การยกกำลัง กฎเกณฑ์ ตัวอย่าง การเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลัง การเพิ่มผลต่างของเศษส่วนให้เป็นกำลัง

การสนทนาต่อเกี่ยวกับกำลังของตัวเลข มีเหตุผลที่จะหาวิธีค้นหาค่าของกำลัง กระบวนการนี้เรียกว่า การยกกำลัง- ในบทความนี้ เราจะศึกษาวิธีการยกกำลัง ในขณะที่เราจะกล่าวถึงเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด - แบบธรรมชาติ จำนวนเต็ม เหตุผล และจำนวนตรรกยะ และตามประเพณีเราจะพิจารณาวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดสำหรับตัวอย่างการเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังต่างๆ

การนำทางหน้า

“การยกกำลัง” หมายถึงอะไร?

เริ่มต้นด้วยการอธิบายสิ่งที่เรียกว่าการยกกำลัง นี่คือคำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง

คำนิยาม.

การยกกำลัง- นี่คือการหาค่ากำลังของตัวเลข

ดังนั้น การค้นหาค่ากำลังของตัวเลข a ด้วยเลขชี้กำลัง r และการเพิ่มจำนวน a ยกกำลัง r จึงเป็นสิ่งเดียวกัน ตัวอย่างเช่น หากงานคือ "คำนวณค่าของกำลัง (0.5) 5" ก็สามารถจัดรูปแบบใหม่ได้ดังนี้: "เพิ่มจำนวน 0.5 ให้เป็นกำลัง 5"

ตอนนี้คุณสามารถไปที่กฎที่ใช้การยกกำลังได้โดยตรง

การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติ

ในทางปฏิบัติ โดยทั่วไปจะใช้ความเสมอภาคตามในรูปแบบ นั่นคือ เมื่อเพิ่มจำนวน a เป็นเศษส่วน m/n ก่อนอื่นให้นำรากที่ n ของจำนวน a มาใช้ หลังจากนั้นผลลัพธ์ที่ได้จะยกขึ้นเป็นจำนวนเต็มยกกำลัง m

เรามาดูคำตอบของตัวอย่างการเพิ่มกำลังเศษส่วนกัน

ตัวอย่าง.

คำนวณค่าของปริญญา

สารละลาย.

เราจะแสดงวิธีแก้ปัญหาสองประการ

วิธีแรก. โดยนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน เราคำนวณค่าของดีกรีใต้เครื่องหมายรูท จากนั้นแยกรากที่สาม: .

วิธีที่สอง. ตามคำนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนและขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของราก ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะเป็นจริง: - ตอนนี้เราแยกรากออก ในที่สุด เราก็ยกกำลังให้เป็นจำนวนเต็ม .

เห็นได้ชัดว่าผลลัพธ์ที่ได้จากการเพิ่มกำลังแบบเศษส่วนนั้นเกิดขึ้นพร้อมกัน

คำตอบ:

โปรดทราบว่าเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนสามารถเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมหรือจำนวนคละได้ ในกรณีนี้ ควรแทนที่เศษส่วนสามัญที่สอดคล้องกัน แล้วยกกำลัง

ตัวอย่าง.

คำนวณ (44.89) 2.5.

สารละลาย.

มาเขียนเลขชี้กำลังในรูปเศษส่วนสามัญ (หากจำเป็น ดูบทความ): - ตอนนี้เราทำการยกกำลังเศษส่วน:

คำตอบ:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

ควรกล่าวด้วยว่าการเพิ่มจำนวนให้เป็นกำลังตรรกยะเป็นกระบวนการที่ใช้แรงงานค่อนข้างมาก (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวเศษและตัวส่วนของเลขชี้กำลังเศษส่วนมีจำนวนมากพอ) ซึ่งมักจะดำเนินการโดยใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์

เพื่อสรุปประเด็นนี้ ให้เรามุ่งความสนใจไปที่การเพิ่มเลขศูนย์ให้เป็นกำลังเศษส่วน เราให้ความหมายต่อไปนี้แก่กำลังเศษส่วนของรูปแบบศูนย์: เมื่อเรามี และที่ศูนย์ของกำลัง m/n ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ ดังนั้น เลขยกกำลังบวกจากศูนย์ถึงเศษส่วนจะเป็นศูนย์ เช่น - และศูนย์ในกำลังลบที่เป็นเศษส่วนนั้นไม่สมเหตุสมผล เช่น นิพจน์ 0 -4.3 ไม่สมเหตุสมผล

กลายเป็นพลังที่ไม่มีเหตุผล

บางครั้งจำเป็นต้องค้นหาค่ากำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว ในกรณีนี้ เพื่อวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติ โดยปกติแล้วการได้ค่าระดับที่แม่นยำของสัญญาณบางอย่างก็เพียงพอแล้ว ให้เราทราบทันทีว่าในทางปฏิบัติค่านี้คำนวณโดยใช้คอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ เนื่องจากการเพิ่มเป็นกำลังที่ไม่ลงตัวด้วยตนเองนั้นต้องใช้การคำนวณที่ยุ่งยากจำนวนมาก แต่เราจะยังคงอธิบายในแง่ทั่วไปถึงสาระสำคัญของการกระทำ

เพื่อให้ได้ค่าประมาณของกำลังของตัวเลข a ที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว จะต้องคำนวณค่าประมาณของเลขชี้กำลังเป็นทศนิยมบางส่วนและคำนวณค่าของกำลัง ค่านี้เป็นค่าโดยประมาณของกำลังของตัวเลข a ที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว ยิ่งการประมาณทศนิยมของตัวเลขมีความแม่นยำมากขึ้นในขั้นต้นเท่าใด ค่าของระดับก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น

ตามตัวอย่าง ลองคำนวณค่าประมาณกำลังของ 2 1.174367... . ลองหาค่าประมาณทศนิยมของเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัวดังต่อไปนี้: ตอนนี้เรายกกำลัง 2 ให้เป็นกำลังตรรกยะ 1.17 (เราได้อธิบายสาระสำคัญของกระบวนการนี้ไปแล้วในย่อหน้าก่อนหน้า) เราจะได้ 2 1.17 µ2.250116 ดังนั้น, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 - หากเราประมาณทศนิยมที่แม่นยำยิ่งขึ้นของเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว เราก็จะได้ค่าเลขชี้กำลังดั้งเดิมที่แม่นยำยิ่งขึ้น: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

บรรณานุกรม.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburgd S.I. หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ป.5 สถาบันการศึกษา.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 สถาบันการศึกษา.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 สถาบันการศึกษา.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 สถาบันการศึกษา.
• โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)

ถึงเวลาทำความคุ้นเคยแล้ว การยกเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลัง- การดำเนินการกับเศษส่วนพีชคณิตในแง่ของระดับจะลดลงเป็นการคูณเศษส่วนที่เหมือนกัน ในบทความนี้ เราจะให้กฎที่เกี่ยวข้องและดูตัวอย่างการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นพลังธรรมชาติ

การนำทางหน้า

กฎสำหรับการยกเศษส่วนพีชคณิตยกกำลัง เป็นข้อพิสูจน์

ก่อนที่จะพูดถึงการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตเป็นยกกำลัง ไม่ใช่เรื่องเสียหายที่จะจำไว้ว่าผลคูณของตัวประกอบที่เหมือนกันที่ฐานของกำลังคืออะไร และจำนวนของมันถูกกำหนดโดยเลขชี้กำลัง เช่น 2 3 =2·2·2=8

ทีนี้มาจำกฎสำหรับการเพิ่มเศษส่วนธรรมดาเป็นกำลัง - ในการทำเช่นนี้คุณต้องเพิ่มตัวเศษให้ยกกำลังที่ระบุแยกจากกันและแยกตัวส่วนออกจากกัน เช่น, . กฎนี้ใช้กับการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นพลังธรรมชาติ

การยกเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นพลังธรรมชาติให้เศษส่วนใหม่ตัวเศษซึ่งมีระดับของตัวเศษที่ระบุของเศษส่วนดั้งเดิมและตัวส่วน - ระดับของตัวส่วน ในรูปแบบตัวอักษร กฎนี้สอดคล้องกับความเท่าเทียมกัน โดยที่ a และ b เป็นพหุนามตามอำเภอใจ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เอกนามหรือตัวเลข) และ b เป็นพหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์ และ n คือ

การพิสูจน์กฎที่ระบุไว้ในการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นกำลังนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ และวิธีที่เรานิยามการคูณเศษส่วนพีชคณิต: .

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

กฎที่ได้รับในย่อหน้าก่อนหน้านี้จะช่วยลดการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตเป็นยกกำลังจนถึงการเพิ่มตัวเศษและส่วนของเศษส่วนเดิมเป็นกำลังนี้ และเนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตดั้งเดิมนั้นเป็นพหุนาม (ในบางกรณี คือ เอกนามหรือตัวเลข) ดังนั้นงานดั้งเดิมจึงต้องเพิ่มพหุนามให้เป็นกำลัง หลังจากดำเนินการนี้ จะได้เศษส่วนพีชคณิตใหม่ ซึ่งเท่ากับระดับที่ระบุของเศษส่วนพีชคณิตดั้งเดิม

ลองดูวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างต่างๆ

ตัวอย่าง.

ยกกำลังสองเศษส่วนพีชคณิต.

สารละลาย.

มาเขียนปริญญากันเถอะ ตอนนี้เรามาดูกฎการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตเป็นกำลัง มันทำให้เรามีความเท่าเทียมกัน - มันยังคงเปลี่ยนเศษส่วนผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปของเศษส่วนพีชคณิตโดยการเพิ่ม monomials ให้เป็นกำลัง ดังนั้น .

โดยปกติแล้ว เมื่อเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตเป็นยกกำลัง จะไม่มีการอธิบายคำตอบ แต่จะเขียนคำตอบไว้สั้นๆ ตัวอย่างของเราสอดคล้องกับรายการ .

คำตอบ:

.

เมื่อตัวเศษและ/หรือส่วนของเศษส่วนพีชคณิตมีพหุนาม โดยเฉพาะทวินาม ดังนั้นเมื่อยกกำลัง ขอแนะนำให้ใช้สูตรการคูณแบบย่อที่เหมาะสม

ตัวอย่าง.

สร้างเศษส่วนพีชคณิต ถึงระดับที่สอง

สารละลาย.

ตามกฎในการยกเศษส่วนเป็นยกกำลัง เราก็ได้ .

เราใช้การแปลงนิพจน์ผลลัพธ์เป็นตัวเศษ สูตรผลต่างกำลังสองและในตัวส่วน - สูตรสำหรับกำลังสองของผลรวมของสามเทอม:

คำตอบ:

โดยสรุป เราสังเกตว่าถ้าเรายกเศษส่วนพีชคณิตที่ลดไม่ได้ให้เป็นพลังธรรมชาติ ผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้เช่นกัน หากเศษส่วนดั้งเดิมสามารถลดได้ก่อนที่จะเพิ่มกำลังแนะนำให้ทำการลดเศษส่วนพีชคณิตเพื่อไม่ให้ทำการลดลงหลังจากเพิ่มกำลังแล้ว

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 11 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2552. - 215 น.: ป่วย. ไอ 978-5-346-01155-2.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย

ลิขสิทธิ์โดยนักเรียนที่ฉลาด

สงวนลิขสิทธิ์.
ได้รับการคุ้มครองตามกฎหมายลิขสิทธิ์ ห้ามทำซ้ำส่วนใดส่วนหนึ่งของไซต์ รวมถึงเนื้อหาภายในและรูปลักษณ์ภายนอกในรูปแบบใดๆ หรือใช้โดยไม่ได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษรล่วงหน้าจากผู้ถือลิขสิทธิ์

เศษส่วนคืออัตราส่วนของตัวเศษต่อตัวส่วน และตัวส่วนต้องไม่เท่ากับศูนย์ และตัวเศษสามารถเป็นอะไรก็ได้

เมื่อเพิ่มเศษส่วนใดๆ ให้เป็นกำลังตามอำเภอใจ เราต้องแยกตัวเศษและส่วนของเศษส่วนให้เป็นกำลังนี้ จากนั้นเราจะต้องนับกำลังเหล่านี้จึงจะได้เศษส่วนที่ยกกำลัง

ตัวอย่างเช่น:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 ​​/ 3) · (2 ​​/ 3) = 2^3 / 3^3

ระดับลบ

หากเรากำลังเผชิญกับดีกรีที่เป็นลบ อันดับแรกเราต้อง "กลับเศษส่วน" ก่อน จากนั้นจึงเพิ่มเป็นดีกรีตามกฎที่เขียนไว้ข้างต้น

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

ปริญญาจดหมาย

เมื่อทำงานกับค่าตัวอักษรเช่น "x" และ "y" การยกกำลังจะเป็นไปตามกฎเดียวกันกับเมื่อก่อน

เรายังทดสอบตัวเองได้ด้วยการเพิ่มเศษส่วน ½ ยกกำลัง 3 ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้คือ ½ * ½ * ½ = 1/8 ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วจะเหมือนกับ

(1/2)^3 = 1/8.

การยกกำลังตามตัวอักษร x^y

การคูณและหารเศษส่วนด้วยยกกำลัง

ถ้าเราคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานนั้นจะยังคงเหมือนเดิม และเราบวกเลขยกกำลัง หากเราหารองศาด้วยฐานเดียวกัน ฐานขององศาจะยังคงเหมือนเดิม และเลขชี้กำลังขององศาจะถูกลบออก

สิ่งนี้สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายด้วยตัวอย่าง:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

เราก็จะได้สิ่งเดียวกันถ้าเราแค่ยกส่วนและเศษเป็นกำลัง 3 และ 4 แยกกัน ตามลำดับ.

การยกเศษส่วนด้วยกำลังหนึ่งไปสู่อีกกำลังหนึ่ง

เมื่อเพิ่มเศษส่วนที่มีอยู่แล้วเป็นยกกำลังอีกครั้ง เราต้องทำการยกกำลังภายในก่อน จากนั้นจึงย้ายไปยังส่วนนอกของการยกกำลัง กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราสามารถคูณกำลังเหล่านี้และเพิ่มเศษส่วนให้เป็นกำลังผลลัพธ์ได้

ตัวอย่างเช่น:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

ยกให้เป็นหนึ่ง, รากที่สอง

เราต้องไม่ลืมด้วยว่าการเพิ่มเศษส่วนใดๆ ให้เป็นศูนย์จะทำให้เราได้ 1 เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ เมื่อยกกำลังเท่ากับ 0 เราจะได้ 1

รากที่สองธรรมดาสามารถแสดงเป็นกำลังของเศษส่วนได้

รากที่สอง 3 = 3^(1/2)

หากเรากำลังจัดการกับรากที่สองซึ่งมีเศษส่วนอยู่ เราก็สามารถจินตนาการเศษส่วนนี้ในตัวเศษซึ่งจะมีรากที่สองของระดับที่ 2 (เนื่องจากมันเป็นรากที่สอง)

และตัวส่วนก็จะมีรากที่สองด้วย เช่น กล่าวอีกนัยหนึ่งเราจะเห็นความสัมพันธ์ของรากทั้งสองซึ่งอาจเป็นประโยชน์ในการแก้ปัญหาและตัวอย่างบางส่วน

ถ้าเรายกเศษส่วนที่อยู่ใต้รากที่สองยกกำลัง 2 เราก็จะได้เศษส่วนเท่ากัน

ผลคูณของเศษส่วนทั้งสองที่มีกำลังเท่ากันจะเท่ากับผลคูณของเศษส่วนทั้งสองนี้ ซึ่งแต่ละเศษส่วนจะแยกกันจะอยู่ภายใต้กำลังของมันเอง

ข้อควรจำ: คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้!

นอกจากนี้อย่าลืมโน้ตที่สำคัญมากสำหรับเศษส่วน เช่น ตัวส่วนไม่ควรเท่ากับศูนย์ ในอนาคต ในหลายสมการ เราจะใช้ข้อจำกัดนี้ที่เรียกว่า ODZ ซึ่งเป็นช่วงของค่าที่อนุญาต

เมื่อเปรียบเทียบเศษส่วนสองตัวที่มีฐานเดียวกันแต่มีกำลังต่างกัน เศษส่วนที่ใหญ่กว่าจะเป็นเศษส่วนที่มีพลังมากกว่า และเศษส่วนที่เล็กกว่าจะเป็นเศษส่วนที่มีกำลังน้อยกว่า หากไม่เพียงแต่ฐานเท่านั้น แต่ยังมีพลังเท่ากันด้วย เศษส่วนก็ถือว่าเท่ากัน

ตัวอย่าง:

เช่น 14^3.8 / 14^(-0.2) = 14^(3.8 -0.2) = 139.6

6^(1.77) 6^(- 0.75) = 6^(1.77+(- 0.75)) = 79.7 - 1.3 = 78.6

เศษส่วนคืออัตราส่วนของตัวเศษต่อตัวส่วน และตัวส่วนต้องไม่เท่ากับศูนย์ และตัวเศษสามารถเป็นอะไรก็ได้

เมื่อเพิ่มเศษส่วนใดๆ ให้เป็นกำลังตามอำเภอใจ เราต้องแยกตัวเศษและส่วนของเศษส่วนให้เป็นกำลังนี้ จากนั้นเราจะต้องนับกำลังเหล่านี้จึงจะได้เศษส่วนที่ยกกำลัง

ตัวอย่างเช่น:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) · (2 ​​/ 3) · (2 ​​/ 3) = 2^3 / 3^3

ระดับลบ

หากเรากำลังเผชิญกับดีกรีที่เป็นลบ อันดับแรกเราต้อง "กลับเศษส่วน" ก่อน จากนั้นจึงเพิ่มเป็นดีกรีตามกฎที่เขียนไว้ข้างต้น

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

ปริญญาจดหมาย

เมื่อทำงานกับค่าตัวอักษรเช่น "x" และ "y" การยกกำลังจะเป็นไปตามกฎเดียวกันกับเมื่อก่อน

เรายังทดสอบตัวเองได้ด้วยการเพิ่มเศษส่วน ½ ยกกำลัง 3 ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้คือ ½ * ½ * ½ = 1/8 ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วจะเหมือนกับ

การยกกำลังตามตัวอักษร x^y

การคูณและหารเศษส่วนด้วยยกกำลัง

ถ้าเราคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานนั้นจะยังคงเหมือนเดิม และเราบวกเลขยกกำลัง หากเราหารองศาด้วยฐานเดียวกัน ฐานขององศาจะยังคงเหมือนเดิม และเลขชี้กำลังขององศาจะถูกลบออก

สิ่งนี้สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายด้วยตัวอย่าง:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

เราก็จะได้สิ่งเดียวกันถ้าเราแค่ยกส่วนและเศษเป็นกำลัง 3 และ 4 แยกกัน ตามลำดับ.

การยกเศษส่วนด้วยกำลังหนึ่งไปสู่อีกกำลังหนึ่ง

เมื่อเพิ่มเศษส่วนที่มีอยู่แล้วเป็นยกกำลังอีกครั้ง เราต้องทำการยกกำลังภายในก่อน จากนั้นจึงย้ายไปยังส่วนนอกของการยกกำลัง กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราสามารถคูณกำลังเหล่านี้และเพิ่มเศษส่วนให้เป็นกำลังผลลัพธ์ได้

ตัวอย่างเช่น:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

ยกให้เป็นหนึ่ง, รากที่สอง

เราต้องไม่ลืมด้วยว่าการเพิ่มเศษส่วนใดๆ ให้เป็นศูนย์จะทำให้เราได้ 1 เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ เมื่อยกกำลังเท่ากับ 0 เราจะได้ 1

รากที่สองธรรมดาสามารถแสดงเป็นกำลังของเศษส่วนได้

รากที่สอง 3 = 3^(1/2)

หากเรากำลังจัดการกับรากที่สองซึ่งมีเศษส่วนอยู่ เราก็สามารถจินตนาการเศษส่วนนี้ในตัวเศษซึ่งจะมีรากที่สองของระดับที่ 2 (เนื่องจากมันเป็นรากที่สอง)

และตัวส่วนก็จะมีรากที่สองด้วย เช่น กล่าวอีกนัยหนึ่งเราจะเห็นความสัมพันธ์ของรากทั้งสองซึ่งอาจเป็นประโยชน์ในการแก้ปัญหาและตัวอย่างบางส่วน

ถ้าเรายกเศษส่วนที่อยู่ใต้รากที่สองยกกำลัง 2 เราก็จะได้เศษส่วนเท่ากัน

ผลคูณของเศษส่วนทั้งสองภายใต้กำลังเดียวจะเท่ากับผลคูณของเศษส่วนทั้งสองนี้ ซึ่งแต่ละเศษส่วนจะแยกกันอยู่ภายใต้กำลังของตัวเอง

ข้อควรจำ: คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้!

นอกจากนี้อย่าลืมโน้ตที่สำคัญมากสำหรับเศษส่วน เช่น ตัวส่วนไม่ควรเท่ากับศูนย์ ในอนาคต ในหลายสมการ เราจะใช้ข้อจำกัดนี้ ซึ่งเรียกว่า ODZ ซึ่งเป็นช่วงของค่าที่อนุญาต

เมื่อเปรียบเทียบเศษส่วนสองตัวที่มีฐานเดียวกันแต่มีกำลังต่างกัน เศษส่วนที่ใหญ่กว่าจะเป็นเศษส่วนที่มีพลังมากกว่า และเศษส่วนที่เล็กกว่าจะเป็นเศษส่วนที่มีกำลังน้อยกว่า หากไม่เพียงแต่ฐานเท่านั้น แต่ยังมีพลังเท่ากันด้วย เศษส่วนก็ถือว่าเท่ากัน

หัวข้อนี้ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าเราต้องคูณเศษส่วนที่เท่ากัน บทความนี้จะบอกคุณว่าคุณต้องใช้กฎข้อใดในการยกเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นพลังธรรมชาติอย่างถูกต้อง

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

กฎสำหรับการยกเศษส่วนพีชคณิตยกกำลัง เป็นข้อพิสูจน์

ก่อนที่คุณจะเริ่มยกกำลัง คุณต้องเพิ่มพูนความรู้ของคุณให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้นด้วยความช่วยเหลือของบทความเกี่ยวกับยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ ซึ่งมีผลคูณของตัวประกอบที่เหมือนกันซึ่งอยู่ที่ฐานของกำลัง และจำนวนของมันจะถูกกำหนด โดยเลขชี้กำลัง เช่น เลข 2 3 = 2 2 2 = 8

เมื่อขึ้นสู่อำนาจเรามักจะใช้กฎเกณฑ์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ยกทั้งเศษและส่วนแยกกันยกกำลัง ลองดูตัวอย่าง 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 กฎนี้ใช้กับการเพิ่มเศษส่วนให้เป็นกำลังธรรมชาติ

ที่ การยกเศษส่วนพีชคณิตให้เป็นพลังธรรมชาติเราได้อันใหม่ โดยที่ตัวเศษมีดีกรีของเศษส่วนเดิม และตัวส่วนมีดีกรีของตัวส่วน ทั้งหมดนี้ดูเหมือน a b n = a n b n โดยที่ a และ b เป็นพหุนามใดๆ b ไม่ใช่ศูนย์ และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ

การพิสูจน์กฎนี้เขียนในรูปแบบของเศษส่วนซึ่งจะต้องยกกำลังโดยยึดตามคำจำกัดความด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จากนั้นเราจะได้การคูณเศษส่วนในรูปแบบ a bn = a b · a b · - - · ก ข = ก · ก · . - - · ก ข · ข · . - - · ข = ก n ข n

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

กฎสำหรับการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตเป็นกำลังนั้นดำเนินการตามลำดับ: เริ่มจากตัวเศษก่อนแล้วจึงเป็นตัวส่วน เมื่อมีพหุนามในตัวเศษและตัวส่วน งานก็จะลดลงเหลือเพียงการเพิ่มพหุนามที่กำหนดให้เป็นกำลัง หลังจากนั้นเศษส่วนใหม่จะถูกระบุซึ่งเท่ากับเศษส่วนเดิม

ตัวอย่างที่ 1

กำลังสองเศษส่วน x 2 3 · y · z 3

สารละลาย

จำเป็นต้องแก้ไขระดับ x 2 3 · y · z 3 2 . การใช้กฎสำหรับการเพิ่มเศษส่วนพีชคณิตเป็นกำลัง เราได้ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 ตอนนี้จำเป็นต้องแปลงเศษส่วนผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปพีชคณิตโดยยกกำลัง จากนั้นเราจะได้นิพจน์ของแบบฟอร์ม

x 2 2 3 ปี z 3 2 = x 2 2 3 2 ปี 2 z 3 2 = x 4 9 ปี 2 z 6

การยกกำลังทุกกรณีไม่จำเป็นต้องมีคำอธิบายโดยละเอียด ดังนั้นตัวคำตอบจึงมีสัญลักษณ์สั้นๆ นั่นคือเราเข้าใจแล้ว

x 2 3 ปี z 3 2 = x 2 2 3 ปี z 3 2 = x 4 9 ปี 2 z 6

คำตอบ: x 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6 .

หากตัวเศษและส่วนมีพหุนาม ก็จำเป็นต้องยกเศษส่วนทั้งหมดยกกำลัง จากนั้นใช้สูตรการคูณแบบย่อเพื่อทำให้เศษส่วนง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 2

ยกกำลังสองเศษส่วน 2 x - 1 x 2 + 3 x y - y

สารละลาย

จากกฎที่เรามีอยู่นั้น

2 x - 1 x 2 + 3 xy - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 xy - y 2

ในการแปลงนิพจน์คุณต้องใช้สูตรสำหรับกำลังสองของผลรวมของสามพจน์ในตัวส่วนและในตัวเศษ - กำลังสองของผลต่างซึ่งจะทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น เราได้รับ:

2 x - 1 2 x 2 + 3 xy - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 · x 2 · 3 · x · y + 2 · x 2 · (- y) + 2 · 3 · x · y · - y = = 4 · x 2 - 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 x 3 ปี - 2 x 2 ปี - 6 xy 2

คำตอบ: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 ปี 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 · x 2 · y - 6 · x · คุณ 2

โปรดทราบว่าเมื่อเรายกเศษส่วนที่เราไม่สามารถลดให้กลายเป็นกำลังธรรมชาติได้ เราก็จะได้เศษส่วนที่ลดไม่ได้เช่นกัน สิ่งนี้ไม่ได้ทำให้ง่ายต่อการแก้ไขในภายหลัง เมื่อเศษส่วนที่ระบุสามารถลดลงได้ เมื่อยกกำลัง เราพบว่าจำเป็นต้องลดเศษส่วนพีชคณิต เพื่อหลีกเลี่ยงการดำเนินการลดหลังจากยกกำลัง

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter