§ 87. การบวกเศษส่วน
การบวกเศษส่วนมีความคล้ายคลึงกันมากกับการบวกจำนวนเต็ม การบวกเศษส่วนเป็นการกระทำที่ประกอบด้วยตัวเลขที่กำหนดหลายตัว (เงื่อนไข) รวมกันเป็นตัวเลขเดียว (ผลรวม) ซึ่งประกอบด้วยหน่วยและเศษส่วนของหน่วยเทอมทั้งหมด
เราจะพิจารณาสามกรณีในทางกลับกัน:
1. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
2. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน
3. การบวกเลขคละกัน
1. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
พิจารณาตัวอย่าง: 1 / 5 + 2 / 5 .
นำเซ็กเมนต์ AB (รูปที่ 17) มาเป็นหน่วยแล้วแบ่งออกเป็น 5 ส่วนเท่าๆ กัน จากนั้นส่วน AC ของเซ็กเมนต์นี้จะเท่ากับ 1/5 ของเซ็กเมนต์ AB และส่วนของซีดีเซ็กเมนต์เดียวกัน จะเท่ากับ 2/5 AB
จากรูปวาดจะเห็นได้ว่าถ้าเราเอาส่วน AD มา มันจะเท่ากับ 3/5 AB; แต่เซ็กเมนต์ AD คือผลรวมของเซ็กเมนต์ AC และ CD อย่างแม่นยำ ดังนั้น เราสามารถเขียนว่า
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
เมื่อพิจารณาเงื่อนไขเหล่านี้และจำนวนผลลัพธ์ เราจะเห็นว่าตัวเศษของผลรวมได้มาจากการเพิ่มตัวเศษของเงื่อนไข และตัวส่วนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง
จากนี้เราได้รับกฎต่อไปนี้: ในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องเพิ่มตัวเศษและปล่อยให้เป็นตัวส่วนเดียวกัน
พิจารณาตัวอย่าง:
2. การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน
มาบวกเศษส่วนกัน: 3/4 + 3/8 ก่อนอื่นต้องลดตัวส่วนร่วมต่ำสุด:
ไม่สามารถเขียนลิงก์กลาง 6/8 + 3/8 ได้ เราได้เขียนไว้ที่นี่เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น
ดังนั้น ในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน ก่อนอื่นคุณต้องนำเศษส่วนมาหารด้วยตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด บวกตัวเศษและเซ็นชื่อตัวส่วนร่วม
พิจารณาตัวอย่าง (เราจะเขียนตัวประกอบเพิ่มเติมบนเศษส่วนที่เกี่ยวข้อง):
3. การบวกเลขคละกัน
ลองบวกตัวเลข: 2 3 / 8 + 3 5 / 6
อันดับแรก ให้เรานำเศษส่วนของตัวเลขมาเป็นตัวส่วนร่วมก่อน แล้วเขียนใหม่อีกครั้ง:
ตอนนี้เพิ่มส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนตามลำดับ:
§ 88. การลบเศษส่วน
การลบเศษส่วนถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับการลบจำนวนเต็ม นี่คือการกระทำโดยเมื่อพิจารณาผลรวมของสองเทอมและหนึ่งในนั้นแล้ว จะพบอีกเทอมหนึ่ง ลองพิจารณาสามกรณีในทางกลับกัน:
1. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
2. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน
3. การลบจำนวนคละ.
1. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
พิจารณาตัวอย่าง:
13 / 15 - 4 / 15
ลองใช้ส่วน AB (รูปที่ 18) กันเป็นหน่วยแล้วแบ่งออกเป็น 15 ส่วนเท่า ๆ กัน จากนั้นส่วน AC ของส่วนนี้จะเท่ากับ 1/15 ของ AB และส่วน AD ของส่วนเดียวกันจะสอดคล้องกับ 13/15 AB แยก ED อีกส่วนไว้ เท่ากับ 4/15 AB
เราต้องลบ 4/15 จาก 13/15 ในภาพวาด นี่หมายความว่าส่วน ED ต้องถูกลบออกจากส่วน AD ด้วยเหตุนี้ ส่วน AE จะยังคงอยู่ ซึ่งเท่ากับ 9/15 ของเซ็กเมนต์ AB เราจึงเขียนได้ว่า
ตัวอย่างที่เราทำแสดงให้เห็นว่าตัวเศษของผลต่างได้มาจากการลบตัวเศษและตัวส่วนยังคงเหมือนเดิม
ดังนั้น ในการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องลบตัวเศษของ subtrahend ออกจากตัวเศษของ minuend และปล่อยให้ตัวส่วนเดียวกัน
2. การลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน
ตัวอย่าง. 3/4 - 5/8
อันดับแรก ให้ลดเศษส่วนเหล่านี้ให้เหลือตัวส่วนร่วมที่เล็กที่สุด:
ลิงค์กลาง 6 / 8 - 5 / 8 เขียนไว้ที่นี่เพื่อความชัดเจน แต่สามารถข้ามได้ในอนาคต
ดังนั้น ในการลบเศษส่วนออกจากเศษส่วน ก่อนอื่นคุณต้องนำมันมาหารด้วยตัวส่วนร่วมที่เล็กที่สุด จากนั้นลบตัวเศษของ subtrahend ออกจากตัวเศษของ minuend และเซ็นชื่อตัวส่วนร่วมภายใต้ส่วนต่างของพวกมัน
พิจารณาตัวอย่าง:
3. การลบจำนวนคละ.
ตัวอย่าง. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .
ลองนำเศษส่วนของ minuend และ subtrahend มาที่ตัวส่วนร่วมต่ำสุดกัน:
เราลบทั้งหมดจากจำนวนเต็มและเศษส่วนจากเศษส่วน แต่มีบางกรณีที่เศษส่วนของ subtrahend มากกว่าเศษส่วนของ minuend ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องนำหนึ่งหน่วยจากส่วนจำนวนเต็มของค่าลดหย่อน แยกเป็นส่วนที่แสดงส่วนที่เป็นเศษส่วน แล้วบวกกับส่วนที่เป็นเศษส่วนของค่าที่ลดลง จากนั้นการลบจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้า:
§ 89. การคูณเศษส่วน
เมื่อศึกษาการคูณเศษส่วน เราจะพิจารณาคำถามต่อไปนี้
1. การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม
2. การหาเศษส่วนของตัวเลขที่กำหนด
3. การคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน
4. การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน
5. การคูณจำนวนคละ
6. แนวคิดที่น่าสนใจ
7. การหาเปอร์เซ็นต์ของจำนวนที่กำหนด ลองพิจารณาตามลำดับ
1. การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม
การคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มมีความหมายเดียวกับการคูณจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม การคูณเศษส่วน (ตัวคูณ) ด้วยจำนวนเต็ม (ตัวคูณ) หมายถึงการรวมกันของพจน์ที่เหมือนกัน ซึ่งแต่ละพจน์มีค่าเท่ากับตัวคูณ และจำนวนพจน์จะเท่ากับตัวคูณ
ดังนั้น หากคุณต้องการคูณ 1/9 ด้วย 7 สามารถทำได้ดังนี้:
เราได้ผลลัพธ์อย่างง่ายดาย เนื่องจากการกระทำถูกลดทอนเป็นการเพิ่มเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน เพราะเหตุนี้,
การพิจารณาการกระทำนี้แสดงว่าการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มเท่ากับการเพิ่มเศษส่วนนี้หลายครั้งเนื่องจากมีหน่วยเป็นจำนวนเต็ม และเนื่องจากการเพิ่มขึ้นของเศษส่วนทำได้โดยการเพิ่มตัวเศษ
หรือโดยการลดตัวส่วนลง 
จากนั้นเราสามารถคูณตัวเศษด้วยจำนวนเต็ม หรือหารตัวส่วนด้วยตัวหาร ถ้าการหารนั้นเป็นไปได้
จากที่นี่เราได้รับกฎ:
ในการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องคูณตัวเศษด้วยจำนวนเต็มนี้แล้วปล่อยให้ตัวส่วนเหมือนกัน หรือ ถ้าเป็นไปได้ ให้หารตัวส่วนด้วยตัวเลขนี้ โดยปล่อยให้ตัวเศษไม่เปลี่ยนแปลง
ในการคูณ สามารถใช้ตัวย่อได้ เช่น
2. การหาเศษส่วนของตัวเลขที่กำหนดมีปัญหามากมายที่คุณต้องค้นหาหรือคำนวณส่วนหนึ่งของตัวเลขที่กำหนด ความแตกต่างระหว่างงานเหล่านี้กับงานอื่นๆ คือ งานให้จำนวนของวัตถุหรือหน่วยการวัด และคุณจำเป็นต้องค้นหาส่วนหนึ่งของตัวเลขนี้ ซึ่งระบุด้วยเศษส่วนบางส่วน เพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น เราจะยกตัวอย่างปัญหาดังกล่าวก่อน แล้วจึงแนะนำวิธีการแก้ปัญหา
ภารกิจที่ 1ฉันมี 60 รูเบิล; 1 / 3 ของเงินจำนวนนี้ที่ฉันใช้ไปในการซื้อหนังสือ หนังสือราคาเท่าไหร่?
ภารกิจที่ 2รถไฟต้องครอบคลุมระยะทางระหว่างเมือง A และ B เท่ากับ 300 กม. เขาได้ครอบคลุม 2/3 ของระยะทางนั้นแล้ว นี่กี่กิโลคะ?
ภารกิจที่ 3ในหมู่บ้านมีบ้าน 400 หลัง อิฐ 3/4 ที่เหลือเป็นไม้ มีบ้านอิฐกี่หลัง?
ต่อไปนี้คือปัญหาบางส่วนที่เราต้องจัดการเพื่อค้นหาเศษส่วนของตัวเลขที่กำหนด มักเรียกว่าปัญหาในการหาเศษของจำนวนที่กำหนด
การแก้ปัญหาที่ 1จาก 60 รูเบิล ฉันใช้เวลา 1 / 3 ในหนังสือ ดังนั้น ในการหาค่าหนังสือ คุณต้องหารเลข 60 ด้วย 3:
การแก้ปัญหาที่ 2ความหมายของปัญหาคือคุณต้องหา 2 / 3 จาก 300 กม. คำนวณ 1/3 แรกของ 300; ทำได้โดยการหาร 300 กม. ด้วย 3:
300: 3 = 100 (นั่นคือ 1/3 ของ 300)
ในการหาสองในสามของ 300 คุณต้องเพิ่มผลหารผลลัพธ์เป็นสองเท่า นั่นคือ คูณด้วย 2:
100 x 2 = 200 (นั่นคือ 2/3 ของ 300)
การแก้ปัญหาที่ 3คุณต้องกำหนดจำนวนบ้านอิฐซึ่งเท่ากับ 3/4 ของ 400 หา 1/4 ของ 400 กันก่อน
400: 4 = 100 (นั่นคือ 1/4 ของ 400)
ในการคำนวณสามในสี่ของ 400 ผลหารที่ได้จะต้องเป็นสามเท่านั่นคือคูณด้วย 3:
100 x 3 = 300 (นั่นคือ 3/4 ของ 400)
จากการแก้ปัญหาเหล่านี้ เราสามารถได้มาซึ่งกฎต่อไปนี้:
ในการหาค่าของเศษส่วนของตัวเลขที่กำหนด คุณต้องหารตัวเลขนี้ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแล้วคูณผลหารผลลัพธ์ด้วยตัวเศษ
3. การคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน
ก่อนหน้านี้ (§ 26) เป็นที่ยอมรับแล้วว่าการคูณของจำนวนเต็มควรเข้าใจว่าเป็นการบวกเงื่อนไขที่เหมือนกัน (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20) ในย่อหน้านี้ (วรรค 1) กำหนดว่าการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มหมายถึงการหาผลรวมของพจน์ที่เหมือนกันเท่ากับเศษส่วนนี้
ในทั้งสองกรณี การคูณประกอบด้วยการหาผลรวมของพจน์ที่เหมือนกัน
ต่อไปเราจะทำการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน ที่นี่เราจะพบกับเช่นการคูณ: 9 2 / 3 ค่อนข้างชัดเจนว่าคำจำกัดความก่อนหน้าของการคูณใช้ไม่ได้กับกรณีนี้ เห็นได้ชัดจากข้อเท็จจริงที่ว่าเราไม่สามารถแทนที่การคูณดังกล่าวด้วยการบวกจำนวนเท่ากัน
ด้วยเหตุนี้เราจะต้องให้คำจำกัดความใหม่ของการคูณ กล่าวคือ ตอบคำถามว่าการคูณด้วยเศษส่วนควรเข้าใจอะไร การกระทำนี้จะเข้าใจได้อย่างไร
ความหมายของการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วนมีความชัดเจนจากคำจำกัดความต่อไปนี้: การคูณจำนวนเต็ม (ตัวคูณ) ด้วยเศษส่วน (ตัวคูณ) หมายถึงการหาเศษส่วนของตัวคูณนี้
กล่าวคือ การคูณ 9 ด้วย 2/3 หมายถึงการหา 2/3 ของหน่วยเก้าหน่วย ในวรรคก่อน ปัญหาดังกล่าวได้รับการแก้ไขแล้ว มันง่ายที่จะคิดออกว่าเราลงท้ายด้วย 6
แต่ตอนนี้มีคำถามที่น่าสนใจและสำคัญเกิดขึ้น: เหตุใดการกระทำที่ดูเหมือนแตกต่างกันเช่นการหาผลรวมของจำนวนเท่ากันและการหาเศษส่วนของตัวเลขจึงเรียกว่าคำเดียวกันว่า "การคูณ" ในทางคณิตศาสตร์
สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากการกระทำก่อนหน้า (การทำซ้ำตัวเลขด้วยเงื่อนไขหลาย ๆ ครั้ง) และการกระทำใหม่ (การหาเศษส่วนของตัวเลข) ให้คำตอบสำหรับคำถามที่เป็นเนื้อเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าเราดำเนินการที่นี่จากการพิจารณาว่าคำถามหรืองานที่เป็นเนื้อเดียวกันได้รับการแก้ไขด้วยการกระทำแบบเดียวกัน
เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ ให้พิจารณาปัญหาต่อไปนี้: “ผ้า 1 ม. ราคา 50 รูเบิล ผ้าดังกล่าวจะมีราคาเท่าไร?
ปัญหานี้แก้ไขได้โดยการคูณจำนวนรูเบิล (50) ด้วยจำนวนเมตร (4) เช่น 50 x 4 = 200 (รูเบิล)
ลองใช้ปัญหาเดียวกัน แต่ปริมาณผ้าจะแสดงเป็นตัวเลขเศษส่วน: “ผ้า 1 ม. ราคา 50 รูเบิล ผ้าดังกล่าว 3/4 ม. จะมีราคาเท่าไร?
ปัญหานี้ต้องแก้ไขด้วยการคูณจำนวนรูเบิล (50) ด้วยจำนวนเมตร (3/4)
คุณยังสามารถเปลี่ยนตัวเลขในนั้นได้หลายครั้งโดยไม่เปลี่ยนความหมายของปัญหา เช่น ใช้ 9/10 ม. หรือ 2 3/10 ม. เป็นต้น
เนื่องจากปัญหาเหล่านี้มีเนื้อหาเหมือนกันและแตกต่างกันในตัวเลขเท่านั้น เราจึงเรียกการดำเนินการที่ใช้ในการแก้ปัญหาเหล่านี้ว่าคำเดียวกัน - การคูณ
จำนวนเต็มคูณด้วยเศษส่วนอย่างไร
มาดูตัวเลขที่พบในปัญหาสุดท้ายกัน:
ตามคำจำกัดความ เราต้องหา 3 / 4 ของ 50 อันดับแรก เราหา 1 / 4 ของ 50 แล้วก็ 3 / 4
1/4 ของ 50 คือ 50/4;
3/4 ของ 50 คือ .
เพราะเหตุนี้.
ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง: 12 5 / 8 = ?
1/8 ของ 12 คือ 12/8,
5/8 ของจำนวน 12 คือ .
เพราะเหตุนี้,
จากที่นี่เราได้รับกฎ:
ในการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณจำนวนเต็มด้วยตัวเศษของเศษส่วนแล้วทำให้ผลคูณนี้เป็นตัวเศษ และเซ็นตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนดให้เป็นตัวส่วน
เราเขียนกฎนี้โดยใช้ตัวอักษร:
เพื่อให้กฎข้อนี้ชัดเจนอย่างสมบูรณ์ ควรจำไว้ว่าเศษส่วนสามารถถือเป็นผลหารได้ ดังนั้นจึงเป็นประโยชน์ในการเปรียบเทียบกฎที่ค้นพบกับกฎสำหรับการคูณตัวเลขด้วยผลหารซึ่งกำหนดไว้ใน§ 38
ต้องจำไว้ว่าก่อนทำการคูณคุณควรทำ (ถ้าเป็นไปได้) ตัด, ตัวอย่างเช่น:
4. การคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนมีความหมายเดียวกับการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน นั่นคือ เมื่อคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องหาเศษส่วนในตัวคูณจากเศษส่วนแรก (ตัวคูณ)
กล่าวคือ การคูณ 3/4 คูณ 1/2 (ครึ่ง) หมายถึง การหาครึ่งหนึ่งของ 3/4
คุณคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนได้อย่างไร?
ลองมาดูตัวอย่างกัน: 3/4 คูณ 5/7 ซึ่งหมายความว่าคุณต้องค้นหา 5 / 7 จาก 3 / 4 ค้นหา 1/7 ของ 3/4 แล้วตามด้วย 5/7
1/7 ของ 3/4 จะแสดงดังนี้:
5 / 7 ตัวเลข 3 / 4 จะแสดงดังนี้:
ทางนี้,
อีกตัวอย่างหนึ่ง: 5/8 คูณ 4/9
1/9 ของ 5/8 คือ ,
4/9 ตัวเลข 5/8 คือ .
ทางนี้, 
จากตัวอย่างเหล่านี้ กฎต่อไปนี้สามารถอนุมานได้:
ในการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษด้วยตัวเศษ และตัวส่วนด้วยตัวส่วน และทำให้ผลคูณแรกเป็นตัวเศษ และผลิตภัณฑ์ที่สองเป็นตัวส่วนของผลคูณ
กฎนี้สามารถเขียนได้โดยทั่วไปดังนี้:
เมื่อคูณจำเป็นต้องลด (ถ้าเป็นไปได้) พิจารณาตัวอย่าง:
5. การคูณจำนวนคละเนื่องจากจำนวนคละสามารถแทนที่ด้วยเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมได้ง่าย สถานการณ์นี้จึงมักใช้เมื่อคูณจำนวนคละ ซึ่งหมายความว่าในกรณีที่ตัวคูณหรือตัวคูณหรือตัวประกอบทั้งสองแสดงเป็นจำนวนคละจะถูกแทนที่ด้วยเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม คูณเช่นจำนวนคละ: 2 1/2 และ 3 1/5 เราเปลี่ยนแต่ละอันให้เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม จากนั้นเราจะคูณเศษส่วนที่ได้ตามกฎของการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน:
กฎ.ในการคูณจำนวนคละนั้น ก่อนอื่นคุณต้องแปลงให้เป็นเศษส่วนที่ไม่ถูกต้อง จากนั้นคูณตามกฎของการคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วน
บันทึก.หากปัจจัยใดปัจจัยหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม การคูณสามารถทำได้ตามกฎการจำหน่ายดังนี้
6. แนวคิดที่น่าสนใจในการแก้ปัญหาและเมื่อทำการคำนวณเชิงปฏิบัติต่างๆ เราใช้เศษส่วนทุกประเภท แต่ต้องจำไว้ว่าปริมาณจำนวนมากไม่ยอมรับใด ๆ แต่เป็นการแบ่งย่อยตามธรรมชาติสำหรับพวกเขา ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้หนึ่งในร้อย (1/100) ของรูเบิล มันจะเป็นเพนนี สองในร้อยคือ 2 โกเป็ก สามในร้อยคือ 3 โกเป็ก คุณสามารถใช้ 1/10 ของรูเบิล มันจะเป็น "10 kopecks หรือเล็กน้อย คุณสามารถเอาหนึ่งในสี่ของรูเบิล นั่นคือ 25 kopecks ครึ่งรูเบิล เช่น 50 kopecks (ห้าสิบ kopecks) แต่ในทางปฏิบัติแล้ว ไม่ใช้ตัวอย่างเช่น 2/7 rubles เพราะรูเบิลไม่ได้แบ่งออกเป็นเจ็ด
หน่วยวัดน้ำหนัก กล่าวคือ กิโลกรัม ให้แบ่งย่อยทศนิยมเป็นอย่างแรก เช่น 1/10 กก. หรือ 100 ก. และเศษส่วนของกิโลกรัม เช่น 1/6, 1/11, 1 /13 ถือว่าไม่ธรรมดา
โดยทั่วไป การวัด (เมตริก) ของเราเป็นทศนิยมและอนุญาตให้แบ่งย่อยทศนิยมได้
อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่ามีประโยชน์อย่างยิ่งและสะดวกในหลายกรณีที่จะใช้วิธีการแบ่งย่อยปริมาณด้วยวิธีเดียวกัน (สม่ำเสมอ) ประสบการณ์หลายปีได้แสดงให้เห็นว่าแผนกที่มีเหตุมีผลดีเช่นนี้คือแผนก "ที่ร้อย" มาพิจารณาตัวอย่างบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับแนวปฏิบัติของมนุษย์ที่หลากหลายที่สุด
1. ราคาหนังสือลดลง 12/100 จากราคาเดิม
ตัวอย่าง. ราคาก่อนหน้าของหนังสือคือ 10 รูเบิล เธอลดลง 1 รูเบิล 20 ค็อป
2. ธนาคารออมสินจ่ายเงินระหว่างปีให้แก่ผู้ฝาก 2/100 ของจำนวนเงินที่ออมเข้า
ตัวอย่าง. 500 รูเบิลถูกวางลงในโต๊ะเงินสดรายได้จากจำนวนนี้สำหรับปีคือ 10 รูเบิล
3. จำนวนผู้สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนหนึ่งคือ 5/100 ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด
ตัวอย่าง มีนักเรียนเพียง 1,200 คนเท่านั้นที่เรียนที่โรงเรียน โดย 60 คนจบการศึกษาจากโรงเรียน
หนึ่งในร้อยของตัวเลขเรียกว่าเปอร์เซ็นต์.
คำว่า "ร้อยละ" ยืมมาจากภาษาละตินและรากของคำว่า "ร้อยละ" หมายถึงหนึ่งร้อย พร้อมกับคำบุพบท (pro centum) คำนี้หมายถึง "สำหรับร้อย" ความหมายของนิพจน์นี้สืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าในขั้นต้นในสมัยกรุงโรมโบราณมีดอกเบี้ยเป็นเงินที่ลูกหนี้จ่ายให้กับผู้ให้กู้ "ทุก ๆ ร้อย" คำว่า "ร้อยละ" ได้ยินในคำที่คุ้นเคยเช่น centner (หนึ่งร้อยกิโลกรัม), เซนติเมตร (พวกเขากล่าวว่าเซนติเมตร)
ตัวอย่างเช่น แทนที่จะบอกว่าโรงงานผลิต 1/100 ของผลิตภัณฑ์ทั้งหมดที่ผลิตโดยมันในช่วงเดือนที่ผ่านมา เราจะพูดแบบนี้: โรงงานผลิต 1 เปอร์เซ็นต์ของการคัดแยกในช่วงเดือนที่ผ่านมา แทนที่จะพูดว่า: โรงงานผลิตสินค้าได้มากกว่าแผนที่ตั้งไว้ 4/100 เราจะพูดว่า โรงงานนั้นเกินแผน 4 เปอร์เซ็นต์
ตัวอย่างข้างต้นสามารถแสดงได้แตกต่างกัน:
1. ราคาหนังสือลดลงร้อยละ 12 ของราคาเดิม
2. ธนาคารออมสินจ่ายผู้ฝาก ร้อยละ 2 ต่อปีของจำนวนเงินออมทรัพย์
3. จำนวนผู้สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนหนึ่งคือร้อยละ 5 ของจำนวนนักเรียนทั้งหมดในโรงเรียน
ในการย่อตัวอักษร เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนเครื่องหมาย% แทนคำว่า "percentage"
อย่างไรก็ตาม ต้องจำไว้ว่าเครื่องหมาย % มักจะไม่ถูกเขียนในการคำนวณ มันสามารถเขียนได้ในคำสั่งปัญหาและในผลลัพธ์สุดท้าย เมื่อทำการคำนวณ คุณต้องเขียนเศษส่วนด้วยตัวส่วน 100 แทนที่จะเป็นจำนวนเต็มที่มีไอคอนนี้
คุณต้องสามารถแทนที่จำนวนเต็มด้วยไอคอนที่ระบุด้วยเศษส่วนที่มีตัวส่วน 100:
ในทางกลับกัน คุณต้องชินกับการเขียนจำนวนเต็มด้วยไอคอนที่ระบุ แทนที่จะเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 100:
7. การหาเปอร์เซ็นต์ของจำนวนที่กำหนด
ภารกิจที่ 1โรงเรียนได้รับ 200 ลูกบาศก์เมตร ม. ฟืนโดยมีฟืนเบิร์ชคิดเป็น 30% มีไม้เบิร์ชอยู่เท่าไหร่?
ความหมายของปัญหานี้คือ ฟืนเบิร์ชเป็นเพียงส่วนหนึ่งของฟืนที่ส่งให้โรงเรียน และส่วนนี้แสดงเป็นเศษส่วนของ 30 / 100 ดังนั้นเราจึงต้องเผชิญกับภารกิจในการหาเศษส่วนของตัวเลข ในการแก้โจทย์นี้ เราต้องคูณ 200 ด้วย 30/100 (งานในการหาเศษส่วนของตัวเลขจะแก้ได้โดยการคูณตัวเลขด้วยเศษส่วน)
ดังนั้น 30% ของ 200 เท่ากับ 60
เศษส่วน 30 / 100 ที่พบในปัญหานี้สามารถลดลงได้ 10 เป็นไปได้ที่จะดำเนินการลดนี้ตั้งแต่เริ่มต้น การแก้ปัญหาจะไม่เปลี่ยนแปลง
ภารกิจที่ 2ในค่ายมีเด็กวัยต่างๆ 300 คน เด็กอายุ 11 ปีเป็น 21% เด็กอายุ 12 ปีเป็น 61% และอายุ 13 ปีเป็น 18% ในค่ายมีเด็กแต่ละวัยกี่คน
ในปัญหานี้ คุณต้องทำการคำนวณสามครั้ง นั่นคือ ค้นหาจำนวนเด็กอายุ 11 ปี จากนั้นจึงอายุ 12 ปี และสุดท้ายคือ 13 ปี
ดังนั้นที่นี่จึงจำเป็นต้องค้นหาเศษส่วนของตัวเลขสามครั้ง มาทำกัน:
1) มีเด็กอายุ 11 ปีกี่คน?
2) เด็กอายุ 12 ปีมีกี่คน?
3) เด็กอายุ 13 ปีมีกี่คน?
หลังจากแก้ปัญหาแล้ว ให้บวกตัวเลขที่พบ ผลรวมของพวกเขาควรเป็น 300:
63 + 183 + 54 = 300
คุณควรใส่ใจกับความจริงที่ว่าผลรวมของเปอร์เซ็นต์ที่กำหนดในเงื่อนไขของปัญหาคือ 100:
21% + 61% + 18% = 100%
นี่แสดงให้เห็นว่าจำนวนเด็กในค่ายคิดเป็น 100%
3 ดาชา 3คนงานได้รับ 1,200 รูเบิลต่อเดือน ในจำนวนนี้ เขาใช้จ่าย 65% สำหรับค่าอาหาร, 6% ในอพาร์ทเมนต์และเครื่องทำความร้อน, 4% สำหรับค่าน้ำมัน ไฟฟ้า และวิทยุ, 10% สำหรับความต้องการด้านวัฒนธรรม และ 15% เขาช่วยไว้ได้ จำนวนเงินที่ใช้ไปกับความต้องการที่ระบุไว้ในงาน?
จะต้องหาเศษของเลข 1,200 มาหาร 5 ครั้ง เพื่อแก้ปัญหานี้
1) ใช้เงินไปกับค่าอาหารเท่าไหร่? งานบอกว่าค่าใช้จ่ายนี้คือ 65% ของรายได้ทั้งหมด นั่นคือ 65/100 ของจำนวน 1,200 มาคำนวณกัน:
2) จ่ายเงินเท่าไหร่สำหรับอพาร์ทเมนต์ที่มีเครื่องทำความร้อน? เถียงเหมือนก่อนหน้านี้เรามาถึงการคำนวณต่อไปนี้:
3) ค่าน้ำมัน ค่าไฟ วิทยุ จ่ายไปเท่าไหร่?
4) ใช้เงินไปกับความต้องการทางวัฒนธรรมเท่าไร?
5) คนงานประหยัดเงินได้เท่าไหร่?
สำหรับการตรวจสอบ ควรเพิ่มตัวเลขที่พบในคำถาม 5 ข้อนี้ จำนวนเงินควรเป็น 1,200 รูเบิล รายได้ทั้งหมดคิดเป็น 100% ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบโดยบวกเปอร์เซ็นต์ที่ระบุในคำชี้แจงปัญหา
เราได้แก้ไขปัญหาสามข้อ แม้ว่างานเหล่านี้จะเกี่ยวกับสิ่งต่าง ๆ (การส่งมอบฟืนสำหรับโรงเรียน จำนวนเด็กในวัยต่าง ๆ ค่าใช้จ่ายของคนงาน) พวกเขาก็ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกัน สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะในทุกงาน จำเป็นต้องค้นหาสองสามเปอร์เซ็นต์ของตัวเลขที่กำหนด
§ 90. การหารเศษส่วน
เมื่อศึกษาการหารเศษส่วน เราจะพิจารณาคำถามต่อไปนี้
1. หารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม
2. การหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม
3. การหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน
4. หารเศษส่วนด้วยเศษส่วน
5. การหารจำนวนคละ.
6. การหาตัวเลขจากเศษส่วน
7. การหาตัวเลขตามเปอร์เซ็นต์
ลองพิจารณาตามลำดับ
1. หารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม
ตามที่ระบุไว้ในส่วนจำนวนเต็ม การหารคือการกระทำที่ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่า เมื่อพิจารณาจากผลคูณของสองปัจจัย (เงินปันผล) และปัจจัยหนึ่งจากปัจจัยเหล่านี้ (ตัวหาร) จะพบปัจจัยอื่น
การหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็มที่เราพิจารณาในส่วนจำนวนเต็ม เราพบกรณีของการแบ่งสองกรณี: การหารโดยไม่มีเศษ หรือ "ทั้งหมด" (150: 10 = 15) และการหารด้วยเศษ (100: 9 = 11 และ 1 ในส่วนที่เหลือ) ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่าในขอบเขตของจำนวนเต็ม การหารที่แน่นอนนั้นเป็นไปไม่ได้เสมอไป เพราะการจ่ายเงินปันผลไม่ใช่ผลคูณของตัวหารและจำนวนเต็มเสมอไป หลังจากการคูณด้วยเศษส่วนแล้ว เราสามารถพิจารณากรณีของการหารจำนวนเต็มเท่าที่เป็นไปได้ (ยกเว้นการหารด้วยศูนย์เท่านั้น)
ตัวอย่างเช่น การหาร 7 ด้วย 12 หมายถึงการหาจำนวนที่ผลคูณของ 12 จะเป็น 7 ตัวเลขนี้คือเศษส่วน 7/12 เพราะ 7/12 12 = 7 อีกตัวอย่างหนึ่ง: 14: 25 = 14/25 เพราะ 14/25 25 = 14
ดังนั้น ในการหารจำนวนเต็มด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องสร้างเศษส่วน ตัวเศษซึ่งเท่ากับเงินปันผล และตัวส่วนเป็นตัวหาร
2. การหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม
หารเศษส่วน 6 / 7 ด้วย 3 ตามคำจำกัดความของการหารที่ให้ไว้ข้างต้น เราได้ผลลัพธ์ (6 / 7) และหนึ่งในปัจจัย (3) ต้องหาปัจจัยที่สองที่เมื่อคูณด้วย 3 จะได้ผลคูณที่ 6 / 7 เห็นได้ชัดว่าควรมีขนาดเล็กกว่าผลิตภัณฑ์นี้ถึงสามเท่า ซึ่งหมายความว่างานที่ตั้งไว้ก่อนหน้าเราคือการลดเศษส่วน 6 / 7 ลง 3 เท่า
เรารู้แล้วว่าการลดเศษส่วนสามารถทำได้โดยการลดตัวเศษหรือการเพิ่มตัวส่วน ดังนั้น คุณสามารถเขียน:
ในกรณีนี้ ตัวเศษ 6 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นตัวเศษจึงควรลดลง 3 เท่า
ลองมาอีกตัวอย่างหนึ่ง: 5/8 หารด้วย 2 ในที่นี้ตัวเศษ 5 หารด้วย 2 ไม่ลงตัว ซึ่งหมายความว่าตัวส่วนจะต้องคูณด้วยตัวเลขนี้:
จากสิ่งนี้ เราสามารถระบุกฎ: ในการหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม คุณต้องหารตัวเศษของเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มนั้น(ถ้าเป็นไปได้), ปล่อยให้ตัวส่วนเดียวกันหรือคูณตัวส่วนของเศษส่วนด้วยตัวเลขนี้ ปล่อยให้ตัวเศษเหมือนกัน
3. การหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน
ให้ต้องหาร 5 ด้วย 1/2 คือ หาจำนวนที่คูณด้วย 1/2 แล้วได้ผล 5. แน่นอน ตัวเลขนี้ต้องมากกว่า 5 เนื่องจาก 1 / 2 เป็นเศษส่วนที่เหมาะสม และเมื่อคูณตัวเลขด้วยเศษส่วนที่เหมาะสม ผลคูณต้องน้อยกว่าตัวคูณ เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ให้เขียนการกระทำของเราดังนี้: 5: 1 / 2 = X , ดังนั้น x 1 / 2 \u003d 5.
เราต้องหาตัวเลขดังกล่าว X ซึ่งเมื่อคูณด้วย 1/2 จะได้ 5 เนื่องจากการคูณจำนวนหนึ่งด้วย 1/2 หมายถึงการหา 1/2 ของจำนวนนี้ ดังนั้น 1/2 ของจำนวนที่ไม่รู้จัก X คือ 5 และจำนวนเต็ม X มากเป็นสองเท่าเช่น 5 2 \u003d 10
ดังนั้น 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
มาตรวจสอบกัน: 
ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง ให้มันต้องหาร 6 ด้วย 2 / 3 . ก่อนอื่นให้ลองค้นหาผลลัพธ์ที่ต้องการโดยใช้ภาพวาด (รูปที่ 19)
รูปที่ 19
วาดส่วน AB เท่ากับ 6 ของบางหน่วย แล้วแบ่งแต่ละหน่วยออกเป็น 3 ส่วนเท่าๆ กัน ในแต่ละหน่วย สามในสาม (3 / 3) ในกลุ่ม AB ทั้งหมดมีขนาดใหญ่กว่า 6 เท่า กล่าวคือ จ. 18/3. เราเชื่อมต่อด้วยความช่วยเหลือของวงเล็บเล็ก ๆ 18 ส่วนที่ได้รับ 2; จะมีเพียง 9 ตอนเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าเศษส่วน 2/3 อยู่ในหน่วย b 9 ครั้ง หรืออีกนัยหนึ่ง เศษส่วน 2/3 มีค่าน้อยกว่าหน่วยจำนวนเต็ม 6 หน่วย 9 เท่า เพราะเหตุนี้,
จะรับผลลัพธ์นี้โดยไม่ต้องวาดโดยใช้การคำนวณเพียงอย่างเดียวได้อย่างไร เราจะเถียงดังนี้ ต้องหาร 6 ด้วย 2 / 3 คือ ต้องตอบคำถามว่า มี 2 / 3 อยู่ใน 6 กี่ครั้ง มาดูกันก่อนว่า 1 / 3 ได้กี่ครั้ง บรรจุอยู่ใน 6? ในหน่วยทั้งหมด - 3 ใน 3 และใน 6 หน่วย - มากกว่า 6 เท่าเช่น 18 ใน 3 ในการหาจำนวนนี้ เราต้องคูณ 6 ด้วย 3 ดังนั้น 1/3 อยู่ในหน่วย b 18 ครั้ง และ 2/3 อยู่ในหน่วย b ไม่ใช่ 18 ครั้ง แต่ครึ่งหนึ่งของหลายเท่า เช่น 18: 2 = 9 . ดังนั้น เมื่อหาร 6 ด้วย 2 / 3 เราทำดังต่อไปนี้:
จากนี้ไปเราจะได้กฎสำหรับการหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน ในการหารจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณจำนวนเต็มนี้ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนด และทำให้ผลิตภัณฑ์นี้เป็นตัวเศษ หารด้วยตัวเศษของเศษส่วนที่กำหนด
เราเขียนกฎโดยใช้ตัวอักษร:
เพื่อให้กฎข้อนี้ชัดเจนอย่างสมบูรณ์ ควรจำไว้ว่าเศษส่วนสามารถถือเป็นผลหารได้ ดังนั้นจึงเป็นประโยชน์ในการเปรียบเทียบกฎที่พบกับกฎสำหรับการหารตัวเลขด้วยผลหารซึ่งกำหนดไว้ใน § 38 โปรดทราบว่าได้สูตรเดียวกันที่นั่น
เมื่อแบ่งตัวย่อได้เช่น:
4. หารเศษส่วนด้วยเศษส่วน
ปล่อยให้มันจำเป็นต้องหาร 3/4 ด้วย 3/8 อะไรจะบ่งบอกถึงจำนวนที่จะได้รับจากการหาร? มันจะตอบคำถามว่าเศษ 3/8 อยู่ในเศษส่วน 3/4 กี่ครั้ง เพื่อให้เข้าใจปัญหานี้ เรามาวาดรูปกัน (รูปที่ 20)
นำเซ็กเมนต์ AB มาเป็นหน่วย แบ่งเป็น 4 ส่วนเท่าๆ กัน และทำเครื่องหมาย 3 ส่วนดังกล่าว เซ็กเมนต์ AC จะเท่ากับ 3/4 ของเซ็กเมนต์ AB ตอนนี้ให้เราแบ่งส่วนเริ่มต้นแต่ละส่วนจากสี่ส่วนครึ่ง จากนั้นส่วน AB จะแบ่งออกเป็น 8 ส่วนเท่าๆ กัน และแต่ละส่วนจะเท่ากับ 1/8 ของส่วน AB เราเชื่อมต่อ 3 ส่วนดังกล่าวกับส่วนโค้ง จากนั้นแต่ละส่วน AD และ DC จะเท่ากับ 3/8 ของส่วน AB ภาพวาดแสดงให้เห็นว่าเซ็กเมนต์เท่ากับ 3/8 มีอยู่ในเซ็กเมนต์เท่ากับ 3/4 เท่ากับ 2 ครั้ง ผลลัพธ์ของการหารสามารถเขียนได้ดังนี้:
3 / 4: 3 / 8 = 2
ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่ง ปล่อยให้ต้องหาร 15/16 ด้วย 3/32:
เราสามารถให้เหตุผลดังนี้: เราต้องหาจำนวนที่, หลังจากคูณด้วย 3 / 32, จะได้ผลคูณเท่ากับ 15 / 16. มาเขียนการคำนวณดังนี้:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 ไม่ทราบหมายเลข X แต่งหน้า 15 / 16
1/32 ไม่ทราบหมายเลข X เป็น ,
32 / 32 หมายเลข X แต่งหน้า .
เพราะเหตุนี้,
ดังนั้น ในการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของวินาที และคูณตัวส่วนของเศษส่วนแรกด้วยตัวเศษของวินาที และทำให้ผลคูณแรกเป็นตัวเศษและ ตัวส่วนที่สอง
มาเขียนกฎกันโดยใช้ตัวอักษร:
เมื่อแบ่งตัวย่อได้เช่น:
5. การหารจำนวนคละ.
เมื่อทำการหารจำนวนคละจะต้องแปลงเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมก่อนจากนั้นจึงนำเศษส่วนที่เป็นผลมาหารตามกฎสำหรับการหารตัวเลขเศษส่วน พิจารณาตัวอย่าง:
แปลงจำนวนคละเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม:
ทีนี้มาแยกกัน:
ดังนั้น ในการหารจำนวนคละ คุณต้องแปลงให้เป็นเศษเกินแล้วหารตามกฎการหารเศษส่วน
6. การหาตัวเลขจากเศษส่วน
ในบรรดางานต่าง ๆ ของเศษส่วน บางครั้งก็มีงานที่ให้ค่าของเศษส่วนของจำนวนที่ไม่รู้จักและจำเป็นต้องหาตัวเลขนี้ ปัญหาประเภทนี้จะตรงกันข้ามกับปัญหาการหาเศษส่วนของจำนวนที่กำหนด มีตัวเลขที่ให้มาและจำเป็นต้องหาเศษส่วนของตัวเลขนี้ ส่วนนี้ให้เศษของตัวเลขและต้องหาตัวเลขนี้เอง แนวคิดนี้จะยิ่งชัดเจนขึ้นหากเราหันไปหาแนวทางแก้ไขปัญหาประเภทนี้
ภารกิจที่ 1ในวันแรกกระจกเคลือบกระจก 50 บาน ซึ่งเท่ากับ 1/3 ของหน้าต่างทั้งหมดของบ้านที่สร้าง บ้านนี้มีหน้าต่างกี่บาน?
สารละลาย.ปัญหาบอกว่าหน้าต่างกระจก 50 บานประกอบขึ้นเป็น 1 ใน 3 ของหน้าต่างทั้งหมดในบ้าน ซึ่งหมายความว่ามีหน้าต่างทั้งหมดเพิ่มขึ้น 3 เท่า กล่าวคือ
บ้านมีหน้าต่าง 150 บาน
ภารกิจที่ 2ทางร้านจำหน่ายแป้ง 1,500 กก. คิดเป็น 3/8 ของแป้งสต๊อกทั้งหมดในร้าน การจัดหาแป้งเบื้องต้นของร้านคือเท่าใด
สารละลาย.จะเห็นได้จากสภาพปัญหาที่ว่าแป้งที่ขายได้ 1,500 กิโลกรัม คิดเป็น 3/8 ของสต๊อกทั้งหมด ซึ่งหมายความว่า 1/8 ของสต็อกนี้จะลดลง 3 เท่า กล่าวคือ ในการคำนวณ คุณต้องลด 1500 ลง 3 เท่า:
1,500: 3 = 500 (นั่นคือ 1/8 ของหุ้น)
แน่นอน สต็อกทั้งหมดจะใหญ่ขึ้น 8 เท่า เพราะเหตุนี้,
500 8 \u003d 4,000 (กก.)
อุปทานเริ่มต้นของแป้งในร้านคือ 4,000 กก.
จากการพิจารณาปัญหานี้ สามารถอนุมานกฎต่อไปนี้ได้
ในการหาตัวเลขด้วยค่าของเศษส่วนที่กำหนด ก็เพียงพอที่จะหารค่านี้ด้วยตัวเศษของเศษส่วนแล้วคูณผลลัพธ์ด้วยตัวส่วนของเศษส่วน
เราแก้ปัญหาสองอย่างในการหาตัวเลขจากเศษส่วนของมัน ปัญหาดังกล่าว อย่างที่เห็นโดยเฉพาะอย่างยิ่งจากปัญหาสุดท้าย ได้รับการแก้ไขโดยการกระทำสองอย่าง: การหาร (เมื่อพบส่วนหนึ่ง) และการคูณ (เมื่อพบจำนวนเต็ม)
อย่างไรก็ตาม หลังจากที่เราศึกษาเรื่องการหารเศษส่วนแล้ว ปัญหาข้างต้นสามารถแก้ไขได้ด้วยการกระทำเดียว กล่าวคือ การหารด้วยเศษส่วน
ตัวอย่างเช่น งานสุดท้ายสามารถแก้ไขได้ในการดำเนินการเดียวดังนี้:
ในอนาคตเราจะแก้ปัญหาการหาจำนวนด้วยเศษส่วนในการดำเนินการเดียว - การหาร
7. การหาตัวเลขตามเปอร์เซ็นต์
ในงานเหล่านี้ คุณจะต้องค้นหาตัวเลข โดยรู้สองสามเปอร์เซ็นต์ของตัวเลขนี้
ภารกิจที่ 1เมื่อต้นปีนี้ ฉันได้รับ 60 rubles จากธนาคารออมสิน รายได้จากเงินออมปีที่แล้ว ฉันใส่เงินในธนาคารออมสินไปเท่าไหร่? (สำนักงานเงินสดให้ผู้ฝาก 2% ของรายได้ต่อปี)
ความหมายของปัญหาคือฉันมีเงินจำนวนหนึ่งใส่ธนาคารออมสินและพักอยู่ที่นั่นเป็นเวลาหนึ่งปี หนึ่งปีผ่านไป ฉันได้รับ 60 rubles จากเธอ รายได้ ซึ่งเท่ากับ 2/100 ของเงินที่ฉันใส่เข้าไป ฉันฝากเงินเท่าไหร่?
ดังนั้นเมื่อรู้ส่วนของเงินนี้ซึ่งแสดงเป็นสองวิธี (ในรูเบิลและเศษส่วน) เราต้องหาจำนวนเงินทั้งหมดที่ยังไม่ทราบ นี่เป็นปัญหาธรรมดาในการหาตัวเลขจากเศษส่วนของมัน งานต่อไปนี้แก้ไขโดยแผนก:
ดังนั้นเงิน 3,000 รูเบิลจึงถูกนำเข้าสู่ธนาคารออมสิน
ภารกิจที่ 2ในสองสัปดาห์ ชาวประมงทำแผนรายเดือนสำเร็จ 64% โดยเตรียมปลาไว้ 512 ตัน แผนของพวกเขาคืออะไร?
จากสภาพปัญหาเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าชาวประมงทำแผนเสร็จบางส่วน ส่วนนี้เท่ากับ 512 ตัน ซึ่งคิดเป็น 64% ของแผน ไม่รู้ต้องเก็บปลากี่ตันตามแผน การแก้ปัญหาจะประกอบด้วยการหาตัวเลขนี้
งานดังกล่าวได้รับการแก้ไขโดยการหาร:
ดังนั้นตามแผน คุณต้องเตรียมปลา 800 ตัน
ภารกิจที่ 3รถไฟไปจากริกาไปมอสโก เมื่อเขาผ่านกิโลเมตรที่ 276 ผู้โดยสารคนหนึ่งถามเจ้าหน้าที่ควบคุมการผ่านว่าได้เดินทางไปแล้วเท่าใด สำหรับสิ่งนี้ ผู้ควบคุมรถตอบว่า: “เราครอบคลุมการเดินทางทั้งหมด 30% แล้ว” ไกลแค่ไหนจาก ริกา ไป มอสโก?
จะเห็นได้จากสภาพของปัญหาว่า 30% ของการเดินทางจากริกาไปมอสโกคือ 276 กม. เราต้องหาระยะทางทั้งหมดระหว่างเมืองเหล่านี้ นั่นคือ ในส่วนนี้ ให้หาทั้งหมด:
§ 91. ตัวเลขซึ่งกันและกัน แทนที่การหารด้วยการคูณ
นำเศษส่วน 2/3 และจัดเรียงตัวเศษใหม่ไปยังตำแหน่งของตัวส่วน เราได้ 3/2 เราได้เศษส่วน ส่วนกลับของอันนี้
เพื่อให้ได้เศษส่วนกลับกันของจำนวนนั้น คุณต้องใส่ตัวเศษแทนตัวส่วน และตัวส่วนแทนตัวเศษ ด้วยวิธีนี้ เราจะได้เศษส่วนที่เป็นส่วนกลับของเศษส่วนใดๆ ตัวอย่างเช่น:
3 / 4 , ย้อนกลับ 4 / 3 ; 5 / 6 , ย้อนกลับ 6 / 5
เศษส่วนสองส่วนที่มีคุณสมบัติที่ตัวเศษของตัวแรกเป็นตัวส่วนของวินาทีและตัวส่วนของที่หนึ่งเป็นตัวเศษของตัวที่สองเรียกว่า ผกผันซึ่งกันและกัน
ทีนี้ลองคิดดูว่าเศษส่วนใดที่จะเป็นส่วนกลับของ 1/2 แน่นอน, มันจะเป็น 2 / 1, หรือ 2 เมื่อหาส่วนกลับ, เราได้จำนวนเต็ม. และกรณีนี้ไม่โดดเดี่ยว ในทางกลับกัน สำหรับเศษส่วนทั้งหมดที่มีตัวเศษเป็น 1 (หนึ่ง) ส่วนกลับจะเป็นจำนวนเต็ม เช่น
1 / 3, ผกผัน 3; 1 / 5 ย้อนกลับ 5
เนื่องจากเมื่อเราพบส่วนกลับ เราก็พบกับจำนวนเต็ม ในอนาคตเราจะไม่พูดถึงส่วนกลับ แต่พูดถึงส่วนกลับ
ลองหาวิธีเขียนส่วนกลับของจำนวนเต็มกัน สำหรับเศษส่วน วิธีแก้ง่ายๆ คุณต้องใส่ตัวส่วนแทนตัวเศษ ในทำนองเดียวกัน คุณจะได้ส่วนกลับของจำนวนเต็ม เนื่องจากจำนวนเต็มใดๆ สามารถมีส่วนของ 1 ได้ ดังนั้นส่วนกลับของ 7 จะเป็น 1 / 7 เพราะ 7 \u003d 7 / 1; สำหรับหมายเลข 10 กลับเป็น 1 / 10 เนื่องจาก 10 = 10 / 1
ความคิดนี้สามารถแสดงออกได้อีกทางหนึ่ง: ส่วนกลับของจำนวนที่กำหนดนั้นได้มาจากการหารหนึ่งด้วยจำนวนที่กำหนด. ข้อความนี้เป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับจำนวนเต็มแต่สำหรับเศษส่วนด้วย ที่จริงแล้ว หากคุณต้องการเขียนตัวเลขที่เป็นส่วนกลับของเศษส่วน 5 / 9 เราก็สามารถเอา 1 แล้วหารด้วย 5 / 9 นั่นคือ
ตอนนี้ขอชี้ให้เห็นหนึ่ง คุณสมบัติตัวเลขซึ่งกันและกันซึ่งจะเป็นประโยชน์กับเรา: ผลคูณของจำนวนส่วนกลับกันมีค่าเท่ากับหนึ่งอย่างแท้จริง:
การใช้คุณสมบัตินี้ เราสามารถหาส่วนกลับได้ด้วยวิธีต่อไปนี้ ลองหาส่วนกลับของ 8 กัน
มาแทนด้วยตัวอักษร X แล้ว 8 X = 1 ดังนั้น X = 1 / 8 . มาหาเลขอื่น ผกผันของ 7/12 แทนด้วยตัวอักษร X แล้ว 7 / 12 X = 1 ดังนั้น X = 1:7 / 12 หรือ X = 12 / 7 .
เราแนะนำแนวคิดเรื่องจำนวนส่วนกลับเพื่อเสริมข้อมูลเกี่ยวกับการหารเศษส่วนเล็กน้อย
เมื่อเราหารเลข 6 ด้วย 3 / 5 เราจะทำสิ่งต่อไปนี้:
ให้ความสนใจเป็นพิเศษกับนิพจน์และเปรียบเทียบกับนิพจน์ที่กำหนด: .
หากเราแยกนิพจน์แยกกัน โดยไม่เกี่ยวข้องกับนิพจน์ก่อนหน้า ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ปัญหาว่ามันมาจากไหน: จากการหาร 6 ด้วย 3/5 หรือจากการคูณ 6 ด้วย 5/3 ในทั้งสองกรณีผลลัพธ์จะเหมือนกัน พูดได้เลยว่า ที่หารจำนวนหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่งสามารถแทนที่ได้ด้วยการคูณเงินปันผลด้วยส่วนกลับของตัวหาร
ตัวอย่างที่เราให้ไว้ด้านล่างยืนยันข้อสรุปนี้อย่างเต็มที่
เศษส่วนคือหนึ่งส่วนหรือมากกว่าของจำนวนเต็ม ซึ่งมักจะนำมาเป็นหน่วย (1) เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติ คุณสามารถดำเนินการคำนวณพื้นฐานทั้งหมดด้วยเศษส่วน (การบวก การลบ การหาร การคูณ) สำหรับสิ่งนี้ คุณจำเป็นต้องรู้คุณลักษณะของการทำงานกับเศษส่วนและแยกความแตกต่างระหว่างประเภทของเศษส่วน เศษส่วนมีหลายประเภท: ทศนิยมและสามัญหรือง่าย เศษส่วนแต่ละประเภทมีความเฉพาะเจาะจงของตัวเอง แต่เมื่อคุณรู้วิธีจัดการกับเศษส่วนอย่างละเอียดแล้วครั้งหนึ่ง คุณจะสามารถแก้ตัวอย่างด้วยเศษส่วนได้ เนื่องจากคุณจะรู้หลักการพื้นฐานสำหรับการคำนวณเลขคณิตด้วยเศษส่วน ลองดูตัวอย่างวิธีการหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็มโดยใช้ ประเภทต่างๆเศษส่วน
วิธีการหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ?เศษส่วนธรรมดาหรือเศษส่วนธรรมดาถูกเรียกเขียนในรูปแบบของอัตราส่วนของตัวเลขซึ่งจะมีการระบุเงินปันผล (ตัวเศษ) ที่ด้านบนของเศษส่วนและตัวหาร (ตัวส่วน) ของเศษส่วนจะแสดงอยู่ด้านล่าง จะหารเศษส่วนนั้นเป็นจำนวนเต็มได้อย่างไร? มาดูตัวอย่างกัน! สมมุติว่าเราต้องหาร 8/12 ด้วย 2
ในการดำเนินการนี้ เราต้องดำเนินการหลายอย่าง:
ดังนั้น หากเราต้องเผชิญกับงานการหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม โครงร่างการแก้ปัญหาจะมีลักษณะดังนี้: 
ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถหารเศษส่วนธรรมดา (ธรรมดา) ด้วยจำนวนเต็มได้
จะหารทศนิยมด้วยจำนวนเต็มได้อย่างไร?
เศษส่วนทศนิยมคือเศษส่วนที่ได้จากการหารหน่วยเป็นสิบ พัน และอื่นๆ การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่มีเศษส่วนทศนิยมค่อนข้างง่าย
พิจารณาตัวอย่างวิธีการหารเศษส่วนด้วยจำนวนเต็ม สมมุติว่าเราต้องหารเศษทศนิยม 0.925 ด้วยจำนวนธรรมชาติ 5
โดยสรุป ให้เน้นที่ประเด็นหลักสองประเด็นที่มีความสำคัญเมื่อทำการหารเศษส่วนทศนิยมด้วยจำนวนเต็ม: - ในการหารเศษส่วนทศนิยมด้วยจำนวนธรรมชาติ จะใช้การหารเป็นคอลัมน์
- เครื่องหมายจุลภาคจะถูกวางในไพรเวตเมื่อการแบ่งส่วนของจำนวนเต็มของเงินปันผลเสร็จสมบูรณ์
ด้วยเศษส่วน คุณสามารถดำเนินการทั้งหมด รวมถึงการหารด้วย บทความนี้แสดงการหารเศษส่วนธรรมดา คำจำกัดความจะได้รับการพิจารณาตัวอย่าง ให้เราอาศัยการหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติและในทางกลับกัน จะพิจารณาการหารเศษส่วนสามัญด้วยจำนวนคละ
การหารเศษส่วนธรรมดา
การหารเป็นผลผกผันของการคูณ เมื่อทำการหาร ปัจจัยที่ไม่ทราบจะอยู่ที่ผลคูณที่ทราบและปัจจัยอื่น โดยที่ความหมายที่ให้ไว้จะถูกรักษาไว้ด้วยเศษส่วนธรรมดา
หากจำเป็นต้องหารเศษส่วนสามัญ a b ด้วย c d จากนั้นในการหาจำนวนนั้น คุณต้องคูณด้วยตัวหาร c d ซึ่งจะทำให้เงินปันผลเป็น a b ได้ในที่สุด ลองหาตัวเลขมาเขียนว่า a b · d c โดยที่ d c คือส่วนกลับของจำนวน c d ความเท่าเทียมกันสามารถเขียนได้โดยใช้คุณสมบัติของการคูณ กล่าวคือ a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b โดยที่นิพจน์ a b d c คือผลหารของการหาร a b ด้วย c d
จากที่นี่เราได้รับและกำหนดกฎสำหรับการหารเศษส่วนสามัญ:
คำจำกัดความ 1
ในการหารเศษส่วนธรรมดา a b ด้วย c d จำเป็นต้องคูณเงินปันผลด้วยส่วนกลับของตัวหาร
ลองเขียนกฎเป็นนิพจน์: a b: c d = a bd c
กฎของการหารจะลดลงเป็นการคูณ คุณต้องเชี่ยวชาญในการคูณเศษส่วนธรรมดา
มาดูการหารเศษส่วนธรรมดากัน
ตัวอย่างที่ 1
ดำเนินการหาร 9 7 โดย 5 3 . เขียนผลลัพธ์เป็นเศษส่วน
สารละลาย
หมายเลข 5 3 คือส่วนกลับของ 3 5 . คุณต้องใช้กฎการหารเศษส่วนธรรมดา เราเขียนนิพจน์นี้ดังนี้: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35
ตอบ: 9 7: 5 3 = 27 35 .
เมื่อลดเศษส่วน คุณควรเน้นทั้งส่วนหากตัวเศษมากกว่าตัวส่วน
ตัวอย่าง 2
หาร 8 15: 24 65 . เขียนคำตอบเป็นเศษส่วน
สารละลาย
วิธีแก้ปัญหาคือเปลี่ยนจากการหารเป็นการคูณ เราเขียนในรูปแบบนี้: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
จำเป็นต้องทำการลดลงและทำได้ดังนี้: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9
เราเลือกส่วนจำนวนเต็มและรับ 13 9 = 1 4 9 .
ตอบ: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
การหารเศษส่วนวิสามัญด้วยจำนวนธรรมชาติ
เราใช้กฎการหารเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ: ในการหาร a b ด้วยจำนวนธรรมชาติ n คุณต้องคูณเฉพาะตัวส่วนด้วย n จากที่นี่เราจะได้นิพจน์: a b: n = a b · n
กฎการหารเป็นผลมาจากกฎการคูณ ดังนั้นการแทนจำนวนธรรมชาติเป็นเศษส่วนจะให้ความเท่าเทียมกันของประเภทนี้: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n
พิจารณาการหารเศษส่วนด้วยตัวเลขนี้
ตัวอย่างที่ 3
หารเศษส่วน 1645 ด้วยเลข 12
สารละลาย
ใช้กฎการหารเศษส่วนด้วยตัวเลข เราได้รับนิพจน์เช่น 16 45: 12 = 16 45 12
มาลดเศษส่วนกันเถอะ เราได้ 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .
ตอบ: 16 45: 12 = 4 135 .
การหารจำนวนธรรมชาติด้วยเศษส่วนร่วม
กฎการแบ่งก็คล้ายกัน เกี่ยวกับกฎการหารจำนวนธรรมชาติด้วยเศษส่วนธรรมดา: เพื่อหารจำนวนธรรมชาติ n ด้วยสามัญ a b จำเป็นต้องคูณจำนวน n ด้วยส่วนกลับของเศษส่วน a b .
ตามกฎ เรามี n: a b \u003d n b a และต้องขอบคุณกฎของการคูณจำนวนธรรมชาติด้วยเศษส่วนธรรมดา เราได้นิพจน์ของเราในรูปแบบ n: a b \u003d n b a มีความจำเป็นต้องพิจารณาการแบ่งส่วนนี้ด้วยตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 4
หาร 25 คูณ 15 28 .
สารละลาย
เราต้องย้ายจากการหารเป็นการคูณ เราเขียนในรูปแบบของนิพจน์ 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . ลองลดเศษส่วนแล้วได้ผลลัพธ์เป็นเศษส่วน 46 2 3 .
ตอบ: 25: 15 28 = 46 2 3 .
การหารเศษส่วนร่วมด้วยจำนวนคละ
เมื่อทำการหารเศษส่วนธรรมดาด้วยจำนวนคละ ก็สามารถฉายแสงเพื่อทำการหารเศษส่วนธรรมดาได้อย่างง่ายดาย คุณต้องแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษเกิน
ตัวอย่างที่ 5
หารเศษส่วน 35 16 ด้วย 3 1 8 .
สารละลาย
เนื่องจาก 3 1 8 เป็นจำนวนคละ ลองแทนมันเป็นเศษเกิน. จากนั้นเราจะได้ 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . ทีนี้มาหารเศษส่วนกัน เราได้ 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
ตอบ: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
การหารจำนวนคละทำได้ในลักษณะเดียวกับจำนวนสามัญ
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
เศษส่วนธรรมดาพบเด็กนักเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 และติดตามพวกเขาไปตลอดชีวิตเนื่องจากในชีวิตประจำวันมักจำเป็นต้องพิจารณาหรือใช้วัตถุบางอย่างไม่ใช่ทั้งหมด แต่แยกเป็นชิ้น ๆ จุดเริ่มต้นของการศึกษาหัวข้อนี้ - แบ่งปัน หุ้นเป็นส่วนเท่าๆ กันที่วัตถุถูกแบ่งออก ท้ายที่สุด เป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะแสดง ตัวอย่างเช่น ความยาวหรือราคาของผลิตภัณฑ์เป็นจำนวนเต็ม เราควรคำนึงถึงส่วนหรือส่วนของหน่วยวัดใด ๆ เกิดขึ้นจากกริยา "บดขยี้" - เพื่อแบ่งออกเป็นส่วน ๆ และมีรากภาษาอาหรับในศตวรรษที่ VIII คำว่า "เศษส่วน" ปรากฏในรัสเซีย
นิพจน์เศษส่วนถือเป็นส่วนที่ยากที่สุดของคณิตศาสตร์มานานแล้ว ในศตวรรษที่ 17 เมื่อตำราวิชาคณิตศาสตร์เล่มแรกปรากฏขึ้น พวกเขาถูกเรียกว่า "ตัวเลขหัก" ซึ่งยากมากที่จะแสดงในความเข้าใจของผู้คน
รูปแบบที่ทันสมัยของเศษส่วนที่เรียบง่ายซึ่งบางส่วนถูกคั่นด้วยเส้นแนวนอนอย่างแม่นยำได้รับการส่งเสริมครั้งแรกโดย Fibonacci - Leonardo of Pisa งานเขียนของเขาลงวันที่ 1202 แต่จุดประสงค์ของบทความนี้คือเพื่ออธิบายให้ผู้อ่านเข้าใจอย่างเรียบง่ายและชัดเจนว่าการคูณเศษส่วนผสมกับตัวส่วนต่างกันเกิดขึ้นได้อย่างไร
การคูณเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างกัน
เริ่มแรกก็ต้องกำหนด ประเภทของเศษส่วน:
- ถูกต้อง;
- ผิด;
- ผสม
ต่อไป คุณต้องจำไว้ว่าการคูณเลขเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากันนั้นคูณกันอย่างไร กฎของกระบวนการนี้ง่ายในการกำหนดอย่างอิสระ: ผลของการคูณเศษส่วนธรรมดากับตัวส่วนเดียวกันคือนิพจน์เศษส่วน ตัวเศษเป็นผลคูณของตัวเศษ และตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้ . อันที่จริง ตัวส่วนใหม่คือกำลังสองของหนึ่งในจำนวนที่มีอยู่เดิมในตอนแรก
เมื่อคูณ เศษส่วนอย่างง่ายที่มีตัวส่วนต่างกันสำหรับสองปัจจัยขึ้นไป กฎจะไม่เปลี่ยนแปลง:
a/ข * ค/d = a*c / ข*ง.
ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือจำนวนที่เกิดขึ้นภายใต้แถบเศษส่วนจะเป็นผลคูณของจำนวนที่แตกต่างกัน และโดยธรรมชาติ จะไม่สามารถเรียกว่ากำลังสองของนิพจน์ตัวเลขได้
ควรพิจารณาการคูณเศษส่วนด้วยตัวส่วนต่างกันโดยใช้ตัวอย่าง:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
ตัวอย่างใช้วิธีลดนิพจน์ที่เป็นเศษส่วน คุณสามารถลดเฉพาะตัวเลขของตัวเศษด้วยตัวเลขของตัวส่วน ปัจจัยที่อยู่ติดกันด้านบนหรือด้านล่างของแถบเศษส่วนไม่สามารถลดลงได้
นอกจากจำนวนเศษส่วนอย่างง่ายแล้ว ยังมีแนวคิดเรื่องเศษส่วนผสมอีกด้วย จำนวนคละประกอบด้วยจำนวนเต็มและเศษส่วน นั่นคือ ผลรวมของตัวเลขเหล่านี้:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
การคูณทำงานอย่างไร
มีตัวอย่างหลายตัวอย่างเพื่อประกอบการพิจารณา
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
ตัวอย่างใช้การคูณตัวเลขโดย เศษส่วนธรรมดาคุณสามารถจดกฎสำหรับการกระทำนี้โดยใช้สูตร:
ก * ข/ค = ก*ข /ค.
อันที่จริง ผลิตภัณฑ์ดังกล่าวเป็นผลรวมของเศษส่วนที่เหมือนกัน และจำนวนพจน์ระบุจำนวนธรรมชาตินี้ กรณีพิเศษ:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
มีอีกทางเลือกหนึ่งสำหรับการแก้การคูณตัวเลขด้วยเศษเศษส่วน คุณเพียงแค่ต้องหารตัวส่วนด้วยตัวเลขนี้:
ง* อี/ฉ = อี/ฉ: ง.
เป็นประโยชน์ในการใช้เทคนิคนี้เมื่อตัวส่วนหารด้วยจำนวนธรรมชาติโดยไม่มีเศษเหลือหรืออย่างที่พวกเขาพูดโดยสิ้นเชิง
แปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมและได้ผลลัพธ์ตามวิธีที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
ตัวอย่างนี้เกี่ยวข้องกับวิธีการแสดงเศษส่วนผสมเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม นอกจากนี้ยังสามารถแสดงเป็นสูตรทั่วไปได้อีกด้วย:
เอ ขค = a*b+ c / c โดยที่ตัวส่วนของเศษส่วนใหม่เกิดขึ้นจากการคูณส่วนจำนวนเต็มกับตัวส่วนแล้วบวกเข้ากับตัวเศษของเศษเศษส่วนเดิม และตัวส่วนยังคงเหมือนเดิม
กระบวนการนี้ยังทำงานในแบบย้อนกลับ ในการเลือกส่วนจำนวนเต็มและเศษเศษ คุณต้องหารตัวเศษของเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมด้วยตัวส่วนด้วย "มุม"
การคูณเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมผลิตด้วยวิธีปกติ เมื่อรายการอยู่ภายใต้เส้นเศษส่วนเดียว ตามความจำเป็น คุณต้องลดเศษส่วนเพื่อลดจำนวนโดยใช้วิธีนี้ และคำนวณผลลัพธ์ได้ง่ายขึ้น
มีผู้ช่วยมากมายบนอินเทอร์เน็ตในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนในรูปแบบต่างๆ ของโปรแกรม บริการดังกล่าวจำนวนเพียงพอให้ความช่วยเหลือในการคำนวณการคูณเศษส่วนด้วยตัวเลขต่าง ๆ ในตัวส่วน - เครื่องคิดเลขออนไลน์ที่เรียกว่าการคำนวณเศษส่วน พวกเขาไม่เพียงแต่สามารถคูณได้เท่านั้น แต่ยังดำเนินการคำนวณอย่างง่ายอื่นๆ ทั้งหมดด้วยเศษส่วนธรรมดาและจำนวนคละ ใช้งานได้ไม่ยากมีการกรอกข้อมูลลงในฟิลด์ที่เกี่ยวข้องในหน้าเว็บไซต์เลือกเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และกดปุ่ม "คำนวณ" โปรแกรมจะนับโดยอัตโนมัติ
หัวข้อของการดำเนินการเลขคณิตที่มีตัวเลขเศษส่วนมีความเกี่ยวข้องตลอดการศึกษาของนักเรียนระดับกลางและระดับสูง ในโรงเรียนมัธยมพวกเขาไม่ได้พิจารณาสายพันธุ์ที่ง่ายที่สุดอีกต่อไป แต่ นิพจน์เศษส่วนจำนวนเต็มแต่ความรู้เกี่ยวกับกฎสำหรับการแปลงและการคำนวณที่ได้รับก่อนหน้านี้ถูกนำไปใช้ในรูปแบบดั้งเดิม ความรู้พื้นฐานที่เรียนรู้มาอย่างดีจะให้ความมั่นใจอย่างเต็มที่ในการแก้ปัญหาที่ประสบความสำเร็จของงานที่ซับซ้อนที่สุด
โดยสรุป สมเหตุสมผลแล้วที่จะอ้างอิงถ้อยคำของลีโอ ตอลสตอย ผู้เขียนว่า “มนุษย์เป็นเพียงเศษเสี้ยว ไม่ได้อยู่ในอำนาจของมนุษย์ที่จะเพิ่มตัวเศษ - ข้อดีของตัวเอง แต่ทุกคนสามารถลดตัวส่วนของเขาได้ - ความคิดเห็นของเขาเกี่ยวกับตัวเองและการลดลงนี้เข้าใกล้ความสมบูรณ์แบบของเขามากขึ้น
) และตัวส่วนโดยตัวส่วน (เราจะได้ตัวส่วนของผลคูณ).
สูตรคูณเศษส่วน:
ตัวอย่างเช่น:
ก่อนดำเนินการคูณตัวเศษและตัวส่วน จำเป็นต้องตรวจสอบความเป็นไปได้ของการลดเศษส่วนเสียก่อน หากคุณจัดการลดเศษส่วนได้ ก็จะทำการคำนวณต่อไปได้ง่ายขึ้น
หารเศษส่วนสามัญด้วยเศษส่วน
การหารเศษส่วนกับจำนวนธรรมชาติ.
มันไม่ได้น่ากลัวอย่างที่คิด ในกรณีของการบวก เราแปลงจำนวนเต็มเป็นเศษส่วนโดยมีหน่วยเป็นตัวส่วน ตัวอย่างเช่น:
การคูณเศษส่วนแบบผสม
กฎการคูณเศษส่วน (ผสม):
- แปลงเศษส่วนผสมให้ไม่เหมาะสม
- คูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน
- เราลดเศษส่วน
- ถ้าเราได้เศษเกิน เราก็แปลงเศษเกินให้เป็นเศษผสม
บันทึก!ในการคูณเศษส่วนผสมด้วยเศษส่วนผสมอื่น ก่อนอื่นคุณต้องนำเศษส่วนนั้นมาอยู่ในรูปเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม จากนั้นคูณตามกฎสำหรับการคูณเศษส่วนธรรมดา
วิธีที่สองในการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ
จะสะดวกกว่าถ้าใช้วิธีที่สองในการคูณเศษส่วนธรรมดาด้วยตัวเลข
บันทึก!ในการคูณเศษส่วนด้วยจำนวนธรรมชาติ จำเป็นต้องนำตัวส่วนของเศษส่วนมาหารด้วยจำนวนนี้ และปล่อยให้ตัวเศษไม่เปลี่ยนแปลง
จากตัวอย่างข้างต้น เป็นที่ชัดเจนว่าตัวเลือกนี้สะดวกกว่าที่จะใช้เมื่อตัวหารของเศษส่วนถูกหารโดยไม่มีเศษเหลือด้วยจำนวนธรรมชาติ
เศษส่วนหลายระดับ
ในโรงเรียนมัธยมมักพบเศษส่วนสามชั้น (หรือมากกว่า) ตัวอย่าง:
ในการนำเศษส่วนมาสู่รูปแบบปกติ ใช้การหารด้วย 2 คะแนน:
บันทึก!ในการหารเศษส่วน ลำดับการหารมีความสำคัญมาก ระวังมันง่ายที่จะสับสนที่นี่
บันทึก, ตัวอย่างเช่น:
เมื่อหารด้วยเศษส่วนใด ๆ ผลลัพธ์จะเป็นเศษส่วนเดียวกัน กลับด้านเท่านั้น:
เคล็ดลับการปฏิบัติสำหรับการคูณและหารเศษส่วน:
1. สิ่งที่สำคัญที่สุดในการทำงานกับนิพจน์ที่เป็นเศษส่วนคือความแม่นยำและความใส่ใจ ทำการคำนวณทั้งหมดอย่างรอบคอบและแม่นยำ เข้มข้น และชัดเจน ดีกว่าที่จะเขียนบรรทัดพิเศษสองสามบรรทัดในร่างมากกว่าที่จะสับสนในการคำนวณในหัวของคุณ
2. ในงานที่มีเศษส่วนประเภทต่างๆ - ไปที่ประเภทของเศษส่วนธรรมดา
3. เราลดเศษส่วนทั้งหมดจนไม่สามารถลดได้อีกต่อไป
4. เรานำนิพจน์เศษส่วนหลายระดับมาเป็นนิพจน์ทั่วไป โดยใช้การหารถึง 2 คะแนน
5. เราแบ่งหน่วยเป็นเศษส่วนในใจโดยการหมุนเศษส่วนกลับ
