สูตรคูณบาปด้วยคอส อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

จะได้รับความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ สูตรตรีโกณมิติ. และเนื่องจากมีการเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติค่อนข้างมาก นี่จึงอธิบายสูตรตรีโกณมิติที่มีอยู่มากมาย บางสูตรเชื่อมต่อกัน ฟังก์ชันตรีโกณมิติมุมเดียวกัน, อื่น ๆ - ฟังก์ชั่นของหลายมุม, อื่น ๆ - ช่วยให้คุณสามารถลดระดับ, ที่สี่ - แสดงฟังก์ชันทั้งหมดผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุม ฯลฯ

ในบทความนี้เราจะแสดงรายการตามลำดับหลักทั้งหมด สูตรตรีโกณมิติซึ่งเพียงพอที่จะแก้ปัญหาตรีโกณมิติส่วนใหญ่ได้ เพื่อความสะดวกในการท่องจำและการใช้งาน เราจะจัดกลุ่มตามวัตถุประสงค์และป้อนลงในตาราง

การนำทางหน้า

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง เป็นไปตามคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ตลอดจนแนวคิดเรื่องวงกลมหน่วย ช่วยให้คุณสามารถแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติหนึ่งฟังก์ชันในแง่ของฟังก์ชันอื่นๆ ได้

หากต้องการทราบคำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับสูตรตรีโกณมิติ ที่มา และตัวอย่างการใช้ โปรดดูบทความ

สูตรลด

สูตรลดติดตามจากคุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ นั่นคือ สะท้อนคุณสมบัติของคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ คุณสมบัติของสมมาตร รวมถึงคุณสมบัติของการเลื่อนตามมุมที่กำหนด สูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ช่วยให้คุณเปลี่ยนจากการทำงานกับมุมใดก็ได้ไปเป็นการทำงานกับมุมตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา

เหตุผลสำหรับสูตรเหล่านี้กฎช่วยในการจำและตัวอย่างการใช้งานสามารถศึกษาได้ในบทความ

สูตรการบวก

สูตรการบวกตรีโกณมิติแสดงว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลรวมหรือผลต่างของสองมุมแสดงออกมาในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านั้นอย่างไร สูตรเหล่านี้ทำหน้าที่เป็นพื้นฐานในการหาสูตรตรีโกณมิติต่อไปนี้

สูตรดับเบิ้ล ทริปเปิ้ล ฯลฯ มุม

สูตรดับเบิ้ล ทริปเปิ้ล ฯลฯ มุม (เรียกอีกอย่างว่าสูตรหลายมุม) แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของ double, triple ฯลฯ เป็นอย่างไร มุม () แสดงในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเดียว ที่มาของมันขึ้นอยู่กับสูตรการบวก

มากกว่า รายละเอียดข้อมูลรวบรวมไว้ในบทความสูตรดับเบิ้ล ทริปเปิ้ล ฯลฯ มุม

สูตรครึ่งมุม

สูตรครึ่งมุมแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของครึ่งมุมแสดงออกมาในรูปของโคไซน์ของมุมทั้งหมดอย่างไร สูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ตามมาจากสูตรมุมคู่

บทสรุปและตัวอย่างการใช้งานสามารถดูได้ในบทความ

สูตรลดระดับ

สูตรตรีโกณมิติสำหรับการลดองศาได้รับการออกแบบมาเพื่ออำนวยความสะดวกในการเปลี่ยนจากพลังธรรมชาติของฟังก์ชันตรีโกณมิติไปเป็นไซน์และโคไซน์ในระดับแรก แต่มีมุมหลายมุม กล่าวอีกนัยหนึ่งคืออนุญาตให้คุณลดกำลังของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นอันดับแรก

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

จุดประสงค์หลัก สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติคือไปที่ผลคูณของฟังก์ชันซึ่งมีประโยชน์มากเมื่อทำให้ง่ายขึ้น นิพจน์ตรีโกณมิติ. สูตรเหล่านี้ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติ เนื่องจากช่วยให้คุณสามารถแยกตัวประกอบผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ได้

สูตรผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์ต่อโคไซน์

การเปลี่ยนจากผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นผลรวมหรือผลต่างทำได้โดยใช้สูตรสำหรับผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์ด้วยโคไซน์

บาชมาคอฟ เอ็ม.ไอ.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2536 - 351 หน้า: ป่วย - ไอ 5-09-004617-4.

พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3

Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย

ลิขสิทธิ์โดยนักเรียนที่ฉลาด

สงวนลิขสิทธิ์.
ได้รับการคุ้มครองตามกฎหมายลิขสิทธิ์ ห้ามทำซ้ำส่วนใดส่วนหนึ่งของ www.site รวมถึงเนื้อหาภายในและรูปลักษณ์ภายนอกในรูปแบบใดๆ หรือใช้โดยไม่ได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษรล่วงหน้าจากผู้ถือลิขสิทธิ์

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ- สิ่งเหล่านี้คือความเท่าเทียมกันที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง ซึ่งช่วยให้คุณค้นหาฟังก์ชันใด ๆ เหล่านี้ได้ โดยมีเงื่อนไขว่าจะต้องรู้ฟังก์ชันอื่นด้วย

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

เอกลักษณ์นี้บอกว่าผลรวมของกำลังสองของไซน์ของมุมหนึ่งกับกำลังสองของโคไซน์ของมุมหนึ่งเท่ากับหนึ่ง ซึ่งในทางปฏิบัติทำให้สามารถคำนวณไซน์ของมุมหนึ่งได้เมื่อทราบโคไซน์ของมันและในทางกลับกัน .

เมื่อแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติมักใช้เอกลักษณ์นี้ซึ่งช่วยให้คุณสามารถแทนที่ผลรวมของกำลังสองของโคไซน์และไซน์ของมุมหนึ่งด้วยหนึ่งมุมและดำเนินการแทนที่ในลำดับย้อนกลับ

การหาแทนเจนต์และโคแทนเจนต์โดยใช้ไซน์และโคไซน์

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

อัตลักษณ์เหล่านี้เกิดขึ้นจากคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ สุดท้ายแล้ว ถ้าคุณดูมัน ตามนิยามแล้ว พิกัด y เป็นไซน์ และแอบซิสซา x เป็นโคไซน์ จากนั้นแทนเจนต์จะเท่ากับอัตราส่วน \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)และอัตราส่วน \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- จะเป็นโคแทนเจนต์

ให้เราเพิ่มว่าเฉพาะมุม \alpha ที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่รวมอยู่ในมุมนั้นสมเหตุสมผลเท่านั้น อัตลักษณ์จะยังคงอยู่ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

ตัวอย่างเช่น: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)ใช้ได้กับมุม \alpha ที่แตกต่าง \frac(\pi)(2)+\pi z, ก ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- สำหรับมุม \alpha ที่ไม่ใช่ \pi z, z คือจำนวนเต็ม

ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

ข้อมูลประจำตัวนี้ใช้ได้กับมุม \alpha ที่แตกต่างเท่านั้น \frac(\pi)(2) z. มิฉะนั้น โคแทนเจนต์หรือแทนเจนต์จะไม่ถูกกำหนด

จากประเด็นข้างต้น เราจึงได้สิ่งนั้นมา tg \อัลฟา = \frac(y)(x), ก ctg \alpha=\frac(x)(y). มันเป็นไปตามนั้น tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. ดังนั้น แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมเดียวกันที่มันเข้าท่า จึงเป็นตัวเลขผกผันซึ่งกันและกัน

ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์กับโคไซน์ โคแทนเจนต์และไซน์

tg^(2) \อัลฟา + 1=\frac(1)(\cos^(2) \อัลฟา)- ผลรวมของกำลังสองของแทนเจนต์ของมุม \อัลฟา และ 1 เท่ากับกำลังสองผกผันของโคไซน์ของมุมนี้ ข้อมูลระบุตัวตนนี้ใช้ได้กับ \alpha ทั้งหมดยกเว้น \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \อัลฟา=\frac(1)(\sin^(2)\อัลฟา)- ผลรวมของ 1 และกำลังสองของโคแทนเจนต์ของมุม \alpha เท่ากับกำลังสองผกผันของไซน์ มุมที่กำหนด. ข้อมูลระบุตัวตนนี้ใช้ได้กับ \alpha ใดๆ ที่แตกต่างจาก \pi z

ตัวอย่างพร้อมวิธีแก้ไขปัญหาโดยใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหา \sin \alpha และ tg \alpha if \cos \อัลฟา=-\frac12และ \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ฟังก์ชัน \sin \alpha และ \cos \alpha มีความสัมพันธ์กันโดยสูตร \sin^(2)\อัลฟา + \cos^(2) \alpha = 1. แทนลงในสูตรนี้ \cos \อัลฟา = -\frac12, เราได้รับ:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

สมการนี้มี 2 วิธี:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

ตามเงื่อนไข \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . ในไตรมาสที่สอง ไซน์เป็นบวก ดังนั้น \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

ในการหา tan \alpha เราใช้สูตร tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหา \cos \alpha และ ctg \alpha ถ้า และ \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

แทนลงในสูตร \sin^(2)\อัลฟา + \cos^(2) \alpha = 1หมายเลขที่กำหนด \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), เราได้รับ \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. สมการนี้มีสองคำตอบ \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

ตามเงื่อนไข \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . ในไตรมาสที่สองโคไซน์เป็นลบ ดังนั้น \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

เพื่อที่จะค้นหา ctg \alpha เราใช้สูตร ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). เรารู้ค่าที่สอดคล้องกัน

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

ข้อมูลอ้างอิงสำหรับแทนเจนต์ (tg x) และโคแทนเจนต์ (ctg x) ความหมายทางเรขาคณิต สมบัติ กราฟ สูตร ตารางแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ อนุพันธ์ อินทิกรัล การขยายอนุกรม การแสดงออกผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน การเชื่อมต่อกับฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

คำจำกัดความทางเรขาคณิต

|บีดี| - ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุด A
α คือมุมที่แสดงเป็นเรเดียน

แทนเจนต์ ( สีแทน α) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาตรงข้าม |BC| ไปจนถึงความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| .

โคแทนเจนต์ ( ซีทีจี แอลฟา) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ถึงความยาวของขาตรงข้าม |BC| .

แทนเจนต์

ที่ไหน n- ทั้งหมด.

ในวรรณคดีตะวันตก แทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
;
;
.

กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์ y = tan x

โคแทนเจนต์

ที่ไหน n- ทั้งหมด.

ในวรรณคดีตะวันตก โคแทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
ยอมรับสัญลักษณ์ต่อไปนี้ด้วย:
;
;
.

กราฟของฟังก์ชันโคแทนเจนต์ y = ctg x

คุณสมบัติของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ความเป็นงวด

ฟังก์ชัน y = ทีจีเอ็กซ์และ ย = ซีทีจี xเป็นคาบกับคาบ π

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นเลขคี่

พื้นที่ของความหมายและค่านิยม การเพิ่มขึ้น การลดลง

ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์มีความต่อเนื่องในขอบเขตของคำจำกัดความ (ดูข้อพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แสดงอยู่ในตาราง ( n- ทั้งหมด).

	ย = ทีจีเอ็กซ์	ย = ซีทีจี x
ขอบเขตและความต่อเนื่อง
ช่วงของค่า	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
เพิ่มขึ้น		-
จากมากไปน้อย	-
สุดขั้ว	-	-
ศูนย์, y = 0
จุดตัดกับแกนพิกัด x = 0	ย = 0	-

สูตร

นิพจน์โดยใช้ไซน์และโคไซน์

; ;
; ;
;

สูตรแทนเจนต์และโคแทนเจนต์จากผลรวมและผลต่าง

สูตรที่เหลือก็หาได้ง่ายเช่นกัน

ผลคูณของแทนเจนต์

สูตรหาผลรวมและผลต่างของแทนเจนต์

ตารางนี้แสดงค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์

นิพจน์ที่ใช้จำนวนเชิงซ้อน

นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

;
;

อนุพันธ์

; .

.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n เทียบกับตัวแปร x ของฟังก์ชัน:
.
การหาสูตรแทนเจนต์ > > > ; สำหรับโคแทนเจนต์ > > >

ปริพันธ์

การขยายซีรีส์

เพื่อให้ได้การขยายตัวของแทนเจนต์ในกำลังของ x คุณต้องใช้เงื่อนไขหลายประการในการขยายอนุกรมกำลังสำหรับฟังก์ชัน บาป xและ เพราะ xและหารพหุนามเหล่านี้ด้วยตัวอื่นๆ สิ่งนี้จะสร้างสูตรต่อไปนี้

ที่ .

ที่ .
ที่ไหน บีเอ็น- หมายเลขเบอร์นูลลี โดยพิจารณาจากความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ:
;
;
ที่ไหน .
หรือตามสูตรของลาปลาซ:

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คืออาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์ตามลำดับ

อาร์กแทนเจนต์, อาร์กจี

, ที่ไหน n- ทั้งหมด.

อาร์กโคแทนเจนต์, อาร์กซีจี

, ที่ไหน n- ทั้งหมด.

อ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552
G. Korn, คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร, 2012.

ในบทความนี้เราจะมาดูอย่างละเอียด ข้อมูลประจำตัวตรีโกณมิติพื้นฐานคือความเท่าเทียมกันที่สร้างการเชื่อมโยงระหว่างไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง และอนุญาตให้เราค้นหาฟังก์ชันตรีโกณมิติเหล่านี้ผ่านฟังก์ชันอื่นที่รู้จัก

ให้เราแสดงรายการอัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลักที่เราจะวิเคราะห์ในบทความนี้ทันที มาเขียนมันลงในตาราง แล้วเราจะให้ผลลัพธ์ของสูตรเหล่านี้พร้อมคำอธิบายที่จำเป็นด้านล่าง

การนำทางหน้า

ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่ง

บางครั้งพวกเขาไม่ได้พูดถึงอัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลักที่แสดงอยู่ในตารางด้านบน แต่เกี่ยวกับข้อมูลเดียว อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานใจดี . คำอธิบายข้อเท็จจริงนี้ค่อนข้างง่าย: ความเท่าเทียมกันจะได้มาจากอัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลักหลังจากหารทั้งสองส่วนด้วย และ ตามลำดับ และความเท่าเทียมกัน และ ติดตามจากคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ เราจะพูดถึงเรื่องนี้โดยละเอียดในย่อหน้าต่อไปนี้

นั่นคือความเท่าเทียมกันที่เป็นที่สนใจเป็นพิเศษซึ่งได้รับชื่อของเอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก

ก่อนที่จะพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก เราจะให้สูตรดังนี้ ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่งจะเท่ากับหนึ่งเท่ากัน ทีนี้เรามาพิสูจน์กัน

ข้อมูลประจำตัวตรีโกณมิติพื้นฐานมักใช้เมื่อใด การแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ. ช่วยให้ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมหนึ่งถูกแทนที่ด้วยหนึ่ง ไม่บ่อยนักที่อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานจะใช้ในลำดับย้อนกลับ หน่วยจะถูกแทนที่ด้วยผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมใดๆ

แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ผ่านไซน์และโคไซน์

อัตลักษณ์ที่เชื่อมโยงแทนเจนต์และโคแทนเจนต์กับไซน์และโคไซน์ของมุมมองเดียวและ ปฏิบัติตามทันทีจากคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ตามคำนิยามแล้ว ไซน์คือลำดับของ y โคไซน์คือค่าแอบซิสซาของ x แทนเจนต์คืออัตราส่วนของค่าพิกัดต่อค่าแอบซิสซา นั่นคือ และโคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของแอบซิสซาต่อพิกัด นั่นคือ .

ขอบคุณความชัดเจนของตัวตนและ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์มักไม่ได้ถูกกำหนดผ่านอัตราส่วนของแอบซิสซาและพิกัด แต่ผ่านอัตราส่วนของไซน์และโคไซน์ ดังนั้นแทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ของมุมนี้ และโคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของโคไซน์ต่อไซน์

โดยสรุปของย่อหน้านี้ก็ควรสังเกตว่าอัตลักษณ์และ เกิดขึ้นสำหรับทุกมุมที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติรวมอยู่ในนั้นสมเหตุสมผล ดังนั้นสูตรนี้ใช้ได้กับค่าใดๆ ก็ตาม นอกเหนือจาก (ไม่เช่นนั้นตัวส่วนจะมีศูนย์และเราไม่ได้กำหนดการหารด้วยศูนย์) และสูตร - สำหรับทั้งหมด แตกต่างจาก โดยที่ z คือค่าใดๆ

ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติที่ชัดเจนยิ่งกว่าสองประการก่อนหน้านี้คืออัตลักษณ์ที่เชื่อมต่อแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่งของรูปแบบ . เห็นได้ชัดว่ามันคงไว้สำหรับมุมอื่นๆ ที่ไม่ใช่ มิฉะนั้น จะไม่ได้นิยามแทนเจนต์หรือโคแทนเจนต์

หลักฐานของสูตร ง่ายมาก. ตามคำจำกัดความและจากที่ไหน . การพิสูจน์อาจดำเนินการแตกต่างออกไปเล็กน้อย เนื่องจาก , ที่ .

ดังนั้น แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมเดียวกันที่เข้าท่าคือ