ความสามารถในการค้นหาความหมายของนิพจน์ตรีโกณมิติ โพสต์ติดแท็ก "ลดความซับซ้อนของนิพจน์ตรีโกณมิติ"

วิดีโอสอนเรื่อง "การทำให้เข้าใจง่าย นิพจน์ตรีโกณมิติ» ได้รับการออกแบบมาเพื่อพัฒนาทักษะของนักเรียนในการแก้ปัญหาตรีโกณมิติโดยใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน ในระหว่างบทเรียนวิดีโอ จะมีการพูดคุยถึงประเภทของอัตลักษณ์ตรีโกณมิติและตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยใช้สิ่งเหล่านี้ กำลังสมัคร วัสดุภาพจะทำให้ครูบรรลุวัตถุประสงค์ของบทเรียนได้ง่ายขึ้น การนำเสนอเนื้อหาที่สดใสช่วยส่งเสริมการท่องจำ จุดสำคัญ. การใช้เอฟเฟกต์ภาพเคลื่อนไหวและการพากย์เสียงช่วยให้คุณสามารถแทนที่ครูได้อย่างสมบูรณ์ในขั้นตอนการอธิบายเนื้อหา ดังนั้น โดยการใช้ภาพช่วยนี้ในบทเรียนคณิตศาสตร์ ครูจึงสามารถเพิ่มประสิทธิภาพในการสอนได้

ในตอนต้นของบทเรียนวิดีโอ จะมีการประกาศหัวข้อของบทเรียน จากนั้นเราจะจำอัตลักษณ์ตรีโกณมิติที่ศึกษาไว้ก่อนหน้านี้ หน้าจอจะแสดงค่าความเท่าเทียมกัน sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t โดยที่ t≠π/2+πk สำหรับ kϵZ, ctg t=cos t/sin t, แก้ไขสำหรับ t≠πk, โดยที่ kϵZ, tg t· ctg t=1, สำหรับ t≠πk/2 โดยที่ kϵZ เรียกว่าอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน มีข้อสังเกตว่าอัตลักษณ์เหล่านี้มักใช้ในการแก้ปัญหาที่จำเป็นในการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันหรือทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

ด้านล่างนี้เราจะพิจารณาตัวอย่างการประยุกต์ใช้ข้อมูลประจำตัวเหล่านี้ในการแก้ปัญหา ขั้นแรก เสนอให้พิจารณาการแก้ปัญหาการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ในตัวอย่างที่ 1 จำเป็นต้องทำให้นิพจน์ cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t ง่ายขึ้น เพื่อแก้ตัวอย่าง ขั้นแรกให้นำตัวประกอบร่วม cos 2 t ออกจากวงเล็บ จากผลของการเปลี่ยนแปลงในวงเล็บนี้ จะได้นิพจน์ 1- cos 2 t ซึ่งค่าจากเอกลักษณ์หลักของตรีโกณมิติเท่ากับ sin 2 t หลังจากเปลี่ยนนิพจน์ จะเห็นได้ชัดว่าสามารถนำปัจจัยทั่วไปอีกประการหนึ่ง sin 2 t ออกจากวงเล็บได้ หลังจากนั้นนิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t) จากเอกลักษณ์พื้นฐานเดียวกัน เราได้ค่าของนิพจน์ในวงเล็บเท่ากับ 1 ผลจากการลดความซับซ้อน เราได้ cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t

ในตัวอย่างที่ 2 นิพจน์ cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) จำเป็นต้องทำให้ง่ายขึ้น เนื่องจากตัวเศษของเศษส่วนทั้งสองมีค่าต้นทุนนิพจน์ จึงสามารถนำออกจากวงเล็บเป็นปัจจัยร่วมได้ จากนั้นเศษส่วนในวงเล็บจะถูกลดให้เป็นตัวส่วนร่วมโดยการคูณ (1- sint)(1+ sint) หลังจากนำเงื่อนไขที่คล้ายกันมา ตัวเศษยังคงเป็น 2 และตัวส่วน 1 - sin 2 t ที่ด้านขวาของหน้าจอ จะเรียกคืนอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน sin 2 t+cos 2 t=1 เมื่อใช้เราจะพบตัวส่วนของเศษส่วน cos 2 t หลังจากลดเศษส่วนแล้ว เราจะได้รูปแบบที่เรียบง่ายของนิพจน์ cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint)=2/cost

ต่อไป เราจะพิจารณาตัวอย่างการพิสูจน์ตัวตนที่ใช้ความรู้ที่ได้รับเกี่ยวกับอัตลักษณ์พื้นฐานของตรีโกณมิติ ในตัวอย่างที่ 3 จำเป็นต้องพิสูจน์ตัวตน (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t ทางด้านขวาของหน้าจอจะแสดงข้อมูลระบุตัวตนสามรายการที่จำเป็นสำหรับการพิสูจน์ - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t และ tg t=sin t/cos t โดยมีข้อจำกัด เพื่อพิสูจน์อัตลักษณ์ ขั้นแรกให้เปิดวงเล็บออก หลังจากนั้นจึงเกิดผลคูณที่สะท้อนการแสดงออกของอัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก tg t·ctg t=1 จากนั้น ตามเอกลักษณ์จากคำจำกัดความของโคแทนเจนต์ ctg 2 t จะถูกแปลง จากผลของการแปลงจะได้นิพจน์ 1-cos 2 t การใช้เอกลักษณ์หลักทำให้เราค้นหาความหมายของสำนวนได้ ดังนั้น จึงได้รับการพิสูจน์แล้วว่า (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t

ในตัวอย่างที่ 4 คุณต้องค้นหาค่าของนิพจน์ tg 2 t+ctg 2 t ถ้า tg t+ctg t=6 ในการคำนวณนิพจน์ ให้ยกกำลังสองทางด้านขวาและซ้ายของความเท่าเทียมกัน (tg t+ctg t) 2 =6 2 สูตรการคูณแบบย่อจะถูกเรียกคืนทางด้านขวาของหน้าจอ หลังจากเปิดวงเล็บทางด้านซ้ายของนิพจน์ ผลรวม tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t จะเกิดขึ้น เพื่อแปลงสภาพซึ่งคุณสามารถใช้หนึ่งในอัตลักษณ์ตรีโกณมิติ tg t·ctg t=1 ซึ่งรูปแบบจะถูกเรียกคืนทางด้านขวาของหน้าจอ หลังจากการแปลงจะได้ความเท่าเทียมกัน tg 2 t+ctg 2 t=34 ด้านซ้ายของความเสมอภาคเกิดขึ้นพร้อมกับสภาพของปัญหา ดังนั้นคำตอบคือ 34 ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

แนะนำให้ใช้บทเรียนวิดีโอ "การทำให้นิพจน์ตรีโกณมิติง่ายขึ้น" เพื่อใช้ในบทเรียนคณิตศาสตร์ของโรงเรียนแบบดั้งเดิม สื่อการสอนนี้จะเป็นประโยชน์กับครูที่ให้การเรียนรู้ทางไกลด้วย เพื่อพัฒนาทักษะในการแก้ปัญหาตรีโกณมิติ

การถอดรหัสข้อความ:

"การทำให้นิพจน์ตรีโกณมิติง่ายขึ้น"

ความเท่าเทียมกัน

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (ไซน์กำลังสอง te บวก โคไซน์กำลังสอง te เท่ากับหนึ่ง)

2)tgt =, สำหรับ t ≠ + πk, kϵZ (แทนเจนต์ te เท่ากับอัตราส่วนของไซน์ te ต่อโคไซน์ te โดยที่ te ไม่เท่ากับ pi คูณสองบวก pi ka, ka เป็นของ zet)

3)ctgt = , สำหรับ t ≠ πk, kϵZ (โคแทนเจนต์ te เท่ากับอัตราส่วนของโคไซน์ te ต่อไซน์ te โดยที่ te ไม่เท่ากับ pi ka, ka เป็นของ zet)

4) tgt ∙ ctgt = 1 สำหรับ t ≠ , kϵZ (ผลคูณของแทนเจนต์ te ด้วยโคแทนเจนต์ te เท่ากับ 1 เมื่อ te ไม่เท่ากับพีค ka หารด้วยสอง ka เป็นของ zet)

เรียกว่าอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

มักใช้ในการทำให้นิพจน์ตรีโกณมิติง่ายขึ้นและพิสูจน์ได้

มาดูตัวอย่างการใช้สูตรเหล่านี้เพื่อทำให้นิพจน์ตรีโกณมิติง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 1. ลดความซับซ้อนของนิพจน์: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t (นิพจน์โคไซน์กำลังสอง te ลบโคไซน์ขององศาที่สี่ te บวกไซน์ของระดับที่สี่ te)

สารละลาย. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 เสื้อ) = บาป 2 เสื้อ 1= บาป 2 เสื้อ

(เรานำตัวประกอบร่วมโคไซน์กำลังสอง te ออกมา ในวงเล็บเราจะได้ความแตกต่างระหว่างเอกภาพและโคไซน์กำลังสอง te ซึ่งเท่ากับไซน์กำลังสองตามอัตลักษณ์แรก เราจะได้ผลรวมของไซน์กำลังสี่ te ของ ผลคูณโคไซน์สแควร์ te และไซน์สแควร์ te เรานำปัจจัยร่วมไซน์สแควร์ te ออกไปนอกวงเล็บ ในวงเล็บ เราจะได้ผลรวมของกำลังสองของโคไซน์และไซน์ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้ว เอกลักษณ์ตรีโกณมิติเท่ากับหนึ่ง เป็นผลให้เราได้กำลังสองของไซน์ te)

ตัวอย่าง 2. ลดความซับซ้อนของนิพจน์: + .

(นิพจน์คือผลรวมของเศษส่วนสองตัวในตัวเศษของโคไซน์แรก te ในตัวส่วน 1 ลบไซน์ te ในตัวเศษของโคไซน์ที่สอง te ในตัวส่วนของอันที่สองบวกไซน์ te)

(ลองนำโคไซน์ตัวประกอบร่วมของ te ออกจากวงเล็บ และในวงเล็บเราจะนำมันไปหาตัวส่วนร่วม ซึ่งเป็นผลคูณของ 1 ลบ sine te คูณ 1 บวก sine te

ในตัวเศษที่เราได้รับ: 1 บวก ไซน์ te บวก 1 ลบ ไซน์ te เราให้อันที่คล้ายกัน ตัวเศษเท่ากับ 2 หลังจากเอาอันที่คล้ายกันมา

ในตัวส่วน คุณสามารถใช้สูตรการคูณแบบย่อ (ผลต่างของกำลังสอง) และรับความแตกต่างระหว่างเอกภาพและกำลังสองของไซน์ te ซึ่งตามอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

เท่ากับกำลังสองของโคไซน์ te หลังจากลดโคไซน์ te เราจะได้คำตอบสุดท้าย: 2 หารด้วยโคไซน์ te)

มาดูตัวอย่างการใช้สูตรเหล่านี้ในการพิสูจน์นิพจน์ตรีโกณมิติ

ตัวอย่าง 3. พิสูจน์เอกลักษณ์ (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (ผลคูณของผลต่างระหว่างกำลังสองของแทนเจนต์ te และไซน์ te คูณกำลังสองของโคแทนเจนต์ te เท่ากับกำลังสองของ ไซน์เต)

การพิสูจน์.

มาแปลงด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันกัน:

(tg 2 t - บาป 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - บาป 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - บาป 2 t ∙ ctg 2 t =1 - บาป 2 t ∙ = 1 - cos 2 เสื้อ = บาป 2 เสื้อ

(ลองเปิดวงเล็บดู จากความสัมพันธ์ที่ได้รับก่อนหน้านี้ เป็นที่รู้กันว่าผลคูณของกำลังสองของแทนเจนต์ te ต่อโคแทนเจนต์ te เท่ากับ 1 ให้เราระลึกว่าโคแทนเจนต์ te เท่ากับอัตราส่วนของโคไซน์ te ต่อไซน์ te ซึ่ง หมายความว่ากำลังสองของโคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของกำลังสองของโคไซน์ te ต่อกำลังสองของไซน์ te

หลังจากการรีดักชันด้วยไซน์สแควร์ te เราจะได้ความแตกต่างระหว่างเอกภาพและโคไซน์สแควร์ te ซึ่งเท่ากับไซน์สแควร์ te) Q.E.D.

ตัวอย่าง 4. ค้นหาค่าของนิพจน์ tg 2 t + ctg 2 t ถ้า tgt + ctgt = 6

(ผลรวมของกำลังสองของแทนเจนต์ te และโคแทนเจนต์ te ถ้าผลรวมของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คือหก)

สารละลาย. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

ทีจี 2 เสื้อ + 2 + CTG 2 เสื้อ = 36

เสื้อ 2 เสื้อ + CTG 2 เสื้อ = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างของความเสมอภาคเดิม:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (กำลังสองของผลรวมของแทนเจนต์ te และโคแทนเจนต์ te เท่ากับหกกำลังสอง) ขอให้เรานึกถึงสูตรสำหรับการคูณแบบย่อ: กำลังสองของผลรวมของสองปริมาณจะเท่ากับกำลังสองของตัวแรกบวกสองเท่าของผลคูณของตัวแรกคูณวินาทีบวกกำลังสองของวินาที (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 เราได้ tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (แทนเจนต์กำลังสอง te บวกสองเท่าผลคูณของแทนเจนต์ te ด้วยโคแทนเจนต์ te บวกโคแทนเจนต์กำลังสอง te เท่ากับ สามสิบหก) .

เนื่องจากผลคูณของแทนเจนต์ te และโคแทนเจนต์ te เท่ากับ 1 ดังนั้น tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (ผลรวมของกำลังสองของแทนเจนต์ te และโคแทนเจนต์ te และสองเท่ากับสามสิบหก)

ตามคำขอของคุณ

6. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

เพราะ ฟังก์ชันร่วมของมุมที่ประกอบกันจนถึง 90° จะเท่ากันจากนั้นเราแทนที่ sin50° ในตัวเศษของเศษส่วนด้วย cos40° และใช้สูตรสำหรับไซน์ของอาร์กิวเมนต์คู่กับตัวเศษ เราได้ 5sin80° ในตัวเศษ ลองแทนที่ sin80° ด้วย cos10° ซึ่งจะช่วยให้เราลดเศษส่วนได้

สูตรที่ใช้: 1) sinα=คอส(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα

7. ใน ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ผลต่างคือ 12 และเทอมที่แปดคือ 54 จงหาจำนวนเทอมลบ

แผนการแก้ปัญหา มาสร้างสูตรสำหรับเทอมทั่วไปของความก้าวหน้านี้แล้วดูว่าจะได้ค่าใดของเทอมลบ n เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะต้องค้นหาระยะแรกของความก้าวหน้า

เรามี d=12, 8 =54 ใช้สูตร a n =a 1 +(n-1)∙d เราเขียน:

8 = ก 1 +7d ลองทดแทนข้อมูลที่มีอยู่ 54=ก 1 +7∙12;

ก 1 =-30 แทนค่านี้ลงในสูตร a n =a 1 +(n-1)∙d

n =-30+(n-1)∙12 หรือ n =-30+12n-12 มาลดรูปกัน: a n =12n-42

เรากำลังหาจำนวนเทอมลบ ดังนั้นเราจึงต้องแก้อสมการ:

หนึ่ง<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;

12น<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. ค้นหาช่วงของค่าของฟังก์ชันต่อไปนี้: y=x-|x|

มาเปิดฉากยึดโมดูลาร์กัน ถ้า x≥0 แล้ว y=x-x ⇒ y=0 กราฟจะเป็นแกน Ox ทางด้านขวาของจุดกำเนิด ถ้า x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

9. ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยกลมด้านขวาหากกำเนิดของมันคือ 18 ซม. และพื้นที่ฐานคือ 36 ซม. 2 .

ให้ไว้เป็นกรวยที่มี MAV ส่วนตามแนวแกน เครื่องกำเนิด VM=18, S หลัก =36π. เราคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยโดยใช้สูตร: ด้าน S =πRl โดยที่ l คือตัวกำเนิดและตามเงื่อนไขเท่ากับ 18 ซม. R คือรัศมีของฐาน เราจะพบมันโดยใช้สูตร: S cr = πR 2 . เรามี S cr. = ส พื้นฐาน = 36π. ดังนั้น πR 2 =36π ⇒ R=6

แล้วฝั่งเอส. =π∙6∙18 ⇒ ด้าน S =108π ซม.2

12. การแก้สมการลอการิทึม เศษส่วนจะเท่ากับ 1 ถ้าตัวเศษเท่ากับตัวส่วน เช่น

บันทึก (x 2 +5x+4)=2logx สำหรับ logx≠0 ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันจะใช้คุณสมบัติของกำลังของตัวเลขภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม: lg(x 2 +5x+4)=lgx 2 ลอการิทึมทศนิยมเหล่านี้เท่ากัน ดังนั้นตัวเลขที่อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึมจึงเท่ากัน , ดังนั้น:

x 2 +5x+4=x 2 ดังนั้น 5x=-4; เราได้ x=-0.8 อย่างไรก็ตาม ค่านี้ไม่สามารถหาได้ เนื่องจากมีเพียงจำนวนบวกเท่านั้นที่จะอยู่ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีคำตอบ บันทึก. คุณไม่ควรพบ ODZ ในช่วงเริ่มต้นของการตัดสินใจ (เสียเวลาของคุณ!) ควรตรวจสอบในตอนท้าย (เหมือนที่เรากำลังทำอยู่ตอนนี้) ดีกว่า

13. ค้นหาค่าของนิพจน์ (x o – y o) โดยที่ (x o; y o) คือคำตอบของระบบสมการ:

14. แก้สมการ:

ถ้าจะหารด้วย 2 และตัวเศษและส่วนของเศษส่วน คุณจะได้เรียนรู้สูตรแทนเจนต์ของมุมสองมุม ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการง่ายๆ: tg4x=1

15. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: f(x)=(6x 2 -4x) 5.

เราได้รับฟังก์ชันที่ซับซ้อนมา เรานิยามมันด้วยคำเดียว - นี่คือระดับ ดังนั้นตามกฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเราจะหาอนุพันธ์ของดีกรีแล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของฐานของดีกรีนี้ตามสูตร:

(คุณ)’ = น ∙ คุณไม่มี -1 ∙ ยู'.

ฉ '(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x)’ = 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x 2 -4x) 4 .

16. จำเป็นต้องค้นหา f '(1) ถ้าฟังก์ชัน

17. ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าผลรวมของเส้นแบ่งครึ่งทั้งหมดคือ 33√3 ซม. จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นทั้งค่ามัธยฐานและระดับความสูง ดังนั้น ความยาวของความสูง BD ของสามเหลี่ยมนี้จึงเท่ากับ

ลองหาด้าน AB จากสี่เหลี่ยม Δ ABD เนื่องจาก sin60° = BD : AB แล้วก็ AB = BD : บาป 60°

18. วงกลมถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งมีความสูง 12 ซม. จงหาพื้นที่ของวงกลม

วงกลม (O; OD) ถูกจารึกไว้ในด้านเท่ากันหมด Δ ABC ระดับความสูง BD ยังเป็นเส้นแบ่งครึ่งและค่ามัธยฐานด้วย และจุดศูนย์กลางของวงกลมคือจุด O อยู่บน BD

O – จุดตัดกันของความสูง เส้นแบ่งครึ่งและค่ามัธยฐานจะหารค่ามัธยฐาน BD ในอัตราส่วน 2:1 โดยนับจากจุดยอด ดังนั้น OD=(1/3)BD=12:3=4 รัศมีของวงกลม R=OD=4 ซม. พื้นที่ของวงกลม S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π cm 2

19. ขอบด้านข้างของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือ 9 ซม. และด้านข้างของฐานคือ 8 ซม. จงหาความสูงของปิรามิด

ฐานของพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือสี่เหลี่ยม ABCD ส่วนฐานที่มีความสูง MO คือจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

20. ลดความซับซ้อน:

ในตัวเศษ กำลังสองของผลต่างจะถูกพับ

เราแยกตัวประกอบตัวส่วนโดยใช้วิธีจัดกลุ่มคำศัพท์

21. คำนวณ:

เพื่อให้สามารถแยกรากที่สองทางคณิตศาสตร์ได้ นิพจน์รากจะต้องเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ให้เราแสดงนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายรูทในรูปแบบของผลต่างกำลังสองของสองนิพจน์โดยใช้สูตร:

a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2 โดยสมมติว่า a 2 +b 2 =10

22. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ให้เราแสดงด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกันเป็นผลิตภัณฑ์ ผลรวมของไซน์ของมุมทั้งสองเท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์ของผลรวมครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้ และโคไซน์ของผลต่างครึ่งหนึ่งของมุมเหล่านี้:

เราได้รับ:

ลองแก้อสมการนี้แบบกราฟิกกัน เราเลือกจุดเหล่านั้นของกราฟ y=cost ที่อยู่เหนือเส้นตรงและกำหนดจุดหักล้างของจุดเหล่านี้ (แสดงโดยการแรเงา)

23. ค้นหาแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดสำหรับฟังก์ชัน: h(x)=cos 2 x

มาแปลงฟังก์ชันนี้โดยลดระดับลงโดยใช้สูตร:

1+คอส2α=2คอส 2 α เราได้รับฟังก์ชั่น:

24. ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์

25. ใส่เครื่องหมายเลขคณิตแทนเครื่องหมายดอกจันเพื่อให้คุณได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง: (3*3)*(4*4) = 31 – 6

เราให้เหตุผล: ตัวเลขควรเป็น 25 (31 – 6 = 25) จะรับตัวเลขนี้จาก "สาม" สองอันและ "สี่" สองอันโดยใช้สัญลักษณ์การกระทำได้อย่างไร

แน่นอนมันคือ:3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 = 9 + 16 = 25 ตอบ จ)

บทที่ 1

เรื่อง: ชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 (เตรียมสอบ Unified State)

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ตรีโกณมิติ

การแก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย (2 ชั่วโมง)

เป้าหมาย:

จัดระบบ สรุป ขยายความรู้และทักษะของนักเรียนที่เกี่ยวข้องกับการใช้สูตรตรีโกณมิติและการแก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย

อุปกรณ์สำหรับบทเรียน:

โครงสร้างบทเรียน:

ช่วงเวลาขององค์กร
การทดสอบบนแล็ปท็อป การอภิปรายผล
ลดความซับซ้อนของนิพจน์ตรีโกณมิติ
การแก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย
ทำงานอิสระ.
สรุปบทเรียน อธิบายการบ้านที่ได้รับมอบหมาย

1. ช่วงเวลาขององค์กร (2 นาที.)

ครูทักทายผู้ฟัง ประกาศหัวข้อบทเรียน เตือนพวกเขาว่าก่อนหน้านี้พวกเขาได้รับมอบหมายให้ทำสูตรตรีโกณมิติซ้ำ และเตรียมนักเรียนให้พร้อมสำหรับการทดสอบ

2. การทดสอบ (การอภิปราย 15 นาที + 3 นาที)

เป้าหมายคือเพื่อทดสอบความรู้เกี่ยวกับสูตรตรีโกณมิติและความสามารถในการนำไปใช้ นักเรียนแต่ละคนมีแล็ปท็อปบนโต๊ะพร้อมข้อสอบเวอร์ชันหนึ่ง

มีหลายตัวเลือก ฉันจะยกตัวอย่างหนึ่งในนั้น:

ฉันมีตัวเลือก

ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

ก) อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

1. บาป 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) สูตรการบวก

3. บาป5x - บาป3x;

c) การแปลงผลิตภัณฑ์เป็นผลรวม

6. 2sin8y cos3y;

d) สูตรมุมคู่

7. 2sin5x cos5x;

e) สูตรสำหรับครึ่งมุม

f) สูตรมุมสามมุม

g) การทดแทนสากล

h) การลดระดับ

16. คอส 2 (3x/7);

นักเรียนจะเห็นคำตอบของตนเองบนแล็ปท็อปข้างสูตรแต่ละสูตร

คอมพิวเตอร์ตรวจสอบงานทันที ผลลัพธ์จะแสดงบนหน้าจอขนาดใหญ่ให้ทุกคนได้เห็น

นอกจากนี้ หลังจากทำงานเสร็จแล้ว คำตอบที่ถูกต้องจะแสดงบนแล็ปท็อปของนักเรียน นักเรียนแต่ละคนจะเห็นว่าข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ใดและต้องทำซ้ำสูตรใดบ้าง

3. ลดความซับซ้อนของนิพจน์ตรีโกณมิติ (25 นาที)

เป้าหมายคือการทำซ้ำ ฝึกฝน และรวบรวมการใช้สูตรตรีโกณมิติพื้นฐาน การแก้ปัญหา B7 จากการสอบ Unified State

ในขั้นตอนนี้ ขอแนะนำให้แบ่งชั้นเรียนออกเป็นกลุ่มนักเรียนที่เก่ง (ทำงานอย่างอิสระกับการทดสอบครั้งต่อไป) และนักเรียนที่อ่อนแอซึ่งทำงานร่วมกับครู

การมอบหมายสำหรับนักเรียนที่เข้มแข็ง (จัดทำล่วงหน้าในรูปแบบสิ่งพิมพ์) จุดเน้นหลักอยู่ที่สูตรการลดและมุมสองเท่าตาม Unified State Exam 2011

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ (สำหรับนักเรียนที่เข้มแข็ง):

ในขณะเดียวกัน ครูก็ทำงานร่วมกับนักเรียนที่อ่อนแอ เพื่อพูดคุยและแก้ไขงานบนหน้าจอภายใต้คำสั่งของนักเรียน

คำนวณ:

5) บาป(270º - α) + cos (270º + α)

ลดความซับซ้อน:

ถึงเวลาหารือผลงานของกลุ่มเข้มแข็ง

คำตอบจะปรากฏบนหน้าจอ และยังมีการแสดงผลงานของนักเรียน 5 คนที่แตกต่างกันด้วยกล้องวิดีโอ (หนึ่งงานสำหรับแต่ละคน)

กลุ่มอ่อนแอมองเห็นสภาพและวิธีการแก้ไข การสนทนาและการวิเคราะห์อยู่ระหว่างดำเนินการ ด้วยการใช้วิธีการทางเทคนิค สิ่งนี้จะเกิดขึ้นอย่างรวดเร็ว

4. การแก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย (30 นาที)

เป้าหมายคือการทำซ้ำ จัดระบบ และสรุปคำตอบของสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด และเขียนรากของสมการเหล่านั้น การแก้ปัญหา B3

สมการตรีโกณมิติใดๆ ไม่ว่าเราจะแก้มันอย่างไร ก็จะนำไปสู่สมการที่ง่ายที่สุด

เมื่อทำภารกิจเสร็จแล้ว ผู้เรียนควรใส่ใจกับการเขียนรากของสมการกรณีพิเศษและรูปทั่วไป และการเลือกรากในสมการสุดท้าย

แก้สมการ:

เขียนรากที่เป็นบวกน้อยที่สุดเป็นคำตอบของคุณ

5. งานอิสระ (10 นาที)

เป้าหมายคือการทดสอบทักษะที่ได้รับ ระบุปัญหา ข้อผิดพลาด และวิธีการกำจัด

มีการเสนองานหลายระดับให้นักเรียนเลือก

ตัวเลือก "3"

1) ค้นหาค่าของนิพจน์

2) ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) แก้สมการ

ตัวเลือกสำหรับ "4"

1) ค้นหาค่าของนิพจน์

2) แก้สมการ เขียนรากที่เป็นบวกน้อยที่สุดลงในคำตอบของคุณ

ตัวเลือก "5"

1) ค้นหาtanαถ้า

2) ค้นหารากของสมการ เขียนรากที่เป็นบวกน้อยที่สุดเป็นคำตอบของคุณ

6. สรุปบทเรียน (5 นาที)

ครูสรุปข้อเท็จจริงที่ว่าในระหว่างบทเรียน พวกเขาทำซ้ำและเสริมสูตรตรีโกณมิติและแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

มีการมอบหมายการบ้าน (เตรียมแบบพิมพ์ไว้ล่วงหน้า) โดยสุ่มตรวจในบทเรียนถัดไป

แก้สมการ:

10) ในคำตอบของคุณ ให้ระบุรากที่เป็นบวกน้อยที่สุด

บทที่ 2

เรื่อง: ชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 (เตรียมสอบ Unified State)

วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ การเลือกราก (2 ชั่วโมง)

เป้าหมาย:

สรุปและจัดระบบความรู้เกี่ยวกับการแก้สมการตรีโกณมิติประเภทต่างๆ
เพื่อส่งเสริมการพัฒนาการคิดทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน ความสามารถในการสังเกต เปรียบเทียบ สรุป และจำแนกประเภท
กระตุ้นให้นักเรียนเอาชนะความยากลำบากในกระบวนการทำกิจกรรมทางจิต การควบคุมตนเอง และการทบทวนกิจกรรมของตนเอง

อุปกรณ์สำหรับบทเรียน: KRMu แล็ปท็อปสำหรับนักเรียนแต่ละคน

โครงสร้างบทเรียน:

ช่วงเวลาขององค์กร
การอภิปรายเกี่ยวกับ d/z และตนเอง งานจากบทเรียนที่แล้ว
ทบทวนวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ
การแก้สมการตรีโกณมิติ
การเลือกรากในสมการตรีโกณมิติ
ทำงานอิสระ.
สรุปบทเรียน การบ้าน.

1. ช่วงเวลาขององค์กร (2 นาที)

ครูทักทายผู้ฟัง แจ้งหัวข้อบทเรียนและแผนงาน

2. ก) วิเคราะห์การบ้าน (5 นาที)

เป้าหมายคือการตรวจสอบการดำเนินการ ผลงานชิ้นหนึ่งจะแสดงบนหน้าจอโดยใช้กล้องวิดีโอ ส่วนที่เหลือจะถูกรวบรวมเพื่อให้ครูตรวจสอบ

b) การวิเคราะห์งานอิสระ (3 นาที)

เป้าหมายคือการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดและระบุวิธีที่จะเอาชนะข้อผิดพลาดเหล่านั้น

คำตอบและวิธีแก้ปัญหาอยู่บนหน้าจอ นักเรียนมีงานแจกล่วงหน้า การวิเคราะห์ดำเนินไปอย่างรวดเร็ว

3. ทบทวนวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ (5 นาที)

เป้าหมายคือการจำวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

ถามนักเรียนว่าพวกเขารู้วิธีแก้สมการตรีโกณมิติอย่างไร เน้นว่ามีวิธีที่เรียกว่าพื้นฐาน (ใช้บ่อย) ดังนี้

การแทนที่ตัวแปร
การแยกตัวประกอบ,
สมการเอกพันธ์

และมีวิธีการดังนี้

การใช้สูตรในการแปลงผลรวมเป็นผลิตภัณฑ์และผลิตภัณฑ์เป็นผลรวม
ตามสูตรการลดระดับ
การทดแทนตรีโกณมิติสากล
การแนะนำมุมเสริม
การคูณด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติบางอย่าง

ควรจำไว้ว่าสมการหนึ่งสามารถแก้ได้หลายวิธี

4. การแก้สมการตรีโกณมิติ (30 นาที)

เป้าหมายคือการสรุปและรวบรวมความรู้และทักษะในหัวข้อนี้ เพื่อเตรียมพร้อมสำหรับโซลูชัน C1 จากการสอบ Unified State

ผมเห็นว่าแนะนำให้แก้สมการแต่ละวิธีร่วมกับผู้เรียน

นักเรียนกำหนดวิธีแก้ปัญหา ครูจดลงบนแท็บเล็ต และกระบวนการทั้งหมดจะปรากฏบนหน้าจอ สิ่งนี้จะช่วยให้คุณสามารถเรียกคืนเนื้อหาที่เคยกล่าวถึงก่อนหน้านี้ในความทรงจำของคุณได้อย่างรวดเร็วและมีประสิทธิภาพ

แก้สมการ:

1) การแทนที่ตัวแปร 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) การแยกตัวประกอบ 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) สมการเอกพันธ์ บาป 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) การแปลงผลรวมเป็นผลคูณ cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) การแปลงผลคูณเป็นผลรวม 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) การลดระดับ sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0.5

7) การทดแทนตรีโกณมิติสากล sinx + 5cosx + 5 = 0

เมื่อแก้สมการนี้ ควรสังเกตว่าการใช้วิธีนี้ทำให้ช่วงคำจำกัดความแคบลง เนื่องจากไซน์และโคไซน์ถูกแทนที่ด้วย tg(x/2) ดังนั้น ก่อนที่จะเขียนคำตอบ คุณต้องตรวจสอบว่าตัวเลขจากเซต π + 2πn, n Z เป็นม้าของสมการนี้หรือไม่

8) การแนะนำมุมเสริม √3sinx + cosx - √2 = 0

9) การคูณด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ cosx cos2x cos4x = 1/8

5. การเลือกรากของสมการตรีโกณมิติ (20 นาที)

เนื่องจากในสภาวะการแข่งขันที่ดุเดือดเมื่อเข้ามหาวิทยาลัย การสอบส่วนแรกเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอ นักเรียนส่วนใหญ่จึงควรให้ความสำคัญกับงานของส่วนที่สอง (C1, C2, C3)

ดังนั้น เป้าหมายของบทเรียนระยะนี้คือการจดจำเนื้อหาที่เรียนมาก่อนหน้านี้ และเตรียมแก้ปัญหา C1 จากการสอบ Unified State 2011

มีสมการตรีโกณมิติที่คุณต้องเลือกรากเมื่อเขียนคำตอบ นี่เป็นเพราะข้อจำกัดบางประการ เช่น ตัวส่วนของเศษส่วนไม่เท่ากับศูนย์ นิพจน์ใต้รากคู่ไม่เป็นลบ นิพจน์ใต้เครื่องหมายลอการิทึมเป็นค่าบวก เป็นต้น

สมการดังกล่าวถือเป็นสมการที่มีความซับซ้อนเพิ่มขึ้น และในเวอร์ชัน Unified State Exam จะพบได้ในส่วนที่สองคือ C1

แก้สมการ:

เศษส่วนจะเท่ากับศูนย์หากเป็นเช่นนั้น โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย เราจะเลือกราก (ดูรูปที่ 1)