Umiejętność znalezienia odległości między różnymi obiektami geometrycznymi jest ważna przy obliczaniu pola powierzchni kształtów i ich objętości. W tym artykule rozważymy, jak znaleźć odległość punktu od linii w przestrzeni i na płaszczyźnie.

Matematyczny opis linii

Aby zrozumieć, jak znaleźć odległość od punktu do linii, musisz zrozumieć kwestię matematycznej definicji tych obiektów geometrycznych.

Z punktem wszystko jest proste, opisuje go zbiór współrzędnych, których liczba odpowiada wymiarowi przestrzeni. Przykładowo na płaszczyźnie są to dwie współrzędne, w przestrzeni trójwymiarowej – trzy.

Jeśli chodzi o obiekt jednowymiarowy – linię prostą, do jego opisu stosuje się kilka rodzajów równań. Rozważmy tylko dwa z nich.

Pierwszy typ nazywany jest równaniem wektorowym. Poniżej znajdują się wyrażenia na linie w przestrzeni trójwymiarowej i dwuwymiarowej:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

W tych wyrażeniach współrzędne o zerowych indeksach opisują punkt, przez który przechodzi dana prosta, zbiór współrzędnych (a; b; c) i (a; b) to tzw. wektory kierunkowe odpowiedniej linii, α jest parametr, który może przyjąć dowolną wartość rzeczywistą.

Równanie wektora jest wygodne w tym sensie, że wyraźnie zawiera wektor kierunku linii, którego współrzędne można wykorzystać przy rozwiązywaniu problemów równoległości lub prostopadłości różnych obiektów geometrycznych, na przykład dwóch linii prostych.

Drugi typ równania, który rozważymy dla linii, nazywa się ogólnym. W przestrzeni ten typ jest określony przez ogólne równania dwóch płaszczyzn. Na płaszczyźnie ma on następujący kształt:

A × x + B × y + C = 0

Rysując wykres, często zapisuje się go jako zależność od X/Y, czyli:

y = -A / B × x +(-C / B)

Tutaj wolny termin -C / B odpowiada współrzędnej przecięcia linii z osią y, a współczynnik -A / B jest powiązany z kątem nachylenia linii do osi x.

Pojęcie odległości między linią a punktem

Po uporaniu się z równaniami możesz od razu przejść do odpowiedzi na pytanie, jak znaleźć odległość punktu od linii prostej. W klasie 7 szkoły zaczynają rozważać tę kwestię, ustalając odpowiednią wartość.

Odległość prostej od punktu to długość odcinka prostopadłego do tej prostej, który jest pominięty w danym punkcie. Poniższy rysunek przedstawia prostą r i punkt A. Odcinek prostopadły do ​​prostej r jest pokazany na niebiesko. Jego długość to wymagana odległość.

Jednakże tutaj przedstawiono przypadek dwuwymiarowy tę definicję odległości obowiązują również w przypadku problemu trójwymiarowego.

Wymagane formuły

W zależności od formy, w jakiej zapisane jest równanie prostej oraz w jakiej przestrzeni rozwiązywane jest zadanie, można podać dwa podstawowe wzory, które odpowiedzą na pytanie, jak znaleźć odległość prostej od punktu.

Oznaczmy znany punkt symbolem P 2 . Jeżeli równanie prostej podane jest w postaci wektorowej, to dla d odległości pomiędzy rozpatrywanymi obiektami obowiązuje wzór:

d = || / |v¯|

Oznacza to, że aby wyznaczyć d, należy obliczyć moduł produkt wektorowy przewodnik po wektorze linii v¯ i wektorze P 1 P 2 ¯, którego początek leży w dowolnym punkcie P 1 na linii, a koniec w punkcie P 2, następnie podziel ten moduł przez długość v¯ . Wzór ten jest uniwersalny dla przestrzeni płaskiej i trójwymiarowej.

Jeśli problem rozpatrzyć na płaszczyźnie w układzie współrzędnych xy i równanie prostej podane jest w postaci ogólnej, to poniższy wzór pozwala znaleźć odległość prostej od punktu w następujący sposób:

Linia prosta: A × x + B × y + C = 0;

Punkt: P 2 (x 2; y 2; z 2);

Odległość: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

Powyższy wzór jest dość prosty, jednak jego zastosowanie ograniczają warunki podane powyżej.

Współrzędne rzutu punktu na linię prostą i odległość

Można też odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć odległość punktu od prostej w inny sposób, bez zapamiętywania podanych wzorów. Metoda ta polega na wyznaczeniu punktu na linii będącego rzutem punktu pierwotnego.

Załóżmy, że istnieje punkt M i prosta r. Rzut punktu M na r odpowiada pewnemu punktowi M 1 . Odległość od M do r jest równa długości wektora MM 1 ¯.

Jak znaleźć współrzędne M 1? Bardzo prosta. Wystarczy pamiętać, że wektor liniowy v¯ będzie prostopadły do ​​MM 1 ¯, czyli ich iloczyn skalarny musi być równy zeru. Dodając do tego warunek, że współrzędne M 1 muszą spełniać równanie prostej r, otrzymujemy układ prostych równania liniowe. W wyniku jego rozwiązania otrzymuje się współrzędne rzutu punktu M na r.

Opisaną w tym paragrafie technikę wyznaczania odległości prostej od punktu można zastosować dla płaszczyzny i przestrzeni, jednakże jej zastosowanie wymaga znajomości równania wektorowego prostej.

Problem z samolotem

Teraz czas pokazać, jak wykorzystać przedstawiony aparat matematyczny do rozwiązywania rzeczywistych problemów. Załóżmy, że na płaszczyźnie dany jest punkt M(-4; 5). Należy znaleźć odległość punktu M od prostej, którą opisuje równanie ogólna perspektywa:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

Oznacza to, że M nie leży na prostej.

Ponieważ równanie prostej nie jest dane w postaci ogólnej, sprowadzamy je do takiej postaci, aby móc skorzystać z odpowiedniego wzoru, mamy:

y = 3 × x + 6 =>

3 × x - y + 6 = 0

Teraz możesz zastąpić znane liczby we wzorze na d:

d = |A × x 2 + B × y2 + C| / √(A 2 + B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3,48

Problem w kosmosie

Rozważmy teraz przypadek w przestrzeni. Niech prostą opiszemy następującym równaniem:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

Jaka jest odległość od niego do punktu M(0; 2; -3)?

Podobnie jak w poprzednim przypadku sprawdźmy, czy M należy do podanej prostej. Aby to zrobić, podstawiamy współrzędne do równania i przepisujemy je jawnie:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;

y = 2 = -1 -2 × α => α = -3/2;

Ponieważ uzyskuje się różne parametry α, M nie leży na tej prostej. Obliczmy teraz odległość od niego do prostej.

Aby skorzystać ze wzoru na d, weź dowolny punkt na prostej, na przykład P(1; -1; 0), a następnie:

Obliczmy iloczyn wektorowy pomiędzy PM¯ i wektorem kierującym linii prostej v¯. Otrzymujemy:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

Teraz podstawiamy moduły znalezionego wektora i wektora v¯ do wzoru na d i otrzymujemy:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2,95

Odpowiedź tę można uzyskać stosując opisaną powyżej technikę polegającą na rozwiązywaniu układu równań liniowych. W tym i poprzednich zadaniach obliczone wartości odległości od linii prostej do punktu prezentowane są w jednostkach odpowiedniego układu współrzędnych.

Odległość punktu od prostej to długość prostopadłej poprowadzonej od punktu do prostej. W geometria opisowa określa się ją graficznie za pomocą poniższego algorytmu.

Algorytm

1. Linia prosta zostaje przesunięta do pozycji, w której będzie równoległa do dowolnej płaszczyzny projekcji. W tym celu stosuje się metody przekształcania rzutów ortogonalnych.
2. Z punktu poprowadzono prostopadłą do prostej. U źródła tej konstrukcji leży twierdzenie o rzucie kąta prostego.
3. Długość prostopadłej wyznacza się poprzez przekształcenie jej rzutów lub metodę trójkąta prostokątnego.

Poniższy rysunek przedstawia złożony rysunek punktu M i linii b, zdefiniowanych przez odcinek CD. Musisz znaleźć odległość między nimi.

Zgodnie z naszym algorytmem pierwszą rzeczą do zrobienia jest przesunięcie linii do pozycji równoległej do płaszczyzny projekcji. Ważne jest, aby zrozumieć, że po przeprowadzeniu przekształceń rzeczywista odległość punktu od linii nie powinna się zmieniać. Dlatego wygodnie jest tutaj zastosować metodę zamiany płaszczyzny, która nie polega na przemieszczaniu figur w przestrzeni.

Poniżej prezentujemy efekty pierwszego etapu budowy. Rysunek pokazuje, jak dodatkowa płaszczyzna czołowa P 4 jest wprowadzona równolegle do b. W nowy system(P 1, P 4) punkty C"" 1, D"" 1, M"" 1 znajdują się w tej samej odległości od osi X 1 co C", D", M"" od osi X.

Realizując drugą część algorytmu, z M"" 1 obniżamy prostopadłą M"" 1 N"" 1 do prostej b"" 1, ponieważ kąt prosty MND pomiędzy b i MN jest rzutowany na płaszczyznę P 4 w pełnym rozmiarze. Korzystając z linii komunikacyjnej wyznaczamy położenie punktu N" i wykonujemy rzut M"N" odcinka MN.

NA Ostatni etap musisz określić rozmiar odcinka MN na podstawie jego rzutów M„N” i M”„ 1 N„” 1. W tym celu budujemy trójkąt prostokątny M"" 1 N"" 1 N 0, którego noga N"" 1 N 0 jest równa różnicy (Y M 1 – Y N 1) odległości punktów M" i N" od osi X1. Długość przeciwprostokątnej M”” 1 N 0 trójkąta M”” 1 N”” 1 N 0 odpowiada pożądanej odległości od M do b.

Drugie rozwiązanie

• Równolegle do CD wprowadzamy nową płaszczyznę czołową P 4. Przecina P 1 wzdłuż osi X 1 i X 1 ∥C"D". Zgodnie ze sposobem zastępowania płaszczyzn wyznaczamy rzuty punktów C"" 1, D"" 1 i M"" 1, jak pokazano na rysunku.
• Prostopadle do C"" 1 D"" 1 budujemy dodatkową płaszczyznę poziomą P 5, na którą rzutowana jest prosta b do punktu C" 2 = b" 2.
• Odległość między punktem M a linią b wyznacza długość odcinka M" 2 C" 2, zaznaczonego na czerwono.

Podobne zadania:

Och, och, och, och… no cóż, jest ciężko, jakby sam sobie czytał zdanie =) Jednak relaks przyda się później, tym bardziej, że dzisiaj kupiłem odpowiednie akcesoria. Przejdźmy zatem do pierwszej części, mam nadzieję, że do końca artykułu utrzymam pogodny nastrój.

Względne położenie dwóch linii prostych

Dzieje się tak, gdy publiczność śpiewa razem z chórem. Dwie linie proste mogą:

1) mecz;

2) być równoległe: ;

3) lub przecinają się w jednym punkcie: .

Pomoc dla manekinów : Proszę pamiętać o matematycznym znaku przecięcia, będzie on pojawiał się bardzo często. Oznaczenie oznacza, że ​​linia przecina się z linią w punkcie .

Jak określić względne położenie dwóch linii?

Zacznijmy od pierwszego przypadku:

Dwie linie pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im współczynniki są proporcjonalne, czyli istnieje liczba „lambda”, która spełnia równość

Rozważmy linie proste i utwórz trzy równania z odpowiednich współczynników: . Z każdego równania wynika, że ​​zatem te linie się pokrywają.

Rzeczywiście, jeśli wszystkie współczynniki równania pomnóż przez –1 (zmień znak) i wszystkie współczynniki równania po przecięciu przez 2 otrzymasz to samo równanie: .

Drugi przypadek, gdy linie są równoległe:

Dwie linie są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych są proporcjonalne: , Ale.

Jako przykład rozważmy dwie linie proste. Sprawdzamy proporcjonalność odpowiednich współczynników dla zmiennych:

Jednakże jest to całkiem oczywiste.

I trzeci przypadek, gdy linie się przecinają:

Dwie linie przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych NIE są proporcjonalne, czyli NIE ma takiej wartości „lambda”, aby równości były spełnione

Zatem dla prostych stworzymy układ:

Z pierwszego równania wynika, że ​​, a z drugiego równania: , co oznacza system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem współczynniki zmiennych nie są proporcjonalne.

Wniosek: linie się przecinają

W przypadku problemów praktycznych można skorzystać z omówionego właśnie schematu rozwiązania. Nawiasem mówiąc, bardzo przypomina algorytm sprawdzania wektorów pod kątem współliniowości, który oglądaliśmy na zajęciach Pojęcie liniowej (nie)zależności wektorów. Baza wektorów. Ale jest bardziej cywilizowane opakowanie:

Przykład 1

Znajdź względne położenie linii:

Rozwiązanie na podstawie badania wektorów kierunku prostych:

a) Z równań znajdujemy wektory kierunkowe linii: .

, co oznacza, że ​​wektory nie są współliniowe, a linie przecinają się.

Na wszelki wypadek postawię na skrzyżowaniu kamień z napisami:

Reszta przeskakuje kamień i podąża dalej, prosto do Nieśmiertelnego Kaszczeja =)

b) Znajdź wektory kierunkowe linii:

Linie mają ten sam wektor kierunkowy, co oznacza, że ​​są równoległe lub pokrywają się. Nie ma tu potrzeby liczenia wyznacznika.

Jest oczywiste, że współczynniki niewiadomych są proporcjonalne, a .

Sprawdźmy, czy równość jest prawdziwa:

Zatem,

c) Znajdź wektory kierunkowe linii:

Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów:
dlatego wektory kierunkowe są współliniowe. Linie są równoległe lub pokrywają się.

Współczynnik proporcjonalności „lambda” można łatwo zobaczyć bezpośrednio ze stosunku współliniowych wektorów kierunkowych. Można to jednak również znaleźć na podstawie współczynników samych równań: .

Sprawdźmy teraz, czy równość jest prawdziwa. Obydwa wolne terminy mają wartość zerową, więc:

Wynikowa wartość spełnia to równanie (na ogół spełnia je dowolna liczba).

W ten sposób linie się pokrywają.

Odpowiedź:

Już wkrótce nauczysz się (a nawet już nauczyłeś się), jak rozwiązać problem omawiany ustnie dosłownie w ciągu kilku sekund. W związku z tym nie widzę sensu proponowania czegokolwiek w zamian za samodzielne rozwiązanie, lepiej włożyć w geometryczny fundament kolejną ważną cegłę:

Jak skonstruować prostą równoległą do danej?

Za nieznajomość tego najprostszego zadania Słowik Zbójca surowo karze.

Przykład 2

Linię prostą wyznacza równanie. Napisz równanie prostej równoległej przechodzącej przez ten punkt.

Rozwiązanie: Oznaczmy nieznaną linię literą . Co mówi o niej ten stan? Prosta przechodzi przez ten punkt. A jeśli linie są równoległe, to oczywiste jest, że wektor kierunkowy linii prostej „tse” nadaje się również do zbudowania linii prostej „de”.

Wyciągamy wektor kierunkowy z równania:

Odpowiedź:

Przykładowa geometria wygląda prosto:

Testowanie analityczne składa się z następujących kroków:

1) Sprawdzamy, czy proste mają ten sam wektor kierunkowy (jeśli równanie prostej nie zostanie odpowiednio uproszczone, to wektory będą współliniowe).

2) Sprawdź, czy punkt spełnia otrzymane równanie.

W większości przypadków badania analityczne można łatwo przeprowadzić ustnie. Spójrz na te dwa równania, a wielu z Was szybko określi równoległość linii bez żadnego rysunku.

Przykłady samodzielnych rozwiązań będą dziś kreatywne. Bo nadal będziesz musiał konkurować z Babą Jagą, a ona, jak wiadomo, jest miłośniczką wszelkiego rodzaju zagadek.

Przykład 3

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt równoległy do ​​prostej jeśli

Istnieje racjonalny i niezbyt racjonalny sposób rozwiązania tego problemu. Najkrótsza droga jest na końcu lekcji.

Pracowaliśmy trochę z liniami równoległymi i wrócimy do nich później. Przypadek zbiegających się linii jest mało interesujący, więc rozważmy problem, który jest ci znany program nauczania:

Jak znaleźć punkt przecięcia dwóch linii?

Jeśli prosto przecinają się w punkcie , to jego współrzędne są rozwiązaniem układy równań liniowych

Jak znaleźć punkt przecięcia prostych? Rozwiąż system.

Proszę bardzo znaczenie geometryczne układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi- są to dwie przecinające się (najczęściej) linie na płaszczyźnie.

Przykład 4

Znajdź punkt przecięcia linii

Rozwiązanie: Istnieją dwa sposoby rozwiązania - graficzny i analityczny.

Metoda graficzna polega po prostu na narysowaniu podanych linii i ustaleniu punktu przecięcia bezpośrednio z rysunku:

Oto nasz punkt widzenia: . Aby to sprawdzić należy podstawić jego współrzędne do każdego równania prostej, powinny pasować zarówno tam, jak i tam. Innymi słowy, współrzędne punktu są rozwiązaniem układu. Zasadniczo przyjrzeliśmy się rozwiązaniu graficznemu układy równań liniowych z dwoma równaniami i dwiema niewiadomymi.

Metoda graficzna nie jest oczywiście zła, ale zauważalne są wady. Nie, nie chodzi o to, że siódmoklasiści tak decydują, chodzi o to, że stworzenie prawidłowego i DOKŁADNEGO rysunku zajmie trochę czasu. Poza tym niektóre linie proste nie są tak łatwe do skonstruowania, a sam punkt przecięcia może znajdować się gdzieś w trzydziestym królestwie poza kartką zeszytu.

Dlatego bardziej celowe jest poszukiwanie punktu przecięcia Metoda analityczna. Rozwiążmy układ:

Do rozwiązania układu wykorzystano metodę dodawania równań wyraz po wyrazie. Aby rozwinąć odpowiednie umiejętności, weź lekcję Jak rozwiązać układ równań?

Odpowiedź:

Sprawdzenie jest banalne – współrzędne punktu przecięcia muszą spełniać każde równanie układu.

Przykład 5

Znajdź punkt przecięcia prostych, jeśli się przecinają.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Wygodnie jest podzielić zadanie na kilka etapów. Analiza warunku sugeruje, że konieczne jest:
1) Zapisz równanie prostej.
2) Zapisz równanie prostej.
3) Znajdź względne położenie linii.
4) Jeśli linie przecinają się, znajdź punkt przecięcia.

Opracowanie algorytmu działania jest typowe dla wielu problemów geometrycznych i będę się na tym wielokrotnie skupiał.

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji:

Zanim dotarliśmy do drugiej części lekcji, nie zużyła się nawet para butów:

Prostopadłe linie. Odległość punktu od linii.
Kąt pomiędzy liniami prostymi

Zacznijmy od typowego i bardzo ważnego zadania. W pierwszej części nauczyliśmy się budować linię prostą równoległą do tej, a teraz chatka na udkach kurczaka obróci się o 90 stopni:

Jak skonstruować prostą prostopadłą do danej?

Przykład 6

Linię prostą wyznacza równanie. Zapisz równanie prostopadłe do prostej przechodzącej przez ten punkt.

Rozwiązanie: Pod warunkiem wiadomo , że . Byłoby miło znaleźć wektor kierujący linii. Ponieważ linie są prostopadłe, sztuczka jest prosta:

Z równania „usuwamy” wektor normalny: , który będzie wektorem kierującym prostej.

Ułóżmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku:

Odpowiedź:

Rozwińmy szkic geometryczny:

Hmmm... Pomarańczowe niebo, pomarańczowe morze, pomarańczowy wielbłąd.

Analityczna weryfikacja rozwiązania:

1) Wyciągamy wektory kierunkowe z równań i z pomocą Iloczyn skalarny wektorów dochodzimy do wniosku, że proste są rzeczywiście prostopadłe: .

Nawiasem mówiąc, możesz użyć normalnych wektorów, jest to jeszcze łatwiejsze.

2) Sprawdź, czy punkt spełnia otrzymane równanie .

Test ponownie można łatwo przeprowadzić ustnie.

Przykład 7

Znajdź punkt przecięcia prostych prostopadłych, jeśli równanie jest znane i okres.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Problem obejmuje kilka działań, dlatego wygodnie jest formułować rozwiązanie punkt po punkcie.

Nasza ekscytująca podróż trwa:

Odległość od punktu do linii

Przed nami prosty pas rzeki i naszym zadaniem jest dotarcie do niego najkrótszą drogą. Nie ma żadnych przeszkód, a najbardziej optymalną trasą będzie poruszanie się po prostopadle. Oznacza to, że odległość punktu od linii to długość odcinka prostopadłego.

Odległość w geometrii tradycyjnie oznacza się grecką literą „rho”, na przykład: – odległość od punktu „em” do prostej „de”.

Odległość od punktu do linii wyrażone wzorem

Przykład 8

Znajdź odległość punktu od linii

Rozwiązanie: wystarczy ostrożnie podstawić liczby do wzoru i wykonać obliczenia:

Odpowiedź:

Zróbmy rysunek:

Znaleziona odległość punktu od linii jest dokładnie równa długości czerwonego odcinka. Jeśli narysujesz rysunek na papierze w kratkę w skali 1 jednostki. = 1 cm (2 komórki), wówczas odległość można zmierzyć zwykłą linijką.

Rozważmy inne zadanie oparte na tym samym rysunku:

Zadanie polega na znalezieniu współrzędnych punktu, który jest symetryczny względem punktu względem prostej . Sugeruję wykonanie kroków samodzielnie, ale przedstawię algorytm rozwiązania z wynikami pośrednimi:

1) Znajdź linię prostopadłą do tej linii.

2) Znajdź punkt przecięcia linii: .

Obydwa działania zostały szczegółowo omówione w tej lekcji.

3) Punkt jest środkiem odcinka. Znamy współrzędne środka i jednego z końców. Przez wzory na współrzędne środka odcinka znaleźliśmy .

Dobrze byłoby sprawdzić, czy odległość wynosi również 2,2 jednostki.

Mogą się tu pojawić trudności w obliczeniach, ale w wieży bardzo pomocny jest mikrokalkulator, pozwalający policzyć ułamki zwykłe. Doradzałem już wiele razy i będę polecał jeszcze raz.

Jak znaleźć odległość między dwiema równoległymi liniami?

Przykład 9

Znajdź odległość między dwiema równoległymi liniami

To kolejny przykład, który możesz podjąć samodzielnie. Dam ci małą wskazówkę: istnieje nieskończenie wiele sposobów rozwiązania tego problemu. Podsumowanie lekcji na koniec lekcji, ale lepiej spróbować zgadnąć samodzielnie, myślę, że twoja pomysłowość była dobrze rozwinięta.

Kąt między dwiema prostymi

Każdy narożnik jest ościeżem:


W geometrii za kąt pomiędzy dwiema prostymi przyjmuje się MNIEJSZY kąt, z czego automatycznie wynika, że ​​nie może być rozwarty. Na rysunku kąt wskazany przez czerwony łuk nie jest uważany za kąt pomiędzy przecinającymi się liniami. I jego „zielony” sąsiad lub zorientowany przeciwnie kącik „malinowy”.

Jeśli linie są prostopadłe, to dowolny z 4 kątów można przyjąć jako kąt między nimi.

Czym różnią się kąty? Orientacja. Po pierwsze, kierunek, w którym kąt jest „przewijany”, ma fundamentalne znaczenie. Po drugie, kąt zorientowany negatywnie jest zapisywany znakiem minus, na przykład jeśli .

Dlaczego ci to powiedziałem? Wydaje się, że możemy obejść się przy zwykłym pojęciu kąta. Faktem jest, że wzory, dzięki którym znajdziemy kąty, mogą łatwo dać wynik ujemny i nie powinno Cię to dziwić. Kąt ze znakiem minus nie jest gorszy i ma bardzo specyficzne znaczenie geometryczne. Na rysunku dla kąta ujemnego należy wskazać jego orientację strzałką (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

Jak znaleźć kąt między dwiema liniami prostymi? Istnieją dwie działające formuły:

Przykład 10

Znajdź kąt między liniami

Rozwiązanie I Metoda pierwsza

Rozważmy dwie linie proste określone równaniami w postaci ogólnej:

Jeśli prosto nie prostopadle, To zorientowany Kąt między nimi można obliczyć ze wzoru:

Zwróćmy szczególną uwagę na mianownik - dokładnie tak produkt skalarny wektory kierujące prostych:

Jeśli , to mianownik wzoru wyniesie zero, a wektory będą ortogonalne, a proste będą prostopadłe. Dlatego też zgłoszono zastrzeżenie dotyczące nieprostopadłości linii prostych w sformułowaniu.

W związku z powyższym wygodnie jest sformalizować rozwiązanie w dwóch etapach:

1) Obliczmy iloczyn skalarny wektorów kierunkowych prostych:
, co oznacza, że ​​linie nie są prostopadłe.

2) Znajdź kąt między prostymi, korzystając ze wzoru:

Używając funkcja odwrotnaŁatwo jest znaleźć sam róg. W tym przypadku używamy nieparzystości arcustangens (patrz. Wykresy i własności funkcji elementarnych):

Odpowiedź:

W odpowiedzi wskazujemy Dokładna wartość, a także wartość przybliżoną (najlepiej w stopniach i radianach), obliczoną za pomocą kalkulatora.

No cóż, minus, minus, nic wielkiego. Oto ilustracja geometryczna:

Nic dziwnego, że kąt okazał się mieć negatywną orientację, ponieważ w opisie problemu pierwsza liczba jest linią prostą i właśnie od niej rozpoczęło się „odkręcanie” kąta.

Jeśli naprawdę chcesz uzyskać kąt dodatni, musisz zamienić linie, to znaczy wziąć współczynniki z drugiego równania i weź współczynniki z pierwszego równania. Krótko mówiąc, musisz zacząć od bezpośredniego .

Pierwszy poziom

Współrzędne i wektory. Kompleksowy przewodnik (2019)

W tym artykule zaczniemy omawiać jedną „magiczną różdżkę”, która pozwoli Ci zredukować wiele problemów geometrycznych do prostej arytmetyki. Ten „kij” może znacznie ułatwić Ci życie, zwłaszcza gdy nie masz pewności co do konstruowania figur przestrzennych, przekrojów itp. Wszystko to wymaga pewnej wyobraźni i umiejętności praktycznych. Metoda, którą zaczniemy tutaj rozważać, pozwoli ci prawie całkowicie abstrahować od dowolnego rodzaju konstrukcje geometryczne i rozumowanie. Metoda nazywa się „metoda współrzędnych”. W tym artykule rozważymy następujące pytania:

1. Płaszczyzna współrzędnych
2. Punkty i wektory na płaszczyźnie
3. Konstruowanie wektora z dwóch punktów
4. Długość wektora (odległość między dwoma punktami).
5. Współrzędne środka odcinka
6. Produkt skalarny wektory
7. Kąt między dwoma wektorami

Myślę, że już zgadłeś, dlaczego tak nazywa się metoda współrzędnych? Zgadza się, otrzymał tę nazwę, ponieważ operuje nie obiektami geometrycznymi, ale ich charakterystyką numeryczną (współrzędnymi). A sama transformacja, która pozwala przejść od geometrii do algebry, polega na wprowadzeniu układu współrzędnych. Jeśli pierwotna figura była płaska, wówczas współrzędne są dwuwymiarowe, a jeśli figura jest trójwymiarowa, wówczas współrzędne są trójwymiarowe. W tym artykule rozważymy tylko przypadek dwuwymiarowy. A głównym celem artykułu jest nauczenie Cię, jak korzystać z niektórych podstawowych technik metody współrzędnych (czasem okazują się one przydatne przy rozwiązywaniu problemów z planimetrii w Części B egzaminu Unified State Exam). Kolejne dwie części tego tematu poświęcone są omówieniu metod rozwiązywania problemów C2 (zagadnienie stereometrii).

Od czego logiczne byłoby rozpoczęcie dyskusji na temat metody współrzędnych? Prawdopodobnie z koncepcji układu współrzędnych. Przypomnij sobie, kiedy spotkałeś ją po raz pierwszy. Wydaje mi się, że w 7. klasie, gdy dowiedziałeś się np. o istnieniu funkcji liniowej. Przypomnę, że budowałeś to punkt po punkcie. Pamiętasz? Wybrałeś dowolną liczbę, podstawiłeś ją do wzoru i obliczyłeś w ten sposób. Na przykład, jeśli, to, jeśli, to itd. Co ostatecznie otrzymałeś? I otrzymałeś punkty ze współrzędnymi: i. Następnie narysowałeś „krzyż” (układ współrzędnych), wybrałeś na nim skalę (ile komórek będziesz miał jako segment jednostkowy) i zaznaczyłeś na nim uzyskane punkty, które następnie połączyłeś linią prostą; otrzymany wynik linia jest wykresem funkcji.

Jest tu kilka punktów, które należy wyjaśnić nieco bardziej szczegółowo:

1. Wybierasz pojedynczy segment ze względu na wygodę, aby wszystko ładnie i zwięźle zmieściło się na rysunku.

2. Przyjmuje się, że oś biegnie od lewej do prawej, a oś biegnie od dołu do góry

3. Przecinają się pod kątem prostym, a punkt ich przecięcia nazywany jest początkiem. Jest to oznaczone literą.

4. Pisząc współrzędne punktu, np. po lewej stronie w nawiasie podaje się współrzędne punktu wzdłuż osi, a po prawej stronie wzdłuż osi. W szczególności oznacza to po prostu, że w danym momencie

5. Aby określić dowolny punkt na osi współrzędnych należy wskazać jego współrzędne (2 cyfry)

6. Dla dowolnego punktu leżącego na osi

7. Dla dowolnego punktu leżącego na osi

8. Oś nazywana jest osią x

9. Oś nazywana jest osią y

Teraz zróbmy kolejny krok: zaznaczmy dwa punkty. Połączmy te dwa punkty odcinkiem. I umieścimy strzałkę tak, jakbyśmy rysowali odcinek od punktu do punktu: to znaczy, że skierujemy nasz odcinek!

Pamiętasz, jak nazywa się inny segment kierunkowy? Zgadza się, nazywa się to wektorem!

Jeśli więc połączymy kropkę z kropką, i początek będzie punktem A, a końcem będzie punkt B, wtedy otrzymamy wektor. Ty też robiłeś tę konstrukcję w 8 klasie, pamiętasz?

Okazuje się, że wektory, podobnie jak punkty, można oznaczyć dwiema liczbami: liczby te nazywane są współrzędnymi wektorowymi. Pytanie: Czy sądzisz, że wystarczy znać współrzędne początku i końca wektora, aby znaleźć jego współrzędne? Okazuje się, że tak! Odbywa się to bardzo prosto:

Zatem, ponieważ w wektorze punkt jest początkiem, a punkt końcem, wektor ma następujące współrzędne:

Na przykład, jeśli, to współrzędne wektora

Teraz zróbmy odwrotnie, znajdź współrzędne wektora. Co musimy w tym celu zmienić? Tak, musisz zamienić początek i koniec: teraz początek wektora będzie w punkcie, a koniec będzie w punkcie. Następnie:

Przyjrzyj się uważnie, jaka jest różnica między wektorami i? Jedyną różnicą są znaki we współrzędnych. Są przeciwieństwami. Fakt ten jest zwykle zapisywany w ten sposób:

Czasami, jeśli nie jest wyraźnie określone, który punkt jest początkiem wektora, a który końcem, wówczas wektory oznacza się nie dwiema dużymi literami, ale jedną małą literą, na przykład: , itp.

Teraz trochę ćwiczyć siebie i znajdź współrzędne następujących wektorów:

Badanie:

Teraz rozwiąż nieco trudniejszy problem:

Wektor mający początek w punkcie ma współ-lub-di-na-ty. Znajdź punkty abs-cis-su.

Wszystko to samo jest dość prozaiczne: niech będą współrzędnymi punktu. Następnie

Skompilowałem system w oparciu o definicję współrzędnych wektorowych. Wtedy punkt ma współrzędne. Nas interesuje odcięta. Następnie

Odpowiedź:

Co jeszcze można zrobić z wektorami? Tak, prawie wszystko jest takie samo jak w przypadku zwykłych liczb (z wyjątkiem tego, że nie można dzielić, ale można pomnożyć na dwa sposoby, z których jeden omówimy tutaj nieco później)

1. Wektory można dodawać do siebie
2. Wektory można od siebie odejmować
3. Wektory można mnożyć (lub dzielić) przez dowolną liczbę niezerową
4. Wektory można mnożyć przez siebie

Wszystkie te operacje mają bardzo wyraźną reprezentację geometryczną. Na przykład zasada trójkąta (lub równoległoboku) dotycząca dodawania i odejmowania:

Wektor rozciąga się, kurczy lub zmienia kierunek po pomnożeniu lub podzieleniu przez liczbę:

Jednak tutaj będziemy zainteresowani pytaniem, co dzieje się ze współrzędnymi.

1. Dodając (odejmując) dwa wektory, dodajemy (odejmujemy) ich współrzędne element po elemencie. To jest:

2. Podczas mnożenia (dzielenia) wektora przez liczbę wszystkie jego współrzędne są mnożone (dzielone) przez tę liczbę:

Na przykład:

· Znajdź ilość co-or-din-nat stulecie-ra.

Najpierw znajdźmy współrzędne każdego z wektorów. Obydwa mają ten sam początek – punkt początkowy. Ich końcówki są inne. Następnie, . Teraz obliczmy współrzędne wektora, wtedy suma współrzędnych wynikowego wektora będzie równa.

Odpowiedź:

Teraz rozwiąż samodzielnie następujący problem:

· Znajdź sumę współrzędnych wektorowych

Sprawdzamy:

Rozważmy teraz następujący problem: mamy dwa punkty na płaszczyźnie współrzędnych. Jak znaleźć odległość między nimi? Niech będzie pierwszy punkt i drugi. Oznaczmy odległość między nimi przez. Dla przejrzystości zróbmy następujący rysunek:

Co ja zrobiłem? Przede wszystkim podłączyłem kropki i, a także z punktu narysowałem linię równoległą do osi, a z punktu narysowałem linię równoległą do osi. Czy przecięły się w jednym punkcie, tworząc niezwykłą figurę? Co jest w niej takiego wyjątkowego? Tak, ty i ja wiemy prawie wszystko o trójkącie prostokątnym. No cóż, na pewno twierdzenie Pitagorasa. Wymagany odcinek to przeciwprostokątna tego trójkąta, a segmenty to nogi. Jakie są współrzędne punktu? Tak, łatwo je znaleźć na obrazku: Ponieważ odcinki są równoległe do osi i odpowiednio ich długości są łatwe do znalezienia: jeśli oznaczymy długości odcinków odpowiednio przez, to

Skorzystajmy teraz z twierdzenia Pitagorasa. Znamy długości nóg, znajdziemy przeciwprostokątną:

Zatem odległość między dwoma punktami jest pierwiastkiem sumy kwadratów różnic ze współrzędnych. Lub - odległość między dwoma punktami to długość łączącego je odcinka. Łatwo zauważyć, że odległość między punktami nie zależy od kierunku. Następnie:

Stąd wyciągamy trzy wnioski:

Poćwiczmy trochę obliczanie odległości między dwoma punktami:

Na przykład, jeśli, to odległość między i jest równa

Albo pójdźmy inną drogą: znajdź współrzędne wektora

I znajdź długość wektora:

Jak widać, to samo!

Teraz poćwicz trochę sam:

Zadanie: znajdź odległość pomiędzy wskazanymi punktami:

Sprawdzamy:

Oto kilka kolejnych problemów wykorzystujących tę samą formułę, chociaż brzmią one nieco inaczej:

1. Znajdź kwadrat długości powieki.

2. Znajdź kwadrat długości powieki

Myślę, że poradziłeś sobie z nimi bez trudności? Sprawdzamy:

1. A to dla uważności) Współrzędne wektorów znaleźliśmy już wcześniej: . Wtedy wektor ma współrzędne. Kwadrat jego długości będzie równy:

2. Znajdź współrzędne wektora

Wtedy kwadrat jego długości wynosi

Nic skomplikowanego, prawda? Prosta arytmetyka, nic więcej.

Poniższych problemów nie można jednoznacznie sklasyfikować, dotyczą one raczej ogólnej erudycji i umiejętności rysowania prostych obrazów.

1. Znajdź sinus kąta odcięcia, łączącego punkt z osią odciętych.

I

Jak będziemy tutaj postępować? Musimy znaleźć sinus kąta pomiędzy i osią. Gdzie możemy szukać sinusa? Zgadza się, w trójkącie prostokątnym. Co więc musimy zrobić? Zbuduj ten trójkąt!

Ponieważ współrzędne punktu to i, to segment jest równy, i segment. Musimy znaleźć sinus kąta. Przypomnę, że sinus to zatem stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej

Co nam pozostało do zrobienia? Znajdź przeciwprostokątną. Można to zrobić na dwa sposoby: korzystając z twierdzenia Pitagorasa (nogi są znane!) lub korzystając ze wzoru na odległość między dwoma punktami (właściwie to samo, co w przypadku pierwszej metody!). Ja pójdę drugą drogą:

Odpowiedź:

Następne zadanie będzie Ci się wydawać jeszcze łatwiejsze. Znajduje się na współrzędnych punktu.

Zadanie 2. Od tego miejsca per-pen-di-ku-lyar jest opuszczany na oś odciętą. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Zróbmy rysunek:

Podstawą prostopadłej jest punkt, w którym przecina ona oś x (oś), dla mnie jest to punkt. Z rysunku wynika, że ​​ma on współrzędne: . Nas interesuje odcięta - czyli składnik „x”. Ona jest równa.

Odpowiedź: .

Zadanie 3. W warunkach poprzedniego zadania znajdź sumę odległości punktu od osi współrzędnych.

Zadanie jest na ogół elementarne, jeśli wiadomo, jaka jest odległość punktu od osi. Wiesz, że? Mam nadzieję, ale i tak przypomnę:

Czy na powyższym rysunku narysowałem już jedną taką prostopadłą? Na której osi się znajduje? Do osi. A jaka jest w takim razie jego długość? Ona jest równa. Teraz samodzielnie narysuj prostopadłą do osi i znajdź jej długość. Będzie równo, prawda? Wtedy ich suma jest równa.

Odpowiedź: .

Zadanie 4. W warunkach zadania 2 znajdź rzędną punktu symetrycznego do punktu względem osi odciętych.

Myślę, że intuicyjnie jest dla ciebie jasne, czym jest symetria? Wiele obiektów to ma: wiele budynków, stołów, samolotów, wiele figury geometryczne: kula, walec, kwadrat, romb itp. Z grubsza symetrię można rozumieć w następujący sposób: figura składa się z dwóch (lub więcej) identycznych połówek. Symetria ta nazywana jest symetrią osiową. Czym zatem jest oś? To jest dokładnie linia, wzdłuż której figurę można, mówiąc relatywnie, „przeciąć” na równe połowy (na tym zdjęciu oś symetrii jest prosta):

Wróćmy teraz do naszego zadania. Wiemy, że szukamy punktu, który jest symetryczny względem osi. Wtedy ta oś jest osią symetrii. Oznacza to, że musimy zaznaczyć taki punkt, aby oś przecięła odcinek na dwie równe części. Spróbuj sam oznaczyć taki punkt. Teraz porównaj z moim rozwiązaniem:

Czy u Ciebie zadziałało to w ten sam sposób? Cienki! Nas interesuje rzędna znalezionego punktu. To jest równe

Odpowiedź:

A teraz powiedz mi, po kilku sekundach zastanowienia, jaka będzie odcięta punktu symetrycznego do punktu A względem rzędnej? Jaka jest twoja odpowiedź? Poprawna odpowiedź: .

Ogólnie regułę można zapisać w następujący sposób:

Punkt symetryczny do punktu względem osi odciętej ma współrzędne:

Punkt symetryczny do punktu względem osi rzędnych ma współrzędne:

Cóż, teraz jest to całkowicie przerażające zadanie: znajdź współrzędne punktu symetrycznego do punktu względem początku układu współrzędnych. Najpierw pomyśl sam, a potem spójrz na mój rysunek!

Odpowiedź:

Teraz problem z równoległobokiem:

Zadanie 5: Punkty pojawiają się ver-shi-na-mi paral-le-lo-gram-ma. Znajdź lub-di-na-tym punkcie.

Problem ten można rozwiązać na dwa sposoby: logicznie i metodą współrzędnych. Najpierw użyję metody współrzędnych, a potem powiem, jak można to rozwiązać inaczej.

Jest całkiem jasne, że odcięta punktu jest równa. (leży na prostopadłej poprowadzonej od punktu do osi odciętych). Musimy znaleźć współrzędną. Skorzystajmy z faktu, że nasza figura jest równoległobokiem, to znaczy, że. Znajdźmy długość odcinka, korzystając ze wzoru na odległość między dwoma punktami:

Opuszczamy prostopadłą łączącą punkt z osią. Punkt przecięcia oznaczę literą.

Długość odcinka jest równa. (sam znajdź problem, w którym omawialiśmy ten punkt), wówczas długość odcinka znajdziemy za pomocą twierdzenia Pitagorasa:

Długość odcinka pokrywa się dokładnie z jego rzędną.

Odpowiedź: .

Inne rozwiązanie (podam tylko zdjęcie ilustrujące to)

Postęp rozwiązania:

1. Postępowanie

2. Znajdź współrzędne punktu i długość

3. Udowodnij to.

Inny Problem z długością segmentu:

Punkty pojawiają się na górze trójkąta. Znajdź długość jego linii środkowej, równoległej.

Czy pamiętasz, jaka jest linia środkowa trójkąta? W takim razie to zadanie jest dla Ciebie elementarne. Jeśli nie pamiętasz, przypomnę: środkowa linia trójkąta to linia łącząca środki przeciwległych boków. Jest równoległy do ​​podstawy i równy jej połowie.

Podstawą jest segment. Musieliśmy wcześniej szukać jego długości, jest równa. Następnie długość linii środkowej jest o połowę mniejsza i równa.

Odpowiedź: .

Komentarz: problem ten można rozwiązać w inny sposób, do którego przejdziemy nieco później.

Tymczasem mam dla Ciebie kilka zadań, poćwicz nad nimi, są bardzo proste, ale pomagają Ci lepiej posługiwać się metodą współrzędnych!

1. Punkty znajdują się na górze tra-pecji. Znajdź długość jego linii środkowej.

2. Punkty i występy ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Znajdź lub-di-na-tym punkcie.

3. Znajdź długość od cięcia, łącząc punkt i

4. Znajdź obszar za kolorową figurą na płaszczyźnie współrzędnych.

5. Przez ten punkt przechodzi okrąg o środku w na-cha-le ko-or-din-nat. Znajdź jej rad-di-nas.

6. Znajdź di-te ra-di-us koła, opisz-san-noy o kącie prostym-no-ka, wierzchołki czegoś mają współ-lub -di-na-jesteś tak odpowiedzialny

Rozwiązania:

1. Wiadomo, że linia środkowa trapezu jest równa połowie sumy jego podstaw. Podstawa jest równa i podstawa. Następnie

Odpowiedź:

2. Najprostszym sposobem rozwiązania tego problemu jest zanotowanie tego (reguła równoległoboku). Obliczanie współrzędnych wektorów nie jest trudne: . Podczas dodawania wektorów dodawane są współrzędne. Następnie ma współrzędne. Punkt ma również te współrzędne, ponieważ początkiem wektora jest punkt o współrzędnych. Nas interesuje rzędna. Ona jest równa.

Odpowiedź:

3. Od razu postępujemy zgodnie ze wzorem na odległość między dwoma punktami:

Odpowiedź:

4. Spójrz na ilustrację i powiedz mi, pomiędzy którymi dwiema postaciami „wciśnięty” jest zacieniony obszar? Jest wciśnięty pomiędzy dwa kwadraty. Następnie obszar pożądanej figury jest równy obszarowi dużego kwadratu minus obszar małego. Bok małego kwadratu to odcinek łączący punkty, a jego długość wynosi

Następnie obszar małego kwadratu wynosi

To samo robimy z dużym kwadratem: jego bok jest odcinkiem łączącym punkty, a jego długość

Następnie obszar dużego kwadratu wynosi

Obszar pożądanej figury znajdujemy za pomocą wzoru:

Odpowiedź:

5. Jeśli okrąg ma początek w środku i przechodzi przez punkt, to jego promień będzie dokładnie równy długości odcinka (zrób rysunek, a zrozumiesz, dlaczego to oczywiste). Znajdźmy długość tego odcinka:

Odpowiedź:

6. Wiadomo, że promień okręgu opisanego na prostokącie jest równy połowie jego przekątnej. Znajdźmy długość dowolnej z dwóch przekątnych (w końcu w prostokącie są one równe!)

Odpowiedź:

No cóż, poradziłeś sobie ze wszystkim? Nie było zbyt trudno to rozgryźć, prawda? Zasada jest tu tylko jedna – umieć stworzyć obraz wizualny i po prostu „odczytać” z niego wszystkie dane.

Niewiele nam zostało. Są jeszcze dwie kwestie, które chciałbym omówić.

Spróbujmy rozwiązać ten prosty problem. Niech dwa punkty zostaną podane. Znajdź współrzędne środka odcinka. Rozwiązanie tego problemu jest następujące: niech punkt będzie pożądanym środkiem, wówczas będzie miał współrzędne:

To jest: współrzędne środka odcinka = średnia arytmetyczna odpowiednich współrzędnych końców odcinka.

Zasada ta jest bardzo prosta i zazwyczaj nie sprawia uczniom trudności. Zobaczmy, jakie problemy i jak się z niego korzysta:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, połącz punkt i

2. Punkty wydają się być na szczycie świata. Znajdź punkty di-te or-di-na-tu per-re-se-che-niya jego dia-go-na-ley.

3. Znajdź di-te abs-cis-su środek okręgu, opisz-san-noy o prostokątnym-nie-ka, wierzchołki czegoś mają współ-lub-di-na-ty tak-odpowiedzialnie-ale.

Rozwiązania:

1. Pierwszy problem jest po prostu klasyczny. Natychmiast przystępujemy do wyznaczania środka odcinka. Ma współrzędne. Rzędna jest równa.

Odpowiedź:

2. Łatwo zauważyć, że ten czworokąt jest równoległobokiem (nawet rombem!). Możesz to sam udowodnić, obliczając długości boków i porównując je ze sobą. Co wiem o równoległobokach? Jego przekątne są podzielone na pół w punkcie przecięcia! Tak! Jaki jest zatem punkt przecięcia przekątnych? To jest środek dowolnej przekątnej! Wybiorę w szczególności przekątną. Wtedy punkt ma współrzędne. Współrzędna punktu jest równa.

Odpowiedź:

3. Z czym pokrywa się środek okręgu opisanego na prostokącie? Pokrywa się z punktem przecięcia jego przekątnych. Co wiesz o przekątnych prostokąta? Są równe i punkt przecięcia dzieli je na pół. Zadanie zostało zredukowane do poprzedniego. Weźmy na przykład przekątną. Zatem jeśli jest środkiem okręgu opisanego, to jest jego środkiem. Szukam współrzędnych: Odcięta jest równa.

Odpowiedź:

Teraz poćwicz trochę sam, podam odpowiedzi na każde pytanie, abyś mógł się sprawdzić.

1. Find-di-te ra-di-us koła, opisz-san-noy o trójkącie-no-ka, wierzchołki czegoś mają co-or-di -no panowie

2. Znajdź di-te lub-di-on-ten środek koła, opisz-san-noy o trójkącie-no-ka, którego wierzchołki mają współrzędne

3. Jakiego rodzaju ra-di-u-sa powinien mieć okrąg ze środkiem w punkcie tak, aby dotykał osi odciętej?

4. Znajdź-te lub-di-na-tym punkcie ponownego oddzielenia osi i od cięcia, połącz punkt i

Odpowiedzi:

Czy wszystko się udało? Naprawdę na to liczę! Teraz - ostatnie pchnięcie. Zachowaj teraz szczególną ostrożność. Materiał, który teraz wyjaśnię, jest bezpośrednio powiązany nie tylko z prostymi problemami metody współrzędnych z Części B, ale można go również znaleźć wszędzie w Zadaniu C2.

Której z moich obietnic jeszcze nie dotrzymałem? Pamiętacie, jakie operacje na wektorach obiecałem wprowadzić, a jakie ostatecznie wprowadziłem? Jesteś pewien, że o niczym nie zapomniałem? Zapomniałem! Zapomniałem wyjaśnić, co oznacza mnożenie wektorów.

Istnieją dwa sposoby pomnożenia wektora przez wektor. W zależności od wybranej metody otrzymamy obiekty o różnym charakterze:

Iloczyn krzyżowy jest wykonany całkiem sprytnie. O tym, jak to zrobić i dlaczego jest to potrzebne, porozmawiamy w następnym artykule. W tym przypadku skupimy się na iloczynie skalarnym.

Obliczamy to na dwa sposoby:

Jak się domyślasz, wynik powinien być taki sam! Przyjrzyjmy się więc najpierw pierwszej metodzie:

Iloczyn kropkowy za pomocą współrzędnych

Znajdź: - ogólnie przyjęty zapis iloczynu skalarnego

Wzór do obliczeń jest następujący:

Oznacza to, że iloczyn skalarny = suma iloczynów współrzędnych wektorowych!

Przykład:

Znajdź-di-te

Rozwiązanie:

Znajdźmy współrzędne każdego z wektorów:

Iloczyn skalarny obliczamy korzystając ze wzoru:

Odpowiedź:

Widzisz, absolutnie nic skomplikowanego!

Cóż, teraz spróbuj sam:

· Znajdź skalarne pro-iz-ve-de-nie stuleci i

Czy udało Ci się? Może zauważyłeś mały haczyk? Sprawdźmy:

Współrzędne wektorowe, jak w poprzednim zadaniu! Odpowiedź: .

Oprócz współrzędnych istnieje inny sposób obliczenia iloczynu skalarnego, a mianowicie poprzez długości wektorów i cosinus kąta między nimi:

Oznacza kąt między wektorami i.

Oznacza to, że iloczyn skalarny jest równy iloczynowi długości wektorów i cosinusa kąta między nimi.

Po co nam ta druga formuła, skoro mamy pierwszą, która jest znacznie prostsza, to przynajmniej nie ma w niej cosinusów. I jest to potrzebne, abyśmy z pierwszego i drugiego wzoru mogli wywnioskować, jak znaleźć kąt między wektorami!

Niech zatem zapamiętamy wzór na długość wektora!

Następnie, jeśli podstawię te dane do wzoru na iloczyn skalarny, otrzymam:

Ale w inny sposób:

Więc co ty i ja dostaliśmy? Mamy teraz wzór, który pozwala nam obliczyć kąt między dwoma wektorami! Czasami dla zwięzłości zapisano to również w ten sposób:

Oznacza to, że algorytm obliczania kąta między wektorami jest następujący:

1. Oblicz iloczyn skalarny za pomocą współrzędnych
2. Znajdź długości wektorów i pomnóż je
3. Wynik z punktu 1 podziel przez wynik z punktu 2

Poćwiczmy na przykładach:

1. Znajdź kąt między powiekami i. Podaj odpowiedź w grad-du-sah.

2. W warunkach poprzedniego zadania znajdź cosinus między wektorami

Zróbmy tak: pomogę Ci rozwiązać pierwszy problem, a drugi spróbuj zrobić sam! Zgadzać się? Zatem zaczynajmy!

1. Te wektory to nasi starzy przyjaciele. Obliczyliśmy już ich iloczyn skalarny i był równy. Ich współrzędne to: , . Następnie znajdujemy ich długości:

Następnie szukamy cosinusa między wektorami:

Jaki jest cosinus kąta? To jest róg.

Odpowiedź:

Cóż, teraz rozwiąż sam drugi problem, a następnie porównaj! Podam tylko bardzo krótkie rozwiązanie:

2. ma współrzędne, ma współrzędne.

Niech będzie kątem między wektorami i, a następnie

Odpowiedź:

Należy zauważyć, że problemy bezpośrednio na wektorach i metodzie współrzędnych w części B arkusz egzaminacyjny dość rzadkie. Jednak zdecydowaną większość problemów C2 można łatwo rozwiązać poprzez wprowadzenie układu współrzędnych. Można więc potraktować ten artykuł jako podstawę, na podstawie której wykonamy całkiem sprytne konstrukcje, które będą nam potrzebne do rozwiązania skomplikowanych problemów.

WSPÓŁRZĘDNE I WEKTORY. ŚREDNI POZIOM

Ty i ja kontynuujemy naukę metody współrzędnych. W ostatniej części wyprowadziliśmy szereg ważnych formuł, które pozwalają na:

1. Znajdź współrzędne wektora
2. Znajdź długość wektora (alternatywnie: odległość między dwoma punktami)
3. Dodawanie i odejmowanie wektorów. Pomnóż je przez liczbę rzeczywistą
4. Znajdź środek odcinka
5. Oblicz iloczyn skalarny wektorów
6. Znajdź kąt między wektorami

Oczywiście cała metoda współrzędnych nie mieści się w tych 6 punktach. Leży u podstaw takiej nauki jak geometria analityczna, z którą zapoznasz się na studiach. Chcę tylko zbudować fundament, który pozwoli rozwiązać problemy w jednym państwie. egzamin. Zajęliśmy się zadaniami z Części B. Teraz czas przejść na zupełnie nowy poziom! Artykuł ten zostanie poświęcony metodzie rozwiązywania tych problemów C2, w których zasadne byłoby przejście na metodę współrzędnych. O tej racjonalności decyduje to, co należy znaleźć w zadaniu i jaka liczba jest podana. Użyłbym więc metody współrzędnych, jeśli pytania brzmią:

1. Znajdź kąt między dwiema płaszczyznami
2. Znajdź kąt między linią prostą a płaszczyzną
3. Znajdź kąt między dwiema prostymi
4. Znajdź odległość punktu od płaszczyzny
5. Znajdź odległość punktu od linii
6. Znajdź odległość prostej od płaszczyzny
7. Znajdź odległość między dwiema liniami

Jeśli figura podana w opisie problemu jest ciałem obrotowym (kula, cylinder, stożek...)

Odpowiednie liczby dla metody współrzędnych to:

1. Prostokątny równoległościan
2. Piramida (trójkątna, czworokątna, sześciokątna)

Również z mojego doświadczenia niewłaściwe jest używanie metody współrzędnych dla:

1. Znajdowanie obszarów przekroju
2. Obliczanie objętości ciał

Należy jednak od razu zaznaczyć, że trzy „niekorzystne” sytuacje dla metody współrzędnych występują w praktyce dość rzadko. W większości zadań może stać się Twoim wybawieniem, zwłaszcza jeśli nie jesteś zbyt dobry w konstrukcjach trójwymiarowych (które czasami mogą być dość skomplikowane).

Jakie są wszystkie liczby, które wymieniłem powyżej? Nie są już płaskie, jak na przykład kwadrat, trójkąt, koło, ale obszerne! W związku z tym musimy rozważyć nie dwuwymiarowy, ale trójwymiarowy układ współrzędnych. Jest to dość proste w konstrukcji: oprócz osi odciętej i rzędnych wprowadzimy jeszcze jedną oś, oś aplikacyjną. Rysunek schematycznie pokazuje ich względne położenie:

Wszystkie są wzajemnie prostopadłe i przecinają się w jednym punkcie, który nazwiemy początkiem współrzędnych. Tak jak poprzednio, będziemy oznaczać oś odciętych, oś rzędnych - , oraz wprowadzoną oś zastosowania - .

Jeżeli poprzednio każdy punkt na płaszczyźnie charakteryzowano dwiema liczbami – odciętą i rzędną, to każdy punkt w przestrzeni jest już opisany trzema liczbami – odciętą, rzędną i aplikacją. Na przykład:

W związku z tym odcięta punktu jest równa, rzędna wynosi , a zastosowanie wynosi .

Czasami odciętą punktu nazywa się także rzutem punktu na oś odciętych, rzędną - rzutem punktu na oś rzędnych, a aplikatą - rzutem punktu na oś aplikowaną. Odpowiednio, jeśli podany jest punkt, to punkt o współrzędnych:

nazywa się rzutem punktu na płaszczyznę

nazywa się rzutem punktu na płaszczyznę

Powstaje naturalne pytanie: czy wszystkie wzory wyprowadzone dla przypadku dwuwymiarowego obowiązują w przestrzeni? Odpowiedź brzmi: tak, są uczciwe i mają taki sam wygląd. Dla małego szczegółu. Myślę, że już zgadłeś, który to. We wszystkich wzorach będziemy musieli dodać jeszcze jeden człon odpowiedzialny za oś zastosowania. Mianowicie.

1. Jeżeli dane są dwa punkty: , to:

• Współrzędne wektora:
• Odległość między dwoma punktami (lub długość wektora)
• Środek odcinka ma współrzędne

2. Jeżeli dane są dwa wektory: i, to:

• Ich iloczyn skalarny jest równy:
• Cosinus kąta między wektorami jest równy:

Jednak przestrzeń nie jest taka prosta. Jak rozumiesz, dodanie jeszcze jednej współrzędnej wprowadza znaczne zróżnicowanie w spektrum postaci „żyjących” w tej przestrzeni. A dla dalszej narracji będę musiał wprowadzić pewne, z grubsza rzecz ujmując, „uogólnienie” linii prostej. To „uogólnienie” będzie płaszczyzną. Co wiesz o samolocie? Spróbuj odpowiedzieć na pytanie, czym jest samolot? Bardzo trudno powiedzieć. Jednak wszyscy intuicyjnie wyobrażamy sobie, jak to wygląda:

Z grubsza rzecz biorąc, jest to rodzaj nieskończonej „arkusza” wklejonej w przestrzeń. Przez „nieskończoność” należy rozumieć, że płaszczyzna rozciąga się we wszystkich kierunkach, to znaczy jej powierzchnia jest równa nieskończoności. Jednak to „praktyczne” wyjaśnienie nie daje najmniejszego pojęcia o budowie samolotu. I to ona będzie nami zainteresowana.

Przypomnijmy sobie jeden z podstawowych aksjomatów geometrii:

• We dwóch różne punkty na płaszczyźnie jest prosta i tylko jedna:

Lub jego odpowiednik w przestrzeni:

Oczywiście pamiętasz, jak wyprowadzić równanie prostej z dwóch danych punktów, nie jest to wcale trudne: jeśli pierwszy punkt ma współrzędne: a drugi, to równanie prostej będzie wyglądało następująco:

Robiłeś to w 7 klasie. W przestrzeni równanie prostej wygląda następująco: dajmy sobie dwa punkty o współrzędnych: , wówczas równanie prostej przechodzącej przez nie ma postać:

Na przykład linia przechodzi przez punkty:

Jak należy to rozumieć? Należy to rozumieć następująco: punkt leży na prostej, jeżeli jego współrzędne odpowiadają układowi:

Równanie prostej nie będzie nas zbytnio interesować, ale na to trzeba zwrócić uwagę ważna koncepcja kierując wektorem linię prostą. - dowolny niezerowy wektor leżący na danej linii lub do niej równoległy.

Na przykład oba wektory są wektorami kierunkowymi linii prostej. Niech będzie punktem leżącym na prostej i niech będzie jego wektorem kierunku. Wówczas równanie prostej można zapisać w postaci:

Powtórzę jeszcze raz: nie będę specjalnie zainteresowany równaniem linii prostej, ale naprawdę musisz pamiętać, czym jest wektor kierunkowy! Ponownie: jest to DOWOLNY niezerowy wektor leżący na linii lub do niej równoległy.

Wycofać równanie płaszczyzny na podstawie trzech danych punktów nie jest już tak trywialne i zazwyczaj ta kwestia nie jest poruszana na kursach Liceum. Ale na próżno! Technika ta jest niezbędna, gdy do rozwiązywania złożonych problemów uciekamy się do metody współrzędnych. Zakładam jednak, że chcesz nauczyć się czegoś nowego? Co więcej, będziesz w stanie zaimponować swojemu nauczycielowi na uniwersytecie, gdy okaże się, że potrafisz już zastosować technikę, której zwykle uczy się na kursie z geometrii analitycznej. Więc zacznijmy.

Równanie płaszczyzny nie różni się zbytnio od równania prostej na płaszczyźnie, a mianowicie ma postać:

niektóre liczby (nie wszystkie równe zero), ale zmienne, na przykład: itp. Jak widać, równanie płaszczyzny nie różni się zbytnio od równania linii prostej (funkcja liniowa). Pamiętasz jednak, o czym ty i ja się pokłóciliśmy? Powiedzieliśmy, że jeśli mamy trzy punkty, które nie leżą na tej samej prostej, to równanie płaszczyzny można z nich jednoznacznie zrekonstruować. Ale jak? Spróbuję ci to wyjaśnić.

Ponieważ równanie płaszczyzny ma postać:

A punkty należą do tej płaszczyzny, to podstawiając współrzędne każdego punktu do równania płaszczyzny powinniśmy otrzymać poprawną tożsamość:

Zatem istnieje potrzeba rozwiązania trzech równań z niewiadomymi! Dylemat! Zawsze jednak możesz tak założyć (aby to zrobić, musisz podzielić przez). W ten sposób otrzymujemy trzy równania z trzema niewiadomymi:

Nie rozwiążemy jednak takiego układu, ale zapiszemy tajemnicze wyrażenie, które z niego wynika:

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty

\[\lewo| (\begin(tablica)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(tablica)) \right| = 0\]

Zatrzymywać się! Co to jest? Jakiś bardzo nietypowy moduł! Jednak obiekt, który widzisz przed sobą, nie ma nic wspólnego z modułem. Obiekt ten nazywany jest wyznacznikiem trzeciego rzędu. Odtąd, gdy będziesz miał do czynienia z metodą współrzędnych na płaszczyźnie, bardzo często będziesz spotykał się z tymi samymi wyznacznikami. Co to jest wyznacznik trzeciego rzędu? Co dziwne, to tylko liczba. Pozostaje zrozumieć, jaką konkretną liczbę porównamy z wyznacznikiem.

Zapiszmy najpierw wyznacznik trzeciego rzędu w bardziej ogólnej formie:

Gdzie są jakieś liczby. Ponadto przez pierwszy indeks rozumiemy numer wiersza, a przez indeks numer kolumny. Oznacza to na przykład, że podany numer stoi na przecięciu drugiego rzędu i trzeciej kolumny. Zadajmy sobie pytanie: jak dokładnie obliczymy taki wyznacznik? To znaczy, jaką konkretną liczbę z nią porównamy? Dla wyznacznika trzeciego rzędu obowiązuje heurystyczna (wizualna) reguła trójkąta, która wygląda następująco:

1. Iloczyn elementów głównej przekątnej (od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu) Iloczyn elementów tworzących pierwszy trójkąt „prostopadle” do głównej przekątnej iloczyn elementów drugiego trójkąta „prostopadle” do główna przekątna
2. Iloczyn elementów drugiej przekątnej (od prawego górnego rogu do lewego dolnego rogu) Iloczyn elementów tworzących pierwszy trójkąt „prostopadle” do drugiej przekątnej iloczyn elementów drugiego trójkąta „prostopadle” do przekątna wtórna
3. Następnie wyznacznik jest równy różnicy między wartościami uzyskanymi w kroku i

Jeśli zapiszemy to wszystko w liczbach, otrzymamy następujące wyrażenie:

Jednak nie trzeba pamiętać sposobu liczenia w tej formie, wystarczy po prostu zachować w głowie trójkąty i samo pojęcie, co się do czego dodaje, a co następnie od czego odejmuje).

Zilustrujmy metodę trójkąta na przykładzie:

1. Oblicz wyznacznik:

Zastanówmy się, co dodajemy, a co odejmujemy:

Terminy z plusem:

To jest główna przekątna: iloczyn elementów jest równy

Pierwszy trójkąt „prostopadły do ​​głównej przekątnej: iloczyn elementów jest równy

Drugi trójkąt „prostopadły do ​​głównej przekątnej: iloczyn elementów jest równy

Dodaj trzy liczby:

Terminy z minusem

To jest przekątna boczna: iloczyn elementów jest równy

Pierwszy trójkąt „prostopadły do ​​drugiej przekątnej: iloczyn elementów jest równy

Drugi trójkąt „prostopadły do ​​drugiej przekątnej: iloczyn elementów jest równy

Dodaj trzy liczby:

Wszystko, co pozostaje do zrobienia, to odjąć sumę wyrazów „plus” od sumy wyrazów „minus”:

Zatem,

Jak widać, w obliczaniu wyznaczników trzeciego rzędu nie ma nic skomplikowanego ani nadprzyrodzonego. Ważne jest tylko, aby pamiętać o trójkątach i nie popełniać błędów arytmetycznych. Teraz spróbuj obliczyć to samodzielnie:

Sprawdzamy:

1. Pierwszy trójkąt prostopadły do ​​głównej przekątnej:
2. Drugi trójkąt prostopadły do ​​głównej przekątnej:
3. Suma wyrazów z plusem:
4. Pierwszy trójkąt prostopadły do ​​drugiej przekątnej:
5. Drugi trójkąt prostopadły do ​​przekątnej boku:
6. Suma wyrazów z minusem:
7. Suma wyrazów z plusem minus suma wyrazów z minusem:

Oto jeszcze kilka wyznaczników, sam oblicz ich wartości i porównaj z odpowiedziami:

Odpowiedzi:

Cóż, czy wszystko się zbiegło? Świetnie, możesz iść dalej! Jeśli pojawią się trudności, moja rada jest następująca: w Internecie istnieje wiele programów do obliczania wyznacznika online. Wystarczy wymyślić własny wyznacznik, samodzielnie go obliczyć, a następnie porównać z tym, co obliczy program. I tak dalej, aż wyniki zaczną się pokrywać. Jestem pewien, że ten moment nie zajmie dużo czasu!

Wróćmy teraz do wyznacznika, który zapisałem, gdy mówiłem o równaniu płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty:

Wystarczy bezpośrednio obliczyć jego wartość (metodą trójkąta) i ustawić wynik na zero. Naturalnie, ponieważ są to zmienne, otrzymasz wyrażenie zależne od nich. To właśnie to wyrażenie będzie równaniem płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty, które nie leżą na tej samej prostej!

Zilustrujmy to prostym przykładem:

1. Konstruuj równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty

Zestawiamy wyznacznik dla tych trzech punktów:

Uprośćmy:

Teraz obliczamy to bezpośrednio, korzystając z reguły trójkąta:

\[(\left| (\begin(tablica)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(tablica)) \ prawo| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Zatem równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty ma postać:

Teraz spróbuj samodzielnie rozwiązać jeden problem, a następnie omówimy go:

2. Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty

Cóż, omówmy teraz rozwiązanie:

Stwórzmy wyznacznik:

I oblicz jego wartość:

Wtedy równanie płaszczyzny ma postać:

Lub redukując przez otrzymujemy:

Teraz dwa zadania do samokontroli:

1. Skonstruuj równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty:

Odpowiedzi:

Czy wszystko się zbiegło? Ponownie, jeśli pojawią się pewne trudności, moja rada jest następująca: zabierz z głowy trzy punkty (z dużym prawdopodobieństwem nie będą one leżeć na tej samej linii prostej), zbuduj na ich podstawie samolot. A potem sprawdzasz siebie w Internecie. Na przykład na stronie:

Jednak za pomocą wyznaczników skonstruujemy nie tylko równanie płaszczyzny. Pamiętaj, mówiłem, że dla wektorów definiuje się nie tylko iloczyn skalarny. Istnieje również produkt wektorowy, a także produkt mieszany. A jeśli iloczyn skalarny dwóch wektorów jest liczbą, to iloczyn wektorowy dwóch wektorów będzie wektorem, a wektor ten będzie prostopadły do ​​danych:

Co więcej, jego moduł będzie równy powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach i. Będziemy potrzebować tego wektora do obliczenia odległości punktu od linii. Jak możemy obliczyć iloczyn wektorowy wektorów i czy są podane ich współrzędne? Z pomocą znowu przychodzi nam wyznacznik trzeciego rzędu. Zanim jednak przejdę do algorytmu obliczania iloczynu wektorowego muszę zrobić małą dygresję.

Ta dygresja dotyczy wektorów bazowych.

Schematycznie pokazano je na rysunku:

Jak myślisz, dlaczego nazywa się je podstawowymi? Fakt jest taki :

Lub na zdjęciu:

Ważność tej formuły jest oczywista, ponieważ:

Grafika wektorowa

Teraz mogę zacząć wprowadzać produkt krzyżowy:

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorem, który oblicza się według następującej reguły:

Podajmy teraz kilka przykładów obliczania iloczynu krzyżowego:

Przykład 1: Znajdź iloczyn wektorów:

Rozwiązanie: Tworzę wyznacznik:

I obliczam to:

Teraz, przechodząc przez wektory bazowe, powrócę do zwykłego zapisu wektorów:

Zatem:

Teraz spróbuj.

Gotowy? Sprawdzamy:

I tradycyjnie dwa zadania dla kontroli:

1. Znajdź iloczyn wektorowy następujących wektorów:
2. Znajdź iloczyn wektorowy następujących wektorów:

Odpowiedzi:

Iloczyn mieszany trzech wektorów

Ostatnią konstrukcją, której będę potrzebować, jest iloczyn mieszany trzech wektorów. To, podobnie jak skalar, jest liczbą. Można to obliczyć na dwa sposoby. - poprzez wyznacznik, - poprzez iloczyn mieszany.

Mianowicie, dajmy sobie trzy wektory:

Następnie mieszany iloczyn trzech wektorów, oznaczony przez, można obliczyć jako:

1. - czyli iloczyn mieszany jest iloczynem skalarnym wektora i iloczynem wektorowym dwóch innych wektorów

Na przykład mieszany iloczyn trzech wektorów to:

Spróbuj obliczyć to samodzielnie, korzystając z iloczynu wektorowego i upewnij się, że wyniki się zgadzają!

I znowu dwa przykłady niezależnych rozwiązań:

Odpowiedzi:

Wybór układu współrzędnych

Cóż, teraz mamy całą niezbędną wiedzę do rozwiązywania złożonych problemów geometrii stereometrycznej. Zanim jednak przejdę bezpośrednio do przykładów i algorytmów ich rozwiązywania, uważam, że warto zastanowić się nad następującym pytaniem: jak dokładnie wybrać układ współrzędnych dla konkretnej figury. Przecież to wybór względnego położenia układu współrzędnych i figury w przestrzeni ostatecznie zadecyduje o tym, jak uciążliwe będą obliczenia.

Przypomnę, że w tej sekcji rozważamy następujące liczby:

1. Prostokątny równoległościan
2. Pryzmat prosty (trójkątny, sześciokątny...)
3. Piramida (trójkątna, czworokątna)
4. Czworościan (taki sam jak piramida trójkątna)

W przypadku prostokątnego równoległościanu lub sześcianu polecam następującą konstrukcję:

Oznacza to, że umieściłem figurę „w rogu”. Sześcian i równoległościan są bardzo dobre liczby. Dla nich zawsze można łatwo znaleźć współrzędne jego wierzchołków. Na przykład, jeśli (jak pokazano na rysunku)

wówczas współrzędne wierzchołków są następujące:

Oczywiście nie musisz o tym pamiętać, ale wskazane jest pamiętanie o tym, jak najlepiej ustawić sześcian lub prostokątny równoległościan.

Prosty pryzmat

Pryzmat jest bardziej szkodliwą figurą. Można go ustawić w przestrzeni na różne sposoby. Najbardziej akceptowalna wydaje mi się jednak następująca opcja:

Trójkątny pryzmat:

Oznacza to, że jeden z boków trójkąta umieszczamy całkowicie na osi, a jeden z wierzchołków pokrywa się z początkiem współrzędnych.

Pryzmat sześciokątny:

Oznacza to, że jeden z wierzchołków pokrywa się z początkiem, a jeden z boków leży na osi.

Piramida czworokątna i sześciokątna:

Sytuacja jest podobna do sześcianu: wyrównujemy dwa boki podstawy z osiami współrzędnych, a jeden z wierzchołków wyrównujemy z początkiem współrzędnych. Jedyną niewielką trudnością będzie obliczenie współrzędnych punktu.

Dla piramidy sześciokątnej - tak samo jak dla pryzmatu sześciokątnego. Głównym zadaniem ponownie będzie znalezienie współrzędnych wierzchołka.

Czworościan (trójkątna piramida)

Sytuacja jest bardzo podobna do tej, którą podałem dla pryzmatu trójkątnego: jeden wierzchołek pokrywa się z początkiem, jeden bok leży na osi współrzędnych.

Cóż, teraz ty i ja w końcu jesteśmy bliscy rozpoczęcia rozwiązywania problemów. Z tego, co powiedziałem na samym początku artykułu, można wyciągnąć następujący wniosek: większość problemów C2 dzieli się na 2 kategorie: problemy kątowe i problemy odległościowe. Najpierw przyjrzymy się problemom znalezienia kąta. Dzielą się one z kolei na następujące kategorie (w miarę wzrostu złożoności):

Problemy ze znalezieniem kątów

1. Znalezienie kąta między dwiema prostymi
2. Znalezienie kąta pomiędzy dwiema płaszczyznami

Przyjrzyjmy się tym problemom po kolei: zacznijmy od znalezienia kąta pomiędzy dwiema prostymi. Cóż, pamiętaj, czy ty i ja nie rozwiązaliśmy już podobnych przykładów? Pamiętasz, mieliśmy już coś podobnego... Szukaliśmy kąta pomiędzy dwoma wektorami. Przypomnę, jeśli dane są dwa wektory: i, to kąt między nimi wyznacza się z zależności:

Teraz naszym celem jest znalezienie kąta pomiędzy dwiema prostymi. Spójrzmy na „płaski obraz”:

Ile kątów otrzymaliśmy po przecięciu dwóch prostych? Tylko kilka rzeczy. To prawda, że ​​\u200b\u200btylko dwa z nich nie są równe, podczas gdy inne są względem nich pionowe (a zatem pokrywają się z nimi). Który więc kąt powinniśmy wziąć pod uwagę kąt pomiędzy dwiema liniami prostymi: lub? Tutaj zasada jest następująca: kąt między dwiema prostymi jest zawsze nie większy niż stopnie. Oznacza to, że z dwóch kątów zawsze będziemy wybierać kąt o najmniejszej mierze stopnia. Oznacza to, że na tym obrazku kąt między dwiema liniami prostymi jest równy. Aby nie zawracać sobie głowy znajdowaniem za każdym razem najmniejszego z dwóch kątów, przebiegli matematycy zaproponowali zastosowanie modułu. Zatem kąt między dwiema prostymi jest określony wzorem:

Jako uważny czytelnik powinieneś zadać sobie pytanie: skąd dokładnie mamy te liczby, których potrzebujemy do obliczenia cosinusa kąta? Odpowiedź: weźmiemy je z wektorów kierunkowych linii! Zatem algorytm znajdowania kąta między dwiema prostymi jest następujący:

1. Stosujemy wzór 1.

Lub bardziej szczegółowo:

1. Poszukujemy współrzędnych wektora kierunku pierwszej prostej
2. Poszukujemy współrzędnych wektora kierunku drugiej prostej
3. Obliczamy moduł ich iloczynu skalarnego
4. Szukamy długości pierwszego wektora
5. Szukamy długości drugiego wektora
6. Pomnóż wyniki z punktu 4 przez wyniki z punktu 5
7. Wynik punktu 3 dzielimy przez wynik punktu 6. Otrzymujemy cosinus kąta między liniami
8. Jeśli ten wynik pozwala dokładnie obliczyć kąt, poszukaj go
9. W przeciwnym razie piszemy poprzez arc cosinus

No cóż, czas przejść do problemów: szczegółowo zademonstruję rozwiązanie dwóch pierwszych, rozwiązanie kolejnego przedstawię w w skrócie, a na dwa ostatnie zadania podam tylko odpowiedzi, wszystkie obliczenia musisz wykonać sam.

Zadania:

1. W prawym tet-ra-ed-re znajdź kąt między wysokością tet-ra-ed-ra a środkową stroną.

2. W prawym sześciokątnym pi-ra-mi-de sto os-no-va-niya jest równych, a krawędzie boczne są równe, znajdź kąt między liniami i.

3. Długości wszystkich krawędzi prawego czterowęglowego pi-ra-mi-dy są sobie równe. Znajdź kąt pomiędzy prostymi i jeśli z cięcia - jesteś z danym pi-ra-mi-dy, punkt jest se-re-di-na jego bo-co- drugim żebrze

4. Na krawędzi sześcianu znajduje się punkt, w którym należy znaleźć kąt między prostymi a

5. Punkt - na krawędziach sześcianu. Znajdź kąt pomiędzy prostymi i.

To nie przypadek, że ułożyłem zadania w takiej kolejności. Chociaż nie zacząłeś jeszcze poruszać się po metodzie współrzędnych, sam przeanalizuję najbardziej „problematyczne” figury i zostawię cię, abyś zajął się najprostszą kostką! Stopniowo będziesz musiał nauczyć się pracować ze wszystkimi figurami, będę zwiększać złożoność zadań z tematu na temat.

Zacznijmy rozwiązywać problemy:

1. Narysuj czworościan, umieść go w układzie współrzędnych, jak sugerowałem wcześniej. Ponieważ czworościan jest regularny, wszystkie jego ściany (łącznie z podstawą) są regularnymi trójkątami. Ponieważ nie mamy podanej długości boku, mogę przyjąć, że jest ona równa. Myślę, że rozumiesz, że kąt tak naprawdę nie będzie zależał od tego, jak bardzo nasz czworościan jest „rozciągnięty”? Narysuję także wysokość i środkową w czworościanie. Po drodze narysuję jej bazę (nam też się przyda).

Muszę znaleźć kąt pomiędzy i. Co wiemy? Znamy tylko współrzędne punktu. Oznacza to, że musimy znaleźć współrzędne punktów. Teraz myślimy: punkt to punkt przecięcia wysokości (lub dwusiecznych lub środkowych) trójkąta. A punkt jest punktem podniesionym. Punkt jest środkiem odcinka. Następnie musimy w końcu znaleźć: współrzędne punktów: .

Zacznijmy od najprostszej rzeczy: współrzędnych punktu. Spójrz na rysunek: Jasne jest, że zastosowanie punktu jest równe zeru (punkt leży na płaszczyźnie). Jego rzędna jest równa (ponieważ jest medianą). Trudniej jest znaleźć jej odciętą. Można to jednak łatwo zrobić w oparciu o twierdzenie Pitagorasa: Rozważmy trójkąt. Jej przeciwprostokątna jest równa i jedna z jej nóg jest równa. Następnie:

Wreszcie mamy: .

Teraz znajdźmy współrzędne punktu. Jest oczywiste, że jego zastosowanie jest znowu równe zero, a jego rzędna jest taka sama jak punkt. Znajdźmy jego odciętą. Odbywa się to dość trywialnie, jeśli o tym pamiętasz wysokości trójkąta równobocznego w punkcie przecięcia dzieli się proporcjonalnie, licząc od góry. Ponieważ: , to wymagana odcięta punktu, równa długości odcinka, jest równa: . Zatem współrzędne punktu to:

Znajdźmy współrzędne punktu. Oczywiste jest, że jego odcięta i rzędna pokrywają się z odciętą i rzędną punktu. A aplikacja jest równa długości odcinka. - to jedna z nóg trójkąta. Przeciwprostokątna trójkąta to odcinek - noga. Poszukiwano go z powodów, które podkreśliłem pogrubioną czcionką:

Punkt jest środkiem odcinka. Następnie musimy zapamiętać wzór na współrzędne środka odcinka:

To wszystko, teraz możemy poszukać współrzędnych wektorów kierunkowych:

Cóż, wszystko jest gotowe: podstawiamy wszystkie dane do wzoru:

Zatem,

Odpowiedź:

Nie powinieneś bać się takich „przerażających” odpowiedzi: w przypadku zadań C2 jest to powszechna praktyka. Wolałbym być zaskoczony „piękną” odpowiedzią w tej części. Ponadto, jak zauważyłeś, praktycznie nie uciekałem się do niczego innego niż twierdzenie Pitagorasa i własność wysokości trójkąta równobocznego. Oznacza to, że aby rozwiązać problem stereometrii, użyłem minimum stereometrii. Zysk w tym zakresie jest częściowo „wygaszony” przez dość kłopotliwe obliczenia. Ale są dość algorytmiczne!

2. Przedstawmy regularną piramidę sześciokątną wraz z układem współrzędnych i jej podstawą:

Musimy znaleźć kąt między liniami i. Zatem nasze zadanie sprowadza się do znalezienia współrzędnych punktów: . Współrzędne trzech ostatnich znajdziemy za pomocą małego rysunku, a współrzędne wierzchołka znajdziemy poprzez współrzędną punktu. Pracy jest mnóstwo, ale trzeba zacząć!

a) Współrzędna: jasne jest, że jej zastosowanie i rzędna są równe zeru. Znajdźmy odciętą. Aby to zrobić, rozważ trójkąt prostokątny. Niestety, znamy w nim tylko przeciwprostokątną, która jest równa. Spróbujemy znaleźć nogę (jasne jest, że podwojenie długości nogi da nam odciętą punktu). Jak możemy go szukać? Przypomnijmy, jaką figurę mamy u podstawy piramidy? To jest zwykły sześciokąt. Co to znaczy? Oznacza to, że wszystkie boki i wszystkie kąty są równe. Musimy znaleźć jeden taki kąt. Jakieś pomysły? Pomysłów jest wiele, ale jest pewna formuła:

Suma kątów regularnego n-kąta wynosi .

Zatem suma kątów sześciokąta foremnego jest równa stopniom. Wtedy każdy z kątów jest równy:

Spójrzmy jeszcze raz na zdjęcie. Wiadomo, że odcinek jest dwusieczną kąta. Wtedy kąt jest równy stopniom. Następnie:

Więc skąd.

Zatem ma współrzędne

b) Teraz możemy łatwo znaleźć współrzędne punktu: .

c) Znajdź współrzędne punktu. Ponieważ jego odcięta pokrywa się z długością odcinka, jest równa. Znalezienie rzędnej również nie jest bardzo trudne: jeśli połączymy kropki i wyznaczymy punkt przecięcia prostej jako, powiedzmy, . (zrób to sam, prosta konstrukcja). Zatem rzędna punktu B jest równa sumie długości odcinków. Spójrzmy jeszcze raz na trójkąt. Następnie

Wtedy od Wtedy punkt ma współrzędne

d) Teraz znajdźmy współrzędne punktu. Rozważ prostokąt i udowodnij, że współrzędne punktu to:

e) Pozostaje znaleźć współrzędne wierzchołka. Oczywiste jest, że jego odcięta i rzędna pokrywają się z odciętą i rzędną punktu. Znajdźmy aplikację. Od tego czasu. Rozważmy trójkąt prostokątny. Zgodnie z warunkami problemu, krawędź boczna. To jest przeciwprostokątna mojego trójkąta. Wtedy wysokość piramidy to noga.

Wtedy punkt ma współrzędne:

No cóż, to wszystko, mam współrzędne wszystkich punktów, które mnie interesują. Szukam współrzędnych wektorów kierujących linii prostych:

Szukamy kąta pomiędzy tymi wektorami:

Odpowiedź:

Ponownie przy rozwiązywaniu tego problemu nie posłużyłem się żadnymi wyrafinowanymi technikami poza wzorem na sumę kątów n-kąta foremnego oraz definicją cosinusa i sinusa trójkąta prostokątnego.

3. Ponieważ znowu nie podano długości krawędzi piramidy, uznam je za równe jedności. Tak więc, ponieważ WSZYSTKIE krawędzie, a nie tylko boczne, są sobie równe, to u podstawy piramidy i u mnie jest kwadrat, a ściany boczne są regularnymi trójkątami. Narysujmy taką piramidę, a także jej podstawę na płaszczyźnie, zwracając uwagę na wszystkie dane podane w tekście zadania:

Szukamy kąta pomiędzy i. Kiedy będę szukać współrzędnych punktów, dokonam bardzo krótkich obliczeń. Będziesz musiał je „rozszyfrować”:

b) - środek segmentu. Jego współrzędne:

c) Znajdę długość odcinka, korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie. Mogę to znaleźć, korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie.

Współrzędne:

d) - środek segmentu. Jego współrzędne to

e) Współrzędne wektora

f) Współrzędne wektora

g) Szukanie kąta:

Kostka - najprostsza figura. Jestem pewien, że rozwiążesz to sam. Odpowiedzi na zadania 4 i 5 są następujące:

Znalezienie kąta między linią prostą a płaszczyzną

Cóż, czas na proste łamigłówki się skończył! Teraz przykłady będą jeszcze bardziej skomplikowane. Aby znaleźć kąt między prostą a płaszczyzną, postępujemy w następujący sposób:

1. Korzystając z trzech punktów, konstruujemy równanie płaszczyzny
   ,
   przy użyciu wyznacznika trzeciego rzędu.
2. Wykorzystując dwa punkty szukamy współrzędnych wektora kierującego prostej:
3. Stosujemy wzór na obliczenie kąta między prostą a płaszczyzną:

Jak widać, wzór ten jest bardzo podobny do tego, którego używaliśmy do obliczania kątów między dwiema prostymi. Struktura po prawej stronie jest po prostu taka sama, a po lewej stronie szukamy teraz sinusa, a nie cosinusa jak poprzednio. No cóż, dodano jedną paskudną czynność - szukanie równania płaszczyzny.

Nie zwlekajmy przykłady rozwiązań:

1. Główny, ale-va-ni-em bezpośredni pryzmat – jesteśmy trójkątem równym biednym. Znajdź kąt między prostą a płaszczyzną

2. W prostokącie par-ral-le-le-pi-pe-de od zachodu Znajdź kąt między prostą a płaszczyzną

3. W prawym pryzmacie o sześciu narożnikach wszystkie krawędzie są równe. Znajdź kąt między prostą a płaszczyzną.

4. W prawym trójkątnym pi-ra-mi-de z os-no-va-ni-em znanych żeber Znajdź róg, ob-ra-zo-van -płaski u podstawy i prosty, przechodzący przez szary żeberka i

5. Długości wszystkich krawędzi prawego czworokąta pi-ra-mi-dy z wierzchołkiem są sobie równe. Znajdź kąt między prostą a płaszczyzną, jeśli punkt leży po stronie krawędzi pi-ra-mi-dy.

Ponownie rozwiążę szczegółowo dwa pierwsze problemy, trzeci krótko, a dwa ostatnie pozostawię do samodzielnego rozwiązania. Poza tym mieliście już do czynienia z piramidami trójkątnymi i czworokątnymi, ale z pryzmatami jeszcze nie.

Rozwiązania:

1. Przedstawmy pryzmat i jego podstawę. Połączmy to z układem współrzędnych i zanotujmy wszystkie dane podane w opisie problemu:

Przepraszam za pewne nieprzestrzeganie proporcji, ale dla rozwiązania problemu nie jest to tak naprawdę ważne. Płaszczyzna jest po prostu „tylną ścianą” mojego pryzmatu. Wystarczy zgadnąć, że równanie takiej płaszczyzny ma postać:

Można to jednak pokazać bezpośrednio:

Wybierzmy dowolne trzy punkty na tej płaszczyźnie: na przykład .

Utwórzmy równanie płaszczyzny:

Ćwicz dla Ciebie: sam oblicz ten wyznacznik. Udało Ci się? Wtedy równanie płaszczyzny wygląda następująco:

Lub po prostu

Zatem,

Aby rozwiązać przykład, muszę znaleźć współrzędne wektora kierunku linii prostej. Ponieważ punkt pokrywa się z początkiem współrzędnych, współrzędne wektora po prostu pokrywają się ze współrzędnymi punktu. Aby to zrobić, najpierw znajdujemy współrzędne punktu.

Aby to zrobić, rozważ trójkąt. Narysujmy wysokość (znaną również jako medianę i dwusieczną) od wierzchołka. Ponieważ rzędna punktu jest równa. Aby znaleźć odciętą tego punktu, musimy obliczyć długość odcinka. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa mamy:

Wtedy punkt ma współrzędne:

Kropka to „podniesiona” kropka:

Następnie współrzędne wektora to:

Odpowiedź:

Jak widać, nie ma nic zasadniczo trudnego w rozwiązywaniu takich problemów. W rzeczywistości proces ten jest nieco bardziej uproszczony przez „prostotę” figury takiej jak pryzmat. Przejdźmy teraz do następnego przykładu:

2. Narysuj równoległościan, narysuj w nim płaszczyznę i linię prostą, a także osobno narysuj jego dolną podstawę:

Najpierw znajdujemy równanie płaszczyzny: Współrzędne trzech leżących na niej punktów:

(dwie pierwsze współrzędne uzyskuje się w sposób oczywisty, a ostatnią współrzędną z obrazka łatwo znaleźć z punktu). Następnie układamy równanie płaszczyzny:

Obliczamy:

Szukamy współrzędnych wektora prowadzącego: jasne jest, że jego współrzędne pokrywają się ze współrzędnymi punktu, prawda? Jak znaleźć współrzędne? Są to współrzędne punktu podniesione wzdłuż osi aplikacji o jeden! . Następnie szukamy żądanego kąta:

Odpowiedź:

3. Narysuj regularną sześciokątną piramidę, a następnie narysuj w niej płaszczyznę i linię prostą.

Tutaj nawet narysowanie płaszczyzny jest problematyczne, nie mówiąc już o rozwiązaniu tego problemu, ale metoda współrzędnych nie ma znaczenia! Jego główną zaletą jest wszechstronność!

Samolot przechodzi przez trzy punkty: . Szukamy ich współrzędnych:

1) . Sam znajdź współrzędne dwóch ostatnich punktów. Aby to zrobić, musisz rozwiązać problem piramidy sześciokątnej!

2) Konstruujemy równanie płaszczyzny:

Szukamy współrzędnych wektora: . (Zobacz ponownie problem piramidy trójkątnej!)

3) Szukanie kąta:

Odpowiedź:

Jak widać, w tych zadaniach nie ma nic nadprzyrodzonego. Trzeba tylko bardzo uważać na korzenie. Odpowiedzi udzielę tylko na dwa ostatnie problemy:

Jak widać, technika rozwiązywania problemów jest wszędzie taka sama: głównym zadaniem jest znalezienie współrzędnych wierzchołków i podstawienie ich do określonych wzorów. Musimy jeszcze rozważyć jeszcze jedną klasę problemów obliczania kątów, a mianowicie:

Obliczanie kątów pomiędzy dwiema płaszczyznami

Algorytm rozwiązania będzie następujący:

1. Korzystając z trzech punktów szukamy równania pierwszej płaszczyzny:
2. Korzystając z pozostałych trzech punktów szukamy równania drugiej płaszczyzny:
3. Stosujemy wzór:

Jak widać, wzór jest bardzo podobny do dwóch poprzednich, za pomocą których szukaliśmy kątów między prostymi oraz między prostą a płaszczyzną. Więc zapamiętanie tego nie będzie dla ciebie trudne. Przejdźmy do analizy zadań:

1. Bok podstawy prawego graniastosłupa trójkątnego jest równy i przekątna ściany bocznej jest równa. Znajdź kąt między płaszczyzną a płaszczyzną osi pryzmatu.

2. W prawym czterokątnym pi-ra-mi-de, którego wszystkie krawędzie są równe, znajdź sinus kąta między płaszczyzną a płaską kością, przechodząc przez punkt per-pen-di-ku- kłamca, ale prosto.

3. W zwykłym pryzmacie czterokątnym boki podstawy są równe, a krawędzie boczne są równe. Na krawędzi znajduje się punkt od-me-che-on, więc tak. Znajdź kąt między płaszczyznami i

4. W prawym czworokątnym pryzmacie boki podstawy są równe i krawędzie boczne są równe. Na krawędzi punktu znajduje się punkt, dzięki któremu Znajdź kąt między płaszczyznami i.

5. Znajdź w sześcianie co-sinus kąta między płaszczyznami i

Rozwiązania problemów:

1. Rysuję właściwy (u podstawy znajduje się trójkąt równoboczny) trójkątny pryzmat i zaznacz na nim płaszczyzny, które pojawiają się w opisie problemu:

Musimy znaleźć równania dwóch płaszczyzn: Równanie podstawy jest banalne: można ułożyć odpowiedni wyznacznik z trzech punktów, ale ja od razu ułożę równanie:

Teraz znajdźmy równanie Punkt ma współrzędne Punkt - Ponieważ jest to mediana i wysokość trójkąta, łatwo go znaleźć za pomocą twierdzenia Pitagorasa w trójkącie. Wtedy punkt ma współrzędne: Znajdźmy zastosowanie punktu. Aby to zrobić, rozważmy trójkąt prostokątny

Otrzymujemy wtedy następujące współrzędne: Układamy równanie płaszczyzny.

Obliczamy kąt między płaszczyznami:

Odpowiedź:

2. Wykonanie rysunku:

Najtrudniej jest zrozumieć, co to za tajemnicza płaszczyzna, przechodząca prostopadle przez ten punkt. Cóż, najważniejsze jest to, co to jest? Najważniejsze jest uważność! W rzeczywistości linia jest prostopadła. Linia prosta jest również prostopadła. Wtedy płaszczyzna przechodząca przez te dwie linie będzie prostopadła do tej linii i, nawiasem mówiąc, przejdzie przez punkt. Ta płaszczyzna przechodzi również przez szczyt piramidy. Następnie pożądany samolot - A samolot został już nam dany. Szukamy współrzędnych punktów.

Znajdujemy współrzędną punktu przechodzącego przez punkt. Z mały rysunekŁatwo wywnioskować, że współrzędne punktu będą następujące: Co jeszcze pozostaje do znalezienia, aby znaleźć współrzędne wierzchołka piramidy? Musisz także obliczyć jego wysokość. Odbywa się to za pomocą tego samego twierdzenia Pitagorasa: najpierw udowodnij to (trywialnie z małych trójkątów tworzących kwadrat u podstawy). Ponieważ według warunku mamy:

Teraz wszystko jest gotowe: współrzędne wierzchołków:

Tworzymy równanie płaszczyzny:

Jesteś już ekspertem w obliczaniu wyznaczników. Bez trudności otrzymasz:

Lub inaczej (jeśli pomnożymy obie strony przez pierwiastek z dwóch)

Znajdźmy teraz równanie płaszczyzny:

(Nie zapomniałeś, jak dostajemy równanie płaszczyzny, prawda? Jeśli nie rozumiesz, skąd się wzięło to minus jeden, to wróć do definicji równania płaszczyzny! Po prostu zawsze okazywało się wcześniej mój samolot należał do początku współrzędnych!)

Obliczamy wyznacznik:

(Możesz zauważyć, że równanie płaszczyzny pokrywa się z równaniem prostej przechodzącej przez punkty i! Zastanów się dlaczego!)

Teraz obliczmy kąt:

Musimy znaleźć sinus:

Odpowiedź:

3. Podchwytliwe pytanie: jak myślisz, czym jest pryzmat prostokątny? To tylko równoległościan, który dobrze znasz! Zróbmy rysunek od razu! Bazy nie trzeba nawet osobno przedstawiać, tutaj na niewiele się to przyda:

Płaszczyzna, jak zauważyliśmy wcześniej, jest zapisana w postaci równania:

Teraz stwórzmy samolot

Natychmiast tworzymy równanie płaszczyzny:

Szukam kąta:

A teraz odpowiedzi na dwa ostatnie problemy:

Cóż, teraz jest czas na małą przerwę, ponieważ ty i ja jesteśmy wspaniali i wykonaliśmy świetną robotę!

Współrzędne i wektory. Poziom zaawansowany

W tym artykule omówimy z Państwem inną klasę problemów, które można rozwiązać za pomocą metody współrzędnych: problemy z obliczaniem odległości. Mianowicie rozważymy następujące przypadki:

1. Obliczanie odległości pomiędzy przecinającymi się liniami.

Zadania uporządkowałem według rosnącego stopnia trudności. Okazuje się, że najłatwiej go znaleźć odległość punktu od płaszczyzny, a najtrudniej jest znaleźć odległość pomiędzy przecinającymi się liniami. Chociaż oczywiście nie ma rzeczy niemożliwych! Nie zwlekajmy i od razu przystąpmy do rozważenia pierwszej klasy problemów:

Obliczanie odległości punktu od płaszczyzny

Czego potrzebujemy, aby rozwiązać ten problem?

1. Współrzędne punktu

Tak więc, gdy tylko otrzymamy wszystkie niezbędne dane, stosujemy formułę:

Powinieneś już wiedzieć, jak konstruujemy równanie płaszczyzny z poprzednich problemów, które omawiałem w ostatniej części. Przejdźmy od razu do zadań. Schemat jest następujący: 1, 2 - pomagam ci podjąć decyzję, a bardziej szczegółowo 3, 4 - tylko odpowiedź, sam przeprowadzasz rozwiązanie i porównujesz. Zaczynajmy!

Zadania:

1. Biorąc pod uwagę kostkę. Długość krawędzi sześcianu jest równa. Znajdź odległość se-re-di-na od cięcia do płaszczyzny

2. Biorąc pod uwagę prawy czterowęglowy pi-ra-mi-tak, bok boku jest równy podstawie. Znajdź odległość od punktu do płaszczyzny, w której - se-re-di-na krawędziach.

3. W prawym trójkącie pi-ra-mi-de z os-no-va-ni-em krawędź boczna jest równa, a sto ro-na os-no-va-nia jest równe. Znajdź odległość wierzchołka od płaszczyzny.

4. W prawym pryzmacie sześciokątnym wszystkie krawędzie są równe. Znajdź odległość punktu od płaszczyzny.

Rozwiązania:

1. Narysuj sześcian o pojedynczych krawędziach, skonstruuj odcinek i płaszczyznę, oznacz literą środek odcinka

.

Najpierw zacznijmy od najłatwiejszego: znajdź współrzędne punktu. Od tego czasu (pamiętajcie współrzędne środka odcinka!)

Teraz układamy równanie płaszczyzny za pomocą trzech punktów

\[\lewo| (\begin(tablica)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(tablica)) \right| = 0\]

Teraz mogę zacząć znajdować odległość:

2. Zaczynamy od nowa z rysunkiem, na którym zaznaczamy wszystkie dane!

W przypadku piramidy przydatne byłoby osobne narysowanie jej podstawy.

Nawet fakt, że rysuję jak kurczak łapą, nie przeszkodzi nam w łatwym rozwiązaniu tego problemu!

Teraz łatwo jest znaleźć współrzędne punktu

Ponieważ współrzędne punktu, a następnie

2. Zatem skoro współrzędne punktu a są środkiem odcinka

Bez problemu znajdziemy współrzędne dwóch kolejnych punktów na płaszczyźnie, tworzymy równanie płaszczyzny i upraszczamy je:

\[\lewo| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(tablica)) \right|) \right| = 0\]

Ponieważ punkt ma współrzędne: , obliczamy odległość:

Odpowiedź (bardzo rzadka!):

Cóż, wpadłeś na to? Wydaje mi się, że wszystko tutaj jest tak samo techniczne, jak w przykładach, które oglądaliśmy w poprzedniej części. Jestem więc pewien, że jeśli opanowałeś ten materiał, to rozwiązanie pozostałych dwóch problemów nie będzie dla Ciebie trudne. Podam Ci tylko odpowiedzi:

Obliczanie odległości od prostej do płaszczyzny

Tak naprawdę nie ma tu nic nowego. Jak można ustawić linię prostą i płaszczyznę względem siebie? Mają tylko jedną możliwość: przeciąć się, czyli linia prosta jest równoległa do płaszczyzny. Jak myślisz, jaka jest odległość prostej od płaszczyzny, z którą ta prosta przecina się? Wydaje mi się, że tutaj jest jasne, że taka odległość jest równa zeru. Niezbyt ciekawy przypadek.

Drugi przypadek jest trudniejszy: tutaj odległość jest już niezerowa. Ponieważ jednak prosta jest równoległa do płaszczyzny, to każdy punkt linii jest w równej odległości od tej płaszczyzny:

Zatem:

Oznacza to, że moje zadanie zostało zredukowane do poprzedniego: szukamy współrzędnych dowolnego punktu na prostej, szukamy równania płaszczyzny i obliczamy odległość punktu od płaszczyzny. W rzeczywistości takie zadania są niezwykle rzadkie w jednolitym egzaminie państwowym. Udało mi się znaleźć tylko jeden problem, a dane w nim były takie, że metoda współrzędnych nie bardzo miała do niego zastosowanie!

Przejdźmy teraz do innej, znacznie ważniejszej klasy problemów:

Obliczanie odległości punktu od prostej

Czego potrzebujemy?

1. Współrzędne punktu, od którego szukamy odległości:

2. Współrzędne dowolnego punktu leżącego na prostej

3. Współrzędne wektora kierującego linii prostej

Jakiej formuły używamy?

Co oznacza mianownik tego ułamka, powinno być dla ciebie jasne: jest to długość wektora kierującego linii prostej. To bardzo trudny licznik! Wyrażenie oznacza moduł (długość) iloczynu wektorów oraz Jak obliczyć iloczyn wektorowy, badaliśmy w poprzedniej części pracy. Odśwież swoją wiedzę, będzie nam teraz bardzo potrzebna!

Zatem algorytm rozwiązywania problemów będzie następujący:

1. Szukamy współrzędnych punktu, od którego szukamy odległości:

2. Poszukujemy współrzędnych dowolnego punktu na prostej, do którego szukamy odległości:

3. Skonstruuj wektor

4. Zbuduj wektor kierunkowy linii prostej

5. Oblicz iloczyn wektorowy

6. Szukamy długości wynikowego wektora:

7. Oblicz odległość:

Mamy dużo pracy, a przykłady będą dość skomplikowane! Więc teraz skup całą swoją uwagę!

1. Biorąc pod uwagę trójkątny pi-ra-mi-da z wierzchołkiem. Sto ro-na podstawie pi-ra-mi-dy jest równe, jesteście równi. Znajdź odległość od szarej krawędzi do prostej, gdzie punkty i są szarymi krawędziami oraz od weterynaryjnej.

2. Długości żeber i kąta prostego-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da są odpowiednio równe i Znajdź odległość od góry do linii prostej

3. W prawym pryzmacie sześciokątnym wszystkie krawędzie są równe, znajdź odległość punktu od linii prostej

Rozwiązania:

1. Wykonujemy schludny rysunek, na którym zaznaczamy wszystkie dane:

Mamy mnóstwo pracy! Na początek chciałbym opisać słowami czego będziemy szukać i w jakiej kolejności:

1. Współrzędne punktów i

2. Współrzędne punktu

3. Współrzędne punktów i

4. Współrzędne wektorów i

5. Ich produkt krzyżowy

6. Długość wektora

7. Długość produktu wektorowego

8. Odległość od do

Cóż, przed nami mnóstwo pracy! Zabieramy się do tego z podwiniętymi rękawami!

1. Aby znaleźć współrzędne wysokości ostrosłupa, musimy znać współrzędne punktu.Jego aplikator wynosi zero, a jego rzędna jest równa odciętej i jest równa długości odcinka.Ponieważ jest to wysokość trójkąt równoboczny, dzieli się go w stosunku, licząc od wierzchołka, stąd. Wreszcie mamy współrzędne:

Współrzędne punktu

2. - środek segmentu

3. - środek segmentu

Środek odcinka

4.Współrzędne

Współrzędne wektora

5. Oblicz iloczyn wektorowy:

6. Długość wektora: najłatwiej zamienić tak, aby odcinek stanowił linię środkową trójkąta, czyli był równy połowie podstawy. Więc.

7. Oblicz długość iloczynu wektorowego:

8. Na koniec znajdujemy odległość:

Uff, to tyle! Powiem Ci szczerze: rozwiązaniem tego problemu jest tradycyjne metody(poprzez budowę) byłoby znacznie szybciej. Ale tutaj zredukowałem wszystko do gotowego algorytmu! Myślę, że algorytm rozwiązania jest dla Ciebie jasny? Dlatego poproszę Cię o samodzielne rozwiązanie pozostałych dwóch problemów. Porównajmy odpowiedzi?

Powtarzam: łatwiej (szybciej) rozwiązać te problemy poprzez konstrukcje, niż uciekać się do metody współrzędnych. Zademonstrowałem tę metodę rozwiązania tylko po to, aby pokazać uniwersalną metodę, która pozwala „nie kończyć niczego budowania”.

Na koniec zastanówmy się Ostatnia klasa zadania:

Obliczanie odległości pomiędzy przecinającymi się liniami

Tutaj algorytm rozwiązywania problemów będzie podobny do poprzedniego. Co mamy:

3. Dowolny wektor łączący punkty pierwszej i drugiej linii:

Jak znaleźć odległość między liniami?

Formuła jest następująca:

Licznik to moduł produkt mieszany(wprowadziliśmy to w poprzedniej części), a mianownik jest taki jak w poprzednim wzorze (moduł iloczynu wektorów kierujących prostych, odległość między którymi szukamy).

Przypomnę ci to

Następnie wzór na odległość można przepisać jako:

To jest wyznacznik podzielony przez wyznacznik! Chociaż szczerze mówiąc, nie mam tu czasu na żarty! Wzór ten jest w istocie bardzo uciążliwy i prowadzi do dość skomplikowanych obliczeń. Na Twoim miejscu uciekałbym się do tego tylko w ostateczności!

Spróbujmy rozwiązać kilka problemów powyższą metodą:

1. W prawym trójkątnym pryzmacie, którego wszystkie krawędzie są równe, znajdź odległość między liniami prostymi i.

2. Biorąc pod uwagę prawy trójkątny pryzmat, wszystkie krawędzie podstawy są równe przekroju przechodzącemu przez żebro korpusu, a żebra se-re-di-well są kwadratem. Znajdź odległość między liniami prostymi i

Ja decyduję o pierwszym i na tej podstawie Ty decydujesz o drugim!

1. Rysuję pryzmat i zaznaczam linie proste oraz

Współrzędne punktu C: wtedy

Współrzędne punktu

Współrzędne wektora

Współrzędne punktu

Współrzędne wektora

Współrzędne wektora

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(tablica)(*(20)(l))(\begin(tablica)(*(20)(c))0&1&0\end(tablica))\\(\begin(tablica)(*(20) (c))0&0&1\end(tablica))\\(\begin(tablica)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(tablica))\end(tablica)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Obliczamy iloczyn wektorowy między wektorami i

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(tablica)(l)\begin(tablica)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(tablica)\end(tablica) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Teraz obliczamy jego długość:

Odpowiedź:

Teraz spróbuj dokładnie wykonać drugie zadanie. Odpowiedź na to będzie brzmieć: .

Współrzędne i wektory. Krótki opis i podstawowe wzory

Wektor jest segmentem skierowanym. - początek wektora, - koniec wektora.
Wektor jest oznaczony przez lub.

Całkowita wartość wektor - długość odcinka reprezentującego wektor. Oznaczone jako.

Współrzędne wektora:

,
gdzie są końce wektora \displaystyle a .

Suma wektorów: .

Iloczyn wektorów:

Iloczyn skalarny wektorów:

W tym artykule omówiono ten temat « odległość punktu od linii », Omówiono definicję odległości punktu od linii na ilustrowanych przykładach z wykorzystaniem metody współrzędnych. Każdy blok teoretyczny na końcu zawiera przykłady rozwiązania podobnych problemów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Odległość od punktu do linii wyznacza się poprzez określenie odległości od punktu do punktu. Przyjrzyjmy się bliżej.

Niech będzie prosta a i punkt M 1, który nie należy do danej prostej. Przez nią rysujemy linię prostą b, umieszczoną prostopadle do linii prostej a. Przyjmijmy punkt przecięcia linii jako H 1. Otrzymujemy, że M 1 H 1 jest prostopadłą, która została obniżona z punktu M 1 do prostej a.

Definicja 1

Odległość od punktu M 1 do linii prostej a nazywa się odległością między punktami M 1 i H 1.

Istnieją definicje, które uwzględniają długość prostopadłej.

Definicja 2

Odległość od punktu do linii jest długością prostopadłej poprowadzonej z danego punktu do danej linii.

Definicje są równoważne. Rozważ poniższy rysunek.

Wiadomo, że odległość punktu od prostej jest najmniejsza ze wszystkich możliwych. Spójrzmy na to na przykładzie.

Jeśli weźmiemy punkt Q leżący na linii prostej a, który nie pokrywa się z punktem M 1, wówczas otrzymamy, że odcinek M 1 Q nazywa się odcinkiem nachylonym, obniżonym z M 1 do linii prostej a. Należy wskazać, że prostopadła z punktu M 1 jest mniejsza niż jakakolwiek inna linia ukośna poprowadzona od punktu do linii prostej.

Aby to udowodnić, rozważmy trójkąt M 1 Q 1 H 1, gdzie M 1 Q 1 jest przeciwprostokątną. Wiadomo, że jego długość jest zawsze większa niż długość którejkolwiek z nóg. Oznacza to, że mamy M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Dane początkowe do znalezienia punktu do linii pozwalają na zastosowanie kilku metod rozwiązania: poprzez twierdzenie Pitagorasa, wyznaczanie sinusa, cosinusa, tangensa kąta i inne. Większość zadań tego typu rozwiązuje się w szkole na lekcjach geometrii.

Jeżeli przy wyznaczaniu odległości punktu od prostej można wprowadzić prostokątny układ współrzędnych, wówczas stosuje się metodę współrzędnych. W tym akapicie rozważymy dwie główne metody znajdowania wymaganej odległości od danego punktu.

Pierwsza metoda polega na szukaniu odległości jako prostopadłej poprowadzonej od M 1 do prostej a. Druga metoda wykorzystuje równanie normalne linii prostej a do znalezienia wymaganej odległości.

Jeśli na płaszczyźnie znajduje się punkt o współrzędnych M 1 (x 1 , y 1), położony w prostokątnym układzie współrzędnych, na linii prostej a, i trzeba znaleźć odległość M 1 H 1, możesz wykonać obliczenia w dwóch sposoby. Przyjrzyjmy się im.

Pierwszy sposób

Jeżeli współrzędne punktu H 1 są równe x 2, y 2, wówczas odległość punktu od linii oblicza się za pomocą współrzędnych ze wzoru M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Przejdźmy teraz do znalezienia współrzędnych punktu H 1.

Wiadomo, że linia prosta w Oxy odpowiada równaniu prostej na płaszczyźnie. Weźmy metodę definiowania linii prostej a, pisząc ogólne równanie prostej lub równanie ze współczynnikiem kątowym. Układamy równanie prostej przechodzącej przez punkt M 1 prostopadle do danej prostej a. Oznaczmy linię prostą literą b. H 1 to punkt przecięcia linii aib, co oznacza, że ​​do określenia współrzędnych potrzebny jest artykuł, który dotyczy współrzędnych punktów przecięcia dwóch linii.

Można zauważyć, że algorytm wyznaczania odległości danego punktu M 1 (x 1, y 1) od prostej a realizowany jest według punktów:

Definicja 3

• znalezienie ogólnego równania linii prostej a w postaci A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 lub równania ze współczynnikiem kątowym w postaci y = k 1 x + b 1;
• uzyskując ogólne równanie linii b, mające postać A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 lub równanie ze współczynnikiem kątowym y = k 2 x + b 2, jeśli linia b przecina punkt M 1 i jest prostopadła do dana linia a;
• wyznaczenie współrzędnych x 2, y 2 punktu H 1, który jest punktem przecięcia aib, w tym celu rozwiązuje się układ równań liniowych A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + b 2 y + do 2 = 0 lub y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• obliczenie wymaganej odległości od punktu do linii za pomocą wzoru M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Drugi sposób

Twierdzenie może pomóc w odpowiedzi na pytanie o znalezienie odległości od danego punktu do danej prostej na płaszczyźnie.

Twierdzenie

Prostokątny układ współrzędnych ma O x y ma punkt M 1 (x 1, y 1), z którego poprowadzona jest prosta do płaszczyzny, określona równaniem normalnym płaszczyzny, mającym postać cos α x + cos β y - p = 0, równe Wartość bezwzględna otrzymana po lewej stronie równania normalnego linii, obliczona przy x = x 1, y = y 1, oznacza, że ​​M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · r 1 - s.

Dowód

Linia a odpowiada równaniu normalnemu płaszczyzny, mającej postać cos α x + cos β y - p = 0, wówczas n → = (cos α, cos β) uważa się za wektor normalny linii a w odległości od początek, aby wyrównać a z p jednostkami. Konieczne jest wyświetlenie wszystkich danych na rysunku, dodanie punktu o współrzędnych M 1 (x 1, y 1), gdzie wektor promienia punktu M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Konieczne jest narysowanie linii prostej od punktu do linii prostej, którą oznaczamy jako M 1 H 1 . Należy pokazać rzuty M 2 i H 2 punktów M 1 i H 2 na linię prostą przechodzącą przez punkt O wektorem kierunkowym postaci n → = (cos α, cos β) i oznaczyć numeryczny rzut wektora jako O M 1 → = (x 1, y 1) w kierunku n → = (cos α , cos β) jako n p n → O M 1 → .

Różnice zależą od lokalizacji samego punktu M1. Spójrzmy na poniższy rysunek.

Wyniki ustalamy za pomocą wzoru M 1 H. 1 = n p n → O M → 1 - p. Następnie sprowadzamy równość do tej postaci M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, aby otrzymać n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Iloczyn skalarny wektorów daje przekształcony wzór w postaci n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , który jest iloczynem w postaci współrzędnych postaci n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Oznacza to, że otrzymujemy, że n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Wynika z tego, że M 1 H. 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Twierdzenie zostało udowodnione.

Okazuje się, że aby znaleźć odległość punktu M 1 (x 1 , y 1) od prostej a na płaszczyźnie należy wykonać kilka czynności:

Definicja 4

• otrzymanie równania normalnego prostej a cos α · x + cos β · y – p = 0, pod warunkiem, że nie ma tego w zadaniu;
• obliczenie wyrażenia cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, gdzie wynikowa wartość przyjmuje M 1 H 1.

Zastosujmy te metody do rozwiązywania problemów ze znalezieniem odległości punktu od płaszczyzny.

Przykład 1

Znajdź odległość punktu o współrzędnych M 1 (- 1, 2) do prostej 4 x - 3 y + 35 = 0.

Rozwiązanie

Do rozwiązania zastosujmy pierwszą metodę.

Aby to zrobić, należy znaleźć ogólne równanie prostej b, która przechodzi przez dany punkt M 1 (- 1, 2), prostopadle do prostej 4 x - 3 y + 35 = 0. Z warunku jasno wynika, że ​​linia b jest prostopadła do linii a, wówczas jej wektor kierunkowy ma współrzędne równe (4, - 3). Mamy zatem możliwość zapisania równania kanonicznego linii b na płaszczyźnie, ponieważ istnieją współrzędne punktu M 1, który należy do prostej b. Wyznaczmy współrzędne wektora kierującego prostej b. Otrzymujemy, że x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Powstałe równanie kanoniczne należy przekształcić w równanie ogólne. Wtedy to zrozumiemy

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Znajdźmy współrzędne punktów przecięcia linii, które przyjmiemy jako oznaczenie H 1. Transformacje wyglądają następująco:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Z tego co napisano powyżej wiemy, że współrzędne punktu H 1 są równe (- 5; 5).

Konieczne jest obliczenie odległości od punktu M 1 do linii prostej a. Mamy współrzędne punktów M 1 (- 1, 2) i H 1 (- 5, 5), następnie podstawiamy je do wzoru, aby znaleźć odległość i otrzymać to

M 1 H. 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Drugie rozwiązanie.

Aby rozwiązać w inny sposób, konieczne jest otrzymanie równania normalnego prostej. Obliczamy wartość współczynnika normalizującego i mnożymy obie strony równania 4 x - 3 y + 35 = 0. Stąd otrzymujemy, że współczynnik normalizujący jest równy - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, a równanie normalne będzie miało postać - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Zgodnie z algorytmem obliczeniowym konieczne jest uzyskanie równania normalnego linii i obliczenie go o wartości x = - 1, y = 2. Wtedy to zrozumiemy

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Z tego wynika, że ​​odległość od punktu M 1 (- 1, 2) do danej prostej 4 x - 3 y + 35 = 0 ma wartość - 5 = 5.

Odpowiedź: 5 .

Można zauważyć, że w tej metodzie ważne jest zastosowanie równania normalnego prostej, ponieważ ta metoda jest najkrótsza. Ale pierwsza metoda jest wygodna, ponieważ jest spójna i logiczna, chociaż ma więcej punktów obliczeniowych.

Przykład 2

Na płaszczyźnie znajduje się prostokątny układ współrzędnych O x y z punktem M 1 (8, 0) i prostą y = 1 2 x + 1. Znajdź odległość danego punktu od prostej.

Rozwiązanie

Pierwsza metoda polega na sprowadzeniu danego równania ze współczynnikiem kątowym do równania ogólnego. Dla uproszczenia można to zrobić inaczej.

Jeżeli iloczyn współczynników kątowych prostych prostopadłych ma wartość - 1, to nachylenie prosta prostopadła do danej y = 1 2 x + 1 ma wartość 2. Teraz otrzymujemy równanie linii przechodzącej przez punkt o współrzędnych M 1 (8, 0). Mamy to y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Przystępujemy do znalezienia współrzędnych punktu H 1, czyli punktów przecięcia y = - 2 x + 16 i y = 1 2 x + 1. Tworzymy układ równań i otrzymujemy:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H. 1 (6, 4)

Wynika z tego, że odległość od punktu o współrzędnych M 1 (8, 0) do prostej y = 1 2 x + 1 jest równa odległości od punktu początkowego i końcowego o współrzędnych M 1 (8, 0) i H1(6,4) . Obliczmy i znajdźmy, że M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

Rozwiązaniem drugiego sposobu jest przejście od równania ze współczynnikiem do jego postaci normalnej. Oznacza to, że otrzymujemy y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, wówczas wartość współczynnika normalizującego będzie wynosić - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Wynika z tego, że równanie normalne linii ma postać - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Obliczenia przeprowadzamy od punktu M 1 8, 0 do prostej postaci - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Otrzymujemy:

M 1 H. 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Odpowiedź: 2 5 .

Przykład 3

Należy obliczyć odległość od punktu o współrzędnych M 1 (- 2, 4) do linii 2 x - 3 = 0 i y + 1 = 0.

Rozwiązanie

Otrzymujemy równanie postaci normalnej prostej 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Następnie przystępujemy do obliczania odległości od punktu M 1 - 2, 4 do prostej x - 3 2 = 0. Otrzymujemy:

M 1 H. 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Równanie prostej y + 1 = 0 ma współczynnik normalizujący o wartości -1. Oznacza to, że równanie będzie miało postać - y - 1 = 0. Przystępujemy do obliczania odległości od punktu M 1 (- 2, 4) do linii prostej - y - 1 = 0. Okazuje się, że jest równe - 4 - 1 = 5.

Odpowiedź: 3 1 2 i 5.

Przyjrzyjmy się bliżej wyznaczaniu odległości danego punktu na płaszczyźnie od osi współrzędnych O x i O y.

W prostokątnym układzie współrzędnych oś O ma równanie prostej, które jest niepełne i ma postać x = 0 oraz O x - y = 0. Równania są normalne dla osi współrzędnych, wówczas należy znaleźć odległość od punktu o współrzędnych M 1 x 1, y 1 do linii. Odbywa się to w oparciu o wzory M 1 H 1 = x 1 i M 1 H 1 = y 1. Spójrzmy na poniższy rysunek.

Przykład 4

Znajdź odległość punktu M 1 (6, - 7) do linii współrzędnych znajdujących się w płaszczyźnie O x y.

Rozwiązanie

Ponieważ równanie y = 0 odnosi się do linii O x, możemy znaleźć odległość od M 1 s podane współrzędne, do tej prostej, korzystając ze wzoru. Otrzymujemy, że 6 = 6.

Ponieważ równanie x = 0 odnosi się do prostej O y, odległość od M 1 do tej prostej można znaleźć za pomocą wzoru. Wtedy otrzymamy to - 7 = 7.

Odpowiedź: odległość od M 1 do O x ma wartość 6, a od M 1 do O y ma wartość 7.

Gdy w przestrzeni trójwymiarowej mamy punkt o współrzędnych M 1 (x 1, y 1, z 1), należy znaleźć odległość punktu A od prostej a.

Rozważmy dwie metody, które pozwalają obliczyć odległość od punktu do linii prostej znajdującej się w przestrzeni. Pierwszy przypadek dotyczy odległości punktu M 1 od prostej, gdzie punkt na tej prostej nazywa się H 1 i jest podstawą prostopadłej poprowadzonej z punktu M 1 do prostej a. Drugi przypadek sugeruje, że punktów tej płaszczyzny należy szukać jako wysokość równoległoboku.

Pierwszy sposób

Z definicji wiemy, że odległość od punktu M 1 leżącego na prostej a jest długością prostopadłej M 1 H 1, następnie otrzymujemy to ze znalezionych współrzędnych punktu H 1, następnie znajdujemy odległość między M 1 ( x 1, y 1, z 1 ) i H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , na podstawie wzoru M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Stwierdzamy, że całe rozwiązanie zmierza w kierunku znalezienia współrzędnych podstawy prostopadłej poprowadzonej z M 1 do prostej a. Odbywa się to w następujący sposób: H 1 jest punktem, w którym prosta a przecina się z płaszczyzną przechodzącą przez dany punkt.

Oznacza to, że algorytm wyznaczania odległości od punktu M 1 (x 1, y 1, z 1) do prostej a w przestrzeni implikuje kilka punktów:

Definicja 5

• sporządzić równanie płaszczyzny χ jako równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt położony prostopadle do prostej;
• wyznaczenie współrzędnych (x 2, y 2, z 2) należących do punktu H 1 będącego punktem przecięcia prostej a i płaszczyzny χ;
• obliczanie odległości punktu od linii za pomocą wzoru M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Drugi sposób

Z warunku, że mamy prostą a, możemy wyznaczyć wektor kierunkowy a → = a x, a y, a z o współrzędnych x 3, y 3, z 3 i pewnym punkcie M 3 należącym do prostej a. Jeśli masz współrzędne punktów M 1 (x 1, y 1) i M 3 x 3, y 3, z 3, możesz obliczyć M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Powinniśmy odłożyć wektory a → = a x , a y , a z i M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 z punktu M 3 , połączyć je i otrzymać równoległobok . M 1 H 1 to wysokość równoległoboku.

Spójrzmy na poniższy rysunek.

Mamy, że wysokość M 1 H 1 jest wymaganą odległością, wówczas należy ją znaleźć za pomocą wzoru. Oznacza to, że szukamy M 1 H 1.

Oznaczmy obszar równoległoboku literą S, obliczoną według wzoru za pomocą wektora a → = (a x, a y, a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Wzór na pole powierzchni to S = a → × M 3 M 1 → . Ponadto obszar figury jest równy iloczynowi długości jej boków i wysokości, otrzymujemy, że S = a → · M 1 H. 1 z a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, co jest długością wektora a → = (a x, a y, a z), która jest równa bokowi równoległoboku. Oznacza to, że M 1 H 1 jest odległością punktu od linii. Można go znaleźć za pomocą wzoru M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Aby znaleźć odległość punktu o współrzędnych M 1 (x 1, y 1, z 1) do prostej a w przestrzeni należy wykonać kilka kroków algorytmu:

Definicja 6

• wyznaczenie wektora kierunku prostej a - a → = (a x, a y, a z);
• obliczenie długości wektora kierunkowego a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• uzyskanie współrzędnych x 3 , y 3 , z 3 należących do punktu M 3 położonego na prostej a;
• obliczenie współrzędnych wektora M 3 M 1 → ;
• znajdowanie iloczynu wektorów wektorów a → (a x , a y , a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 jako a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3, aby otrzymać długość za pomocą wzoru a → × M 3 M 1 → ;
• obliczanie odległości punktu od linii M 1 H. 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Rozwiązywanie zadań wyznaczania odległości danego punktu od danej prostej w przestrzeni

Przykład 5

Znajdź odległość punktu o współrzędnych M 1 2, - 4, - 1 do linii x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

Rozwiązanie

Pierwsza metoda rozpoczyna się od zapisania równania płaszczyzny χ przechodzącej przez M 1 i prostopadłej do danego punktu. Otrzymujemy takie wyrażenie:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Należy znaleźć współrzędne punktu H 1, który jest punktem przecięcia płaszczyzny χ z prostą określoną przez warunek. Należy przejść od widoku kanonicznego do widoku przecinającego się. Otrzymujemy wtedy układ równań postaci:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Konieczne jest obliczenie układu x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 metodą Cramera, to otrzymujemy, że:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Stąd mamy H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H. 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Druga metoda musi rozpocząć się od poszukiwania współrzędnych w równaniu kanonicznym. Aby to zrobić, należy zwrócić uwagę na mianowniki ułamka. Następnie a → = 2, - 1, 5 jest wektorem kierunku linii x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Długość należy obliczyć za pomocą wzoru a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Jasne jest, że prosta x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 przecina punkt M 3 (- 1 , 0 , - 5), stąd mamy wektor o początku M 3 (- 1 , 0 , - 5) i jego koniec w punkcie M 1 2, - 4, - 1 to M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Znajdź iloczyn wektorowy a → = (2, - 1, 5) i M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

Otrzymujemy wyrażenie w postaci a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · jot → = 16 · ja → + 7 · jot → - 5 · k →

stwierdzamy, że długość iloczynu wektorowego jest równa a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

Mamy wszystkie dane, aby skorzystać ze wzoru na obliczenie odległości od punktu dla prostej, więc zastosujmy go i otrzymamy:

M 1 H. 1 = za → × M 3 M 1 → za → = 330 30 = 11

Odpowiedź: 11 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter