เครื่องคิดเลขออนไลน์ การแก้อสมการ: เชิงเส้น กำลังสอง และเศษส่วน ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง

เรายังคงมองหาวิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรตัวเดียวต่อไป เราได้ศึกษาความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นและกำลังสองแล้ว ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของความไม่เท่าเทียมกันเชิงตรรกยะ ในบทความนี้ เราจะชี้แจงว่าอสมการประเภทใดที่ถือเป็นเหตุผล และเราจะบอกคุณว่าอสมการเหล่านี้แบ่งออกเป็นประเภทใด (จำนวนเต็มและเศษส่วน) หลังจากนั้น เราจะแสดงวิธีแก้ปัญหาอย่างถูกต้อง จัดเตรียมอัลกอริธึมที่จำเป็น และวิเคราะห์ปัญหาเฉพาะ

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมเชิงเหตุผล

เมื่อพวกเขาศึกษาหัวข้อการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันในโรงเรียน พวกเขาจะคำนึงถึงความไม่เท่าเทียมเชิงเหตุผลทันที พวกเขาได้รับและฝึกฝนทักษะในการทำงานกับการแสดงออกประเภทนี้ ให้เรากำหนดคำจำกัดความของแนวคิดนี้:

คำจำกัดความ 1

อสมการเชิงเหตุผลคืออสมการที่มีตัวแปรซึ่งมีนิพจน์เชิงตรรกยะในทั้งสองส่วน

โปรดทราบว่าคำจำกัดความไม่ส่งผลต่อคำถามเกี่ยวกับจำนวนตัวแปร แต่อย่างใด ซึ่งหมายความว่าสามารถมีได้มากเท่าที่ต้องการ ดังนั้นอสมการเชิงตรรกยะที่มีตัวแปร 1, 2, 3 หรือมากกว่านั้นจึงเป็นไปได้ บ่อยครั้งที่คุณต้องจัดการกับนิพจน์ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว น้อยกว่าสองตัว และความไม่เท่าเทียมกันที่มีตัวแปรจำนวนมากมักจะไม่พิจารณาเลยในหลักสูตรของโรงเรียน

ดังนั้นเราจึงสามารถรับรู้ถึงความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลโดยดูจากการเขียน ควรมีการแสดงออกที่มีเหตุผลทั้งด้านขวาและด้านซ้าย นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

x > 4 x 3 + 2 ปี ≤ 5 (y - 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

แต่นี่คือความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

อสมการเชิงเหตุผลทั้งหมดแบ่งออกเป็นจำนวนเต็มและเศษส่วน

คำจำกัดความ 2

ความเท่าเทียมกันเชิงเหตุผลทั้งหมดประกอบด้วยนิพจน์เชิงเหตุผลทั้งหมด (ในทั้งสองส่วน)

คำจำกัดความ 3

ความเท่าเทียมกันเชิงตรรกยะแบบเศษส่วนคือความเท่าเทียมกันที่มีนิพจน์เศษส่วนในส่วนใดส่วนหนึ่งหรือทั้งสองส่วน

ตัวอย่างเช่น อสมการของรูปแบบ 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 และ 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 คือ เศษส่วนเหตุผลและ 0, 5 x ≤ 3 (2 − 5 ปี)และ 1: x + 3 > 0- ทั้งหมด.

เราวิเคราะห์ว่าอสมการเชิงเหตุผลคืออะไรและระบุประเภทหลักๆ เราสามารถทบทวนแนวทางแก้ไขต่อไปได้

สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ของอสมการเชิงตรรกยะทั้งหมด ร(เอ็กซ์)< s (x) ซึ่งมีตัวแปร x เพียงตัวเดียวเท่านั้น โดยที่ ร(เอ็กซ์)และ ส(เอ็กซ์)แทนจำนวนเต็มตรรกยะหรือนิพจน์ และเครื่องหมายอสมการอาจแตกต่างกัน เพื่อแก้ปัญหานี้ เราจำเป็นต้องแปลงมันและรับความเท่าเทียมกันที่เท่ากัน

เริ่มต้นด้วยการย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้าย เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

อยู่ในรูปแบบ r (x) - s (x)< 0 (≤ , > , ≥)

เรารู้ว่า ร (x) - ส (x)จะเป็นค่าจำนวนเต็ม และนิพจน์จำนวนเต็มใดๆ สามารถแปลงเป็นพหุนามได้ มาแปลงร่างกันเถอะ ร (x) - ส (x)ในชั่วโมง(x) นิพจน์นี้จะเป็นพหุนามที่เท่ากัน เมื่อพิจารณาว่า r (x) - s (x) และ h (x) มีค่าช่วงที่อนุญาตเท่ากันของ x เราสามารถไปยังความไม่เท่าเทียมกันได้ h (x)< 0 (≤ , >, ≥) ซึ่งจะเท่ากับค่าเดิม

บ่อยครั้งนี้ การแปลงอย่างง่ายจะเพียงพอที่จะแก้อสมการเนื่องจากผลลัพธ์อาจเป็นอสมการเชิงเส้นหรือกำลังสองซึ่งเป็นค่าที่คำนวณได้ง่าย มาวิเคราะห์ปัญหาดังกล่าวกัน

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข:แก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลทั้งหมด x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.

สารละลาย

เริ่มต้นด้วยการย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้ายโดยมีเครื่องหมายตรงข้าม

x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

ตอนนี้เราได้ดำเนินการทั้งหมดโดยใช้พหุนามทางด้านซ้ายเสร็จแล้ว เราก็ไปต่อกันได้เลย ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น 3 x - 2 ≤ 0เทียบเท่ากับสิ่งที่ได้รับในเงื่อนไข แก้ได้ง่าย:

3 x ≤ 2 x ≤ 2 3

คำตอบ: x ≤ 2 3 .

ตัวอย่างที่ 2

เงื่อนไข:หาทางแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน (x 2 + 1) 2 − 3 x 2 > (x 2 + x) (x 2 + x).

สารละลาย

เราถ่ายโอนนิพจน์จากด้านซ้ายไปทางด้านขวาและทำการแปลงเพิ่มเติมโดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ

(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

จากการเปลี่ยนแปลงของเรา เราได้รับอสมการที่จะเป็นจริงสำหรับค่า x ใดๆ ดังนั้นคำตอบของอสมการดั้งเดิมอาจเป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ได้

คำตอบ:เลขอะไรก็ได้จริงๆ

ตัวอย่างที่ 3

เงื่อนไข:แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.

สารละลาย

เราจะไม่ถ่ายโอนสิ่งใดจากด้านขวา เนื่องจากมี 0 อยู่ตรงนั้น มาเริ่มกันเลยโดยการแปลงด้านซ้ายเป็นพหุนาม:

x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0

เราได้ค่าอสมการกำลังสองที่เทียบเท่ากับค่าเดิม ซึ่งสามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยใช้หลายวิธี ลองใช้วิธีแบบกราฟิก

เริ่มต้นด้วยการคำนวณรากของกำลังสองตรีโกณมิติ − 2 x 2 + 11 x + 6:

ง = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 = 6

ตอนนี้บนแผนภาพเราทำเครื่องหมายศูนย์ที่จำเป็นทั้งหมด เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์นำน้อยกว่าศูนย์ กิ่งของพาราโบลาบนกราฟจะชี้ลง

เราต้องการพื้นที่ของพาราโบลาที่อยู่เหนือแกน x เนื่องจากเรามีเครื่องหมาย > ในอสมการ ช่วงเวลาที่ต้องการคือ (− 0 , 5 , 6) ดังนั้นค่าช่วงนี้จะเป็นคำตอบที่เราต้องการ

คำตอบ: (− 0 , 5 , 6) .

นอกจากนี้ยังมีกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้นเมื่อได้รับพหุนามของดีกรีที่สามหรือสูงกว่าทางด้านซ้าย เพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว ขอแนะนำให้ใช้วิธีช่วงเวลา ขั้นแรกเราคำนวณรากทั้งหมดของพหุนาม ชั่วโมง(x)ซึ่งส่วนใหญ่มักทำโดยแยกตัวประกอบพหุนาม

ตัวอย่างที่ 4

เงื่อนไข:คำนวณ (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .

สารละลาย

มาเริ่มกันเช่นเคยโดยย้ายนิพจน์ไปทางซ้าย หลังจากนั้นเราจะต้องขยายวงเล็บและนำคำที่คล้ายกันมาใช้

(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

จากผลของการเปลี่ยนแปลง เราได้ความเท่าเทียมกันเทียบเท่ากับค่าเดิม ทางด้านซ้ายซึ่งมีพหุนามของดีกรีที่สาม ลองใช้วิธีช่วงเวลาเพื่อแก้มัน

ขั้นแรก เราคำนวณรากของพหุนาม ซึ่งเราต้องแก้สมการกำลังสาม x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 = 0- มันมีรากฐานที่มีเหตุผลหรือไม่? พวกเขาสามารถเป็นหนึ่งในตัวหารของเงื่อนไขอิสระเท่านั้นเช่น ท่ามกลางตัวเลข ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 ลองแทนที่พวกมันทีละตัวในสมการดั้งเดิมแล้วพบว่าตัวเลข 1, 2 และ 3 จะเป็นรากของมัน

แล้วพหุนาม x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6สามารถอธิบายได้ว่าเป็นผลิตภัณฑ์ (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)และความไม่เท่าเทียมกัน x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 สามารถแสดงเป็น (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)< 0 - ด้วยความไม่เท่าเทียมกันประเภทนี้จะทำให้เรากำหนดสัญญาณตามช่วงเวลาได้ง่ายขึ้น

ต่อไปเราดำเนินการขั้นตอนที่เหลือของวิธีช่วงเวลา: วาดเส้นจำนวนแล้วชี้ไปที่พิกัด 1, 2, 3 พวกเขาแบ่งเส้นออกเป็น 4 ช่วงซึ่งต้องกำหนดสัญญาณ ให้เราแรเงาช่วงเวลาด้วยเครื่องหมายลบ เนื่องจากอสมการเริ่มแรกมีเครื่องหมายอยู่ < .

สิ่งที่เราต้องทำคือเขียนคำตอบพร้อม: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3)

คำตอบ: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

ในบางกรณี ให้พิจารณาจากอสมการ r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) ถึงชั่วโมง (x)< 0 (≤ , >, ≥) โดยที่ ชั่วโมง(x)– พหุนามที่มีดีกรีสูงกว่า 2 ซึ่งไม่เหมาะสม กรณีนี้ขยายไปถึงกรณีที่การแสดง r(x) − s(x) เป็นผลคูณของทวินามเชิงเส้นและตรีโกณมิติกำลังสองนั้นง่ายกว่าการแยกตัวประกอบ h(x) ออกเป็นตัวประกอบแต่ละตัว ลองดูที่ปัญหานี้

ตัวอย่างที่ 5

เงื่อนไข:หาทางแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).

สารละลาย

อสมการนี้ใช้กับจำนวนเต็ม หากเราย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้าย ให้เปิดวงเล็บและลดเงื่อนไข เราก็จะได้ x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0

การแก้ไขอสมการนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย เนื่องจากคุณต้องมองหารากของพหุนามดีกรีที่ 4 มันไม่มีเลย รากที่มีเหตุผล(ดังนั้น 1, − 1, 19 หรือ − 19 ไม่เหมาะ) และยากต่อการมองหารากอื่น ซึ่งหมายความว่าเราไม่สามารถใช้วิธีนี้ได้

แต่มีวิธีแก้ไขอื่น ๆ หากเราย้ายนิพจน์จากด้านขวาของอสมการเดิมไปทางซ้าย เราก็จะวงเล็บเหลี่ยมตัวประกอบร่วมได้ x 2 - 2 x - 1:

(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

เราได้รับอสมการที่เทียบเท่ากับค่าเดิม และวิธีการแก้ปัญหาของมันจะให้คำตอบที่ต้องการแก่เรา ลองหาศูนย์ของนิพจน์ทางด้านซ้ายซึ่งเราจะแก้สมการกำลังสองกัน x 2 − 2 x − 1 = 0และ x 2 − 2 x − 19 = 0- รากของพวกมันคือ 1 ± 2, 1 ± 2 5 เราไปยังความเท่าเทียมกัน x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 ซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีช่วงเวลา:

จากรูป คำตอบจะเป็น - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞

คำตอบ: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

ให้เราเสริมว่าบางครั้งเราไม่สามารถหารากทั้งหมดของพหุนามได้ ชั่วโมง(x)ดังนั้นเราจึงไม่สามารถแสดงมันเป็นผลคูณของทวินามเชิงเส้นและตรีโกณมิติกำลังสองได้ แล้วแก้อสมการของรูป h(x)< 0 (≤ , >, ≥) เราทำไม่ได้ ซึ่งหมายความว่าเป็นไปไม่ได้เช่นกันที่จะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผลดั้งเดิม

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้อสมการเชิงเหตุผลเศษส่วนของรูปแบบ r (x)< s (x) (≤ , >, ≥) โดยที่ r (x) และ ส(เอ็กซ์)เป็นนิพจน์เชิงตรรกยะ x คือตัวแปร นิพจน์ที่ระบุอย่างน้อยหนึ่งรายการจะเป็นเศษส่วน อัลกอริธึมการแก้ปัญหาในกรณีนี้จะเป็นดังนี้:

เรากำหนดช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x
เราย้ายนิพจน์จากด้านขวาของอสมการไปทางซ้ายและนิพจน์ผลลัพธ์ ร (x) - ส (x)เขียนมันเป็นเศษส่วน. นอกจากนี้ที่ไหน พี(เอ็กซ์)และ คิว(x)จะเป็นนิพจน์จำนวนเต็มที่เป็นผลคูณของทวินามเชิงเส้น ตรีโกณมิติกำลังสองที่แยกไม่ออก รวมถึงกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ
ต่อไป เราจะแก้ความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นโดยใช้วิธีช่วงเวลา
ขั้นตอนสุดท้ายคือการแยกคะแนนที่ได้รับระหว่างการแก้ปัญหาออกจากช่วงค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร x ที่เรากำหนดไว้ตั้งแต่ต้น

นี่คืออัลกอริธึมสำหรับแก้อสมการเชิงตรรกยะแบบเศษส่วน ส่วนใหญ่ชัดเจน จำเป็นต้องมีคำอธิบายเล็กน้อยสำหรับย่อหน้าที่ 2 เท่านั้น เราย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้ายแล้วได้ r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) แล้วจะนำมันมาอยู่ในรูป p (x) q (x) ได้อย่างไร< 0 (≤ , > , ≥) ?

ขั้นแรก เรามาพิจารณาว่าการแปลงนี้สามารถทำได้เสมอหรือไม่ ตามทฤษฎีแล้ว ความเป็นไปได้นั้นมีอยู่เสมอ เนื่องจากนิพจน์ตรรกยะใดๆ สามารถแปลงเป็นเศษส่วนตรรกยะได้ ตรงนี้เรามีเศษส่วนที่มีพหุนามในตัวเศษและตัวส่วน ขอให้เรานึกถึงทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตและทฤษฎีบทของเบซูต์ และพิจารณาว่าพหุนามใดๆ ของดีกรี n ที่มีตัวแปรหนึ่งตัวสามารถเปลี่ยนเป็นผลคูณของทวินามเชิงเส้นได้ ดังนั้น ตามทฤษฎีแล้ว เราสามารถเปลี่ยนนิพจน์ด้วยวิธีนี้ได้ตลอดเวลา

ในทางปฏิบัติ การแยกตัวประกอบพหุนามมักจะค่อนข้างมาก งานที่ยากลำบากโดยเฉพาะอย่างยิ่งหากระดับสูงกว่า 4 หากเราไม่สามารถขยายตัวได้ เราก็จะไม่สามารถแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันนี้ได้ แต่ปัญหาดังกล่าวมักไม่มีการศึกษาในหลักสูตรของโรงเรียน

ต่อไปเราต้องตัดสินใจว่าผลลัพธ์ของความไม่เท่าเทียมกัน p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) เทียบเท่ากับ r (x) - s (x)< 0 (≤ , >, ≥) และไปที่ต้นฉบับ มีความเป็นไปได้ที่มันจะกลายเป็นไม่เท่ากัน

ความเท่าเทียมกันของความไม่เท่าเทียมกันจะมั่นใจได้เมื่อช่วงของค่าที่ยอมรับได้ พี(x)คิว(x)จะตรงกับช่วงนิพจน์ ร (x) - ส (x)- จากนั้นไม่จำเป็นต้องปฏิบัติตามคำแนะนำสุดท้ายของการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันเชิงตรรกศาสตร์เศษส่วน

แต่ช่วงของค่าสำหรับ พี(x)คิว(x)อาจจะกว้างกว่า. ร (x) - ส (x)เช่น โดยการลดเศษส่วน ตัวอย่างจะเป็นไปจาก x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 ถึง x · x - 1 x + 3 หรือสิ่งนี้อาจเกิดขึ้นได้เมื่อนำคำที่คล้ายกันมาใช้ เช่น ที่นี่:

x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 ถึง 1 x + 3

ในกรณีเช่นนี้ ขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริธึมจะถูกเพิ่มเข้าไป เมื่อดำเนินการคุณจะกำจัดค่าตัวแปรภายนอกที่เกิดขึ้นเนื่องจากการขยายช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ลองยกตัวอย่างบางส่วนเพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นว่าเรากำลังพูดถึงอะไร

ตัวอย่างที่ 6

เงื่อนไข:หาคำตอบของความเท่าเทียมกันเชิงตรรกยะ x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .

สารละลาย

เราดำเนินการตามอัลกอริทึมที่ระบุไว้ข้างต้น ขั้นแรก เราจะกำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ใน ในกรณีนี้มันถูกกำหนดโดยระบบอสมการ x + 1 x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 (x + 1) ≠ 0 วิธีแก้คือเซต (− ∞, − 1) ∪ ( − 1, 3) ∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0

หลังจากนั้นเราจำเป็นต้องแปลงมันเพื่อให้สะดวกในการใช้วิธีช่วงเวลา ก่อนอื่น เราลดเศษส่วนพีชคณิตให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด (x - 3) 2 (x + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

เรายุบนิพจน์ในตัวเศษโดยใช้สูตรกำลังสองของผลรวม:

x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1

ช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของนิพจน์ผลลัพธ์คือ (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . เราเห็นว่ามีความคล้ายคลึงกับสิ่งที่กำหนดไว้สำหรับความเท่าเทียมเดิม เราสรุปได้ว่าความไม่เท่าเทียมกัน x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 เทียบเท่ากับค่าเดิม ซึ่งหมายความว่าเราไม่ต้องการขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึม

เราใช้วิธีช่วงเวลา:

เราเห็นวิธีแก้ปัญหา ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) ซึ่งจะเป็นคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันเชิงตรรกยะดั้งเดิม x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

คำตอบ: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

ตัวอย่างที่ 7

เงื่อนไข:คำนวณวิธีแก้ปัญหา x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1

สารละลาย

เรากำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ในกรณีของอสมการนี้จะเท่ากับจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น −2, − 1, 0 และ 1 .

เราย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้าย:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

โดยคำนึงถึงผลลัพธ์ที่เราเขียน:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

สำหรับนิพจน์ 1 x - 1 ช่วงของค่าที่ถูกต้องคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้นค่าเดียว เราเห็นว่าช่วงของค่าได้ขยายออกไป: − 2 , − 1 และ 0 - ซึ่งหมายความว่าเราจำเป็นต้องดำเนินการขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึม

เนื่องจากเรามาถึงความไม่เท่าเทียมกัน - 1 x - 1 > 0 เราสามารถเขียนค่าที่เทียบเท่ากับ 1 x - 1 ได้< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

เราไม่รวมคะแนนที่ไม่รวมอยู่ในช่วงค่าที่ยอมรับได้ของความเท่าเทียมกันดั้งเดิม เราจำเป็นต้องยกเว้นจาก (− ∞ , 1) ตัวเลข − 2 , − 1 และ 0 . ดังนั้นการแก้อสมการเชิงเหตุผล x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 จะเป็นค่า (- ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

คำตอบ: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

โดยสรุป เราให้อีกตัวอย่างหนึ่งของปัญหาซึ่งคำตอบสุดท้ายขึ้นอยู่กับช่วงของค่าที่ยอมรับได้

ตัวอย่างที่ 8

เงื่อนไข:ค้นหาวิธีแก้อสมการ 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0

สารละลาย

ช่วงของค่าที่อนุญาตของความไม่เท่าเทียมกันที่ระบุในเงื่อนไขถูกกำหนดโดยระบบ x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0

ระบบนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเพราะว่า

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

ซึ่งหมายความว่าความเท่าเทียมกันดั้งเดิม 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเนื่องจากไม่มีค่าของตัวแปรที่จะทำได้ ความรู้สึก.

คำตอบ:ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

แต่ในปัจจุบันความไม่เท่าเทียมเชิงเหตุผลไม่สามารถแก้ไขทุกสิ่งได้ แม่นยำยิ่งขึ้นไม่ใช่เพียงทุกคนเท่านั้นที่สามารถตัดสินใจได้ มีเพียงไม่กี่คนที่สามารถทำได้
คลิทช์โก้

บทเรียนนี้จะยาก ยากเหลือเกินที่มีเพียงผู้ถูกเลือกเท่านั้นที่จะถึงจุดจบ ดังนั้นก่อนเริ่มอ่าน แนะนำให้ลบผู้หญิง แมว เด็กท้อง และ... ออกจากหน้าจอก่อน

เอาน่า มันง่ายจริงๆ สมมติว่าคุณเชี่ยวชาญวิธีช่วงเวลาแล้ว (หากคุณยังไม่เชี่ยวชาญ ฉันแนะนำให้ย้อนกลับไปอ่านมัน) และเรียนรู้วิธีแก้อสมการของรูปแบบ $P\left(x \right) \gt 0$ โดยที่ $ P\left(x \right)$ คือพหุนามหรือผลคูณของพหุนาม

ฉันเชื่อว่ามันคงไม่ยากสำหรับคุณที่จะแก้ปัญหาเช่นสิ่งนี้ (ยังไงก็ลองอุ่นเครื่องดู):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \right)\left(x-1 \right)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \right))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

ทีนี้มาทำให้ปัญหาซับซ้อนขึ้นอีกสักหน่อย และพิจารณาไม่ใช่แค่พหุนามเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสิ่งที่เรียกว่าเศษส่วนตรรกยะของรูปแบบด้วย:

โดยที่ $P\left(x \right)$ และ $Q\left(x \right)$ เป็นพหุนามที่เหมือนกันในรูปแบบ $((a)_(n))((x)^(n))+( ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ หรือผลคูณของพหุนามดังกล่าว

นี่จะเป็นความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล จุดพื้นฐานคือการมีตัวแปร $x$ ในตัวส่วน ตัวอย่างเช่น นี่คือความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)(((\left(3-x \right))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \right))\ge 0 \\ \end(align)\]

และนี่ไม่ใช่ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล แต่เป็นความไม่เท่าเทียมกันที่พบบ่อยที่สุด ซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีช่วงเวลา:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

เมื่อมองไปข้างหน้าฉันจะพูดทันที: มีอย่างน้อยสองวิธีในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมเชิงเหตุผล แต่ทั้งหมดไม่ทางใดก็ทางหนึ่งก็ลงมาที่วิธีการของช่วงเวลาที่เรารู้จักแล้ว ดังนั้นก่อนที่เราจะวิเคราะห์วิธีการเหล่านี้ เรามาจำข้อเท็จจริงเก่า ๆ กันก่อน ไม่เช่นนั้นเนื้อหาใหม่จะไม่มีความหมาย

สิ่งที่คุณจำเป็นต้องรู้อยู่แล้ว

ไม่มีข้อเท็จจริงที่สำคัญมากเกินไป เราต้องการแค่สี่คนจริงๆ

สูตรคูณแบบย่อ

ใช่ ใช่ พวกเขาจะหลอกหลอนเราตลอด หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์. และที่มหาวิทยาลัยด้วย มีสูตรเหล่านี้ค่อนข้างน้อย แต่เราต้องการเพียงสิ่งต่อไปนี้:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2)); \\ & ((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right); \\ & ((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2)) \ขวา); \\ & ((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^( 2))\ขวา) \\ \end(จัดแนว)\]

ให้ความสนใจกับสูตรสองสูตรสุดท้าย - นี่คือผลรวมและผลต่างของลูกบาศก์ (ไม่ใช่กำลังสามของผลรวมหรือผลต่าง!) ง่ายต่อการจดจำหากคุณสังเกตเห็นว่าเครื่องหมายในวงเล็บแรกเกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายในนิพจน์ดั้งเดิม และเครื่องหมายในวงเล็บที่สองอยู่ตรงข้ามกับเครื่องหมายในนิพจน์ดั้งเดิม

สมการเชิงเส้น

เหล่านี้มากที่สุด สมการง่ายๆอยู่ในรูปแบบ $ax+b=0$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นตัวเลขธรรมดา และ $a\ne 0$ สมการนี้สามารถแก้ได้ง่ายๆ:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\&ขวาน=-b; \\ & x=-\frac(b)(ก) \\ \end(จัดแนว)\]

โปรดทราบว่าเรามีสิทธิ์หารด้วยสัมประสิทธิ์ $a$ เพราะ $a\ne 0$ ข้อกำหนดนี้ค่อนข้างสมเหตุสมผล เนื่องจากสำหรับ $a=0$ เราได้รับสิ่งนี้:

ประการแรก ไม่มีตัวแปร $x$ ในสมการนี้ โดยทั่วไปแล้ว สิ่งนี้ไม่ควรทำให้เราสับสน (สิ่งนี้เกิดขึ้น เช่น ในเรขาคณิต และค่อนข้างบ่อย) แต่ถึงกระนั้น นี่ไม่ใช่สมการเชิงเส้นอีกต่อไป

ประการที่สอง การแก้สมการนี้ขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์ $b$ เพียงอย่างเดียว ถ้า $b$ เป็นศูนย์ด้วย สมการของเราจะมีรูปแบบ $0=0$ ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงเสมอ นี่หมายความว่า $x$ เป็นตัวเลขใดๆ ก็ตาม (โดยปกติจะเขียนดังนี้: $x\in \mathbb(R)$) หากสัมประสิทธิ์ $b$ ไม่เท่ากับศูนย์ ความเสมอภาค $b=0$ จะไม่เป็นที่พอใจ กล่าวคือ ไม่มีคำตอบ (เขียน $x\in \varnothing $ และอ่านว่า “ชุดโซลูชันว่างเปล่า”)

เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาเหล่านี้ เราเพียงถือว่า $a\ne 0$ ซึ่งไม่ได้จำกัดเราในการคิดเพิ่มเติมเลย

สมการกำลังสอง

ฉันขอเตือนคุณว่านี่คือสิ่งที่เรียกว่าสมการกำลังสอง:

ทางซ้ายมือคือพหุนามของดีกรีที่สอง และ $a\ne 0$ อีกครั้ง (ไม่เช่นนั้น เราจะได้สมการเชิงเส้นแทนสมการกำลังสอง) สมการต่อไปนี้ได้รับการแก้ไขโดยการเลือกปฏิบัติ:

ถ้า $D \gt 0$ เราจะได้รากที่แตกต่างกันสองอัน
หาก $D=0$ ดังนั้นรูทจะเหมือนกัน แต่เป็นทวีคูณที่สอง (นี่คือมัลติหลากประเภทใดและจะพิจารณาอย่างไร - เพิ่มเติมในภายหลัง) หรือเราสามารถพูดได้ว่าสมการนี้มีรากที่เหมือนกันสองอัน
สำหรับ $D \lt 0$ นั้นไม่มีรากเลย และเครื่องหมายของพหุนาม $a((x)^(2))+bx+c$ สำหรับ $x$ ใดๆ จะตรงกับเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ $a $. โดยวิธีการนี้เป็นอย่างมาก ข้อเท็จจริงที่เป็นประโยชน์ซึ่งด้วยเหตุผลบางอย่างพวกเขาลืมพูดถึงในบทเรียนพีชคณิต

รากนั้นคำนวณโดยใช้สูตรที่รู้จักกันดี:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

ดังนั้นโดยวิธีการจำกัดการเลือกปฏิบัติ หลังจากนั้น รากที่สองของจำนวนลบไม่มีอยู่ นักเรียนหลายคนมีเรื่องยุ่งวุ่นวายอยู่ในหัวเกี่ยวกับรากเหง้า ดังนั้นฉันจึงจดบันทึกไว้โดยเฉพาะ บทเรียนทั้งหมด: รากในพีชคณิตคืออะไรและจะคำนวณอย่างไร - ฉันขอแนะนำให้อ่าน :)

การดำเนินการกับเศษส่วนตรรกยะ

คุณรู้ทุกอย่างที่เขียนไว้ข้างต้นแล้วหากคุณได้ศึกษาวิธีช่วงเวลา แต่สิ่งที่เราจะวิเคราะห์ตอนนี้ไม่มีการเปรียบเทียบในอดีต - นี่เป็นข้อเท็จจริงใหม่ทั้งหมด

คำนิยาม. เศษส่วนตรรกยะคือการแสดงออกของรูปแบบ

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\]

โดยที่ $P\left(x \right)$ และ $Q\left(x \right)$ เป็นพหุนาม

แน่นอนว่าการหาค่าอสมการจากเศษส่วนนั้นเป็นเรื่องง่าย คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มเครื่องหมาย "มากกว่า" หรือ "น้อยกว่า" ทางด้านขวา และอีกเล็กน้อยเราจะพบว่าการแก้ปัญหาดังกล่าวเป็นเรื่องน่ายินดีทุกอย่างง่ายมาก

ปัญหาเริ่มต้นเมื่อมีเศษส่วนดังกล่าวหลายตัวในนิพจน์เดียว ต้องนำมาหารด้วยตัวส่วนร่วม - และขณะนี้ก็ได้รับอนุญาตแล้ว จำนวนมากความผิดพลาดที่น่ารังเกียจ

ดังนั้น เพื่อที่จะแก้สมการตรรกยะได้สำเร็จ คุณจะต้องเข้าใจทักษะสองประการอย่างมั่นคง:

แยกตัวประกอบพหุนาม $P\left(x \right)$;
จริงๆ แล้วการนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม.

จะแยกตัวประกอบพหุนามได้อย่างไร? ง่ายมาก. ขอให้เรามีพหุนามของรูปแบบ

เราทำให้มันเท่ากับศูนย์. เราได้สมการของดีกรี $n$th:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( ก)_(1))x+((ก)_(0))=0\]

สมมติว่าเราแก้สมการนี้แล้วได้ราก $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ (ไม่ต้องตกใจ: ในกรณีส่วนใหญ่จะมี ไม่เกินสองรากนี้) ในกรณีนี้ พหุนามเดิมของเราสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =((a)_(n))\left(x -((x)_(1)) \right)\cdot \left(x-((x)_(2)) \right)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \right) \end(จัด)\]

นั่นคือทั้งหมด! โปรดทราบ: ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้า $((a)_(n))$ ไม่ได้หายไปไหน - มันจะเป็นตัวคูณแยกต่างหากที่ด้านหน้าของวงเล็บ และหากจำเป็น ก็สามารถแทรกลงในวงเล็บเหล่านี้ได้ (ฝึกแสดง ว่า $((a)_ (n))\ne \pm 1$ มักจะมีเศษส่วนอยู่ในรากเสมอ)

งาน. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)))(x+2)\]

สารละลาย. ก่อนอื่น ลองดูที่ตัวส่วน: พวกมันล้วนเป็นทวินามเชิงเส้น และไม่มีอะไรต้องแยกตัวประกอบตรงนี้ ลองแยกตัวประกอบตัวเศษ:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\left(x-\frac(3)(2) \right)\left(x-1 \right)=\left(2x- 3 \right)\left(x-1 \right); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\left(x+2 \right)\left(x-\frac(2)(5) \right)=\left(x +2 \right)\left(2-5x \right) \\\end(จัดแนว)\]

โปรดทราบ: ในพหุนามที่สอง ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้า "2" ตามโครงร่างของเรา ปรากฏครั้งแรกที่ด้านหน้าวงเล็บ จากนั้นจึงรวมไว้ในวงเล็บแรก เนื่องจากเศษส่วนปรากฏอยู่ที่นั่น

สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นในพหุนามที่สาม เพียงแต่ลำดับของเทอมกลับกันเท่านั้น อย่างไรก็ตาม ค่าสัมประสิทธิ์ "−5" ได้ถูกรวมไว้ในวงเล็บที่สอง (โปรดจำไว้ว่า: คุณสามารถป้อนตัวประกอบในวงเล็บเดียวเท่านั้น!) ซึ่งช่วยเราจากความไม่สะดวกที่เกี่ยวข้องกับรากเศษส่วน

สำหรับพหุนามตัวแรก ทุกอย่างเรียบง่าย: รากของมันถูกค้นหาอย่างเป็นมาตรฐานโดยใช้การแบ่งแยกหรือใช้ทฤษฎีบทของเวียตา

กลับไปที่นิพจน์เดิมแล้วเขียนใหม่โดยแยกตัวประกอบเป็นเศษ:

\[\begin(เมทริกซ์) \frac(\left(x+5 \right)\left(x-4 \right))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \right)\left( x-1 \right))(2x-3)-\frac(\left(x+2 \right)\left(2-5x \right))(x+2)= \\ =\left(x+5 \right)-\left(x-1 \right)-\left(2-5x \right)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4 \\ \end(เมทริกซ์)\]

คำตอบ: $5x+4$

อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรซับซ้อน คณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7-8 นิดหน่อยเท่านั้นเอง จุดประสงค์ของการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดคือการได้สิ่งที่เรียบง่ายและใช้งานได้สะดวกจากสำนวนที่ซับซ้อนและน่ากลัว

อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้จะไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไป ตอนนี้เราจะมาดูปัญหาที่ร้ายแรงกว่านี้กัน

แต่ก่อนอื่น เรามาดูวิธีนำเศษส่วนสองตัวมาเป็นตัวส่วนร่วมกันก่อน อัลกอริทึมนั้นง่ายมาก:

แยกตัวประกอบทั้งสองส่วน
พิจารณาตัวส่วนตัวแรกและเพิ่มตัวประกอบที่มีอยู่ในตัวส่วนที่สอง แต่ไม่ใช่ในตัวส่วนแรก ผลคูณที่ได้จะเป็นตัวส่วนร่วม
ค้นหาว่าเศษส่วนดั้งเดิมแต่ละตัวมีตัวประกอบใดหายไปเพื่อให้ตัวส่วนมีค่าเท่ากับจำนวนร่วม

อัลกอริทึมนี้อาจดูเหมือนคุณชอบแค่ข้อความที่มี "ตัวอักษรจำนวนมาก" ดังนั้นเรามาดูทุกอย่างโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะกัน

งาน. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

สารละลาย. เป็นการดีกว่าที่จะแก้ไขปัญหาใหญ่ ๆ ดังกล่าวเป็นบางส่วน ลองเขียนสิ่งที่อยู่ในวงเล็บแรก:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

ต่างจากปัญหาก่อนหน้านี้ ตัวส่วนไม่ง่ายนัก ลองแยกตัวประกอบแต่ละตัวกัน.

ไม่สามารถแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง $((x)^(2))+2x+4$ ได้ เนื่องจากสมการ $((x)^(2))+2x+4=0$ ไม่มีราก (ค่าจำแนกเป็นลบ ). เราปล่อยให้มันไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวส่วนที่สอง - พหุนามลูกบาศก์ $((x)^(3))-8$ - เมื่อตรวจสอบอย่างละเอียดแล้ว จะเห็นความแตกต่างของลูกบาศก์และสามารถขยายได้อย่างง่ายดายโดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \ขวา)\]

ไม่สามารถแยกตัวประกอบอย่างอื่นได้อีก เนื่องจากในวงเล็บแรกจะมีทวินามเชิงเส้น และวงเล็บที่สองมีโครงสร้างที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว ซึ่งไม่มีรากที่แท้จริง

สุดท้าย ตัวส่วนที่สามคือทวินามเชิงเส้นที่ไม่สามารถขยายได้ ดังนั้นสมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left (((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)\]

เห็นได้ชัดว่าตัวส่วนร่วมจะเท่ากับ $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ พอดี และเพื่อลดเศษส่วนทั้งหมดลงไป จำเป็นต้องคูณเศษส่วนแรกของ $\left(x-2 \right)$ และเศษส่วนสุดท้าย - บน $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือให้สิ่งที่คล้ายกัน:

\[\begin(เมทริกซ์) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ ขวา))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x +4 \right))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \right)+\left(((x)^(2))+8 \right)-\left(((x )^(2))+2x+4 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\ซ้าย (((x)^(2))+2x+4 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\ ซ้าย(((x)^(2))+2x+4 \right)). \\ \end(เมทริกซ์)\]

ให้ความสนใจกับบรรทัดที่สอง: เมื่อตัวส่วนเป็นเรื่องธรรมดาอยู่แล้ว เช่น แทนที่จะแยกเศษส่วนสามส่วน เราเขียนเศษส่วนขนาดใหญ่เพียงอันเดียว คุณไม่ควรกำจัดวงเล็บทันที จะดีกว่าถ้าเขียนบรรทัดเพิ่มเติมและสังเกตว่ามีเครื่องหมายลบก่อนเศษส่วนที่สาม - และจะไม่ไปไหน แต่จะ "ค้าง" ในตัวเศษหน้าวงเล็บ สิ่งนี้จะช่วยคุณประหยัดจากข้อผิดพลาดมากมาย

ในบรรทัดสุดท้าย การแยกตัวประกอบตัวเศษก็มีประโยชน์ ยิ่งไปกว่านั้น นี่คือกำลังสองที่แน่นอน และสูตรการคูณแบบย่อก็กลับมาช่วยเราอีกครั้ง เรามี:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))= \frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right) )=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

ทีนี้มาจัดการกับวงเล็บเหลี่ยมที่สองด้วยวิธีเดียวกันทุกประการ ที่นี่ฉันจะเขียนห่วงโซ่แห่งความเท่าเทียมกัน:

\[\begin(เมทริกซ์) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x) ^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac(((x)^( 2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right )\cdot \left(x+2 \right))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) ). \\ \end(เมทริกซ์)\]

กลับไปที่ปัญหาเดิมแล้วดูผลิตภัณฑ์:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

คำตอบ: \[\frac(1)(x+2)\]

ความหมายของงานนี้เหมือนกับงานก่อนหน้า: เพื่อแสดงให้เห็นว่านิพจน์เหตุผลสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อย่างไรหากคุณเข้าใกล้การเปลี่ยนแปลงอย่างชาญฉลาด

ตอนนี้คุณรู้ทั้งหมดนี้แล้ว เรามาดูหัวข้อหลักของบทเรียนวันนี้กันดีกว่า - การแก้ไขอสมการเชิงตรรกศาสตร์แบบเศษส่วน ยิ่งไปกว่านั้น หลังจากการเตรียมการ คุณจะขจัดความไม่เท่าเทียมกันเหมือนถั่ว :)

วิธีหลักในการแก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล

มีอย่างน้อยสองวิธีในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันเชิงเหตุผล ตอนนี้เราจะดูหนึ่งในนั้น - อันที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์.

แต่ก่อนอื่นเรามาทราบกันก่อน รายละเอียดที่สำคัญ- ความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดแบ่งออกเป็นสองประเภท:

เข้มงวด: $f\left(x \right) \gt 0$ หรือ $f\left(x \right) \lt 0$;
หละหลวม: $f\left(x \right)\ge 0$ หรือ $f\left(x \right)\le 0$

ความไม่เท่าเทียมกันของประเภทที่สองสามารถลดลงเป็นประเภทแรกได้อย่างง่ายดายเช่นเดียวกับสมการ:

“การบวก” เล็กๆ น้อยๆ นี้ $f\left(x \right)=0$ นำไปสู่สิ่งที่ไม่พึงประสงค์เช่นการเติมคะแนน - เราคุ้นเคยกับมันในวิธีช่วงเวลา มิฉะนั้น จะไม่มีความแตกต่างระหว่างอสมการแบบเข้มงวดและไม่เข้มงวด ดังนั้นเรามาดูอัลกอริธึมสากลกัน:

รวบรวมองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดไว้ที่ด้านหนึ่งของเครื่องหมายอสมการ ตัวอย่างเช่นทางด้านซ้าย

ลดเศษส่วนทั้งหมดให้เป็นตัวส่วนร่วม (หากมีเศษส่วนดังกล่าวหลายตัว) ให้นำเศษส่วนที่คล้ายกันมาด้วย จากนั้นถ้าเป็นไปได้ ให้แยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วน ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง เราจะได้ค่าอสมการในรูปแบบ $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$ โดยที่ "เครื่องหมายถูก" คือเครื่องหมายอสมการ .

เราเปรียบตัวเศษให้เป็นศูนย์: $P\left(x \right)=0$ เราแก้สมการนี้แล้วได้ราก $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... จากนั้นเราต้องการ ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์: $Q\left(x \right)\ne 0$ แน่นอน โดยพื้นฐานแล้ว เราต้องแก้สมการ $Q\left(x \right)=0$ และเราจะได้ราก $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*)$ , $x_(3 )^(*)$, ... (ในปัญหาจริงแทบจะไม่มีรากดังกล่าวเกินสามราก)

เราทำเครื่องหมายรากเหล่านี้ทั้งหมด (ทั้งที่มีและไม่มีเครื่องหมายดอกจัน) บนเส้นจำนวนเดียว และรากที่ไม่มีดาวจะถูกทาสีทับ และรากที่มีดาวจะถูกเจาะ

เราวางเครื่องหมาย "บวก" และ "ลบ" เลือกช่วงเวลาที่เราต้องการ หากอสมการอยู่ในรูปแบบ $f\left(x \right) \gt 0$ คำตอบจะเป็นช่วงที่ทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมาย "บวก" ถ้า $f\left(x \right) \lt 0$ เราจะดูช่วงเวลาที่มี "เครื่องหมายลบ"

การปฏิบัติแสดงให้เห็นว่าปัญหาที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเกิดจากจุดที่ 2 และ 4 - การแปลงที่มีความสามารถและการจัดเรียงตัวเลขที่ถูกต้องตามลำดับจากน้อยไปหามาก ในขั้นตอนสุดท้าย ระวังอย่างยิ่ง: เรามักจะติดป้ายตาม อสมการสุดท้ายที่เขียนก่อนที่จะพูดถึงสมการ- นี่เป็นกฎสากลที่สืบทอดมาจากวิธีช่วงเวลา

จึงมีแบบแผน มาฝึกกันเถอะ

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

สารละลาย. เรามีอสมการที่เข้มงวดในรูปแบบ $f\left(x \right) \lt 0$ เห็นได้ชัดว่าจุดที่ 1 และ 2 จากโครงการของเราได้บรรลุผลแล้ว: องค์ประกอบทั้งหมดของความไม่เท่าเทียมกันจะถูกรวบรวมทางด้านซ้าย ไม่จำเป็นต้องนำสิ่งใดมาเป็นตัวส่วนร่วม ดังนั้นเรามาดูตรงไปยังจุดที่สามกันดีกว่า

เราถือเอาตัวเศษให้เป็นศูนย์:

\[\begin(จัดแนว) & x-3=0; \\ & x=3. \end(จัดแนว)\]

และตัวส่วน:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end(จัดแนว)\]

นี่คือจุดที่หลายๆ คนติดขัด เพราะตามทฤษฎีแล้ว คุณต้องเขียน $x+7\ne 0$ ตามที่ ODZ กำหนด (คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ ก็แค่นั้นแหละ) แต่คราวหน้าเราจะสะกิดจุดที่มาจากตัวส่วนออกมา อีกครั้งหนึ่งไม่จำเป็นต้องคำนวณให้ยุ่งยาก เขียนเครื่องหมายเท่ากับทุกที่และไม่ต้องกังวล จะไม่มีใครหักคะแนนสำหรับสิ่งนี้ :)

จุดที่สี่. เราทำเครื่องหมายรากผลลัพธ์บนเส้นจำนวน:
ปักหมุดทุกประเด็นเนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด
บันทึก: ทุกจุดถูกปักหมุดไว้ เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันเดิมนั้นเข้มงวด- และตรงนี้ไม่สำคัญว่าจุดเหล่านี้จะมาจากตัวเศษหรือตัวส่วน

เอาล่ะ มาดูป้ายกันดีกว่า ลองหาจำนวนใดๆ $((x)_(0)) \gt 3$ ตัวอย่างเช่น $((x)_(0))=100$ (แต่ด้วยความสำเร็จแบบเดียวกัน เราสามารถใช้ $((x)_(0))=3.1$ หรือ $((x)_(0)) = 1\ 000\ 000$) เราได้รับ:

ทางด้านขวาของรากทั้งหมด เรามีบริเวณบวก และเมื่อผ่านแต่ละรูต เครื่องหมายจะเปลี่ยนไป (ซึ่งจะไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไป แต่จะเพิ่มเติมในภายหลัง) ดังนั้น เรามาดูจุดที่ห้ากันดีกว่า: จัดป้ายและเลือกป้ายที่คุณต้องการ:

ลองกลับไปสู่อสมการสุดท้ายก่อนที่จะแก้สมการกัน จริงๆ แล้ว มันเกิดขึ้นพร้อมกับของเดิม เพราะเราไม่ได้ทำการเปลี่ยนแปลงใดๆ ในงานนี้

เนื่องจากเราจำเป็นต้องแก้อสมการในรูปแบบ $f\left(x \right) \lt 0$ ฉันจึงแรเงาช่วง $x\in \left(-7;3 \right)$ - มันเป็นอันเดียวที่ทำเครื่องหมายไว้ มีเครื่องหมายลบ นี่คือคำตอบ

คำตอบ: $x\in \left(-7;3 \right)$

นั่นคือทั้งหมด! มันยากไหม? ไม่ มันไม่ใช่เรื่องยาก จริงอยู่ที่งานนั้นง่าย ตอนนี้เรามาทำให้ภารกิจซับซ้อนขึ้นเล็กน้อยและพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันที่ "ซับซ้อน" มากขึ้น เมื่อทำการแก้ไขฉันจะไม่ให้การคำนวณโดยละเอียดอีกต่อไป - ฉันจะระบุเท่านั้น ประเด็นสำคัญ- โดยทั่วไป เราจะจัดรูปแบบตามที่เราจัดรูปแบบ งานอิสระหรือสอบ :)

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4)\ge 0\]

สารละลาย. นี่คืออสมการแบบไม่เข้มงวดในรูปแบบ $f\left(x \right)\ge 0$ องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดจะถูกรวบรวมทางด้านซ้าย ตัวส่วนที่แตกต่างกันเลขที่ มาดูสมการกันดีกว่า

เศษ:

\[\begin(align) & \left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right)=0 \\ & 7x+1=0\ลูกศรขวา ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\ลูกศรขวา ((x)_(2))=-\frac(2)(11) \\ \end(จัดแนว)\]

ตัวส่วน:

\[\begin(align) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13) \\ \end(จัดแนว)\]

ฉันไม่รู้ว่าคนวิปริตแบบไหนที่ทำให้เกิดปัญหานี้ แต่รากไม่ได้ผลดีนัก: เป็นการยากที่จะวางมันลงบนเส้นจำนวน และถ้าด้วยรูท $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ ทุกอย่างชัดเจนไม่มากก็น้อย (นี่เป็นจำนวนบวกเพียงตัวเดียว - มันจะอยู่ทางขวา) จากนั้น $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ และ $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ ต้องการการวิจัยเพิ่มเติม: อันไหน ใหญ่กว่าไหม?

คุณสามารถค้นหาสิ่งนี้ได้ เช่น:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2 ))\]

ฉันหวังว่าจะไม่จำเป็นต้องอธิบายว่าทำไมเศษส่วนที่เป็นตัวเลข $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? หากจำเป็น ฉันแนะนำให้จดจำวิธีดำเนินการกับเศษส่วน

และเราทำเครื่องหมายทั้งสามรากบนเส้นจำนวน:
มีการเติมจุดจากตัวเศษ และจุดจากตัวส่วนจะถูกแทง
เรากำลังติดป้าย. ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ $((x)_(0))=1$ แล้วหาเครื่องหมาย ณ จุดนี้:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \right))(13x-4); \\ & f\left(1 \right)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \right))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

อสมการสุดท้ายก่อนสมการคือ $f\left(x \right)\ge 0$ ดังนั้นเราจึงสนใจเครื่องหมายบวก

เรามีสองชุด: ชุดหนึ่งเป็นส่วนธรรมดา และอีกชุดเป็นรังสีเปิดบนเส้นจำนวน

คำตอบ: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

หมายเหตุสำคัญเกี่ยวกับตัวเลขที่เราทดแทนเพื่อค้นหาเครื่องหมายในช่วงเวลาขวาสุด ไม่จำเป็นต้องแทนที่ตัวเลขที่ใกล้กับรากขวาสุดมากที่สุด คุณสามารถรับหลายพันล้านหรือแม้กระทั่ง "บวกอนันต์" - ในกรณีนี้ เครื่องหมายของพหุนามในวงเล็บ ตัวเศษ หรือตัวส่วน จะถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์นำเท่านั้น

ลองดูฟังก์ชัน $f\left(x \right)$ อีกครั้งจากอสมการล่าสุด:

สัญกรณ์ประกอบด้วยพหุนามสามตัว:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\ซ้าย(x \right)=11x+2; \\ & Q\left(x \right)=13x-4. \end(จัดแนว)\]

ทั้งหมดนี้เป็นทวินามเชิงเส้น และค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าทั้งหมด (หมายเลข 7, 11 และ 13) เป็นบวก ดังนั้นเมื่อแทนจำนวนที่มาก พหุนามเองก็จะเป็นค่าบวกเช่นกัน :)

กฎนี้อาจดูซับซ้อนเกินไป แต่เฉพาะในตอนแรกเท่านั้น เมื่อเราวิเคราะห์ปัญหาที่ง่ายมาก ในความไม่เสมอภาคร้ายแรง การแทนที่ "บวก-อนันต์" จะทำให้เราสามารถหาสัญญาณได้เร็วกว่ามาตรฐาน $((x)_(0))=100$ มาก

เราจะเผชิญกับความท้าทายดังกล่าวในไม่ช้า แต่ก่อนอื่น เรามาดูวิธีอื่นในการแก้อสมการเชิงตรรกยะแบบเศษส่วนกันก่อน

ทางเลือกอื่น

นักเรียนคนหนึ่งของฉันแนะนำเทคนิคนี้ให้ฉัน ตัวฉันเองไม่เคยใช้มันมาก่อน แต่การปฏิบัติแสดงให้เห็นว่านักเรียนหลายคนพบว่าการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมด้วยวิธีนี้สะดวกกว่าจริงๆ

ดังนั้นข้อมูลเบื้องต้นจึงเหมือนกัน จำเป็นต้องตัดสินใจ อสมการเชิงเหตุผลแบบเศษส่วน:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\]

ลองคิดดู: เหตุใดพหุนาม $Q\left(x \right)$ “แย่กว่า” มากกว่าพหุนาม $P\left(x \right)$? เหตุใดเราจึงต้องพิจารณา แยกกลุ่มราก (มีและไม่มีเครื่องหมายดอกจัน) คิดถึงจุดที่เจาะ ฯลฯ ? ง่ายมาก: เศษส่วนมีขอบเขตของคำจำกัดความ ซึ่งเศษส่วนจะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อตัวส่วนแตกต่างจากศูนย์เท่านั้น

มิฉะนั้น จะไม่มีความแตกต่างระหว่างตัวเศษและตัวส่วน: เรายังถือว่ามันเป็นศูนย์ด้วย ค้นหาราก แล้วทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวน เหตุใดจึงไม่แทนที่เส้นเศษส่วน (อันที่จริงแล้วคือเครื่องหมายการหาร) ด้วยการคูณแบบธรรมดาแล้วเขียนข้อกำหนดทั้งหมดของ ODZ ในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันที่แยกจากกัน? ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

\[\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right)) \gt 0\ลูกศรขวา \left\( \begin(align) & P\left(x \right)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

โปรดทราบ: วิธีการนี้จะลดปัญหาให้เหลือเพียงวิธีช่วงเวลา แต่จะไม่ทำให้การแก้ปัญหายุ่งยากเลย ท้ายที่สุด เราจะยังคงถือว่าพหุนาม $Q\left(x \right)$ เป็นศูนย์

เรามาดูกันว่าวิธีนี้ใช้ได้กับปัญหาจริงอย่างไร

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

สารละลาย. มาดูวิธีช่วงเวลากันดีกว่า:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\ลูกศรขวา \left\( \begin(align) & \left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(align) \right.\]

ความไม่เท่าเทียมกันประการแรกสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีเบื้องต้น เราเพียงแค่จัดแต่ละวงเล็บให้เป็นศูนย์:

\[\begin(align) & x+8=0\ลูกศรขวา ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\ลูกศรขวา ((x)_(2))=11. \\ \end(จัดแนว)\]

ความไม่เท่าเทียมกันประการที่สองนั้นง่ายเช่นกัน:

ทำเครื่องหมายจุด $((x)_(1))$ และ $((x)_(2))$ บนเส้นจำนวน พวกเขาทั้งหมดถูกทำให้ล้มลงเนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด:
จุดที่ถูกต้องถูกควักออกสองครั้ง นี่เป็นเรื่องปกติ
ให้ความสนใจกับจุด $x=11$ ปรากฎว่ามัน "เจาะสองครั้ง": ในด้านหนึ่งเราแทงมันออกเนื่องจากความรุนแรงของความไม่เท่าเทียมกันในทางกลับกันเนื่องจากข้อกำหนดเพิ่มเติมของ DL

ยังไงซะก็จะเป็นแค่จุดเจาะ ดังนั้นเราจึงจัดสัญญาณของอสมการ $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ - อันสุดท้ายที่เราเห็นก่อนที่เราจะเริ่มแก้สมการ:

เราสนใจบริเวณที่เป็นบวก เนื่องจากเรากำลังแก้ไขอสมการในรูปแบบ $f\left(x \right) \gt 0$ - เราจะแรเงาพวกมัน สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนคำตอบ

คำตอบ. $x\in \left(-\infty ;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \right)$

เมื่อใช้วิธีนี้เป็นตัวอย่าง ฉันอยากจะเตือนคุณเกี่ยวกับข้อผิดพลาดทั่วไปในหมู่นักเรียนที่เริ่มต้น กล่าวคือ: อย่าเปิดวงเล็บในความไม่เท่าเทียมกัน! ในทางตรงกันข้ามพยายามแยกตัวประกอบทุกอย่างซึ่งจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นและช่วยคุณประหยัดจากปัญหามากมาย

ทีนี้ลองทำอะไรที่ซับซ้อนกว่านี้ดู

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\frac(\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right))(15x+33)\le 0\]

สารละลาย. นี่เป็นอสมการแบบไม่เข้มงวดในรูปแบบ $f\left(x \right)\le 0$ ดังนั้นคุณจึงต้องใส่ใจจุดแรเงาให้ดี

มาดูวิธีช่วงเวลากันดีกว่า:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(align) \right.\]

ไปที่สมการ:

\[\begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0 \\ & 2x-13=0\ลูกศรขวา ((x )_(1))=6.5; \\ & 12x-9=0\ลูกศรขวา ((x)_(2))=0.75; \\ & 15x+33=0\ลูกศรขวา ((x)_(3))=-2.2. \\ \end(จัดแนว)\]

เราคำนึงถึงข้อกำหนดเพิ่มเติม:

เราทำเครื่องหมายรากผลลัพธ์ทั้งหมดบนเส้นจำนวน:
หากจุดหนึ่งถูกเจาะและเติมเข้าไปจะถือว่าถูกเจาะ
อีกครั้งสองจุด "ทับซ้อนกัน" ซึ่งเป็นเรื่องปกติและจะเป็นเช่นนี้ตลอดไป สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าจุดที่ทำเครื่องหมายว่าเจาะทะลุและทาสีทับนั้นแท้จริงแล้วคือจุดที่เจาะทะลุ เหล่านั้น. “การแทง” เป็นการกระทำที่รุนแรงกว่าการ “วาดภาพ”

นี่เป็นตรรกะอย่างยิ่งเพราะโดยการบีบเราจะทำเครื่องหมายจุดที่ส่งผลต่อเครื่องหมายของฟังก์ชัน แต่ไม่ได้มีส่วนร่วมในคำตอบ และหาก ณ จุดหนึ่งตัวเลขไม่เหมาะกับเราอีกต่อไป (เช่น มันไม่อยู่ใน ODZ) เราจะขีดฆ่ามันออกจากการพิจารณาจนกระทั่งสิ้นสุดงาน

โดยทั่วไปแล้ว ให้หยุดการปรัชญา เราวางป้ายและทาสีตามช่วงเวลาที่ทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมายลบ:

คำตอบ. $x\in \left(-\infty ;-2.2 \right)\bigcup \left[ 0.75;6.5 \right]$.

และอีกครั้ง ฉันต้องการดึงความสนใจของคุณไปที่สมการนี้:

\[\left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \right)=0\]

อีกครั้ง: อย่าเปิดวงเล็บในสมการแบบนั้น! คุณจะทำให้สิ่งต่าง ๆ ยากขึ้นสำหรับตัวคุณเองเท่านั้น ข้อควรจำ: ผลคูณจะเท่ากับศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ด้วยเหตุนี้ สมการนี้จึง "แตกออกเป็นชิ้นๆ" ออกเป็นสมการเล็กๆ หลายอัน ซึ่งเราได้แก้ไขไปแล้วในปัญหาที่แล้ว

โดยคำนึงถึงความหลากหลายของราก

จากปัญหาก่อนหน้านี้ จะเห็นได้ง่ายว่าเป็นอสมการที่ไม่เข้มงวดซึ่งยากที่สุด เพราะในนั้นคุณต้องติดตามจุดแรเงา

แต่ยังมีสิ่งชั่วร้ายที่ยิ่งใหญ่กว่านี้อีกในโลก - สิ่งเหล่านี้มีรากเหง้าหลายประการของความไม่เท่าเทียมกัน ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องติดตามจุดสีเทาอีกต่อไป - ที่นี่สัญญาณความไม่เท่าเทียมกันอาจไม่เปลี่ยนแปลงกะทันหันเมื่อผ่านจุดเดียวกันเหล่านี้

เรายังไม่ได้พิจารณาอะไรแบบนี้ในบทเรียนนี้ (แม้ว่าจะพบปัญหาที่คล้ายกันในวิธีช่วงเวลาก็ตาม) ดังนั้นเราจึงแนะนำคำจำกัดความใหม่:

คำนิยาม. รากของสมการ $((\left(x-a \right))^(n))=0$ เท่ากับ $x=a$ และเรียกว่ารากของการคูณ $n$th

จริงๆแล้วเราไม่ได้สนใจเป็นพิเศษ ค่าที่แน่นอนความหลากหลาย สิ่งเดียวที่สำคัญคือว่า $n$ จำนวนเดียวกันนี้เป็นจำนวนคู่หรือคี่ เพราะ:

ถ้า $x=a$ เป็นรากของการทวีคูณคู่ เครื่องหมายของฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อผ่านเข้าไป
และในทางกลับกัน หาก $x=a$ เป็นรากของการคูณเลขคี่ เครื่องหมายของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไป

ปัญหาก่อนหน้านี้ทั้งหมดที่กล่าวถึงในบทเรียนนี้เป็นกรณีพิเศษของรากของการคูณแบบคี่: ทุกแห่งการคูณจะเท่ากับหนึ่ง

และต่อไป. ก่อนที่เราจะเริ่มแก้ไขปัญหา ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปยังความละเอียดอ่อนอย่างหนึ่งที่ดูเหมือนจะชัดเจนสำหรับนักเรียนที่มีประสบการณ์ แต่ผลักดันให้ผู้เริ่มต้นจำนวนมากตกอยู่ในอาการมึนงง กล่าวคือ:

รากของการคูณ $n$ เกิดขึ้นเฉพาะในกรณีที่นิพจน์ทั้งหมดยกกำลังนี้: $((\left(x-a \right))^(n))$ ไม่ใช่ $\left(((x) ^( n))-a \right)$

อีกครั้ง: วงเล็บ $((\left(x-a \right))^(n))$ ให้ราก $x=a$ ของการคูณ $n$ แก่เรา แต่วงเล็บ $\left(((x)^( n)) -a \right)$ หรืออย่างที่มักจะเกิดขึ้น $(a-((x)^(n)))$ ให้ราก (หรือสองราก ถ้า $n$ เป็นเลขคู่) ของการคูณครั้งแรก โดยไม่คำนึงถึงสิ่งที่เท่ากับ $n$

เปรียบเทียบ:

\[((\left(x-3 \right))^(5))=0\ลูกศรขวา x=3\left(5k \right)\]

ทุกอย่างชัดเจนตรงนี้: วงเล็บทั้งหมดยกขึ้นเป็นยกกำลังที่ 5 ดังนั้นผลลัพธ์ที่เราได้รับคือรากของยกกำลังที่ 5 และตอนนี้:

\[\left(((x)^(2))-4 \right)=0\ลูกศรขวา ((x)^(2))=4\ลูกศรขวา x=\pm 2\]

เรามีรากอยู่สองอัน, แต่ทั้งคู่มีการคูณครั้งแรก. หรือนี่คืออีกอันหนึ่ง:

\[\left(((x)^(10))-1024 \right)=0\ลูกศรขวา ((x)^(10))=1024\ลูกศรขวา x=\pm 2\]

และอย่าปล่อยให้ระดับที่สิบมารบกวนคุณ สิ่งสำคัญคือ 10 เป็นจำนวนคู่ ดังนั้นที่ผลลัพธ์เรามีราก 2 อัน และทั้งคู่ก็มีจำนวนทวีคูณแรกอีกครั้ง

โดยทั่วไป ระวัง: หลายหลากจะเกิดขึ้นเฉพาะเมื่อเท่านั้น ระดับหมายถึงวงเล็บทั้งหมด ไม่ใช่แค่ตัวแปร.

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right))(((\ซ้าย(x+7 \right))^(5)))\ge 0\]

สารละลาย. มาลองแก้กันดู ทางเลือกอื่น- ผ่านการเปลี่ยนจากเฉพาะไปสู่ผลิตภัณฑ์:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0. \\ \end(align )\ขวา.\]

เรามาจัดการกับอสมการแรกโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \right)\cdot ((\left( x+7 \ขวา))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\ลูกศรขวา x=0\left(2k \right); \\ & ((\left(6-x \right))^(3))=0\ลูกศรขวา x=6\left(3k \right); \\ & x+4=0\ลูกศรขวา x=-4; \\ & ((\left(x+7 \right))^(5))=0\ลูกศรขวา x=-7\left(5k \right) \\ \end(จัดแนว)\]

นอกจากนี้ เรายังแก้อสมการที่สองอีกด้วย จริงๆ แล้วเราได้แก้ไขไปแล้ว แต่เพื่อให้ผู้ตรวจสอบไม่พบข้อผิดพลาดในวิธีแก้ปัญหา ขอแนะนำให้แก้ไขอีกครั้งจะดีกว่า:

\[((\left(x+7 \right))^(5))\ne 0\ลูกศรขวา x\ne -7\]

โปรดทราบ: ไม่มีหลายหลากในอสมการสุดท้าย อันที่จริง: มันมีความแตกต่างอะไรที่ทำให้คุณต้องขีดฆ่าจุด $x=-7$ บนเส้นจำนวนกี่ครั้ง? อย่างน้อยหนึ่งครั้งอย่างน้อยห้าครั้งผลลัพธ์จะเหมือนเดิม: จุดที่เจาะ

ทำเครื่องหมายทุกสิ่งที่เราได้รับบนเส้นจำนวน:

อย่างที่ฉันบอกไป จุด $x=-7$ จะถูกเจาะในที่สุด การคูณจะถูกจัดเรียงตามการแก้อสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา

สิ่งที่เหลืออยู่คือการวางป้าย:

เนื่องจากจุด $x=0$ เป็นรากของจำนวนทวีคูณ เครื่องหมายจึงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อผ่านไป คะแนนที่เหลือมีหลายหลากคี่และทุกอย่างก็ง่ายด้วย

คำตอบ. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

ให้ความสนใจกับ $x=0$ อีกครั้ง เนื่องจากความหลากหลายที่เท่ากันเอฟเฟกต์ที่น่าสนใจจึงเกิดขึ้น: ทุกสิ่งทางด้านซ้ายถูกทาสีทับทุกสิ่งทางด้านขวาก็ถูกทาสีทับด้วยและจุดนั้นก็ถูกทาสีทับทั้งหมด

ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องแยกออกจากกันเมื่อบันทึกคำตอบ เหล่านั้น. ไม่จำเป็นต้องเขียนอะไรเช่น $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ (แม้ว่าอย่างเป็นทางการแล้วคำตอบดังกล่าวก็จะถูกต้องเช่นกัน) แต่เราเขียน $x\in \left[ -4;6 \right]$ แทน

ผลกระทบดังกล่าวเกิดขึ้นได้เฉพาะกับรากที่มีหลายหลากเท่านั้น และในปัญหาต่อไป เราจะพบกับ "อาการ" ย้อนกลับของผลกระทบนี้ พร้อม?

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\frac(((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right))(((\left(x-1 \right))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

สารละลาย. คราวนี้เราจะทำตามแผนมาตรฐาน เราถือเอาตัวเศษให้เป็นศูนย์:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\left(x-3 \right))^(4))=0\ลูกศรขวา ((x)_(1))=3\left(4k \right); \\ & x-4=0\ลูกศรขวา ((x)_(2))=4 \\ \end(จัดแนว)\]

และตัวส่วน:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \right)=0; \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\ลูกศรขวา x_(1)^(*)=1\left(2k \right); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\ลูกศรขวา x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end(จัดแนว)\]

เนื่องจากเรากำลังแก้อสมการแบบไม่เข้มงวดในรูปแบบ $f\left(x \right)\ge 0$ รากจากตัวส่วน (ซึ่งมีเครื่องหมายดอกจัน) จะถูกลบออก และรากจากตัวเศษจะถูกแรเงา

เราติดป้ายและแรเงาบริเวณที่มีเครื่องหมาย "บวก":
จุด $x=3$ ถูกแยกออกจากกัน นี่เป็นส่วนหนึ่งของคำตอบ
ก่อนที่จะเขียนคำตอบสุดท้าย เรามาดูรูปภาพกันดีกว่า:

จุด $x=1$ มีหลายหลากแต่ตัวมันเองทะลุผ่าน ดังนั้น จะต้องแยกคำตอบออกจากกัน: คุณต้องเขียน $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ ไม่ใช่ $x\in \left(-\ infty ;2 \right)$.

จุด $x=3$ ยังมีหลายหลากและเป็นสีเทาอีกด้วย การจัดเรียงป้ายบ่งบอกว่าจุดนั้นเหมาะกับเรา แต่ต้องก้าวไปทางซ้ายหรือขวา - และเราพบว่าตัวเองอยู่ในพื้นที่ที่ไม่เหมาะกับเราอย่างแน่นอน จุดดังกล่าวเรียกว่าแยกออกและเขียนในรูปแบบ $x\in \left$ 3 \right$$

เรารวมชิ้นส่วนที่ได้รับทั้งหมดเป็นชุดทั่วไปแล้วจดคำตอบไว้

คำตอบ: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;5 \right) $

คำนิยาม. การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันหมายถึง ค้นหาชุดวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดหรือพิสูจน์ว่าเซตนี้ว่างเปล่า

ดูเหมือนว่า: อะไรจะเข้าใจไม่ได้ที่นี่? ใช่ ข้อเท็จจริงของเรื่องนี้ก็คือชุดสามารถกำหนดได้หลายวิธี มาเขียนคำตอบของปัญหาสุดท้ายอีกครั้ง:

เราอ่านสิ่งที่เขียนอย่างแท้จริง ตัวแปร “x” เป็นของชุดหนึ่งซึ่งได้มาจากการรวมชุด (เครื่องหมาย “U”) สี่ชุดแยกกัน:

ช่วง $\left(-\infty ;1 \right)$ ซึ่งแท้จริงแล้วหมายถึง "ทุกจำนวนที่น้อยกว่าหนึ่ง แต่ไม่ใช่ตัวเดียว";
ช่วงเวลา $\left(1;2 \right)$ เช่น “ตัวเลขทั้งหมดอยู่ในช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 2 แต่ไม่ใช่ตัวเลข 1 และ 2”;
ชุด $\left$ 3 \right$$ ประกอบด้วยตัวเลขเดี่ยวหนึ่งตัว - สาม;
ช่วง $\left[ 4;5 \right)$ ประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมดในช่วงตั้งแต่ 4 ถึง 5 รวมถึงตัวเลขทั้งสี่ด้วย แต่ไม่ใช่ตัวเลขห้า

ประเด็นที่สามเป็นที่สนใจที่นี่ ต่างจากช่วงซึ่งกำหนดชุดตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุดและระบุเฉพาะขอบเขตของชุดเหล่านี้ ชุด $\left$ 3 \right$$ ระบุตัวเลขหนึ่งตัวอย่างเคร่งครัดโดยการแจงนับ

เพื่อให้เข้าใจว่าเรากำลังแสดงหมายเลขเฉพาะที่รวมอยู่ในชุด (และไม่ได้กำหนดขอบเขตหรือสิ่งอื่นใด) จึงมีการใช้เครื่องหมายปีกกา ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์ $\left$ 1;2 \right$$ หมายถึง "ชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขสองตัว: 1 และ 2" อย่างแน่นอน แต่ไม่ใช่ส่วนของ 1 ถึง 2 อย่าสับสนแนวคิดเหล่านี้ไม่ว่าในกรณีใด ๆ .

กฎสำหรับการบวกทวีคูณ

ในตอนท้ายของบทเรียนวันนี้ Pavel Berdov เล็กน้อย :)

นักเรียนที่ตั้งใจเรียนคงสงสัยอยู่แล้วว่า จะเกิดอะไรขึ้นถ้าตัวเศษและตัวส่วนมีรากที่เหมือนกัน? ดังนั้นกฎต่อไปนี้จึงใช้งานได้:

มีการเพิ่มจำนวนรากที่เหมือนกันหลายหลาก เสมอ. แม้ว่ารากนี้จะเกิดขึ้นทั้งตัวเศษและตัวส่วนก็ตาม

บางครั้งการตัดสินใจก็ดีกว่าการพูด ดังนั้นเราจึงแก้ไขปัญหาต่อไปนี้:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \ขวา))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end(จัดแนว)\]

ยังไม่มีอะไรพิเศษ เราถือเอาตัวส่วนเป็นศูนย์:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left(((x)^(2))+9x+14 \right)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\ลูกศรขวา x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\ลูกศรขวา x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end(จัดแนว)\]

ค้นพบรากที่เหมือนกันสองอัน: $((x)_(1))=-2$ และ $x_(4)^(*)=-2$ ทั้งสองมีการทวีคูณครั้งแรก ดังนั้นเราจึงแทนที่มันด้วยหนึ่งรูท $x_(4)^(*)=-2$ แต่มีหลายหลากเป็น 1+1=2

นอกจากนี้ ยังมีรากที่เหมือนกันอีกด้วย: $((x)_(2))=-4$ และ $x_(2)^(*)=-4$ พวกมันเป็นตัวคูณตัวแรกด้วย ดังนั้นจะเหลือเพียง $x_(2)^(*)=-4$ ของการคูณ 1+1=2 เท่านั้น

โปรดทราบ: ในทั้งสองกรณีเราทิ้งรากที่ "เจาะ" ไว้อย่างแน่นอนและไม่รวมรากที่ "ทาสี" ไว้ในการพิจารณา เพราะในตอนต้นของบทเรียนเราเห็นพ้องต้องกันว่า ถ้าจุดใดจุดหนึ่งถูกเจาะและทาสีทับ เราก็จะถือว่าจุดนั้นถูกเจาะ

เป็นผลให้เรามีสี่รากและทั้งหมดถูกตัดออก:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \right); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\left(2k \right) \\ \end(จัดแนว)\]

เราทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวนโดยคำนึงถึงความหลากหลาย:

เราติดป้ายและทาสีทับบริเวณที่เราสนใจ:

ทั้งหมด. ไม่มีจุดแยกหรือวิปริตอื่น ๆ คุณสามารถเขียนคำตอบลงไปได้

คำตอบ. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

กฎสำหรับการคูณทวีคูณ

บางครั้งสถานการณ์ที่ไม่พึงประสงค์ยิ่งกว่านั้นก็เกิดขึ้น: สมการที่มีหลายรากก็ยกกำลังขึ้นมาเอง ในกรณีนี้ ความหลากหลายของรากดั้งเดิมทั้งหมดจะเปลี่ยนไป

ซึ่งเกิดขึ้นไม่บ่อยนัก ดังนั้นนักเรียนส่วนใหญ่จึงไม่มีประสบการณ์ในการแก้ปัญหาดังกล่าว และกฎของที่นี่คือ:

เมื่อสมการยกกำลัง $n$ ผลคูณของรากทั้งหมดจะเพิ่มขึ้น $n$ เท่าด้วย

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การยกกำลังจะนำไปสู่การคูณจำนวนทวีคูณด้วยกำลังเดียวกัน ลองดูกฎนี้โดยใช้ตัวอย่าง:

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))((\left(x-4 \right))^(5)) )(((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2)))\le 0\]

สารละลาย. เราถือเอาตัวเศษให้เป็นศูนย์:

ผลคูณจะเป็นศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ ทุกอย่างชัดเจนด้วยปัจจัยแรก: $x=0$ แต่แล้วปัญหาก็เริ่มต้นขึ้น:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \right))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\left(2k \right); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \right)\left(2k \right) \ \& ((x)_(2))=3\left(4k \right) \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ดังที่เราเห็น สมการ $((x)^(2))-6x+9=0$ มีรากเดียวของการคูณที่สอง: $x=3$ สมการทั้งหมดนี้จะถูกยกกำลังสอง ดังนั้น ความหลากหลายของรากจะเป็น $2\cdot 2=4$ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราจดบันทึกไว้ในที่สุด

\[((\left(x-4 \right))^(5))=0\ลูกศรขวา x=4\left(5k \right)\]

ไม่มีปัญหากับตัวส่วนเช่นกัน:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\left(2-x \right))^(3))=0\ลูกศรขวา x_(1)^(*)=2\left(3k \right); \\ & ((\left(x-1 \right))^(2))=0\ลูกศรขวา x_(2)^(*)=1\left(2k \right) \\ \end(จัดแนว)\]

โดยรวมแล้วเราได้ห้าจุด: สองจุดเจาะและสามจุดทาสี ตัวเศษและส่วนไม่มีรากที่ตรงกัน ดังนั้นเราจึงทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวน:

เราจัดเรียงป้ายโดยคำนึงถึงหลายหลากและทาสีตามช่วงเวลาที่เราสนใจ:
อีกหนึ่งจุดที่โดดเดี่ยวและอีกหนึ่งจุดเจาะ
เนื่องจากรากฐานของความหลากหลายที่เท่ากัน เราจึงมีองค์ประกอบที่ "ไม่ได้มาตรฐาน" สองสามรายการอีกครั้ง นี่คือ $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ และไม่ใช่ $x\in \left[ 0;2 \right)$ และยังเป็นจุดแยก $ x\in \left$ 3 \right$$.

คำตอบ. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left$ 3 \right$\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างไม่ซับซ้อนนัก สิ่งสำคัญคือความเอาใจใส่ ส่วนสุดท้ายบทเรียนนี้เน้นไปที่การเปลี่ยนแปลง ซึ่งเป็นเรื่องเดียวกับที่เราพูดคุยกันในตอนเริ่มต้น

ก่อนการแปลง

อสมการที่เราจะพิจารณาในส่วนนี้ไม่อาจเรียกว่าซับซ้อนได้ อย่างไรก็ตาม ไม่เหมือนกับงานก่อนหน้านี้ ที่นี่คุณจะต้องใช้ทักษะจากทฤษฎีเศษส่วนตรรกยะ - การแยกตัวประกอบและการลดลงเป็นตัวส่วนร่วม

เราได้พูดคุยถึงปัญหานี้โดยละเอียดในช่วงเริ่มต้นบทเรียนของวันนี้ หากคุณไม่แน่ใจว่าคุณเข้าใจสิ่งที่ฉันกำลังพูดถึง ฉันขอแนะนำให้ย้อนกลับไปทำซ้ำอีกครั้ง เพราะไม่มีประโยชน์ที่จะยัดเยียดวิธีการแก้อสมการถ้าคุณ "ลอยตัว" ในการแปลงเศษส่วน

ใน การบ้านยังมีงานที่คล้ายกันอีกมากมาย พวกมันถูกวางไว้ในส่วนย่อยแยกต่างหาก และคุณจะพบตัวอย่างที่ไม่สำคัญมากมาย แต่นี่จะเป็นการบ้าน และตอนนี้เรามาดูอสมการสองสามอย่างกัน

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

สารละลาย. ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

เราลดให้เป็นตัวส่วนร่วม เปิดวงเล็บ และนำพจน์ที่คล้ายกันมาเป็นตัวเศษ:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \right)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \right)\left(x-1 \ ขวา))(x\cdot \left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \right))(x\left(x-1 \right)) \le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \right))\le 0. \\\end(align)\]

ตอนนี้เรามีอสมการเศษส่วน-ตรรกยะแบบคลาสสิกอยู่ตรงหน้าแล้ว ซึ่งวิธีแก้ปัญหานั้นไม่ใช่เรื่องยากอีกต่อไป ฉันเสนอให้แก้ไขโดยใช้วิธีอื่น - ผ่านวิธีการตามช่วงเวลา:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end(จัดแนว)\]

อย่าลืมข้อจำกัดที่มาจากตัวส่วน:

เราทำเครื่องหมายตัวเลขและข้อจำกัดทั้งหมดบนเส้นตัวเลข:

รากทั้งหมดมีผลคูณแรก ไม่มีปัญหา. เราเพียงติดป้ายและทาสีบริเวณที่เราต้องการ:

นี่คือทั้งหมด. คุณสามารถเขียนคำตอบลงไปได้

คำตอบ. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

แน่นอนว่านี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายมาก ตอนนี้เรามาดูปัญหากันอย่างจริงจังมากขึ้น และยังไงก็ตามระดับของงานนี้ค่อนข้างสอดคล้องกับความเป็นอิสระและ การทดสอบในหัวข้อนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

สารละลาย. ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย:

\[\frac(1)(((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

ก่อนที่จะนำเศษส่วนทั้งสองมาเป็นตัวส่วนร่วม มาแยกตัวประกอบตัวส่วนเหล่านี้ก่อน จะเกิดอะไรขึ้นถ้าวงเล็บเหลี่ยมเดียวกันออกมา? ด้วยตัวส่วนตัวแรก มันง่ายมาก:

\[((x)^(2))+8x-9=\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\]

อันที่สองยากขึ้นเล็กน้อย คุณสามารถเพิ่มตัวประกอบคงที่ลงในวงเล็บตรงบริเวณที่เศษส่วนปรากฏได้ตามใจชอบ ข้อควรจำ: พหุนามดั้งเดิมมีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้นจึงมีโอกาสที่ดีที่การแยกตัวประกอบจะมีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม (อันที่จริงแล้ว จะมีค่าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มเสมอ เว้นแต่ว่าการแบ่งแยกนั้นไม่มีเหตุผล)

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \right)\left(x-\frac(2)(3) \right)= \\ & =\left(x-1 \right)\left(3x-2 \right) \end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่างที่คุณเห็น มีวงเล็บทั่วไป: $\left(x-1 \right)$ เรากลับไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันและนำเศษส่วนทั้งสองมาเป็นตัวส่วนร่วม:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right))-\frac(1)(\left(x-1 \right)\ ซ้าย(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \right)-1\cdot \left(x+9 \right))(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right )\ซ้าย(3x-2 \ขวา))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right))\ge 0; \\ \end(จัดแนว)\]

เราถือเอาตัวส่วนเป็นศูนย์:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \right)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( จัดแนว)\]

ไม่มีรากทวีคูณหรือตรงกัน เราทำเครื่องหมายตัวเลขสี่ตัวบนบรรทัด:

เรากำลังวางสัญญาณ:

เราเขียนคำตอบ

คำตอบ: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5.5;+\infty \ right) $.

แนวคิดเรื่องความไม่เท่าเทียมกันทางคณิตศาสตร์เกิดขึ้นในสมัยโบราณ เรื่องนี้เกิดขึ้นเมื่อ มนุษย์ดึกดำบรรพ์จำเป็นต้องเปรียบเทียบปริมาณและขนาดเมื่อนับและจัดการวัตถุต่างๆ ตั้งแต่สมัยโบราณ อาร์คิมิดีส ยุคลิด และนักวิทยาศาสตร์ชื่อดังอื่นๆ ทั้งนักคณิตศาสตร์ นักดาราศาสตร์ นักออกแบบ และนักปรัชญา ใช้ความไม่เท่าเทียมกันในการให้เหตุผล

แต่ตามกฎแล้วพวกเขาใช้คำศัพท์ทางวาจาในงานของพวกเขา เป็นครั้งแรกที่ป้ายสมัยใหม่ที่แสดงถึงแนวคิดเรื่อง "มาก" และ "น้อย" ในรูปแบบที่เด็กนักเรียนทุกคนรู้จักในปัจจุบันถูกคิดค้นและนำไปใช้จริงในอังกฤษ นักคณิตศาสตร์ โทมัส แฮร์ริออต ได้ให้บริการดังกล่าวแก่ลูกหลานของเขา และสิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อประมาณสี่ศตวรรษก่อน

มีความไม่เท่าเทียมกันหลายประเภทที่ทราบ ในหมู่พวกเขามีตัวแปรง่าย ๆ ที่มีตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวสองตัวขึ้นไปอัตราส่วนกำลังสองเศษส่วนอัตราส่วนเชิงซ้อนและแม้แต่อัตราส่วนที่แสดงโดยระบบนิพจน์. วิธีที่ดีที่สุดในการทำความเข้าใจวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันคือการใช้ตัวอย่างต่างๆ

อย่าพลาดรถไฟ

ขั้นแรก ลองจินตนาการว่าผู้อยู่อาศัยในพื้นที่ชนบทกำลังรีบไปที่สถานีรถไฟ ซึ่งอยู่ห่างจากหมู่บ้านของเขา 20 กม. เพื่อไม่ให้พลาดรถไฟออกตอน 11 โมง เขาต้องออกจากบ้านให้ตรงเวลา ควรทำในเวลาใดถ้าความเร็วเป็น 5 กม./ชม.? วิธีแก้ปัญหาเชิงปฏิบัตินี้ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของนิพจน์: 5 (11 - X) ≥ 20 โดยที่ X คือเวลาออกเดินทาง

เป็นเรื่องที่เข้าใจได้ เพราะระยะทางที่ชาวบ้านต้องไปถึงสถานีจะเท่ากับความเร็วในการเคลื่อนที่คูณด้วยจำนวนชั่วโมงบนถนน มา เคยเป็นผู้ชายอาจจะ แต่ไม่มีทางที่เขาจะสายได้ เมื่อรู้วิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมและนำทักษะไปใช้ในทางปฏิบัติ คุณจะได้ผล X ≤ 7 ซึ่งเป็นคำตอบ หมายความว่าชาวบ้านควรไปที่สถานีรถไฟตอนเจ็ดโมงเช้าหรือเร็วกว่านั้นเล็กน้อย

ช่วงเวลาตัวเลขบนเส้นพิกัด

ตอนนี้เรามาดูวิธีการแมปความสัมพันธ์ที่อธิบายไว้บนความไม่เท่าเทียมกันที่ได้รับข้างต้นนั้นไม่เข้มงวด หมายความว่าตัวแปรสามารถรับค่าที่น้อยกว่า 7 หรืออาจเท่ากับตัวเลขนี้ได้ ลองยกตัวอย่างอื่น ๆ ในการดำเนินการนี้ ให้พิจารณาตัวเลขทั้งสี่ที่แสดงด้านล่างอย่างรอบคอบ

ในตอนแรกคุณจะเห็นการแสดงช่วงเวลาแบบกราฟิก [-7; 7]. ประกอบด้วยชุดตัวเลขที่วางอยู่บนเส้นพิกัดและอยู่ระหว่าง -7 ถึง 7 รวมถึงขอบเขตด้วย ในกรณีนี้ จุดบนกราฟจะแสดงเป็นวงกลมที่เต็มไปด้วยสี และช่วงเวลาจะถูกบันทึกโดยใช้

รูปที่ 2 คือการแสดงความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดในรูปแบบกราฟิก ในกรณีนี้ หมายเลขเส้นขอบ -7 และ 7 ที่แสดงด้วยจุดเจาะ (ไม่เติม) จะไม่รวมอยู่ในชุดที่ระบุ และช่วงเวลานั้นเขียนอยู่ในวงเล็บดังนี้: (-7; 7)

คือเมื่อรู้วิธีแก้อสมการประเภทนี้แล้วได้คำตอบที่คล้ายกัน ก็สรุปได้ว่าประกอบด้วยตัวเลขที่อยู่ระหว่างขอบเขตที่เป็นปัญหา ยกเว้น -7 และ 7 สองกรณีถัดไปจะต้องได้รับการประเมินใน วิธีที่คล้ายกัน รูปที่ 3 แสดงภาพในช่วงเวลาต่างๆ (-∞; -7] U)