สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้คืออะไร ประวัติของตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้

วันนี้ฉันกำลังเปิดส่วนใหม่ที่เรียกว่า "การตัด" ซึ่งฉันจะโพสต์ภาพวาด เทมเพลต ตลอดจนรูปแบบของภาพลวงตา วันนี้เราจะทำ สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้จากกระดาษ เนื่องจากเราไม่สามารถสร้างสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ เราจะสร้างแบบจำลองที่เราจะพิจารณาจากมุมหนึ่ง

ดาวน์โหลดและพิมพ์
ทำตามคำแนะนำในภาพ

จะพิจารณาสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้อย่างถูกต้องได้อย่างไร?

เนื่องจากภาพลวงตามีพื้นฐานมาจากการวาดลูกบาศก์ที่คลุมเครือใน มุมมองแบบสามมิติ จากนั้นในการวางแนวนี้ มุมที่ใกล้ที่สุดกับผู้ชมและมุมที่ห่างไกลจากผู้ชมจะตรงกัน ซึ่งหมายความว่าเมื่อลงไปที่ขอบที่ใกล้ที่สุดของลูกบาศก์และขอบด้านล่างทั้งสอง เราจะกลับไปที่ จุดเริ่มต้นที่เส้นทางสิ้นสุดที่มุมไกล

สามเหลี่ยมเพนโรสที่เป็นไปไม่ได้

ในพื้นที่ดังกล่าว ศิลปะภาพเช่นเดียวกับการทาสีผิวหนังมนุษย์ เทรนด์ล่าสุดในปัจจุบันคือตัวเลขของภาพลวงตา โดยเฉพาะสามเหลี่ยมเพนโรสหรือไทรบาร์ ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าเป็นไปไม่ได้ เป็นครั้งแรกที่รูปแบบนี้ถูกค้นพบหรือคิดค้นโดยจิตรกรชาวสวีเดน ออสการ์ รูเทอร์สวาร์ด ซึ่งนำเสนอให้โลกเห็นในรูปแบบของก้อนลูกบาศก์เมื่อช่วงเปลี่ยนปี 1935 ต่อมาในทศวรรษที่ 80 ของศตวรรษของเรา พิมพ์ลวดลายชนเผ่าในสวีเดนบนแสตมป์

อย่างไรก็ตาม ภาพของสามเหลี่ยมเพนโรสที่เป็นไปไม่ได้ ซึ่งอยู่ในหมวดหมู่ของภาพลวงตา กลายเป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางในปี 2501 หลังจากการตีพิมพ์ของนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ โรเจอร์ เพนโรส เกี่ยวกับตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ ซึ่งตีพิมพ์ในวารสารจิตวิทยาอังกฤษ แรงบันดาลใจจากสิ่งพิมพ์นี้ Maurits Escher จิตรกรชาวดัตช์ผู้โด่งดังได้สร้างผลงานที่โด่งดังที่สุดชิ้นหนึ่งของเขาในปี 2504

ภาพลวงตา

ภาพลวงตาในการวาดภาพเป็นภาพลวงตาของการรับรู้ถึงภาพจริง ศิลปินทำการจัดเรียงของเส้นบนเครื่องบิน ในเวลาเดียวกัน ผู้ชมประเมินขนาดของมุมของรูปหรือความยาวของด้านข้างอย่างไม่ถูกต้อง ซึ่งเป็นเรื่องของการศึกษาส่วนย่อยของจิตวิทยา เช่น การบำบัดด้วยเกสตัลท์ นอกจาก Escher แล้ว อีกคนหนึ่งชอบสร้างภาพลวงตา ศิลปินผู้ยิ่งใหญ่- ทั่วโลก เอลซัลวาดอร์ที่มีชื่อเสียงต้าหลี่. ภาพประกอบที่ชัดเจนของความหลงใหลของเขาคือ ตัวอย่างเช่น ภาพวาด "หงส์สะท้อนอยู่ในช้าง"

สามเหลี่ยมดังกล่าวยังหมายถึงภาพลวงตา ซึ่งแม่นยำกว่าในส่วนนั้นซึ่งเรียกว่าตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ เรียกว่าเป็นอย่างนั้นเพราะความรู้สึกที่เกิดขึ้นเมื่อมองดูรูปที่มันมีอยู่ใน โลกแห่งความจริงเป็นไปไม่ได้

การประยุกต์ใช้ภาพลวงตา

เนื่องจากรูปทรงที่เป็นเอกลักษณ์ วัตถุลวงตาจึงได้รับความสนใจอย่างใกล้ชิด ไม่เพียงแต่สำหรับศิลปินและช่างสักเท่านั้น - สามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นเองหรือด้วยความช่วยเหลือจากผู้เชี่ยวชาญก็สามารถใช้เป็นโลโก้บริษัทได้ ตัวอย่างที่ดีของการใช้รูปแบบลวงตา ได้แก่ โลโก้ของวงดนตรีประสาทหลอนที่เล่นดนตรีพื้นบ้าน Conundum in Deed ซึ่งเป็นลูกบาศก์ที่เป็นไปไม่ได้ หรือแบรนด์ของผู้ผลิตชิป Digilent Inc ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมคลาสสิกของ Penrose

คุณสามารถสร้างโลโก้ของคุณเองได้โดยไม่ต้องพึ่งผู้เชี่ยวชาญ ในการทำเช่นนี้ เพียงทำตามคำแนะนำ ซึ่งคุณสามารถวาดภาพง่ายๆ บนกระดาษหรือในแท็บเล็ต แล้วทำ ปริมาตร. สามารถวางเป็นป้ายหรือ โฆษณากลางแจ้งร้านค้าของคุณ

วิธีทำด้วยตัวเอง

คำแนะนำทีละขั้นตอนเกี่ยวกับวิธีการวาดไทรบาร์โดยใช้ Adobe Illustrator:

ขั้นแรกคุณต้องสร้าง 3 สี่เหลี่ยมด้วยเครื่องมือ Rectangle ในการดำเนินการนี้ คุณต้องไปที่เมนูมุมมองและเปิดใช้งาน Smart Guide ก่อน
ตอนนี้คุณต้องเลือกทุกอย่างแล้วไปที่เมนู Object จากนั้นไปที่ Transform และเปิด Transform โดยที่ในหน้าต่าง Scale คุณต้องใส่ค่า Vertical Scale = 86.6% แล้วคลิกตกลง
ตอนนี้ คุณต้องกำหนดมุมการหมุนของใบหน้าแต่ละหน้า และสำหรับสิ่งนี้ ให้ไปที่ Window open Transform ขั้นแรกให้ใส่ค่าสำหรับมุมเอียง (เฉือน) จากนั้นสำหรับการหมุน (หมุน): พื้นผิวด้านบนของลูกบาศก์คือเฉือน +30° หมุน -30°; พื้นผิวด้านขวา - เฉือน +30°, หมุน +30°; พื้นผิวด้านซ้าย — เฉือน -30°, หมุน -30°.
ในตอนนี้ เมื่อใช้เส้น Smart Guides คุณจะต้องเชื่อมต่อทุกส่วนของลูกบาศก์เข้าด้วยกัน: เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เกี่ยวมุมของด้านใดด้านหนึ่งด้วยเมาส์แล้วดึงไปยังอีกด้านหนึ่ง จัดตำแหน่งให้ตรงกัน
ในขั้นตอนนี้ คุณต้องหมุนลูกบาศก์ 30° โดยไปที่ Object เลือก Transform and Rotate ตั้งค่ามุมเป็น 30° แล้วคลิกตกลง
เนื่องจากคุณต้องการ 6 คิวบ์เพื่อให้ได้ไตรแถบ คุณควรเลือกคิวบ์ กด Alt และ Shift แล้วลากวัตถุที่เลือกไปด้านข้างด้วยเมาส์ ยืดออกในแนวนอน โดยไม่ลบส่วนที่เลือก กด CMD + D 6 ครั้ง เราได้ 6 คิวบ์
ออกจากการเลือกในคิวบ์สุดท้าย กด Enter และในหน้าต่างย้าย เปลี่ยนค่ามุมเป็น 240 ° จากนั้นกด Copy จากนั้นกด CMD + D อีกครั้งจนกว่าจะได้ 6 สำเนา
ตอนนี้ทำซ้ำทุกอย่าง: กด Enter อีกครั้ง เลือกคิวบ์สุดท้าย ตั้งค่ามุมเป็น 120 ° และทำสำเนาเพียง 5 ชุดเท่านั้น
การใช้เครื่องมือการเลือก คุณต้องเลือกพื้นผิวด้านบนของรูปร่าง (คุณสามารถเปลี่ยนสีเพื่อให้ชัดเจนขึ้น) เปิดเมนู วัตถุ - จัดเรียง - ส่งไปข้างหลัง ตอนนี้เลือกพื้นผิวที่ทาสีของลูกบาศก์ด้านบน ไปที่ Object - Arrange - Bring to Front

ภาพลวงตาของเพนโรสพร้อมแล้ว สามารถโพสต์บนเพจของคุณในเครือข่ายสังคมออนไลน์หรือบล็อก หรือใช้สำหรับธุรกิจ

หัวหน้างาน

ครูคณิตศาสตร์

1.บทนำ ………………………………………………….……3

2. ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์………………………………………..…4

3. ส่วนหลัก………………………………………………….7

4. ข้อพิสูจน์ความเป็นไปไม่ได้ของสามเหลี่ยมเพนโรส ...... 9

5. สรุปผล………………………………………………..……………11

6. วรรณคดี……………………………………………….…… 12

ความเกี่ยวข้อง:คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ศึกษาตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ถึงชั้นสุดท้าย นักเรียนหลายคนพบว่ามันยาก ไม่น่าสนใจ และไม่จำเป็น แต่ถ้าคุณมองข้ามหน้าหนังสือเรียน ให้อ่าน วรรณกรรมเพิ่มเติม, ความวิปริตทางคณิตศาสตร์และความขัดแย้ง แล้วความคิดของคณิตศาสตร์จะเปลี่ยนไป มีความปรารถนาที่จะเรียนมากกว่าที่จะเรียนในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน

วัตถุประสงค์:

เพื่อแสดงให้เห็นว่าการมีอยู่ของตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้จะขยายขอบเขตอันไกลโพ้น พัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ไม่เพียงแต่ใช้โดยนักคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้โดยศิลปินด้วย

งาน :

1. ศึกษาวรรณคดีในหัวข้อนี้

2. พิจารณาตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ สร้างแบบจำลองของสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ พิสูจน์ว่าไม่มีสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้อยู่บนระนาบ

3. แฉสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้

4. พิจารณาตัวอย่างการใช้สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ในงานศิลปะ

บทนำ

ในอดีต คณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญในทัศนศิลป์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการแสดงภาพเปอร์สเปคทีฟ ซึ่งเกี่ยวข้องกับการวาดภาพฉากสามมิติอย่างสมจริงบนผืนผ้าใบเรียบหรือแผ่นกระดาษ ตาม มุมมองที่ทันสมัย, คณิตศาสตร์ และ ศิลปะห่างไกลจากกันมาก วิชาแรก - วิเคราะห์ ที่สอง - อารมณ์ คณิตศาสตร์ไม่ได้มีบทบาทที่ชัดเจนในงานส่วนใหญ่ ศิลปะร่วมสมัยและที่จริงแล้ว ศิลปินหลายคนแทบไม่ใช้หรือไม่เคยใช้มุมมองด้วยซ้ำ อย่างไรก็ตาม มีศิลปินมากมายที่เน้นวิชาคณิตศาสตร์ บุคคลสำคัญหลายคนในทัศนศิลป์ปูทางให้กับบุคคลเหล่านี้

โดยทั่วไปแล้ว ไม่มีกฎเกณฑ์หรือข้อจำกัดในการใช้หัวข้อต่างๆ ในศิลปะทางคณิตศาสตร์ เช่น ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ แถบโมบิอุส การบิดเบือนหรือระบบเปอร์สเปคทีฟที่ผิดปกติ และเศษส่วน

ประวัติของตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้

ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ - บางอย่าง ความขัดแย้งทางคณิตศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยชิ้นส่วนปกติที่เชื่อมต่อกันในคอมเพล็กซ์ที่ผิดปกติ หากคุณพยายามกำหนดคำจำกัดความของคำว่า "วัตถุที่เป็นไปไม่ได้" มันอาจจะฟังดูคล้าย ๆ กัน - ตัวเลขที่เป็นไปได้ทางกายภาพประกอบในรูปแบบที่เป็นไปไม่ได้ แต่การมองดูพวกมันนั้นน่าพึงพอใจกว่ามาก การร่างคำจำกัดความ

ศิลปินพบข้อผิดพลาดในการก่อสร้างเชิงพื้นที่เมื่อพันปีก่อน แต่คนแรกที่สร้างและวิเคราะห์วัตถุที่เป็นไปไม่ได้ถือเป็น ศิลปินชาวสวีเดนออสการ์ รูเทอร์สวาร์ด ผู้วาดภาพในปี ค.ศ. 1934 สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้แรกประกอบด้วยเก้าลูกบาศก์

Reutersvärd สามเหลี่ยม

นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ Roger Penrose เป็นอิสระจาก Reutersvaerd ค้นพบสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้อีกครั้งและเผยแพร่ภาพของมันใน British Psychology Journal ในปี 1958 ภาพลวงตาใช้ "มุมมองที่ผิด" บางครั้งมุมมองดังกล่าวเรียกว่าจีนเนื่องจากวิธีการวาดที่คล้ายกันเมื่อความลึกของการวาดภาพ "คลุมเครือ" มักพบในผลงานของศิลปินจีน

น้ำตกเอสเชอร์

ในปี พ.ศ. 2504 Dutchman M. Escher ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากสามเหลี่ยม Penrose ที่เป็นไปไม่ได้ สร้างภาพพิมพ์หิน "Waterfall" ที่มีชื่อเสียง น้ำในภาพไหลอย่างไม่รู้จบ หลังจากที่กังหันน้ำไหลผ่านไปอีกและตกลงมาที่จุดเริ่มต้น อันที่จริง นี่คือภาพของเครื่องเคลื่อนไหวตลอดเวลา แต่ความพยายามใดๆ ในความเป็นจริงเพื่อสร้างการออกแบบนี้จะต้องล้มเหลว

อีกตัวอย่างหนึ่งของตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ถูกนำเสนอในภาพวาด "มอสโก" ซึ่งแสดงถึงรูปแบบที่ผิดปกติของรถไฟใต้ดินมอสโก ในตอนแรก เรารับรู้ภาพโดยรวม แต่การลากเส้นแต่ละเส้นด้วยตาของเรา เราเชื่อมั่นในความเป็นไปไม่ได้ของการมีอยู่ของมัน

« มอสโก”, กราฟิก (หมึก, ดินสอ), 50x70 ซม., 2003

การวาด "หอยทากสามตัว" ยังคงเป็นประเพณีของร่างที่เป็นไปไม่ได้ที่มีชื่อเสียงอันดับสอง - ลูกบาศก์ที่เป็นไปไม่ได้ (กล่อง)

"หอยทากสามตัว" ลูกบาศก์ที่เป็นไปไม่ได้

การรวมกันของวัตถุต่างๆ ยังสามารถพบได้ในรูป "IQ" (ความฉลาดทางปัญญา) ที่ไม่ร้ายแรงนัก เป็นเรื่องที่น่าสนใจที่บางคนไม่รับรู้วัตถุที่เป็นไปไม่ได้เนื่องจากจิตสำนึกของพวกเขาไม่สามารถระบุภาพแบนด้วยวัตถุสามมิติได้

โดนัลด์ ซิมาเน็ก ให้ความเห็นว่าการเข้าใจเรื่อง Visual Paradoxes เป็นจุดเด่นอย่างหนึ่งของประเภทนั้น ความคิดสร้างสรรค์ครอบครองโดยนักคณิตศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์ และศิลปินที่เก่งที่สุด งานจำนวนมากที่มีวัตถุที่ขัดแย้งกันสามารถจัดเป็น "เกมคณิตศาสตร์ทางปัญญา" วิทยาศาสตร์สมัยใหม่พูดถึงแบบจำลองโลก 7 มิติหรือ 26 มิติ เป็นไปได้ที่จะจำลองโลกด้วยความช่วยเหลือของสูตรทางคณิตศาสตร์เท่านั้นบุคคลไม่สามารถจินตนาการได้ นี่คือจุดที่ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้มีประโยชน์

ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ที่ได้รับความนิยมอันดับสามคือบันไดอันน่าทึ่งที่สร้างขึ้นโดย Penrose คุณจะขึ้นอย่างต่อเนื่อง (ทวนเข็มนาฬิกา) หรือลง (ตามเข็มนาฬิกา) อย่างต่อเนื่อง โมเดล Penrose เป็นพื้นฐาน ภาพวาดที่มีชื่อเสียง M. Escher "ขึ้นและลง" บันไดเพนโรสที่น่าทึ่ง

ตรีศูลที่เป็นไปไม่ได้

“ไอ้ส้อม”

มีวัตถุอีกกลุ่มหนึ่งที่ไม่สามารถดำเนินการได้ หุ่นคลาสสิกคือตรีศูลที่เป็นไปไม่ได้หรือ "ส้อมของปีศาจ" จากการศึกษาภาพอย่างระมัดระวัง คุณจะเห็นได้ว่าฟันสามซี่ค่อยๆ กลายเป็นสองซี่บนพื้นฐานเดียว ซึ่งนำไปสู่ความขัดแย้ง เราเปรียบเทียบจำนวนฟันจากด้านบนและด้านล่างและได้ข้อสรุปว่าวัตถุนั้นเป็นไปไม่ได้ หากคุณปิดส่วนบนของตรีศูลด้วยมือของคุณเราจะเห็นอย่างสมบูรณ์ ภาพจริง- ฟันสามซี่ ถ้าเราปิดส่วนล่างของตรีศูลเราก็จะเห็นภาพจริง - ฟันสี่เหลี่ยมสองซี่ แต่ถ้าเราพิจารณาภาพรวมทั้งหมด ปรากฎว่าฟันกลมสามซี่ค่อยๆ กลายเป็นฟันสี่เหลี่ยมสองซี่

ดังนั้น คุณจะเห็นได้ว่าพื้นหน้าและพื้นหลังของภาพวาดนี้ขัดแย้งกัน นั่นคือ สิ่งที่เดิมอยู่เบื้องหน้าถอยหลัง และพื้นหลัง (ฟันกลาง) คลานไปข้างหน้า นอกจากการเปลี่ยนพื้นหน้าและพื้นหลังแล้ว ภาพวาดนี้ยังมีเอฟเฟกต์อื่นอีกด้วย - ขอบเรียบของส่วนบนของตรีศูลจะกลายเป็นทรงกลมที่ด้านล่าง

ส่วนสำคัญ.

สามเหลี่ยม- ตัวเลขที่ประกอบด้วย 3 ส่วนที่อยู่ติดกันซึ่งด้วยความช่วยเหลือของการเชื่อมต่อที่ยอมรับไม่ได้ของชิ้นส่วนเหล่านี้สร้างภาพลวงตาของโครงสร้างที่เป็นไปไม่ได้จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ในอีกทางหนึ่ง แถบสามแถบนี้เรียกอีกอย่างว่า สี่เหลี่ยม เพนโรส

หลักการที่ชัดเจนที่อยู่เบื้องหลังภาพลวงตานี้เกิดจากการคิดค้นของนักจิตวิทยาและโรเจอร์ ลูกชายของเขา นักฟิสิกส์ จัตุรัสเพนรูซอฟประกอบด้วยส่วนสี่เหลี่ยมจัตุรัส 3 แท่ง ซึ่งตั้งอยู่ใน 3 ทิศทางที่ตั้งฉากกัน แต่ละอันเชื่อมต่อกับส่วนถัดไปที่มุมฉากซึ่งทั้งหมดพอดีกับพื้นที่สามมิติ ต่อไปนี้คือสูตรง่ายๆ สำหรับการวาดมุมมองสามมิติของสี่เหลี่ยมเพนโรส:

ตัดมุมของสามเหลี่ยมด้านเท่าตามแนวขนานกับด้านข้าง

วาดแนวขนานกับด้านข้างภายในสามเหลี่ยมที่ครอบตัด

ตัดมุมอีกครั้ง

วาดเส้นขนานกันอีกครั้ง

· ลองนึกภาพหนึ่งในสองลูกบาศก์ที่เป็นไปได้ในมุมใดมุมหนึ่ง

· ต่อด้วย “สิ่งของ” รูปตัว L

เรียกใช้การออกแบบนี้เป็นวงกลม

ถ้าเราเลือกลูกบาศก์อื่น สี่เหลี่ยมจัตุรัสก็จะ "บิด" ไปอีกทางหนึ่ง .

การพัฒนาสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้

เส้นแบ่ง

เส้นตัด

องค์ประกอบใดบ้างที่ประกอบเป็นสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ แม่นยำยิ่งขึ้นจากองค์ประกอบใดที่เรา (ดูเหมือน!) สร้างขึ้น? การออกแบบขึ้นอยู่กับมุมสี่เหลี่ยมซึ่งได้มาจากการเชื่อมต่อแท่งสี่เหลี่ยมที่เหมือนกันสองอันที่มุมฉาก มุมเหล่านี้ต้องใช้สามชิ้นและแท่งจึงหกชิ้น มุมเหล่านี้จะต้อง "เชื่อมต่อ" ทางสายตาด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งเพื่อสร้างห่วงโซ่ปิด สิ่งที่เกิดขึ้นคือสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้

วางมุมแรกในระนาบแนวนอน เราจะแนบมุมที่สองเข้าไปโดยให้ขอบด้านหนึ่งขึ้น สุดท้าย เราเพิ่มมุมที่สามในมุมที่สองนี้ เพื่อให้ขอบของมันขนานกับระนาบแนวนอนดั้งเดิม ในกรณีนี้ ขอบทั้งสองของมุมที่หนึ่งและสามจะขนานกันและมีทิศทางต่างกันไป

และตอนนี้เราลองสบู่ดูร่างจากจุดต่าง ๆ ในอวกาศ (หรือสร้างแบบจำลองลวดจริง) ลองนึกภาพว่ามันมีลักษณะอย่างไรจากจุดหนึ่ง จากอีกจุดหนึ่ง จากจุดที่สาม ... เมื่อจุดสังเกตเปลี่ยนไป (หรือ - ซึ่งเหมือนกัน - เมื่อโครงสร้างหมุนในอวกาศ) ดูเหมือนว่าขอบ "ปลาย" ทั้งสองของ มุมของเราขยับสัมพันธ์กัน หาตำแหน่งที่จะเชื่อมต่อได้ไม่ยาก (แน่นอนว่าในกรณีนี้มุมใกล้จะดูหนากว่าสำหรับเรา)

แต่ถ้าระยะห่างระหว่างซี่โครงน้อยกว่าระยะห่างจากมุมไปยังจุดที่เรากำลังดูโครงสร้างของเราอยู่มาก ซี่โครงทั้งสองก็จะมีความหนาเท่ากันสำหรับเรา และแนวคิดจะเกิดขึ้นว่า ซี่โครงทั้งสองนี้จริงๆ แล้วเป็น ความต่อเนื่องของกันและกัน

อย่างไรก็ตาม หากเราดูโครงสร้างที่แสดงในกระจกพร้อมๆ กัน เราจะไม่เห็นวงจรปิดที่นั่น

และจากจุดสังเกตที่เลือกเราเห็นด้วยตาของเราเองถึงปาฏิหาริย์ที่เกิดขึ้น: มีโซ่ปิดสามมุม อย่าเปลี่ยนจุดสังเกตเพื่อให้ภาพลวงตานี้ (อันที่จริงมันเป็นภาพลวงตา!) จะไม่ล่มสลาย ตอนนี้คุณสามารถวาดวัตถุที่คุณเห็นหรือวางเลนส์กล้องไว้ที่จุดที่พบแล้วถ่ายรูปวัตถุที่เป็นไปไม่ได้

Penroses เป็นกลุ่มแรกที่สนใจปรากฏการณ์นี้ พวกเขาใช้ความเป็นไปได้ที่เกิดขึ้นเมื่อแสดง พื้นที่สามมิติและวัตถุสามมิติบนระนาบสองมิติ (นั่นคือระหว่างการออกแบบ) และดึงความสนใจไปที่ความไม่แน่นอนของการออกแบบบางอย่าง - โครงสร้างเปิดของสามมุมสามารถถูกมองว่าเป็นห่วงโซ่ปิด

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว แบบจำลองที่ง่ายที่สุดสามารถทำจากลวดได้ง่าย ซึ่งอธิบายโดยหลักการแล้วถึงผลกระทบที่สังเกตได้ นำลวดเส้นตรงแล้วแบ่งออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กัน จากนั้นงอส่วนสุดขั้วเพื่อให้เป็นมุมฉากกับส่วนตรงกลางแล้วหมุนสัมพันธ์กัน 900 ตอนนี้หันรูปปั้นนี้และสังเกตด้วยตาข้างเดียว ณ ตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่ง ดูเหมือนว่าจะประกอบขึ้นจากลวดปิด เมื่อเปิดโคมไฟตั้งโต๊ะ คุณจะเห็นเงาที่ตกลงมาบนโต๊ะ ซึ่งจะเปลี่ยนเป็นรูปสามเหลี่ยม ณ ตำแหน่งหนึ่งของร่างในอวกาศ

อย่างไรก็ตาม คุณลักษณะการออกแบบนี้สามารถสังเกตได้ในสถานการณ์อื่น หากคุณทำวงแหวนลวดแล้วกระจายไปในทิศทางต่าง ๆ คุณจะได้เกลียวทรงกระบอกหนึ่งรอบ วงนี้เปิดอยู่แน่นอน แต่เมื่อฉายขึ้นเครื่องบิน คุณจะได้เส้นปิด

เราได้เห็นอีกครั้งว่าการฉายภาพบนระนาบ ตามภาพวาด ร่างสามมิติได้รับการฟื้นฟูอย่างคลุมเครือ นั่นคือ การฉายภาพมีความคลุมเครือ การพูดน้อย ซึ่งก่อให้เกิด "รูปสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้"

และเราสามารถพูดได้ว่า "สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้" ของ Penroses ก็เหมือนกับภาพลวงตาอื่นๆ ที่เท่าเทียมกัน ความขัดแย้งเชิงตรรกะและเล่นสำนวน

บทพิสูจน์ความเป็นไปไม่ได้ของสามเหลี่ยมเพนโรส

การวิเคราะห์คุณสมบัติของภาพสองมิติของวัตถุสามมิติบนระนาบ เราเข้าใจว่าคุณลักษณะของจอแสดงผลนี้นำไปสู่สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ได้อย่างไร

เป็นเรื่องง่ายมากที่จะพิสูจน์ว่าไม่มีสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากแต่ละมุมของมันถูกต้อง และผลรวมของมันคือ 2700 แทนที่จะเป็น "ตำแหน่ง" 1800

ยิ่งกว่านั้น แม้ว่าเราจะพิจารณาว่าสามเหลี่ยมเป็นไปไม่ได้ที่ติดกาวเข้าด้วยกันจากมุมที่น้อยกว่า 900 ในกรณีนี้ก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้นั้นไม่มีอยู่จริง

พิจารณารูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งซึ่งประกอบด้วยหลายส่วน หากชิ้นส่วนที่ประกอบแตกต่างกัน จะได้สามเหลี่ยมเดียวกันทุกประการ แต่มีข้อบกพร่องเล็กน้อยเพียงจุดเดียว หนึ่งตารางจะหายไป เป็นไปได้อย่างไร? หรือมันเป็นแค่ภาพลวงตา

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="(!LANG:สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้" width="298" height="161">!}

โดยใช้ปรากฏการณ์การรับรู้

มีวิธีใดบ้างที่จะเพิ่มความเป็นไปไม่ได้? วัตถุบางอย่าง "เป็นไปไม่ได้" มากกว่าวัตถุอื่นหรือไม่? และนี่คือคุณสมบัติของการรับรู้ของมนุษย์ที่ได้รับการช่วยเหลือ นักจิตวิทยาพบว่าดวงตาเริ่มตรวจสอบวัตถุ (ภาพ) จากมุมล่างซ้าย จากนั้นการจ้องมองจะเลื่อนไปทางขวาไปยังกึ่งกลางและเลื่อนลงมาที่มุมล่างขวาของภาพ วิถีดังกล่าวอาจเกิดจากการที่บรรพบุรุษของเราเมื่อพบกับศัตรูดูอันตรายที่สุดก่อน มือขวาแล้วจ้องมองไปทางซ้าย ไปที่ใบหน้าและรูปร่าง ดังนั้น, การรับรู้ทางศิลปะจะขึ้นอยู่กับองค์ประกอบของภาพอย่างมาก คุณลักษณะนี้ในยุคกลางแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนในการผลิตสิ่งทอ: รูปแบบของพวกเขาคือ ภาพสะท้อนในกระจกดั้งเดิม และความประทับใจที่ทำโดยสิ่งทอและของดั้งเดิมนั้นแตกต่างกัน

สามารถใช้คุณสมบัตินี้ได้สำเร็จเมื่อสร้างการสร้างสรรค์ด้วยวัตถุที่เป็นไปไม่ได้ เพิ่มหรือลด "ระดับของความเป็นไปไม่ได้" นอกจากนี้ยังเปิดโอกาสให้ได้รับองค์ประกอบที่น่าสนใจโดยใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์หรือจากภาพวาดหลายภาพหมุน (อาจใช้ ชนิดที่แตกต่างสมมาตร) ความสัมพันธ์หนึ่งกับอีกคนหนึ่งสร้างความประทับใจให้กับวัตถุสำหรับผู้ชมและความเข้าใจอย่างลึกซึ้งในสาระสำคัญของความคิดหรือจากสิ่งที่หมุน (อย่างต่อเนื่องหรือกระตุก) ด้วยความช่วยเหลือของกลไกง่ายๆในบางมุม

ทิศทางดังกล่าวสามารถเรียกได้ว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยม (polygonal) ภาพประกอบแสดงภาพที่หมุนโดยสัมพันธ์กับอีกภาพหนึ่ง องค์ประกอบถูกสร้างขึ้นดังนี้ ภาพวาดบนกระดาษซึ่งทำด้วยหมึกและดินสอ ถูกสแกน แปลงเป็นดิจิทัล และประมวลผลในโปรแกรมแก้ไขกราฟิก เราสามารถสังเกตความสม่ำเสมอ - ภาพที่หมุนมี "ระดับความเป็นไปไม่ได้" ที่มากกว่าภาพต้นฉบับ สิ่งนี้อธิบายได้ง่าย: ในกระบวนการทำงาน ศิลปินพยายามสร้างภาพลักษณ์ที่ "ถูกต้อง" โดยจิตใต้สำนึก

บทสรุป

การใช้ตัวเลขทางคณิตศาสตร์และกฎหมายต่างๆ ไม่ได้จำกัดอยู่แค่ตัวอย่างข้างต้น โดยการศึกษาตัวเลขทั้งหมดข้างต้นอย่างละเอียดถี่ถ้วน คุณจะพบวัตถุทางเรขาคณิตอื่นๆ ที่ไม่ได้กล่าวถึงในบทความนี้หรือ การตีความภาพกฎหมายทางคณิตศาสตร์

ทัศนศิลป์ทางคณิตศาสตร์กำลังเฟื่องฟูในทุกวันนี้ และศิลปินหลายคนสร้างภาพวาดในสไตล์ของ Escher และในแบบของตัวเอง สไตล์ของตัวเอง. ศิลปินเหล่านี้ทำงานในสื่อที่หลากหลาย รวมทั้งงานประติมากรรม ภาพวาดบนพื้นผิวเรียบและสามมิติ ภาพพิมพ์หิน และคอมพิวเตอร์กราฟิก และหัวข้อที่นิยมมากที่สุดของศิลปะทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ รูปทรงหลายเหลี่ยม ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ แถบโมบิอุส ระบบเปอร์สเปคทีฟและเศษส่วนที่บิดเบี้ยว

ผลการวิจัย:

1. ดังนั้นการพิจารณาตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้จะพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ของเราช่วยให้ "ออกจากเครื่องบิน" ไปสู่อวกาศสามมิติซึ่งจะช่วยในการศึกษาสเตอริโอเมทรี

2. แบบจำลองของตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ช่วยในการพิจารณาการฉายภาพบนเครื่องบิน

3. การพิจารณาความซับซ้อนทางคณิตศาสตร์และความขัดแย้งทำให้เกิดความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์

เมื่อทำงานนี้

1. ฉันได้เรียนรู้ว่าเมื่อไรที่ไหนและโดยใครในตอนแรกที่มีการพิจารณาตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ว่ามีตัวเลขดังกล่าวมากมายศิลปินพยายามพรรณนาถึงตัวเลขเหล่านี้อย่างต่อเนื่อง

2. ร่วมกับพ่อของฉัน ฉันสร้างแบบจำลองของสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ ตรวจสอบการฉายภาพบนเครื่องบิน เห็นความขัดแย้งของรูปนี้

๓. ตรวจดูการลอกเลียนแบบของศิลปินซึ่งพรรณนาถึงบุคคลเหล่านี้

4. การศึกษาของฉันสนใจเพื่อนร่วมชั้นของฉัน

ในอนาคต ฉันจะใช้ความรู้ที่ได้รับในบทเรียนคณิตศาสตร์และฉันก็สนใจ แต่มีความขัดแย้งอื่นๆ อีกไหม

วรรณกรรม

1. ผู้สมัครของวิทยาศาสตร์เทคนิค D. RAKOV ประวัติของตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้

2. Rutesward O. ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้- ม.: Stroyizdat, 1990.

3. เว็บไซต์ของ V. Alekseev Illusions · 7 ความคิดเห็น

4. เจ. ทิโมธี อันราช. - ตัวเลขที่น่าทึ่ง
(LLC "สำนักพิมพ์ AST", LLC "สำนักพิมพ์ Astrel", 2002, 168 p.)

5. . - กราฟิคอาร์ต
(ศิลปะฤดูใบไม้ผลิ 2544)

6. ดักลาส ฮอฟสแตดเตอร์. - Gödel, Escher, Bach: พวงมาลัยที่ไม่มีที่สิ้นสุดนี้ (สำนักพิมพ์ "Bahrakh-M", 2001)

7. A. Konenko - ความลับของตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้
(Omsk: ถนัดมือ 199)

สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้เป็นหนึ่งในความขัดแย้งทางคณิตศาสตร์ที่น่าทึ่ง เมื่อมองดูเขาในแวบแรก คุณจะไม่สงสัยเขาเลยแม้แต่วินาทีเดียว มีอยู่จริง. อย่างไรก็ตาม นี่เป็นเพียงภาพลวงตา การหลอกลวง และความเป็นไปได้ของภาพลวงตาดังกล่าวจะอธิบายให้เราทราบด้วยคณิตศาสตร์!

การค้นพบเพนโรส

ในปี 1958 วารสาร British Psychological Journal ได้ตีพิมพ์บทความโดย L. Penrose และ R. Penrose ซึ่งพวกเขานำมาพิจารณา แบบใหม่ภาพลวงตาซึ่งพวกเขาเรียกว่า "สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้"

สามเหลี่ยมที่มองไม่เห็นถูกมองว่าเป็นโครงสร้างที่มีอยู่จริงในพื้นที่สามมิติและประกอบด้วยแท่งสี่เหลี่ยม แต่มันก็แค่ ภาพลวงตา. เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างแบบจำลองที่แท้จริงของสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้

บทความของ Penrose มีตัวเลือกมากมายสำหรับการวาดภาพสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ - การนำเสนอ "คลาสสิก"

องค์ประกอบใดบ้างที่ประกอบเป็นสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้

แม่นยำยิ่งขึ้นดูเหมือนว่าเราสร้างขึ้นจากองค์ประกอบใดบ้าง การออกแบบขึ้นอยู่กับมุมสี่เหลี่ยมซึ่งได้มาจากการเชื่อมต่อแท่งสี่เหลี่ยมที่เหมือนกันสองอันที่มุมฉาก มุมเหล่านี้ต้องใช้สามชิ้นและแท่งจึงหกชิ้น มุมเหล่านี้จะต้อง "เชื่อมต่อ" ทางสายตาด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งเพื่อสร้างห่วงโซ่ปิด สิ่งที่เกิดขึ้นคือสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้

หากเราถือว่าแท่งนั้นเป็นส่วนหนึ่งของความยาวหน่วย ปลายแท่งของมุมแรกจะมีพิกัด และมุมที่สอง - และ ส่วนที่สาม - และ เราได้โครงสร้างที่ "บิดเบี้ยว" ที่มีอยู่จริงในพื้นที่สามมิติ

และตอนนี้เราลองพิจารณาจิตใจจากจุดต่างๆ ในอวกาศกัน ลองนึกภาพว่ามันมีลักษณะอย่างไรจากจุดหนึ่ง จากอีกจุดหนึ่ง จากจุดที่สาม เมื่อเปลี่ยนจุดสังเกต ดูเหมือนว่าขอบ "ปลาย" ทั้งสองมุมของเราจะเคลื่อนสัมพันธ์กัน การหาตำแหน่งที่จะเชื่อมต่อไม่ใช่เรื่องยาก

อย่างไรก็ตาม หากเราดูเงาสะท้อนของโครงสร้างในกระจกไปพร้อม ๆ กัน เราจะไม่เห็นวงจรปิดที่นั่น

และจากจุดสังเกตที่เลือกเราเห็นด้วยตาของเราเองถึงปาฏิหาริย์ที่เกิดขึ้น: มีโซ่ปิดสามมุม อย่าเปลี่ยนจุดสังเกตเพื่อที่ภาพลวงตานี้จะไม่พัง ตอนนี้คุณสามารถวาดวัตถุที่คุณเห็นหรือวางเลนส์กล้องไว้ที่จุดที่พบแล้วถ่ายรูปวัตถุที่เป็นไปไม่ได้

Penroses เป็นกลุ่มแรกที่สนใจปรากฏการณ์นี้ พวกเขาใช้ความเป็นไปได้ที่เกิดขึ้นเมื่อทำแผนที่พื้นที่สามมิติและวัตถุสามมิติบนระนาบสองมิติและดึงความสนใจไปที่ความไม่แน่นอนของการออกแบบ - โครงสร้างเปิดของสามมุมสามารถถูกมองว่าเป็นห่วงโซ่ปิด

บทพิสูจน์ความเป็นไปไม่ได้ของสามเหลี่ยมเพนโรส

การวิเคราะห์คุณสมบัติของภาพสองมิติของวัตถุสามมิติบนระนาบ เราเข้าใจว่าคุณลักษณะของจอแสดงผลนี้นำไปสู่สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ได้อย่างไร บางทีอาจมีคนสนใจการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์อย่างหมดจด

เป็นเรื่องง่ายมากที่จะพิสูจน์ว่าไม่มีสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ เพราะแต่ละมุมของมันนั้นถูกต้อง และผลรวมของมันคือ 270 องศา แทนที่จะเป็น "ที่วาง" 180 องศา

ยิ่งกว่านั้น แม้ว่าเราจะพิจารณาว่าสามเหลี่ยมเป็นไปไม่ได้ที่ติดกาวเข้าด้วยกันจากมุมที่น้อยกว่า 90 องศา ในกรณีนี้ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้นั้นไม่มีอยู่จริง

เราเห็นใบหน้าแบนสามหน้า ตัดกันเป็นคู่ ๆ ตามเส้นตรง ระนาบที่มีใบหน้าเหล่านี้มีมุมฉากคู่จึงตัดกันที่จุดหนึ่ง

นอกจากนี้เส้นตัดกันของระนาบจะต้องผ่านจุดนี้ด้วย ดังนั้นเส้นตรง 1, 2, 3 ต้องตัดกันที่จุดหนึ่ง

แต่มันไม่ใช่ ดังนั้นการก่อสร้างที่นำเสนอจึงเป็นไปไม่ได้

ศิลปะที่ "เป็นไปไม่ได้"

ชะตากรรมของความคิดนี้หรือความคิดนั้น - วิทยาศาสตร์, เทคนิค, การเมือง - ขึ้นอยู่กับหลายสถานการณ์ และไม่น้อยในรูปแบบที่จะนำเสนอแนวคิดนี้ในรูปแบบใดที่จะปรากฏต่อสาธารณชนทั่วไป ไม่ว่ารูปลักษณ์จะแห้งแล้งและยากต่อการรับรู้ หรือในทางกลับกัน การแสดงความคิดจะสดใส ดึงดูดความสนใจของเราแม้จะขัดกับเจตจำนงของเราก็ตาม

สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้มีชะตากรรมที่มีความสุข ในปี พ.ศ. 2504 จิตรกรชาวดัตช์ Moritz Escher สร้างภาพพิมพ์หินที่เขาเรียกว่าน้ำตกเสร็จ ศิลปินไปไกลแต่ ช่องทางด่วนจากความคิดของสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ไปสู่ความน่าทึ่ง การแสดงออกทางศิลปะ. จำได้ว่าบทความ Penrose ปรากฏในปี 1958

ที่ใจกลางของ "น้ำตก" มีรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เป็นไปไม่ได้แสดงไว้ สามเหลี่ยมหนึ่งมีขนาดใหญ่ อีกสามเหลี่ยมหนึ่งอยู่ภายในนั้น อาจดูเหมือนว่ามีภาพสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้เหมือนกันสามรูป แต่นี่ไม่ใช่ประเด็น การออกแบบที่นำเสนอค่อนข้างซับซ้อน

เมื่อดูคร่าวๆ ทุกคนจะมองไม่เห็นความไร้สาระในทันที เนื่องจากทุกการเชื่อมต่อที่นำเสนอนั้นเป็นไปได้ อย่างที่พวกเขาพูดกันว่าในพื้นที่เล็ก ๆ ของภาพวาดการออกแบบดังกล่าวเป็นไปได้ ... แต่โดยทั่วไปมันเป็นไปไม่ได้! แต่ละชิ้นไม่พอดีกันไม่เห็นด้วย

และเพื่อที่จะเข้าใจสิ่งนี้ เราต้องใช้ความพยายามทางปัญญาและการมองเห็นบางอย่าง

ไปเที่ยวขอบตึกกัน เส้นทางนี้มีความโดดเด่นตรงที่มันดูเหมือนกับเรา ระดับที่สัมพันธ์กับระนาบแนวนอนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง เดินไปตามทางนี้ไม่ขึ้นไม่ลง

และทุกอย่างจะเรียบร้อย คุ้นเคย หากสุดเส้นทาง นั่นคือ ณ จุดนั้น เราจะไม่พบว่า เมื่อเทียบกับจุดเริ่มต้น จุดเริ่มต้น เราปีนขึ้นไปบนแนวดิ่งอย่างลึกลับอย่างคาดไม่ถึง!

เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ขัดแย้งนี้ เราต้องเลือกเส้นทางนี้ และตรวจสอบระดับที่สัมพันธ์กับระนาบแนวนอน ... ไม่ใช่เรื่องง่าย ในการตัดสินใจของเธอ Escher มาช่วย ... น้ำ มาระลึกบทเพลงแห่งความเคลื่อนไหวจากอัศจรรย์ วงจรเสียง Franz Schubert "มิลเลอร์ที่สวยงาม"

และประการแรกในจินตนาการและจากนั้นด้วยมือของปรมาจารย์ที่ยอดเยี่ยมโครงสร้างที่เปลือยเปล่าและแห้งกลายเป็นท่อระบายน้ำซึ่งมีน้ำไหลที่สะอาดและรวดเร็วไหลผ่าน การเคลื่อนไหวของพวกเขาดึงดูดสายตาของเราและตอนนี้เรารีบวิ่งไปตามทางเลี้ยวและทางโค้งตามความประสงค์ของเราพร้อมกับลำธารที่เราพังลงมาตกลงบนใบมีดของโรงสีน้ำแล้วรีบวิ่งไปตามกระแสน้ำอีกครั้ง .. .

เราเดินไปรอบ ๆ เส้นทางนี้หนึ่งครั้ง สองครั้ง หนึ่งในสาม ... และจากนั้นเราจึงตระหนักว่า: เลื่อนลงและ s เราอย่างใด ในทางที่ยอดเยี่ยมขึ้นไปข้างบนกันเถอะ! ความประหลาดใจเริ่มแรกพัฒนาเป็นความรู้สึกไม่สบายทางปัญญา ดูเหมือนว่าเราตกเป็นเหยื่อของการเล่นตลกบางประเภท ซึ่งเป็นเป้าหมายของเรื่องตลกบางประเภทที่ยังไม่เข้าใจ

และอีกครั้ง เราทำซ้ำเส้นทางนี้ตามท่อน้ำแปลก ๆ ตอนนี้อย่างช้าๆ ด้วยความระมัดระวัง ราวกับว่ากลัวกลอุบายจากภาพที่ขัดแย้งกัน รับรู้ทุกสิ่งที่เกิดขึ้นบนเส้นทางลึกลับนี้อย่างมีวิจารณญาณ

เรากำลังพยายามไขความลึกลับที่ทำให้เราประหลาดใจ และเราไม่สามารถหลบหนีจากการถูกจองจำได้ จนกว่าเราจะพบสปริงที่ซ่อนอยู่ซึ่งอยู่ที่พื้นฐานของมันและนำลมหมุนที่ไม่คาดคิดมาสู่การเคลื่อนไหวที่ไม่หยุดยั้ง

ศิลปินเน้นย้ำเป็นพิเศษกำหนดให้เรารับรู้ถึงภาพวาดของเขาในฐานะภาพของวัตถุสามมิติที่แท้จริง ปริมาตรถูกเน้นโดยภาพของรูปทรงหลายเหลี่ยมของจริงบนหอคอย งานก่ออิฐที่มีการแสดงอิฐแต่ละก้อนที่แม่นยำที่สุดในผนังของท่อระบายน้ำ เฉลียงสูงที่มีสวนอยู่ด้านหลัง ทุกอย่างถูกออกแบบมาเพื่อโน้มน้าวผู้ชมถึงความเป็นจริงของสิ่งที่เกิดขึ้น และต้องขอบคุณศิลปะและ เทคนิคดีๆบรรลุเป้าหมายนี้แล้ว

เมื่อเราหลุดพ้นจากการถูกจองจำที่จิตสำนึกของเราตก เราเริ่มเปรียบเทียบ เปรียบเทียบ วิเคราะห์ เราพบว่าพื้นฐานที่มาของภาพนี้ซ่อนอยู่ในคุณสมบัติการออกแบบ

และเราได้อีกหนึ่งข้อพิสูจน์ "ทางกายภาพ" ของความเป็นไปไม่ได้ของ "สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้": หากสามเหลี่ยมดังกล่าวมีอยู่จริง "น้ำตก" ของเอสเชอร์ก็จะมีอยู่ด้วย ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเป็นเครื่องจักรเคลื่อนที่ถาวร แต่เครื่องจักรเคลื่อนที่ถาวรเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น "สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้" ก็เป็นไปไม่ได้เช่นกัน และบางที "หลักฐาน" นี้น่าเชื่อถือที่สุด

อะไรทำให้มอริทซ์ เอสเชอร์กลายเป็นปรากฏการณ์ บุคคลที่ไม่เหมือนใครซึ่งไม่มีบรรพบุรุษที่ชัดเจนในงานศิลปะและใครที่ไม่สามารถเลียนแบบได้ นี่คือการผสมผสานระหว่างระนาบและปริมาตร ให้ความสนใจอย่างใกล้ชิดกับรูปแบบพิภพเล็กที่แปลกประหลาดทั้งที่มีชีวิตและไม่มีชีวิต ไปจนถึงมุมมองที่ผิดปกติในสิ่งธรรมดาๆ ผลกระทบหลักขององค์ประกอบของเขาคือผลกระทบของความสัมพันธ์ที่เป็นไปไม่ได้ระหว่างวัตถุที่คุ้นเคย สถานการณ์เหล่านี้ตั้งแต่แรกเห็นอาจทำให้ทั้งตกใจและยิ้มได้ คุณสามารถดูความสนุกของศิลปินได้อย่างมีความสุข หรือคุณสามารถดำดิ่งลงไปในส่วนลึกของวิภาษวิธีได้

Moritz Escher แสดงให้เห็นว่าโลกอาจไม่เป็นแบบที่เราเห็นและคุ้นเคยกับการรับรู้ - คุณเพียงแค่ต้องมองมันจากมุมมองใหม่ที่แตกต่างออกไป!

Moritz Escher

Moritz Escher โชคดีกว่าในฐานะนักวิทยาศาสตร์มากกว่าในฐานะศิลปิน การแกะสลักและภาพพิมพ์หินของเขาถูกมองว่าเป็นกุญแจสำคัญในการพิสูจน์ทฤษฎีบทหรือตัวอย่างที่ขัดกับสามัญสำนึก ที่เลวร้ายที่สุดพวกเขาถูกมองว่าเป็น ภาพประกอบน่ารักไปจนถึงบทความทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับผลึกศาสตร์ ทฤษฎีกลุ่ม จิตวิทยาการรู้คิด หรือ คอมพิวเตอร์กราฟฟิค. Moritz Escher ทำงานในด้านความสัมพันธ์ระหว่างกาลอวกาศกับเวลาและเอกลักษณ์ของพวกเขา เขาใช้รูปแบบพื้นฐานของโมเสค นี่คือ ปรมาจารย์ผู้ยิ่งใหญ่ ภาพลวงตา. งานแกะสลักของ Escher ไม่ได้แสดงถึงโลกแห่งสูตร แต่เป็นความงามของโลก คลังข้อมูลทางปัญญาของพวกเขาต่อต้านการสร้างสรรค์ที่ไร้เหตุผลของนักเซอร์เรียลโดยพื้นฐาน

ศิลปินชาวดัตช์ Moritz Cornelius Escher เกิดเมื่อวันที่ 17 มิถุนายน พ.ศ. 2441 ในจังหวัดฮอลแลนด์ บ้านที่ Escher เกิดปัจจุบันเป็นพิพิธภัณฑ์

ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2450 มอริตซ์ได้เรียนช่างไม้และเล่นเปียโนโดยเรียนที่ มัธยม. คะแนนของ Moritz ในทุกวิชานั้นแย่ ยกเว้นเรื่องการวาดภาพ ครูสอนศิลปะสังเกตเห็นความสามารถของเด็กชายและสอนวิธีทำแม่พิมพ์

ในปี 1916 Escher ได้แสดงครั้งแรกของเขา งานกราฟฟิค, การแกะสลักบนเสื่อน้ำมันสีม่วง - ภาพเหมือนของพ่อของเขา G. A. Escher เขาไปเยี่ยมชมการประชุมเชิงปฏิบัติการของศิลปิน Gert Stiegemann ซึ่งมีแท่นพิมพ์ การแกะสลักครั้งแรกของ Escher ถูกพิมพ์ลงบนเครื่องนี้

ในปี ค.ศ. 1918-1919 Escher เข้าเรียนที่วิทยาลัยเทคนิคในเมืองเดลฟต์ของเนเธอร์แลนด์ เขาได้รับการผ่อนผันจากการรับราชการทหารเพื่อศึกษาต่อ แต่เนื่องจากสุขภาพไม่ดี มอริตซ์จึงไม่สามารถรับมือกับหลักสูตรและถูกไล่ออกจากโรงเรียน ส่งผลให้เขาไม่เคยได้รับ อุดมศึกษา. เขาศึกษาที่ School of Architecture and Ornamentation ใน Haarlem ซึ่งเขาได้เรียนการวาดภาพจาก Samuel Jeserin de Mesquite ซึ่งมีอิทธิพลต่อชีวิตและการทำงานของ Escher

ในปี 1921 ครอบครัว Escher ได้ไปเยือนริเวียร่าและอิตาลี มอริทซ์หลงใหลในพืชพันธุ์และดอกไม้ในภูมิอากาศแบบเมดิเตอร์เรเนียน จึงวาดภาพกระบองเพชรและต้นมะกอกอย่างละเอียด เขาร่างภาพทิวทัศน์ภูเขาหลายแบบ ซึ่งต่อมาได้กลายเป็นพื้นฐานของงานของเขา ต่อมาเขาจะกลับไปอิตาลีอย่างต่อเนื่องซึ่งจะเป็นแรงบันดาลใจให้เขา

เอสเชอร์เริ่มทดลองในทิศทางใหม่สำหรับตัวเองแม้ในผลงานของเขาก็มีภาพสะท้อนในกระจกตัวเลขคริสตัลและทรงกลม

การสิ้นสุดของวัยยี่สิบได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นช่วงเวลาที่มีผลอย่างมากสำหรับมอริตซ์ ผลงานของเขาถูกนำไปแสดงที่นิทรรศการหลายแห่งในฮอลแลนด์ และในปี 1929 ความนิยมของเขาได้มาถึงระดับที่มีการจัดนิทรรศการเดี่ยวห้าครั้งในหนึ่งปีในฮอลแลนด์และสวิตเซอร์แลนด์ ในช่วงเวลานี้เองที่ภาพวาดของ Escher ถูกเรียกว่ากลไกและ "ตรรกะ" เป็นครั้งแรก

Asher เดินทางบ่อยมาก อาศัยอยู่ที่อิตาลีและสวิสเซอร์แลนด์ เบลเยี่ยม เขาศึกษาโมเสคมัวร์ ทำภาพพิมพ์หิน แกะสลัก จากภาพสเก็ตช์การเดินทาง เขาสร้างภาพวาดแรกของเขาเกี่ยวกับ Still Life with Street ความเป็นจริงที่เป็นไปไม่ได้

ในวัยสามสิบปลาย Escher ยังคงทดลองกับโมเสคและการเปลี่ยนแปลง เขาสร้างภาพโมเสคในรูปแบบของนกสองตัวที่บินเข้าหากันซึ่งเป็นพื้นฐานของภาพวาด "กลางวันและกลางคืน"

ในเดือนพฤษภาคม พ.ศ. 2483 พวกนาซียึดครองฮอลแลนด์และเบลเยียม และเมื่อวันที่ 17 พฤษภาคม บรัสเซลส์ก็ตกอยู่ในเขตยึดครองซึ่งเอสเชอร์และครอบครัวของเขาอาศัยอยู่ในเวลานั้น พวกเขาพบบ้านในวาร์นาและย้ายไปอยู่ที่นั่นในเดือนกุมภาพันธ์ พ.ศ. 2484 จนกว่าจะสิ้นอายุขัย Escher จะอาศัยอยู่ในเมืองนี้

ในปี 1946 Escher เริ่มสนใจเทคโนโลยีการพิมพ์แผ่นแม่พิมพ์ และแม้ว่าเทคโนโลยีนี้จะซับซ้อนกว่าเทคโนโลยีที่ Escher เคยใช้มาก่อนมาก และต้องใช้เวลาในการสร้างภาพมากขึ้น แต่ผลลัพธ์ก็น่าประทับใจ - เส้นบางๆ และการสร้างเงาที่แม่นยำ หนึ่งในที่สุด ผลงานที่มีชื่อเสียงในการพิมพ์แผ่นแม่พิมพ์ "Dewdrop" แล้วเสร็จในปี พ.ศ. 2491

ในปี 1950 Moritz Escher ได้รับความนิยมในฐานะวิทยากร จากนั้นในปี 1950 นิทรรศการเดี่ยวครั้งแรกของเขาถูกจัดขึ้นที่สหรัฐอเมริกา และเริ่มมีการซื้องานของเขา 27 เมษายน พ.ศ. 2498 มอริตซ์ เอสเชอร์ได้รับตำแหน่งอัศวินและกลายเป็นขุนนาง

ในช่วงกลางทศวรรษ 1950 Escher ผสมผสานภาพโมเสคเข้ากับตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ในช่วงต้นยุค 60 หนังสือเล่มแรกที่มีผลงานของ Escher Grafiek en Tekeningen ได้รับการตีพิมพ์ซึ่งผู้เขียนเองให้ความเห็นเกี่ยวกับผลงาน 76 ชิ้น หนังสือเล่มนี้ช่วยให้นักคณิตศาสตร์และนักผลึกศาสตร์มีความเข้าใจมากขึ้น รวมถึงบางคนในรัสเซียและแคนาดา

ในเดือนสิงหาคม 1960 Escher บรรยายเกี่ยวกับผลึกศาสตร์ที่เคมบริดจ์ ลักษณะทางคณิตศาสตร์และผลึกศาสตร์ของงานของ Escher กำลังเป็นที่นิยมอย่างมาก

ในปี 1970 ภายหลัง ซีรีส์ใหม่การดำเนินงานของ Escher ย้ายไปที่ บ้านใหม่ใน Laren ซึ่งมีสตูดิโอ แต่สุขภาพไม่ดีทำให้ไม่สามารถทำงานหนักได้

Moritz Escher เสียชีวิตในปี 2514 เมื่ออายุ 73 ปี Escher อาศัยอยู่นานพอที่จะเห็น The World of M.C. Escher แปลเป็น ภาษาอังกฤษและพอใจกับมันมาก

พบรูปภาพที่เป็นไปไม่ได้ต่าง ๆ บนเว็บไซต์ของนักคณิตศาสตร์และโปรแกรมเมอร์ ที่สุด เวอร์ชันเต็มจากที่เราดูในความเห็นของเราคือเว็บไซต์ของ Vlad Alekseev

เว็บไซต์นี้นำเสนอไม่เพียงแต่หลากหลายของ ภาพวาดที่มีชื่อเสียงรวมถึง M. Escher แต่ยังรวมถึงภาพเคลื่อนไหว ภาพวาดตลกๆ ของสัตว์ที่เป็นไปไม่ได้ เหรียญ แสตมป์ ฯลฯ ไซต์นี้ใช้งานได้มีการอัปเดตเป็นระยะและเติมเต็มด้วยภาพวาดที่น่าทึ่ง

สิ่งที่เป็นไปไม่ได้ยังคงเป็นไปได้ และการยืนยันที่ชัดเจนของสิ่งนี้คือสามเหลี่ยมเพนโรสที่เป็นไปไม่ได้ ที่ค้นพบในศตวรรษที่ผ่านมาก็ยังพบอยู่บ่อยครั้งใน วรรณกรรมวิทยาศาสตร์. และไม่ว่าจะฟังดูน่าประหลาดใจสักเพียงใด คุณก็สร้างมันขึ้นมาเองได้ และมันค่อนข้างง่ายที่จะทำเช่นนั้น ผู้ชื่นชอบการวาดภาพหรือสะสม Origami หลายคนสามารถทำได้เป็นเวลานาน

ความหมายของสามเหลี่ยมเพนโรส

มีหลายชื่อสำหรับตัวเลขนี้ บางคนเรียกมันว่าสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ บางคนเรียกมันว่าสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ แต่บ่อยครั้งที่คุณสามารถหาคำจำกัดความของ "สามเหลี่ยมเพนโรส" ได้อย่างแม่นยำ

ภายใต้คำจำกัดความเหล่านี้ เข้าใจหนึ่งในตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้หลัก เมื่อพิจารณาจากชื่อแล้ว เป็นไปไม่ได้เลยที่จะได้ร่างดังกล่าวในความเป็นจริง แต่ในทางปฏิบัติ มันได้รับการพิสูจน์แล้วว่ายังสามารถทำได้ มันจะเป็นรูปเป็นร่างขึ้นก็ต่อเมื่อคุณมองจากจุดใดจุดหนึ่งเป็นมุมฉาก จากด้านอื่น ๆ ตัวเลขค่อนข้างจริง มันแสดงถึงสามขอบของลูกบาศก์ และง่ายต่อการออกแบบ

ประวัติการค้นพบ

สามเหลี่ยมเพนโรสถูกค้นพบในปี 1934 โดยศิลปินชาวสวีเดน Oscar Reutersvärd นำเสนอเป็นรูปลูกบาศก์ประกอบเข้าด้วยกัน ในอนาคตศิลปินเริ่มถูกเรียกว่า "บิดาแห่งตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้"

บางทีภาพวาดของรอยเตอร์วาร์ดอาจจะยังไม่ค่อยมีใครรู้จัก แต่ในปี 1954 นักคณิตศาสตร์ชาวสวีเดน Roger Penrose เขียนบทความเกี่ยวกับตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ นี่คือการเกิดครั้งที่สองของรูปสามเหลี่ยม จริงอยู่นักวิทยาศาสตร์นำเสนอในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น เขาไม่ได้ใช้ลูกบาศก์ แต่เป็นคาน คานสามอันเชื่อมต่อกันที่มุม 90 องศา ความแตกต่างก็คือ Reutersvärd ใช้มุมมองคู่ขนานขณะวาดภาพ และเพนโรสใช้เปอร์สเปคทีฟเชิงเส้น ซึ่งทำให้การวาดภาพเป็นไปไม่ได้มากยิ่งขึ้น สามเหลี่ยมดังกล่าวถูกตีพิมพ์ในปี 1958 ในวารสารจิตวิทยาของอังกฤษ

ในปีพ.ศ. 2504 ศิลปิน Maurits Escher (ฮอลแลนด์) ได้สร้างภาพพิมพ์หินน้ำตกที่ได้รับความนิยมมากที่สุดชิ้นหนึ่งของเขา มันถูกสร้างขึ้นภายใต้ความประทับใจที่เกิดจากบทความเกี่ยวกับตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้

ในทศวรรษที่แปดของศตวรรษที่ผ่านมา ชนเผ่าและตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้อื่น ๆ ถูกพรรณนาบนรัฐ แสตมป์สวีเดน. สิ่งนี้ดำเนินต่อไปหลายปี

ในตอนท้ายของศตวรรษที่ผ่านมา (แม่นยำยิ่งขึ้นในปี 2542) มีการสร้างประติมากรรมอลูมิเนียมขึ้นในออสเตรเลียโดยวาดภาพสามเหลี่ยมเพนโรสที่เป็นไปไม่ได้ มีความสูงถึง 13 เมตร ประติมากรรมที่คล้ายกันซึ่งมีขนาดเล็กกว่านั้นยังพบได้ในประเทศอื่น ๆ

เป็นไปไม่ได้ในความเป็นจริง

อย่างที่คุณอาจเดาได้ สามเหลี่ยมเพนโรสไม่ใช่สามเหลี่ยมในความหมายปกติ เป็นลูกบาศก์สามด้าน แต่ถ้าดูจาก บางมุม, ภาพลวงตาของรูปสามเหลี่ยมได้มาจากความจริงที่ว่า 2 มุมตรงบนระนาบอย่างสมบูรณ์ ระยะใกล้จากผู้ดูและมุมไกลรวมกันด้วยสายตา

หากคุณระมัดระวัง คุณสามารถเดาได้ว่าชนเผ่านั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าภาพลวงตา รูปลักษณ์ที่แท้จริงของร่างสามารถทำให้เกิดเงาได้ แสดงว่ามุมไม่เกี่ยวกันเลย และแน่นอนว่าทุกอย่างชัดเจนถ้าคุณหยิบร่างนั้นขึ้นมา

ปั้นหุ่นด้วยมือของคุณเอง

สามเหลี่ยมเพนโรสสามารถประกอบได้อย่างอิสระ ตัวอย่างเช่นจากกระดาษหรือกระดาษแข็ง และไดอะแกรมจะช่วยในเรื่องนี้ พวกเขาเพียงแค่ต้องพิมพ์และติดกาว มีสองไดอะแกรมบนอินเทอร์เน็ต หนึ่งในนั้นง่ายกว่าเล็กน้อย อีกอันยากกว่า แต่เป็นที่นิยมมากกว่า ทั้งสองแสดงในภาพ

สามเหลี่ยมเพนโรสจะเป็นผลิตภัณฑ์ที่น่าสนใจที่แขกจะต้องชอบอย่างแน่นอน จะไม่มีใครสังเกตเห็นอย่างแน่นอน ขั้นตอนแรกในการสร้างคือการเตรียมสคีมา มันถูกถ่ายโอนไปยังกระดาษ (กระดาษแข็ง) โดยใช้เครื่องพิมพ์ แล้วมันก็ง่ายยิ่งขึ้นไปอีก ต้องตัดรอบปริมณฑลเท่านั้น ไดอะแกรมมีบรรทัดที่จำเป็นทั้งหมดอยู่แล้ว การทำงานกับกระดาษหนาจะสะดวกกว่า หากไดอะแกรมพิมพ์บนกระดาษบาง แต่คุณต้องการบางอย่างที่หนาแน่นกว่านี้ ให้ใช้ช่องว่างกับวัสดุที่เลือกและตัดออกตามเส้นขอบ เพื่อป้องกันไม่ให้วงจรเคลื่อนที่ สามารถติดด้วยคลิปหนีบกระดาษได้

ถัดไปคุณต้องกำหนดเส้นที่ชิ้นงานจะโค้งงอ ตามกฎแล้วจะแสดงในแผนภาพ เรางอส่วน ต่อไปเราจะกำหนดสถานที่ที่ติดกาว เคลือบด้วยกาว PVA ชิ้นส่วนถูกรวมเป็นร่างเดียว

รายละเอียดสามารถทาสี และคุณสามารถใช้กระดาษแข็งสีในขั้นต้นได้

วาดรูปที่เป็นไปไม่ได้

สามารถวาดสามเหลี่ยมเพนโรสได้ เริ่มต้นด้วยการวาดสี่เหลี่ยมเรียบง่ายบนแผ่นงาน ขนาดของมันไม่สำคัญ ด้วยฐานที่ด้านล่างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส สามเหลี่ยมจะถูกวาด สี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ถูกวาดที่มุมด้านใน จะต้องลบด้านข้างออก เหลือไว้เฉพาะส่วนที่เหมือนกันกับรูปสามเหลี่ยม ผลลัพธ์ควรเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมตัด

เส้นตรงถูกลากจากด้านซ้ายของมุมล่างบน เส้นเดียวกัน แต่สั้นกว่าเล็กน้อย ลากจากมุมล่างซ้าย เส้นที่ลากจากมุมขวาขนานกับฐานของรูปสามเหลี่ยม มันกลับกลายเป็นมิติที่สอง

ตามหลักการที่สอง มิติที่สามจะถูกวาดขึ้น เฉพาะในกรณีนี้ เส้นทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับมุมของภาพ ไม่ใช่มิติแรก แต่เป็นมิติที่สอง