Funkcja odwrotna do cosinusa
Zakres funkcji y=cos x (patrz rys. 2) to odcinek. Na przedziale funkcja jest ciągła i monotonicznie malejąca.
Ryż. 2
Oznacza to, że funkcja jest zdefiniowana w przedziale, który jest odwrotny do funkcji y=cos x. Ta funkcja odwrotna nosi nazwę arcus cosinus i jest oznaczona jako y=arccos x .
Definicja
Arcus cosinus liczby a, jeśli |a|1 jest kątem, którego cosinus należy do odcinka; jest oznaczony jako arccos a.
Zatem arccos a jest kątem spełniającym dwa następujące warunki: cos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos ?r.
Na przykład arccos, ponieważ cos i; arccos, ponieważ cos.
Funkcja y = arccos x (rys. 3) jest zdefiniowana na odcinku, jej zakres to odcinek. Na odcinku funkcja y=arccos x jest ciągła i maleje monotonicznie od p do 0 (ponieważ y=cos x jest funkcją ciągłą i monotonicznie malejącą na odcinku); na końcach segmentu osiąga skrajne wartości: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Zauważ, że arccos 0 = . Wykres funkcji y \u003d arccos x (patrz ryc. 3) jest symetryczny do wykresu funkcji y \u003d cos x w odniesieniu do linii prostej y \u003d x.
Ryż. 3
Pokażmy, że zachodzi równość arccos(-x) = p-arccos x.
Rzeczywiście, z definicji 0? arccos x? R. Mnożąc przez (-1) wszystkie części ostatniej podwójnej nierówności, otrzymujemy - p? arccos x? 0. Dodając p do wszystkich części ostatniej nierówności, okazuje się, że 0? p-arkcos x? R.
Zatem wartości kątów arccos (-x) i p - arccos x należą do tego samego segmentu. Ponieważ cosinus maleje monotonicznie na segmencie, nie może być na nim dwóch różnych kątów, które mają równe cosinusy. Znajdź cosinusy kątów arccos(-x) i p-arccos x. Z definicji cos (arccos x) = - x, ze wzorów redukcyjnych iz definicji mamy: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Zatem cosinusy kątów są równe, co oznacza, że same kąty są równe.
Funkcja odwrotna do sinusa
Rozważmy funkcję y=sin x (rys. 6), która na odcinku [-p/2;p/2] jest rosnąca, ciągła i przyjmuje wartości z odcinka [-1; jeden]. Stąd na segmencie [- p / 2; p/2] zdefiniowana jest funkcja odwrotna do funkcji y=sin x.
Ryż. 6
Ta funkcja odwrotna nazywa się arcus sinus i oznacza y=arcsin x. Wprowadzamy definicję arcus sinus liczby a.
Arcsinus liczby a, jeśli nazywają kąt (lub łuk), którego sinus jest równy liczbie a i który należy do odcinka [-p / 2; p/2]; jest oznaczony jako arcsin a.
Zatem arcsin a jest kątem spełniającym następujące warunki: sin (arcsin a)=a, |a| ?jeden; -r/2 ? arcsin co? p/2. Na przykład, ponieważ grzech i [- p/2; p/2]; arcsin ponieważ sin = i [-p/2; p/2].
Funkcja y=arcsin x (rys. 7) jest zdefiniowana na przedziale [- 1; 1], jego zakres to segment [-р/2;р/2]. Na segmencie [- 1; 1] funkcja y=arcsin x jest ciągła i monotonicznie wzrastająca od -p/2 do p/2 (wynika to z faktu, że funkcja y=sin x na odcinku [-p/2; p/2] jest ciągła i monotonicznie wzrastające). Przyjmuje największą wartość przy x \u003d 1: arcsin 1 \u003d p / 2, a najmniejszą - przy x \u003d -1: arcsin (-1) \u003d -r / 2. Przy x \u003d 0 funkcja wynosi zero: arcsin 0 \u003d 0.
Pokażmy, że funkcja y = arcsin x jest nieparzysta, tj. arcusin(-x)= - arcsin x dla dowolnego x [ - 1; 1].
Rzeczywiście, z definicji, jeśli |x| ?1, mamy: - р/2 ? arcsin x ? ? p/2. Więc kąty to arcsin(-x) i - arcsin x należą do tego samego segmentu [ - p/2; p/2].
Znajdź ich sinusy kąty: sin (arcsin (-x)) = - x (z definicji); ponieważ funkcja y=sin x jest nieparzysta, to sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Zatem sinusy kątów należących do tego samego przedziału [-p/2; p/2], są równe, co oznacza, że same kąty są równe, tj. arcusin (-x) = - arcsin x. Stąd funkcja y=arcsin x jest nieparzysta. Wykres funkcji y=arcsin x jest symetryczny względem początku.
Pokażmy, że arcsin (sin x) = x dla dowolnego x [-p/2; p/2].
Rzeczywiście, z definicji -p/2 ? arcsin (sin x) ? р/2 i zgodnie z warunkiem -р/2 ? x? p/2. Oznacza to, że kąty x i arcsin (sin x) należą do tego samego przedziału monotoniczności funkcji y=sin x. Jeśli sinusy takich kątów są równe, to same kąty są równe. Znajdźmy sinusy tych kątów: dla kąta x mamy sin x, dla kąta arcsin (sin x) mamy sin (arcsin (sin x)) = sin x. Otrzymaliśmy, że sinusy kątów są równe, więc kąty są równe, tj. arcsin (sin x) = x. .
Ryż. 7
Ryż. 8
Wykres funkcji arcsin (sin|x|) uzyskuje się przez zwykłe przekształcenia modulo z wykresu y=arcsin (sin x) (przedstawionego linią przerywaną na rys. 8). Pożądany wykres y=arcsin (sin |x-/4|) uzyskuje się z niego, przesuwając /4 w prawo wzdłuż osi x (przedstawionej linią ciągłą na rys. 8)
Funkcja odwrotna do stycznej
Funkcja y=tg x na przedziale przyjmuje wszystkie wartości liczbowe: E (tg x)=. Na tym przedziale jest ciągły i monotonicznie narastający. Stąd funkcja jest zdefiniowana na przedziale, który jest odwrotny do funkcji y = tg x. Ta funkcja odwrotna nazywa się arc tangens i oznacza y = arctg x.
Arcus tangens liczby a jest kątem od przedziału, którego tangens jest równy a. Zatem arctg a jest kątem spełniającym następujące warunki: tg (arctg a) = a i 0 ? arctg a ? R.
Tak więc dowolna liczba x zawsze odpowiada jedynej wartości funkcji y \u003d arctg x (ryc. 9).
Oczywiście, D (arctg x) = , E (arctg x) = .
Funkcja y = arctg x rośnie, ponieważ funkcja y = tg x rośnie w przedziale. Łatwo udowodnić, że arctg(-x) = - arctgx, czyli że arcus tangens jest funkcją nieparzystą.
Ryż. 9
Wykres funkcji y = arctg x jest symetryczny do wykresu funkcji y = tg x względem prostej y = x, wykres y = arctg x przechodzi przez początek (ponieważ arctan 0 = 0) i jest symetryczny względem początku (jako wykres funkcji nieparzystej).
Można udowodnić, że arctg (tg x) = x jeśli x.
Funkcja odwrotna cotangensa
Funkcja y = ctg x na przedziale pobiera wszystkie wartości liczbowe z przedziału. Jego zakres wartości pokrywa się ze zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych. W przedziale funkcja y = ctg x jest ciągła i monotonicznie rosnąca. Stąd funkcja jest zdefiniowana na tym przedziale, który jest odwrotny do funkcji y = ctg x. Odwrotna funkcja cotangensa nazywana jest arcus cotangens i oznaczana jest jako y = arcctg x.
Arcus tangens liczby a jest kątem należącym do przedziału, którego cotangens jest równy a.
Zatem arcctg a jest kątem spełniającym następujące warunki: ctg (arcctg a)=a i 0 ? arcctg a ? R.
Z definicji funkcji odwrotnej i definicji arcus tangens wynika, że D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Arc tangens jest funkcją malejącą, ponieważ funkcja y = ctg x maleje w przedziale.
Wykres funkcji y \u003d arcctg x nie przecina osi Wół, ponieważ y\u003e 0 R. Przy x \u003d 0 y \u003d arcctg 0 \u003d.
Wykres funkcji y = arcctg x pokazano na rysunku 11.
Ryż. 11
Zauważ, że dla wszystkich rzeczywistych wartości x identyczność jest prawdziwa: arcctg(-x) = p-arcctg x.
Odwrotne funkcje trygonometryczne to funkcje matematyczne będące odwrotnością funkcji trygonometrycznych.
Funkcja y=arcsin(x)
Arcsinusem liczby α jest taka liczba α z przedziału [-π/2; π/2], której sinus jest równy α.
Wykres funkcji
Funkcja y \u003d sin (x) w przedziale [-π / 2; π / 2] jest ściśle rosnąca i ciągła; dlatego ma funkcję odwrotną, która jest ściśle rosnąca i ciągła.
Funkcja odwrotna dla funkcji y= sin(x), gdzie x ∈[-π/2;π/2], nazywana jest arcus sinus i oznaczana jako y=arcsin(x), gdzie x∈[-1;1 ].
Tak więc, zgodnie z definicją funkcji odwrotnej, dziedziną definicji arcus sinus jest odcinek [-1; 1], a zbiorem wartości jest odcinek [-π/2; π/2].
Zauważ, że wykres funkcji y=arcsin(x), gdzie x ∈[-1;1].jest symetryczny do wykresu funkcji y= sin(x), gdzie x∈[-π/2;π /2], w odniesieniu do dwusiecznej kątów współrzędnych pierwszej i trzeciej ćwiartki.
Zakres funkcji y=arcsin(x).
Przykład numer 1.
Znajdź arcsin(1/2)?
Ponieważ zakres funkcji arcsin(x) należy do przedziału [-π/2;π/2], odpowiednia jest tylko wartość π/6, stąd arcsin(1/2) = π/6.
Odpowiedź: π/6
Przykład #2.
Znajdź arcsin(-(√3)/2)?
Ponieważ zakres arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], tylko wartość -π/3 jest odpowiednia, dlatego arcsin(-(√3)/2) =-π/3.
Funkcja y=arccos(x)
Arccosinus liczby α jest liczbą α z przedziału, którego cosinus jest równy α.
Wykres funkcji
Funkcja y= cos(x) na przedziale jest ściśle malejąca i ciągła; dlatego ma funkcję odwrotną, która jest ściśle malejąca i ciągła.
Funkcja odwrotna dla funkcji y= cosx, gdzie x ∈, nazywa się cosinus łuku i oznaczono y=arccos(x), gdzie x ∈[-1;1].
Tak więc, zgodnie z definicją funkcji odwrotnej, dziedziną definicji arcus cosinus jest odcinek [-1;1], a zbiorem wartości jest odcinek.
Zauważ, że wykres funkcji y=arccos(x), gdzie x ∈[-1;1] jest symetryczny do wykresu funkcji y= cos(x), gdzie x ∈, względem dwusiecznej współrzędne kąty pierwszej i trzeciej ćwiartki.
Zakres funkcji y=arccos(x).
Przykład #3.
Znajdź arccos(1/2)?
Ponieważ zakres arccos(x) wynosi x∈, odpowiednia jest tylko wartość π/3, dlatego arccos(1/2) =π/3.
Przykład numer 4.
Znajdź arccos(-(√2)/2)?
Ponieważ zakres funkcji arccos(x) należy do przedziału , to odpowiednia jest tylko wartość 3π/4, czyli arccos(-(√2)/2) =3π/4.
Odpowiedź: 3π/4
Funkcja y=arctg(x)
Arcus tangens liczby α to taka liczba α z przedziału [-π/2; π/2], której tangens jest równy α.
Wykres funkcji 
Funkcja styczna jest ciągła i ściśle rosnąca na przedziale (-π/2; π/2); dlatego ma funkcję odwrotną, która jest ciągła i ściśle rosnąca.
Funkcja odwrotna dla funkcji y= tg(x), gdzie x∈(-π/2;π/2); nazywa się arcus tangens i oznacza y=arctg(x), gdzie x∈R.
Tak więc, zgodnie z definicją funkcji odwrotnej, dziedziną definicji arcus tangens jest przedział (-∞;+∞), a zbiorem wartości jest przedział
(-π/2;π/2).
Zauważ, że wykres funkcji y=arctg(x), gdzie x∈R, jest symetryczny do wykresu funkcji y=tgx, gdzie x ∈ (-π/2;π/2), w odniesieniu do dwusieczna kątów współrzędnych pierwszej i trzeciej ćwiartki.
Zakres funkcji y=arctg(x).
Przykład nr 5?
Znajdź arctg((√3)/3).
Ponieważ zakres arctan(x) x ∈(-π/2;π/2), tylko wartość π/6 jest odpowiednia, dlatego arctg((√3)/3) =π/6.
Przykład nr 6.
Znajdź arctg(-1)?
Ponieważ zakres arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), tylko wartość -π/4 jest odpowiednia, zatem arctg(-1) = -π/4.
Funkcja y=arctg(x)
Arcus tangens liczby α to taka liczba α z przedziału (0; π), której cotangens jest równy α.
Wykres funkcji
Na przedziale (0;π) funkcja cotangensa ściśle maleje; ponadto jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału; dlatego na przedziale (0;π) funkcja ta ma funkcję odwrotną, która jest ściśle malejąca i ciągła.
Funkcja odwrotna dla funkcji y=ctg(x), gdzie x ∈(0;π), nazywana jest arcus cotangens i oznaczana jako y=arcctg(x), gdzie x∈R.
Tak więc, zgodnie z definicją funkcji odwrotnej, dziedziną definicji arcus tangens będzie R, a zbiorem wartości będzie przedział (0; π).;π), względem dwusiecznej współrzędne kątów pierwszej i trzeciej ćwiartki.
Zakres funkcji y=arcctg(x).
Przykład numer 7.
Znaleźć arcctg((√3)/3)?
Ponieważ zakres arcctg(x) x ∈(0;π), tylko wartość π/3 jest odpowiednia, zatem arccos((√3)/3) =π/3.
Przykład numer 8.
Znaleźć arcctg(-(√3)/3)?
Ponieważ zakres arcctg(x) x∈(0;π), tylko wartość 2π/3 jest odpowiednia, zatem arccos(-(√3)/3) =2π/3.
Redakcja: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna
Odwrotne funkcje trygonometryczne są szeroko stosowane w analizie matematycznej. Jednak dla większości uczniów szkół ponadgimnazjalnych zadania związane z tego typu funkcją sprawiają znaczne trudności. Wynika to głównie z faktu, że w wielu podręcznikach i podręcznikach zbyt mało uwagi poświęca się tego rodzaju problemom. A jeśli uczniowie w jakiś sposób radzą sobie z zadaniami obliczania wartości odwrotnych funkcji trygonometrycznych, to równania i nierówności zawierające takie funkcje w większości mylą dzieci. W rzeczywistości nie jest to zaskakujące, ponieważ praktycznie żaden podręcznik nie wyjaśnia metody rozwiązywania nawet najprostszych równań i nierówności zawierających odwrotne funkcje trygonometryczne.
Rozważ kilka równań i nierówności zawierających odwrotne funkcje trygonometryczne i rozwiąż je ze szczegółowym wyjaśnieniem.
Przykład 1
Rozwiąż równanie: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.
Decyzja.
Wyrażamy odwrotną funkcję trygonometryczną z równania, otrzymujemy:
arccos (2x + 3) = 5π/6. Użyjmy teraz definicji arccosinusa.
Arccosinus pewnej liczby a należącej do odcinka od -1 do 1 jest takim kątem y od odcinka od 0 do π, że jego cosinus jest równy liczbie x. Dlatego można to napisać tak:
2x + 3 = cos 5π/6.
Piszemy prawą stronę wynikowego równania zgodnie ze wzorem redukcyjnym:
2x + 3 = cos(π - π/6).
2x + 3 = -cos π/6;
2x + 3 = -√3/2;
2x = -3 - √3/2.
Sprowadźmy prawą stronę do wspólnego mianownika.
2x = -(6 + √3) / 2;
x = -(6 + √3) / 4.
Odpowiedź: -(6 + √3) / 4 .
Przykład 2
Rozwiąż równanie: cos (arccos (4x - 9)) = x 2 - 5x + 5.
Decyzja.
Ponieważ cos (arcсos x) = x gdzie x należy do [-1; 1], to równanie to jest równoważne układowi:
(4x - 9 = x 2 - 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.
Rozwiążmy równanie zawarte w systemie.
4x - 9 = x 2 - 5x + 5.
Jest kwadratowy, więc to rozumiemy
x 2 - 9x + 14 \u003d 0;
D \u003d 81 - 4 14 \u003d 25;
x 1 \u003d (9 + 5) / 2 \u003d 7;
x 2 \u003d (9 - 5) / 2 \u003d 2.
Rozwiążmy podwójną nierówność zawartą w systemie.
1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Dodaj 9 do wszystkich części, otrzymamy:
8 ≤ 4x ≤ 10. Podziel każdą liczbę przez 4, otrzymamy:
2 ≤ x ≤ 2,5.
Teraz połączmy odpowiedzi. Łatwo zauważyć, że pierwiastek x = 7 nie spełnia odpowiedzi dotyczącej nierówności. Dlatego jedynym rozwiązaniem równania będzie x = 2.
Odpowiedź: 2.
Przykład 3
Rozwiązać równanie: tg (arctg (0,5 - x)) = x 2 - 4x + 2,5.
Decyzja.
Ponieważ tg (arctg x) = x dla wszystkich liczb rzeczywistych, to równanie jest równoważne równaniu:
0,5 - x \u003d x 2 - 4x + 2,5.
Otrzymane równanie kwadratowe rozwiązujemy za pomocą wyróżnika, po doprowadzeniu go do postaci standardowej.
x 2 - 3x + 2 = 0;
D \u003d 9 - 4 2 \u003d 1;
x 1 \u003d (3 + 1) / 2 \u003d 2;
x 2 \u003d (3 - 1) / 2 \u003d 1.
Odpowiedź 1; 2.
Przykład 4
Rozwiąż równanie: arcctg (2x - 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).
Decyzja.
Ponieważ arcctg f(x) = arcctg g(x) wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = g(x), to 
2x - 1 \u003d x 2 / 2 + x / 2. Rozwiążmy powstałe równanie kwadratowe:
4x - 2 \u003d x 2 + x;
x 2 - 3x + 2 = 0.
Z twierdzenia Viety otrzymujemy to
x=1 lub x=2.
Odpowiedź 1; 2.
Przykład 5
Rozwiąż równanie: arcsin (2x - 15) = arcsin (x 2 - 6x - 8).
Decyzja.
Ponieważ równanie postaci arcsin f(x) = arcsin g(x) jest równoważne z układem
(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],
wtedy pierwotne równanie jest równoważne układowi:
(2x - 15 = x 2 - 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.
Rozwiążmy powstały system:
(x 2 - 8x + 7 \u003d 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.
Z pierwszego równania, zgodnie z twierdzeniem Vieta, mamy, że x = 1 lub x = 7. Rozwiązując drugą nierówność układu, otrzymujemy, że 7 ≤ x ≤ 8. Dlatego tylko pierwiastek x = 7 jest odpowiedni w ostateczna odpowiedź.
Odpowiedź: 7.
Przykład 6
Rozwiąż równanie: (arccos x) 2 - 6 arccos x + 8 = 0.
Decyzja.
Niech arccos x = t, to t należy do odcinka, a równanie staje się:
t 2 - 6t + 8 = 0. Otrzymane równanie kwadratowe rozwiązujemy za pomocą twierdzenia Vieta, otrzymujemy, że t = 2 lub t = 4.
Ponieważ t = 4 nie należy do odcinka , otrzymujemy, że t = 2, tj. arccos x \u003d 2, co oznacza x \u003d cos 2.
Odpowiedź: cos 2.
Przykład 7
Rozwiąż równanie: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.
Decyzja.
Korzystamy z równości arcsin x + arccos x = π/2 i zapisujemy równanie jako
(arcsin x) 2 + (π/2 - arcsin x) 2 = 5π 2 /36.
Niech arcsin x = t, to t należy do przedziału [-π/2; π/2] i równanie staje się:
t 2 + (π / 2 - t) 2 \u003d 5π 2 / 36.
Rozwiążmy otrzymane równanie:
t 2 + π 2 /4 - πt + t 2 = 5π 2 /36;
2t 2 - πt + 9π 2 /36 - 5π 2 /36 = 0;
2t 2 - πt + 4π 2 /36 = 0;
2t 2 - πt + π 2 / 9 = 0. Pomnóż każdy wyraz przez 9, aby pozbyć się ułamków w równaniu, otrzymujemy:
18t 2 - 9πt + π 2 \u003d 0.
Znajdź dyskryminację i rozwiąż otrzymane równanie:
D \u003d (-9π) 2 - 4 18 π 2 \u003d 9π 2.
t = (9π - 3π) / 2 18 lub t = (9π + 3π) / 2 18;
t = 6π/36 lub t = 12π/36.
Po redukcji mamy:
t = π/6 lub t = π/3. Następnie
arcsin x = π/6 lub arcsin x = π/3.
Więc x = sin π/6 lub x = sin π/3. Oznacza to, że x = 1/2 lub x = √3/2.
Odpowiedź: 1/2; √3/2.
Przykład 8
Znajdź wartość wyrażenia 5nx 0, gdzie n to liczba pierwiastków, a x 0 to pierwiastek ujemny z równania 2 arcsin x = - π - (x + 1) 2.
Decyzja.
Ponieważ -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, to -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Ponadto (x + 1) 2 ≥ 0 dla wszystkich rzeczywistych x,
wtedy -(x + 1) 2 ≤ 0 i -π – (x + 1) 2 ≤ -π.
Zatem równanie może mieć rozwiązanie, jeśli obie jego części są jednocześnie równe –π, tj. równanie jest równoważne z układem:
(2 arcsin x = -π,
(-π - (x + 1) 2 = -π.
Rozwiążmy powstały układ równań:
(arcsin x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.
Z drugiego równania mamy odpowiednio x \u003d -1, n \u003d 1, a następnie 5nx 0 \u003d 5 1 (-1) \u003d -5.
Odpowiedź: -5.
Jak pokazuje praktyka, umiejętność rozwiązywania równań za pomocą odwrotnych funkcji trygonometrycznych jest warunkiem koniecznym pomyślnego zdania egzaminów. Dlatego szkolenie w rozwiązywaniu takich problemów jest po prostu konieczne i obowiązkowe w przygotowaniu do egzaminu.
Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak rozwiązywać równania?
Aby uzyskać pomoc od korepetytora -.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!
blog.site, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
