ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว ปัญหาที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งในทฤษฎีพหุนามคือปัญหาในการหารากของมัน เพื่อแก้ไขปัญหานี้ คุณสามารถใช้วิธีการเลือกได้ เช่น สุ่มตัวเลขและตรวจสอบว่ามันเป็นรากของพหุนามที่กำหนดหรือไม่
ในกรณีนี้ คุณสามารถ "ชน" รากได้อย่างรวดเร็ว ไม่เช่นนั้นคุณอาจไม่พบเลย ท้ายที่สุดแล้ว เป็นไปไม่ได้ที่จะตรวจสอบตัวเลขทั้งหมด เนื่องจากมีจำนวนมากไม่สิ้นสุด
คงเป็นอีกเรื่องหนึ่งถ้าเราสามารถจำกัดขอบเขตการค้นหาให้แคบลงได้ เช่น ให้รู้ว่ารากที่เราค้นหานั้นอยู่ในจำนวนสามสิบตัวเลขที่ระบุ และสำหรับสามสิบหมายเลขคุณสามารถตรวจสอบได้ จากทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้น ข้อความนี้ดูเหมือนสำคัญและน่าสนใจ
ถ้าเศษส่วนที่ลดไม่ได้ l/m (l,m เป็นจำนวนเต็ม) เป็นรากของพหุนาม f (x) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าของพหุนามนี้จะถูกหารด้วย m และเทอมอิสระจะถูกหารด้วย 1
อันที่จริง ถ้า f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0 โดยที่ an, an-1,...,a1, a0 เป็นจำนวนเต็ม แล้ว f (l/ ม.) =0 เช่น аn (ลิตร/เมตร) n+an-1 (ลิตร/เมตร) n-1+... +a1l/m+a0=0
ลองคูณทั้งสองข้างของความเท่ากันนี้ด้วย mn กัน เราได้ anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0
นี่หมายถึง:
anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1)
เราจะเห็นว่าจำนวนเต็ม anln หารด้วย m ลงตัว แต่ l/m เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ กล่าวคือ ตัวเลข l และ m เป็นจำนวนเฉพาะ และตามที่ทราบจากทฤษฎีการหารจำนวนเต็มลงตัว ตัวเลข ln และ m ก็เป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน ดังนั้น anln หารด้วย m ลงตัว และ m เป็นจำนวนเฉพาะของ ln ซึ่งหมายความว่า a หารด้วย m ลงตัว
หัวข้อที่ได้รับการพิสูจน์แล้วช่วยให้เราสามารถจำกัดขอบเขตการค้นหาให้แคบลงอย่างมากสำหรับรากเหตุผลของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม มาสาธิตเรื่องนี้กัน ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง- ลองหารากตรรกยะของพหุนาม f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8 กัน ตามทฤษฎีบท รากตรรกยะของพหุนามนี้อยู่ในเศษส่วนที่ลดไม่ได้ของรูปแบบ l/m โดยที่ l คือตัวหารของเทอมอิสระ a0=8 และ m คือตัวหารของสัมประสิทธิ์นำ a4=6 ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าเศษส่วน l/m เป็นลบ เครื่องหมาย "-" จะถูกกำหนดให้เป็นตัวเศษ ตัวอย่างเช่น - (1/3) = (-1) /3 เราก็บอกได้ว่า l เป็นตัวหารของเลข 8 และ m เป็นตัวหารบวกของเลข 6
เนื่องจากตัวหารของจำนวน 8 คือ ±1, ±2, ±4, ±8 และตัวหารบวกของจำนวน 6 คือ 1, 2, 3, 6 ดังนั้นรากตรรกยะของพหุนามที่เป็นปัญหาจึงอยู่ในหมู่ตัวเลข ±1, ±1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3 ให้เราระลึกว่าเราเขียนเฉพาะเศษส่วนที่ลดไม่ได้เท่านั้น
ดังนั้นเราจึงมีตัวเลขยี่สิบตัว - "ผู้สมัคร" สำหรับราก สิ่งที่เหลืออยู่คือการตรวจสอบแต่ละรายการและเลือกรายการที่มีรากจริงๆ แต่คุณจะต้องทำการตรวจสอบค่อนข้างมากอีกครั้ง แต่ทฤษฎีบทต่อไปนี้ทำให้งานนี้ง่ายขึ้น
ถ้าเศษส่วนที่ลดไม่ได้ l/m เป็นรากของพหุนาม f (x) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้น f (k) จะหารด้วย l-km ลงตัวสำหรับจำนวนเต็ม k ใดๆ โดยมีเงื่อนไขว่า l-km?0
เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ ให้หาร f (x) ด้วย x-k ด้วยเศษ เราได้ฉ (เอ็กซ์) = (เอ็กซ์-เค) ส (เอ็กซ์) +ฉ (ฎ).เนื่องจาก f (x) เป็นพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม พหุนาม s (x) จึงเป็นพหุนาม และ f (k) เป็นจำนวนเต็ม ให้ s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0 จากนั้น f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0) ลองใส่ x=l/m ในความเท่าเทียมกันนี้ เมื่อพิจารณาว่า f (l/m) =0 เราก็จะได้
f (k) = ((ลิตร/เมตร) - k) (bn-1 (ลิตร/เมตร) n-1+bn-2 (ลิตร/เมตร) n-2+…+b1 (ลิตร/เมตร) +b0) .
ลองคูณทั้งสองด้านของความเสมอภาคสุดท้ายด้วย mn:
mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1)
ตามมาว่าจำนวนเต็ม mnf (k) หารด้วย l-km ลงตัว แต่เนื่องจาก l และ m เป็นโคไพรม์ ดังนั้น mn และ l-km จึงเป็นโคไพรม์ด้วย ซึ่งหมายความว่า f (k) หารด้วย l-km ลงตัว ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ตอนนี้เรากลับมาที่ตัวอย่างของเรา และใช้ทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว เราจะจำกัดวงการค้นหารากที่เป็นเหตุผลให้แคบลงอีก ให้เราใช้ทฤษฎีบทนี้กับ k=1 และ k=-1 เช่น ถ้าเศษส่วนที่ลดไม่ได้ l/m คือรากของพหุนาม f (x) แล้ว f (1) / (l-m) และ f (-1) / (l+m) เราพบได้ง่ายว่าในกรณีของเรา f (1) = -5 และ f (-1) = -15 โปรดทราบว่าในขณะเดียวกัน เราก็ไม่รวม ±1 ออกจากการพิจารณา
ดังนั้น ควรหารากตรรกยะของพหุนามของเราจากตัวเลข ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8 /3.
พิจารณา l/m=1/2 จากนั้น l-m=-1 และ f (1) =-5 หารด้วยตัวเลขนี้ นอกจากนี้ l+m=3 และ f (1) =-15 ก็หารด้วย 3 ลงตัวเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าเศษส่วน 1/2 ยังคงอยู่ในหมู่ “ผู้สมัคร” สำหรับราก
ให้ lm=- (1/2) = (-1) /2 ในกรณีนี้ l-m=-3 และ f (1) =-5 ไม่สามารถหารด้วย - 3 ได้ ซึ่งหมายความว่าเศษส่วน - 1/2 ไม่สามารถเป็นรากของพหุนามนี้ได้ และเราจะแยกมันออกจากการพิจารณาเพิ่มเติม ลองตรวจสอบเศษส่วนแต่ละส่วนที่เขียนไว้ข้างต้นแล้วพบว่ารากที่ต้องการนั้นอยู่ในตัวเลข 1/2, ±2/3, 2, - 4
เลยทีเดียว เคล็ดลับง่ายๆเราได้จำกัดขอบเขตการค้นหาให้แคบลงอย่างมากสำหรับรากเหตุผลของพหุนามที่อยู่ระหว่างการพิจารณา เพื่อตรวจสอบตัวเลขที่เหลือ เราจะใช้แผนของฮอร์เนอร์:
ตารางที่ 10
เราพบว่าส่วนที่เหลือเมื่อหาร g (x) ด้วย x-2/3 เท่ากับ - 80/9 กล่าวคือ 2/3 ไม่ใช่รากของพหุนาม g (x) ดังนั้นจึงไม่ใช่ f (x) เช่นกัน
ต่อไป เราจะหาได้ง่ายๆ ว่า - 2/3 คือรากของพหุนาม g (x) และ g (x) = (3x+2) (x2+2x-4) จากนั้น f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4) การตรวจสอบเพิ่มเติมสามารถทำได้สำหรับพหุนาม x2+2x-4 ซึ่งแน่นอนว่าง่ายกว่าสำหรับ g (x) หรือยิ่งกว่านั้นสำหรับ f (x) เป็นผลให้เราพบว่าตัวเลข 2 และ - 4 ไม่ใช่ราก
ดังนั้น พหุนาม f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 มีรากตรรกยะสองตัว: 1/2 และ - 2/3
โปรดจำไว้ว่าวิธีที่อธิบายไว้ข้างต้นทำให้สามารถค้นหาเฉพาะรากที่เป็นตรรกยะของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มได้ ในขณะเดียวกัน พหุนามก็สามารถมีรากที่ไม่ลงตัวได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น พหุนามที่พิจารณาในตัวอย่างนี้มีรากอีกสองตัว: - 1±v5 (นี่คือรากของพหุนาม x2+2x-4) และโดยทั่วไปแล้ว พหุนามอาจไม่มีรากที่เป็นตรรกยะเลย
ตอนนี้เรามาให้คำแนะนำบ้าง
เมื่อทดสอบ “ผู้สมัคร” เพื่อหารากของพหุนาม f (x) โดยใช้ทฤษฎีบทที่สองที่พิสูจน์แล้วข้างต้น โดยทั่วไปทฤษฎีบทหลังจะใช้สำหรับกรณี k=±1 กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า l/m คือรากของ "ผู้สมัคร" ให้ตรวจสอบว่า f (1) และ f (-1) หารด้วย l-m และ l+m ลงตัวหรือไม่ ตามลำดับ แต่อาจเกิดขึ้นได้ เช่น f (1) = 0 เช่น 1 เป็นราก แล้ว f (1) หารด้วยจำนวนใดๆ ลงตัว และเช็คของเราก็ไร้ความหมาย ในกรณีนี้ คุณควรหาร f (x) ด้วย x-1 เช่น จะได้ f(x) = (x-1)s(x) และทดสอบหาพหุนาม s(x) ในเวลาเดียวกัน เราไม่ควรลืมว่าเราพบรากของพหุนามแล้วหนึ่งตัว f (x) - x1=1 หากเมื่อตรวจสอบ “ผู้สมัคร” เพื่อหารากที่เหลืออยู่หลังจากใช้ทฤษฎีบทที่สองเกี่ยวกับรากตรรกยะ โดยใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์ เราพบว่า ตัวอย่างเช่น l/m คือราก ก็ควรจะพบความหลายหลากของมัน ถ้ามันเท่ากับ k แล้ว f (x) = (x-l/m) ks (x) และสามารถทำการทดสอบเพิ่มเติมสำหรับ s (x) ซึ่งจะช่วยลดการคำนวณ
ดังนั้นเราจึงได้เรียนรู้ที่จะหารากตรรกยะของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ปรากฎว่าการทำเช่นนี้ทำให้เราได้เรียนรู้ที่จะหารากที่ไม่ลงตัวของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่เป็นตรรกยะ ในความเป็นจริง หากเรามีพหุนาม f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2 จากนั้นนำสัมประสิทธิ์มาเป็นตัวส่วนร่วมแล้วนำมันออกจากวงเล็บ เราจะ ได้ f (x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48) เห็นได้ชัดว่ารากของพหุนาม f (x) ตรงกับรากของพหุนามในวงเล็บ และสัมประสิทธิ์ของมันคือจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น ขอให้เราพิสูจน์ว่า sin100 เป็นจำนวนอตรรกยะ ลองใช้สูตรที่รู้จักกันดี sin3?=3sin?-4sin3? ดังนั้น sin300=3sin100-4sin3100 เมื่อพิจารณาว่า sin300=0.5 และดำเนินการแปลงอย่างง่าย เราจะได้ 8sin3100-6sin100+1=0 ดังนั้น sin100 จึงเป็นรากของพหุนาม f (x) =8x3-6x+1 หากเรามองหารากที่เป็นตรรกยะของพหุนามนี้ เราก็จะมั่นใจว่าไม่มีเลย ซึ่งหมายความว่าราก sin100 ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ กล่าวคือ sin100 เป็นจำนวนอตรรกยะ
พหุนามในตัวแปร x คือนิพจน์ในรูปแบบ: anxn+an-1 xn-1+ - - +a 1 x+a 0 โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติ อัน, อัน-1, . - - , 1, 0 - ตัวเลขใด ๆ ที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามนี้ นิพจน์ anxn, an-1 xn-1, - - , 1 x, 0 เรียกว่าเทอมของพหุนาม และ 0 คือเทอมอิสระ an คือสัมประสิทธิ์ของ xn, an-1 คือสัมประสิทธิ์ของ xn-1 เป็นต้น พหุนามที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์เรียกว่าศูนย์ ตัวอย่างเช่น พหุนาม 0 x2+0 x+0 จะเป็นศูนย์ จากสัญลักษณ์พหุนาม เห็นได้ชัดว่าประกอบด้วยสมาชิกหลายตัว นี่คือที่มาของคำว่า ‹‹พหุนาม›› (หลายคำ) บางครั้งพหุนามเรียกว่าพหุนาม คำนี้มาจาก คำภาษากรีกπολι - มากมาย และ νομχ - สมาชิก
พหุนามในตัวแปร x หนึ่งตัวจะแสดงแทน: f (x), g (x), h (x) เป็นต้น ตัวอย่างเช่น หากพหุนามตัวแรกของพหุนามด้านบนแทนด้วย f (x) เราก็เขียนได้: f (x) =x 4+2 x 3 + (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. พหุนาม h(x) เรียกว่าตัวหารร่วมมากของพหุนาม f(x) และ g(x) หากหาร f(x), g (x) และแต่ละอัน ตัวหารร่วม- 2. พหุนาม f(x) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จากสนาม P ของดีกรี n กล่าวว่าสามารถลดได้เหนือสนาม P ถ้ามีพหุนาม h(x), g(x) О P[x] ที่มีดีกรีน้อยกว่า n ดังกล่าว ว่า f(x) = h( x)g(x)
หากมีพหุนาม f (x) = anxn+an-1 xn-1+ - - +a 1 x+a 0 และ an≠ 0 จากนั้นตัวเลข n เรียกว่าดีกรีของพหุนาม f (x) (หรือพวกเขาพูดว่า: f (x) - ระดับที่ n) และเขียนศิลปะ ฉ(x)=n. ในกรณีนี้ a เรียกว่าสัมประสิทธิ์นำหน้า และ anxn เป็นคำนำหน้าของพหุนามนี้ ตัวอย่างเช่น ถ้า f (x) =5 x 4 -2 x+3 แล้วแสดงว่าเป็น art f (x) =4, สัมประสิทธิ์นำ - 5, เทอมนำ - 5 x4 ระดับของพหุนามคือจำนวนสัมประสิทธิ์ที่มีค่ามากที่สุดซึ่งแตกต่างจากศูนย์ พหุนามของดีกรี 0 คือตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ พหุนามศูนย์ไม่มีดีกรี พหุนาม f (x) =a โดยที่ a เป็นตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์และมีดีกรี 0 ระดับของพหุนามอื่น ๆ เท่ากับเลขชี้กำลังที่ใหญ่ที่สุดของตัวแปร x ซึ่งสัมประสิทธิ์เท่ากับศูนย์
ความเท่าเทียมกันของพหุนาม พหุนามสองตัว f (x) และ g (x) ถือว่าเท่ากันหากสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังเท่ากันของตัวแปร x และพจน์อิสระเท่ากัน (สัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันเท่ากัน) ฉ (x) =ก (x) ตัวอย่างเช่น พหุนาม f (x) =x 3+2 x 2 -3 x+1 และ g(x) =2 x 23 x+1 ไม่เท่ากัน อันแรกมีค่าสัมประสิทธิ์ x3 เท่ากับ 1 และอันที่สองมีศูนย์ ( ตามแบบแผนที่ยอมรับ เราสามารถเขียนได้: g (x) =0 x 3+2 x 2 -3 x+1 ในกรณีนี้: f (x) ≠g (x) และพหุนาม ไม่เท่ากัน: h (x) =2 x 2 -3 x+5, s (x) =2 x 2+3 x+5 เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ของ x นั้นแตกต่างกัน
แต่พหุนาม f 1 (x) =2 x 5+3 x 3+bx+3 และ g 1 (x) =2 x 5+ax 3 -2 x+3 จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ a = 3, a b = -2. ให้ค่าพหุนาม f (x) = anxn+an-1 xn-1+ - - +a 1 x+a 0 และเลข c บางตัว หมายเลข f (c) = ancn+an-1 cn-1+ - - +a 1 c+a 0 เรียกว่าค่าของพหุนาม f (x) ที่ x=c ดังนั้นในการค้นหา f (c) คุณต้องแทนที่ c ลงในพหุนามแทน x และดำเนินการคำนวณที่จำเป็น ตัวอย่างเช่น ถ้า f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5 แล้ว f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3 พหุนามสำหรับค่าต่าง ๆ ของตัวแปร x สามารถใช้ได้ ความหมายที่แตกต่างกัน- จำนวน c เรียกว่ารากของพหุนาม f (x) ถ้า f (c) =0
ให้เราใส่ใจกับความแตกต่างระหว่างสองข้อความ: “พหุนาม f (x) เท่ากับศูนย์ (หรือสิ่งที่เหมือนกัน พหุนาม f (x) คือศูนย์)” และ “ค่าของพหุนาม f (x) ) ที่ x = c เท่ากับศูนย์” ตัวอย่างเช่น พหุนาม f (x) =x 2 -1 ไม่เท่ากับศูนย์ แต่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ และค่าที่ x=1 จะเป็นศูนย์ ฉ (x) ≠ 0 และ ฉ (1) =0 มีความสัมพันธ์ใกล้ชิดระหว่างแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของพหุนามและมูลค่าของพหุนาม ถ้าให้พหุนามสองตัวที่เท่ากันคือ f (x) และ g (x) สัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่า f (c) = g (c) สำหรับแต่ละจำนวน c
การดำเนินการกับพหุนาม พหุนามสามารถบวก ลบ และคูณได้โดยใช้กฎปกติสำหรับวงเล็บเปิดและนำพจน์ที่คล้ายกันมา ผลลัพธ์ที่ได้คือพหุนามอีกครั้ง การดำเนินการเหล่านี้มีคุณสมบัติที่ทราบ: f (x) +g (x) =g (x) +f (x), f (x) + (g (x) +h (x)) = (f (x) +g (x)) +h (x), f (x) ก. (x) =g (x) f (x), f (x) (ก. (x) ชม. (x)) = (f (x) ก. ( x)) ชม. (x), ฉ (x) (ก. (x) + ชม. (x)) =ฉ (x) ก. (x) +f (x) ชม. (x)
ให้พหุนามสองตัว f(x) =anxn+an-1 xn-1+ - - +a 1 x+a 0, an≠ 0, และ g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+ - - +b 1 x+bm≠ 0 ชัดเจนว่าศิลปะ f(x)=n และศิลปะ ก(x)=ม. หากเราคูณพหุนามสองตัวนี้ เราจะได้พหุนามในรูปแบบ f(x) g(x)=anbmxm+n+ - - +a 0 b 0 เนื่องจาก an≠ 0 และ bn≠ 0 ดังนั้น anbm≠ 0 ซึ่งหมายถึง st (ฉ(x)ก(x))=ม+น. ข้อความสำคัญต่อจากนี้
ระดับของผลคูณของพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์สองตัวจะเท่ากับผลรวมของดีกรีของตัวประกอบ ศิลปะ (ฉ (x) ก. (x)) = เซนต์ ฉ (x) + เซนต์ ก.(เอ็กซ์) เทอมนำหน้า (สัมประสิทธิ์) ของผลคูณของพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์สองตัวจะเท่ากับผลคูณของเทอมนำหน้า (สัมประสิทธิ์) ของปัจจัย เทอมอิสระของผลคูณของพหุนามสองตัวจะเท่ากับผลคูณของเงื่อนไขอิสระของตัวประกอบ กำลังของพหุนาม f (x), g (x) และ f (x) ±g (x) มีความสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้: ศิลปะ (f (x) ±g (x)) ≤ สูงสุด (st. f (x), st. g (x))
การซ้อนทับของพหุนาม f (x) และ g (x) เรียกว่า พหุนามแทน f (g (x)) ซึ่งได้มาหากในพหุนาม f (x) เราแทนที่พหุนาม g (x) แทน x ตัวอย่างเช่น ถ้า f(x)=x 2+2 x-1 และ g(x) =2 x+3 แล้ว f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2 x 2+4 x+1. จะเห็นได้ว่า f (g (x)) ≠g (f (x)) นั่นคือการซ้อนทับของพหุนาม f (x), g (x) และการซ้อนทับของพหุนาม g (x), f ( x) แตกต่างกัน ดังนั้นการดำเนินการซ้อนทับจึงไม่มีคุณสมบัติในการสับเปลี่ยนได้
, อัลกอริธึมการหารด้วยเศษ สำหรับ f(x), g(x) ใดๆ จะมี q(x) (ผลหาร) และ r(x) (เศษเหลือ) โดยที่ f(x)=g(x)q(x)+ r(x) และดีกรี r(x)
ตัวหารของพหุนาม ตัวหารของพหุนาม f(x) คือพหุนาม g(x) โดยที่ f(x)=g(x)q(x) ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของพหุนามสองตัว ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของพหุนาม f(x) และ g(x) คือตัวหารร่วม d(x) ที่หารด้วยตัวหารร่วมตัวอื่นๆ ลงตัว
อัลกอริธึมแบบยุคลิด (อัลกอริธึมการหารตามลำดับ) สำหรับการค้นหาตัวหารร่วมมากของพหุนาม f(x) และ g(x) จากนั้นคือตัวหารร่วมมากของ f(x) และ g(x)
ลดเศษส่วน วิธีแก้ไข: หา gcd ของพหุนามเหล่านี้โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 – x2 – 3 x – 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x – x2 – 3 x – 2 –x– 4 4 x2 + 12 x + 8 0 ดังนั้น พหุนาม (– x2 – 3 x – 2) คือ gcd ของตัวเศษ และ ตัวส่วนของเศษส่วนที่กำหนด ทราบผลลัพธ์ของการหารตัวส่วนด้วยพหุนามนี้
ลองหาผลลัพธ์ของการหารตัวเศษ. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 – x2 – 3 x – 2 x3 + 3 x2 + 2 x –x– 3 3 x2 + 9 x + 6 0 ดังนั้น คำตอบ:
โครงร่างของฮอร์เนอร์ การหารพหุนาม f(x) กับเศษด้วยพหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์ g(x) หมายถึงการแทน f(x) ในรูปแบบ f(x)=g(x) s(x)+r(x) โดยที่ s (x ) และ r(x) เป็นพหุนามและ r(x)=0 หรือ st ร(เอ็กซ์)
พหุนามทางด้านซ้ายและด้านขวาของความสัมพันธ์นี้เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันจะเท่ากัน ให้เราเทียบเคียงกันโดยเปิดวงเล็บออกก่อนแล้วนำคำที่คล้ายกันมาทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้ เราได้รับ: a= bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1 , a 0 = r - cb 0 จำไว้ว่าเราต้องค้นหาผลหารที่ไม่สมบูรณ์ เช่น สัมประสิทธิ์ของมัน และส่วนที่เหลือ ให้เราแสดงพวกมันจากความเท่าเทียมกันที่ได้รับ: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2 , b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0 เราพบสูตรที่สามารถใช้เพื่อคำนวณสัมประสิทธิ์ของผลหารย่อย s (x) และส่วนที่เหลือ r ในกรณีนี้ การคำนวณจะแสดงในรูปแบบของตารางต่อไปนี้ มันถูกเรียกว่าโครงการฮอร์เนอร์
ตารางที่ 1 สัมประสิทธิ์ f (x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + 0 สัมประสิทธิ์ s (x) ส่วนที่เหลือ ในแถวแรกของตารางนี้ ให้เขียนสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนาม f (x) เรียงกัน โดยปล่อยให้เซลล์แรกว่าง ในบรรทัดที่สอง ในเซลล์แรก ให้เขียนตัวเลข c เซลล์ที่เหลือของบรรทัดนี้จะถูกเติมโดยการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของผลหารที่ไม่สมบูรณ์ s (x) และส่วนที่เหลือ r ทีละเซลล์ ในเซลล์ที่สอง ให้เขียนค่าสัมประสิทธิ์ bn-1 ซึ่งตามที่เรากำหนดไว้ เท่ากับ an
ค่าสัมประสิทธิ์ในแต่ละเซลล์ถัดไปจะถูกคำนวณตามกฎต่อไปนี้: ตัวเลข c จะถูกคูณด้วยตัวเลขในเซลล์ก่อนหน้า และตัวเลขที่อยู่เหนือเซลล์ที่ถูกเติมจะถูกบวกเข้ากับผลลัพธ์ หากต้องการจำเซลล์ที่ห้านั่นคือเพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์ในนั้นคุณต้องคูณ c ด้วยตัวเลขในเซลล์ที่สี่และเพิ่มตัวเลขที่อยู่เหนือเซลล์ที่ห้าเข้ากับผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่น ลองหารพหุนาม f (x) =3 x 4 -5 x 2+3 x-1 ด้วย x-2 ด้วยเศษ โดยใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์ เมื่อกรอกบรรทัดแรกของแผนภาพนี้ เราต้องไม่ลืมค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่เป็นศูนย์ ดังนั้น ค่าสัมประสิทธิ์ f (x) คือตัวเลข 3, 0, - 5, 3, - 1 และคุณควรจำไว้ว่าระดับของผลหารที่ไม่สมบูรณ์นั้นน้อยกว่าระดับของพหุนาม f (x) หนึ่งอัน
ดังนั้นเราจึงทำการหารตามแผนของฮอร์เนอร์: ตารางที่ 2 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 เราได้ผลหารบางส่วน s (x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 และเศษ r=33 โปรดทราบว่าในขณะเดียวกัน เราก็คำนวณค่าของพหุนาม f (2) =33 ตอนนี้ให้เราหารพหุนาม f (x) เดียวกันด้วย x+2 ด้วยเศษ ในกรณีนี้ c=-2 เราได้รับ: ตารางที่ 3 -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 เป็นผลให้เรามี f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x- 11) +21 .
รากของพหุนาม ให้ c1, c2, …, cm เป็นรากที่ต่างกันของพหุนาม f (x) จากนั้น f (x) หารด้วย x-c1 เช่น f (x) = (x-c 1) s 1 (x) ลองใส่ x=c2 ในความเท่าเทียมกันนี้ เราได้ f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) และดังนั้น f (c 2) =0 จากนั้น (c2 -c1) s 1 (c 2) =0 แต่ с2≠с1 เช่น с2 -с1≠ 0 ซึ่งหมายถึง s 1 (c 2) =0 ดังนั้น c2 คือรากของพหุนาม s 1 (x) ตามมาว่า s 1 (x) หารด้วย x-c2 ลงตัว นั่นคือ s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x) ให้เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์สำหรับ s 1 (x) ลงในความเท่าเทียมกัน f (x) = (x-c 1) s 1 (x) เรามี f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x) เมื่อใส่ x=c3 ลงในความเสมอภาคสุดท้าย โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่า f (c 3) =0, c3≠c1, c3≠c2 เราได้มาว่า c3 เป็นรากของพหุนาม s 2 (x) นี่หมายถึง s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x) แล้ว f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) เป็นต้น ให้ดำเนินการต่อโดยใช้เหตุผลนี้สำหรับ รากที่เหลือ c4, c5, ..., cm ในที่สุดเราก็ได้ f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x) นั่นคือ ข้อความที่ระบุด้านล่างได้รับการพิสูจน์แล้ว
ถ้า с1, с2, …, сm เป็นรากที่ต่างกันของพหุนาม f (x) แล้ว f (x) สามารถเขียนแทนได้เป็น f(x)=(x-c 1) (x-c 2)…(x-cm) sm(x ). ข้อพิสูจน์ที่สำคัญต่อจากนี้ ถ้า c1, c2, ..., cm เป็นรากที่ต่างกันของพหุนาม f(x) แล้ว f(x) จะถูกหารด้วยพหุนาม (x-c1) (x-c2) ... (x-cm) จำนวนรากที่แตกต่างกันของพหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์ f (x) นั้นไม่เกินระดับของมัน อันที่จริง ถ้า f(x) ไม่มีราก ก็ชัดเจนว่าทฤษฎีบทนี้เป็นจริง เพราะศิลปะ f(x) ≥ 0 ทีนี้ให้ f(x) มีราก m с1, с2, …, сm และทุกรากต่างกัน จากนั้น จากสิ่งที่เพิ่งได้รับการพิสูจน์แล้ว f (x) จะถูกแบ่งออกเป็น (x-c1) (x -c2)…(x-cm) ในกรณีนี้ศิลปะ ฉ(x)≥st ((x-c1) (x-c2)…(x-cm))= เซนต์ (x-c1)+เซนต์ (x-s2)+…+สต. (x-cm)=m เช่น เซนต์ f(x)≥m และ m คือจำนวนรากของพหุนามที่ต้องการ แต่พหุนามศูนย์มีหลายรากอย่างไม่สิ้นสุด เนื่องจากค่าของ x ใดๆ เท่ากับ 0 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ด้วยเหตุนี้ จึงไม่ได้กำหนดระดับเฉพาะใดๆ ข้อความต่อไปนี้ตามมาจากทฤษฎีบทที่เพิ่งพิสูจน์
ถ้าพหุนาม f(x) ไม่ใช่พหุนามที่มีดีกรีมากกว่า n และมีรากมากกว่า n แล้ว f(x) จะเป็นพหุนามที่เป็นศูนย์ ที่จริงแล้ว จากเงื่อนไขของข้อความนี้ จะเป็นไปตามว่า f (x) เป็นพหุนามที่เป็นศูนย์หรือศิลปะ ฉ (x) ≤n ถ้าเราถือว่าพหุนาม f (x) ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น Art f (x) ≤n แล้ว f (x) มีรากมากสุด n ตัว เรามาถึงความขัดแย้ง ซึ่งหมายความว่า f(x) เป็นพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์ ให้ f (x) และ g (x) เป็นพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์ที่มีดีกรีมากที่สุด n ถ้าพหุนามเหล่านี้ใช้เวลา ค่าเดียวกันสำหรับค่า n+1 ของตัวแปร x แล้ว f (x) =g (x)
เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ให้พิจารณาพหุนาม h (x) =f (x) - g (x) เห็นได้ชัดว่า h (x) =0 หรือ st h (x) ≤n กล่าวคือ h (x) ไม่ใช่พหุนามที่มีดีกรีมากกว่า n ทีนี้ ให้เลข c เป็นดังนี้ f (c) = g (c) จากนั้น h (c) = f (c) - g (c) = 0 เช่น c คือรากของพหุนาม h (x) ดังนั้น พหุนาม h (x) มีราก n+1 และเมื่อใด ตามที่พิสูจน์แล้ว h (x) =0 นั่นคือ f (x) =g (x) หาก f (x) และ g (x) ใช้ค่าเดียวกันสำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปร x ดังนั้นพหุนามเหล่านี้จะเท่ากัน
หลายรากของพหุนาม ถ้าจำนวน c เป็นรากของพหุนาม f (x) พหุนามนี้จะหารด้วย x-c ลงตัว อาจเกิดขึ้นได้ว่า f(x) หารด้วยกำลังบางอย่างลงตัว พหุนาม x-cเช่น บน (x-c) k, k>1 ในกรณีนี้ c เรียกว่าหลายรูท ให้เรากำหนดคำจำกัดความให้ชัดเจนยิ่งขึ้น จำนวน c เรียกว่ารากของการคูณ k (k-fold root) ของพหุนาม f (x) ถ้าพหุนามหารด้วย (x - c) k, k>1 ลงตัว (k เป็นจำนวนธรรมชาติ) แต่หารไม่ได้ โดย (x - c) k+ 1 ถ้า k=1 แล้ว c จะเรียกว่ารากแบบง่าย และถ้า k>1 ก็จะเรียกว่าหลายรากของพหุนาม f (x)
ถ้าพหุนาม f(x) แสดงเป็น f(x)=(x-c)mg(x) m เป็นจำนวนธรรมชาติ แล้วมันจะหารด้วย (x-c) m+1 ลงตัวก็ต่อเมื่อ g(x) หารลงตัวเท่านั้น บน x-s ในความเป็นจริง ถ้า g(x) หารด้วย x-c ลงตัว นั่นคือ g(x)=(x-c)s(x) แล้ว f(x)=(x-c) m+1 s(x) และนี่หมายถึง f(x) ) หารด้วย (x-c) m+1 ลงตัว ในทางกลับกัน ถ้า f(x) หารด้วย (x-c) m+1 ลงตัว แล้ว f(x)=(x-c) m+1 s(x) จากนั้น (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) และหลังจากการลดลง (x-c)m เราจะได้ g(x)=(x-c)s(x) จะได้ว่า g(x) หารด้วย x-c ลงตัว
ตัวอย่างเช่น ลองหาดูว่าตัวเลข 2 เป็นรากของพหุนาม f (x) =x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24 หรือไม่ และถ้าเป็นเช่นนั้น ให้หาค่าพหุคูณของมัน เพื่อตอบคำถามแรก ลองตรวจสอบโดยใช้วงจรของฮอร์เนอร์ว่า f (x) หารด้วย x-2 ลงตัวหรือไม่ เรามี: ตารางที่ 4 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 อย่างที่คุณเห็น เศษที่เหลือเมื่อหาร f(x) ด้วย x-2 จะเท่ากับ 0 กล่าวคือ มันคือ หารด้วย x-2 ซึ่งหมายความว่า 2 เป็นรากของพหุนามนี้ นอกจากนี้เรายังได้ f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12) ทีนี้ เรามาดูกันว่า f(x) อยู่บน (x-2) 2 หรือไม่ ขึ้นอยู่กับการหารพหุนามลงตัว g (x) =x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x ตามที่เราเพิ่งพิสูจน์ไป -12 คูณ x-2
ลองใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์อีกครั้ง: ตารางที่ 5 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 เราพบว่า g(x) หารด้วย x-2 และ g(x)=(x-2)( x 3 -x 2 -5 x+6) จากนั้น f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6) ดังนั้น f(x) หารด้วย (x-2)2 ลงตัว ตอนนี้เราต้องหาว่า f(x) หารด้วย (x-2)3 ลงตัวหรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ลองตรวจสอบว่า h (x) =x 3 -x 2 -5 x+6 หารด้วย x-2 ลงตัวหรือไม่: ตารางที่ 6 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 เราพบว่า h(x ) หารด้วย x-2 ลงตัว ซึ่งหมายความว่า f(x) หารด้วย (x-2) 3 และ f(x)=(x-2)3(x 2+x-3)
ต่อไป เราก็ตรวจสอบในทำนองเดียวกันว่า f(x) หารด้วย (x-2)4 ลงตัวหรือไม่ เช่น s(x)=x 2+x-3 หารด้วย x-2 ลงตัวหรือไม่: ตารางที่ 7 2 1 1 1 3 -3 3 เราพบว่าเศษเมื่อหาร s(x) ด้วย x-2 เท่ากับ 3 กล่าวคือ s(x) หารด้วย x-2 ไม่ลงตัว ซึ่งหมายความว่า f(x) หารด้วย (x-2)4 ไม่ลงตัว ดังนั้น f(x) จึงหารด้วย (x-2)3 ลงตัว แต่หารด้วย (x-2)4 ไม่ลงตัว ดังนั้น เลข 2 จึงเป็นรากของการคูณ 3 ของพหุนาม f(x)
โดยทั่วไป การตรวจสอบรากสำหรับหลายหลากจะดำเนินการในตารางเดียว สำหรับ ตัวอย่างนี้โต๊ะนี้มี มุมมองถัดไป: ตารางที่ 8 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 หรืออีกนัยหนึ่ง ตามแผนภาพของฮอร์เนอร์ การหารพหุนาม f (x) คูณ x-2 ในบรรทัดที่สอง เราได้ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม g (x) จากนั้นเราถือว่าบรรทัดที่สองนี้เป็นบรรทัดแรก ระบบใหม่ฮอร์เนอร์แล้วหาร g (x) ด้วย x-2 ฯลฯ คำนวณต่อจนกว่าจะได้เศษที่แตกต่างจากศูนย์ ในกรณีนี้ หลายหลากของรากจะเท่ากับจำนวนสารตกค้างที่เป็นศูนย์ที่ได้รับ บรรทัดที่ประกอบด้วยเศษที่เหลือที่ไม่ใช่ศูนย์ตัวสุดท้ายยังประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของผลหารเมื่อหาร f (x) ด้วย (x-2) 3
ตอนนี้โดยใช้โครงร่างที่เพิ่งเสนอไปในการตรวจสอบรูทเพื่อหาหลายหลาก เราจะแก้ไขปัญหาต่อไปนี้ พหุนาม a และ b f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 มีตัวเลข - 2 เป็นรากของผลคูณ 2 อย่างไร เนื่องจากหลายหลากของราก - 2 ควรเท่ากับ 2 ดังนั้น เมื่อหารด้วย x+2 ตามรูปแบบที่เสนอ เราควรได้เศษ 0 สองครั้ง และครั้งที่สาม - เศษที่เหลือแตกต่างจากศูนย์ เรามี: ตารางที่ 9 -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 a a a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2
ดังนั้น ตัวเลข - 2 จึงเป็นรากของการคูณ 2 ของพหุนามดั้งเดิม ถ้าหาก
รากตรรกยะของพหุนาม ถ้าเศษส่วนที่ลดไม่ได้ l/m (l, m เป็นจำนวนเต็ม) เป็นรากของพหุนาม f (x) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าของพหุนามนี้จะถูกหารด้วย m และเทอมอิสระคือ หารด้วย 1 อันที่จริง ถ้า f (x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0 โดยที่ an, an-1, . - - , 1, a 0 เป็นจำนวนเต็ม จากนั้น f(l/m) =0 เช่น аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+ - - +ก 1 ลิตร/ม.+ก 0=0 ลองคูณทั้งสองข้างของความเท่ากันนี้ด้วย mn กัน เราได้ anln+an-1 ln-1 m+ - - +a 1 lmn-1+a 0 นาที=0 นี่หมายถึง anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1)
เราจะเห็นว่าจำนวนเต็ม anln หารด้วย m ลงตัว แต่ l/m เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ กล่าวคือ ตัวเลข l และ m เป็นจำนวนไพรม์โคไพรม์ ดังที่ทราบจากทฤษฎีการหารจำนวนเต็มลงตัว ตัวเลข ln และ m ก็เป็นจำนวนเฉพาะโคไพรม์ด้วย ดังนั้น anln หารด้วย m ลงตัว และ m เป็นจำนวนเฉพาะของ ln ซึ่งหมายความว่า a หารด้วย m ลงตัว มาหารากตรรกยะของพหุนาม f (x) =6 x 4+13 x 2 -24 x 2 -8 x+8 กัน ตามทฤษฎีบท รากตรรกยะของพหุนามนี้อยู่ในเศษส่วนที่ลดไม่ได้ของรูปแบบ l/m โดยที่ l คือตัวหารของเทอมอิสระ a 0=8 และ m คือตัวหารของสัมประสิทธิ์นำ a 4=6 . ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าเศษส่วน l/m เป็นลบ เครื่องหมาย "-" จะถูกกำหนดให้เป็นตัวเศษ ตัวอย่างเช่น - (1/3) = (-1) /3 เราก็บอกได้ว่า l เป็นตัวหารของเลข 8 และ m เป็นตัวหารบวกของเลข 6
เนื่องจากตัวหารของจำนวน 8 คือ ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 และตัวหารบวกของจำนวน 6 คือ 1, 2, 3, 6 ดังนั้นรากตรรกยะของพหุนามที่เป็นปัญหาจึงอยู่ในหมู่ตัวเลข ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3 ให้เราระลึกว่าเราเขียนเฉพาะเศษส่วนที่ลดไม่ได้เท่านั้น ดังนั้นเราจึงมีตัวเลขยี่สิบตัว - "ผู้สมัคร" สำหรับราก สิ่งที่เหลืออยู่คือการตรวจสอบแต่ละรายการและเลือกรายการที่มีรากจริงๆ ทฤษฎีบทต่อไปนี้ทำให้งานนี้ง่ายขึ้น หากเศษส่วนที่ลดไม่ได้ l/m คือรากของพหุนาม f (x) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้น f (k) จะถูกหารด้วย l-km ลงตัวสำหรับจำนวนเต็ม k ใดๆ โดยมีเงื่อนไขว่า l-km≠ 0
เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ ให้หาร f(x) ด้วย x-k ด้วยเศษ เราได้ f(x)=(x-k)s(x)+f(k) เนื่องจาก f(x) เป็นพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม พหุนาม s(x) จึงเป็นพหุนาม และ f(k) เป็นจำนวนเต็ม ให้ s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0 จากนั้น f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b 1 x+b 0) ลองใส่ 1 x=l/m ในความเท่าเทียมกันนี้ เมื่อพิจารณาว่า f(l/m)=0 เราจะได้ f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+…+b 1(ลิตร/เมตร)+b 0) ลองคูณทั้งสองข้างของความเสมอภาคสุดท้ายด้วย mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . ตามมาว่าจำนวนเต็ม mnf (k) หารด้วย l-km ลงตัว แต่เนื่องจาก l และ m เป็นโคไพรม์ ดังนั้น mn และ l-km จึงเป็นโคไพรม์ด้วย ซึ่งหมายความว่า f(k) หารด้วย l-km ลงตัว ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
กลับมาที่ตัวอย่างของเราอีกครั้ง และใช้ทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว เราจะจำกัดขอบเขตการค้นหารากที่เป็นเหตุผลให้แคบลงอีก ขอให้เราใช้ทฤษฎีบทนี้กับ k=1 และ k=-1 กล่าวคือ ถ้าเศษส่วนที่ลดไม่ได้ l/m เป็นรากของพหุนาม f(x) แล้ว f(1)/(l-m) และ f(-1) /(ล +ม). เราพบได้ง่ายในกรณีของเรา f(1)=-5 และ f(-1)= -15 โปรดทราบว่าในเวลาเดียวกันเราไม่รวม ± 1 ออกจากการพิจารณา ดังนั้น ควรหารากเหตุผลของพหุนามของเราในจำนวน ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3 ± 4/3, ± 8/3 พิจารณา l/m=1/2 จากนั้น l-m=-1 และ f (1) =-5 หารด้วยตัวเลขนี้ นอกจากนี้ l+m=3 และ f (1) =-15 ก็หารด้วย 3 ลงตัวเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าเศษส่วน 1/2 ยังคงอยู่ในหมู่ “ผู้สมัคร” สำหรับราก
ให้ lm=-(1/2)=(-1)/2 ในกรณีนี้ l-m=-3 และ f (1) =-5 ไม่สามารถหารด้วย - 3 ลงตัวได้ ซึ่งหมายความว่าเศษส่วน -1/2 ไม่สามารถเป็นรากของพหุนามนี้ได้ และเราจะแยกเศษส่วนนั้นออกจากการพิจารณาเพิ่มเติม ลองตรวจสอบเศษส่วนแต่ละส่วนที่เขียนไว้ด้านบนและพบว่ารากที่ต้องการนั้นอยู่ในตัวเลข 1/2, ± 2/3, 2, - 4 ดังนั้น ด้วยการใช้เทคนิคที่ค่อนข้างง่าย เราจึงจำกัดขอบเขตการค้นหาให้แคบลงอย่างมาก รากของพหุนามที่ต้องการ เพื่อตรวจสอบจำนวนที่เหลือเราจะใช้แผนของฮอร์เนอร์: ตารางที่ 10 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0
เราจะเห็นว่า 1/2 คือรากของพหุนาม f(x) และ f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8) เห็นได้ชัดว่ารากอื่นๆ ทั้งหมดของพหุนาม f (x) เกิดขึ้นพร้อมกับรากของพหุนาม g (x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8 ซึ่งหมายความว่ามีการตรวจสอบ "ผู้สมัคร" เพิ่มเติมเพื่อหาราก สามารถดำเนินการได้สำหรับพหุนามนี้ เราพบว่า: ตารางที่ 11 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 เราพบว่าส่วนที่เหลือเมื่อหาร g(x) ด้วย x-2/3 เท่ากับ - 80/9, กล่าวคือ 2/3 ไม่ใช่รากของพหุนาม g(x) และดังนั้นจึงไม่ใช่ f(x) เช่นกัน ต่อไปเราจะพบว่า - 2/3 คือรากของพหุนาม g(x) และ g (x) = (3 x+2) (x 2+2 x-4)
จากนั้น f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4) การตรวจสอบเพิ่มเติมสามารถทำได้สำหรับพหุนาม x 2+2 x-4 ซึ่งแน่นอนว่าง่ายกว่าสำหรับ g (x) หรือยิ่งกว่านั้นสำหรับ f (x) เป็นผลให้เราพบว่าตัวเลข 2 และ - 4 ไม่ใช่ราก ดังนั้น พหุนาม f (x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 มีรากตรรกยะสองตัว: 1/2 และ - 2/3 วิธีนี้ทำให้สามารถค้นหาเฉพาะรากที่เป็นตรรกยะของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มได้ ในขณะเดียวกัน พหุนามก็สามารถมีรากที่ไม่ลงตัวได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น พหุนามที่พิจารณาในตัวอย่างมีรากอีกสองตัว: - 1±√ 5 (นี่คือรากของพหุนาม x2+2 x-4) พหุนามอาจไม่มีรากที่เป็นเหตุเป็นผลเลย
เมื่อทดสอบรากของ “ผู้สมัคร” ของพหุนาม f(x) โดยใช้ทฤษฎีบทที่สองที่พิสูจน์แล้วข้างต้น ทฤษฎีบทหลังมักใช้สำหรับกรณี k = ± 1 หรืออีกนัยหนึ่ง ถ้า l/m คือรากของ “ผู้สมัคร” แล้ว ตรวจสอบว่า f( 1) และ f (-1) โดย l-m และ l+m ตามลำดับ แต่อาจเกิดขึ้นได้ เช่น f(1) =0 เช่น 1 เป็นราก แล้ว f(1) หารด้วยจำนวนใดๆ ลงตัว และเช็คของเราก็ไร้ความหมาย ในกรณีนี้ คุณควรหาร f(x) ด้วย x-1 เช่น จะได้ f(x)=(x-1)s(x) และทดสอบหาพหุนาม s(x) ในเวลาเดียวกัน เราไม่ควรลืมว่าเราพบรากของพหุนาม f(x)-x 1=1 แล้วหนึ่งราก หากเราตรวจสอบ “ผู้สมัคร” เพื่อหารากที่เหลืออยู่หลังจากใช้ทฤษฎีบทที่สองเกี่ยวกับรากตรรกยะ โดยใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์ เราจะพบว่า ตัวอย่างเช่น l/m คือราก ดังนั้นควรพบความหลายหลากของมัน ถ้ามันเท่ากับ k แล้ว f(x)=(x-l/m) ks (x) และการทดสอบเพิ่มเติมสามารถทำได้บน s(x) ซึ่งจะลดการคำนวณ
สารละลาย. เมื่อแทนที่ตัวแปร y=2 x แล้ว เราจะไปยังพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1 ที่ระดับสูงสุด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกให้คูณนิพจน์ด้วย 4 หากฟังก์ชันผลลัพธ์มีรากที่เป็นจำนวนเต็ม แสดงว่าฟังก์ชันเหล่านั้นอยู่ในตัวหารของพจน์อิสระ มาจดกัน: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15 ±, ± 20, ± 30, ± 60
ให้เราคำนวณค่าของฟังก์ชัน g(y) ตามลำดับที่จุดเหล่านี้จนกว่าเราจะไปถึงศูนย์ นั่นคือ y=-5 คือรากและดังนั้นจึงเป็นรากของฟังก์ชันดั้งเดิม ให้เราหารพหุนามด้วยทวินามโดยใช้คอลัมน์ (มุม)
ไม่แนะนำให้ตรวจสอบตัวหารที่เหลือต่อไป เนื่องจากจะง่ายกว่าในการแยกตัวประกอบของกำลังสองที่เป็นผลลัพธ์ ดังนั้น
การใช้สูตรคูณแบบย่อและทวินามของนิวตันในการแยกตัวประกอบพหุนามบางครั้ง รูปร่างของพหุนามเสนอวิธีแยกตัวประกอบมัน ตัวอย่างเช่น หลังจากการแปลงอย่างง่าย ค่าสัมประสิทธิ์จะเรียงกันเป็นเส้นตรงจากสามเหลี่ยมปาสคาลสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ทวินามของนิวตัน ตัวอย่าง. แยกตัวประกอบพหุนาม.
สารละลาย. มาแปลงนิพจน์เป็นรูปแบบ: ลำดับของสัมประสิทธิ์ของผลรวมในวงเล็บแสดงให้เห็นชัดเจนว่านี่คือ ดังนั้น ตอนนี้เราใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง: นิพจน์ในวงเล็บที่สองไม่มีรากจริง และสำหรับพหุนามจาก วงเล็บแรก เราใช้สูตรผลต่างของกำลังสองอีกครั้ง
สูตรเวียตนามแสดงค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามผ่านรากของมัน สูตรเหล่านี้สะดวกในการใช้เพื่อตรวจสอบความถูกต้องในการค้นหารากของพหุนาม เช่นเดียวกับการเขียนพหุนามตามรากที่กำหนด สูตร ถ้า เป็นรากของพหุนาม ค่าสัมประสิทธิ์จะแสดงในรูปของพหุนามสมมาตรของราก กล่าวคือ
กล่าวอีกนัยหนึ่ง ak เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของราก k ถ้าสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็นพหุนาม ในการใช้สูตร Vieta จำเป็นต้องหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย 0 ก่อน ในกรณีนี้ สูตร Vieta จะแสดงอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดต่อค่านำหน้า จากสูตรสุดท้ายของเวียตา จะได้ว่าถ้ารากของพหุนามเป็นจำนวนเต็ม ก็จะเป็นตัวหารของพจน์อิสระซึ่งเป็นจำนวนเต็มด้วย การพิสูจน์ดำเนินการโดยการพิจารณาความเท่าเทียมกันที่ได้จากการขยายพหุนามด้วยราก โดยคำนึงว่า a 0 = 1 เมื่อเทียบค่าสัมประสิทธิ์ที่กำลังเท่ากันของ x เราจะได้สูตร Vieta
แก้สมการ x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 คำตอบ ให้เราแสดงว่า y = x 3 จากนั้นสมการดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ y 2 – 5 y + 4 = 0 โดยแก้โจทย์ว่าเราได้รับ Y 1 = 1; Y 2 = 4 ดังนั้น สมการดั้งเดิมจึงเทียบเท่ากับชุดสมการ: x 3 = 1 หรือ x 3 = 4 เช่น X 1 = 1 หรือ X 2 = คำตอบ: 1;
นิยามทฤษฎีบทของเบซูต์ 1. องค์ประกอบจะเรียกว่ารากของพหุนาม ถ้า f(c)=0 ทฤษฎีบทของเบซูต์ ส่วนที่เหลือของการหารพหุนาม Pn(x) ด้วยทวินาม (x-a) จะเท่ากับค่าของพหุนามนี้ที่ x = a การพิสูจน์. โดยอาศัยอัลกอริทึมการหาร f(x)=(xc)q(x)+r(x) โดยที่ r(x)=0 หรือ และด้วยเหตุนี้ ดังนั้น f(x)=(x-c)q(x)+r ดังนั้น f(c)=(c-c)q(c)+r=r และด้วยเหตุนี้ f(x)=(xc)q(x) +f (ค).
ข้อพิสูจน์ที่ 1: ส่วนที่เหลือของการหารพหุนาม Pn (x) ด้วยขวานทวินาม+b เท่ากับค่าของพหุนามนี้ที่ x = -b/a นั่นคือ R=Pn (-b/a) ข้อพิสูจน์ที่ 2: หากตัวเลข a เป็นรากของพหุนาม P (x) พหุนามนี้จะหารด้วย (x-a) ลงตัวโดยไม่มีเศษ ข้อพิสูจน์ที่ 3: ถ้าพหุนาม P(x) มีรากที่แตกต่างกันแบบคู่ a 1 , a 2 , ... , an ก็หารด้วยผลคูณ (x-a 1) ... (x-an) โดยไม่มีเศษเหลือ ข้อพิสูจน์ที่ 4: พหุนามระดับ n มีรากที่ต่างกันมากสุด n ตัว ข้อพิสูจน์ที่ 5: สำหรับพหุนาม P(x) และจำนวน a ผลต่าง (P(x)-P(a)) สามารถหารด้วยทวินาม (x-a) ลงตัวโดยไม่มีเศษ ข้อพิสูจน์ที่ 6: จำนวน a เป็นรากของพหุนาม P(x) ในระดับดีกรีเป็นอย่างน้อยก็ต่อเมื่อ P(x) หารด้วย (x-a) ลงตัวโดยไม่มีเศษ
การสลายตัวของเศษส่วนตรรกยะให้เป็นเศษส่วนอย่างง่าย ให้เราแสดงว่าเศษส่วนตรรกยะใดๆ สามารถสลายเป็นผลรวมของเศษส่วนอย่างง่ายได้ ให้เศษส่วนตรรกยะที่เหมาะสม (1) มาให้
ทฤษฎีบท 1 ให้ x=a เป็นรากของตัวส่วนของความกระชับ k นั่นคือ โดยที่ f(a)≠ 0 แล้วเศษส่วนแท้นี้สามารถแสดงเป็นผลรวมของเศษส่วนอีกสองตัวได้ เศษส่วนที่เหมาะสมดังต่อไปนี้ (2) โดยที่ A เป็นค่าคงที่ไม่เท่ากับศูนย์ และ F 1(x) เป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของตัวส่วน
โดยที่ คือพหุนามซึ่งมีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของตัวส่วน และคล้ายกับสูตรก่อนหน้า คุณจะได้: (5) ฯลฯ มีลักษณะทางการศึกษาทั่วไปและมี ความสำคัญอย่างยิ่งเพื่อศึกษาหลักสูตรคณิตศาสตร์ขั้นสูงทั้งหมด วันนี้เราจะทำซ้ำสมการ "โรงเรียน" แต่ไม่ใช่แค่สมการ "โรงเรียน" แต่สมการที่พบได้ทุกที่ในปัญหา vyshmat ต่างๆ ตามปกติแล้วเรื่องราวจะเล่าในลักษณะประยุกต์ เช่น ฉันจะไม่เน้นที่คำจำกัดความและการจำแนกประเภท แต่จะแบ่งปันกับคุณอย่างแน่นอน ประสบการณ์ส่วนตัวโซลูชั่น ข้อมูลนี้มีไว้สำหรับผู้เริ่มต้นเป็นหลัก แต่ผู้อ่านขั้นสูงจะพบสิ่งต่างๆมากมายสำหรับตนเองเช่นกัน ช่วงเวลาที่น่าสนใจ- และแน่นอนว่าจะมี วัสดุใหม่ก้าวไปไกลกว่านั้น มัธยม.
ดังนั้นสมการ…. หลายคนจำคำนี้ด้วยความสั่นเทา อะไรคือสมการที่ “ซับซ้อน” ที่มีรากที่คุ้มค่า... ...ลืมมันซะ! เพราะแล้วคุณจะได้พบกับ "ตัวแทน" ที่ไม่เป็นอันตรายที่สุดของสายพันธุ์นี้ หรือสมการตรีโกณมิติที่น่าเบื่อพร้อมวิธีแก้โจทย์มากมาย บอกตามตรงว่าฉันไม่ชอบพวกเขาเลยจริงๆ... อย่าตื่นตกใจ! – จากนั้น “แดนดิไลออน” ส่วนใหญ่รอคุณอยู่พร้อมวิธีแก้ปัญหาที่ชัดเจนใน 1-2 ขั้นตอน แม้ว่า "หญ้าเจ้าชู้" จะเกาะติดอย่างแน่นอน แต่คุณต้องมีเป้าหมายที่นี่
น่าแปลกที่ในคณิตศาสตร์ระดับสูงกว่า เป็นเรื่องปกติมากที่จะจัดการกับสมการดั้งเดิมอย่างเช่น เชิงเส้นสมการ
การแก้สมการนี้หมายความว่าอย่างไร? นี่หมายถึงการค้นหาค่าดังกล่าวของ "x" (รูท) ที่จะเปลี่ยนให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง โยน "สาม" ไปทางขวาพร้อมกับเปลี่ยนเครื่องหมาย:
และวาง "สอง" ไปทางด้านขวา (หรือสิ่งเดียวกันคือคูณทั้งสองข้างด้วย)
:
ในการตรวจสอบ ให้เราแทนที่ถ้วยรางวัลที่ชนะไปเป็นสมการดั้งเดิม: 
ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าค่าที่พบนั้นเป็นรากของสมการนี้จริงๆ หรืออย่างที่พวกเขาพูดกันว่าเป็นไปตามสมการนี้
โปรดทราบว่ารากสามารถเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมได้:
และพยายามอย่ายึดติดกับสไตล์ที่ไม่ดีนี้! ฉันพูดเหตุผลซ้ำหลายครั้งโดยเฉพาะในบทเรียนแรกสุด พีชคณิตที่สูงขึ้น.
อย่างไรก็ตามสมการนี้สามารถแก้ไขได้ "เป็นภาษาอาหรับ":
และสิ่งที่น่าสนใจที่สุดคือการบันทึกนี้ถูกกฎหมายอย่างสมบูรณ์! แต่ถ้าคุณไม่ใช่ครูก็อย่าทำแบบนี้ดีกว่า เพราะความคิดริเริ่มมีโทษที่นี่ =)
และตอนนี้เล็กน้อยเกี่ยวกับ
วิธีการแก้ปัญหาแบบกราฟิก
สมการมีรูปแบบและมีรากคือ พิกัด "เอ็กซ์" จุดตัดกัน กราฟฟังก์ชันเชิงเส้นด้วยกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น (แกน x):
ดูเหมือนว่าตัวอย่างจะดูเรียบง่ายจนไม่มีอะไรต้องวิเคราะห์อีกต่อไป แต่คุณสามารถ "บีบ" ความแตกต่างที่ไม่คาดคิดอีกอย่างหนึ่งออกมาได้: มานำเสนอสมการเดียวกันในรูปแบบและสร้างกราฟของฟังก์ชัน: 
โดยที่ โปรดอย่าสับสนทั้งสองแนวคิด: สมการก็คือสมการและ การทำงาน– นี่คือฟังก์ชั่น! ฟังก์ชั่น ช่วยเท่านั้นค้นหารากของสมการ ซึ่งอาจมีสองสามสี่หรือมากมายนับไม่ถ้วน ตัวอย่างที่ใกล้เคียงที่สุดในแง่นี้คือตัวอย่างที่รู้จักกันดี สมการกำลังสองอัลกอริธึมการแก้ปัญหาที่ได้รับย่อหน้าแยกต่างหาก สูตรโรงเรียน "ฮอต"- และนี่ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ! ถ้าแก้สมการกำลังสองได้แล้วจะรู้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสถ้าอย่างนั้น ใครๆ ก็พูดว่า “คณิตศาสตร์ชั้นสูงครึ่งหนึ่งอยู่ในกระเป๋าของคุณแล้ว” =) แน่นอนว่าเกินจริง แต่ก็ไม่ไกลจากความจริงมากนัก!
ดังนั้นอย่าขี้เกียจและแก้สมการกำลังสองโดยใช้ อัลกอริธึมมาตรฐาน:
ซึ่งหมายความว่าสมการมีสองค่าที่แตกต่างกัน ถูกต้องราก: 
ง่ายต่อการตรวจสอบว่าค่าที่พบทั้งสองเป็นไปตามสมการนี้จริง ๆ : 
จะทำอย่างไรถ้าคุณลืมอัลกอริธึมการแก้ปัญหากะทันหัน และไม่มีวิธีการ/ความช่วยเหลือใดๆ เลย? สถานการณ์นี้อาจเกิดขึ้นได้ เช่น ระหว่างการทดสอบหรือการสอบ เราใช้วิธีแบบกราฟิก! และมีสองวิธี: คุณทำได้ สร้างทีละจุดพาราโบลา 
ดังนั้นจึงหาได้ว่าจุดตัดแกนอยู่ที่ไหน (ถ้ามันข้ามเลย)- แต่จะดีกว่าถ้าทำอะไรที่ฉลาดกว่า: ลองจินตนาการถึงสมการในรูปแบบ วาดกราฟของฟังก์ชันที่ง่ายกว่า - และ พิกัด "X"มีจุดตัดที่มองเห็นได้ชัดเจน! 
หากปรากฎว่าเส้นตรงสัมผัสกับพาราโบลา สมการนั้นจะมีรากที่ตรงกัน (หลายค่า) สองราก หากปรากฎว่าเส้นตรงไม่ตัดพาราโบลา แสดงว่าไม่มีรากที่แท้จริง
แน่นอนว่าคุณต้องสามารถสร้างได้เพื่อจะทำสิ่งนี้ได้ กราฟของฟังก์ชันเบื้องต้นแต่ในทางกลับกัน แม้แต่เด็กนักเรียนก็สามารถทำทักษะเหล่านี้ได้
และอีกครั้ง - สมการก็คือสมการ และฟังก์ชัน ก็คือฟังก์ชันนั้น เพิ่งช่วยแก้สมการ!
และตรงนี้ เป็นการเหมาะสมที่จะจำอีกสิ่งหนึ่ง: ถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการคูณด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ รากของมันจะไม่เปลี่ยนแปลง.
ตัวอย่างเช่นสมการ 
มีรากเดียวกัน เพื่อเป็นการ "พิสูจน์" ง่ายๆ ฉันจะนำค่าคงที่ออกจากวงเล็บ: 
และฉันจะลบมันออกอย่างไม่ลำบาก (ผมจะหารทั้งสองส่วนด้วย “ลบสอง”):
แต่!หากเราคำนึงถึงฟังก์ชัน 
ถ้าอย่างนั้นคุณจะไม่สามารถกำจัดค่าคงที่ได้ที่นี่! อนุญาตให้นำตัวคูณออกจากวงเล็บเท่านั้น: 
.
หลายๆ คนดูถูกดูแคลนวิธีการแก้ปัญหาแบบกราฟิก โดยพิจารณาว่าเป็นสิ่งที่ "ไม่น่าเชื่อถือ" และบางคนถึงกับลืมความเป็นไปได้นี้ไปเลย และนี่เป็นความผิดโดยพื้นฐาน เนื่องจากบางครั้งการลงจุดกราฟก็ช่วยสถานการณ์ได้!
อีกตัวอย่างหนึ่ง: สมมติว่าคุณจำรากของสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดไม่ได้: สูตรทั่วไปอยู่ใน หนังสือเรียนของโรงเรียนในหนังสืออ้างอิงเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาทุกเล่ม แต่ไม่มีให้คุณเลือก อย่างไรก็ตาม การแก้สมการถือเป็นสิ่งสำคัญ (หรือที่เรียกว่า "สอง") มีทางออก! – สร้างกราฟของฟังก์ชัน: 
หลังจากนั้นเราก็จดพิกัด "X" ของจุดตัดกันอย่างใจเย็น: 
มีรากมากมายนับไม่ถ้วนและสัญกรณ์ย่อของมันเป็นที่ยอมรับในพีชคณิต:
, ที่ไหน ( – ชุดของจำนวนเต็ม)
.
และโดยไม่ต้อง "หายไป" คำสองสามคำเกี่ยวกับวิธีการแบบกราฟิกในการแก้ไขอสมการด้วยตัวแปรตัวเดียว หลักการก็เหมือนกัน ตัวอย่างเช่น ผลเฉลยของอสมการคือ "x" ใดๆ เพราะ ไซนัสอยด์อยู่ใต้เส้นตรงเกือบทั้งหมด การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันคือชุดของช่วงเวลาที่ชิ้นส่วนของไซนัสอยด์อยู่เหนือเส้นตรงอย่างเคร่งครัด (แกน x):
หรือกล่าวโดยย่อ:
แต่ต่อไปนี้เป็นวิธีแก้ไขปัญหาความไม่เท่าเทียมกันหลายประการ: ว่างเปล่าเนื่องจากไม่มีจุดของไซนัสอยด์อยู่เหนือเส้นตรง
มีอะไรที่คุณไม่เข้าใจบ้างไหม? รีบศึกษาบทเรียนเกี่ยวกับ ชุดและ กราฟฟังก์ชัน!
มาอุ่นเครื่องกันเถอะ:
แบบฝึกหัดที่ 1
แก้สมการตรีโกณมิติต่อไปนี้แบบกราฟิก:
คำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
อย่างที่คุณเห็นเพื่อศึกษา วิทยาศาสตร์ที่แน่นอนไม่จำเป็นเลยที่จะต้องอัดสูตรและหนังสืออ้างอิง! ยิ่งไปกว่านั้น นี่เป็นแนวทางที่มีข้อบกพร่องโดยพื้นฐาน
ตามที่ฉันได้ให้ความมั่นใจกับคุณแล้วตั้งแต่เริ่มบทเรียน สมการตรีโกณมิติที่ซับซ้อนในหลักสูตรมาตรฐานของคณิตศาสตร์ขั้นสูงนั้นแทบจะไม่ได้รับการแก้ไขเลย ตามกฎแล้วความซับซ้อนทั้งหมดจะจบลงด้วยสมการเช่น การแก้โจทย์คือรากสองกลุ่มที่เกิดจากสมการที่ง่ายที่สุดและ 
- อย่ากังวลมากเกินไปเกี่ยวกับการแก้ปัญหาอย่างหลัง – ดูในหนังสือหรือค้นหาบนอินเทอร์เน็ต =)
วิธีการแก้ปัญหาแบบกราฟิกสามารถช่วยได้ในกรณีที่ไม่สำคัญมากนัก ลองพิจารณาสมการ "ragtag" ต่อไปนี้:
โอกาสในการแก้ไขปัญหาดู... ไม่เหมือนอะไรเลย แต่คุณแค่ต้องจินตนาการถึงสมการในรูปแบบ สร้าง กราฟฟังก์ชันและทุกอย่างจะกลายเป็นเรื่องง่ายอย่างไม่น่าเชื่อ มีภาพวาดอยู่ตรงกลางบทความเกี่ยวกับ ฟังก์ชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด (จะเปิดในแท็บถัดไป).
เมื่อใช้วิธีการกราฟิกแบบเดียวกันคุณจะพบว่าสมการมีสองรากอยู่แล้วและหนึ่งในนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์และอีกอันเห็นได้ชัดว่า ไม่มีเหตุผลและอยู่ในกลุ่ม รูทนี้สามารถคำนวณได้โดยประมาณ เช่น วิธีการแทนเจนต์- อย่างไรก็ตามในปัญหาบางอย่างมันเกิดขึ้นโดยที่คุณไม่จำเป็นต้องค้นหาราก แต่ค้นหาให้เจอ พวกมันมีอยู่จริงหรือเปล่า?- และที่นี่การวาดภาพก็ช่วยได้เช่นกัน - หากกราฟไม่ตัดกันแสดงว่าไม่มีราก
รากตรรกยะของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม
แผนการของฮอร์เนอร์
และตอนนี้ฉันขอเชิญชวนคุณให้จ้องมองไปที่ยุคกลางและสัมผัสบรรยากาศที่เป็นเอกลักษณ์ของพีชคณิตคลาสสิก เพื่อความเข้าใจเนื้อหาที่ดีขึ้น ฉันขอแนะนำให้คุณอ่านอย่างน้อยสักเล็กน้อย จำนวนเชิงซ้อน.
พวกเขาดีที่สุด. พหุนาม
เป้าหมายที่เราสนใจคือพหุนามที่พบบ่อยที่สุดในรูปแบบด้วย ทั้งหมดค่าสัมประสิทธิ์ จำนวนธรรมชาติเรียกว่า องศาของพหุนาม, จำนวน – สัมประสิทธิ์ระดับสูงสุด (หรือเพียงค่าสัมประสิทธิ์สูงสุด)และสัมประสิทธิ์คือ สมาชิกฟรี.
ผมจะเขียนแทนพหุนามนี้สั้นๆ ด้วย
รากของพหุนามเรียกรากของสมการ
ฉันชอบตรรกะเหล็ก =)
ตัวอย่างเช่น ไปที่ตอนต้นของบทความ: 
ไม่มีปัญหาในการค้นหารากของพหุนามของดีกรีที่ 1 และ 2 แต่เมื่อคุณเพิ่มขึ้น งานนี้ก็จะยากขึ้นเรื่อยๆ แม้ว่าในทางกลับกันทุกอย่างจะน่าสนใจยิ่งขึ้น! และนั่นคือสิ่งที่ส่วนที่สองของบทเรียนจะทุ่มเทให้กับสิ่งนี้
ขั้นแรก ครึ่งหน้าจอของทฤษฎี:
1) ตามข้อพิสูจน์ ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต, พหุนามดีกรีมีแน่นอน ซับซ้อนราก. รากบางส่วน (หรือทั้งหมด) อาจมีสาเหตุเป็นพิเศษ ถูกต้อง- ยิ่งไปกว่านั้น ในบรรดารากที่แท้จริงอาจมีรากที่เหมือนกัน (หลายราก) (ขั้นต่ำสองชิ้นสูงสุด).
ถ้าจำนวนเชิงซ้อนเป็นรากของพหุนามแล้ว ผันจำนวนของมันก็ต้องเป็นรากของพหุนามนี้ด้วย (รากเชิงซ้อนคอนจูเกตมีรูปแบบ ).
ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดเป็นสมการกำลังสองที่ปรากฏครั้งแรกในเลข 8 (ชอบ)และในที่สุดเราก็ "จบ" ในหัวข้อนี้แล้ว จำนวนเชิงซ้อน- ฉันขอเตือนคุณว่า สมการกำลังสองมีทั้งรากจริงที่แตกต่างกันสองตัว หรือหลายราก หรือรากที่ซับซ้อนรวมกัน
2) จาก ทฤษฎีบทของเบซูต์ตามมาว่าหากตัวเลขเป็นรากของสมการ พหุนามที่สอดคล้องกันก็สามารถแยกตัวประกอบได้:
โดยที่พหุนามของดีกรีคือ
และขอย้ำอีกครั้ง ตัวอย่างเก่าของเรา เนื่องจาก คือรากของสมการ แล้ว . หลังจากนั้นการได้รับการขยาย "โรงเรียน" อันโด่งดังก็ไม่ใช่เรื่องยาก
ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของ Bezout มีมากมาย คุณค่าทางปฏิบัติ: ถ้าเรารู้รากของสมการระดับที่ 3 เราก็สามารถแทนมันได้ในรูปแบบ 
และจาก สมการกำลังสองมันง่ายที่จะจดจำรากที่เหลือ ถ้าเรารู้รากของสมการระดับที่ 4 ก็เป็นไปได้ที่จะขยายด้านซ้ายเป็นผลคูณได้ เป็นต้น
และมีคำถามสองข้อที่นี่:
คำถามที่หนึ่ง- จะหารากนี้ได้อย่างไร? ก่อนอื่น เรามานิยามธรรมชาติของมันกันดีกว่า: จำเป็นต้องค้นหาในปัญหาต่างๆ ของคณิตศาสตร์ชั้นสูง มีเหตุผล, โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทั้งหมดรากของพหุนามและในเรื่องนี้เราจะสนใจพวกมันเป็นหลัก.... ...มันนุ่มฟูดีจนคุณอยากจะไปหามัน! -
สิ่งแรกที่นึกถึงคือวิธีการเลือก พิจารณาตัวอย่างสมการ การจับที่นี่อยู่ในเงื่อนไขอิสระ - ถ้ามันเท่ากับศูนย์ทุกอย่างก็จะดี - เราเอา "X" ออกจากวงเล็บและรากเองก็ "หลุด" ขึ้นสู่ผิวน้ำ: 
แต่เงื่อนไขอิสระของเราเท่ากับ "สาม" ดังนั้นเราจึงเริ่มแทนที่ตัวเลขต่างๆ ลงในสมการที่อ้างว่าเป็น "ราก" ประการแรกการทดแทนค่าเดี่ยวจะแนะนำตัวเอง มาทดแทนกัน: 
ได้รับ ไม่ถูกต้องความเสมอภาคจึงทำให้หน่วย “ไม่พอดี” โอเค เรามาแทนที่กัน: 
ได้รับ จริงความเท่าเทียมกัน! นั่นคือค่าคือรากของสมการนี้
การหารากของพหุนามระดับ 3 มีอยู่ วิธีการวิเคราะห์ (ที่เรียกว่าสูตรคาร์ดาโน)แต่ตอนนี้เราสนใจงานที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย
เนื่องจาก – เป็นรากของพหุนามของเรา พหุนามจึงสามารถแสดงอยู่ในรูปแบบและเกิดขึ้นได้ คำถามที่สอง: จะหา “น้องชาย” ได้อย่างไร?
ข้อควรพิจารณาเกี่ยวกับพีชคณิตที่ง่ายที่สุดแนะนำว่า การทำเช่นนี้เราต้องหารด้วย จะหารพหุนามด้วยพหุนามได้อย่างไร? เดียวกัน วิธีการของโรงเรียนซึ่งใช้ในการหารจำนวนสามัญ - ใน "คอลัมน์"! วิธีการนี้ฉัน ในรายละเอียดเพิ่มเติมกล่าวถึงในตัวอย่างแรกของบทเรียน ขีดจำกัดที่ซับซ้อนและตอนนี้เราจะมาดูวิธีอื่นที่เรียกว่า แผนการของฮอร์เนอร์.
ก่อนอื่นเราเขียนพหุนาม "สูงสุด" กับทุกคน
รวมถึงค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์:
หลังจากนั้นเราจะป้อนค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ (ตามลำดับอย่างเคร่งครัด) ลงในแถวบนสุดของตาราง:
เราเขียนรูททางด้านซ้าย:
ฉันจะจองทันทีว่าแผนของฮอร์เนอร์ใช้ได้หากหมายเลข "สีแดง" ไม่คือรากของพหุนาม อย่างไรก็ตาม อย่าเพิ่งรีบร้อนไป
เราลบค่าสัมประสิทธิ์นำออกจากด้านบน:
กระบวนการเติมเซลล์ด้านล่างค่อนข้างชวนให้นึกถึงการเย็บปักถักร้อยโดยที่ "ลบหนึ่ง" คือ "เข็ม" ชนิดหนึ่งที่แทรกซึมในขั้นตอนต่อไป เราคูณตัวเลข "ยกยอด" ด้วย (–1) และเพิ่มตัวเลขจากเซลล์บนสุดไปยังผลิตภัณฑ์:
เราคูณค่าที่พบด้วย "เข็มสีแดง" และเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์สมการต่อไปนี้ให้กับผลิตภัณฑ์:
และในที่สุดค่าผลลัพธ์จะถูก "ประมวลผล" อีกครั้งด้วย "เข็ม" และค่าสัมประสิทธิ์ด้านบน:
ศูนย์ในเซลล์สุดท้ายบอกเราว่าพหุนามถูกแบ่งออกเป็น ไร้ร่องรอย (ตามที่ควรจะเป็น)ในขณะที่ค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวถูก "ลบ" โดยตรงจากบรรทัดล่างสุดของตาราง:
ดังนั้นเราจึงย้ายจากสมการไปเป็นสมการที่เทียบเท่ากัน และทุกอย่างชัดเจนด้วยรากที่เหลืออีกสองตัว (วี ในกรณีนี้เราได้รากที่ซับซ้อนคอนจูเกต).
สมการนี้ยังสามารถแก้ไขได้แบบกราฟิก: พล็อต "ฟ้าผ่า" 
และดูว่ากราฟตัดผ่านแกน x ()
ณ จุด หรือเคล็ดลับ "ฉลาดแกมโกง" แบบเดียวกัน - เราเขียนสมการใหม่ในรูปแบบวาด กราฟิกเบื้องต้นและตรวจจับพิกัด “X” ของจุดตัดกัน
อย่างไรก็ตาม กราฟของฟังก์ชันพหุนามดีกรีสามใดๆ ตัดกับแกนอย่างน้อยหนึ่งครั้ง ซึ่งหมายความว่าสมการที่เกี่ยวข้องมี อย่างน้อยหนึ่ง ถูกต้องราก. ข้อเท็จจริงนี้ใช้ได้กับฟังก์ชันพหุนามใดๆ ที่มีดีกรีคี่
และที่นี่ฉันก็อยากจะอยู่ต่อไปด้วย จุดสำคัญ ซึ่งเกี่ยวข้องกับคำศัพท์: พหุนามและ ฟังก์ชันพหุนาม – มันไม่เหมือนกัน- แต่ในทางปฏิบัติพวกเขามักจะพูดถึงเกี่ยวกับ "กราฟของพหุนาม" ซึ่งแน่นอนว่าเป็นความประมาทเลินเล่อ
อย่างไรก็ตาม กลับมาที่แผนการของฮอร์เนอร์กันดีกว่า ดังที่ได้กล่าวไปเมื่อเร็ว ๆ นี้ รูปแบบนี้ใช้ได้กับตัวเลขอื่น ๆ แต่ถ้าเป็นตัวเลข ไม่คือรากของสมการ จากนั้นการบวกที่ไม่เป็นศูนย์ (เศษที่เหลือ) จะปรากฏในสูตรของเรา:
มา "ดำเนินการ" ค่า "ไม่สำเร็จ" ตามแผนของฮอร์เนอร์กันดีกว่า ในกรณีนี้สะดวกที่จะใช้ตารางเดียวกัน - เขียน "เข็ม" ใหม่ทางด้านซ้ายเลื่อนค่าสัมประสิทธิ์นำจากด้านบน (ลูกศรสีเขียวซ้าย)และเราไปกัน: 
หากต้องการตรวจสอบ ให้เปิดวงเล็บและนำเสนอคำที่คล้ายกัน:
, ตกลง.
สังเกตได้ง่ายว่าเศษที่เหลือ ("หก") เป็นค่าของพหุนามที่ และในความเป็นจริง - มันเป็นอย่างไร: 
และดียิ่งกว่า - เช่นนี้:
จากการคำนวณข้างต้น เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจว่ารูปแบบของฮอร์เนอร์ไม่เพียงแต่ช่วยให้แยกตัวประกอบพหุนามเท่านั้น แต่ยังช่วยดำเนินการเลือกรากแบบ "อารยะ" อีกด้วย ฉันขอแนะนำให้คุณรวมอัลกอริธึมการคำนวณเข้ากับงานเล็ก ๆ ด้วยตัวคุณเอง:
ภารกิจที่ 2
ใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์ หารากจำนวนเต็มของสมการและแยกตัวประกอบพหุนามที่สอดคล้องกัน
กล่าวอีกนัยหนึ่ง ที่นี่คุณจะต้องตรวจสอบตัวเลข 1, –1, 2, –2, ... – ตามลำดับจนกระทั่งมีการ “ดึง” เศษเป็นศูนย์ในคอลัมน์สุดท้าย นี่จะหมายความว่า "เข็ม" ของเส้นนี้คือรากของพหุนาม
สะดวกในการจัดเรียงการคำนวณไว้ในตารางเดียว วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดและคำตอบท้ายบทเรียน
วิธีการเลือกรากนั้นดีสำหรับกรณีที่ค่อนข้างง่าย แต่หากค่าสัมประสิทธิ์และ/หรือดีกรีของพหุนามมีขนาดใหญ่ กระบวนการนี้อาจใช้เวลานาน หรืออาจมีบางค่าจากรายการเดียวกัน 1, –1, 2, –2 และไม่มีประเด็นให้พิจารณา? นอกจากนี้รากอาจกลายเป็นเศษส่วนซึ่งจะนำไปสู่การเจาะที่ไม่เป็นไปตามหลักวิทยาศาสตร์โดยสิ้นเชิง
โชคดีที่มีทฤษฎีบทอันทรงพลังสองทฤษฎีที่สามารถลดการค้นหาค่า "ผู้สมัคร" เพื่อหารากที่มีเหตุผลได้อย่างมาก:
ทฤษฎีบท 1ลองพิจารณาดู ลดไม่ได้เศษส่วน ที่ไหน . ถ้าตัวเลขคือรากของสมการ เทอมอิสระจะถูกหารด้วย และค่าสัมประสิทธิ์นำจะถูกหารด้วย
โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าคือ ดังนั้นรากเหตุผลนี้จะเป็นจำนวนเต็ม:
และเราเริ่มใช้ประโยชน์จากทฤษฎีบทด้วยรายละเอียดที่น่าสนใจนี้:
ลองกลับไปสู่สมการ เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าคือ ดังนั้นรากตรรกศาสตร์สมมุติจึงสามารถเป็นจำนวนเต็มได้โดยเฉพาะ และเทอมอิสระจะต้องถูกแบ่งออกเป็นรากเหล่านี้โดยไม่มีเศษเหลือ และ “สาม” สามารถแบ่งออกเป็น 1, –1, 3 และ –3 เท่านั้น นั่นคือเรามี "ผู้สมัครรูท" เพียง 4 คนเท่านั้น และตาม ทฤษฎีบท 1จำนวนตรรกยะอื่นๆ ไม่สามารถเป็นรากของสมการในหลักการนี้ได้
มี "ผู้เข้าแข่งขัน" อีกเล็กน้อยในสมการ: เงื่อนไขอิสระแบ่งออกเป็น 1, –1, 2, – 2, 4 และ –4
โปรดทราบว่าตัวเลข 1, –1 คือ "ขาประจำ" ของรายการรากที่เป็นไปได้ (ผลที่ตามมาชัดเจนของทฤษฎีบท)และส่วนใหญ่ ทางเลือกที่ดีที่สุดเพื่อตรวจสอบลำดับความสำคัญ
เรามาดูตัวอย่างที่มีความหมายเพิ่มเติมกันดีกว่า:
ปัญหา 3
สารละลาย: เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์นำคือ ดังนั้นรากตรรกศาสตร์สมมุติจึงสามารถเป็นจำนวนเต็มได้เท่านั้น และจำเป็นต้องเป็นตัวหารของพจน์อิสระด้วย “ลบสี่สิบ” แบ่งออกเป็นคู่ตัวเลขดังต่อไปนี้:
– มีผู้สมัครทั้งหมด 16 คน
และที่นี่ความคิดที่น่าดึงดูดก็ปรากฏขึ้นทันที: เป็นไปได้ไหมที่จะกำจัดรากเชิงลบทั้งหมดหรือรากที่เป็นบวกทั้งหมดออกไป? ในบางกรณีก็เป็นไปได้! ฉันจะกำหนดสัญญาณสองประการ:
1) ถ้า ทั้งหมดหากสัมประสิทธิ์ของพหุนามไม่เป็นลบ ก็จะไม่สามารถมีรากที่เป็นบวกได้ น่าเสียดายที่นี่ไม่ใช่กรณีของเรา (ทีนี้ หากเราได้รับสมการ - ใช่ เมื่อแทนค่าใดๆ ของพหุนาม ค่าของพหุนามจะเป็นค่าบวกอย่างเคร่งครัด ซึ่งหมายความว่าจำนวนบวกทั้งหมด (และคนไร้เหตุผลด้วย)ไม่สามารถเป็นรากของสมการได้
2) ถ้าสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังคี่ไม่เป็นลบ และสำหรับกำลังคู่ทั้งหมด (รวมถึงสมาชิกฟรีด้วย)เป็นลบ ดังนั้นพหุนามจึงไม่สามารถมีรากเป็นลบได้ นี่เป็นกรณีของเรา! เมื่อมองให้ใกล้ขึ้นอีกนิด คุณจะเห็นว่าเมื่อแทนค่าลบ “X” ใดๆ ลงในสมการ ทางด้านซ้ายมือจะเป็นค่าลบอย่างเคร่งครัด ซึ่งหมายความว่ารากที่เป็นค่าลบจะหายไป
จึงเหลือตัวเลขให้ศึกษาอีก 8 ตัว คือ
เรา "เรียกเก็บเงิน" พวกเขาตามลำดับตามแผนการของฮอร์เนอร์ ฉันหวังว่าคุณจะเชี่ยวชาญการคำนวณทางจิตแล้ว: 
โชครอเราอยู่เมื่อทดสอบ "สอง" จึงเป็นรากของสมการที่อยู่ระหว่างการพิจารณา และ
มันยังคงต้องศึกษาสมการ 
- นี่เป็นเรื่องง่ายที่จะทำผ่านการเลือกปฏิบัติ แต่ฉันจะทำการทดสอบบ่งชี้โดยใช้รูปแบบเดียวกัน ประการแรก ให้เราทราบว่าเงื่อนไขอิสระมีค่าเท่ากับ 20 ซึ่งหมายถึง ทฤษฎีบท 1หมายเลข 8 และ 40 หลุดออกจากรายการรากที่เป็นไปได้โดยทิ้งค่าไว้สำหรับการวิจัย (หนึ่งถูกกำจัดตามแผนการของฮอร์เนอร์).
เราเขียนสัมประสิทธิ์ของตรีโกณมิติไว้ที่บรรทัดบนสุด ตารางใหม่และ เราเริ่มตรวจสอบด้วย "สอง" เดียวกัน- ทำไม และเนื่องจากรากสามารถเป็นทวีคูณได้ โปรด: - สมการนี้มีรากที่เหมือนกัน 10 ราก แต่อย่าฟุ้งซ่าน: 
และที่นี่ แน่นอน ฉันกำลังโกหกอยู่นิดหน่อย โดยรู้ว่ารากนั้นมีเหตุผล ท้ายที่สุดแล้ว หากพวกมันไม่มีเหตุผลหรือซับซ้อน ฉันคงต้องเผชิญกับการตรวจสอบตัวเลขที่เหลือทั้งหมดไม่สำเร็จ ดังนั้นในทางปฏิบัติควรได้รับคำแนะนำจากผู้เลือกปฏิบัติ
คำตอบ: รากตรรกยะ: 2, 4, 5
ในปัญหาที่เราวิเคราะห์ เราโชคดีเพราะ: ก) ค่าลบลดลงทันที และ b) เราพบรากอย่างรวดเร็ว (และตามทฤษฎีแล้ว เราสามารถตรวจสอบรายการทั้งหมดได้)
แต่ในความเป็นจริงสถานการณ์เลวร้ายกว่ามาก เชิญรับชมได้เลยครับ เกมที่น่าตื่นเต้นมีสิทธิ์ " ฮีโร่คนสุดท้าย»:
ปัญหาที่ 4
ค้นหารากตรรกยะของสมการ
สารละลาย: โดย ทฤษฎีบท 1ตัวเศษของรากตรรกศาสตร์สมมุติต้องเป็นไปตามเงื่อนไข (เราอ่านว่า “สิบสองหารด้วยเอล”)และตัวส่วน – ตามเงื่อนไข จากนี้ เราได้รับสองรายการ:
"รายการเอล":
และ "รายการอืม": (โชคดีที่ตัวเลขตรงนี้เป็นธรรมชาติ).
ตอนนี้เรามาสร้างรายการรากที่เป็นไปได้ทั้งหมดกัน ขั้นแรก เราแบ่ง "el list" ด้วย เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่าจะได้ตัวเลขเดียวกัน เพื่อความสะดวก ให้ใส่ไว้ในตาราง:
เศษส่วนลดลงไปมากส่งผลให้มีค่าอยู่ใน “รายชื่อฮีโร่” อยู่แล้ว เราเพิ่มเฉพาะ "มือใหม่": 
ในทำนองเดียวกัน เราแบ่ง "รายการ" เดียวกันตาม: 
และในที่สุดก็ดำเนินต่อไป
ดังนั้นทีมผู้เข้าร่วมในเกมของเราจึงเสร็จสมบูรณ์: 
น่าเสียดายที่พหุนามในปัญหานี้ไม่เป็นไปตามเกณฑ์ "บวก" หรือ "ลบ" ดังนั้นเราจึงไม่สามารถละทิ้งแถวบนหรือล่างได้ คุณจะต้องทำงานกับตัวเลขทั้งหมด
คุณรู้สึกอย่างไร? เอาน่า เงยหน้าขึ้นมา - มีอีกทฤษฎีบทหนึ่งที่สามารถเรียกได้ว่าเป็น "ทฤษฎีบทนักฆ่า" ในเชิงเปรียบเทียบ…. ...“ผู้สมัคร” แน่นอน =)
แต่ก่อนอื่น คุณต้องเลื่อนดูแผนภาพของฮอร์เนอร์อย่างน้อยหนึ่งรายการ ทั้งหมดนี้ตัวเลข ตามเนื้อผ้าเรามาลองดูกัน ในบรรทัดบนสุด เราเขียนสัมประสิทธิ์ของพหุนามและทุกอย่างจะเป็นปกติ:
เนื่องจากเห็นได้ชัดว่าสี่ไม่ใช่ศูนย์ ค่าจึงไม่ใช่รากของพหุนามที่ต้องการ แต่เธอจะช่วยเราได้มาก
ทฤษฎีบท 2ถ้าสำหรับบางคน โดยทั่วไปค่าของพหุนามไม่เป็นศูนย์: จากนั้นรากที่เป็นตรรกยะของมัน (ถ้าเป็น)เป็นไปตามเงื่อนไข
ในกรณีของเราและดังนั้นรากที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข (ขอเรียกว่าเงื่อนไขที่ 1)- ทั้งสี่คนนี้จะเป็น "นักฆ่า" ของ "ผู้สมัคร" หลายคน เพื่อเป็นการสาธิต ฉันจะดูการตรวจสอบบางอย่าง:
มาตรวจสอบ "ผู้สมัคร" กันดีกว่า ในการทำเช่นนี้ ให้เรานำเสนอมันในรูปแบบของเศษส่วนซึ่งเห็นได้ชัดเจนว่า . มาคำนวณผลต่างการทดสอบ: สี่หารด้วย "ลบสอง": ซึ่งหมายความว่ารูตที่เป็นไปได้ผ่านการทดสอบแล้ว
มาเช็คค่ากัน ความแตกต่างในการทดสอบคือ: 
- แน่นอน ดังนั้น “หัวเรื่อง” ที่สองจึงยังคงอยู่ในรายการด้วย
เมื่อแก้สมการและอสมการ มักจำเป็นต้องแยกตัวประกอบพหุนามที่มีดีกรีเป็น 3 หรือสูงกว่า ในบทความนี้เราจะดูวิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้
ตามปกติเราจะหันไปหาทฤษฎีเพื่อขอความช่วยเหลือ
ทฤษฎีบทของเบซูต์ระบุว่าส่วนที่เหลือเมื่อหารพหุนามด้วยทวินามคือ
แต่สิ่งที่สำคัญสำหรับเราไม่ใช่ทฤษฎีบท แต่เป็น ข้อพิสูจน์จากมัน:
ถ้าตัวเลขเป็นรากของพหุนาม พหุนามก็จะหารด้วยทวินามลงตัวโดยไม่มีเศษ
เรากำลังเผชิญกับภารกิจในการค้นหารากของพหุนามอย่างน้อยหนึ่งราก จากนั้นจึงหารพหุนามด้วย โดยที่รากของพหุนามอยู่ที่ไหน เป็นผลให้เราได้พหุนามซึ่งมีดีกรีน้อยกว่าดีกรีดั้งเดิมหนึ่งอัน จากนั้นหากจำเป็นคุณสามารถทำซ้ำได้
งานนี้แบ่งออกเป็นสอง: วิธีค้นหารากของพหุนาม และวิธีหารพหุนามด้วยทวินาม.
ลองมาดูประเด็นเหล่านี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้น
1. วิธีค้นหารากของพหุนาม
ขั้นแรก เราตรวจสอบว่าตัวเลข 1 และ -1 เป็นรากของพหุนามหรือไม่
ข้อเท็จจริงต่อไปนี้จะช่วยเราได้ที่นี่:
ถ้าผลรวมของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามเป็นศูนย์ ตัวเลขนั้นก็จะเป็นรากของพหุนาม
ตัวอย่างเช่น ในพหุนาม ผลรวมของสัมประสิทธิ์จะเป็นศูนย์: เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่ารากของพหุนามคืออะไร
ถ้าผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่กำลังเลขคู่ เท่ากับผลรวมของสัมประสิทธิ์ที่กำลังเลขคี่ แล้วตัวเลขดังกล่าวจะเป็นรากของพหุนามเทอมอิสระถือเป็นค่าสัมประสิทธิ์ที่ แม้แต่ปริญญาเนื่องจาก a เป็นจำนวนคู่
ตัวอย่างเช่น ในพหุนาม ผลรวมของสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังคู่คือ: และผลรวมของสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังคี่คือ: เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่ารากของพหุนามคืออะไร
ถ้าทั้ง 1 และ -1 ไม่ใช่รากของพหุนาม เราก็ไปต่อ
สำหรับพหุนามแบบรีดิวซ์ของดีกรี (นั่นคือ พหุนามที่สัมประสิทธิ์นำหน้า - สัมประสิทธิ์ที่ - เท่ากับเอกภาพ) สูตร Vieta ใช้ได้:
รากของพหุนามอยู่ที่ไหน
นอกจากนี้ยังมีสูตรเวียตต้าเกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ที่เหลืออยู่ของพหุนาม แต่เราสนใจสูตรนี้
จากสูตรเวียตต้านี้จึงเป็นไปตามนั้น ถ้ารากของพหุนามเป็นจำนวนเต็ม พวกมันก็จะเป็นตัวหารของพจน์อิสระ ซึ่งก็คือจำนวนเต็มด้วย
บนพื้นฐานนี้ เราจำเป็นต้องแยกตัวประกอบเทอมอิสระของพหุนามเป็นปัจจัย และตามลำดับจากน้อยไปมาก ให้ตรวจสอบว่าปัจจัยใดที่เป็นรากของพหุนาม
ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาพหุนาม
ตัวหารของคำอิสระ: ; -
-
ผลรวมของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามเท่ากับ ดังนั้น จำนวน 1 จึงไม่ใช่รากของพหุนาม
ผลรวมของสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังคู่:
ผลรวมของสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังคี่:
ดังนั้น ตัวเลข -1 จึงไม่ใช่รากของพหุนามด้วย
ตรวจสอบว่าหมายเลข 2 เป็นรากของพหุนามหรือไม่ ดังนั้น หมายเลข 2 จึงเป็นรากของพหุนาม ซึ่งหมายความว่า ตามทฤษฎีบทของเบซูต์ พหุนามสามารถหารด้วยทวินามได้โดยไม่มีเศษ
2. วิธีหารพหุนามให้เป็นทวินาม
พหุนามสามารถแบ่งออกเป็นทวินามได้ด้วยคอลัมน์
มีอีกวิธีหนึ่งในการหารพหุนามด้วยทวินาม - แบบแผนของฮอร์เนอร์
ชมวิดีโอนี้เพื่อทำความเข้าใจ วิธีหารพหุนามด้วยทวินามด้วยคอลัมน์ และใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์
ฉันสังเกตว่าหากหารด้วยคอลัมน์ ระดับของสิ่งที่ไม่ทราบหายไปในพหุนามดั้งเดิม เราจะเขียน 0 ในตำแหน่งนั้น - เช่นเดียวกับเมื่อรวบรวมตารางสำหรับโครงร่างของ Horner
ดังนั้น หากเราต้องหารพหุนามด้วยทวินามและผลจากการหารทำให้เราได้พหุนาม เราก็สามารถหาค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามได้โดยใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์:
เรายังสามารถใช้ได้ แผนการของฮอร์เนอร์เพื่อตรวจสอบว่าใช่หรือไม่ หมายเลขที่กำหนดรากของพหุนาม: หากตัวเลขเป็นรากของพหุนาม ส่วนที่เหลือเมื่อหารพหุนามด้วยจะเท่ากับศูนย์ นั่นคือในคอลัมน์สุดท้ายของแถวที่สองของโครงร่างของฮอร์เนอร์เราจะได้ 0
โดยใช้แผนของฮอร์เนอร์ เรา "ฆ่านกสองตัวด้วยหินนัดเดียว": เราตรวจสอบพร้อมกันว่าตัวเลขนั้นเป็นรากของพหุนามหรือไม่ และหารพหุนามนี้ด้วยทวินาม
ตัวอย่าง.แก้สมการ:
1. ลองเขียนตัวหารของเทอมอิสระแล้วค้นหารากของพหุนามจากตัวหารของเทอมอิสระ
ตัวหารของ 24:
2. ลองตรวจสอบว่าหมายเลข 1 เป็นรากของพหุนามหรือไม่
ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพหุนาม ดังนั้น เลข 1 จึงเป็นรากของพหุนาม
3. แบ่งพหุนามดั้งเดิมออกเป็นทวินามโดยใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์
A) ลองเขียนค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามดั้งเดิมลงในแถวแรกของตาราง
เนื่องจากคำที่มีหายไปในคอลัมน์ของตารางที่ควรเขียนสัมประสิทธิ์เราจึงเขียน 0 ทางด้านซ้ายเราเขียนรูทที่พบ: หมายเลข 1
B) กรอกข้อมูลในแถวแรกของตาราง
ในคอลัมน์สุดท้าย ตามที่คาดไว้ เราได้ศูนย์ เราหารพหุนามเดิมด้วยทวินามโดยไม่มีเศษ ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่เกิดจากการหารจะแสดงเป็นสีน้ำเงินในแถวที่สองของตาราง:
เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าตัวเลข 1 และ -1 ไม่ใช่รากของพหุนาม
B) เรามาต่อตารางกัน ตรวจสอบว่าหมายเลข 2 เป็นรากของพหุนามหรือไม่:
ดังนั้นระดับของพหุนามซึ่งได้มาจากการหารด้วยหนึ่งจึงน้อยกว่าระดับของพหุนามดั้งเดิม ดังนั้นจำนวนสัมประสิทธิ์และจำนวนคอลัมน์จึงน้อยกว่าหนึ่งคอลัมน์
ในคอลัมน์สุดท้าย เราได้ -40 ซึ่งเป็นตัวเลขที่ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น พหุนามจึงหารด้วยทวินามด้วยเศษที่เหลือ และเลข 2 ไม่ใช่รากของพหุนาม
C) ลองตรวจสอบว่าตัวเลข -2 เป็นรากของพหุนามหรือไม่ เนื่องจากความพยายามครั้งก่อนล้มเหลว เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับค่าสัมประสิทธิ์ ฉันจะลบบรรทัดที่เกี่ยวข้องกับความพยายามนี้:
ยอดเยี่ยม! เราได้ศูนย์เป็นเศษ ดังนั้น พหุนามจึงถูกแบ่งออกเป็นทวินามโดยไม่มีเศษ ดังนั้น เลข -2 จึงเป็นรากของพหุนาม ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่ได้จากการหารพหุนามด้วยทวินามจะแสดงเป็นสีเขียวในตาราง
ผลจากการหารทำให้เราได้ตรีโกณมิติกำลังสอง 
ซึ่งรากของมันหาได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:
ดังนั้น รากของสมการดั้งเดิมคือ:
{
}
คำตอบ: ( 
}
พหุนามนี้มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ถ้าจำนวนเต็มเป็นรากของพหุนามนี้ มันก็จะเป็นตัวหารของจำนวน 16 ดังนั้น หากพหุนามที่กำหนดมีรากเป็นจำนวนเต็ม ค่าเหล่านี้จะเป็นได้เพียงตัวเลข ±1 เท่านั้น ±2; ±4; ±8; ±16. จากการตรวจสอบโดยตรง เรามั่นใจว่าเลข 2 คือรากของพหุนามนี้ นั่นคือ x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x) โดยที่ Q (x) เป็นพหุนามของ ระดับที่สอง ด้วยเหตุนี้ พหุนามจึงถูกแบ่งออกเป็นตัวประกอบ หนึ่งในนั้นคือ (x – 2) ในการค้นหาประเภทของพหุนาม Q (x) เราใช้สิ่งที่เรียกว่าโครงร่างฮอร์เนอร์ ข้อได้เปรียบหลักของวิธีนี้คือความกะทัดรัดของสัญกรณ์และความสามารถในการแบ่งพหุนามออกเป็นทวินามได้อย่างรวดเร็ว อันที่จริงแล้ว แผนการของฮอร์เนอร์เป็นอีกรูปแบบหนึ่งของการบันทึกวิธีการจัดกลุ่ม แม้ว่าจะไม่เหมือนกับวิธีหลังตรงที่เป็นแบบไม่เห็นภาพเลยก็ตาม คำตอบ (การแยกตัวประกอบ) ได้มาจากตัวมันเอง และเราไม่เห็นกระบวนการของการได้มา เราจะไม่มีส่วนร่วมในการพิสูจน์แผนการของฮอร์เนอร์อย่างเข้มงวด แต่จะแสดงเพียงวิธีการทำงานเท่านั้น
| 1 | −5 | −2 | 16 | |
| 2 | 1 | −3 | −8 | 0 |
หมายเลขจากเซลล์ด้านบนจะถูก "ย้าย" ไปยังเซลล์ที่สองของบรรทัดล่างสุด นั่นคือ 1 จากนั้นพวกเขาก็ทำสิ่งนี้ รากของสมการ (หมายเลข 2) คูณด้วยตัวเลขสุดท้ายที่เขียน (1) และผลลัพธ์จะถูกบวกเข้ากับตัวเลขที่อยู่ใน แถวบนสุดเหนือเซลล์อิสระถัดไป ในตัวอย่างของเรา เรามี:
ระดับของพหุนามที่ได้รับจากการหารจะน้อยกว่าระดับของค่าเดิมเสมอ 1 ดังนั้น:
