแก้สมการเลขชี้กำลังที่มีองศาฐานต่างกันสามฐาน

(หากครูมีโปรแกรมคอมพิวเตอร์สอนโดย L.Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000" โดยปกติเราจะทำงานกับดิสก์ถ้าไม่ใช่คุณสามารถพิมพ์สมการประเภทนี้สำหรับแต่ละโต๊ะได้ดังแสดงด้านล่าง .)

ข้าว. 2.แผนแก้สมการ

ข้าว. 3.เริ่มแก้สมการ

ข้าว. 4.จุดสิ้นสุดของการแก้สมการ

ลงมือปฏิบัติ

กำหนดประเภทของสมการและแก้มัน

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

สรุปบทเรียน

ให้คะแนนบทเรียน

จบบทเรียน

สำหรับครู

แบบแผนของคำตอบการทำงานจริง

ออกกำลังกาย:จากรายการสมการ ให้เลือกสมการประเภทที่ระบุ (ใส่จำนวนคำตอบลงในตาราง):

1. สามฐานที่แตกต่างกัน
2. สองฐานที่แตกต่างกัน - เลขชี้กำลังต่างกัน
3. ฐานของอำนาจ - พลังของเลขตัวเดียว
4. ฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังต่างกัน
5. ฐานเลขชี้กำลังเดียวกัน - เลขชี้กำลังเดียวกัน
6. ผลิตภัณฑ์แห่งอำนาจ
7. องศาที่แตกต่างกันสองฐาน - ตัวบ่งชี้เดียวกัน
8. สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

1. (ผลผลิตแห่งอำนาจ)

2. (ฐานเดียวกัน - เลขชี้กำลังต่างกัน)

แก้สมการเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง.

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก..." อย่างแรง
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

อะไร สมการเลขชี้กำลัง? นี่คือสมการที่นิรนาม (x) และนิพจน์ที่อยู่ใน ตัวชี้วัดบางองศา และที่นั่นเท่านั้น! มันเป็นสิ่งสำคัญ

นั่นแหละ ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลัง:

3 x 2 x = 8 x + 3

บันทึก! ในฐานขององศา (ด้านล่าง) - เฉพาะตัวเลข. ที่ ตัวชี้วัดองศา (ด้านบน) - การแสดงออกที่หลากหลายด้วย x หากทันใดนั้น x ปรากฏในสมการที่อื่นที่ไม่ใช่ตัวบ่งชี้ เช่น

นี่จะเป็นสมการแบบผสม สมการดังกล่าวไม่มีกฎเกณฑ์ที่ชัดเจนในการแก้ เราจะไม่พิจารณาพวกเขาในตอนนี้ ที่นี่เราจะจัดการกับ แก้สมการเลขชี้กำลังในรูปแบบที่บริสุทธิ์ที่สุด

อันที่จริง แม้แต่สมการเลขชี้กำลังล้วนๆ ก็ไม่สามารถแก้ได้อย่างชัดเจนเสมอไป แต่มีสมการเลขชี้กำลังบางประเภทที่สามารถและควรแก้ได้ เหล่านี้คือประเภทที่เราจะดู

คำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

เริ่มจากสิ่งที่พื้นฐานมาก ตัวอย่างเช่น:

แม้จะไม่มีทฤษฎีใด ๆ โดยการเลือกอย่างง่าย ๆ เป็นที่ชัดเจนว่า x = 2 ไม่มีอะไรมากใช่มั้ย!? ไม่มีม้วนค่า x อื่น ๆ ทีนี้มาดูคำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนนี้กัน:

เราทำอะไรลงไปบ้าง? อันที่จริงเราเพิ่งโยนก้นเดียวกันออก (สามเท่า) ไล่ออกให้หมด และสิ่งที่พอใจ ตีเครื่องหมาย!

แท้จริงแล้วถ้าในสมการเลขชี้กำลังทางซ้ายและทางขวาคือ เหมือนตัวเลขในระดับใด ๆ ตัวเลขเหล่านี้สามารถลบออกและเลขชี้กำลังเท่ากัน คณิตศาสตร์ช่วยให้ มันยังคงแก้สมการที่ง่ายกว่ามาก มันดีใช่มั้ย?)

อย่างไรก็ตาม ขอให้จำไว้อย่างแดกดัน: คุณจะถอดฐานออกได้ก็ต่อเมื่อเลขฐานทางซ้ายและขวาแยกจากกันอย่างยอดเยี่ยมเท่านั้น!โดยไม่มีเพื่อนบ้านและสัมประสิทธิ์ใดๆ สมมติว่าในสมการ:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , หรือ

ลบดับเบิ้ลไม่ได้!

เราเข้าใจสิ่งที่สำคัญที่สุดแล้ว วิธีเปลี่ยนจากนิพจน์เลขชี้กำลังที่ชั่วร้ายไปเป็นสมการที่ง่ายกว่า

“นี่มันยุคสมัยนี่นะ!” - คุณพูด. "ใครจะให้ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการควบคุมและการสอบ!"

บังคับให้ตกลง ไม่มีใครจะ แต่ตอนนี้ คุณรู้แล้วว่าจะต้องไปที่ใดเมื่อต้องแก้ตัวอย่างที่สับสน จำเป็นต้องระลึกไว้เสมอว่าเมื่อเลขฐานเดียวกันอยู่ทางซ้าย - ทางขวา แล้วทุกอย่างจะง่ายขึ้น อันที่จริง นี่คือความคลาสสิกของคณิตศาสตร์ เรานำตัวอย่างดั้งเดิมและแปลงเป็นที่ต้องการ เราจิตใจ. ตามกฎของคณิตศาสตร์แน่นอน

พิจารณาตัวอย่างที่ต้องใช้ความพยายามเพิ่มเติมเพื่อให้ง่ายที่สุด มาเรียกพวกเขาว่า สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย

คำตอบของสมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย ตัวอย่าง.

เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง กฎหลักคือ การกระทำที่มีอำนาจหากปราศจากความรู้เกี่ยวกับการกระทำเหล่านี้ ก็จะไม่มีอะไรเกิดขึ้น

ในการดำเนินการกับองศา เราต้องเพิ่มการสังเกตส่วนบุคคลและความเฉลียวฉลาด เราต้องการเลขฐานเดียวกันหรือไม่? ดังนั้นเราจึงมองหาพวกเขาในตัวอย่างในรูปแบบที่ชัดเจนหรือเข้ารหัส

เรามาดูวิธีการทำในทางปฏิบัติ?

ให้เรายกตัวอย่าง:

2 2x - 8 x+1 = 0

แวบแรกที่ บริเวณพวกเขา... พวกเขาแตกต่างกัน! สองและแปด แต่มันเร็วเกินไปที่จะท้อแท้ ถึงเวลาต้องจำไว้

สองและแปดเป็นญาติกันในระดับปริญญา) ค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะเขียน:

8 x+1 = (2 3) x+1

หากเราจำสูตรจากการกระทำที่มีอำนาจ:

(n) m = นาโนเมตร ,

โดยทั่วไปแล้วใช้งานได้ดี:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

ตัวอย่างเดิมมีลักษณะดังนี้:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

เราโอน 2 3 (x+1)ทางด้านขวา (ไม่มีใครยกเลิกการกระทำเบื้องต้นของคณิตศาสตร์!) เราได้รับ:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

นั่นคือทั้งหมดที่ การถอดฐาน:

เราแก้สัตว์ประหลาดตัวนี้และรับ

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง

ในตัวอย่างนี้ การรู้ถึงพลังของทั้งสองช่วยเราได้ เรา ระบุในแปด ผีสางที่เข้ารหัส เทคนิคนี้ (การเข้ารหัสฐานทั่วไปภายใต้ตัวเลขต่างกัน) เป็นกลอุบายที่นิยมอย่างมากในสมการเลขชี้กำลัง! ใช่ แม้แต่ในลอการิทึม ต้องสามารถรับรู้พลังของตัวเลขอื่น ๆ เป็นตัวเลขได้ นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง

ความจริงก็คือการเพิ่มจำนวนใด ๆ ให้กับกำลังใด ๆ นั้นไม่ใช่ปัญหา ทวีคูณ แม้กระทั่งบนแผ่นกระดาษ แค่นั้นเอง ตัวอย่างเช่น ทุกคนสามารถยกกำลัง 3 ยกกำลัง 5 ได้ 243 จะกลายเป็นถ้าคุณรู้ตารางการคูณ) แต่ในสมการเลขชี้กำลังบ่อยครั้งมากขึ้นไม่จำเป็นต้องยกกำลัง แต่ในทางกลับกัน ... เลขอะไร ขนาดไหนซ่อนอยู่หลังหมายเลข 243 หรือพูด 343... ไม่มีเครื่องคิดเลขจะช่วยคุณที่นี่

คุณต้องรู้พลังของตัวเลขบางตัวด้วยสายตา ครับ ... เรามาฝึกกันไหม?

กำหนดว่าอำนาจใดและตัวเลขใดเป็นตัวเลข:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

คำตอบ (แน่นอน!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

หากสังเกตดีๆ จะพบข้อเท็จจริงที่แปลกประหลาด มีคำตอบมากกว่าคำถาม! มันเกิดขึ้น... ตัวอย่างเช่น 2 6 , 4 3 , 8 2 คือ 64 ทั้งหมด

สมมติว่าคุณได้จดบันทึกข้อมูลเกี่ยวกับความคุ้นเคยกับตัวเลขแล้ว) ฉันขอเตือนคุณว่าเราใช้สำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง ทั้งหมดนี้คลังความรู้ทางคณิตศาสตร์ รวมทั้งจากชนชั้นกลางตอนล่าง คุณไม่ได้ตรงไปโรงเรียนมัธยมใช่ไหม

ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง การใส่ตัวประกอบร่วมในวงเล็บมักจะช่วยได้มาก (สวัสดีถึงเกรด 7!) มาดูตัวอย่างกัน:

3 2x+4 -11 9 x = 210

และอีกครั้งกับลุคแรก - บนสนาม! ฐานขององศาต่างกัน ... สามและเก้า และเราต้องการให้พวกเขาเหมือนกัน ในกรณีนี้ความปรารถนาค่อนข้างเป็นไปได้!) เพราะ:

9 x = (3 2) x = 3 2x

ตามกฎเดียวกันสำหรับการกระทำที่มีองศา:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

เยี่ยมมาก คุณสามารถเขียน:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

เรายกตัวอย่างด้วยเหตุผลเดียวกัน แล้วยังไงต่อ!? สามไม่สามารถโยนออก ... ทางตัน?

ไม่เลย. จดจำกฎการตัดสินใจที่เป็นสากลและทรงพลังที่สุด ทั้งหมดงานคณิตศาสตร์:

ถ้าไม่รู้จะทำอะไร ก็ทำซะ!

คุณดูทุกอย่างถูกสร้างขึ้น)

อะไรอยู่ในสมการเลขชี้กำลังนี้ สามารถทำ? ใช่ ทางซ้ายขอวงเล็บโดยตรง! ปัจจัยทั่วไปของ 3 2x บ่งบอกถึงสิ่งนี้อย่างชัดเจน มาลองดูกัน แล้วเราจะเห็นว่า:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

ตัวอย่างดีขึ้นเรื่อยๆ!

เราจำได้ว่าเพื่อที่จะกำจัดฐาน เราจำเป็นต้องมีระดับบริสุทธิ์ โดยไม่มีค่าสัมประสิทธิ์ใดๆ เลข 70 กวนใจเรา เราหารสมการทั้งสองข้างด้วย 70 เราจะได้:

โอปป้า! ทุกอย่างเรียบร้อยดี!

นี่คือคำตอบสุดท้าย

อย่างไรก็ตาม มันเกิดขึ้นที่การแท็กซี่ออกไปบนพื้นที่เดียวกัน แต่การชำระบัญชีไม่ได้ สิ่งนี้เกิดขึ้นในสมการเลขชี้กำลังประเภทอื่น มาประเภทนี้กันเถอะ

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในการแก้สมการเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง.

มาแก้สมการกัน:

4 x - 3 2 x +2 = 0

ครั้งแรก - ตามปกติ ไปที่ฐานกันเถอะ ไปที่ผีสาง

4 x = (2 2) x = 2 2x

เราได้รับสมการ:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

และที่นี่เราจะแขวน เทคนิคก่อนหน้านี้จะไม่ทำงาน ไม่ว่าคุณจะหมุนอย่างไร เราจะต้องได้รับจากคลังแสงของวิธีที่มีประสิทธิภาพและหลากหลายวิธีอื่น ก็เรียกว่า การแทนที่ตัวแปร

สาระสำคัญของวิธีการนั้นง่ายอย่างน่าประหลาดใจ แทนที่จะเป็นหนึ่งไอคอนที่ซับซ้อน (ในกรณีของเราคือ 2 x) เราเขียนอีกอันหนึ่งที่ง่ายกว่า (เช่น t) การแทนที่ที่ดูเหมือนไร้ความหมายเช่นนี้นำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าอัศจรรย์!) ทุกอย่างชัดเจนและเข้าใจได้!

ดังนั้นให้

จากนั้น 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

เราแทนที่สมการกำลังทั้งหมดด้วย x ด้วย t:

มันเช้าแล้วเหรอ?) ยังไม่ลืมสมการกำลังสองเหรอ? เราแก้ไขผ่านการเลือกปฏิบัติ เราได้รับ:

ที่นี่สิ่งสำคัญคือไม่หยุดเมื่อมันเกิดขึ้น ... นี่ไม่ใช่คำตอบเราต้องการ x ไม่ใช่ t เรากลับไปที่ Xs นั่นคือ ทำการทดแทน ครั้งแรกสำหรับเสื้อ 1:

นั่นคือ,

พบหนึ่งราก เรากำลังมองหาอันที่สองจาก t 2:

อืม... ซ้าย 2 x ขวา 1... มีปัญหา? ใช่ไม่เลย! ก็เพียงพอแล้วที่จะจำ (จากการกระทำที่มีองศาใช่ ... ) ว่าความสามัคคีคือ ใดๆตัวเลขเป็นศูนย์ ใดๆ. สิ่งที่คุณต้องการ เราจัดให้ เราต้องการสอง วิธี:

ตอนนี้นั่นคือทั้งหมด มี 2 ​​ราก:

นี่คือคำตอบ

ที่ การแก้สมการเลขชี้กำลังในตอนท้ายบางครั้งมีการแสดงออกที่น่าอึดอัดใจ พิมพ์:

จากเจ็ดคนผีผ่านระดับง่าย ๆ ไม่ทำงาน พวกเขาไม่ใช่ญาติ ... ฉันจะอยู่ที่นี่ได้อย่างไร บางคนอาจสับสน ... แต่ผู้ที่อ่านหัวข้อ "ลอการิทึมคืออะไร" ในไซต์นี้ ยิ้มเท่าที่จำเป็นและจดคำตอบที่ถูกต้องอย่างแน่นอน:

ไม่มีคำตอบดังกล่าวในงาน "B" ในการสอบ มีจำนวนเฉพาะที่ต้องการ แต่ในงาน "C" - ได้อย่างง่ายดาย

บทเรียนนี้แสดงตัวอย่างการแก้สมการเลขชี้กำลังที่พบบ่อยที่สุด มาเน้นที่ตัวหลักกัน

เคล็ดลับการปฏิบัติ:

1. ก่อนอื่นเรามาดูที่ บริเวณองศา มาดูกันว่าทำไม่ได้ เหมือน.ลองทำสิ่งนี้โดยใช้อย่างแข็งขัน การกระทำที่มีอำนาจอย่าลืมว่าตัวเลขที่ไม่มี x ก็เปลี่ยนเป็นยกกำลังได้เช่นกัน!

2. เราพยายามนำสมการเลขชี้กำลังมาอยู่ในรูปเมื่อด้านซ้ายและขวาเป็น เหมือนตัวเลขในระดับใดก็ได้ เราใช้ การกระทำที่มีอำนาจและ การแยกตัวประกอบสิ่งที่สามารถนับเป็นตัวเลขได้ - เรานับ

3. หากคำแนะนำที่สองไม่ได้ผล เราพยายามใช้การแทนที่ตัวแปร ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นสมการที่แก้ได้ง่าย บ่อยที่สุด - สี่เหลี่ยม หรือเศษส่วนซึ่งยังลดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

4. ในการแก้สมการเลขชี้กำลังได้สำเร็จ คุณต้องรู้องศาของตัวเลขบางตัว "จากการมอง"

ตามปกติ เมื่อสิ้นสุดบทเรียน คุณจะได้รับเชิญให้แก้ไขเล็กน้อย) ด้วยตัวคุณเอง จากง่ายไปซับซ้อน

แก้สมการเลขชี้กำลัง:

ยากขึ้น:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

ค้นหาผลิตภัณฑ์จากราก:

2 3-x + 2 x = 9

เกิดขึ้น?

ตัวอย่างที่ซับซ้อนที่สุด (แต่ในใจ ... ได้รับการแก้ไขแล้ว):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

อะไรน่าสนใจกว่ากัน? นี่เป็นตัวอย่างที่ไม่ดีสำหรับคุณ ค่อนข้างดึงยากขึ้น ฉันจะบอกใบ้ว่าในตัวอย่างนี้ ความเฉลียวฉลาดและกฎที่เป็นสากลที่สุดสำหรับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดจะช่วยประหยัดได้)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

ตัวอย่างง่ายกว่าเพื่อการผ่อนคลาย):

9 2 x - 4 3 x = 0

และสำหรับขนม หาผลรวมของรากของสมการ:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

ใช่ ๆ! นี่คือสมการแบบผสม! ซึ่งเราไม่ได้พิจารณาในบทเรียนนี้ และสิ่งที่ต้องพิจารณาพวกเขาจะต้องแก้ไข!) บทเรียนนี้ค่อนข้างเพียงพอที่จะแก้สมการ ต้องใช้ความฉลาด ... และใช่เกรดเจ็ดจะช่วยคุณได้ (นี่เป็นคำใบ้!)

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย คั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาค):

หนึ่ง; 2; 3; 4; ไม่มีวิธีแก้ปัญหา 2; -2; -5; 4; 0.

ทุกอย่างประสบความสำเร็จหรือไม่? ละเอียด.

มีปัญหา? ไม่มีปัญหา! ในส่วนพิเศษ 555 สมการเลขชี้กำลังเหล่านี้ได้รับการแก้ไขพร้อมคำอธิบายโดยละเอียด อะไร ทำไม และทำไม และแน่นอนว่ายังมีข้อมูลที่มีค่าเพิ่มเติมเกี่ยวกับการทำงานกับสมการเลขชี้กำลังทุกประเภท ไม่เพียงแต่กับสิ่งเหล่านี้)

คำถามสุดท้ายที่น่าพิจารณา ในบทนี้ เราทำงานกับสมการเลขชี้กำลัง ทำไมฉันไม่พูดอะไรเกี่ยวกับ ODZ ที่นี่ในสมการนี่เป็นสิ่งสำคัญมาก อย่างไรก็ตาม ...

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

การบรรยาย: "วิธีการแก้สมการเลขชี้กำลัง"

1 . สมการเลขชี้กำลัง

สมการที่มีไม่ทราบค่าในเลขชี้กำลังเรียกว่าสมการเลขชี้กำลัง สมการที่ง่ายที่สุดคือ ax = b โดยที่ a > 0 และ a ≠ 1

1) สำหรับ b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) สำหรับ b > 0 โดยใช้ความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันและทฤษฎีบทรูท สมการจะมีรากเดียว ในการค้นหา b ต้องแสดงเป็น b = aс, ax = bс ó x = c หรือ x = logab

สมการเลขชี้กำลังผ่านการแปลงพีชคณิตนำไปสู่สมการมาตรฐาน ซึ่งแก้ไขโดยใช้วิธีการต่อไปนี้

1) วิธีการลดเหลือฐานเดียว

2) วิธีการประเมิน

3) วิธีการแบบกราฟิก

4) วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่

5) วิธีการแยกตัวประกอบ;

6) เลขชี้กำลัง - สมการกำลัง

7) เลขชี้กำลังพร้อมพารามิเตอร์

2 . วิธีการลดให้เหลือพื้นฐานเดียว

วิธีการนี้ยึดตามคุณสมบัติของดีกรีต่อไปนี้: ถ้าสองดีกรีเท่ากันและฐานเท่ากัน เลขชี้กำลังจะเท่ากัน กล่าวคือ ต้องพยายามลดสมการให้อยู่ในรูป

ตัวอย่าง. แก้สมการ:

1 . 3x=81;

ให้แสดงด้านขวาของสมการในรูปแบบ 81 = 34 และเขียนสมการที่เทียบเท่ากับ 3 x = 34 เดิม x = 4. คำตอบ: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> และไปที่สมการของเลขชี้กำลัง 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0.5 คำตอบ: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

สังเกตว่าตัวเลข 0.2, 0.04, √5 และ 25 เป็นกำลัง 5 ลองใช้สมการนี้แปลงสมการเดิมดังนี้

, ดังนั้น 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2 จากที่เราพบคำตอบ x = -1 คำตอบ: -1.

5. 3x = 5. ตามนิยามของลอการิทึม x = log35 คำตอบ: บันทึก 35.

6. 62x+4 = 33x 2x+8.

ลองเขียนสมการใหม่เป็น 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, i.e..png" width="181" height="49 src="> ดังนั้น x - 4 =0, x = 4 คำตอบ: 4

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9 ใช้คุณสมบัติของยกกำลัง เราเขียนสมการในรูปแบบ e. x+1 = 2, x =1 คำตอบ: 1.

ธนาคารงานครั้งที่ 1

แก้สมการ:

การทดสอบหมายเลข 1

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) ไม่มีราก
	1) 7;1 2) ไม่มีราก 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

การทดสอบ #2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) ไม่มีราก 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 วิธีการประเมิน

ทฤษฎีบทราก: หากฟังก์ชัน f (x) เพิ่มขึ้น (ลดลง) ในช่วงเวลา I ตัวเลข a คือค่าใดๆ ที่ f นำมาใช้ในช่วงเวลานี้ ดังนั้นสมการ f (x) = a จะมีรากเดียวบนช่วง I

เมื่อแก้สมการด้วยวิธีการประมาณค่า จะใช้ทฤษฎีบทนี้และคุณสมบัติความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง. แก้สมการ: 1. 4x = 5 - x

การตัดสินใจ. ลองเขียนสมการใหม่เป็น 4x + x = 5

1. ถ้า x \u003d 1 แล้ว 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 เป็นจริง แล้ว 1 คือรากของสมการ

ฟังก์ชัน f(x) = 4x เพิ่มขึ้นใน R และ g(x) = x กำลังเพิ่มขึ้นบน R => h(x)= f(x)+g(x) เพิ่มขึ้นใน R โดยเป็นผลรวมของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ดังนั้น x = 1 จึงเป็นรากเดียวของสมการ 4x = 5 – x คำตอบ: 1.

2.

การตัดสินใจ. เราเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ .

1. ถ้า x = -1 แล้ว , 3 = 3 จริง ดังนั้น x = -1 จึงเป็นรากของสมการ

2. พิสูจน์ว่าเป็นเอกลักษณ์

3. ฟังก์ชัน f(x) = - ลดลงใน R และ g(x) = - x - ลดลงใน R => h(x) = f(x) + g(x) - ลดลงใน R เป็นผลรวม ของฟังก์ชันที่ลดลง ดังนั้นโดยทฤษฎีบทรูท x = -1 เป็นรูทเดียวของสมการ คำตอบ: -1.

ธนาคารงานครั้งที่ 2 แก้สมการ

ก) 4x + 1 = 6 - x;

ข)

ค) 2x – 2 =1 – x;

4. วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่

วิธีการอธิบายไว้ในหัวข้อ 2.1 การแนะนำตัวแปรใหม่ (การแทนที่) มักจะเกิดขึ้นหลังจากการแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของเงื่อนไขของสมการ พิจารณาตัวอย่าง

ตัวอย่าง. Rกินสม: 1. .

มาเขียนสมการใหม่กัน: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

การตัดสินใจ. ลองเขียนสมการใหม่ด้วยวิธีอื่น:

แสดงว่า https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - ไม่เหมาะสม

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> เป็นสมการอตรรกยะ โปรดทราบว่า

คำตอบของสมการคือ x = 2.5 ≤ 4 ดังนั้น 2.5 จึงเป็นรากของสมการ คำตอบ: 2.5.

การตัดสินใจ. ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแล้วหารทั้งสองข้างด้วย 56x+6 ≠ 0 เราจะได้สมการ

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1 ดังนั้น..png" width="118" height="56">

รากของสมการกำลังสอง - t1 = 1 และ t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

การตัดสินใจ . เราเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ

และสังเกตว่ามันเป็นสมการเอกพันธ์ของดีกรีที่สอง

หารสมการด้วย 42x เราจะได้

แทนที่ https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src=">

คำตอบ: 0; 0.5.

ธนาคารงาน #3 แก้สมการ

ข)

ช)

ทดสอบ #3 ที่มีคำตอบให้เลือก ระดับต่ำสุด

A1	1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0	1) 2;1 2) -1;0 3) ไม่มีราก 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) ไม่มีราก 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

ทดสอบ #4 ที่มีคำตอบให้เลือก ระดับทั่วไป.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) ไม่มีราก

5. วิธีการแยกตัวประกอบ.

1. แก้สมการ: 5x+1 - 5x-1 = 24

Solution..png" width="169" height="69"> จากที่ไหน

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2

การตัดสินใจ. ให้เราเอา 6x ออกทางซ้ายของสมการและ 2x ทางขวา เราได้สมการ 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x

เนื่องจาก 2x >0 สำหรับ x ทั้งหมด เราจึงสามารถหารทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วย 2x โดยไม่ต้องกลัวว่าจะสูญเสียคำตอบ เราได้ 3x = 1ó x = 0

3.

การตัดสินใจ. เราแก้สมการโดยแฟคตอริ่ง

เราเลือกกำลังสองของทวินาม

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 คือรากของสมการ

สมการ x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

การทดสอบ #6 ระดับทั่วไป.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3;4 3) บันทึก43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. เลขชี้กำลัง - สมการกำลัง

สมการเลขชี้กำลังติดกับสิ่งที่เรียกว่าสมการกำลังยกกำลัง กล่าวคือ สมการของรูปแบบ (f(x))g(x) = (f(x))h(x)

หากทราบว่า f(x)>0 และ f(x) ≠ 1 สมการเช่นเดียวกับเลขชี้กำลังจะได้รับการแก้ไขโดยการหาค่าเลขชี้กำลัง g(x) = f(x)

หากเงื่อนไขไม่ได้ยกเว้นความเป็นไปได้ของ f(x)=0 และ f(x)=1 เราต้องพิจารณากรณีเหล่านี้เมื่อแก้สมการกำลังเลขชี้กำลัง

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

การตัดสินใจ. x2 +2x-8 - สมเหตุสมผลสำหรับ x ใดๆ เพราะพหุนาม ดังนั้นสมการจึงเท่ากับเซต

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

ข)

7. สมการเลขชี้กำลังพร้อมพารามิเตอร์

1. สำหรับค่าใดของพารามิเตอร์ p สมการ 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) มีคำตอบที่ไม่ซ้ำกัน?

การตัดสินใจ. ให้เราแนะนำการเปลี่ยนแปลง 2x = t, t > 0 จากนั้นสมการ (1) จะอยู่ในรูปแบบ t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 (2)

การแยกสมการ (2) คือ D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2

สมการ (1) มีคำตอบเฉพาะถ้าสมการ (2) มีรากเป็นบวกหนึ่งราก เป็นไปได้ในกรณีต่อไปนี้

1. ถ้า D = 0 นั่นคือ p = 1 ดังนั้นสมการ (2) จะอยู่ในรูปแบบ t2 – 2t + 1 = 0 ดังนั้น t = 1 ดังนั้น สมการ (1) จึงมีคำตอบเฉพาะ x = 0

2. ถ้า p1 แล้ว 9(p – 1)2 > 0 สมการ (2) จะมีรากต่างกันสองราก t1 = p, t2 = 4p – 3 ชุดของระบบเป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา

แทน t1 และ t2 ลงในระบบ เรามี

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11"" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

การตัดสินใจ. ปล่อยให้เป็น จากนั้นสมการ (3) จะอยู่ในรูปแบบ t2 – 6t – a = 0 (4)

ให้เราหาค่าของพารามิเตอร์ a ซึ่งอย่างน้อยหนึ่งรูทของสมการ (4) ตรงตามเงื่อนไข t > 0

ให้เราแนะนำฟังก์ชัน f(t) = t2 – 6t – a กรณีต่อไปนี้เป็นไปได้

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

กรณีที่ 2 สมการ (4) มีคำตอบที่เป็นบวกเฉพาะ if

D = 0 ถ้า a = – 9 แล้วสมการ (4) จะอยู่ในรูปแบบ (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1

กรณีที่ 3 สมการ (4) มีสองราก แต่หนึ่งในนั้นไม่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน t > 0 สิ่งนี้เป็นไปได้ถ้า

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17"" width="267" height="63">!}

ดังนั้น ที่สมการ a 0 (4) มีรูตบวกเดียว . จากนั้นสมการ (3) จะมีคำตอบเฉพาะ

สำหรับ< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

ถ้า< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ถ้า a = – 9 แล้ว x = – 1;

ถ้า  0 แล้ว

ให้เราเปรียบเทียบวิธีการแก้สมการ (1) และ (3) สังเกตว่าเมื่อแก้สมการ (1) ถูกลดให้เป็นสมการกำลังสอง การเลือกปฏิบัติจะเป็นกำลังสองเต็ม ดังนั้น รากของสมการ (2) ถูกคำนวณทันทีโดยสูตรของรากของสมการกำลังสอง จากนั้นจึงสรุปข้อสรุปเกี่ยวกับรากเหล่านี้ สมการ (3) ถูกลดขนาดเป็นสมการกำลังสอง (4) ซึ่งดิสคริมิแนนต์นั้นไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ ดังนั้นเมื่อแก้สมการ (3) ขอแนะนำให้ใช้ทฤษฎีบทกับตำแหน่งของรากของไตรโนเมียลกำลังสองและ แบบจำลองกราฟิก โปรดทราบว่าสมการ (4) สามารถแก้ไขได้โดยใช้ทฤษฎีบทเวียตา

มาแก้สมการที่ซับซ้อนกว่านี้กัน

ภารกิจที่ 3 แก้สมการ

การตัดสินใจ. ODZ: x1, x2.

มาแนะนำตัวแทนกัน ให้ 2x = t, t > 0 จากนั้นผลลัพธ์ของการแปลงสมการจะอยู่ในรูปแบบ t2 + 2t – 13 – a = 0 (*) ค้นหาค่าของ a ซึ่งอย่างน้อยหนึ่งรูทของ สมการ (*) เป็นไปตามเงื่อนไข t > 0

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

คำตอบ: ถ้า a > - 13, a  11, a  5, แล้วถ้า a - 13,

a = 11, a = 5 แล้วไม่มีราก

บรรณานุกรม.

1. Guzeev รากฐานของเทคโนโลยีการศึกษา

2. เทคโนโลยี Guzeev: จากการต้อนรับสู่ปรัชญา

ม. "อาจารย์ใหญ่" ครั้งที่ 4, 2539

3. Guzeev และรูปแบบการศึกษาขององค์กร

4. Guzeev และการฝึกฝนเทคโนโลยีการศึกษาแบบบูรณาการ

M. "การศึกษาของประชาชน", 2001

5. Guzeev จากรูปแบบของบทเรียน - สัมมนา

คณิตศาสตร์ ม.2 ปี 2530 หน้า 9 - 11

6. เทคโนโลยีการศึกษาของ Selevko

M. "การศึกษาของประชาชน", 1998

7. เด็กนักเรียน Episheva เรียนรู้คณิตศาสตร์

M. "การตรัสรู้", 1990

8. Ivanov เพื่อเตรียมบทเรียน - เวิร์กช็อป

คณิตศาสตร์ที่โรงเรียนหมายเลข 6, 1990, p. 37-40.

9. แบบจำลองการสอนคณิตศาสตร์ของ Smirnov

คณิตศาสตร์โรงเรียนที่ 1, 1997, p. 32-36.

10. Tarasenko วิธีการจัดระเบียบการทำงานจริง

คณิตศาสตร์ที่โรงเรียนหมายเลข 1, 1993, p. 27 - 28.

11. เกี่ยวกับงานประเภทใดประเภทหนึ่ง

คณิตศาสตร์ในโรงเรียนหมายเลข 2, 1994, หน้า 63 - 64.

12. ความสามารถสร้างสรรค์ของ Khazankin ของเด็กนักเรียน

คณิตศาสตร์โรงเรียน ครั้งที่ 2, 1989, น. สิบ.

13. สกานาวี สำนักพิมพ์, 1997

14. et al. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ สื่อการสอนสำหรับ

15. งาน Krivonogov ในวิชาคณิตศาสตร์

ม. "1 กันยายน", 2002

16. เชอร์กาซอฟ คู่มือสำหรับนักเรียนมัธยมปลายและ

เข้ามหาวิทยาลัย "เอเอสที - โรงเรียนข่าว", 2545

17. Zhevnyak สำหรับผู้สมัครเข้ามหาวิทยาลัย

มินสค์และ RF "ทบทวน" พ.ศ. 2539

18. เขียน D. การเตรียมตัวสอบวิชาคณิตศาสตร์. M. Rolf, 1999

19. และอื่นๆ เรียนรู้การแก้สมการและอสมการ

ม. "ปัญญา - ศูนย์กลาง", 2546

20. และอื่นๆ สื่อการศึกษาและฝึกอบรมเพื่อเตรียมความพร้อมสำหรับ E G E.

M. "Intellect - Center", 2546 และ 2547

21 และอื่น ๆ รูปแบบของ CMM ศูนย์ทดสอบของกระทรวงกลาโหมของสหพันธรัฐรัสเซีย, 2002, 2003

22. สมการโกลด์เบิร์ก "ควอนตัม" ครั้งที่ 3 พ.ศ. 2514

23. Volovich M. วิธีสอนคณิตศาสตร์ให้ประสบความสำเร็จ

คณิตศาสตร์ 1997 ครั้งที่ 3

24 Okunev สำหรับบทเรียนเด็ก ๆ ! M. การตรัสรู้, 1988

25. Yakimanskaya - การศึกษาเชิงรุกที่โรงเรียน

26. Liimets ทำงานในบทเรียน ม. ความรู้, 1975

สมการเรียกว่าเลขชี้กำลังถ้าไม่ทราบมีอยู่ในเลขชี้กำลัง สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุดมีรูปแบบดังนี้: a x \u003d a b โดยที่ a> 0 และ 1, x ไม่เป็นที่รู้จัก

คุณสมบัติหลักขององศาโดยใช้การแปลงสมการเลขชี้กำลัง: a>0, b>0

เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง คุณสมบัติต่อไปนี้ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังยังใช้: y = a x , a > 0, a1:

ในการแสดงตัวเลขเป็นกำลัง จะใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน: b = , a > 0, a1, b > 0

งานและการทดสอบในหัวข้อ "สมการเลขชี้กำลัง"

• สมการเลขชี้กำลัง

  บทเรียน: 4 การบ้าน: 21 การทดสอบ: 1

• สมการเลขชี้กำลัง - หัวข้อสำคัญในการสอบซ้ำทางคณิตศาสตร์

  งาน: 14

• ระบบสมการเลขชี้กำลังและลอการิทึม - ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม Grade 11

  บทเรียน: 1 การมอบหมาย: 15 การทดสอบ: 1

• §2.1. แก้สมการเลขชี้กำลัง

  บทเรียน: 1 การบ้าน: 27

• §7 สมการเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมและอสมการ - ส่วนที่ 5. ฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม เกรด 10

  บทเรียน: 1 การบ้าน: 17

ในการแก้สมการเลขชี้กำลังได้สำเร็จ คุณต้องรู้คุณสมบัติพื้นฐานของยกกำลัง คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง และเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

ในการแก้สมการเลขชี้กำลัง ใช้วิธีหลักสองวิธี:

1. เปลี่ยนจากสมการ a f(x) = a g(x) เป็นสมการ f(x) = g(x);
2. การแนะนำบรรทัดใหม่

ตัวอย่าง.

1. สมการลดให้ง่ายที่สุด แก้ได้โดยนำสมการทั้งสองข้างมายกกำลังที่มีฐานเท่ากัน

3x \u003d 9x - 2

การตัดสินใจ:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.

ตอบ: 4.

2. สมการแก้ได้ด้วยการถ่ายคร่อมตัวประกอบร่วม

การตัดสินใจ:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

ตอบ: 3.

3. สมการที่แก้ไขโดยการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร

การตัดสินใจ:

2 2x + 2 x - 12 = 0
เราหมายถึง 2 x \u003d y
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3
ก) 2 x = - 4. สมการไม่มีคำตอบเพราะ 2 x > 0
ข) 2 x = 3; 2 x = 2 บันทึก 2 3 ; x = บันทึก 2 3

ตอบ:บันทึก 2 3

4. สมการที่ประกอบด้วยเลขยกกำลังที่มีฐานสองฐานต่างกัน

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2

ตอบ: 2.

5. สมการที่เป็นเนื้อเดียวกันเทียบกับ a x และ b x .

แบบฟอร์มทั่วไป: .

9 x + 4 x = 2.5 x 6 x .

การตัดสินใจ:

3 2x – 2.5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2.5 × (3/2) x + 1 = 0
หมายถึง (3/2) x = y
y 2 - 2.5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½

ตอบ:บันทึก 3/2 2; - บันทึก 3/2 2