การเลือกรูตโดยใช้กราฟ สมการตรีโกณมิติ สุดยอดคู่มือ (2019)

ลำดับที่ 10 (757) เผยแพร่ตั้งแต่ 1992 mat.1september.ru หัวข้อของปัญหา การทดสอบความรู้ โครงการของเรา การแข่งขัน ความสนใจ - การวิเคราะห์เชิงสร้างสรรค์ของบทเรียน Ural Cup สำหรับการสอบที่แข็งแกร่ง "สัจพจน์ของนักเรียนของเส้นคู่ขนาน" c. 16.00 น. 20.00 น. 44 7 6 5 4 3 เวอร์ชันของนิตยสาร ja va l 2 o n a n e r t e l e n t e l n i d o p o t e r a l s 1 m a i n e t b m a c h i n L i t e r u s 1 2 3 4 5 6 0 r. จะเป็นอย่างไร 1 กันยายน 1september.ru 2014 การสมัครสมาชิกทางคณิตศาสตร์บนเว็บไซต์ www.1september.ru หรือผ่านแค็ตตาล็อก Russian Post: 79073 (เวอร์ชันกระดาษ); 12717 (เวอร์ชันซีดี) เกรด 10–11 การฝึกอบรมการคัดเลือก S. MUGALLIMOVA ตำแหน่ง Bely Yar ภูมิภาค Tyumen รากของสมการตรีโกณมิติ ตรีโกณมิติใน หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์ครอบครองสถานที่พิเศษและตามธรรมเนียมแล้วถือว่ายากทั้งสำหรับครูที่จะนำเสนอและสำหรับนักเรียนที่จะเชี่ยวชาญ นี่เป็นหนึ่งในส่วนที่การศึกษาซึ่งหลายคนมักมองว่าเป็น "คณิตศาสตร์เพื่อคณิตศาสตร์" เป็นการศึกษาเนื้อหาที่ไม่มีพื้นฐานการปฏิบัติ คุณค่าทางปฏิบัติ. ในขณะเดียวกัน เครื่องมือตรีโกณมิติถูกนำมาใช้ในการใช้งานทางคณิตศาสตร์หลายประเภท และการใช้งานร่วมกับฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นสิ่งจำเป็นในการดำเนินการเชื่อมโยงภายในและสหวิทยาการในการสอนคณิตศาสตร์ โปรดทราบว่าวัสดุตรีโกณมิติจะสร้างพื้นที่ที่อุดมสมบูรณ์สำหรับการพัฒนาทักษะเมตาดาต้าต่างๆ ตัวอย่างเช่น การเรียนรู้ที่จะเลือกรากของสมการตรีโกณมิติและการเฉลยของอสมการตรีโกณมิติช่วยให้คุณพัฒนาทักษะที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาคำตอบที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด วิธีการสอนการเลือกรูทนั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่แสดงด้านล่าง ความรู้: – ตำแหน่งของจุดบน วงกลมตรีโกณมิติ; – สัญญาณ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ; – ตำแหน่งของจุดที่สอดคล้องกับค่ามุมที่พบบ่อยที่สุดและมุมที่เกี่ยวข้องกับค่าเหล่านั้นโดยสูตรการลด – กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติและคุณสมบัติของฟังก์ชัน ความเข้าใจ: – บนวงกลมตรีโกณมิติจุดหนึ่งจะมีตัวบ่งชี้สามตัว: 1) มุมการหมุนของจุด P (1; 0); 2) แอบซิสซา ซึ่งสอดคล้องกับโคไซน์ของมุมนี้ และ 3) พิกัด ซึ่งสอดคล้องกับไซน์ของมุมนี้ – ความคลุมเครือของการเขียนรากของสมการตรีโกณมิติและการพึ่งพาค่าเฉพาะของรูตกับค่าของพารามิเตอร์จำนวนเต็ม – ขึ้นอยู่กับมุมการหมุนของรัศมีกับจำนวนรอบการหมุนเต็มหรือคาบของฟังก์ชัน ความสามารถในการ: – ทำเครื่องหมายจุดบนวงกลมตรีโกณมิติที่สอดคล้องกับมุมการหมุนของรัศมีบวกและลบ – เชื่อมโยงค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติกับตำแหน่งของจุดบนวงกลมตรีโกณมิติ คณิตศาสตร์ ตุลาคม 2557 – เขียนค่ามุมการหมุนของจุด 3.3 ทำเครื่องหมายจุดให้มากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ซึ่งสอดคล้องกับจุดสมมาตรที่สอดคล้องกับค่าที่กำหนดของฟังก์ชันบนวงกลมตรีโกณมิติ 1 (เช่น | sin x | =) – เขียนค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่จุดกราฟของฟังก์ชัน 3.4 ทำเครื่องหมายช่วงเวลาที่สอดคล้องกับไอออนโดยคำนึงถึงช่วงเวลาของฟังก์ชันตลอดจนข้อ จำกัด ที่กำหนดเกี่ยวกับค่าของฟังก์ชันคู่และคี่ 3 1 (เช่น − ≤ cos x ≤) – ใช้ค่าของตัวแปรค้นหาจุดที่สอดคล้องกันบนกราฟของฟังก์ชัน 3.5. สำหรับค่าที่กำหนดของฟังก์ชันและขีด จำกัด - รวมชุดของรากตรีโกณมิติกับค่าของอาร์กิวเมนต์และสังเกตสมการที่เกี่ยวข้อง จุดที่สอดคล้องกันและจดค่าของการโต้แย้ง- ดังนั้นในกระบวนการศึกษาตรีโกณมิติ (เช่นระบุบนกราฟและสร้างวัสดุเมตริกจำเป็นต้องดำเนินการบันทึกย่อที่เหมาะสมสำหรับประเด็นต่างๆแบบฝึกหัดต่อไปนี้ . 5π เป็นไปตามเงื่อนไข tg x = 3 และ −3π< x <). 1. При изучении начал тригонометрии (в пря- 2 моугольном треугольнике) заполнить (и запом- Перечисленные выше действия полезны при нить!) таблицу значений тригонометрических решении задачи С1 ЕГЭ по математике. В этой функций для углов 30°, 45°, 60° и 90°. задаче, помимо решения тригонометрического 2. При введении понятия тригонометрической уравнения, требуется произвести отбор корней, окружности: и для успешного выполнения этого задания на 2.1. Отметить точки, соответствующие по- экзамене, помимо перечисленных знаний и уме- воротам радиуса на 30°, 45°, 60°, затем на 0, ний, ученик должен владеть следующими навы- π 3π π π π π π π 5π 3π ками: , π, 2π, − , − , − , 2 2 6 4 3 6 4 3 6 4 – решать простейшие тригонометрические 2π 7π 5π 4π уравнения и неравенства; , . 3 6 4 3 – применять тригонометрические тождества; 2.2. Записать значения углов для указанных – использовать различные методы решения выше точек с учетом периодичности движения уравнений; по окружности. – решать двойные линейные неравенства; 2.3. Записать значения углов для указанных – оценивать значение иррационального числа. выше точек с учетом периодичности движения Перечислим способы отбора корней в подоб- по окружности при заданных значениях параме- ных заданиях. тра (например, при n = 2, n = –1, n = –5). 2.4. Найти с помощью тригонометрической Способ перевода в градусную меру окружности значения синуса, косинуса, танген- 1 Найти корни уравнения sin x = , удовлетво- са и котангенса для указанных выше углов. 2 2.5. Отметить на окружности точки, соответ-  3π 5π  ряющие условию x ∈  − ;  . ствующие требуемым значениям тригонометри-  2 2  ческих функций. Решение. Корни уравнения имеют вид 2.6. Записать числовые промежутки, удовлет- π x = (−1)n + πn, где n ∈ Z. воряющие заданным ограничениям значения 6 3 2 Это значит, что функции (например, − ≤ sin α ≤). 2 2 x = 30° + 360°жn или x = 150° + 360°жn. 2.7. Подобрать формулу для записи углов, со-  3π 5π  ответствующих нескольким точкам на тригоно- Условие x ∈  − ; можно записать в виде метрической окружности (например, объединить  2 2  π 3π x ∈ [–270°; 450°]. Указанному промежутку при- записи x = ± + 2πn, n ∈ Z, и x = ± + 2πk, k ∈ Z). 4 4 надлежат следующие значения: 3. При изучении тригонометрических функ- ций, их свойств и графиков: 30°, 150°, –210°, 390°. 3.1. Отметить на графике функции точки, со- Выразим величины этих углов в радианах: ответствующие указанным выше значениям ар- π 5π 7π 13π , − , . гументов. 6 6 6 6 3.2. При заданном значении функции (напри- Это не самый изящный способ решения по- мер, ctg x = 1) отметить как можно больше точек добных заданий, но он полезен на первых порах на графике функции и записать соответствую- освоения действия и в работе со слабыми учени- щие значения аргумента. ками. 31 математика октябрь 2014 Способ движения по окружности Способ оценки 3 Решить уравнение Найти корни уравнения tg x = , удовлетво- tg x − 1 3 = 0.  π  − cos x ряющие условию x ∈  − ; 2π  .  2  Решение. Данное уравнение равносильно си- 3 Решение. Корни уравнения tg x = имеют стеме  tg x = 1, π 3  вид x = + πn, n ∈ Z. Потребуем выполнения 6  cos x < 0.  π  условия x ∈  − ; 2π  , для этого решим двойное Отметим на тригонометрической окружности  2  корни уравнения tg x = 1, соответствующие зна- неравенство: π π π 2 5 чениям углов поворота x = + πn, n ∈ Z (рис. 1). − ≤ + πn ≤ 2π, − ≤ n ≤ 1 . 4 2 6 3 6 Выделим также дуги окружности, лежащие во II π 7π Отсюда n = 0 или n = 1. Значит x = или x = . и III координатных четвертях, так как в этих чет- 6 6 вертях выполнено условие cos x < 0. Графический способ 1 Найти корни уравнения sin x = , удовлетво- 2  3π 5π  ряющие условию x ∈  − ;  .  2 2  Решение. Построим график функции y = sin x (рис. 2). Корни данного уравнения являются абс- циссами точек пересечения графика с прямой практикум 1 y= . Отметим такие точки, выделив фрагмент 2  3π 5π  графика на промежутке  − ;  .  2 2  Рис. 1 Из рисунка видно, что решениями системы, а значит, и решениями данного уравнения явля- / π ются значения x = + π(2n + 1), n ∈ Z. м е то д о б ъ е д и н е н и е 4 Рис. 2 Способ перебора Здесь cos x π π 5π π 13π Решить уравнение = 0. x0 = , x1 = π − = , x2 = + 2π = , 16 − x 2 6 6 6 6 6 Решение. Данное уравнение равносильно си- 5π 7π стеме x3 = − 2π = − . 6 6  cos x = 0,  16 − x >0. 2 ดังนั้น ในช่วงที่กำหนด สมการจะมีรากสี่ตัว: จากสมการ cos x = 0 เราได้: x = + πn, n ∈ Z 2 π 5π 13π 7π , − . ผลเฉลยของอสมการ 16 – x2 > 0 อยู่ในช่วง 6 6 6 6 (–4; 4) โดยสรุป ให้เราเน้นบางประเด็น เรามาทำการค้นหาอย่างละเอียดกันดีกว่า: ทักษะที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่ตรงตามค่าที่กำหนดของอาร์กิวเมนต์ถ้า n = 0 ดังนั้น x = + π ⋅0 = data ∈(−4; 4); 2 2 2 มีความสำคัญในการแก้ปัญหาที่ประยุกต์หลายอย่าง และจำเป็นต้องพัฒนาทักษะนี้ - ถ้า n = 1 แล้ว x = + π = หยาบคาย ∉(−4; 4); 2 2 2 mo อยู่ในกระบวนการศึกษาทุกอย่างในวิชาตรีโกณมิติ - ถ้า n ≥ 1 เราจะได้ค่า x มากกว่า 4; วัสดุรัสเซีย π π 3, 14 อยู่ในกระบวนการเรียนรู้การแก้ปัญหา โดยที่ - ถ้า n = –1 แล้ว x = −π= − พรีเมี่ยม − ∈(−4; 4); 2 2 2 จำเป็นต้องเลือกรากของสมการตรีโกณมิติ π 3π 3 ⋅ 3, 14 ควรหารือกับนักเรียนถ้า n = –2 ดังนั้น x = − 2π = − γ−− ∉(−4; 4); 2 2 2 วิธีทางที่แตกต่างดำเนินการนี้และถ้า n ≤ –2 เราจะได้ค่า x น้อยกว่า –4 ค้นหากรณีที่วิธีใดวิธีหนึ่งอาจสะดวกที่สุดหรือ บน- สมการนี้มีสองราก: และ - . 2 2 รอบ ใช้ไม่ได้ คณิตศาสตร์ ตุลาคม 2557 32

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

1. ทำซ้ำสูตรสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
2. พิจารณาสามวิธีหลักในการเลือกรากเมื่อแก้สมการตรีโกณมิติ:
   การเลือกตามอสมการ การเลือกตามตัวส่วน และการเลือกตามช่วงเวลา

อุปกรณ์:อุปกรณ์มัลติมีเดีย

ความคิดเห็นที่เป็นระบบ.

1. ดึงดูดความสนใจของนักเรียนถึงความสำคัญของหัวข้อบทเรียน
2. สมการตรีโกณมิติที่ต้องเลือกรากมักพบในเนื้อหาเฉพาะเรื่อง การทดสอบการสอบ Unified State;
   การแก้ปัญหาดังกล่าวทำให้นักเรียนสามารถรวบรวมและเพิ่มพูนความรู้ที่ได้รับมาก่อนหน้านี้ให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น

ในระหว่างเรียน

การทำซ้ำ การจำสูตรสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด (หน้าจอ) จะเป็นประโยชน์

ค่านิยม	สมการ	สูตรสำหรับการแก้สมการ
	บาปx=ก
	บาปx=ก	ที่ สมการไม่มีคำตอบ
ก=0	บาปx=0
ก=1	บาปx= 1
ก= -1	บาปx= -1
	cosx=ก
	cosx=ก	สมการไม่มีคำตอบ
ก=0	cosx=0
ก=1	cosx= 1
ก= -1	cosx= -1
	tgx=ก
	CTGX=ก

เมื่อเลือกรากในสมการตรีโกณมิติ ให้เขียนคำตอบของสมการ sinx=a, сosx=aโดยรวมแล้วมีความสมเหตุสมผลมากกว่า เราจะตรวจสอบให้แน่ใจเรื่องนี้เมื่อแก้ไขปัญหา

การแก้สมการ

งาน. แก้สมการ

สารละลาย.สมการนี้เทียบเท่ากับระบบต่อไปนี้

พิจารณาวงกลม ให้เราทำเครื่องหมายรากของแต่ละระบบบนนั้น และทำเครื่องหมายส่วนโค้งของวงกลมที่ความไม่เท่าเทียมกัน ( ข้าว. 1)

ข้าว. 1

เราเข้าใจแล้ว ไม่สามารถแก้สมการเดิมได้

คำตอบ:

ในปัญหานี้ เราเลือกรากจากความไม่เท่าเทียมกัน

ในโจทย์ต่อไป เราจะทำการเลือกโดยใช้ตัวส่วน ในการทำเช่นนี้ เราจะเลือกรากของตัวเศษ แต่จะไม่ใช่รากของตัวส่วน

ภารกิจที่ 2แก้สมการ

สารละลาย. ลองเขียนคำตอบของสมการโดยใช้การเปลี่ยนค่าที่เท่ากันต่อเนื่องกัน

เมื่อแก้สมการและอสมการของระบบ เราจะใส่ตัวอักษรที่แตกต่างกันในการแก้โจทย์ที่เป็นจำนวนเต็ม ภาพประกอบในรูปเราทำเครื่องหมายรากของสมการด้วยวงกลมบนวงกลมและรากของตัวส่วนด้วยกากบาท (รูปที่ 2)

ข้าว. 2

จากรูปจะเห็นได้ชัดเจนว่า – การแก้สมการดั้งเดิม

ขอให้เราดึงความสนใจของนักเรียนไปที่ความจริงที่ว่าการเลือกรูตนั้นง่ายกว่าโดยใช้ระบบที่มีการวางแผนจุดที่สอดคล้องกันบนวงกลม

คำตอบ:

ภารกิจที่ 3แก้สมการ

3sin2x = 10 คอส 2 x – 2/

ค้นหารากทั้งหมดของสมการที่อยู่ในส่วนนั้น

สารละลาย.ในปัญหานี้ รากจะถูกเลือกในช่วงเวลา ซึ่งระบุโดยเงื่อนไขของปัญหา การเลือกรูตในช่วงเวลาสามารถทำได้สองวิธี: โดยการค้นหาค่าของตัวแปรเพื่อหาจำนวนเต็มหรือโดยการแก้อสมการ

ในสมการนี้ เราจะเลือกรากโดยใช้วิธีแรก และในปัญหาถัดไปโดยการแก้ปัญหาอสมการ

ลองใช้ตัวหลักดูครับ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติและสูตรมุมคู่ของไซน์ เราได้สมการ

6sinxcosx = 10cos 2 x – บาป 2 x – cos 2 x,เหล่านั้น. บาป 2 x – 9cos 2 x+ 6sinxcosx = 0

เพราะ มิฉะนั้น บาป = 0ซึ่งไม่สามารถเป็นได้ เนื่องจากไม่มีมุมที่ทั้งไซน์และโคไซน์เท่ากับศูนย์ หมายความว่า บาป 2 x+ cos 2 x = 0

ลองหารทั้งสองข้างของสมการด้วย เพราะ 2 xเราได้รับ ทีจี 2 x+ 6tgx – 9 = 0/

อนุญาต ทีจีเอ็กซ์ = ที, แล้ว เสื้อ 2 + 6t – 9 = 0, เสื้อ 1 = 2, เสื้อ 2 = –8

tgx = 2 หรือ ทีจี = –8;

ลองพิจารณาแต่ละชุดแยกกัน โดยหาจุดภายในช่วง และจุดหนึ่งทางซ้ายและขวาของมัน

ถ้า เค=0, ที่ x=ส่วนโค้งg2. รากนี้เป็นของช่วงเวลาที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

ถ้า เค=1, ที่ x=ส่วนโค้งg2+.รูทนี้ยังเป็นของช่วงเวลาที่อยู่ระหว่างการพิจารณาด้วย

ถ้า เค=2, ที่ . เห็นได้ชัดว่ารูทนี้ไม่ได้อยู่ในช่วงเวลาของเรา

เราพิจารณาจุดหนึ่งทางด้านขวาของช่วงเวลานี้ ดังนั้น เค=3,4,…ไม่ได้รับการพิจารณา

ถ้า เค = –1,เราได้รับ – ไม่อยู่ในช่วงเวลา

ค่านิยม เค = –2, –3,…ไม่ได้รับการพิจารณา

ดังนั้นจากอนุกรมนี้ รากทั้งสองจึงอยู่ในช่วงเวลา

เช่นเดียวกับกรณีก่อนหน้านี้เรามั่นใจว่าเมื่อใด n = 0และ n = 2,และด้วยเหตุนี้เมื่อใด พี = –1, –2,…พี = 3.4,…เราจะได้รากที่ไม่อยู่ในช่วงเวลา เมื่อเท่านั้น n=1เราได้รับ ซึ่งอยู่ในช่วงเวลานี้

คำตอบ:

ภารกิจที่ 4แก้สมการ 6ซิน 2x+2ซิน 2 2x=5และระบุรากที่อยู่ในช่วงเวลา

สารละลาย.ลองให้สมการกัน 6ซิน 2x+2ซิน 2 2x=5ถึง สมการกำลังสองค่อนข้าง cos2x.

ที่ไหน cos2x

ที่นี่เราใช้วิธีการเลือกในช่วงเวลาโดยใช้อสมการสองเท่า

เพราะ ถึงรับเฉพาะค่าจำนวนเต็มเท่านั้นที่เป็นไปได้ ค=2,เค=3.

ที่ เค=2เราได้รับด้วย เค=3เราจะได้รับ.

คำตอบ:

ความเห็นเกี่ยวกับระเบียบวิธีขอแนะนำให้ครูแก้ปัญหาสี่ข้อนี้บนกระดานดำโดยให้นักเรียนมีส่วนร่วม ในการแก้ปัญหาต่อไป ควรเรียกลูกสาวของคุณให้เป็นนักเรียนที่เข้มแข็ง เพื่อให้เขามีอิสระในการให้เหตุผลสูงสุด

ภารกิจที่ 5แก้สมการ

สารละลาย.เมื่อแปลงตัวเศษ เราจะลดสมการให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า

สมการที่ได้จะเทียบเท่ากับการรวมกันของสองระบบ:

การเลือกรากในช่วงเวลา (0; 5) ลองทำสองวิธีกัน วิธีแรกสำหรับระบบแรกของการรวมกลุ่ม วิธีที่สองสำหรับระบบที่สองของการรวมกลุ่ม

, 0.