การแยกตัวประกอบของพหุนามถูกต้องหรือไม่? กรณีที่ซับซ้อนของพหุนามแฟคตอริ่ง

บ่อยครั้ง ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนเป็นนิพจน์พีชคณิตที่ต้องแยกออกเป็นปัจจัยก่อน จากนั้นจึงหาตัวหารเหมือนกัน แบ่งทั้งตัวเศษและตัวส่วนออก นั่นคือ ลดเศษส่วน ทั้งบทของตำราพีชคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ทุ่มเทให้กับงานเพื่อแยกตัวประกอบพหุนาม แฟคตอริ่งก็ทำได้ 3 วิธีรวมทั้งการผสมผสานวิธีการเหล่านี้

1. การประยุกต์สูตรคูณแบบย่อ

อย่างที่ทราบกันดีว่า คูณพหุนามด้วยพหุนามคุณต้องคูณแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละเทอมของพหุนามอื่นแล้วบวกผลคูณที่ได้ มีกรณีทั่วไปอย่างน้อย 7 (เจ็ด) กรณีของการคูณพหุนามที่รวมอยู่ในแนวคิด ตัวอย่างเช่น,

ตารางที่ 1. การแยกตัวประกอบในวิธีที่ 1

2. นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

วิธีนี้เป็นไปตามการประยุกต์ใช้กฎการกระจายของการคูณ ตัวอย่างเช่น,

เราแบ่งแต่ละพจน์ของนิพจน์ดั้งเดิมด้วยปัจจัยที่เรานำออกมา และในขณะเดียวกัน เราก็ได้นิพจน์ในวงเล็บ (นั่นคือ ผลลัพธ์ของการหารสิ่งที่เป็นด้วยสิ่งที่เราเอาออกมายังคงอยู่ในวงเล็บ) ก่อนอื่นคุณต้อง กำหนดตัวคูณให้ถูกต้องซึ่งต้องคร่อมไว้

พหุนามในวงเล็บสามารถเป็นปัจจัยร่วมได้เช่นกัน:

เมื่อดำเนินการ "แยกตัวประกอบ" เราจะต้องระมัดระวังเป็นพิเศษกับสัญญาณเมื่อนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ การเปลี่ยนเครื่องหมายของแต่ละเทอมในวงเล็บ (ข - ก), เรานำปัจจัยร่วมออก -1 ในขณะที่แต่ละเทอมในวงเล็บจะถูกหารด้วย -1: (b - a) = - (a - b) .

ในกรณีที่นิพจน์ในวงเล็บกำลังสอง (หรือกำลังสอง) ดังนั้น สามารถเปลี่ยนตัวเลขในวงเล็บได้ สมบูรณ์ฟรี เนื่องจาก minuses ที่นำออกจากวงเล็บจะยังคงกลายเป็นบวกเมื่อคูณ: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 และอื่นๆ…

3. วิธีการจัดกลุ่ม

บางครั้งไม่ใช่ทุกพจน์ในนิพจน์ที่มีปัจจัยร่วม แต่มีเพียงบางคำเท่านั้น แล้วคุณจะลอง เงื่อนไขกลุ่ม ในวงเล็บเพื่อให้สามารถนำปัจจัยบางอย่างออกจากแต่ละปัจจัยได้ วิธีการจัดกลุ่มคือ การถ่ายคร่อมคู่ของปัจจัยร่วม

4. ใช้หลายวิธีพร้อมกัน

บางครั้ง คุณไม่จำเป็นต้องใช้วิธีใดวิธีหนึ่ง แต่มีหลายวิธีในการแยกตัวประกอบพหุนามเป็นตัวประกอบในคราวเดียว

นี่เป็นเรื่องย่อในหัวข้อ "การแยกตัวประกอบ". เลือกขั้นตอนต่อไป:

• ไปที่บทคัดย่อถัดไป:

ในบทนี้ เราจะระลึกถึงวิธีการแยกตัวประกอบพหุนามที่ศึกษาก่อนหน้านี้ทั้งหมด และพิจารณาตัวอย่างการประยุกต์ใช้ นอกจากนี้ เราจะศึกษาวิธีการใหม่ - วิธีกำลังสองเต็มและเรียนรู้วิธีนำไปใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ

หัวข้อ:การแยกตัวประกอบพหุนาม

บทเรียน:การแยกตัวประกอบของพหุนาม วิธีการเลือกตารางเต็ม การผสมผสานของวิธีการ

จำวิธีการหลักในการแยกตัวประกอบพหุนามที่ศึกษาก่อนหน้านี้:

วิธีการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ นั่นคือปัจจัยที่มีอยู่ในสมาชิกทั้งหมดของพหุนาม พิจารณาตัวอย่าง:

จำได้ว่าโมโนเมียลเป็นผลคูณของกำลังและตัวเลข ในตัวอย่างของเรา สมาชิกทั้งสองมีองค์ประกอบที่เหมือนกันและเหมือนกัน

ลองเอาปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ:

;

จำไว้ว่าการคูณตัวคูณที่แสดงผลด้วยวงเล็บ คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องของการเรนเดอร์ได้

วิธีการจัดกลุ่ม เป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะแยกตัวประกอบร่วมในพหุนามออก ในกรณีนี้ คุณต้องแบ่งสมาชิกออกเป็นกลุ่มในลักษณะที่ในแต่ละกลุ่มคุณสามารถแยกปัจจัยร่วมและพยายามแยกส่วนออกเพื่อที่ว่าหลังจากแยกปัจจัยในกลุ่มออก ปัจจัยร่วมจะปรากฏขึ้นสำหรับ การแสดงออกทั้งหมดและการขยายตัวสามารถดำเนินต่อไปได้ พิจารณาตัวอย่าง:

จัดกลุ่มเทอมแรกด้วยเทอมที่สี่ เทอมที่สองกับเทอมที่ห้า และเทอมที่สามกับเทอมที่หก ตามลำดับ:

มาดูปัจจัยทั่วไปในกลุ่มกัน:

นิพจน์มีปัจจัยร่วม เอามันออกไป:

การประยุกต์สูตรคูณแบบย่อ พิจารณาตัวอย่าง:

;

ลองเขียนนิพจน์โดยละเอียด:

เห็นได้ชัดว่าเรามีสูตรสำหรับกำลังสองของผลต่างอยู่ข้างหน้าเรา เนื่องจากมีผลรวมของกำลังสองของนิพจน์สองนิพจน์และผลคูณสองของพจน์นั้นถูกลบออกจากมัน ลองหมุนตามสูตร:

วันนี้เราจะมาเรียนรู้วิธีอื่น - วิธีการเลือกสี่เหลี่ยมแบบเต็ม มันขึ้นอยู่กับสูตรของกำลังสองของผลรวมและกำลังสองของส่วนต่าง จำได้ว่า:

สูตรสำหรับกำลังสองของผลรวม (ผลต่าง);

ลักษณะเฉพาะของสูตรเหล่านี้คือประกอบด้วยกำลังสองของนิพจน์สองนิพจน์และผลคูณของพวกมัน พิจารณาตัวอย่าง:

ลองเขียนนิพจน์:

ดังนั้นนิพจน์แรกคือ และนิพจน์ที่สอง

ในการสร้างสูตรกำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง ผลคูณของนิพจน์ไม่เพียงพอ จำเป็นต้องเพิ่มและลบ:

ลองยุบกำลังสองของผลรวมทั้งหมด:

ลองแปลงนิพจน์ผลลัพธ์:

เราใช้ผลต่างของสูตรกำลังสอง จำไว้ว่าผลต่างของกำลังสองของนิพจน์สองนิพจน์เป็นผลคูณและผลรวมตามผลต่าง:

ดังนั้น วิธีนี้ประกอบด้วย ประการแรกคือ จำเป็นต้องระบุนิพจน์ a และ b ที่ยกกำลังสอง นั่นคือ เพื่อพิจารณาว่านิพจน์ใดจะถูกยกกำลังสองในตัวอย่างนี้ หลังจากนั้น คุณต้องตรวจสอบการมีอยู่ของผลิตภัณฑ์คู่ และหากไม่มีอยู่ ให้บวกและลบออก สิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนความหมายของตัวอย่าง แต่พหุนามสามารถแยกตัวประกอบโดยใช้สูตรสำหรับกำลังสอง ของผลรวมหรือส่วนต่างและส่วนต่างของกำลังสอง ถ้าเป็นไปได้

มาดูการแก้ตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 1 - แยกตัวประกอบ:

ค้นหานิพจน์ที่เป็นกำลังสอง:

ลองเขียนว่าผลิตภัณฑ์คู่ควรเป็นอย่างไร:

มาบวกและลบผลิตภัณฑ์คู่กัน:

ลองยุบผลรวมกำลังสองเต็มแล้วให้ค่าที่คล้ายกัน:

เราจะเขียนตามสูตรความแตกต่างของกำลังสอง:

ตัวอย่างที่ 2 - แก้สมการ:

;

มีไตรนามอยู่ทางด้านซ้ายของสมการ คุณต้องแยกมันออกมา เราใช้สูตรของกำลังสองของส่วนต่าง:

เรามีกำลังสองของนิพจน์แรกและผลคูณสองเท่า ไม่มีกำลังสองของนิพจน์ที่สอง มาบวกและลบกัน:

ให้เรายุบสี่เหลี่ยมเต็มและให้เงื่อนไขที่คล้ายกัน:

ลองใช้ความแตกต่างของสูตรกำลังสอง:

เราก็ได้สมการ

เรารู้ว่าผลคูณเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ จากนี้เราจะเขียนสมการ:

มาแก้สมการแรกกัน:

มาแก้สมการที่สองกัน:

คำตอบ: หรือ

;

เราดำเนินการคล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ - เลือกกำลังสองของผลต่าง

การแยกตัวประกอบของพหุนามเป็นการแปลงที่เหมือนกัน อันเป็นผลมาจากการที่พหุนามถูกแปลงเป็นผลคูณของปัจจัยหลายประการ - พหุนามหรือโมโนเมียล

มีหลายวิธีในการแยกตัวประกอบพหุนาม

วิธีที่ 1 การถ่ายคร่อมปัจจัยร่วม

การแปลงนี้เป็นไปตามกฎการกระจายของการคูณ: ac + bc = c(a + b) สาระสำคัญของการเปลี่ยนแปลงคือการแยกแยะปัจจัยร่วมในองค์ประกอบทั้งสองภายใต้การพิจารณาและ "นำมันออกจาก" วงเล็บ

ให้เราแยกตัวประกอบพหุนาม 28x 3 - 35x 4

วิธีการแก้.

1. เราพบตัวหารร่วมสำหรับองค์ประกอบ 28x3 และ 35x4 สำหรับ 28 และ 35 มันจะเป็น 7; สำหรับ x 3 และ x 4 - x 3 กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวประกอบร่วมของเราคือ 7x3

2. เราเป็นตัวแทนของแต่ละองค์ประกอบเป็นผลคูณของปัจจัย ซึ่งหนึ่งในนั้น
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x

3. การถ่ายคร่อมปัจจัยร่วม
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x)

วิธีที่ 2. การใช้สูตรคูณแบบย่อ "ความเชี่ยวชาญ" ของการเรียนรู้วิธีนี้คือการสังเกตในนิพจน์หนึ่งในสูตรสำหรับการคูณแบบย่อ

ให้เราแยกตัวประกอบพหุนาม x 6 - 1

วิธีการแก้.

1. เราสามารถนำผลต่างของสูตรกำลังสองมาใช้กับนิพจน์นี้ได้ ในการทำเช่นนี้ เราแสดง x 6 เป็น (x 3) 2 และ 1 เป็น 1 2 เช่น 1. นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1)

2. สำหรับนิพจน์ผลลัพธ์ เราสามารถใช้สูตรสำหรับผลรวมและความแตกต่างของลูกบาศก์ได้:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1)

ดังนั้น,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

วิธีที่ 3. การจัดกลุ่ม วิธีการจัดกลุ่มประกอบด้วยการรวมองค์ประกอบของพหุนามในลักษณะที่ง่ายต่อการดำเนินการกับพหุนาม (การบวก การลบ การนำปัจจัยร่วมออก)

เราแยกตัวประกอบพหุนาม x 3 - 3x 2 + 5x - 15

วิธีการแก้.

1. จัดกลุ่มองค์ประกอบในลักษณะนี้: ที่ 1 กับที่ 2 และที่ 3 ด้วย 4
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15)

2. ในนิพจน์ผลลัพธ์ เราจะนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ: x 2 ในกรณีแรก และ 5 ในวงเล็บที่สอง
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3)

3. เรานำปัจจัยร่วม x - 3 ออกมาแล้วได้:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5)

ดังนั้น,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5 ).

มาแก้ไขวัสดุกัน

แยกตัวประกอบพหุนาม a 2 - 7ab + 12b 2

วิธีการแก้.

1. เราเป็นตัวแทนของโมโนเมียล 7ab เป็นผลรวม 3ab + 4ab นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ:
2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

มาเปิดวงเล็บและรับ:
2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. จัดกลุ่มองค์ประกอบของพหุนามดังนี้: ที่ 1 กับ 2 และ 3 กับ 4 เราได้รับ:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. ลองเอาปัจจัยทั่วไปออก:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b)

4. ลองเอาปัจจัยร่วม (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b)

ดังนั้น,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b)

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

จะทำอย่างไรถ้าในกระบวนการแก้ปัญหาจากการสอบ Unified State หรือตอนสอบเข้าทางคณิตศาสตร์ คุณได้รับพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบด้วยวิธีการมาตรฐานที่คุณเรียนที่โรงเรียนได้ ในบทความนี้ ครูสอนคณิตศาสตร์จะพูดถึงวิธีที่มีประสิทธิภาพวิธีหนึ่ง ซึ่งการศึกษานั้นอยู่นอกเหนือขอบเขตของหลักสูตรของโรงเรียน แต่ด้วยวิธีการแยกตัวประกอบพหุนามนั้นไม่ยาก อ่านบทความนี้ให้จบและดูวิดีโอแนะนำที่แนบมา ความรู้ที่คุณได้รับจะช่วยคุณในการสอบ

การแยกตัวประกอบพหุนามโดยวิธีหาร

ในกรณีที่คุณได้รับพหุนามที่มากกว่าดีกรีที่สอง และสามารถเดาค่าของตัวแปรที่พหุนามนี้กลายเป็นศูนย์ได้ (เช่น ค่านี้เท่ากับ) รู้ไว้! พหุนามนี้สามารถหารโดยไม่เหลือเศษด้วย .

ตัวอย่างเช่น เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าพหุนามดีกรีที่สี่หายไปที่ ซึ่งหมายความว่ามันสามารถหารได้โดยไม่มีเศษเหลือ จึงได้พหุนามของดีกรีที่สาม (น้อยกว่าหนึ่ง) กล่าวคือให้อยู่ในรูปแบบ:

ที่ไหน อา, บี, คและ ดี- ตัวเลขบางส่วน มาขยายวงเล็บ:

เนื่องจากสัมประสิทธิ์ที่ยกกำลังเท่ากันจะต้องเท่ากัน เราจึงได้:

ดังนั้นเราจึงได้รับ:

ก้าวไปข้างหน้า. การจัดเรียงจำนวนเต็มขนาดเล็กหลายๆ จำนวนนั้นเพียงพอที่จะเห็นว่าพหุนามของดีกรีที่สามนั้นหารด้วย ลงตัวอีกครั้ง ซึ่งส่งผลให้เกิดพหุนามของดีกรีที่สอง (น้อยกว่าหนึ่ง) จากนั้นเราไปยังบันทึกใหม่:

ที่ไหน อี, Fและ G- ตัวเลขบางส่วน เปิดวงเล็บอีกครั้งเรามาถึงนิพจน์ต่อไปนี้:

อีกครั้งจากเงื่อนไขความเท่าเทียมกันของสัมประสิทธิ์ที่เป็นกำลังเดียวกัน เราได้รับ:

จากนั้นเราได้รับ:

นั่นคือ พหุนามดั้งเดิมสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้:

โดยหลักการแล้ว หากต้องการ โดยใช้ความแตกต่างของสูตรกำลังสอง ผลลัพธ์สามารถแสดงในรูปแบบต่อไปนี้:

นี่เป็นวิธีที่ง่ายและมีประสิทธิภาพในการแยกตัวประกอบพหุนาม จำไว้ว่ามันอาจจะมีประโยชน์ในการสอบหรือโอลิมปิกคณิตศาสตร์ ตรวจสอบว่าคุณได้เรียนรู้วิธีใช้วิธีนี้หรือไม่ ลองแก้ปัญหาต่อไปนี้ด้วยตัวเอง

แยกตัวประกอบพหุนาม:

เขียนคำตอบของคุณในความคิดเห็น

จัดทำโดย Sergey Valerievich

แนวคิดของ "พหุนาม" และ "การแยกตัวประกอบของพหุนาม" ในพีชคณิตเป็นเรื่องธรรมดามาก เพราะคุณจำเป็นต้องรู้เพื่อดำเนินการคำนวณด้วยตัวเลขหลายค่าขนาดใหญ่ได้อย่างง่ายดาย บทความนี้จะอธิบายวิธีการย่อยสลายหลายวิธี ทั้งหมดนี้ค่อนข้างใช้งานง่าย คุณเพียงแค่ต้องเลือกอันที่ถูกต้องในแต่ละกรณี

แนวคิดของพหุนาม

พหุนามเป็นผลรวมของโมโนเมียล กล่าวคือ นิพจน์ที่มีเฉพาะการดำเนินการคูณ

ตัวอย่างเช่น 2 * x * y เป็นโมโนเมียล แต่ 2 * x * y + 25 เป็นพหุนามซึ่งประกอบด้วยโมโนเมียล 2 ตัว: 2 * x * y และ 25 พหุนามดังกล่าวเรียกว่าทวินาม

ในบางครั้ง เพื่อความสะดวกในการแก้ตัวอย่างที่มีค่าหลายค่า นิพจน์ต้องถูกแปลง เช่น แยกออกเป็นปัจจัยจำนวนหนึ่ง กล่าวคือ ตัวเลขหรือนิพจน์ระหว่างการดำเนินการคูณ มีหลายวิธีในการแยกตัวประกอบพหุนาม มันคุ้มค่าที่จะพิจารณาพวกเขาโดยเริ่มจากดั้งเดิมที่สุดซึ่งใช้แม้ในชั้นเรียนหลัก

การจัดกลุ่ม (รายการทั่วไป)

สูตรสำหรับการแยกตัวประกอบพหุนามเป็นตัวประกอบโดยวิธีการจัดกลุ่มโดยทั่วไปมีลักษณะดังนี้:

ac + bd + bc + โฆษณา = (ac + bc) + (ad + bd)

จำเป็นต้องจัดกลุ่มโมโนเมียลเพื่อให้ปัจจัยร่วมปรากฏในแต่ละกลุ่ม ในวงเล็บแรก นี่คือตัวประกอบ c และในวงเล็บที่สอง - d ต้องทำสิ่งนี้เพื่อนำออกจากวงเล็บ ซึ่งจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

อัลกอริธึมการสลายตัวในตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของการแยกตัวประกอบพหุนามเป็นตัวประกอบโดยใช้วิธีการจัดกลุ่มแสดงไว้ด้านล่าง:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

ในวงเล็บแรก คุณต้องใช้เงื่อนไขที่มีตัวประกอบ a ซึ่งจะเป็นเรื่องปกติ และในวงเล็บที่สอง - กับตัวประกอบ b ให้ความสนใจกับเครื่องหมาย + และ - ในนิพจน์ที่เสร็จสิ้น เราใส่เครื่องหมายที่อยู่ในนิพจน์เริ่มต้นก่อนโมโนเมียล นั่นคือ คุณไม่จำเป็นต้องทำงานกับนิพจน์ 25a แต่ต้องใช้นิพจน์ -25 เครื่องหมายลบเหมือนที่เคยเป็น "ติด" กับนิพจน์ที่อยู่เบื้องหลังและนำมาพิจารณาในการคำนวณเสมอ

ในขั้นตอนต่อไป คุณต้องนำปัจจัยซึ่งเป็นเรื่องปกติออกจากวงเล็บ นั่นคือสิ่งที่การจัดกลุ่มสำหรับ การเอามันออกจากวงเล็บหมายถึงการเขียนก่อนวงเล็บเหลี่ยม (ไม่ใส่เครื่องหมายคูณ) ปัจจัยทั้งหมดที่ซ้ำกันในทุกเงื่อนไขที่อยู่ในวงเล็บ หากไม่มีคำศัพท์ 2 แต่ 3 คำขึ้นไปในวงเล็บ ต้องมีปัจจัยร่วมอยู่ในแต่ละคำ มิฉะนั้นจะไม่สามารถนำออกจากวงเล็บเหลี่ยมได้

ในกรณีของเรามีเพียง 2 คำในวงเล็บเท่านั้น ตัวคูณโดยรวมจะมองเห็นได้ทันที วงเล็บแรกคือ a วงเล็บที่สองคือ b ที่นี่คุณต้องใส่ใจกับค่าสัมประสิทธิ์ดิจิทัล ในวงเล็บเหลี่ยมแรก สัมประสิทธิ์ทั้งสอง (10 และ 25) มีค่าทวีคูณของ 5 ซึ่งหมายความว่าไม่เพียงแต่ a เท่านั้น แต่ยังสามารถใช้ 5a ในวงเล็บได้ ก่อนวงเล็บเหลี่ยม ให้เขียน 5a แล้วแบ่งแต่ละพจน์ในวงเล็บด้วยตัวประกอบร่วมที่นำออกมา และเขียนผลหารในวงเล็บด้วย อย่าลืมเครื่องหมาย + และ - ทำเช่นเดียวกันกับวงเล็บที่สอง , นำ 7b ออกตั้งแต่ 14 และ 35 ทวีคูณของ 7

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5)

มันเปิดออก 2 คำ: 5a (2c - 5) และ 7b (2c - 5) แต่ละรายการมีปัจจัยร่วม (นิพจน์ทั้งหมดในวงเล็บที่นี่เหมือนกัน ซึ่งหมายความว่าเป็นปัจจัยร่วม): 2c - 5. นอกจากนี้ยังต้องนำออกจากวงเล็บเหลี่ยม กล่าวคือ คำศัพท์ 5a และ 7b ยังคงอยู่ในวงเล็บที่สอง:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b)

ดังนั้นนิพจน์เต็มคือ:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b)

ดังนั้นพหุนาม 10ac + 14bc - 25a - 35b จึงถูกแบ่งออกเป็น 2 ตัวประกอบ: (2c - 5) และ (5a + 7b) เครื่องหมายคูณระหว่างกันสามารถละเว้นได้เมื่อเขียน

บางครั้งมีนิพจน์ประเภทนี้: 5a 2 + 50a 3 ที่นี่คุณสามารถใส่วงเล็บไม่เฉพาะ a หรือ 5a แต่แม้กระทั่ง 5a 2 คุณควรพยายามแยกตัวประกอบร่วมที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ออกจากวงเล็บเสมอ ในกรณีของเรา หากเราหารแต่ละเทอมด้วยตัวประกอบร่วม เราจะได้:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(เมื่อคำนวณผลหารของกำลังหลาย ๆ ตัวที่มีฐานเท่ากัน ฐานจะถูกรักษาไว้ และเลขชี้กำลังจะถูกลบ) ดังนั้น หนึ่งยังคงอยู่ในวงเล็บเหลี่ยม (ไม่ว่าในกรณีใด อย่าลืมเขียนหนึ่งคำหากคุณนำเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งออกจากวงเล็บทั้งหมด) และผลหารของการหาร: 10a ปรากฎว่า:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

สูตรสี่เหลี่ยม

เพื่อความสะดวกในการคำนวณ ได้นำสูตรมาหลายสูตร พวกเขาจะเรียกว่าสูตรคูณลดลงและใช้ค่อนข้างบ่อย สูตรเหล่านี้ช่วยแยกตัวประกอบพหุนามที่มีกำลัง นี่เป็นอีกวิธีที่มีประสิทธิภาพในการแยกตัวประกอบ ดังนั้นนี่คือ:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -สูตรที่เรียกว่า "กำลังสองของผลรวม" เนื่องจากผลของการขยายเป็นสี่เหลี่ยมจตุรัสจะใช้ผลรวมของตัวเลขที่อยู่ในวงเล็บนั่นคือมูลค่าของผลรวมนี้คูณด้วยตัวมันเอง 2 ครั้งซึ่ง หมายความว่ามันเป็นตัวคูณ
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - สูตรกำลังสองของผลต่างก็คล้ายกับสูตรก่อนหน้า ผลที่ได้คือความแตกต่างที่อยู่ในวงเล็บซึ่งมีอยู่ในกำลังสอง
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- นี่คือสูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง เนื่องจากในตอนแรกพหุนามประกอบด้วยตัวเลขหรือนิพจน์ 2 ช่องระหว่างการลบ มันอาจจะใช้กันมากที่สุดในสาม

ตัวอย่างการคำนวณตามสูตรกำลังสอง

การคำนวณนั้นทำได้ค่อนข้างง่าย ตัวอย่างเช่น:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - ใช้สูตร "กำลังสองของผลรวม"
2. 25x 2 คือกำลังสองของ 5x 20xy เป็นสองเท่าของผลคูณของ 2*(5x*2y) และ 4y 2 คือกำลังสองของ 2y
3. ดังนั้น 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y)พหุนามนี้แบ่งออกเป็น 2 ตัวประกอบ (ตัวประกอบเหมือนกัน ดังนั้นจึงเขียนเป็นนิพจน์ที่มีกำลังสอง)

การดำเนินการตามสูตรของกำลังสองของผลต่างจะดำเนินการในลักษณะนี้ สิ่งที่เหลืออยู่คือความแตกต่างของสูตรกำลังสอง ตัวอย่างสำหรับสูตรนี้ง่ายต่อการระบุและค้นหาจากนิพจน์อื่นๆ ตัวอย่างเช่น:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20) ตั้งแต่ 25a 2 \u003d (5a) 2 และ 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y) ตั้งแต่ 36x 2 \u003d (6x) 2 และ 25y 2 \u003d (5y 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b) ตั้งแต่ 169b 2 = (13b) 2

เป็นสิ่งสำคัญที่แต่ละเทอมจะต้องเป็นกำลังสองของนิพจน์ จากนั้นพหุนามนี้จะแยกตัวประกอบด้วยผลต่างของสูตรกำลังสอง สำหรับสิ่งนี้ ไม่จำเป็นว่ากำลังสองจะสูงกว่าจำนวน มีพหุนามที่มีกำลังมาก แต่ก็ยังเหมาะสำหรับสูตรเหล่านี้

8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

ในตัวอย่างนี้ 8 สามารถแสดงเป็น (a 4) 2 นั่นคือกำลังสองของนิพจน์บางอย่าง 25 คือ 5 2 และ 10a คือ 4 - นี่คือผลคูณของเทอม 2*a 4 *5 นั่นคือนิพจน์นี้แม้ว่าจะมีองศาที่มีเลขชี้กำลังขนาดใหญ่ แต่ก็สามารถแบ่งออกเป็น 2 ปัจจัยเพื่อใช้งานในภายหลัง

สูตรลูกบาศก์

มีสูตรเดียวกันสำหรับพหุนามแฟคตอริ่งที่มีลูกบาศก์ พวกมันซับซ้อนกว่าที่มีกำลังสองเล็กน้อย:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- สูตรนี้เรียกว่าผลรวมของลูกบาศก์ เนื่องจากในรูปแบบเริ่มต้น พหุนามคือผลรวมของนิพจน์สองนิพจน์หรือตัวเลขที่อยู่ในลูกบาศก์
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) -สูตรที่เหมือนกันกับสูตรก่อนหน้านี้จะแสดงเป็นความแตกต่างของลูกบาศก์
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - ผลรวมคิวบ์จากการคำนวณ จะได้ผลรวมของตัวเลขหรือนิพจน์ อยู่ในวงเล็บและคูณด้วยตัวมันเอง 3 ครั้ง นั่นคือ อยู่ในคิวบ์
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -สูตรที่รวบรวมโดยการเปรียบเทียบกับสูตรก่อนหน้าที่มีการเปลี่ยนแปลงในเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เพียงบางส่วน (บวกและลบ) เรียกว่า "ลูกบาศก์ความแตกต่าง"

สูตรสองสูตรสุดท้ายนั้นแทบจะไม่ได้ถูกนำมาใช้เพื่อแยกตัวประกอบพหุนาม เนื่องจากพวกมันซับซ้อน และหาได้ยากมากที่จะพบพหุนามที่สอดคล้องกับโครงสร้างดังกล่าวโดยสมบูรณ์ เพื่อให้สามารถย่อยสลายตามสูตรเหล่านี้ได้ แต่คุณยังจำเป็นต้องรู้สิ่งเหล่านี้เนื่องจากจะต้องดำเนินการในทิศทางตรงกันข้าม - เมื่อเปิดวงเล็บ

ตัวอย่างสูตรลูกบาศก์

พิจารณาตัวอย่าง: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

เราได้นำจำนวนเฉพาะมาไว้ที่นี่ ดังนั้นคุณจะเห็นได้ทันทีว่า 64a 3 คือ (4a) 3 และ 8b 3 คือ (2b) 3 ดังนั้นพหุนามนี้จึงถูกขยายโดยผลต่างของสูตรของลูกบาศก์ออกเป็น 2 ตัวประกอบ การดำเนินการกับสูตรของผลรวมของลูกบาศก์จะดำเนินการโดยการเปรียบเทียบ

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าพหุนามบางตัวไม่สามารถย่อยสลายได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งเป็นอย่างน้อย แต่มีนิพจน์ดังกล่าวที่มีพลังมากกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือลูกบาศก์ แต่พวกมันยังสามารถขยายเป็นรูปแบบการคูณแบบย่อได้ ตัวอย่างเช่น x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2)

ตัวอย่างนี้มีมากถึง 12 องศา แต่ก็สามารถแยกตัวประกอบได้โดยใช้สูตรผลรวมลูกบาศก์ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแสดง x 12 เป็น (x 4) 3 นั่นคือลูกบาศก์ของนิพจน์ ตอนนี้ แทนที่ a คุณต้องแทนที่มันในสูตร นิพจน์ 125y 3 คือลูกบาศก์ของ 5y ขั้นตอนต่อไปคือการเขียนสูตรและทำการคำนวณ

ในตอนแรกหรือเมื่อไม่แน่ใจ คุณสามารถตรวจสอบได้เสมอด้วยการคูณผกผัน คุณเพียงแค่ต้องเปิดวงเล็บในนิพจน์ผลลัพธ์และดำเนินการกับคำที่คล้ายกัน วิธีนี้ใช้กับวิธีการลดที่ระบุไว้ทั้งหมด ทั้งเพื่อทำงานกับปัจจัยร่วมและการจัดกลุ่ม และกับการดำเนินการตามสูตรของลูกบาศก์และกำลังสอง