การแก้สมการในจำนวนเต็มเป็นหนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุด เมื่อต้นสหัสวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช จ. ชาวบาบิโลนรู้วิธีแก้ระบบสมการดังกล่าวด้วยตัวแปรสองตัว คณิตศาสตร์สาขานี้มีความเจริญรุ่งเรืองมากที่สุด กรีกโบราณ. แหล่งที่มาหลักสำหรับเราคือเลขคณิตของ Diophantus ซึ่งประกอบด้วย หลากหลายชนิดสมการ ในนั้น ไดโอแฟนทัส (ตามชื่อของเขา สมการคือสมการไดโอแฟนไทน์) คาดการณ์วิธีการต่างๆ มากมายในการศึกษาสมการระดับที่ 2 และ 3 ซึ่งพัฒนาขึ้นในศตวรรษที่ 19 เท่านั้น
สมการไดโอแฟนไทน์ที่ง่ายที่สุดคือ ax + y = 1 (สมการที่มีตัวแปรสองตัว ระดับที่ 1) x2 + y2 = z2 (สมการที่มีตัวแปร 3 ตัว ระดับที่ 2)
สมการพีชคณิตได้รับการศึกษาอย่างครบถ้วนที่สุดแล้ว วิธีแก้คือหนึ่งในนั้น งานที่สำคัญที่สุดพีชคณิตในศตวรรษที่ 16-17
เมื่อต้นศตวรรษที่ 19 ผลงานของ P. Fermat, L. Euler, K. Gauss ได้ตรวจสอบสมการไดโอแฟนไทน์ในรูปแบบ: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 โดยที่ a, b, c , d, e, f คือตัวเลข; x, y ตัวแปรที่ไม่รู้จัก
นี่คือสมการระดับที่ 2 ที่มีไม่ทราบค่าสองตัว
เค.เกาส์สร้าง ทฤษฎีทั่วไปรูปแบบกำลังสองซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับการแก้สมการบางประเภทที่มีตัวแปรสองตัว (สมการไดโอแฟนไทน์) มีอยู่ จำนวนมากสมการไดโอแฟนไทน์จำเพาะแก้ได้โดยวิธีเบื้องต้น /พี>
วัสดุทางทฤษฎี
ในส่วนนี้ของงานจะอธิบายแนวคิดทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน นิยามคำศัพท์ และทฤษฎีบทการขยายตัวจะกำหนดโดยใช้วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน ซึ่งมีการศึกษาและพิจารณาเมื่อแก้สมการด้วยตัวแปรสองตัว
คำจำกัดความ 1: สมการของรูปแบบ ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 โดยที่ a, b, c, d, e, f เป็นตัวเลข x, y ตัวแปรที่ไม่รู้จักเรียกว่าสมการดีกรีที่สองซึ่งมีตัวแปรสองตัว
ใน หลักสูตรของโรงเรียนมีการศึกษาคณิตศาสตร์ สมการกำลังสอง ax2+inx+c=0 โดยที่ ตัวเลข a, b, cตัวแปร x โดยมีตัวแปรเดียว มีหลายวิธีในการแก้สมการนี้:
1. การค้นหารากโดยใช้การแบ่งแยก
2. ค้นหารากของค่าสัมประสิทธิ์คู่ใน (ตาม D1=)
3. การหารากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta
4. การหารากโดยการแยกกำลังสองสมบูรณ์ของทวินาม
การแก้สมการหมายถึงการค้นหารากทั้งหมดหรือการพิสูจน์ว่าไม่มีอยู่จริง
คำจำกัดความ 2: รากของสมการคือตัวเลขที่เมื่อแทนที่ลงในสมการแล้วจะทำให้เกิดความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง
คำจำกัดความที่ 3: การแก้สมการที่มีตัวแปรสองตัวเรียกว่าคู่ของตัวเลข (x, y) เมื่อแทนค่าลงในสมการแล้ว จะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง
กระบวนการหาคำตอบของสมการมักประกอบด้วยการแทนที่สมการด้วยสมการที่เทียบเท่ากัน แต่เป็นสมการที่แก้ได้ง่ายกว่า สมการดังกล่าวเรียกว่าสมการ
คำจำกัดความ 4: สมการสองสมการกล่าวกันว่าเท่ากัน ถ้าแต่ละคำตอบของสมการหนึ่งเป็นคำตอบของอีกสมการหนึ่ง และในทางกลับกัน และสมการทั้งสองถือว่าอยู่ในโดเมนเดียวกัน
ในการแก้สมการที่มีตัวแปรสองตัว ให้ใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการสลายตัวของสมการเป็นผลรวมของกำลังสองที่สมบูรณ์ (โดยวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน)
สำหรับสมการลำดับที่สอง ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) การขยายตัว a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2) จะเกิดขึ้น
ให้เรากำหนดเงื่อนไขที่การขยายตัว (2) จะเกิดขึ้นสำหรับสมการ (1) ของตัวแปรสองตัว
ทฤษฎีบท: ถ้า สัมประสิทธิ์ a, b, cสมการ (1) ตรงตามเงื่อนไข a0 และ 4ab – c20 จากนั้นการขยายตัว (2) จะถูกกำหนดด้วยวิธีเฉพาะ
กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการ (1) ที่มีตัวแปรสองตัวสามารถลดลงเป็นรูปแบบ (2) ได้โดยใช้วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน หากตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท
ลองดูตัวอย่างวิธีการใช้วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน
วิธีที่ 1 แก้สมการโดยใช้วิธีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0
1. ลองตรวจสอบความสมบูรณ์ของเงื่อนไขของทฤษฎีบท a=2, b=1, c=2 ซึ่งหมายถึง a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40
2. ตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทและสามารถขยายได้ตามสูตร (2)
3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท เอกลักษณ์ทั้งสองส่วนจะเท่ากัน ให้เราลดความซับซ้อนของด้านขวาของตัวตน
4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =
2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =
2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =
X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h)
5. เราเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่เหมือนกันกับกำลังของพวกมัน
x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h
6. เรามาระบบสมการแก้โจทย์และหาค่าสัมประสิทธิ์กันเถอะ
7. แทนค่าสัมประสิทธิ์ลงใน (2) แล้วสมการจะอยู่ในรูปแบบ
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 +0
ดังนั้นสมการดั้งเดิมจึงเทียบเท่ากับสมการ
2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3) สมการนี้เทียบเท่ากับระบบสมการเชิงเส้นสองสมการ
คำตอบ: (-1; 1)
หากคุณใส่ใจกับประเภทของส่วนขยาย (3) คุณจะสังเกตเห็นว่ามันเหมือนกันในรูปแบบในการแยกกำลังสองที่สมบูรณ์ออกจากสมการกำลังสองที่มีตัวแปรตัวเดียว: ax2 + inx + c = a(x +)2 +
ลองใช้เทคนิคนี้เมื่อแก้สมการที่มีตัวแปรสองตัว ให้เราแก้โดยใช้การเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ซึ่งเป็นสมการกำลังสองที่มีตัวแปรสองตัวที่ได้รับการแก้ไขโดยใช้ทฤษฎีบทแล้ว
วิธีที่ 2: แก้สมการ 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0
วิธีแก้: 1. ลองนึกภาพ 2x2 เป็นผลรวมของสองเทอม x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0
2. ลองจัดกลุ่มพจน์ในลักษณะที่เราสามารถพับมันได้โดยใช้สูตรกำลังสองสมบูรณ์
(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0
3. เลือกกำลังสองที่สมบูรณ์จากนิพจน์ในวงเล็บ
(x + y)2 + (x + 1)2 = 0
4. สมการนี้เทียบเท่ากับระบบสมการเชิงเส้น
คำตอบ: (-1;1)
หากเปรียบเทียบผลลัพธ์จะพบว่าสมการที่แก้ได้โดยวิธีที่ 1 โดยใช้ทฤษฎีบทกับวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนกับสมการที่แก้โดยวิธีที่ 2 โดยใช้การแยกกำลังสองสมบูรณ์มีรากที่เหมือนกัน
สรุป: สมการกำลังสองที่มีตัวแปรสองตัวสามารถขยายเป็นผลรวมของกำลังสองได้สองวิธี:
➤ วิธีแรกคือวิธีหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนซึ่งขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทและการขยายตัว (2)
➤ วิธีที่สองคือการใช้การแปลงเอกลักษณ์ที่ช่วยให้คุณสามารถเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ตามลำดับ
แน่นอนว่าเมื่อแก้ไขปัญหาควรใช้วิธีที่สองเนื่องจากไม่จำเป็นต้องจำการขยาย (2) และเงื่อนไข
วิธีนี้ยังใช้กับสมการกำลังสองที่มีตัวแปร 3 ตัวได้ด้วย การแยกกำลังสองสมบูรณ์ออกจากสมการนั้นต้องใช้แรงงานมาก ฉันจะทำการเปลี่ยนแปลงประเภทนี้ในปีหน้า
เป็นที่น่าสนใจที่จะสังเกตว่าฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f เรียกว่า ฟังก์ชันกำลังสองสองตัวแปร ฟังก์ชันกำลังสองมีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์แขนงต่างๆ:
ในการเขียนโปรแกรมเชิงคณิตศาสตร์ (การเขียนโปรแกรมกำลังสอง)
ในพีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิต (รูปแบบกำลังสอง)
ในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ (การลดสมการเชิงเส้นอันดับสองให้เป็นรูปแบบมาตรฐาน)
เมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ เหล่านี้ เราต้องใช้ขั้นตอนการแยกกำลังสองที่สมบูรณ์ออกจากสมการกำลังสอง (ตัวแปรหนึ่ง สองตัวขึ้นไป)
เส้นที่อธิบายสมการด้วยสมการกำลังสองของตัวแปรสองตัวเรียกว่าเส้นโค้งลำดับที่สอง
นี่คือวงกลม วงรี ไฮเปอร์โบลา
เมื่อสร้างกราฟของเส้นโค้งเหล่านี้ จะใช้วิธีการแยกกำลังสองที่สมบูรณ์ตามลำดับด้วย
มาดูกันว่าวิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ตามลำดับทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะเจาะจง
ส่วนการปฏิบัติ
แก้สมการโดยใช้วิธีแยกกำลังสองสมบูรณ์ตามลำดับ
1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;
(x +1)2 + (x + y)2 = 0;
คำตอบ:(-1;1)
2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;
(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;
คำตอบ:(0.5; - 0.5)
3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;
3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;
3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;
3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;
คำตอบ:(-1;1)
แก้สมการ:
1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0
(ลดเป็นรูป: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)
คำตอบ: (-3; -3)
2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0
(ลดเป็นรูปแบบ: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)
คำตอบ: (-1; 1)
3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0
(ลดเป็นรูปแบบ: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)
คำตอบ: (7; -7)
บทสรุป.
ในเรื่องนี้ งานทางวิทยาศาสตร์ศึกษาสมการที่มีตัวแปรสองตัวในระดับที่สองและพิจารณาวิธีการแก้ตัวแปรเหล่านั้น งานเสร็จสมบูรณ์ กำหนดและอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมแล้ว ทางสั้น ๆคำตอบโดยอาศัยการแยกกำลังสองสมบูรณ์และแทนที่สมการด้วยระบบสมการที่เทียบเท่า ส่งผลให้มีขั้นตอนที่ง่ายขึ้นในการค้นหารากของสมการด้วยตัวแปรสองตัว
จุดสำคัญของงานคือเทคนิคที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะใช้ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันกำลังสอง การสร้างเส้นโค้งลำดับที่สอง และการค้นหาค่านิพจน์ที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด)
ดังนั้นเทคนิคการแยกสมการอันดับสองที่มีตัวแปรสองตัวให้เป็นผลรวมของกำลังสองจึงมีการใช้งานทางคณิตศาสตร์มากที่สุด
เรื่อง:ฟังก์ชันเชิงเส้น
บทเรียน:สมการเชิงเส้นด้วยสองตัวแปรและกราฟของมัน
เราเริ่มคุ้นเคยกับแนวคิดของแกนพิกัดและระนาบพิกัด เรารู้ว่าแต่ละจุดบนระนาบกำหนดตัวเลขคู่หนึ่ง (x; y) โดยไม่ซ้ำกัน โดยตัวเลขแรกคือค่าสัมบูรณ์ของจุด และตัวที่สองคือเลขลำดับ
เรามักจะพบสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัวบ่อยครั้งมาก ซึ่งคำตอบคือคู่ของตัวเลขที่สามารถแสดงบนระนาบพิกัดได้
สมการของแบบฟอร์ม:
โดยที่ a, b, c เป็นตัวเลข และ 
เรียกว่าสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร x และ y สองตัว การแก้สมการดังกล่าวจะเป็นคู่ของตัวเลข x และ y ใดๆ แทนที่ด้วยสมการเราจะได้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง
ตัวเลขคู่หนึ่งจะแสดงบนระนาบพิกัดเป็นจุด
สำหรับสมการดังกล่าว เราจะเห็นคำตอบมากมาย กล่าวคือ ตัวเลขหลายคู่ และจุดที่สอดคล้องกันทั้งหมดจะอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวกัน
ลองดูตัวอย่าง:
หากต้องการหาคำตอบของสมการนี้ คุณต้องเลือกคู่ตัวเลข x และ y ที่สอดคล้องกัน:
อนุญาต จากนั้นสมการดั้งเดิมจะกลายเป็นสมการที่ไม่ทราบค่า:
,
นั่นคือตัวเลขคู่แรกที่เป็นคำตอบของสมการที่กำหนด (0; 3) เราได้จุด A(0; 3)
อนุญาต . เราได้สมการดั้งเดิมที่มีตัวแปรตัวเดียว: 
จากตรงนี้เราได้จุด B(3; 0)
ใส่คู่ของตัวเลขลงในตาราง:
ลองพล็อตจุดบนกราฟแล้ววาดเส้นตรง: 
โปรดทราบว่าจุดใดๆ บนเส้นตรงจะเป็นคำตอบของสมการที่กำหนด มาตรวจสอบกัน - หาจุดที่มีพิกัดแล้วใช้กราฟเพื่อค้นหาพิกัดที่สอง เป็นที่ชัดเจนว่า ณ จุดนี้ ลองแทนตัวเลขคู่นี้ลงในสมการกัน เราได้ 0=0 - ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าจุดที่วางอยู่บนเส้นตรงคือวิธีแก้ปัญหา
ในตอนนี้ เราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าจุดใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นที่สร้างขึ้นคือคำตอบของสมการ ดังนั้นเราจึงยอมรับว่าสิ่งนี้เป็นจริงและจะพิสูจน์ในภายหลัง
ตัวอย่างที่ 2 - สร้างกราฟสมการ:
มาสร้างตารางกัน เราต้องการเพียงสองจุดในการสร้างเส้นตรง แต่เราจะใช้จุดที่สามเพื่อควบคุม:
ในคอลัมน์แรกเราใช้อันที่สะดวกเราจะพบได้จาก:
, ,
ในคอลัมน์ที่สอง เราใช้อันที่สะดวก มาหา x:
, , ,
มาตรวจสอบและค้นหา:
, ,
มาสร้างกราฟกันเถอะ:
ลองคูณสมการที่กำหนดด้วยสอง:
จากการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว ชุดของคำตอบจะไม่เปลี่ยนแปลง และกราฟจะยังคงเหมือนเดิม
สรุป: เราเรียนรู้ที่จะแก้สมการด้วยตัวแปรสองตัวและสร้างกราฟ เราเรียนรู้ว่ากราฟของสมการดังกล่าวเป็นเส้นตรง และจุดใดๆ บนเส้นนี้คือคำตอบของสมการ
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. และอื่น ๆ พีชคณิต 7 ฉบับที่ 6 อ. : การตรัสรู้. 2010
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. พีชคณิต 7 ม.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. และอื่นๆ พีชคณิต 7.ม.: ตรัสรู้. 2549
2. พอร์ทัลสำหรับการดูแบบครอบครัว ()
ภารกิจที่ 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. พีชคณิต 7 หมายเลข 960 ข้อ 210;
ภารกิจที่ 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. พีชคณิต 7 หมายเลข 961 ข้อ 210;
ภารกิจที่ 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. พีชคณิต 7 หมายเลข 962 ข้อ 210;
สมการไม่เชิงเส้นที่มีไม่ทราบค่าสองตัว
คำจำกัดความ 1. ให้ A เป็นบางส่วน ชุดตัวเลขคู่ (x; ย) . พวกเขาบอกว่าให้เซต A ฟังก์ชันตัวเลข z จากสองตัวแปร x และ y หากมีการระบุกฎโดยให้ตัวเลขแต่ละคู่จากเซต A เชื่อมโยงกับตัวเลขที่แน่นอน
ออกกำลังกาย ฟังก์ชันตัวเลข z จากตัวแปรสองตัวคือ x และ y บ่อยครั้ง แสดงถึงดังนั้น:
ที่ไหน ฉ (x , ย) - ฟังก์ชันใดๆ นอกเหนือจากฟังก์ชัน
ฉ (x , ย) = ขวาน+โดย+ค ,
โดยที่ a, b, c ได้รับตัวเลข
คำจำกัดความ 3 การแก้สมการ (2)โทรหาคู่หมายเลข ( x; ย) โดยที่สูตร (2) คือความเท่าเทียมกันที่แท้จริง
ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ
เนื่องจากกำลังสองของจำนวนใดๆ ไม่เป็นลบ จึงเป็นไปตามสูตร (4) ว่าค่าที่ไม่รู้จัก x และ y เป็นไปตามระบบสมการ
คำตอบที่เป็นคู่ของตัวเลข (6; 3)
คำตอบ: (6; 3)
ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการ
ดังนั้นการแก้สมการ (6) ก็คือ จำนวนคู่ของตัวเลขที่ไม่สิ้นสุดใจดี
(1 + ย ; ย) ,
โดยที่ y คือตัวเลขใดๆ
เชิงเส้น
คำจำกัดความที่ 4 การแก้ระบบสมการ
โทรหาคู่หมายเลข ( x; ย) เมื่อแทนที่พวกมันลงในแต่ละสมการของระบบนี้ จะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง
ระบบของสมการสองสมการ ซึ่งมีรูปแบบหนึ่งเป็นแบบเส้นตรง
ก(x , ย)
ตัวอย่างที่ 4 แก้ระบบสมการ
สารละลาย . ให้เราแสดงค่า y ที่ไม่ทราบค่าจากสมการแรกของระบบ (7) ถึงค่า x ที่ไม่ทราบค่า และแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการที่สองของระบบ:
การแก้สมการ
x 1 = - 1 , x 2 = 9 .
เพราะฉะนั้น,
ย 1 = 8 - x 1 = 9 ,
ย 2 = 8 - x 2 = - 1 .
ระบบของสองสมการ ซึ่งหนึ่งในนั้นเป็นระบบเอกพันธ์
ระบบของสมการสองสมการ ซึ่งมีระบบหนึ่งที่เป็นเนื้อเดียวกันจะมีรูปแบบ
โดยที่ a, b, c ได้รับตัวเลข และ ก(x , ย) – ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว x และ y
ตัวอย่างที่ 6 แก้ระบบสมการ
สารละลาย . ลองแก้สมการเอกพันธ์กัน
3x 2 + 2เอ็กซ์ซี - ย 2 = 0 ,
3x 2 + 17เอ็กซ์ซี + 10ย 2 = 0 ,
ถือว่ามันเป็นสมการกำลังสองด้วยความเคารพต่อ x ที่ไม่รู้จัก:
.
เผื่อ x = - 5ยจากสมการที่สองของระบบ (11) เราได้สมการ
5ย 2 = - 20 ,
ซึ่งไม่มีราก
เผื่อ
จากสมการที่สองของระบบ (11) เราได้สมการ
,
ซึ่งมีรากเป็นตัวเลข ย 1 = 3 , ย 2 = - 3 . การค้นหาค่าแต่ละค่าเหล่านี้ y ค่าที่สอดคล้องกัน x เราจะได้คำตอบสองวิธีสำหรับระบบ: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .
ตอบ: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)
ตัวอย่างการแก้ระบบสมการประเภทอื่นๆ
ตัวอย่างที่ 8 แก้ระบบสมการ (MIPT)
สารละลาย . ให้เราแนะนำสิ่งที่ไม่รู้จักใหม่ u และ v ซึ่งแสดงผ่าน x และ y ตามสูตร:
เพื่อที่จะเขียนระบบใหม่ (12) ในรูปของสิ่งที่ไม่รู้ใหม่ เราจะเขียนสิ่งที่ไม่รู้จัก x และ y ในรูปของ u และ v ก่อน จากระบบ (13) เป็นไปตามนั้น
ให้เราแก้ระบบเชิงเส้น (14) โดยกำจัดตัวแปร x ออกจากสมการที่สองของระบบนี้ เพื่อจุดประสงค์นี้ เราทำการเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้บนระบบ (14):
- เราจะปล่อยให้สมการแรกของระบบไม่เปลี่ยนแปลง
- จากสมการที่สองเราจะลบสมการแรกและแทนที่สมการที่สองของระบบด้วยผลต่างผลลัพธ์
เป็นผลให้ระบบ (14) ถูกแปลงเป็นระบบที่เทียบเท่า
จากที่เราพบ
การใช้สูตร (13) และ (15) เราจะเขียนระบบเดิม (12) ใหม่ในรูปแบบ
สมการแรกของระบบ (16) เป็นแบบเส้นตรง ดังนั้นเราจึงสามารถแสดงค่า u ที่ไม่รู้จักผ่านค่า v ที่ไม่ทราบค่า จากนั้นแทนที่นิพจน์นี้เป็นสมการที่สองของระบบ
สมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัวคือสมการใดๆ ที่มี มุมมองถัดไป: a*x + b*y =с.โดยที่ x และ y เป็นตัวแปรสองตัว ส่วน a,b,c คือตัวเลขบางตัว
ด้านล่างนี้คือบางส่วน ตัวอย่างสมการเชิงเส้น
1. 10*x + 25*y = 150;
เช่นเดียวกับสมการที่ไม่ทราบค่าหนึ่ง สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว (ไม่ทราบ) ก็มีคำตอบเช่นกัน ตัวอย่างเช่น สมการเชิงเส้น x-y=5 โดยมี x=8 และ y=3 จะกลายเป็นเอกลักษณ์ที่ถูกต้อง 8-3=5 ในกรณีนี้ คู่ของตัวเลข x=8 และ y=3 ถือเป็นคำตอบของสมการเชิงเส้น x-y=5 คุณยังสามารถพูดได้ว่าคู่ของตัวเลข x=8 และ y=3 เป็นไปตามสมการเชิงเส้น x-y=5
การแก้สมการเชิงเส้น
ดังนั้น การแก้สมการเชิงเส้น a*x + b*y = c คือคู่ของตัวเลขใดๆ (x,y) ที่เป็นไปตามสมการนี้ กล่าวคือ เปลี่ยนสมการที่มีตัวแปร x และ y ให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง สังเกตว่าคู่ของตัวเลข x และ y เขียนไว้ที่นี่อย่างไร รายการนี้สั้นกว่าและสะดวกกว่า คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ว่าตำแหน่งแรกในบันทึกดังกล่าวคือค่าของตัวแปร x และตำแหน่งที่สองคือค่าของตัวแปร y
โปรดทราบว่าตัวเลข x=11 และ y=8, x=205 และ y=200 x= 4.5 และ y= -0.5 เป็นไปตามสมการเชิงเส้น x-y=5 ด้วยเช่นกัน ดังนั้นจึงเป็นคำตอบของสมการเชิงเส้นนี้
การแก้สมการเชิงเส้นโดยไม่ทราบค่าสองตัว ไม่ใช่คนเดียวสมการเชิงเส้นทุกสมการในค่าไม่ทราบค่าสองตัวจะมีคำตอบที่แตกต่างกันมากมายนับไม่ถ้วน นั่นก็คือมี ที่แตกต่างกันมากมายอย่างไม่สิ้นสุดตัวเลขสองตัว x และ y ที่แปลงสมการเชิงเส้นให้มีเอกลักษณ์ที่แท้จริง
หากสมการหลายสมการที่มีตัวแปรสองตัวมีคำตอบเหมือนกัน สมการดังกล่าวจะเรียกว่าสมการที่เทียบเท่ากัน ควรสังเกตว่าหากสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัวไม่มีคำตอบ ก็จะถือว่าสมการนั้นเท่ากันเช่นกัน
คุณสมบัติพื้นฐานของสมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าสองตัว
1. เงื่อนไขใด ๆ ในสมการสามารถถ่ายโอนจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งได้ แต่จำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นอีกส่วนตรงกันข้าม สมการที่ได้จะเทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม
2. ทั้งสองด้านของสมการสามารถหารด้วยจำนวนใดๆ ก็ตามที่ไม่ใช่ศูนย์ได้ เป็นผลให้เราได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม
§ 1 การเลือกรากสมการในสถานการณ์จริง
ลองพิจารณาสถานการณ์จริงนี้:
อาจารย์และผู้ฝึกหัดร่วมกันสร้างชิ้นส่วนคัสตอม 400 ชิ้น ยิ่งไปกว่านั้น อาจารย์ทำงาน 3 วัน และนักเรียน 2 วัน แต่ละคนทำมากี่ชิ้นครับ?
มาสร้างแบบจำลองพีชคณิตของสถานการณ์นี้กันดีกว่า ให้นายผลิตชิ้นส่วนภายใน 1 วัน และนักศึกษาอยู่ที่รายละเอียด จากนั้นอาจารย์จะทำ 3 ส่วนใน 3 วัน และนักเรียนจะทำ 2 ส่วนใน 2 วัน พวกเขาจะผลิต 3 + 2 ส่วนด้วยกัน เนื่องจากตามเงื่อนไข มีการผลิตชิ้นส่วนทั้งหมด 400 ชิ้น เราจึงได้สมการ:
สมการผลลัพธ์เรียกว่าสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัว ที่นี่เราต้องค้นหาคู่ของตัวเลข x และ y ซึ่งสมการจะอยู่ในรูปของความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แท้จริง โปรดทราบว่าถ้า x = 90, y = 65 เราจะได้ความเท่าเทียมกัน:
3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400
เนื่องจากได้รับความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง คู่ของตัวเลข 90 และ 65 จะเป็นคำตอบของสมการนี้ แต่วิธีแก้ปัญหาที่พบไม่ใช่เพียงวิธีเดียว ถ้า x = 96 และ y = 56 เราจะได้ความเท่าเทียมกัน:
96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400
นี่เป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แท้จริงด้วย ซึ่งหมายความว่าคู่ของตัวเลข 96 และ 56 ก็เป็นคำตอบของสมการนี้เช่นกัน แต่คู่ของตัวเลข x = 73 และ y = 23 จะไม่ใช่คำตอบของสมการนี้ ในความเป็นจริง 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 จะให้ค่าความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ไม่ถูกต้องแก่เรา 265 = 400 ควรสังเกตว่าหากเราพิจารณาสมการที่สัมพันธ์กับสถานการณ์จริงนี้ ก็จะมีคู่ของตัวเลขที่ การแก้สมการนี้จะไม่ใช่การแก้สมการ ตัวอย่างเช่น ตัวเลขสองสามตัว:
x = 200 และ y = -100
เป็นวิธีแก้สมการ แต่นักเรียนไม่สามารถสร้างส่วน -100 ได้ ดังนั้นตัวเลขคู่ดังกล่าวจึงไม่สามารถตอบคำถามของโจทย์ได้ ดังนั้น ในสถานการณ์จริงแต่ละสถานการณ์ จึงจำเป็นต้องใช้แนวทางที่สมเหตุสมผลในการเลือกรากของสมการ
มาสรุปผลลัพธ์แรกกัน:
สมการในรูปแบบ ax + by + c = 0 โดยที่ a, b, c เป็นตัวเลขใดๆ เรียกว่าสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว
วิธีแก้สมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัวคือคู่ของตัวเลขที่สอดคล้องกับ x และ y ซึ่งสมการจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แท้จริง
§ 2 กราฟของสมการเชิงเส้น
การบันทึกคู่นี้ (x;y) ทำให้เรานึกถึงความเป็นไปได้ที่จะพรรณนาว่ามันเป็นจุดที่มีพิกัด xy y บนระนาบ ซึ่งหมายความว่าเราสามารถรับแบบจำลองทางเรขาคณิตของสถานการณ์เฉพาะได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการ:
2x + y - 4 = 0
ลองเลือกคู่ตัวเลขหลายคู่ที่จะแก้สมการนี้และสร้างจุดด้วยพิกัดที่พบ ให้สิ่งเหล่านี้เป็นจุด:
A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6)
โปรดทราบว่าจุดทั้งหมดอยู่บนเส้นเดียวกัน เส้นนี้เรียกว่ากราฟของสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัว มันเป็นแบบจำลองกราฟิก (หรือเรขาคณิต) ของสมการที่กำหนด
ถ้าคู่ของตัวเลข (x;y) เป็นคำตอบของสมการ
ax + vy + c = 0 แล้วจุด M(x;y) อยู่ในกราฟของสมการ เราอาจพูดในทางกลับกัน: ถ้าจุด M(x;y) อยู่ในกราฟของสมการ ax + y + c = 0 แล้วคู่ของตัวเลข (x;y) จะเป็นคำตอบของสมการนี้
จากหลักสูตรเรขาคณิตเรารู้:
ในการสร้างเส้นตรง คุณต้องมี 2 จุด ดังนั้นหากต้องการสร้างกราฟของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว ก็เพียงพอที่จะรู้คำตอบเพียง 2 คู่เท่านั้น แต่การคาดเดารากไม่ใช่ขั้นตอนที่สะดวกหรือมีเหตุผลเสมอไป คุณสามารถปฏิบัติตามกฎอื่นได้ เนื่องจากค่าแอบซิสซาของจุด (ตัวแปร x) เป็นตัวแปรอิสระ คุณจึงสามารถให้ค่าใดๆ ก็ได้ตามสะดวก เมื่อแทนตัวเลขนี้ลงในสมการ เราจะพบค่าของตัวแปร y
ตัวอย่างเช่น ให้สมการได้รับ:
ให้ x = 0 แล้วเราจะได้ 0 - y + 1 = 0 หรือ y = 1 ซึ่งหมายความว่าถ้า x = 0 แล้ว y = 1 คู่ตัวเลข (0;1) คือคำตอบของสมการนี้ มาตั้งค่าตัวแปร x: x = 2 อีกค่าหนึ่ง จากนั้นเราจะได้ 2 - y + 1 = 0 หรือ y = 3 คู่ของตัวเลข (2;3) ก็เป็นคำตอบของสมการนี้เช่นกัน จากจุดสองจุดที่พบ ก็สามารถสร้างกราฟของสมการ x - y + 1 = 0 ได้แล้ว
คุณสามารถทำได้: ขั้นแรกกำหนดค่าเฉพาะให้กับตัวแปร y จากนั้นจึงคำนวณค่าของ x
§ 3 ระบบสมการ
หาสอง ตัวเลขธรรมชาติซึ่งผลรวมคือ 11 และผลต่างคือ 1
เพื่อแก้ปัญหานี้ ขั้นแรกเราจะสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (กล่าวคือ แบบจำลองพีชคณิต) ให้เลขตัวแรกเป็น x และเลขตัวที่สอง y จากนั้นผลรวมของตัวเลข x + y = 11 และผลต่างของตัวเลข x - y = 1 เนื่องจากสมการทั้งสองเกี่ยวข้องกับตัวเลขเดียวกัน เงื่อนไขเหล่านี้จึงต้องเป็นไปตามพร้อมกัน โดยปกติในกรณีเช่นนี้ จะใช้บันทึกพิเศษ สมการจะถูกเขียนไว้ด้านล่างอีกสมการหนึ่งและรวมกับเครื่องหมายปีกกา
บันทึกดังกล่าวเรียกว่าระบบสมการ
ทีนี้มาสร้างชุดคำตอบให้กับแต่ละสมการกัน เช่น กราฟของแต่ละสมการ ลองใช้สมการแรก:
ถ้า x = 4 แล้ว y = 7 ถ้า x = 9 แล้ว y = 2
ลองลากเส้นตรงผ่านจุด (4;7) และ (9;2) กัน
ลองใช้สมการที่สอง x - y = 1 ถ้า x = 5 แล้ว y = 4 ถ้า x = 7 แล้ว y = 6 เรายังวาดเส้นตรงผ่านจุด (5;4) และ (7;6 ). เราได้รับแบบจำลองทางเรขาคณิตของปัญหา คู่ของตัวเลขที่เราสนใจ (x;y) จะต้องเป็นคำตอบของสมการทั้งสอง ในรูปเราเห็นจุดเดียวที่อยู่บนเส้นทั้งสอง นี่คือจุดตัดของเส้น
พิกัดคือ (6;5) ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาคือ: หมายเลขแรกที่ต้องการคือ 6 หมายเลขที่สองคือ 5
รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้:
- Mordkovich A.G. พีชคณิตเกรด 7 ใน 2 ส่วนตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับ สถาบันการศึกษา/ เอ.จี. มอร์ดโควิช. – ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 10 ปรับปรุง – มอสโก, “Mnemosyne”, 2007
- Mordkovich A.G. พีชคณิตเกรด 7 ใน 2 ส่วนตอนที่ 2 หนังสือปัญหาสำหรับสถาบันการศึกษา / [A.G. มอร์ดโควิชและคนอื่น ๆ]; เรียบเรียงโดย A.G. Mordkovich - ฉบับที่ 10 แก้ไข - มอสโก, "Mnemosyne", 2550
- ของเธอ. Tulchinskaya พีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 การสำรวจแบบสายฟ้าแลบ: คู่มือสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษาทั่วไป ฉบับที่ 4 แก้ไขและขยาย มอสโก "Mnemosyne", 2551
- Alexandrova L.A. พีชคณิตเกรด 7 ใจความ งานทดสอบวี แบบฟอร์มใหม่สำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป เรียบเรียงโดย A.G. Mordkovich, มอสโก, “Mnemosyne”, 2011
- อเล็กซานโดรวา แอล.เอ. พีชคณิตเกรด 7 ทำงานอิสระสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป เรียบเรียงโดย A.G. Mordkovich - ฉบับที่ 6, โปรเฟสเซอร์, มอสโก, “ Mnemosyne”, 2010
