เกี่ยวกับลอตเตอรี่

เกมนี้แพร่หลายมานานแล้วและกลายเป็นส่วนสำคัญของชีวิตสมัยใหม่ และถึงแม้ว่าลอตเตอรีจะขยายขีดความสามารถมากขึ้น แต่หลายคนยังคงมองว่าลอตเตอรีเป็นเพียงหนทางสู่ความร่ำรวยเท่านั้น อาจไม่ฟรีหรือเชื่อถือได้ ในทางกลับกัน ดังที่หนึ่งในฮีโร่ของ Jack London กล่าวไว้ ในเกมแห่งโอกาส ไม่มีใครสามารถเพิกเฉยต่อข้อเท็จจริงได้ - บางครั้งผู้คนก็โชคดี

คณิตศาสตร์แห่งโอกาส ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีความน่าจะเป็น

อเล็กซานเดอร์ บูเฟตอฟ

การถอดเสียงและการบันทึกวิดีโอของการบรรยายโดย Alexander Bufetov ปริญญาเอกสาขาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ นักวิจัยชั้นนำที่ Steklov Institute of Mathematics นักวิจัยชั้นนำที่ IITP RAS ศาสตราจารย์คณะคณิตศาสตร์ที่ Higher School of Economics ผู้อำนวยการฝ่ายวิจัยที่ ศูนย์วิจัยวิทยาศาสตร์แห่งชาติในฝรั่งเศส (CNRS) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของซีรีส์ “ การบรรยายสาธารณะ "Polit.ru" 6 กุมภาพันธ์ 2014

ภาพลวงตาของความสม่ำเสมอ: เหตุใดการสุ่มจึงดูไม่เป็นธรรมชาติ

ความคิดของเราเกี่ยวกับการสุ่ม ความเป็นธรรมชาติ และสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ มักไม่เห็นด้วยกับข้อมูลทางสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็น ในหนังสือ “โอกาสที่ไม่สมบูรณ์” โอกาสครอบงำชีวิตของเราได้อย่างไร” Leonard Mlodinow นักฟิสิกส์และวิทยาศาสตร์ชาวอเมริกันผู้โด่งดัง พูดถึงว่าทำไมอัลกอริธึมแบบสุ่มจึงดูแปลกมาก สิ่งที่จับได้ในการสับเพลงแบบ "สุ่ม" บน iPod และสิ่งที่โชคของนักวิเคราะห์หุ้นขึ้นอยู่กับ “ทฤษฎีและการปฏิบัติ” เผยแพร่ข้อความที่ตัดตอนมาจากหนังสือ

ความมุ่งมั่น

ความมุ่งมั่นเป็นแนวคิดทางวิทยาศาสตร์ทั่วไปและหลักคำสอนเชิงปรัชญาเกี่ยวกับความเป็นเหตุเป็นผล รูปแบบ ความเชื่อมโยงทางพันธุกรรม ปฏิสัมพันธ์และสภาวะของปรากฏการณ์และกระบวนการทั้งหมดที่เกิดขึ้นในโลก

พระเจ้าเป็นสถิติ

เดโบราห์ โนแลน ศาสตราจารย์ด้านสถิติจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์ ขอให้นักเรียนของเธอทำงานที่แปลกประหลาดมากให้เสร็จตั้งแต่แรกเห็น กลุ่มแรกจะต้องโยนเหรียญร้อยครั้งแล้วจดผลลัพธ์: หัวหรือก้อย คนที่สองต้องจินตนาการว่าเธอกำลังโยนเหรียญ - และจัดทำรายการผลลัพธ์ "จินตภาพ" หลายร้อยรายการ

ระดับคืออะไร

หากทราบสภาวะเริ่มต้นของระบบ ก็เป็นไปได้โดยใช้กฎแห่งธรรมชาติเพื่อทำนายสถานะสุดท้ายของระบบ

ปัญหาเจ้าสาวจู้จี้จุกจิก

ฮูเซน-ซาเด เอส. เอ็ม.

ความขัดแย้งของเซโน่

เป็นไปได้ไหมที่จะเดินทางจากจุดหนึ่งในอวกาศ? นักปรัชญาชาวกรีกโบราณ Zeno แห่ง Elea เชื่อว่าการเคลื่อนไหวไม่สามารถบรรลุผลได้เลย แต่เขาโต้แย้งเรื่องนี้อย่างไร คอล์ม เคลเลอร์จะพูดถึงวิธีแก้ปัญหาความขัดแย้งของนักปราชญ์อันโด่งดัง

Paradoxes ของเซตอนันต์

ลองนึกภาพโรงแรมที่มีจำนวนห้องไม่สิ้นสุด รถบัสมาถึงพร้อมกับแขกในอนาคตจำนวนไม่สิ้นสุด แต่การวางทั้งหมดนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย นี่เป็นเรื่องยุ่งยากไม่รู้จบ และแขกก็เหนื่อยไม่รู้จบ และหากคุณล้มเหลวในการรับมือกับงาน คุณอาจสูญเสียเงินจำนวนไม่สิ้นสุด! จะทำอย่างไร?

การพึ่งพาการเจริญเติบโตของเด็กตามความสูงของผู้ปกครอง

แน่นอนว่าพ่อแม่ที่อายุน้อยอยากรู้ว่าลูกจะสูงแค่ไหนเมื่อโตเป็นผู้ใหญ่ สถิติทางคณิตศาสตร์สามารถนำเสนอความสัมพันธ์เชิงเส้นอย่างง่ายในการประมาณความสูงของเด็กโดยพิจารณาจากความสูงของพ่อและแม่เท่านั้น และยังบ่งบอกถึงความแม่นยำของการประมาณการดังกล่าวด้วย

ความขัดแย้งของมอนตี ฮอลล์น่าจะเป็นความขัดแย้งที่มีชื่อเสียงที่สุดในทฤษฎีความน่าจะเป็น มีหลากหลายรูปแบบ เช่น ความขัดแย้งของนักโทษสามคน และมีการตีความและคำอธิบายมากมายเกี่ยวกับความขัดแย้งนี้ แต่ที่นี่ ฉันไม่เพียงแต่อยากจะให้คำอธิบายอย่างเป็นทางการเท่านั้น แต่ยังแสดงพื้นฐาน "ทางกายภาพ" ของสิ่งที่เกิดขึ้นในความขัดแย้งของมอนตี ฮอลล์และเรื่องอื่นๆ ที่คล้ายคลึงกัน

สูตรคลาสสิกคือ:

“คุณเป็นผู้เข้าร่วมในเกม มีประตูสามบานอยู่ตรงหน้าคุณ มีรางวัลสำหรับหนึ่งในนั้น เจ้าภาพชวนให้ลองทายว่ารางวัลอยู่ไหน คุณชี้ไปที่ประตูบานใดบานหนึ่ง (สุ่ม)

การกำหนดของ Monty Hall Paradox

เจ้าบ้านรู้ดีว่ารางวัลอยู่ไหน เขายังไม่เปิดประตูที่คุณชี้ไป แต่มันเปิดประตูที่เหลือให้คุณอีกบานหนึ่งซึ่งด้านหลังไม่มีรางวัล คำถามคือ คุณควรเปลี่ยนตัวเลือกหรือคงการตัดสินใจเดิมไว้?

ปรากฎว่าหากคุณเปลี่ยนตัวเลือก โอกาสในการชนะก็จะเพิ่มขึ้น!

ความขัดแย้งของสถานการณ์นั้นชัดเจน ดูเหมือนว่าทุกสิ่งที่เกิดขึ้นจะเป็นแบบสุ่ม ไม่ว่าคุณจะเปลี่ยนใจหรือไม่ก็ตาม แต่นั่นไม่เป็นความจริง

คำอธิบาย "ทางกายภาพ" ของธรรมชาติของความขัดแย้งนี้

ก่อนอื่นอย่าไปพูดถึงรายละเอียดปลีกย่อยทางคณิตศาสตร์ แต่เพียงแค่มองสถานการณ์ด้วยใจที่เปิดกว้าง

ในเกมนี้คุณเพียงแค่ทำการสุ่มตัวเลือกก่อน แล้วพิธีกรจะเล่าให้ฟัง ข้อมูลเพิ่มเติมซึ่งช่วยให้คุณสามารถเพิ่มโอกาสในการชนะได้

ผู้นำเสนอให้ข้อมูลเพิ่มเติมแก่คุณอย่างไร? ง่ายมาก. โปรดทราบว่ามันเปิดขึ้น ไม่ใด ๆประตู.

เพื่อความเรียบง่าย (แม้ว่าจะมีองค์ประกอบของการหลอกลวงในเรื่องนี้) ให้พิจารณาสถานการณ์ที่เป็นไปได้มากขึ้น: คุณชี้ไปที่ประตูด้านหลังซึ่งไม่มีรางวัล จากนั้นจะมีรางวัลหลังประตูที่เหลืออีกบานหนึ่ง มี. นั่นคือผู้นำเสนอไม่มีทางเลือก เขาเปิดประตูที่เฉพาะเจาะจงมาก (คุณชี้ไปที่อันหนึ่งมีรางวัลอยู่ข้างหลังอีกอันเหลือเพียงประตูเดียวที่ผู้นำสามารถเปิดได้)

มันเป็นช่วงเวลาแห่งการเลือกที่มีความหมายนี้ที่เขาให้ข้อมูลแก่คุณซึ่งคุณสามารถใช้ได้

ในกรณีนี้การใช้ข้อมูลคือการที่คุณเปลี่ยนการตัดสินใจของคุณ

อย่างไรก็ตาม ตัวเลือกที่สองของคุณก็มีอยู่แล้วเช่นกัน ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ(หรือค่อนข้างจะไม่สุ่มเหมือนตัวเลือกแรก) ท้ายที่สุดคุณเลือกจากประตูที่ปิด แต่มีประตูหนึ่งเปิดอยู่แล้ว ไม่โดยพลการ.

จริงๆ แล้ว หลังจากพิจารณาสิ่งเหล่านี้แล้ว คุณอาจรู้สึกว่าควรเปลี่ยนการตัดสินใจจะดีกว่า นี่เป็นเรื่องจริง มาแสดงเรื่องนี้อย่างเป็นทางการกันดีกว่า

คำอธิบายที่เป็นทางการมากขึ้นเกี่ยวกับความขัดแย้งของมอนตี ฮอลล์

ที่จริงแล้ว ตัวเลือกแรกที่คุณสุ่มจะแบ่งประตูทั้งหมดออกเป็นสองกลุ่ม หลังประตูที่คุณเลือกมีรางวัลที่มีความน่าจะเป็น 1/3 ตามหลังอีกสองประตูที่มีความน่าจะเป็น 2/3 ตอนนี้ผู้นำทำการเปลี่ยนแปลง: เขาเปิดประตูบานหนึ่งในกลุ่มที่สอง และตอนนี้ความน่าจะเป็น 2/3 ทั้งหมดใช้กับประตูที่ปิดจากกลุ่มประตูสองบานเท่านั้น

เป็นที่ชัดเจนว่าตอนนี้การเปลี่ยนการตัดสินใจของคุณจะทำกำไรได้มากกว่า

แม้ว่าแน่นอนว่าคุณยังมีโอกาสแพ้อยู่

อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนแปลงการเลือกของคุณจะเพิ่มโอกาสในการชนะรางวัล

มอนตี้ ฮอลล์ พาราด็อกซ์

ความขัดแย้งของมอนตี ฮอลล์คือปัญหาความน่าจะเป็น ซึ่งแนวทางแก้ไข (ตามบางข้อ) ขัดต่อสามัญสำนึก การกำหนดปัญหา:

ลองนึกภาพว่าคุณเป็นผู้เข้าร่วมในเกมที่คุณต้องเลือกหนึ่งในสามประตู หลังประตูบานหนึ่งมีรถยนต์ หลังประตูอีกสองบานมีแพะ
คุณเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง เช่น หมายเลข 1 หลังจากนั้นผู้นำซึ่งรู้ว่ารถอยู่ที่ไหนและแพะอยู่ที่ไหน ก็เปิดประตูบานหนึ่งที่เหลือ เช่น หมายเลข 3 ซึ่งอยู่ด้านหลังซึ่งมีแพะอยู่

มอนตี้ ฮอลล์ พาราด็อกซ์ คณิตศาสตร์ที่ไม่ถูกต้องที่สุด

จากนั้นเขาจะถามคุณว่าคุณต้องการเปลี่ยนตัวเลือกและเลือกประตูหมายเลข 2 หรือไม่
โอกาสในการชนะรางวัลรถยนต์ของคุณจะเพิ่มขึ้นหรือไม่หากคุณยอมรับข้อเสนอของผู้นำเสนอและเปลี่ยนตัวเลือกของคุณ?

เมื่อแก้ไขปัญหา มักเข้าใจผิดว่าตัวเลือกทั้งสองนั้นเป็นอิสระต่อกัน ดังนั้น ความน่าจะเป็นจะไม่เปลี่ยนแปลงหากตัวเลือกมีการเปลี่ยนแปลง ที่จริงแล้ว กรณีนี้ไม่เป็นเช่นนั้น ดังที่คุณเห็นได้จากการจำสูตรของ Bayes หรือดูผลการจำลองด้านล่าง:

ที่นี่: "กลยุทธ์ 1" - อย่าเปลี่ยนตัวเลือก "กลยุทธ์ 2" - เปลี่ยนตัวเลือก ตามทฤษฎี สำหรับกรณีที่มี 3 ประตู การกระจายความน่าจะเป็นคือ 33.(3)% และ 66.(6)% การจำลองเชิงตัวเลขควรให้ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกัน

ลิงค์

มอนตี้ ฮอลล์ พาราด็อกซ์– ปัญหาจากส่วนของทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งวิธีแก้ปัญหาขัดแย้งกับสามัญสำนึก

ประวัติศาสตร์[แก้ไข | แก้ไขข้อความวิกิ]

ปลายปี พ.ศ. 2506 รายการทอล์คโชว์เรื่องใหม่ชื่อ Let's Make a Deal ได้ออกอากาศ ตามสถานการณ์แบบทดสอบ ผู้ชมจากผู้ชมจะได้รับรางวัลสำหรับคำตอบที่ถูกต้อง มีโอกาสที่จะเพิ่มรางวัลด้วยการเดิมพันใหม่ แต่เสี่ยงต่อชัยชนะที่มีอยู่ ผู้ก่อตั้งรายการคือ Stefan Hatosu และ Monty Hall ซึ่งคนหลังนี้กลายมาเป็นพิธีกรอย่างต่อเนื่องเป็นเวลาหลายปี

งานอย่างหนึ่งสำหรับผู้เข้าร่วมคือการจับรางวัลหลักซึ่งอยู่ด้านหลังประตูหนึ่งในสามบาน เบื้องหลังอีกสองรางวัลที่เหลือเป็นรางวัลจูงใจ และผู้นำเสนอก็รู้ลำดับการจัดการของพวกเขา ผู้เข้าแข่งขันจะต้องตัดสินประตูที่ชนะโดยการเดิมพันเงินรางวัลทั้งหมดสำหรับการแสดง

เมื่อผู้ทายเลือกหมายเลข ผู้นำเสนอเปิดประตูบานหนึ่งที่เหลือ ซึ่งด้านหลังมีรางวัลจูงใจ และเชิญผู้เล่นให้เปลี่ยนประตูที่เลือกในตอนแรก

การใช้ถ้อยคำ[แก้ไข | แก้ไขข้อความวิกิ]

จากปัญหาเฉพาะ ความขัดแย้งนี้ถูกกำหนดขึ้นครั้งแรกโดย Steve Selvin ในปี 1975 เมื่อเขาส่งนิตยสาร The American Statistician และพิธีกรรายการ Monty Hall ถามคำถามว่า: โอกาสของผู้เข้าแข่งขันที่จะชนะรางวัลใหญ่จะเปลี่ยนไปหรือไม่ หากหลังจากเปิดประตูด้วยแรงจูงใจ เขาจะ เปลี่ยนตัวเลือกของเขาเหรอ? หลังจากเหตุการณ์นี้ แนวคิดของ “Monty Hall Paradox” ก็ปรากฏขึ้น

ในปี 1990 Paradox เวอร์ชันที่พบบ่อยที่สุดได้รับการตีพิมพ์ในนิตยสาร Parade โดยมีตัวอย่าง:

“ลองนึกภาพตัวเองในเกมโชว์ที่คุณต้องเลือกประตูหนึ่งในสามประตู ประตูสองบานเป็นแพะ และประตูที่สามเป็นรถยนต์ เมื่อคุณเลือก เช่น สมมุติว่าประตูที่ชนะคือประตูที่หนึ่ง ผู้นำจะเปิดประตูหนึ่งในสองประตูที่เหลือ เช่น ประตูที่สาม ซึ่งอยู่ด้านหลังซึ่งมีแพะ ถ้าอย่างนั้นคุณมีโอกาสที่จะเปลี่ยนการเลือกเป็นประตูอื่นหรือไม่? คุณสามารถเพิ่มโอกาสในการชนะรางวัลรถยนต์ได้หรือไม่ หากคุณเปลี่ยนตัวเลือกจากประตูหมายเลขหนึ่งไปเป็นประตูหมายเลขสอง

สูตรนี้เป็นฉบับย่อเพราะว่า ยังคงมีปัจจัยที่มีอิทธิพลต่อผู้นำเสนอซึ่งรู้แน่ชัดว่ารถอยู่ที่ไหนและสนใจการสูญเสียของผู้เข้าร่วม

เพื่อให้งานกลายเป็นงานทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ จำเป็นต้องกำจัดปัจจัยมนุษย์โดยการเปิดประตูพร้อมรางวัลจูงใจและความสามารถในการเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นเป็นเงื่อนไขสำคัญ

แนวทางแก้ไข[แก้ไข | แก้ไขข้อความวิกิ]

เมื่อเปรียบเทียบโอกาส มองแวบแรก การเปลี่ยนหมายเลขประตูจะไม่เกิดข้อได้เปรียบใดๆ เลย เพราะ ทั้งสามตัวเลือกมีโอกาสชนะ 1/3 (ประมาณ 33.33% สำหรับแต่ละประตูทั้งสามบาน) ในกรณีนี้ การเปิดประตูบานใดบานหนึ่งจะไม่ส่งผลต่อโอกาสของประตูที่เหลืออีกสองบานในทางใดทางหนึ่ง ซึ่งโอกาสจะกลายเป็น 1/2 ถึง 1/2 (50% สำหรับแต่ละประตูที่เหลือสองบานแต่ละบาน) การตัดสินนี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่าการเลือกประตูของผู้เล่นและการเลือกประตูของผู้นำเป็นเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์ที่ไม่กระทบต่อกัน ในความเป็นจริงจำเป็นต้องพิจารณาลำดับเหตุการณ์ทั้งหมดโดยรวม ตามทฤษฎีความน่าจะเป็นโอกาสของประตูแรกที่เลือกตั้งแต่ต้นจนจบเกมจะคงที่ 1/3 (ประมาณ 33.33%) และอีก 2 ประตูที่เหลือมีรวม 1/3+1 /3 = 2/3 (ประมาณ 66.66%) เมื่อประตูบานใดบานหนึ่งที่เหลือเปิดออก โอกาสจะกลายเป็น 0% (มีรางวัลจูงใจซ่อนอยู่ด้านหลัง) และผลก็คือ โอกาสในการปิดประตูที่ไม่ได้เลือกจะเป็น 66.66% กล่าวคือ สองเท่าของที่เลือกไว้ตั้งแต่แรก

เพื่อให้เข้าใจผลลัพธ์ของตัวเลือกได้ง่ายขึ้น คุณสามารถพิจารณาสถานการณ์อื่นที่จำนวนตัวเลือกจะมากกว่า เช่น หนึ่งพัน ความน่าจะเป็นในการเลือกตัวเลือกที่ชนะคือ 1/1000 (0.1%) เมื่อพิจารณาว่าประตูที่ไม่ถูกต้องเก้าร้อยเก้าสิบแปดประตูถูกเปิดในเวลาต่อมาจากตัวเลือกเก้าร้อยเก้าสิบเก้าที่เหลือ เห็นได้ชัดว่าความน่าจะเป็นของประตูที่เหลืออีกหนึ่งประตูจากเก้าร้อยเก้าสิบเก้าประตูที่ไม่ได้เลือกนั้นสูงกว่า เป็นเพียงผู้เดียวที่ถูกเลือกตั้งแต่ต้น

กล่าวถึง[แก้ไข | แก้ไขข้อความวิกิ]

คุณสามารถค้นหาการอ้างอิงถึง Monty Hall Paradox ได้ใน "Twenty-One" (ภาพยนตร์โดย Robert Luketic), "The Klutz" (นวนิยายโดย Sergei Lukyanenko), ซีรีส์ทางโทรทัศน์ "4isla" (ละครโทรทัศน์), "The Mysterious Murder of a Dog in the Night-Time” (เรื่องโดย Mark Haddon), “XKCD” (หนังสือการ์ตูน), “MythBusters” (รายการทีวี)

ดูเพิ่มเติม[แก้ไข | แก้ไขข้อความวิกิ]

ภาพแสดงกระบวนการเลือกระหว่างประตูฝังสองบานจากสามประตูที่เสนอในตอนแรก

ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาเชิงผสม

เชิงผสมเป็นศาสตร์ที่ใครๆ ก็พบเจอในชีวิตประจำวัน มีกี่วิธีในการเลือกคนมาปฏิบัติหน้าที่ 3 คนมาทำความสะอาดห้องเรียน หรือวิธีสร้างคำจากตัวอักษรที่ให้มามีกี่วิธี

โดยทั่วไป การคำนวณแบบผสมผสานช่วยให้คุณสามารถคำนวณจำนวนชุดค่าผสมที่แตกต่างกันตามเงื่อนไขบางประการที่สามารถสร้างขึ้นจากวัตถุที่กำหนดได้ (เหมือนหรือต่างกัน)

ตามหลักวิทยาศาสตร์แล้ว ศาสตร์เชิงผสมผสานถือกำเนิดขึ้นในศตวรรษที่ 16 และปัจจุบันนักเรียนทุกคน (และบ่อยครั้งแม้แต่เด็กนักเรียน) ก็ศึกษาเรื่องนี้ พวกเขาเริ่มเรียนด้วยแนวคิดเรื่องการเรียงสับเปลี่ยน ตำแหน่ง การรวมกัน (มีหรือไม่มีการซ้ำ) คุณจะพบปัญหาในหัวข้อเหล่านี้ด้านล่าง กฎเกณฑ์ของผลรวมและผลคูณที่เป็นที่รู้จักมากที่สุด ซึ่งมักใช้ในโจทย์ปัญหาเชิงรวมทั่วไป

ด้านล่างนี้คุณจะพบตัวอย่างปัญหาต่างๆ เกี่ยวกับวิธีการแก้ไขโดยใช้แนวคิดและกฎเกณฑ์แบบผสมผสานซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใจงานทั่วไปได้ หากคุณมีปัญหากับงานต่างๆ ให้สั่งการทดสอบเกี่ยวกับเชิงผสม

ปัญหาเชิงผสมผสานกับวิธีแก้ปัญหาแบบออนไลน์

ภารกิจที่ 1แม่มีแอปเปิ้ล 2 ลูกและลูกแพร์ 3 ลูก เธอแจกผลไม้หนึ่งผลติดต่อกันเป็นเวลา 5 วันทุกวัน สามารถทำได้กี่วิธี?

วิธีแก้ปัญหาเชิงผสม 1 (pdf, 35 Kb)

ภารกิจที่ 2องค์กรสามารถจัดหางานให้กับผู้หญิง 4 คนในสาขาหนึ่ง ผู้ชาย 6 คนสำหรับอีกคนหนึ่ง และคนงาน 3 คนในสาขาที่สาม โดยไม่คำนึงถึงเพศ สามารถบรรจุตำแหน่งงานว่างได้กี่วิธีหากมีผู้สมัคร 14 คน: ผู้หญิง 6 คนและผู้ชาย 8 คน

การแก้ปัญหาใน Combinatorics 2 (pdf, 39 Kb)

ภารกิจที่ 3รถไฟโดยสารขบวนหนึ่งมีตู้โดยสาร 9 ตู้ รถไฟขบวนหนึ่งสามารถนั่งคน 4 คนได้กี่วิธี โดยนั่งคนละตู้กัน

วิธีแก้ปัญหาเชิงผสม 3 (pdf, 33 Kb)

ภารกิจที่ 4ในกลุ่มมี9คน คุณสามารถสร้างกลุ่มย่อยได้กี่กลุ่ม โดยที่กลุ่มย่อยนั้นต้องมีคนอย่างน้อย 2 คน

แนวทางแก้ไขปัญหาเชิงผสม 4 (pdf, 34 Kb)

ภารกิจที่ 5กลุ่มนักเรียน 20 คนจะต้องแบ่งออกเป็น 3 ทีม และทีมแรกควรมี 3 คน ทีมที่สอง - 5 และทีมที่สาม - 12 สามารถทำได้กี่วิธี?

การแก้ปัญหาใน Combinatorics 5 (pdf, 37 Kb)

ภารกิจที่ 6โค้ชเลือกเด็กผู้ชาย 5 คนจาก 10 คนมาอยู่ในทีม เขาจะจัดตั้งทีมได้กี่วิธีถ้ามีเด็กผู้ชาย 2 คนอยู่ในทีม?

ปัญหาเชิงผสมผสานกับโซลูชัน 6 (pdf, 33 Kb)

ภารกิจที่ 7ผู้เล่นหมากรุก 15 คนเข้าร่วมการแข่งขันหมากรุก และแต่ละคนเล่นเพียงเกมเดียวร่วมกับคนอื่นๆ มีการแข่งขันกี่เกมในทัวร์นาเมนต์นี้?

ปัญหาเชิงผสมผสานกับโซลูชัน 7 (pdf, 37 Kb)

ภารกิจที่ 8ตัวเลข 3, 5, 7, 11, 13, 17 สามารถสร้างเศษส่วนได้กี่แบบ เพื่อให้แต่ละเศษส่วนมีตัวเลขต่างกัน 2 ตัว มีเศษส่วนแท้กี่ตัว?

ปัญหาเชิงผสมผสานกับโซลูชัน 8 (pdf, 32 Kb)

ภารกิจที่ 9คุณสามารถจัดเรียงตัวอักษรในคำว่า Mountain และ Institute ได้กี่คำ?

ปัญหาเชิงผสมผสานกับโซลูชัน 9 (pdf, 32 Kb)

ปัญหาที่ 10.ตัวเลขใดตั้งแต่ 1 ถึง 1,000,000 มากกว่า: ตัวเลขที่มีหน่วยเกิดขึ้น หรือตัวเลขที่ไม่เกิด?

ปัญหาเชิงผสมผสานกับโซลูชัน 10 (pdf, 39 Kb)

ตัวอย่างที่เตรียมไว้

ต้องการแก้ไขปัญหาเชิงผสมที่แก้ไขแล้วหรือไม่? ค้นหาในสมุดงาน:

วิธีแก้ปัญหาอื่นๆ ในทฤษฎีความน่าจะเป็น

เราทุกคนคุ้นเคยกับสถานการณ์ที่แทนที่จะใช้การคำนวณอย่างมีสติ แต่เรากลับต้องอาศัยสัญชาตญาณของเรา ท้ายที่สุดเราต้องยอมรับว่าไม่สามารถคำนวณทุกอย่างก่อนตัดสินใจเลือกได้เสมอไป และไม่ว่าคนที่ไม่ซื่อสัตย์จะคุ้นเคยกับการตัดสินใจเลือกของตนหลังจากวิเคราะห์อย่างรอบคอบแล้วเท่านั้น พวกเขาก็ไม่เคยต้องเลือกตามหลักการ "น่าจะเป็นอย่างนั้น" เหตุผลประการหนึ่งสำหรับการดำเนินการดังกล่าวอาจเป็นเพราะขาดเวลาที่จำเป็นในการประเมินสถานการณ์

ในขณะเดียวกัน ตัวเลือกก็กำลังรอสถานการณ์ปัจจุบันอยู่ และไม่อนุญาตให้คุณหลบหนีคำตอบหรือการกระทำ แต่สถานการณ์ที่ยุ่งยากยิ่งกว่าสำหรับเราซึ่งทำให้เกิดอาการกระตุกของสมองอย่างแท้จริงคือการทำลายความมั่นใจในความถูกต้องของตัวเลือกหรือในความเหนือกว่าที่น่าจะเป็นไปได้เหนือตัวเลือกอื่น ๆ ตามข้อสรุปเชิงตรรกะ ความขัดแย้งที่มีอยู่ทั้งหมดมีพื้นฐานมาจากสิ่งนี้

Paradox ในเกมรายการทีวี Let's Make a Deal

ความขัดแย้งประการหนึ่งที่ก่อให้เกิดการถกเถียงอย่างดุเดือดในหมู่ผู้ที่ชื่นชอบปริศนาเรียกว่า Monty Hall Paradox ตั้งชื่อตามพิธีกรรายการทีวีของสหรัฐฯ ชื่อ "Let's Make a Deal" ในรายการทีวี พิธีกรเสนอให้เปิดประตู 1 ประตูจาก 3 ประตู โดยรางวัลคือรถยนต์ 1 คัน ส่วนด้านหลังอีก 2 ประตูมีแพะประตูละ 1 ตัว

ผู้เข้าร่วมในเกมตัดสินใจเลือก แต่ผู้นำเสนอเมื่อรู้ว่ารถอยู่ที่ไหนไม่ได้เปิดประตูที่ผู้เล่นระบุ แต่เป็นอีกประตูหนึ่งซึ่งมีแพะอยู่และเสนอให้เปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นของผู้เล่น สำหรับการวิเคราะห์เพิ่มเติม เรายอมรับพฤติกรรมของผู้นำที่แปรผันนี้ แม้ว่าในความเป็นจริงแล้วอาจมีการเปลี่ยนแปลงเป็นระยะๆ เราจะแสดงรายการตัวเลือกสถานการณ์การพัฒนาอื่นๆ ด้านล่างในบทความ

สาระสำคัญของความขัดแย้งคืออะไร?

อีกครั้ง ทีละจุด มากำหนดเงื่อนไขและเปลี่ยนวัตถุในเกมเป็นของเราเองเพื่อความหลากหลาย

ผู้เข้าร่วมเกมอยู่ในห้องที่มีตู้นิรภัยสามใบ หนึ่งในสามเซลล์มีทองคำแท่งหนึ่งส่วนอีกสองเหรียญมีหนึ่งเหรียญที่มีมูลค่าหน้า 1 kopeck ของสหภาพโซเวียต

ดังนั้นผู้เข้าร่วมต้องเผชิญกับทางเลือกและเงื่อนไขของเกมมีดังนี้:

1. ผู้เข้าร่วมสามารถเลือกได้เพียงหนึ่งในสามเซลล์เท่านั้น
2. นายธนาคารทราบตำแหน่งของทองคำแท่งตั้งแต่แรก
3. นายธนาคารจะเปิดช่องด้วยเหรียญที่แตกต่างจากตัวเลือกของผู้เล่นเสมอ และเสนอให้เปลี่ยนตัวเลือกของผู้เล่น
4. ผู้เล่นสามารถเปลี่ยนตัวเลือกของเขาหรือออกจากตัวเลือกเดิมได้

สัญชาตญาณพูดว่าอะไร?

ความขัดแย้งก็คือสำหรับคนส่วนใหญ่ที่เคยคิดอย่างมีตรรกะ โอกาสในการชนะหากพวกเขาเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นคือ 50 ถึง 50 อย่างไรก็ตาม หลังจากที่นายธนาคารเปิดช่องอื่นด้วยเหรียญ ซึ่งแตกต่างจากตัวเลือกเริ่มต้นของผู้เล่น 2 เซลล์ยังคงอยู่ โดยเซลล์หนึ่งมีทองคำแท่ง และอีกเซลล์หนึ่งมีเหรียญ ผู้เล่นจะได้รับทองคำแท่งหากเขายอมรับข้อเสนอของนายธนาคารในการเปลี่ยนเซลล์ โดยมีเงื่อนไขว่าไม่มีทองคำแท่งอยู่ในเซลล์ที่ผู้เล่นเลือกไว้แต่แรก และในทางกลับกัน ภายใต้เงื่อนไขนี้ เขาจะแพ้ถ้าเขาปฏิเสธที่จะยอมรับข้อเสนอ

ตามที่สามัญสำนึกแนะนำ ความน่าจะเป็นในการเลือกแท่งโลหะและชนะในกรณีนี้คือ 1/2 แต่ในความเป็นจริงแล้วสถานการณ์แตกต่างออกไป! “แต่จะเป็นไปได้อย่างไร ทุกอย่างชัดเจนที่นี่” - คุณถาม. สมมติว่าคุณเลือกเซลล์หมายเลข 1 ตามสัญชาตญาณแล้ว ไม่ว่าคุณจะเลือกอะไรในตอนแรก แต่ท้ายที่สุดแล้ว คุณก็มีตัวเลือกระหว่างเหรียญกับแท่งโลหะ และหากในตอนแรก คุณมีความน่าจะเป็น 1/3 ที่จะได้รับรางวัล แล้วท้ายที่สุด เมื่อนายธนาคารเปิดเซลล์หนึ่ง คุณก็จะได้รับความน่าจะเป็น 1/2 ความน่าจะเป็นดูเหมือนจะเพิ่มขึ้นจาก 1/3 เป็น 1/2 จากการวิเคราะห์เกมอย่างรอบคอบ ปรากฎว่าเมื่อการตัดสินใจเปลี่ยนไป ความน่าจะเป็นจะเพิ่มขึ้นเป็น 2/3 แทนที่จะเป็น 1/2 ตามสัญชาตญาณ มาดูกันว่าเหตุใดจึงเกิดเหตุการณ์เช่นนี้

ซึ่งแตกต่างจากระดับสัญชาตญาณที่จิตสำนึกของเราพิจารณาว่าเหตุการณ์หลังจากเปลี่ยนเซลล์เป็นสิ่งที่แยกจากกันและลืมเกี่ยวกับตัวเลือกเริ่มต้น คณิตศาสตร์ไม่ได้แยกเหตุการณ์ทั้งสองนี้ออกจากกัน แต่จะรักษาสายโซ่ของเหตุการณ์ตั้งแต่ต้นจนจบ อย่างที่เราบอกไปก่อนหน้านี้ โอกาสในการชนะของเราถ้าเราได้แท่งโลหะทันทีคือ 1/3 และความน่าจะเป็นที่เราจะเลือกช่องที่มีเหรียญคือ 2/3 (เนื่องจากเรามีแท่งหนึ่งแท่งและสองเหรียญ) .

1. ในตอนแรกเราเลือกเซลล์ธนาคารที่มีแท่งโลหะ - ความน่าจะเป็น 1/3
   • หากผู้เล่นเปลี่ยนทางเลือกโดยยอมรับข้อเสนอของนายธนาคาร เขาจะแพ้
   • หากผู้เล่นไม่เปลี่ยนตัวเลือกโดยไม่ยอมรับข้อเสนอของนายธนาคาร เขาจะชนะ
2. เราเลือกตู้เซฟที่มีเหรียญในครั้งแรก - ความน่าจะเป็นคือ 2/3
   • หากผู้เล่นเปลี่ยนตัวเลือกของเขา เขาจะชนะ
   • หากผู้เล่นไม่เปลี่ยนตัวเลือกเขาจะแพ้

ดังนั้น เพื่อให้ผู้เล่นออกจากธนาคารโดยมีทองคำแท่งอยู่ในกระเป๋า เขาจะต้องเลือกตำแหน่งที่เสียไปในตอนแรกด้วยเหรียญ (ความน่าจะเป็น 1/3) จากนั้นจึงยอมรับข้อเสนอของนายธนาคารเพื่อเปลี่ยนเซลล์

เพื่อที่จะเข้าใจความขัดแย้งนี้และแยกตัวออกจากพันธนาการของรูปแบบของตัวเลือกเริ่มต้นและเซลล์ที่เหลือ ลองจินตนาการถึงพฤติกรรมของผู้เล่นในทิศทางตรงกันข้าม ก่อนที่นายธนาคารจะเสนอห้องขังให้ผู้เล่นตัดสินใจในใจว่าเขากำลังเปลี่ยนตัวเลือกของเขา และหลังจากนั้นเหตุการณ์เปิดประตูพิเศษจะตามมาสำหรับเขาเท่านั้น ทำไมจะไม่ล่ะ? ท้ายที่สุดแล้ว ประตูที่เปิดอยู่ไม่ได้ให้ข้อมูลเพิ่มเติมแก่เขาในลำดับเชิงตรรกะเช่นนี้ ในช่วงแรกของเวลา ผู้เล่นจะแบ่งเซลล์ออกเป็นสองส่วน ส่วนแรกคือพื้นที่ที่มีเซลล์หนึ่งที่มีตัวเลือกเริ่มต้น ส่วนที่สองกับเซลล์ที่เหลืออีกสองเซลล์ ต่อไปผู้เล่นจะต้องทำการเลือกระหว่างสองพื้นที่ ความน่าจะเป็นที่จะได้ทองคำแท่งจากช่องแรกคือ 1/3 จากช่องที่สองคือ 2/3 ตัวเลือกจะเป็นไปตามพื้นที่ที่สองซึ่งเขาสามารถเปิดสองเซลล์ได้ โดยเซลล์แรกจะเปิดโดยนายธนาคาร ส่วนเซลล์ที่สองจะเปิดเอง

มีคำอธิบายที่ชัดเจนยิ่งขึ้นสำหรับ Monty Hall Paradox เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องเปลี่ยนถ้อยคำของงาน นายธนาคารชี้แจงอย่างชัดเจนว่ามีทองคำแท่งอยู่ในหนึ่งในสามตู้นิรภัย ในกรณีแรกเขาเสนอให้เปิดหนึ่งในสามเซลล์และเซลล์ที่สอง - สองในเวลาเดียวกัน ผู้เล่นจะเลือกอะไร? แน่นอนว่า สองครั้งพร้อมกัน โดยเพิ่มความน่าจะเป็นเป็นสองเท่า และช่วงเวลาที่นายธนาคารเปิดช่องด้วยเหรียญ สิ่งนี้ไม่ได้ช่วยผู้เล่นแต่อย่างใดและไม่ขัดขวางการเลือกเพราะนายธนาคารจะแสดงช่องนี้ด้วยเหรียญไม่ว่าในกรณีใด ๆ ดังนั้นผู้เล่นจึงสามารถเพิกเฉยได้ การกระทำนี้ จากฝั่งผู้เล่น ทำได้เพียงขอบคุณนายธนาคารที่ทำให้ชีวิตของเขาง่ายขึ้น และแทนที่จะเปิดสองห้อง เขากลับต้องเปิดห้องขังหนึ่งห้อง ในที่สุดคุณก็สามารถกำจัด Paradox Syndrome ได้หากคุณวางตัวเองในตำแหน่งนายธนาคารที่รู้ในตอนแรกว่าผู้เล่นชี้ไปที่ประตูผิดในสองในสามกรณี สำหรับนายธนาคาร ไม่มีความขัดแย้งเช่นนี้ เพราะแน่นอนว่าในการผกผันของเหตุการณ์เช่นนี้ เขามั่นใจว่าหากเหตุการณ์เปลี่ยนแปลง ผู้เล่นจะได้ทองคำแท่ง

เห็นได้ชัดว่าความขัดแย้งของ Monty Hall ไม่อนุญาตให้ฝ่ายอนุรักษ์นิยมชนะ ซึ่งยืนหยัดอย่างมั่นคงในตัวเลือกเริ่มต้นและสูญเสียโอกาสในการเพิ่มความน่าจะเป็น สำหรับฝ่ายอนุรักษ์นิยม จะยังคงอยู่ที่ 1/3 สำหรับคนที่ระมัดระวังและมีไหวพริบ อัตราจะเพิ่มขึ้นเป็น 2/3 ข้างต้น

ข้อความข้างต้นทั้งหมดเกี่ยวข้องเฉพาะในกรณีที่ตรงตามเงื่อนไขที่ตกลงกันไว้ในตอนแรกเท่านั้น

จะเป็นอย่างไรถ้าเราเพิ่มจำนวนเซลล์?

จะเป็นอย่างไรถ้าเราเพิ่มจำนวนเซลล์? สมมติว่าแทนที่จะเป็นสามจะมี 50 แท่ง ทองคำแท่งจะอยู่ในเซลล์เดียวและอีก 49 ที่เหลือจะมีเหรียญ ในทางตรงกันข้ามกับกรณีคลาสสิก ความน่าจะเป็นที่จะโจมตีเป้าหมายขณะเคลื่อนที่คือ 1/50 หรือ 2% แทนที่จะเป็น 1/3 ในขณะที่ความน่าจะเป็นในการเลือกเซลล์ที่มีเหรียญคือ 98% จากนั้นสถานการณ์ก็พัฒนาเช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้า นายธนาคารเสนอให้เปิดเซลล์ใด ๆ จาก 50 เซลล์ตามที่ผู้เข้าร่วมเลือก สมมติว่าผู้เล่นเปิดเซลล์ที่มีหมายเลขซีเรียล 49 ในทางกลับกันนายธนาคารเช่นเดียวกับในเวอร์ชันคลาสสิกไม่ต้องรีบร้อนที่จะสนองความต้องการของผู้เล่นและเปิดอีก 48 เซลล์พร้อมเหรียญและเสนอให้เปลี่ยนตัวเลือกของเขาเป็นเซลล์ที่เหลือ ที่หมายเลข 50

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจที่นี่ว่านายธนาคารเปิด 48 เซลล์ ไม่ใช่ 30 เซลล์ และเหลือ 2 เซลล์ รวมถึงเซลล์ที่ผู้เล่นเลือกด้วย ทางเลือกนี้เองที่ทำให้ความขัดแย้งขัดแย้งกับสัญชาตญาณ เช่นเดียวกับตัวเลือกคลาสสิก นายธนาคารที่เปิด 48 เซลล์จะเหลือเพียงตัวเลือกเดียวให้เลือก กรณีของการเปิดเซลล์ที่เล็กกว่านั้นไม่อนุญาตให้เราวางปัญหาให้ทัดเทียมกับคลาสสิกและรู้สึกถึงความขัดแย้ง

แต่เนื่องจากเราได้สัมผัสตัวเลือกนี้แล้ว สมมติว่านายธนาคารไม่เหลือเซลล์เดียวยกเว้นเซลล์ที่ผู้เล่นเลือก แต่มีหลายเซลล์ นำเสนอเหมือนเมื่อก่อน 50 เซลล์ หลังจากเลือกผู้เล่นแล้ว นายธนาคารจะเปิดเพียงเซลล์เดียว โดยเหลือ 48 เซลล์ปิดอยู่ รวมถึงเซลล์ที่ผู้เล่นเลือกด้วย ความน่าจะเป็นที่จะเลือกแท่งโลหะในครั้งแรกคือ 1/50 โดยรวมแล้วความน่าจะเป็นที่จะพบแท่งโลหะในเซลล์ที่เหลือคือ 49/50 ซึ่งจะกระจายไม่เกิน 49 แต่มากกว่า 48 เซลล์ การคำนวณได้ไม่ยากว่าความน่าจะเป็นที่จะพบแท่งโลหะในตัวเลือกนี้คือ (49/50)/48=49/2900 ความน่าจะเป็นแม้จะไม่มากนัก แต่ก็ยังสูงกว่า 1/50 ประมาณ 1%

ดังที่เราได้กล่าวไว้ในตอนต้นว่า เจ้าบ้าน Monty Hall ในสถานการณ์เกมคลาสสิกที่มีประตู แพะ และรถรางวัลสามารถเปลี่ยนเงื่อนไขของเกม และความน่าจะเป็นในการชนะควบคู่ไปด้วย

คณิตศาสตร์ของความขัดแย้ง

สูตรทางคณิตศาสตร์สามารถพิสูจน์ความน่าจะเป็นที่เพิ่มขึ้นเมื่อเปลี่ยนตัวเลือกได้หรือไม่
ลองจินตนาการถึงห่วงโซ่ของเหตุการณ์ในรูปแบบของชุดที่แบ่งออกเป็นสองส่วน ส่วนแรกจะถูกถือเป็น X - นี่คือห้องขังที่ผู้เล่นเลือกในระยะแรก และชุดที่สอง Y - เซลล์ที่เหลืออีกสองเซลล์ ความน่าจะเป็น (B) ที่จะชนะสำหรับเซลล์ 2 และ 3 สามารถแสดงได้โดยใช้สูตร

ข(2) = 1/2 * 2/3 = 1/3
ข(3) = 1/2 * 2/3= 1/3

โดยที่ 1/2 คือความน่าจะเป็นที่นายธนาคารจะเปิดเซลล์ 2 และ 3 โดยที่ผู้เล่นเลือกเซลล์ที่ไม่มีทองคำแท่งในตอนแรก
ถัดไป ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข 1/2 เมื่อนายธนาคารเปิดเซลล์ที่มีเหรียญเปลี่ยนเป็น 1 และ 0 จากนั้นสูตรจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

ข(2) = 0 * 2/3 = 0
ข(3) = 1 * 2/3 = 1

ตรงนี้เราเห็นได้อย่างชัดเจนว่าความน่าจะเป็นในการเลือกแท่งโลหะในเซลล์ 3 คือ 2/3 ซึ่งมากกว่า 60 เปอร์เซ็นต์เท่านั้น
โปรแกรมเมอร์ระดับเริ่มต้นสามารถทดสอบความขัดแย้งนี้ได้อย่างง่ายดายโดยการเขียนโปรแกรมที่คำนวณความน่าจะเป็นเมื่อตัวเลือกเปลี่ยนแปลงหรือกลับกัน แล้วเปรียบเทียบผลลัพธ์

คำอธิบายความขัดแย้งในภาพยนตร์ 21 (ยี่สิบเอ็ด)

คำอธิบายภาพเกี่ยวกับความขัดแย้งของมอนตี้ พอลมีให้ในภาพยนตร์เรื่อง "21" (ยี่สิบเอ็ด) กำกับโดยโรเบิร์ต ลูเคติค ในระหว่างการบรรยาย ศาสตราจารย์มิกกี้ โรซายกตัวอย่างจากรายการ Let's Make a Deal และถามนักเรียน Ben Campbell (นักแสดงและนักร้อง James Anthony) เกี่ยวกับการแจกแจงความน่าจะเป็น ซึ่งเป็นผู้ให้การแจกแจงที่ถูกต้อง และทำให้ครูประหลาดใจ

ศึกษาความขัดแย้งด้วยตนเอง

สำหรับผู้ที่ต้องการตรวจสอบผลลัพธ์ด้วยตนเองในทางปฏิบัติ แต่ไม่มีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ เราขอแนะนำให้จำลองเกมด้วยตัวเอง โดยคุณจะเป็นเจ้าบ้านและคนอื่นจะเป็นผู้เล่น คุณสามารถให้เด็กๆ มีส่วนร่วมในเกมนี้ โดยจะเลือกลูกอมหรือกระดาษห่อขนมจากพวกเขาในกล่องกระดาษแข็งที่เตรียมไว้ ในแต่ละตัวเลือก อย่าลืมบันทึกผลลัพธ์เพื่อการคำนวณต่อไป

ในเดือนธันวาคม พ.ศ. 2506 ช่องโทรทัศน์ NBC ของอเมริกาเปิดตัวรายการ Let's Make a Deal ซึ่งผู้เข้าร่วมที่เลือกจากผู้ชมในสตูดิโอต่อรองราคากันเองและกับพิธีกรเล่นเกมเล็ก ๆ หรือเพียงแค่เดาคำตอบของคำถาม คำถาม ในตอนท้ายของการแสดง ผู้เข้าร่วมสามารถเล่น "ข้อเสนอประจำวัน" ด้านหน้าของพวกเขามีประตูสามบานซึ่งเป็นที่รู้กันว่าด้านหลังหนึ่งในนั้นคือรางวัลหลัก (เช่นรถยนต์) และด้านหลังอีกสองบานเป็นของขวัญที่มีค่าน้อยกว่าหรือไร้สาระโดยสิ้นเชิง (เช่นแพะที่มีชีวิต) หลังจากที่ผู้เล่นได้เลือกแล้ว มอนตี้ ฮอลล์ ผู้ดำเนินรายการจะเปิดประตูบานใดบานหนึ่งจากสองประตูที่เหลือ แสดงให้เห็นว่าไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลัง และทำให้ผู้เข้าร่วมพึงพอใจว่าเขายังคงมีโอกาสชนะอยู่

ในปี 1975 Steve Selvin นักวิทยาศาสตร์จากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนียสงสัยว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากในขณะนั้น หลังจากที่ประตูเปิดโดยไม่มีรางวัล ผู้เข้าร่วมถูกขอให้เปลี่ยนตัวเลือก โอกาสของผู้เล่นในการรับรางวัลจะเปลี่ยนแปลงในกรณีนี้หรือไม่ และหากเป็นเช่นนั้น จะเป็นไปในทิศทางใด เขาส่งคำถามที่เกี่ยวข้องในรูปแบบของปัญหาไปยังนิตยสาร The American Statistician เช่นเดียวกับ Monty Hall เองที่ให้คำตอบที่ค่อนข้างน่าสนใจแก่เขา แม้จะมีคำตอบนี้ (หรืออาจเป็นเพราะเหตุนั้น) ปัญหาก็ได้รับความนิยมภายใต้ชื่อ "ปัญหามอนตี้ฮอลล์"

หลักเกณฑ์ทั่วไปของปัญหานี้ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1990 ในนิตยสาร Parade มีดังต่อไปนี้:

“ลองนึกภาพว่าคุณเป็นผู้มีส่วนร่วมในเกมที่คุณต้องเลือกหนึ่งในสามประตู หลังประตูบานหนึ่งมีรถยนต์ หลังประตูอีกสองบานมีแพะ คุณเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง เช่น หมายเลข 1 หลังจากนั้นผู้นำซึ่งรู้ว่ารถอยู่ที่ไหนและแพะอยู่ที่ไหน ก็เปิดประตูบานหนึ่งที่เหลือ เช่น หมายเลข 3 ซึ่งอยู่ด้านหลังซึ่งมีแพะอยู่ หลังจากนั้นเขาถามคุณว่าคุณต้องการเปลี่ยนทางเลือกและเลือกประตูหมายเลข 2 หรือไม่ โอกาสในการชนะรถจะเพิ่มขึ้นหรือไม่หากคุณยอมรับข้อเสนอของผู้นำเสนอและเปลี่ยนตัวเลือก?

หลังจากการเผยแพร่ เป็นที่ชัดเจนว่ากำหนดงานไม่ถูกต้อง: ไม่ได้ระบุเงื่อนไขทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ผู้นำเสนออาจปฏิบัติตามกลยุทธ์ "Hell Monty": เสนอการเปลี่ยนแปลงทางเลือกหากผู้เล่นเลือกรถยนต์เป็นการเคลื่อนไหวครั้งแรก แน่นอนว่าการเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นจะนำไปสู่การสูญเสียที่รับประกันได้ในสถานการณ์เช่นนี้

งานที่ได้รับความนิยมมากที่สุดคืองานที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม - ผู้เข้าร่วมในเกมรู้กฎต่อไปนี้ล่วงหน้า:

1. รถจะถูกวางไว้ด้านหลังประตูทั้ง 3 บานเท่ากัน
2. ไม่ว่าในกรณีใดผู้นำเสนอจะต้องเปิดประตูพร้อมกับแพะ (แต่ไม่ใช่ตัวที่ผู้เล่นเลือก) และเชิญผู้เล่นให้เปลี่ยนตัวเลือก
3. หากผู้นำสามารถเลือกได้ว่าจะเปิดประตูบานใด ให้เลือกบานใดบานหนึ่งด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากัน

เบาะแส

ลองพิจารณาคนที่เลือกประตูต่างกันในกรณีเดียวกัน (นั่นคือ เมื่อรางวัลอยู่หลังประตูหมายเลข 1 เป็นต้น) ใครจะได้รับประโยชน์จากการเปลี่ยนทางเลือกของตนและใครจะไม่ได้ประโยชน์?

สารละลาย

ตามที่แนะนำในข้อความแจ้ง มาดูผู้คนที่ตัดสินใจเลือกต่างกัน สมมติว่ารางวัลอยู่หลังประตู #1 และหลังประตู #2 และ #3 เป็นแพะ ขอให้เรามีกันหกคน และสองคนเลือกแต่ละประตู และจากแต่ละคู่ คนหนึ่งก็เปลี่ยนการตัดสินใจของเขาในเวลาต่อมา และอีกคนหนึ่งก็ไม่ทำ

โปรดทราบว่าสำหรับผู้ที่เลือกประตูหมายเลข 1 ผู้นำเสนอจะเปิดประตูหนึ่งในสองบานตามรสนิยมของเขา และไม่ว่าอย่างไรก็ตาม ผู้ที่ไม่เปลี่ยนตัวเลือกจะได้รับรถ ในขณะที่ผู้ที่เปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้น จะอยู่โดยไม่มีรางวัล ตอนนี้เรามาดูผู้ที่เลือกประตูหมายเลข 2 และหมายเลข 3 กัน เนื่องจากมีรถยนต์อยู่หลังประตูหมายเลข 1 ผู้นำจึงไม่สามารถเปิดได้ ทำให้เขาไม่มีทางเลือก - เขาเปิดประตูหมายเลข 3 และหมายเลข 2 ให้พวกเขาตามลำดับ ในกรณีนี้ผู้ที่เปลี่ยนแปลงการตัดสินในแต่ละคู่จะเป็นผู้เลือกรางวัลในที่สุด และผู้ที่ไม่เปลี่ยนแปลงจะไม่เหลืออะไรเลย ดังนั้น ในสามคนที่เปลี่ยนการตัดสินใจ สองคนจะได้รับรางวัล และอีกหนึ่งคนจะได้รับแพะ ในขณะที่สามคนที่ไม่เปลี่ยนแปลงตัวเลือกเดิม มีเพียงคนเดียวเท่านั้นที่จะได้รับรางวัล

ควรสังเกตว่าหากรถจบลงหลังประตูหมายเลข 2 หรือหมายเลข 3 ผลลัพธ์จะเหมือนเดิม เฉพาะผู้ชนะเท่านั้นที่จะเปลี่ยนแปลง ดังนั้น สมมติว่าในตอนแรกแต่ละประตูถูกเลือกด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากัน เราพบว่าผู้ที่เปลี่ยนตัวเลือกจะได้รับรางวัลบ่อยเป็นสองเท่า นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่จะชนะในกรณีนี้มีมากกว่า

ลองดูปัญหานี้จากมุมมองของทฤษฎีความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์ เราจะถือว่าความน่าจะเป็นในการเลือกประตูแต่ละบานในตอนแรกจะเท่ากัน เช่นเดียวกับความน่าจะเป็นที่จะพบรถยนต์ที่อยู่ด้านหลังประตูแต่ละบาน นอกจากนี้ โปรดทราบว่าเมื่อเขาสามารถเปิดประตูสองบานได้ GM จะเลือกแต่ละบานด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากัน จากนั้นปรากฎว่าหลังจากการตัดสินใจครั้งแรก ความน่าจะเป็นที่รางวัลจะอยู่หลังประตูที่เลือกคือ 1/3 ในขณะที่ความน่าจะเป็นที่รางวัลจะอยู่หลังประตูอีกสองบานที่เหลือคือ 2/3 ยิ่งไปกว่านั้น หลังจากที่ผู้นำได้เปิดหนึ่งในสองประตูที่ “ไม่ได้เลือก” ความน่าจะเป็น 2/3 ทั้งหมดจะตกอยู่ที่ประตูที่เหลือเพียงประตูเดียว ดังนั้นจึงสร้างพื้นฐานสำหรับการเปลี่ยนแปลงการตัดสินใจ ซึ่งจะเพิ่มความน่าจะเป็นในการชนะ 2 เท่า . ซึ่งแน่นอนว่าไม่ได้รับประกันเลยในกรณีเฉพาะเจาะจง แต่จะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ประสบความสำเร็จมากขึ้นหากทำการทดลองซ้ำหลายครั้ง

คำหลัง

ปัญหามอนตี ฮอลล์ไม่ใช่ครั้งแรกที่ทราบถึงการกำหนดปัญหานี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในปี 1959 มาร์ติน การ์ดเนอร์ได้ตีพิมพ์ “ปัญหานักโทษสามคน” ที่คล้ายกันในนิตยสาร Scientific American โดยมีเนื้อหาดังนี้: “ในนักโทษสามคน ควรได้รับการอภัยโทษหนึ่งคน และสองคนควรถูกประหารชีวิต นักโทษ ก. ชักชวนผู้คุมให้บอกชื่อหนึ่งในอีกสองคนที่จะถูกประหารชีวิต (อย่างใดอย่างหนึ่ง ถ้าทั้งสองคนถูกประหารชีวิต) หลังจากนั้นเมื่อได้รับชื่อ ข แล้ว เขาเชื่อว่าความน่าจะเป็นที่ความรอดของเขาเองจะมี กลายเป็นไม่ใช่ 1/3 แต่เป็น 1/2 ในเวลาเดียวกันนักโทษ C อ้างว่าความน่าจะเป็นของความรอดของเขากลายเป็น 2/3 แต่สำหรับ A ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง อันไหนถูก?

อย่างไรก็ตาม การ์ดเนอร์ไม่ใช่คนแรกนับตั้งแต่ย้อนกลับไปในปี 1889 ใน "แคลคูลัสของความน่าจะเป็น" นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส โจเซฟ เบอร์ทรานด์ (เพื่อไม่ให้สับสนกับชาวอังกฤษ เบอร์ทรานด์ รัสเซลล์!) เสนอปัญหาที่คล้ายกัน (ดูความขัดแย้งของกล่องของเบอร์ทรานด์): " มีกล่องสามกล่อง แต่ละกล่องประกอบด้วยเหรียญสองเหรียญ: ทองคำสองอันในกล่องแรก, กล่องเงินสองอันในกล่องที่สอง และอีกสองกล่องที่แตกต่างกันในกล่องที่สาม จากกล่องที่สุ่มเลือก เหรียญหนึ่ง ๆ จะถูกสุ่มออกมา ซึ่งกลายเป็น เป็นทองคำ ความน่าจะเป็นที่เหรียญที่เหลืออยู่ในกล่องเป็นทองคำเป็นเท่าใด”

หากคุณเข้าใจวิธีแก้ไขปัญหาทั้งสามข้อ คุณจะสังเกตเห็นความคล้ายคลึงกันของแนวคิดได้อย่างง่ายดาย ในทางคณิตศาสตร์ พวกมันทั้งหมดรวมกันเป็นหนึ่งเดียวโดยแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข นั่นคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ถ้ารู้ว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้น ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด: ความน่าจะเป็นที่จะปรากฏบนลูกเต๋าปกติคือ 1/6; แต่ถ้ารู้ว่าเลขคี่ที่จับได้ ความน่าจะเป็นคือ 1 อยู่แล้วจะเป็น 1/3 ปัญหามอนตี ฮอลล์ เช่นเดียวกับอีกสองปัญหาที่ให้ไว้ข้างต้น แสดงให้เห็นว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขจะต้องได้รับการจัดการอย่างระมัดระวัง

ปัญหาเหล่านี้มักถูกเรียกว่าความขัดแย้ง: Monty Hall Paradox, Bertrand box Paradox (อย่างหลังไม่ควรสับสนกับ Bertrand Paradox ที่แท้จริง ซึ่งให้ไว้ในหนังสือเล่มเดียวกัน ซึ่งพิสูจน์ความคลุมเครือของแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นที่มีอยู่ในขณะนั้น) - ซึ่ง แสดงถึงความขัดแย้งบางประการ (เช่น ใน “ Liar's Paradox” วลี “ข้อความนี้เป็นเท็จ” ขัดแย้งกับกฎของคนกลางที่ถูกแยกออก) อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ ไม่มีความขัดแย้งกับข้อความที่เข้มงวด แต่มีความขัดแย้งที่ชัดเจนกับ "ความคิดเห็นของประชาชน" หรือเพียงแค่ "วิธีแก้ปัญหาที่ชัดเจน" สำหรับปัญหา ที่จริงแล้ว เมื่อพิจารณาถึงปัญหาแล้ว คนส่วนใหญ่เชื่อว่าหลังจากเปิดประตูบานใดบานหนึ่ง ความน่าจะเป็นที่จะพบรางวัลสำหรับประตูบานใดบานหนึ่งจากสองบานที่เหลือที่ปิดคือ 1/2 ดังนั้น พวกเขาจึงแย้งว่าการเปลี่ยนแปลงการตัดสินใจของคุณนั้นไม่สำคัญเลยไม่ว่าคุณจะเห็นด้วยหรือไม่เห็นด้วยก็ตาม นอกจากนี้ หลายๆ คนยังประสบปัญหาในการหาคำตอบนอกเหนือจากนี้ แม้ว่าจะได้รับแจ้งวิธีแก้ปัญหาอย่างละเอียดแล้วก็ตาม

คำตอบของ Monty Hall ต่อ Steve Selwyn

นายสตีฟ เซลวิน
รองศาสตราจารย์สาขาวิชาชีวสถิติ
มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์

เรียนคุณสตีฟ

ขอขอบคุณที่ส่งปัญหาจาก The American Statistician มาให้ฉัน

แม้ว่าฉันไม่ได้เรียนสถิติที่มหาวิทยาลัย แต่ฉันรู้ว่าตัวเลขสามารถนำไปใช้ประโยชน์ได้เสมอหากฉันต้องการบิดเบือนตัวเลข การใช้เหตุผลของคุณไม่ได้คำนึงถึงเหตุการณ์สำคัญประการหนึ่ง: หลังจากที่กล่องแรกว่างเปล่า ผู้เข้าร่วมจะไม่สามารถเปลี่ยนตัวเลือกของเขาได้อีกต่อไป ความน่าจะเป็นยังคงเท่าเดิม หนึ่งในสาม ใช่ไหม? และแน่นอนว่าหลังจากกล่องใดกล่องหนึ่งว่างเปล่า โอกาสจะไม่กลายเป็น 50/50 แต่ยังคงเท่าเดิม - หนึ่งในสาม สำหรับผู้เข้าร่วมดูเหมือนว่าการกำจัดกล่องเดียวจะทำให้เขามีโอกาสมากขึ้น ไม่เลย. สองต่อหนึ่งต่อเขาเหมือนเดิมยังคงเป็นเช่นนั้น และหากคุณมาชมการแสดงของฉันกะทันหัน กฎจะยังคงเหมือนเดิมสำหรับคุณ: หลังจากเลือกแล้วห้ามเปลี่ยนกล่อง

ลองนึกภาพว่าคุณได้เป็นผู้มีส่วนร่วมในเกมที่คุณต้องเลือกหนึ่งในสามประตู หลังประตูบานหนึ่งมีรถยนต์ หลังประตูอีกสองบานมีแพะ คุณเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง เช่น หมายเลข 1 หลังจากนั้นผู้นำซึ่งรู้ว่ารถอยู่ที่ไหนและแพะอยู่ที่ไหน ก็เปิดประตูบานหนึ่งที่เหลือ เช่น หมายเลข 3 ซึ่งอยู่ด้านหลังซึ่งมีแพะอยู่ จากนั้นเขาก็ถามคุณว่าคุณต้องการเปลี่ยนตัวเลือกและเลือกประตูหมายเลข 2 หรือไม่ โอกาสในการชนะรถของคุณจะเพิ่มขึ้นหรือไม่หากคุณยอมรับข้อเสนอของเจ้าบ้านและเปลี่ยนตัวเลือกของคุณ?

สารละลาย.ให้เราทราบทันทีว่าปัญหานี้ไม่มีความขัดแย้งใดๆ งานทั่วไป (ระดับเริ่มต้น) ในสูตรของเบย์ ซึ่งตามมาจากคำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

สูตรเบย์

ให้เราแสดงด้วยเหตุการณ์ A - คุณได้รับรางวัลรถยนต์

เราเสนอสมมติฐานสองข้อ: H 1 - คุณไม่เปลี่ยนประตู และ H 2 - คุณเปลี่ยนประตู

P(H 1) = 1/3 - a นิรนัย (นิรนัยหมายถึง ก่อนการทดลอง ผู้นำเสนอยังไม่ได้เปิดประตู) ความน่าจะเป็นของสมมติฐานที่ว่าคุณกำลังเปลี่ยนประตู

P H1 (A) - ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่คุณจะเดาประตูที่รถตั้งอยู่หากสมมติฐานแรก H 1 เกิดขึ้น

P H2 (A) - ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่คุณจะเดาประตูที่รถตั้งอยู่หากเกิดสมมติฐานที่สอง H 2

ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A หากสมมติฐาน H 1 เกิดขึ้น (ความน่าจะเป็นที่คุณจะชนะรถถ้าคุณไม่เปลี่ยนประตู):

ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A หากสมมติฐาน H 2 เกิดขึ้น (ความน่าจะเป็นที่คุณจะชนะรถยนต์หากคุณเปลี่ยนประตู):

ดังนั้นผู้เข้าร่วมควรเปลี่ยนตัวเลือกเดิม - ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นที่จะชนะจะเท่ากับ 2 ⁄ 3

การทดสอบทางสถิติของ Monty Hall Paradox

ที่นี่: "กลยุทธ์ 1" - อย่าเปลี่ยนตัวเลือก "กลยุทธ์ 2" - เปลี่ยนตัวเลือก ตามทฤษฎี สำหรับกรณีที่มี 3 ประตู การกระจายความน่าจะเป็นคือ 33.(3)% และ 66.(6)% การจำลองเชิงตัวเลขควรให้ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกัน

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่พร้อมจะสร้างความสับสนให้นักคณิตศาสตร์เอง ซึ่งแตกต่างจากหลักคำสอนอื่น ๆ ที่แม่นยำและไม่สั่นคลอนของวิทยาศาสตร์นี้ พื้นที่นี้เต็มไปด้วยสิ่งแปลกประหลาดและความไม่ถูกต้อง เมื่อเร็ว ๆ นี้ได้มีการเพิ่มย่อหน้าใหม่ในส่วนนี้ - Monty Hall Paradox โดยทั่วไปแล้วนี่คืองาน แต่จะแก้ไขในลักษณะที่แตกต่างไปจากงานโรงเรียนหรือมหาวิทยาลัยทั่วไปโดยสิ้นเชิง

เรื่องราวต้นกำเนิด

ผู้คนต่างพากันใช้สมองกับเรื่อง Monty Hall Paradox ตั้งแต่ปี 1975 แต่มันก็คุ้มค่าที่จะเริ่มต้นในปี 1963 ตอนนั้นเองที่รายการทีวีชื่อ Let's make a deal ได้รับการเผยแพร่บนหน้าจอ ซึ่งแปลว่า "มาทำข้อตกลงกันเถอะ" พิธีกรของมันคือใครอื่นนอกจาก Monty Hall ซึ่งนำเสนอผู้ชมด้วยบางครั้งไม่สามารถแก้ไขได้ ปัญหา หนึ่งในปัญหาที่โดดเด่นที่สุดคือปัญหาที่เขานำเสนอในปี 1975 ปัญหาดังกล่าวกลายเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับความน่าจะเป็นและความขัดแย้งที่เข้ากับกรอบของมัน นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสังเกตว่าปรากฏการณ์นี้ทำให้เกิดการถกเถียงและวิพากษ์วิจารณ์อย่างรุนแรงจาก นักวิทยาศาสตร์ Paradox ของ Monty Hall ได้รับการตีพิมพ์ในวารสาร Parade ในปี 1990 และตั้งแต่นั้นมาก็กลายเป็นประเด็นที่มีการพูดคุยและเป็นที่ถกเถียงกันมากขึ้นในทุกยุคทุกสมัยและผู้คน... ตอนนี้เรามุ่งตรงไปที่การกำหนดและการตีความ

คำชี้แจงปัญหา

มีการตีความความขัดแย้งนี้มากมาย แต่เราตัดสินใจนำเสนอแบบคลาสสิกให้กับคุณซึ่งแสดงในโปรแกรมเอง มีประตูสามบานอยู่ตรงหน้าคุณ ด้านหลังมีรถยนต์คันหนึ่ง ด้านหลังอีกสองตัวมีแพะตัวละตัว ผู้นำเสนอเชิญชวนให้คุณเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง และสมมติว่าคุณหยุดที่ประตูหมายเลข 1 จนถึงขณะนี้ คุณไม่รู้ว่ามีอะไรอยู่ด้านหลังประตูบานแรกนี้ เนื่องจากประตูบานที่สามเปิดออกและแสดงให้คุณเห็นว่ามีแพะอยู่ข้างหลัง . ดังนั้นคุณยังไม่แพ้เพราะคุณยังไม่ได้เลือกประตูที่ซ่อนทางเลือกที่แพ้ ดังนั้นโอกาสในการออกรถของคุณจึงเพิ่มขึ้น

แต่แล้วผู้นำเสนอก็ชวนคุณเปลี่ยนการตัดสินใจ ข้างหน้าคุณมีประตูอยู่สองบาน ข้างหลังหนึ่งมีแพะ ข้างหลังอีกบานเป็นรางวัลที่ต้องการ นี่คือจุดสำคัญของปัญหาอย่างแน่นอน ดูเหมือนว่าไม่ว่าจะเลือกประตูไหนโอกาสเป็น 50/50 แต่จริงๆ แล้วถ้าเปลี่ยนใจก็มีแนวโน้มจะชนะมากกว่า ยังไงล่ะ?

ตัวเลือกแรกที่คุณทำในเกมนี้คือการสุ่ม คุณไม่สามารถคาดเดาได้จากประตูทั้งสามบานที่มีรางวัลซ่อนอยู่ ดังนั้นคุณจึงสุ่มชี้ไปที่ประตูบานแรกที่คุณเจอ ผู้นำเสนอก็รู้ว่าทุกสิ่งอยู่ที่ไหน เขามีประตูที่มีรางวัล ประตูที่คุณชี้ไป และประตูที่สามที่ไม่มีรางวัล ซึ่งเขาเปิดให้คุณเป็นเบาะแสแรก เบาะแสที่สองอยู่ในข้อเสนอของเขาที่จะเปลี่ยนตัวเลือก

ตอนนี้คุณจะไม่เลือกหนึ่งในสามโดยการสุ่มอีกต่อไป และคุณยังสามารถเปลี่ยนการตัดสินใจเพื่อรับรางวัลที่ต้องการได้อีกด้วย เป็นข้อเสนอของผู้นำเสนอที่ทำให้บุคคลนั้นเชื่อว่าจริงๆ แล้วรถไม่ได้อยู่หลังประตูที่เขาเลือก แต่อยู่หลังประตูอีกบานหนึ่ง นี่คือสาระสำคัญทั้งหมดของความขัดแย้ง เนื่องจากในความเป็นจริงคุณยังคงต้องเลือก (แม้ว่าจะมาจากสองและไม่ใช่จากสาม) โดยการสุ่ม แต่โอกาสในการชนะจะเพิ่มขึ้น ตามสถิติแสดง ผู้เล่น 30 คนที่เปลี่ยนการตัดสินใจ มี 18 คนที่ชนะรถ และนี่คือ 60% และจาก 30 คนเดิมที่ไม่เปลี่ยนการตัดสินใจ - มีเพียง 11 คนเท่านั้นนั่นคือ 36%

การตีความเป็นตัวเลข

ทีนี้ลองให้นิยามของ Monty Hall Paradox ที่แม่นยำยิ่งขึ้นกัน ตัวเลือกแรกของผู้เล่นแบ่งประตูออกเป็นสองกลุ่ม ความน่าจะเป็นที่รางวัลจะอยู่หลังประตูที่คุณเลือกคือ 1/3 และ 2/3 หลังประตูที่เหลืออยู่ จากนั้นผู้นำจะเปิดประตูบานใดบานหนึ่งของกลุ่มที่สอง ดังนั้น เขาจึงโอนความน่าจะเป็นที่เหลือทั้งหมด 2/3 ไปยังประตูบานเดียวที่คุณไม่ได้เลือกและเขาไม่ได้เปิด มีเหตุผลว่าหลังจากการคำนวณดังกล่าวการเปลี่ยนแปลงการตัดสินใจของคุณจะทำกำไรได้มากกว่า แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่ายังมีโอกาสแพ้อยู่ บางครั้งผู้นำเสนอก็ไม่จริงใจ เนื่องจากคุณสามารถชี้ไปที่ประตูรางวัลที่ถูกต้องในตอนแรก จากนั้นจึงสมัครใจปฏิเสธ

เราทุกคนคุ้นเคยกับความจริงที่ว่าคณิตศาสตร์ในฐานะวิทยาศาสตร์ที่แน่นอนนั้นไปควบคู่กับสามัญสำนึก สิ่งสำคัญในที่นี้คือตัวเลข ไม่ใช่คำ สูตรที่แม่นยำ ไม่ใช่การสะท้อนที่คลุมเครือ พิกัด ไม่ใช่ข้อมูลที่สัมพันธ์กัน แต่ส่วนใหม่ที่เรียกว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นได้ทำลายรูปแบบที่คุ้นเคยทั้งหมด สำหรับเราแล้วปัญหาในพื้นที่นี้ดูเหมือนว่าไม่อยู่ในกรอบของสามัญสำนึกและขัดแย้งกับสูตรและการคำนวณทั้งหมดโดยสิ้นเชิง เราขอแนะนำด้านล่างให้คุณทำความคุ้นเคยกับความขัดแย้งอื่นๆ ของทฤษฎีความน่าจะเป็นซึ่งมีบางอย่างที่เหมือนกันกับทฤษฎีที่อธิบายไว้ข้างต้น

ความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง

เมื่อมองแวบแรกปัญหานั้นไร้สาระ แต่เป็นไปตามสูตรทางคณิตศาสตร์อย่างเคร่งครัดและมีวิธีแก้ปัญหาสองวิธี ดังนั้นชายคนหนึ่งมีลูกสองคน หนึ่งในนั้นน่าจะเป็นเด็กผู้ชาย ความน่าจะเป็นที่คนที่สองจะเป็นเด็กผู้ชายเป็นเท่าไหร่?

ตัวเลือกที่ 1.เราพิจารณาการรวมกันของเด็กสองคนในครอบครัว:

• เด็กหญิง/เด็กหญิง.
• เด็กผู้หญิง.
• ชายหญิง.
• เด็กชาย/เด็กชาย

ชุดค่าผสมชุดแรกเห็นได้ชัดว่าไม่เหมาะกับเรา ดังนั้น จากสามชุดสุดท้าย เราจึงมีความน่าจะเป็น 1/3 ที่ลูกคนที่สองจะเป็นชายร่างเล็ก

ตัวเลือกที่ 2หากเราจินตนาการถึงกรณีเช่นนี้ในทางปฏิบัติ โดยละทิ้งเศษส่วนและสูตร เมื่อพิจารณาจากข้อเท็จจริงที่ว่าบนโลกนี้มีเพียงสองเพศ ความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สองจะเป็นเด็กผู้ชายคือ 1/2

ประสบการณ์นี้แสดงให้เราเห็นว่าสถิติสามารถจัดการได้อย่างชาญฉลาดเพียงใด ดังนั้น “เจ้าหญิงนิทรา” จึงถูกฉีดยานอนหลับและให้เหรียญ ถ้ามันตกลงบนหัว เธอจะตื่นขึ้นและการทดลองสิ้นสุดลง ถ้ามันตกลงบนหัว พวกเขาจะปลุกเธอและฉีดยาครั้งที่สองทันที และเธอก็ลืมไปว่าตื่นแล้ว และหลังจากนั้นพวกเขาก็ปลุกเธออีกครั้งเฉพาะในวันที่สองเท่านั้น หลังจากตื่นขึ้นเต็มที่ “สาวงาม” ไม่รู้ว่าเธอลืมตาขึ้นเมื่อใด หรือความน่าจะเป็นที่เหรียญจะตกบนหัวจะเป็นเช่นไร ตามวิธีแก้ปัญหาแรก ความน่าจะเป็นที่หัว (หรือก้อย) ลงจอดคือ 1/2 สาระสำคัญของตัวเลือกที่สองคือหากทำการทดลอง 1,000 ครั้งในกรณีของหัว "ความงาม" จะถูกปลุก 500 ครั้งและในกรณีที่หายาก - 1,000 ครั้ง ตอนนี้ความน่าจะเป็นที่จะได้ก้อยคือ 2/3 .