ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มีมาตั้งแต่สมัยโบราณ พวกเขาปรากฏตัวและต้องการวิธีแก้ปัญหา เพราะพวกเขามีความจำเป็นจริง

ดังนั้นหนึ่งใน papyri ของอียิปต์โบราณซึ่งมีเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ - Rhind papyrus (ศตวรรษที่ XIX ก่อนคริสต์ศักราช) - มีงานต่อไปนี้: แบ่งขนมปังสิบหน่วยออกเป็นสิบคนโดยให้ความแตกต่างระหว่างแต่ละคนเป็นหนึ่ง ที่แปดของการวัด

และในงานคณิตศาสตร์ของชาวกรีกโบราณมีทฤษฎีบทที่สง่างามที่เกี่ยวข้องกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ดังนั้น Hypsicles of Alexandria (ศตวรรษที่ 2 ซึ่งรวบรวมปัญหาที่น่าสนใจมากมายและเพิ่มหนังสือเล่มที่สิบสี่ใน "Elements" ของ Euclid ได้กำหนดแนวคิด: "ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีสมาชิกจำนวนเท่ากันผลรวมของสมาชิกของครึ่งหลัง มากกว่าผลรวมของสมาชิกที่ 1 ด้วยสมาชิกสแควร์ 1 / 2

ลำดับ an ถูกแสดง ตัวเลขของลำดับเรียกว่าสมาชิกและมักจะแสดงด้วยตัวอักษรพร้อมดัชนีที่ระบุหมายเลขซีเรียลของสมาชิกนี้ (a1, a2, a3 ... อ่านว่า: "ที่ 1", "ที่ 2", "ที่ 3" ” และอื่นๆ )

ลำดับสามารถเป็นอนันต์หรือจำกัด

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร? เป็นที่เข้าใจโดยการเพิ่มเทอมก่อนหน้า (n) ด้วยตัวเลข d เดียวกันซึ่งเป็นความแตกต่างของความก้าวหน้า

ถ้า d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 ดังนั้นความก้าวหน้าดังกล่าวจึงถือว่าเพิ่มขึ้น

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตมีขอบเขตจำกัด หากพิจารณาเงื่อนไขแรกเพียงไม่กี่คำเท่านั้น ด้วยจำนวนสมาชิกที่มาก จึงมีความก้าวหน้าอย่างไม่สิ้นสุด

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้:

an =kn+b ในขณะที่ b และ k เป็นตัวเลขบางตัว

คำสั่งซึ่งตรงกันข้ามคือความจริงอย่างยิ่ง: หากลำดับถูกกำหนดโดยสูตรที่คล้ายคลึงกัน นี่ก็คือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีคุณสมบัติดังนี้

สมาชิกของความก้าวหน้าแต่ละคนคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกถัดไป
ตรงกันข้าม: หากเริ่มจากเทอมที่ 2 แต่ละเทอมเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเทอมก่อนหน้าและเทอมถัดไป กล่าวคือ ถ้าตรงตามเงื่อนไข ลำดับที่กำหนดจะเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ความเท่าเทียมกันนี้ยังเป็นสัญญาณของความก้าวหน้าอีกด้วย ดังนั้นจึงมักเรียกว่าคุณสมบัติเฉพาะของความก้าวหน้า
ในทำนองเดียวกัน ทฤษฎีบทที่สะท้อนคุณสมบัตินี้เป็นจริง: ลำดับคือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ก็ต่อเมื่อความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงสำหรับสมาชิกของลำดับใดๆ โดยเริ่มจากลำดับที่ 2

คุณสมบัติเฉพาะสำหรับตัวเลขสี่ตัวใดๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงได้โดยสูตร an + am = ak + al ถ้า n + m = k + l (m, n, k คือตัวเลขของความก้าวหน้า)

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คำศัพท์ที่จำเป็น (Nth) สามารถพบได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ตัวอย่างเช่น: เทอมแรก (a1) ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะได้รับและเท่ากับสาม และผลต่าง (d) เท่ากับสี่ คุณต้องหาระยะที่สี่สิบห้าของความก้าวหน้านี้ a45 = 1+4(45-1)=177

สูตร an = ak + d(n - k) ช่วยให้คุณสามารถกำหนดสมาชิกที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ผ่านสมาชิกที่ k-th ใดๆ ของมันได้ โดยจะต้องทราบ

ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (สมมติว่าสมาชิกที่ 1 ของความก้าวหน้าสุดท้าย) คำนวณได้ดังนี้:

Sn = (a1+an) n/2

หากรู้จักเทอมที่ 1 แล้วสูตรอื่นก็สะดวกสำหรับการคำนวณ:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มี n เทอมคำนวณดังนี้:

การเลือกสูตรสำหรับการคำนวณขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของงานและข้อมูลเบื้องต้น

ชุดธรรมชาติของตัวเลขใดๆ เช่น 1,2,3,...,n,... เป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

นอกจากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้วยังมีเรขาคณิตซึ่งมีคุณสมบัติและลักษณะเฉพาะของตัวเอง

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตั้งชื่อลำดับของตัวเลข (สมาชิกของความก้าวหน้า)

ซึ่งแต่ละเทอมถัดมาต่างจากเทอมที่แล้วโดยเทอมเหล็กซึ่งเรียกอีกอย่างว่า ขั้นตอนหรือความแตกต่างของความก้าวหน้า.

ดังนั้น โดยการกำหนดขั้นตอนของความก้าวหน้าและเทอมแรก คุณสามารถค้นหาองค์ประกอบใดๆ โดยใช้สูตร

คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

1) สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากเลขที่สอง เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกก่อนหน้าและถัดไปของความก้าวหน้า

การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน หากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกคี่ (คู่) ที่อยู่ใกล้เคียงของความก้าวหน้าเท่ากับสมาชิกที่ยืนอยู่ระหว่างพวกเขา ลำดับของตัวเลขนี้เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ การยืนยันนี้ทำให้ง่ายต่อการตรวจสอบลำดับใดๆ

นอกจากนี้ โดยคุณสมบัติของการก้าวหน้าเลขคณิต สูตรข้างต้นสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้

ง่ายต่อการตรวจสอบหากเราเขียนเงื่อนไขทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ

มักใช้ในทางปฏิบัติเพื่อลดความซับซ้อนในการคำนวณปัญหา

2) ผลรวมของ n เทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คำนวณโดยสูตร

จำสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นอย่างดี ซึ่งเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในการคำนวณและเป็นเรื่องธรรมดาในสถานการณ์ชีวิตที่เรียบง่าย

3) หากคุณต้องการค้นหาไม่ใช่ผลรวมทั้งหมด แต่เป็นส่วนหนึ่งของลำดับที่เริ่มต้นจากสมาชิกที่ k -th สูตรผลรวมต่อไปนี้จะมีประโยชน์สำหรับคุณ

4) เป็นประโยชน์ในทางปฏิบัติที่จะหาผลรวมของสมาชิก n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เริ่มจากเลข kth เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตร

นี่คือจุดสิ้นสุดของเนื้อหาเชิงทฤษฎี และเราดำเนินการต่อไปในการแก้ปัญหาที่พบได้ทั่วไปในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาเทอมที่สี่สิบของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 4;7;...

การตัดสินใจ:

ตามเงื่อนไขเรามี

กำหนดขั้นตอนความก้าวหน้า

ตามสูตรที่รู้จักกันดี เราพบระยะที่สี่สิบของความก้าวหน้า

ตัวอย่าง2. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยสมาชิกคนที่สามและเจ็ด หาระยะแรกของความก้าวหน้าและผลรวมของสิบ

การตัดสินใจ:

เราเขียนองค์ประกอบที่กำหนดของความก้าวหน้าตามสูตร

เราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง ดังนั้นเราจึงพบความก้าวหน้า

ค่าที่พบจะถูกแทนที่ในสมการใด ๆ เพื่อค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

คำนวณผลรวมของสิบเทอมแรกของความก้าวหน้า

เราพบค่าที่จำเป็นทั้งหมดโดยไม่ต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อน

ตัวอย่างที่ 3 ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยตัวส่วนและหนึ่งในสมาชิก จงหาเทอมแรกของการคืบหน้า ผลรวมของเทอม 50 โดยเริ่มจาก 50 และผลรวมของ 100 เทอมแรก

การตัดสินใจ:

ลองเขียนสูตรสำหรับองค์ประกอบที่ร้อยของความก้าวหน้า

และหาคนแรก

จากข้อแรก เราพบระยะที่ 50 ของความก้าวหน้า

การหาผลรวมของความก้าวหน้า

และผลรวมของ 100 . แรก

ผลรวมของความก้าวหน้าคือ 250

ตัวอย่างที่ 4

หาจำนวนสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถ้า:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

การตัดสินใจ:

เราเขียนสมการในรูปของเทอมแรกและขั้นตอนของความก้าวหน้าและกำหนดมัน

เราแทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตรผลรวมเพื่อกำหนดจำนวนเงื่อนไขในผลรวม

ทำให้เข้าใจง่าย

และแก้สมการกำลังสอง

จากค่าทั้งสองที่พบ มีเพียงเลข 8 เท่านั้นที่เหมาะกับสภาพของปัญหา ดังนั้นผลรวมของแปดเทอมแรกของความก้าวหน้าคือ 111

ตัวอย่างที่ 5

แก้สมการ

1+3+5+...+x=307.

วิธีแก้ไข: สมการนี้คือผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราเขียนเทอมแรกและค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า

ตัวอย่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิตนำมาจาก "การรวบรวมงานสำหรับผู้สมัคร คณิตศาสตร์" ที่ตีพิมพ์โดยมหาวิทยาลัยแห่งรัฐโวลีนซึ่งตั้งชื่อตาม Lesya Ukrainka ในปี 2544 อ่านคำตอบอย่างละเอียดและเลือกสิ่งที่จำเป็นสำหรับตัวคุณเองมากที่สุด

กลุ่ม A (ระดับ 1)

ตัวอย่างที่ 1 คำนวณเทอมที่หกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 21.3; 22.4; … ,
วิธีแก้ไข: ค้นหาความแตกต่าง (ขั้นตอน) ของความก้าวหน้า
d \u003d a 2 -a 1 \u003d 22.4-21.3 \u003d 1.1
ต่อไป เราคำนวณระยะที่หกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
a 6 \u003d a 1 + (6-1) d \u003d 21.3 + 5 * 1.1 \u003d 26.8

ตัวอย่างที่ 2 คำนวณระยะที่หกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 5; สิบ; 20; ...
วิธีแก้ไข: หาตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 10/5 \u003d 2
เราคำนวณระยะที่หกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
b 6 \u003d b 1 q 6-1 \u003d 5 * 25 \u003d 5 * 32 \u003d 160

ตัวอย่างที่ 3 ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 1 \u003d 2.1 a 10 \u003d 12.9 คำนวณความแตกต่างของความก้าวหน้า
วิธีแก้ปัญหา: ลองแทนระยะที่สิบของความก้าวหน้าเป็นสูตร
10 \u003d a 1 + (10-1) d \u003d a 1 + 9d
แทนที่ค่าที่รู้จักและแก้
12.9=2.1+9d;
9d=12.9-2.1=10.8;
ง=10.8/9=1.2.
คำตอบ: ความแตกต่างของความก้าวหน้า d=1.2.

ตัวอย่างที่ 4 ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต b 1 =2.56; ข 4 \u003d 4.42368 คำนวณตัวส่วนของความก้าวหน้า
วิธีแก้ไข: ค้นหาตัวหารของความก้าวหน้า
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 4.42368 / 2.56 \u003d 1.728
คุณไม่สามารถทำได้โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขที่นี่
คำตอบ: ตัวหารของความก้าวหน้าคือ q=1.728

ตัวอย่างที่ 5 ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 1 \u003d 20.1, d \u003d 1.3 คำนวณผลรวมของแปดเงื่อนไขแรกของความก้าวหน้า
วิธีแก้ไข: ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หาได้จากสูตร

กำลังดำเนินการคำนวณ
S 8 \u003d (2 * 20.1 + (8-1) * 1.3) * 8 / 2 \u003d 197.2
คำตอบ: S 8 \u003d 197.2

ตัวอย่างที่ 6 . ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต b 1 =1.5; q=1.2. คำนวณผลรวมของสี่เทอมแรกของความก้าวหน้า
วิธีแก้ไข: ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคำนวณโดยสูตร

การหาผลรวมของความก้าวหน้า

คำตอบ: S 8 \u003d 8.052

ตัวอย่างที่ 7 . ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 1 \u003d 1.35 d \u003d -2.4 คำนวณจำนวนระยะความก้าวหน้า เท่ากับ -25.05
วิธีแก้ไข: หาสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้จากสูตร
a n \u003d a 1 + (n-1) d.
โดยเงื่อนไข รู้ทุกอย่างยกเว้นเลขลำดับ เราจะหาให้
-25.05=1.35+(n-1)(-2.4) ;

คำตอบ: n=12.

ตัวอย่างที่ 8 คำนวณระยะที่เจ็ดของความก้าวหน้า 23.5; 24.82; 26.14; ...
วิธีแก้ไข: เนื่องจากเงื่อนไขไม่ได้ระบุว่ามีการตั้งค่าความคืบหน้าใด คุณจึงต้องตั้งค่าก่อน รับเลขคณิตนั้น
d=a 2 -a 1 = 24.82-23.5=1.32;
d \u003d a 3 -a 2 \u003d 26.14-24.82 \u003d 1.32
หาระยะที่เจ็ดของความก้าวหน้า
a 7 \u003d a 1 + (7-1) d \u003d 23.5 + 6 * 1.32 \u003d 31.42
คำตอบ: 7 \u003d 31.42

ตัวอย่างที่ 9 คำนวณจำนวนสมาชิกความก้าวหน้า 2.1; 3.3; 4.5; ... , เท่ากับ 11.7 .
วิธีแก้ไข: เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่ามีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือไม่ ค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า
d \u003d a 2 -a 1 \u003d 3.3-2.1 \u003d 1.2
ตามสูตรระยะก้าวหน้า
a n \u003d a 1 + (n-1) d
หาเลข
11.7=2.1+(n-1)*1.2;

คำตอบ: n= 9 .

ตัวอย่างที่ 10 คำนวณระยะที่สี่ของความก้าวหน้า 1.5; 1.8; 2.16; ......
วิธีแก้ไข: หากไม่มีการตรวจสอบ เราสามารถพูดได้ว่าความก้าวหน้านั้นเป็นทางเรขาคณิต หาตัวหาร
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 1, 8 / 1.5 \u003d 1.2
คำนวณสมาชิกที่ 4 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยใช้สูตร
b 4 \u003d b 1 q 3 \u003d 1.5 * 1.2 3 \u003d 2.592
คำตอบ: b 4 \u003d 2.592

ตัวอย่างที่ 11 คำนวณจำนวนของสมาชิกความคืบหน้า 1,2; 1.8; 2.16; ... เท่ากับ 4.05.
วิธีแก้ไข: เรามีความก้าวหน้าทางเรขาคณิต หาตัวหารของความก้าวหน้า
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 1, 8 / 1.2 \u003d 1.5
ค้นหาหมายเลขความคืบหน้าจากการพึ่งพา
b n = b 1 q n-1 .
4.05=1.2*1.5n-1;
1.5 n-1 \u003d 4.05 / 1.2 \u003d 3.375 \u003d 1.5 3;
n-1=3; น=4.
คำตอบ: n=4.

ตัวอย่างที่ 12 ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 5 \u003d 14.91 a 9 \u003d 20.11 คำนวณ 1 .
วิธีแก้ไข: เราแสดงระยะที่ 9 ของความก้าวหน้าจนถึง 5
9 \u003d a 5 + (9-5) d
และค้นหาขั้นตอนความก้าวหน้า
20.11=14.91+4d;
4d=5.2; ง=5.2/4=1.3.
เราแสดงระยะที่ 5 ของความก้าวหน้าในรูปของ 1 และคำนวณครั้งแรก
5 = 1 +4d;
14.91 \u003d 1 +5.2;
1 \u003d 14.91-5.2 \u003d 9.71
คำตอบ: 1 \u003d 9.71

ตัวอย่างที่ 13 ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 7 \u003d 12.01; 11 \u003d 17.61. คำนวณความแตกต่างของความก้าวหน้า
วิธีแก้ปัญหา: เราแสดง 11 เงื่อนไขของความคืบหน้าผ่าน7
11 \u003d a 7 + (11-7) ง.
จากที่นี่เราคำนวณขั้นตอนความก้าวหน้า
17.61=12.01+4d;
4d=5.6; ง=5.6/4=1.4.
คำตอบ: d=1.4.

ตัวอย่างที่ 14 ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต b 5 =64; ข 8 =1. คำนวณ ข 3 .
วิธีแก้ปัญหา: เราแสดงระยะที่ 8 ของความก้าวหน้าในแง่ของ5
b 8 \u003d b 5 q 8-5
จากนี้ไปเราจะพบตัวหารของความก้าวหน้า
1=64 คิว 3 ;
q 3 \u003d 1/64 \u003d (1/4) 3;
q=1/4.
ในทำนองเดียวกัน เราพบ b 3 ถึง b 5
b 3 \u003d b 5 / q 2 \u003d 64 * 4 2 \u003d 1024
คำตอบ: b 3 \u003d 1024

ตัวอย่างที่ 15. ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 9 + a 15 \u003d 14.8 คำนวณ 12
วิธีแก้ไข: ในตัวอย่างนี้ ควรสังเกตว่าสมาชิกลำดับที่ 12 ของความก้าวหน้าอยู่ตรงกลางระหว่างหมายเลข 9 ถึง 15 ดังนั้นระยะข้างเคียงของความก้าวหน้า (9, 15 ) สามารถแสดงเป็น 12 ได้ดังนี้
9 \u003d a 12 - (12-9) d;
a 15 \u003d a 12 + (15-9) d;
9 \u003d a 12 -3d;
15 = a 12 + 3d
ให้เราสรุปเงื่อนไขสุดโต่งของความก้าวหน้า
a 9 + a 15 = a 12 -3d+ a 12 + 3d=2a 12.
จากที่นี่เราจะพบระยะที่ 12 ของความก้าวหน้า
a 12 \u003d (a 9 + a 15) / 2 \u003d 14.8 / 2 \u003d 7.4
คำตอบ: ก 12 \u003d 7.4

ตัวอย่างที่ 16. ยกกำลัง b 10 *b 14 =289 คำนวณโมดูล 12 ของระยะความก้าวหน้า | ข 12 |.
วิธีแก้ไข: อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหามีอยู่ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ จำเป็นต้องแสดง 10 และ 14 สมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตถึง 12 โดยคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เราจะได้
b 10 \u003d b 12 / q 2; b 14 = b 12 * q 2 .
เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าเมื่อพวกเขาทำงานสัญญาณของความก้าวหน้าจะหายไป
b 10 * b 14 \u003d (b 12) 2 \u003d 289 \u003d 17 2
จากที่นี่เราจะพบโมดูล | ข 12 |
(b 12) 2 =289=17 2 -> | ข 12 |=17.
คำตอบ: | ข 12 |=17.

ตัวอย่างที่ 17. ยกกำลัง b 8 =1.3. คำนวณ b 6 *b 10 .
วิธีแก้ไข: รูปแบบการคำนวณคล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ - เราแสดง 6 และ 10 สมาชิกของความคืบหน้าถึง 8
b 6 \u003d b 8 / q 2; b 10 = b 8 * q 2 .
เมื่อคูณแล้ว ตัวส่วนจะลดลง และเราก็ได้กำลังสองของพจน์ที่ทราบของความก้าวหน้า
b 6 *b 10 \u003d (b 8) 2 \u003d 1.3 2 \u003d 1.69.
คำตอบ: b 6 * b 10 \u003d 1.69.

ตัวอย่างที่ 18. ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 10 \u003d 3.6: a 12 \u003d 8 คำนวณ 8
วิธีแก้ปัญหา: ลองเขียนสมาชิกของความก้าวหน้าในชุด a 8 , a 10 , a 12 . ระหว่างกัน ขั้นตอนเดียวกัน มาหากัน
a 12 = a 10 +2d;
2d \u003d a 12 - 10 \u003d 8-3.6 \u003d 4.4
ในทำนองเดียวกันเราพบ 8
10 = 8 +2d;
8 \u003d a 10 -2d \u003d 3.6-4.4 \u003d -0.8
นี่คือการคำนวณง่ายๆ
คำตอบ: 8 \u003d -0.8

ตัวอย่างที่ 19. ยกกำลัง b 14 =8; ข 16 =2. คำนวณ ข 12 .
วิธีแก้ปัญหา: ละเว้นคำอธิบายโดยละเอียด เราจดผลิตภัณฑ์ของเงื่อนไขที่ 14 และ 16 ของความก้าวหน้า
ข 14 *b 16 =(b 12) 2 .
ซึ่งเทียบเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิต หารากของผลคูณของพจน์ เราจะได้ค่าที่ต้องการ
(b 12) 2 \u003d 8 * 2 \u003d 16; ข 12 =4.
คำตอบ: ข 12 \u003d 4

ตัวอย่างที่ 20. ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 5 \u003d 3.4; 11 \u003d 6.9. คำนวณ 17 .
วิธีแก้ไข: ระหว่าง 5,11 ถึง 17 สมาชิกของความคืบหน้าเป็นขั้นตอนเดียวกันและเท่ากับ 6d ดังนั้น คำตอบสุดท้ายสามารถเขียนได้เป็น
a 17 \u003d a 11 + 6d \u003d a 11 + (a 11 - a 5) \u003d 2 * 6.9-3.4 \u003d 10.4
ฉันคิดว่าคุณเข้าใจว่าทำไมบันทึกดังกล่าว ถ้าไม่ลองวาด 11 เงื่อนไขของความคืบหน้าถึง 5 และเปิด 6d
คำตอบ: 17 \u003d 10.4

ตัวอย่างที่ 21. คำนวณสมาชิกคนที่ 6 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 3; 12;.... .
วิธีแก้ไข: ค้นหาตัวหารของความก้าวหน้า
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 12/3 \u003d 4
ลองใช้สูตรทั่วไปของระยะของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกัน
ข n = ข 1 *q n-1 .
จากนี้ไปเราจะได้
b 6 \u003d b 1 * q 5 \u003d b 2 * q 4
อย่างที่คุณเห็น สิ่งสำคัญในบันทึกคือผลรวมของดัชนี (2) และระดับ (4) ตรงกับเลขลำดับของสมาชิกที่ก้าวหน้า (6) กำลังดำเนินการคำนวณ
b 6 \u003d 12 * 4 4 \u003d 12 * 256 \u003d 3072
เรามีจำนวนมาก แต่ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นแตกต่างตรงที่สมาชิกจะเติบโตอย่างรวดเร็วหรือลดลง
คำตอบ: b 6 \u003d 3072

ตัวอย่างที่ 22. ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 3 \u003d 48; 5 = 42. คำนวณ 7 .
การแก้ไข: เนื่องจากความแตกต่างระหว่างความก้าวหน้าระหว่างสมาชิกที่กำหนดกับสมาชิกที่ต้องการกลายเป็นและเท่ากับ 2d ดังนั้นสูตรสำหรับสมาชิกคนที่ 7 ของความคืบหน้าจะมีลักษณะดังนี้
a 7 \u003d a 5 + 2d \u003d a 5 + (a 5 - a 3);
และ 7 \u003d 2 * 42-48 \u003d 36.
คำตอบ: 7 \u003d 36

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต

ข้อมูลทางทฤษฎี

ข้อมูลทางทฤษฎี

	ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์	ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
คำนิยาม	ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หนึ่งเรียกว่าซีเควนซ์ ซึ่งสมาชิกแต่ละตัวเริ่มจากวินาที เท่ากับสมาชิกก่อนหน้า บวกด้วยตัวเลขเดียวกัน d (d- ความแตกต่างของความก้าวหน้า)	ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ข นเรียกลำดับของตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งแต่ละเทอม เริ่มจากวินาที เท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน q (q- ตัวหารของความก้าวหน้า)
สูตรกำเริบ	เพื่อความเป็นธรรมชาติ น n + 1 = n + d	เพื่อความเป็นธรรมชาติ น b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
สูตรเทอมที่ n	n = a 1 + d (น - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
คุณสมบัติเฉพาะ
ผลรวมของ n เทอมแรก

ตัวอย่างงานพร้อมคอมเมนต์

แบบฝึกหัด 1

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( หนึ่ง) 1 = -6, 2

ตามสูตรของเทอมที่ n:

22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21d

ตามเงื่อนไข:

1= -6 ดังนั้น 22= -6 + 21d

จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า:

d= 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

ตอบ : 22 = -48.

งาน2

ค้นหาระยะที่ห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: -3; 6;....

วิธีที่ 1 (โดยใช้สูตร n-term)

ตามสูตรของสมาชิกที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

เนื่องจาก ข 1 = -3,

วิธีที่ 2 (โดยใช้สูตรเรียกซ้ำ)

เนื่องจากตัวหารของความก้าวหน้าคือ -2 (q = -2) ดังนั้น:

ข 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

ข4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ข 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

ตอบ : ข 5 = -48.

งาน3

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( น) ก 74 = 34; 76= 156. หาเทอมที่เจ็ดสิบห้าของความก้าวหน้านี้

สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัติเฉพาะมีรูปแบบ .

ดังนั้น:

แทนที่ข้อมูลในสูตร:

คำตอบ: 95.

งาน 4

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ( ก ) น= 3n - 4. หาผลรวมของเทอมสิบเจ็ดแรก

ในการหาผลรวมของ n เทอมแรกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ใช้สูตรสองสูตร:

กรณีใดสะดวกกว่าในการสมัครในกรณีนี้?

ตามเงื่อนไข สูตรของสมาชิกที่ n ของความก้าวหน้าดั้งเดิมเป็นที่รู้จัก ( หนึ่ง) หนึ่ง= 3n - 4. หาได้ทันทีและ 1, และ 16โดยไม่พบ d . ดังนั้นเราจึงใช้สูตรแรก

คำตอบ: 368

งาน 5

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หนึ่ง) 1 = -6; 2= -8. หาระยะที่ยี่สิบสองของความก้าวหน้า

ตามสูตรของเทอมที่ n:

22 = a 1 + d (22 – 1) = 1+ 21 วัน

โดยเงื่อนไข if 1= -6 แล้ว 22= -6 + 21d จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า:

d= 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

ตอบ : 22 = -48.

งาน 6

คำศัพท์ที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะถูกบันทึก:

ค้นหาระยะเวลาของความก้าวหน้าซึ่งเขียนแทนด้วยตัวอักษร x .

ตอนแก้เราใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n b n \u003d b 1 ∙ q n - 1เพื่อความก้าวหน้าทางเรขาคณิต สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้า ในการหาตัวหารของความก้าวหน้า q คุณต้องใช้เงื่อนไขใด ๆ ของความก้าวหน้าเหล่านี้แล้วหารด้วยเงื่อนไขก่อนหน้า ในตัวอย่างของเรา คุณสามารถนำและหารด้วย เราได้ q \u003d 3 แทนที่จะเป็น n เราแทน 3 ในสูตร เนื่องจากจำเป็นต้องหาเทอมที่สามของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนด

แทนค่าที่พบในสูตรเราได้รับ:

ตอบ : .

งาน7

จากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดโดยสูตรของเทอมที่ n ให้เลือกอันที่ตรงตามเงื่อนไข 27 > 9:

เนื่องจากต้องเป็นไปตามเงื่อนไขที่ระบุสำหรับระยะที่ 27 ของความก้าวหน้า เราจึงแทนที่ 27 แทน n ในแต่ละช่วงความคืบหน้าทั้งสี่ ในความก้าวหน้าครั้งที่ 4 เราได้รับ:

คำตอบ: 4.

งาน 8

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 1= 3, ง = -1.5. ระบุค่าที่ใหญ่ที่สุดของ n ที่ความไม่เท่าเทียมกันถืออยู่ หนึ่ง > -6.

บางคนถือว่าคำว่า "ก้าวหน้า" ด้วยความระมัดระวัง เป็นคำที่ซับซ้อนมากจากวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง ในขณะเดียวกัน ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดคือการทำงานของเคาน์เตอร์แท็กซี่ และการที่จะเข้าใจแก่นแท้ (และในวิชาคณิตศาสตร์ไม่มีอะไรสำคัญไปกว่า "การเข้าใจแก่นแท้") ของลำดับเลขคณิตนั้นไม่ยากนัก โดยได้วิเคราะห์แนวคิดพื้นฐานสองสามข้อแล้ว

ลำดับเลขคณิต

เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกลำดับตัวเลขว่าชุดของตัวเลข ซึ่งแต่ละชุดมีหมายเลขของตัวเอง

และ 1 เป็นสมาชิกคนแรกของลำดับ

และ 2 เป็นสมาชิกที่สองของลำดับ

และ 7 เป็นสมาชิกตัวที่เจ็ดของลำดับ;

และ n คือสมาชิกที่ n ของลำดับ;

อย่างไรก็ตาม เราไม่ได้สนใจชุดตัวเลขและตัวเลขใดๆ โดยพลการ เราจะเพ่งความสนใจไปที่ลำดับตัวเลขซึ่งค่าของสมาชิกที่ n สัมพันธ์กับเลขลำดับของมันโดยการพึ่งพากันซึ่งสามารถกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ได้อย่างชัดเจน กล่าวอีกนัยหนึ่ง: ค่าตัวเลขของจำนวนที่ n คือฟังก์ชันบางอย่างของ n

เอ - ค่าของสมาชิกของลำดับตัวเลข;

n คือหมายเลขประจำเครื่อง

f(n) เป็นฟังก์ชันที่ลำดับในลำดับตัวเลข n คืออาร์กิวเมนต์

คำนิยาม

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มักจะเรียกว่าลำดับตัวเลขซึ่งแต่ละเทอมต่อมามีค่ามากกว่า (น้อยกว่า) ก่อนหน้าด้วยตัวเลขเดียวกัน สูตรสำหรับสมาชิกที่ n ของลำดับเลขคณิตมีดังนี้:

a n - ค่าของสมาชิกปัจจุบันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

n+1 - สูตรของตัวเลขถัดไป

d - ความแตกต่าง (จำนวนหนึ่ง)

มันง่ายที่จะตัดสินว่าถ้าผลต่างเป็นบวก (d>0) สมาชิกที่ตามมาแต่ละชุดที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะมากกว่าค่าก่อนหน้า และความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ดังกล่าวจะเพิ่มขึ้น

จากกราฟด้านล่าง จะเห็นว่าเหตุใดจึงเรียกลำดับตัวเลขว่า "เพิ่มขึ้น"

ในกรณีที่ผลต่างเป็นลบ (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

มูลค่าของสมาชิกที่ระบุ

บางครั้ง จำเป็นต้องกำหนดค่าของคำศัพท์บางคำโดยพลการ a n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณสามารถทำได้โดยการคำนวณค่าของสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างต่อเนื่องตั้งแต่แรกจนถึงค่าที่ต้องการ อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ไม่เป็นที่ยอมรับเสมอไป ตัวอย่างเช่น หากจำเป็นต้องหาค่าของเทอมที่ห้าในพันหรือแปดล้าน การคำนวณแบบดั้งเดิมจะใช้เวลานาน อย่างไรก็ตาม สามารถตรวจสอบความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เฉพาะได้โดยใช้สูตรบางอย่าง นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับเทอมที่ n: ค่าของสมาชิกใด ๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถกำหนดเป็นผลรวมของสมาชิกตัวแรกของความก้าวหน้ากับผลต่างของความก้าวหน้า คูณด้วยจำนวนของสมาชิกที่ต้องการ ลบหนึ่ง .

สูตรนี้เป็นสากลสำหรับการเพิ่มและลดความก้าวหน้า

ตัวอย่างการคำนวณมูลค่าของสมาชิกที่กำหนด

มาแก้ปัญหาต่อไปนี้ในการหาค่าของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กัน

เงื่อนไข: มีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พร้อมพารามิเตอร์:

สมาชิกคนแรกของลำดับคือ 3;

ความแตกต่างในชุดตัวเลขคือ 1.2

ภารกิจ: จำเป็นต้องค้นหาค่าของ 214 เงื่อนไข

วิธีแก้ไข: เพื่อกำหนดมูลค่าของสมาชิกที่กำหนด เราใช้สูตร:

a(n) = a1 + d(n-1)

แทนที่ข้อมูลจากคำสั่งปัญหาลงในนิพจน์ เรามี:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

คำตอบ: สมาชิกลำดับที่ 214 ของลำดับเท่ากับ 258.6

ข้อดีของวิธีการคำนวณนี้ชัดเจน - โซลูชันทั้งหมดใช้เวลาไม่เกิน 2 บรรทัด

ผลรวมของจำนวนพจน์ที่กำหนด

บ่อยครั้งในอนุกรมเลขคณิตที่กำหนดนั้นจำเป็นต้องกำหนดผลรวมของค่าของบางกลุ่ม นอกจากนี้ยังไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าของแต่ละเทอมแล้วสรุปผล วิธีนี้ใช้ได้หากจำนวนเงื่อนไขที่ต้องพบผลรวมมีน้อย ในกรณีอื่นจะสะดวกกว่าที่จะใช้สูตรต่อไปนี้

ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จาก 1 ถึง n เท่ากับผลรวมของสมาชิกที่หนึ่งและ n คูณด้วยหมายเลขสมาชิก n และหารด้วยสอง หากในสูตร ค่าของสมาชิกที่ n ถูกแทนที่ด้วยนิพจน์จากย่อหน้าก่อนหน้าของบทความ เราจะได้:

ตัวอย่างการคำนวณ

ตัวอย่างเช่น มาแก้ปัญหาด้วยเงื่อนไขต่อไปนี้:

เทอมแรกของลำดับคือศูนย์

ความแตกต่างคือ 0.5

ในปัญหาจะต้องกำหนดผลรวมของเงื่อนไขของซีรีส์จาก 56 ถึง 101

การตัดสินใจ. ลองใช้สูตรในการพิจารณาผลรวมของความก้าวหน้า:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

ขั้นแรกเรากำหนดผลรวมของค่า 101 สมาชิกของความคืบหน้าโดยการแทนที่เงื่อนไขที่กำหนดของปัญหาของเราลงในสูตร:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

เห็นได้ชัดว่าเพื่อที่จะหาผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าจาก 56 ถึง 101 จำเป็นต้องลบ S 55 จาก S 101

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

ดังนั้นผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สำหรับตัวอย่างนี้คือ:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ในทางปฏิบัติ

ในตอนท้ายของบทความ กลับไปที่ตัวอย่างของลำดับเลขคณิตในย่อหน้าแรก - เครื่องวัดระยะ (taxi car meter) ลองพิจารณาตัวอย่างดังกล่าว

การขึ้นแท็กซี่ (ซึ่งรวมถึง 3 กม.) มีค่าใช้จ่าย 50 รูเบิล แต่ละกิโลเมตรต่อ ๆ มาจะจ่ายในอัตรา 22 รูเบิล / กม. ระยะทาง 30 กม. คำนวณค่าใช้จ่ายในการเดินทาง

1. ทิ้ง 3 กม. แรกซึ่งราคารวมอยู่ในค่าลงจอดแล้ว

30 - 3 = 27 กม.

2. การคำนวณเพิ่มเติมไม่มีอะไรมากไปกว่าการแยกวิเคราะห์ชุดเลขคณิต

หมายเลขสมาชิกคือจำนวนกิโลเมตรที่เดินทาง (ลบสามตัวแรก)

มูลค่าของสมาชิกคือผลรวม

เทอมแรกในปัญหานี้จะเท่ากับ 1 = 50 รูเบิล

ความแตกต่างของความก้าวหน้า d = 22 p

จำนวนที่น่าสนใจสำหรับเราคือค่าของสมาชิกที่ (27 + 1) ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - การอ่านมิเตอร์ที่ปลายกิโลเมตรที่ 27 คือ 27.999 ... = 28 กม.

28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

การคำนวณข้อมูลปฏิทินเป็นระยะเวลานานตามอำเภอใจจะขึ้นอยู่กับสูตรที่อธิบายลำดับตัวเลขบางอย่าง ในทางดาราศาสตร์ ความยาวของวงโคจรจะขึ้นอยู่กับระยะทางของเทห์ฟากฟ้าถึงดวงสว่าง นอกจากนี้ อนุกรมตัวเลขต่างๆ ยังใช้ในสถิติและสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่นำไปใช้ได้สำเร็จ

ลำดับตัวเลขอีกประเภทหนึ่งคือเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นมีอัตราการเปลี่ยนแปลงขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับเลขคณิต ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่การเมือง สังคมวิทยา การแพทย์ บ่อยครั้ง เพื่อแสดงความเร็วสูงของการแพร่กระจายของปรากฏการณ์เฉพาะ เช่น โรคระหว่างการระบาด พวกเขากล่าวว่า กระบวนการพัฒนาแบบทวีคูณ

สมาชิกตัวที่ N ของชุดเลขเรขาคณิตแตกต่างจากชุดก่อนหน้าโดยคูณด้วยจำนวนคงที่ - ตัวส่วน ตัวอย่างเช่น สมาชิกตัวแรกคือ 1 ตัวส่วนคือ 2 ตามลำดับ จากนั้น:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - ค่าของสมาชิกปัจจุบันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

b n+1 - สูตรของสมาชิกถัดไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

q เป็นตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (จำนวนคงที่)

หากกราฟของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นเส้นตรง กราฟทางเรขาคณิตจะวาดภาพที่ต่างออกไปเล็กน้อย:

ในกรณีของเลขคณิต ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีสูตรสำหรับค่าของสมาชิกตามอำเภอใจ เทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับผลคูณของเทอมแรกและตัวหารของความก้าวหน้าต่อกำลังของ n ลดลงหนึ่ง:

ตัวอย่าง. เรามีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยเทอมแรกเท่ากับ 3 และตัวส่วนของความก้าวหน้าเท่ากับ 1.5 ค้นหาระยะที่ 5 ของความก้าวหน้า

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

ผลรวมของจำนวนสมาชิกที่กำหนดจะคำนวณโดยใช้สูตรพิเศษเช่นกัน ผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับผลต่างระหว่างผลคูณของสมาชิกที่ n ของความก้าวหน้ากับตัวส่วนและสมาชิกแรกของการก้าวหน้า หารด้วยตัวส่วนลดลงหนึ่ง: