Mieszany iloczyn wektorów. Iloczyn wektorowy wektorów. Iloczyn mieszany wektorów Objętość pudełka przy użyciu wektorów

Dla wektorów , oraz , podanych przez ich współrzędne , , iloczyn mieszany oblicza się ze wzoru: .

Stosowany jest produkt mieszany: 1) obliczyć objętości czworościanu i równoległościanu zbudowanego na wektorach , oraz , jak na krawędziach, według wzoru: ; 2) jako warunek współpłaszczyznowości wektorów , oraz : i są współpłaszczyznowe.

Temat 5. Linie proste i płaszczyzny.

Normalny wektor liniowy , wywoływany jest dowolny niezerowy wektor prostopadły do danej linii. Kierunek wektor prosty , wywoływany jest dowolny niezerowy wektor równoległy do podanej linii.

Prosty na powierzchni

1) - ogólne równanie linia prosta, gdzie jest wektorem normalnym linii prostej;

2) - równanie prostej przechodzącej przez punkt prostopadły do danego wektora ;

3) równanie kanoniczne );

5) - równania linii ze spadkiem , gdzie jest punkt, przez który przechodzi linia; () - kąt, jaki linia tworzy z osią; - długość odcinka (ze znakiem ) odciętego prostą na osi (znak „ ” jeśli odcinek jest odcięty na dodatniej części osi i „ ” na ujemnej części).

6) - równanie linii prostej w kawałkach, gdzie i są długościami odcinków (ze znakiem ) odciętymi linią prostą na osiach współrzędnych oraz (znak „ ” jeśli odcinek jest odcięty na dodatniej części osi i „ ” jeśli na ujemnej ).

Odległość od punktu do linii , podane przez ogólne równanie na płaszczyźnie, znajduje się wzorem:

Zastrzyk , ( )między prostymi liniami i , podane przez ogólne równania lub równania z nachyleniem, można znaleźć za pomocą jednego z następujących wzorów:

Jeśli lub .

Jeśli lub

Współrzędne punktu przecięcia linii i są znalezione jako rozwiązanie układu równań liniowych: lub .

Wektor normalny płaszczyzny , wywoływany jest dowolny niezerowy wektor prostopadły do danej płaszczyzny.

Samolot w układzie współrzędnych można podać równaniem jednego z następujących typów:

1) - ogólne równanie płaszczyzna, gdzie jest wektorem normalnym płaszczyzny;

2) - równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt prostopadły do danego wektora ;

3) - równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty , oraz ;

4) - równanie samolotu w kawałkach, gdzie , i są długościami odcinków (ze znakiem ) odciętymi przez płaszczyznę na osiach współrzędnych , oraz (znak „ ” jeśli odcinek jest odcięty na dodatniej części osi i „ ” na ujemnym jeden).

Odległość od punktu do płaszczyzny , dane ogólnym równaniem , znajduje się wzorem:

Zastrzyk ,( )między samolotami a , podane za pomocą ogólnych równań, znajduje się wzorem:

Prosty w kosmosie w układzie współrzędnych można podać równaniem jednego z następujących typów:

1) - ogólne równanie linia prosta, jako linie przecięcia dwóch płaszczyzn, gdzie i są wektorami normalnymi płaszczyzn i;

2) - równanie prostej przechodzącej przez punkt równoległy do danego wektora ( równanie kanoniczne );

3) - równanie prostej przechodzącej przez dwa podane punkty , ;

4) - równanie prostej przechodzącej przez punkt równoległy do danego wektora, ( równanie parametryczne );

Zastrzyk , ( ) między prostymi liniami oraz w kosmosie , podane przez równania kanoniczne, znajduje się wzorem:

Współrzędne punktu przecięcia linii , dane równaniem parametrycznym i samolot , podane przez równanie ogólne, znajdują się jako rozwiązanie układu równań liniowych: .

Zastrzyk , ( ) między linią , podane przez równanie kanoniczne i samolot , podane przez ogólne równanie znajduje się wzorem: .

Temat 6. Krzywe drugiego rzędu.

Krzywa algebraiczna drugiego rzędu w układzie współrzędnych nazywana jest krzywą, ogólne równanie który wygląda tak:

gdzie liczby - nie są jednocześnie równe zeru. Istnieje następująca klasyfikacja krzywych drugiego rzędu: 1) jeśli , to równanie ogólne definiuje krzywą typ eliptyczny (kółko (w ), elipsa (w ), zbiór pusty, kropka); 2) jeśli , to - krzywa typ hiperboliczny (hiperbola, para przecinających się linii); 3) jeśli , to - krzywa typ paraboliczny(parabola, zbiór pusty, linia, para linii równoległych). Nazywa się koło, elipsę, hiperbolę i parabolę krzywe niezdegenerowane drugiego rzędu.

Ogólne równanie , gdzie , które definiuje niezdegenerowaną krzywą (okrąg, elipsa, hiperbola, parabola), można zawsze (przy użyciu metody zaznaczania pełnych kwadratów) zredukować do równania jednego z następujących typów:

1a) - równanie okręgu wyśrodkowane na punkcie i promieniu (ryc. 5).

1b)- równanie elipsy wyśrodkowanej w punkcie i osiach symetrii równoległych do osi współrzędnych. Liczby i - są nazywane półosie elipsy główny prostokąt elipsy; wierzchołki elipsy .

Aby zbudować elipsę w układzie współrzędnych: 1) zaznacz środek elipsy; 2) przez środek przekreślamy linią przerywaną oś symetrii elipsy; 3) główny prostokąt elipsy budujemy linią przerywaną o środku i bokach równoległych do osi symetrii; 4) rysujemy elipsę linią ciągłą, wpisując ją w główny prostokąt tak, aby elipsa dotykała boków tylko na wierzchołkach elipsy (ryc. 6).

Podobnie skonstruowane jest koło, którego główny prostokąt ma boki (ryc. 5).

Rys.5 Rys.6

2) - równania hiperboli (tzw. sprzężony) wyśrodkowany w punkcie i osiach symetrii równoległych do osi współrzędnych. Liczby i - są nazywane półosi hiperboli ; prostokąt o bokach równoległych do osi symetrii i wyśrodkowany w punkcie - główny prostokąt hiperboli; punkty przecięcia głównego prostokąta z osiami symetrii - wierzchołki hiperboli; linie prosteprzechodzące przez przeciwległe wierzchołki prostokąta głównego - asymptoty hiperboli .

Aby zbudować hiperbolę w układzie współrzędnych: 1) zaznacz środek hiperboli; 2) przez środek przekreślamy linią przerywaną oś symetrii hiperboli; 3) budujemy główny prostokąt hiperboli z linią przerywaną o środku i bokach oraz równoległymi do osi symetrii; 4) rysujemy linie proste przez przeciwległe wierzchołki głównego prostokąta linią przerywaną, które są asymptotami hiperboli, do których gałęzie hiperboli zbliżają się nieskończenie blisko, w nieskończonej odległości od początku współrzędnych, nie przecinając ich; 5) przedstawiamy gałęzie hiperboli (ryc. 7) lub hiperboli (ryc. 8) linią ciągłą.

Rys.7 Rys.8

3a)- równanie paraboli z wierzchołkiem w punkcie i osią symetrii równoległą do osi współrzędnych (ryc. 9).

3b)- równanie paraboli z wierzchołkiem w punkcie i osią symetrii równoległą do osi współrzędnych (ryc. 10).

Aby zbudować parabolę w układzie współrzędnych: 1) zaznacz górę paraboli; 2) przez wierzchołek przekreślamy linią przerywaną oś symetrii paraboli; 3) przedstawiamy parabolę linią ciągłą, kierując jej gałąź, biorąc pod uwagę znak parametru paraboli: w - w kierunku dodatnim osi współrzędnych równoległej do osi symetrii paraboli (ryc. 9a i 10a); w - po ujemnej stronie osi współrzędnych (ryc. 9b i 10b) .

Ryż. 9a Rys. 9b

Ryż. 10a Rys. 10b

Temat 7. Zestawy. Zbiory numeryczne. Funkcjonować.

Pod wiele rozumieć pewien zbiór obiektów o dowolnej naturze, które można od siebie odróżnić i można je sobie wyobrazić jako jedną całość. Przedmioty tworzące zbiór nazywają go elementy . Zbiór może być nieskończony (składa się z nieskończonej liczby elementów), skończony (składa się z skończonej liczby elementów), pusty (nie zawiera ani jednego elementu). Zestawy są oznaczone przez , a ich elementy przez . Pusty zestaw jest oznaczony przez .

Ustaw połączenie podzbiór set jeśli wszystkie elementy zbioru należą do zbioru i napisz . Zestawy i nazywane równy , jeśli składają się z tych samych elementów i zapisują . Dwa zestawy i będą równe wtedy i tylko wtedy, gdy i .

Ustaw połączenie uniwersalny (w ramach tej teorii matematycznej) , jeśli jego elementami są wszystkie obiekty rozważane w tej teorii.

Wiele można ustawić: 1) wyliczenie wszystkich jego elementów, na przykład: (tylko dla zbiorów skończonych); 2) ustalając regułę określającą, czy element zbioru uniwersalnego należy do danego zbioru: .

Stowarzyszenie

przejście zestawy i nazywa się zestawem

różnica zestawy i nazywa się zestawem

Suplement zestawy (aż do zestawu uniwersalnego) nazywamy zestawem.

Dwa zestawy i są nazywane równowartość i napisz ~ jeśli można ustalić zgodność jeden do jednego między elementami tych zbiorów. Zestaw nazywa się policzalny , jeśli jest równoważny zbiorowi liczb naturalnych : ~ . Pusty zbiór jest z definicji policzalny.

Pojęcie kardynalności zbioru powstaje, gdy zbiory są porównywane według liczby elementów, które zawierają. Kardynalność zbioru oznaczono symbolem . Kardynalność zbioru skończonego to liczba jego elementów.

Równoważne zestawy mają tę samą kardynalność. Zestaw nazywa się niepoliczalne jeśli jego moc jest większa niż moc zbioru.

Ważny (prawdziwy) numer nazywa się nieskończonym ułamkiem dziesiętnym, przyjmowanym ze znakiem „+” lub „”. Liczby rzeczywiste są utożsamiane z punktami na osi liczbowej. moduł (wartość bezwzględna) liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną:

Zestaw nazywa się liczbowy jeśli jego elementy są liczbami rzeczywistymi w przerwach zestawy liczb nazywane są: , , , , , , , , .

Zbiór wszystkich punktów na osi liczbowej, które spełniają warunek , gdzie jest dowolnie małą liczbą, nazywamy -sąsiedztwo (lub po prostu sąsiedztwo) punktu i jest oznaczone przez . Zbiór wszystkich punktów według warunku , gdzie jest dowolnie dużą liczbą, nazywa się - sąsiedztwo (lub po prostu sąsiedztwo) nieskończoności i jest oznaczone przez .

Wielkość, która zachowuje tę samą wartość liczbową, nazywa się stały. Nazywa się wielkość, która przyjmuje różne wartości liczbowe zmienny. Funkcjonować wywoływana jest reguła, zgodnie z którą każdemu numerowi przypisywana jest jedna, dobrze zdefiniowana liczba, a oni piszą. Zestaw nazywa się domena definicji Funkcje, - wiele ( lub region ) wartości Funkcje, - argument , - wartość funkcji . Najpopularniejszym sposobem określenia funkcji jest metoda analityczna, w której funkcję podaje wzór. domena naturalna funkcja to zbiór wartości argumentu, dla którego ta formuła ma sens. Wykres funkcji , w prostokątnym układzie współrzędnych , jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych , .

Funkcja nazywa się parzysty na zbiorze symetrycznym względem punktu , jeśli dla wszystkich spełniony jest warunek: i dziwne jeśli warunek jest spełniony. W przeciwnym razie funkcja ogólna lub ani parzyste, ani dziwne .

Funkcja nazywa się czasopismo na zestawie, jeśli istnieje numer ( okres funkcji ) w taki sposób, że dla wszystkich spełniony jest następujący warunek: . Najmniejsza liczba nazywa się okresem głównym.

Funkcja nazywa się monotonicznie rosnący (zanikający ) na zestawie, jeśli większa wartość argumentu odpowiada większej (mniejszej) wartości funkcji .

Funkcja nazywa się ograniczony na zbiorze , jeśli istnieje taka liczba , że dla wszystkich spełniony jest następujący warunek : . W przeciwnym razie funkcja to Nieograniczony .

Odwrócić funkcjonować , , taka funkcja nazywa się , która jest zdefiniowana na zbiorze i dla każdego

Mecze takie, że . Aby znaleźć funkcję odwrotną do funkcji , musisz rozwiązać równanie stosunkowo. Jeśli funkcja , jest ściśle monotoniczny na , to zawsze ma odwrotność, a jeśli funkcja rośnie (maleje), to funkcja odwrotna również rośnie (maleje).

Funkcja reprezentowana jako , gdzie , to niektóre funkcje takie, że dziedzina definicji funkcji zawiera cały zbiór wartości funkcji , jest nazywana złożona funkcja niezależny argument. Zmienna nazywana jest argumentem pośrednim. Funkcja złożona nazywana jest także złożeniem funkcji i , i jest zapisywana: .

Podstawowe podstawowe funkcje to: moc funkcja , demonstracja funkcja ( , ), logarytmiczny funkcja ( , ), trygonometryczny Funkcje , , , , odwrotny trygonometryczny Funkcje , , , . Podstawowy nazywana jest funkcją uzyskaną z podstawowych funkcji elementarnych przez skończoną liczbę ich działań arytmetycznych i złożeń.

Jeżeli podano wykres funkcji, to konstrukcja wykresu funkcji sprowadza się do szeregu przekształceń (przesunięcie, ściskanie lub rozciąganie, wyświetlanie) wykresu:

1) 2) transformacja wyświetla wykres symetrycznie wokół osi ; 3) transformacja przesuwa wykres wzdłuż osi o jednostki ( - w prawo, - w lewo); 4) przekształcenie przesuwa wykres wzdłuż osi o jednostki ( - w górę, - w dół); 5) wykres transformacji wzdłuż osi rozciąga się w czasie, jeśli lub kompresuje w czasie, jeśli ; 6) przekształcenie wykresu wzdłuż osi kompresuje o współczynnik if lub rozciąga się o współczynnik if .

Sekwencję przekształceń podczas kreślenia wykresu funkcji można przedstawić symbolicznie jako:

Notatka. Wykonując transformację, pamiętaj, że wielkość przesunięcia wzdłuż osi jest określona przez stałą, która jest dodawana bezpośrednio do argumentu, a nie do argumentu.

Wykres funkcji to parabola z wierzchołkiem w , której gałęzie są skierowane w górę jeśli lub w dół jeśli . Wykres funkcji liniowo-ułamkowej to hiperbola wyśrodkowana w punkcie , której asymptoty przechodzą przez środek, równolegle do osi współrzędnych. , spełniający warunek. nazywa.

W tej lekcji przyjrzymy się dwóm kolejnym operacjom na wektorach: iloczyn krzyżowy wektorów oraz iloczyn mieszany wektorów (bezpośredni link dla tych, którzy tego potrzebują). W porządku, czasami zdarza się, że dla pełnego szczęścia, oprócz iloczyn skalarny wektorów, potrzeba coraz więcej. Takie jest uzależnienie od wektorów. Można odnieść wrażenie, że wkraczamy w dżunglę geometrii analitycznej. To nie jest prawda. W tej sekcji matematyki wyższej jest na ogół mało drewna na opał, z wyjątkiem być może wystarczającej dla Pinokia. W rzeczywistości materiał jest bardzo powszechny i prosty - niewiele trudniejszy niż ten sam iloczyn skalarny, nawet będzie mniej typowych zadań. Najważniejszą rzeczą w geometrii analitycznej, jak wielu widzi lub już widziało, jest NIE BŁĘDNE OBLICZENIA. Powtarzaj jak zaklęcie, a będziesz szczęśliwy =)

Jeśli wektory błyszczą gdzieś daleko, jak błyskawica na horyzoncie, to nie ma znaczenia, zacznij od lekcji Wektory dla manekinów przywrócić lub ponownie zdobyć podstawową wiedzę o wektorach. Bardziej przygotowani czytelnicy mogą selektywnie zapoznać się z informacjami, starałem się zebrać jak najpełniejszy zbiór przykładów, które często znajdują się w pracy praktycznej

Co cię uszczęśliwi? Kiedy byłem mały, potrafiłem żonglować dwiema, a nawet trzema piłeczkami. Wyszło dobrze. Teraz w ogóle nie ma potrzeby żonglować, ponieważ rozważymy tylko wektory kosmiczne, a płaskie wektory z dwiema współrzędnymi zostaną pominięte. Czemu? Tak narodziły się te działania - wektor i mieszany produkt wektorów są zdefiniowane i działają w przestrzeni trójwymiarowej. Już łatwiej!

W tej operacji, podobnie jak w iloczynie skalarnym, dwa wektory. Niech to będą niezniszczalne litery.

Sama akcja oznaczone w następujący sposób: . Istnieją inne opcje, ale jestem przyzwyczajony do wyznaczania iloczynu krzyżowego wektorów w ten sposób, w nawiasach kwadratowych z krzyżem.

I natychmiast pytanie: jeśli w iloczyn skalarny wektorów zaangażowane są dwa wektory, a tutaj również mnożone są dwa wektory, więc jaka jest różnica? Wyraźna różnica przede wszystkim w WYNIKU:

Wynikiem iloczynu skalarnego wektorów jest LICZBA:

Wynikiem iloczynu krzyżowego wektorów jest WEKTOR: to znaczy mnożymy wektory i otrzymujemy wektor ponownie. Klub zamknięty. Właściwie stąd nazwa operacji. W różnej literaturze edukacyjnej oznaczenia mogą się również różnić, będę używał litery .

Definicja produktu krzyżowego

Najpierw będzie definicja ze zdjęciem, potem komentarze.

Definicja: produkt krzyżowy niewspółliniowe wektory , podjęte w tej kolejności, nazywa się WEKTOR, długość co jest liczbowo równa powierzchni równoległoboku, zbudowany na tych wektorach; wektor prostopadły do wektorów, i jest tak ukierunkowany, aby podstawa miała właściwą orientację:

Analizujemy definicję po kościach, jest wiele ciekawych rzeczy!

Możemy więc podkreślić następujące ważne punkty:

1) Wektory źródłowe, z definicji wskazane czerwonymi strzałkami nie współliniowe. Właściwe będzie rozważenie przypadku wektorów współliniowych nieco później.

2) Zrobione wektory w ścisłej kolejności: – „a” mnoży się przez „być”, a nie „być” na „a”. Wynik mnożenia wektorów to VECTOR , który jest oznaczony na niebiesko. Jeśli wektory pomnożymy w odwrotnej kolejności, otrzymamy wektor o równej długości i przeciwnym kierunku (kolor karmazynowy). To znaczy równość .

3) Teraz zapoznajmy się z geometrycznym znaczeniem iloczynu wektorowego. To bardzo ważny punkt! DŁUGOŚĆ wektora niebieskiego (a zatem wektora karmazynowego) jest liczbowo równa POLE równoległoboku zbudowanego na wektorach . Na rysunku ten równoległobok jest zacieniony na czarno.

Notatka : rysunek jest schematyczny i oczywiście nominalna długość produktu poprzecznego nie jest równa powierzchni równoległoboku.

Przypominamy sobie jedną z formuł geometrycznych: powierzchnia równoległoboku jest równa iloczynowi sąsiednich boków i sinusowi kąta między nimi. Dlatego na podstawie powyższego obowiązuje wzór na obliczanie DŁUGOŚCI iloczynu wektorowego:

Podkreślam, że we wzorze mówimy o DŁUGOŚCI wektora, a nie o samym wektorze. Jakie jest praktyczne znaczenie? A znaczenie jest takie, że w problemach geometrii analitycznej obszar równoległoboku często znajduje się w koncepcji produktu wektorowego:

Otrzymujemy drugą ważną formułę. Przekątna równoległoboku (czerwona przerywana linia) dzieli go na dwa równe trójkąty. Dlatego obszar trójkąta zbudowanego na wektorach (cieniowanie na czerwono) można znaleźć za pomocą wzoru:

4) Równie ważnym faktem jest to, że wektor jest prostopadły do wektorów , czyli . Oczywiście przeciwnie skierowany wektor (karmazynowa strzałka) jest również prostopadły do oryginalnych wektorów .

5) Wektor jest tak skierowany, że podstawa To ma Prawidłowy orientacja. W lekcji o przejście na nowe podstawy Omówiłem szczegółowo orientacja płaszczyzny, a teraz dowiemy się, jaka jest orientacja przestrzeni. Wyjaśnię na palcach prawa ręka. Połącz się psychicznie palec wskazujący z wektorem i środkowy palec z wektorem . Palec serdeczny i mały palec wciśnij w dłoń. W rezultacie kciuk- produkt wektorowy zostanie wyszukany. To jest podstawa zorientowana na prawo (jest na rysunku). Teraz zamień wektory ( palce wskazujące i środkowe) w niektórych miejscach kciuk się odwróci, a produkt wektorowy będzie już patrzeć w dół. Jest to również podstawa zorientowana na prawo. Być może masz pytanie: jaka podstawa ma orientację lewicową? „Przypisz” te same palce lewa ręka wektory i uzyskaj lewą podstawę i orientację lewej przestrzeni (w tym przypadku kciuk będzie znajdował się w kierunku dolnego wektora). Mówiąc obrazowo, te podstawy „skręcają” lub orientują przestrzeń w różnych kierunkach. I tej koncepcji nie należy uważać za coś naciąganego lub abstrakcyjnego - na przykład najzwyklejsze lustro zmienia orientację przestrzeni, a jeśli „wyciągniesz odbity obiekt z lustra”, to na ogół nie będzie możliwe połącz go z „oryginałem”. Przy okazji przyłóż trzy palce do lustra i przeanalizuj odbicie ;-)

... jak dobrze, o czym teraz wiesz prawo i lewo zorientowane baz, bo wypowiedzi niektórych wykładowców o zmianie orientacji są straszne =)

Iloczyn wektorowy wektorów współliniowych

Definicja została dopracowana szczegółowo, pozostaje dowiedzieć się, co się dzieje, gdy wektory są współliniowe. Jeśli wektory są współliniowe, można je umieścić na jednej linii prostej, a nasz równoległobok również „składa się” w jedną linię prostą. Obszar takich, jak mówią matematycy, zdegenerowany równoległobok wynosi zero. To samo wynika ze wzoru - sinus zera lub 180 stopni jest równy zero, co oznacza, że pole wynosi zero

Tak więc, jeśli , to oraz . Należy pamiętać, że sam iloczyn krzyżowy jest równy wektorowi zerowemu, ale w praktyce jest to często zaniedbywane i pisane, że jest on również równy zero.

Szczególnym przypadkiem jest iloczyn wektorowy wektora i samego siebie:

Za pomocą iloczynu krzyżowego można sprawdzić kolinearność wektorów trójwymiarowych, a także przeanalizujemy m.in. ten problem.

Aby rozwiązać praktyczne przykłady, może być konieczne tabela trygonometryczna znaleźć z niego wartości sinusów.

Cóż, rozpalmy ogień:

Przykład 1

a) Znajdź długość iloczynu wektorowego wektorów, jeśli

b) Znajdź obszar równoległoboku zbudowanego na wektorach, jeśli

Decyzja: Nie, to nie jest literówka, celowo utworzyłem takie same dane początkowe w elementach warunku. Ponieważ projekt rozwiązań będzie inny!

a) Zgodnie z warunkiem wymagane jest znalezienie długość wektor (produkt wektorowy). Zgodnie z odpowiednią formułą:

Odpowiedź:

Ponieważ zapytano o długość, to w odpowiedzi podajemy wymiar - jednostki.

b) Zgodnie z warunkiem wymagane jest znalezienie kwadrat równoległobok zbudowany na wektorach . Powierzchnia tego równoległoboku jest liczbowo równa długości produktu poprzecznego:

Odpowiedź:

Należy pamiętać, że w odpowiedzi na temat produktu wektorowego w ogóle nie ma mowy, o co zostaliśmy zapytani obszar figury, odpowiednio, wymiarem są jednostki kwadratowe.

Zawsze patrzymy na to, CO musi znaleźć warunek i na tej podstawie formułujemy jasny odpowiedź. Może się to wydawać dosłownością, ale wśród nauczycieli jest wystarczająco dużo literalistów, a zadanie z dużymi szansami zostanie zwrócone do powtórki. Chociaż nie jest to szczególnie napięta szczypta - jeśli odpowiedź jest nieprawidłowa, to można odnieść wrażenie, że dana osoba nie rozumie prostych rzeczy i/lub nie zrozumiała istoty zadania. Ten moment należy zawsze kontrolować, rozwiązując każdy problem z matematyki wyższej, a także z innych przedmiotów.

Gdzie podziała się wielka litera „en”? W zasadzie można by to dodatkowo przykleić do rozwiązania, ale żeby skrócić rekord nie zrobiłem. Mam nadzieję, że wszyscy to rozumieją i jest oznaczeniem tego samego.

Popularny przykład rozwiązania „zrób to sam”:

Przykład 2

Znajdź obszar trójkąta zbudowanego na wektorach, jeśli

Wzór na znalezienie obszaru trójkąta przez iloczyn wektorowy podano w komentarzach do definicji. Rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

W praktyce zadanie jest naprawdę bardzo częste, trójkąty można generalnie torturować.

Do rozwiązania innych problemów potrzebujemy:

Własności iloczynu krzyżowego wektorów

Rozważaliśmy już niektóre właściwości produktu wektorowego, jednak uwzględnię je na tej liście.

W przypadku dowolnych wektorów i dowolnej liczby prawdziwe są następujące właściwości:

1) W innych źródłach informacji ta pozycja zwykle nie jest rozróżniana we właściwościach, ale jest bardzo ważna z praktycznego punktu widzenia. Niech tak zostanie.

2) - nieruchomość jest również omawiana powyżej, czasami nazywana jest antykomutacja. Innymi słowy, kolejność wektorów ma znaczenie.

3) - kombinacja lub asocjacyjny przepisy dotyczące produktów wektorowych. Stałe są łatwo usuwane poza granice iloczynu wektorowego. Naprawdę, co oni tam robią?

4) - dystrybucja lub dystrybucja przepisy dotyczące produktów wektorowych. Nie ma też problemów z otwieraniem nawiasów.

Jako demonstrację rozważ krótki przykład:

Przykład 3

Znajdź, jeśli

Decyzja: Warunek jest ponownie wymagane, aby znaleźć długość produktu wektorowego. Pomalujmy naszą miniaturę:

(1) Zgodnie z prawami asocjacyjnymi usuwamy stałe poza granice iloczynu wektorowego.

(2) Wyjmujemy stałą z modułu, podczas gdy moduł „zjada” znak minus. Długość nie może być ujemna.

(3) To, co następuje, jest jasne.

Odpowiedź:

Czas wrzucić drewno do ognia:

Przykład 4

Oblicz pole trójkąta zbudowanego na wektorach, jeśli

Decyzja: Znajdź obszar trójkąta za pomocą wzoru . Problem polega na tym, że wektory „ce” i „te” są reprezentowane jako sumy wektorów. Algorytm tutaj jest standardowy i przypomina nieco przykłady nr 3 i 4 z lekcji. Iloczyn skalarny wektorów. Dla jasności podzielmy to na trzy kroki:

1) W pierwszym kroku wyrażamy produkt wektorowy przez produkt wektorowy, w rzeczywistości wyrazić wektor w postaci wektora. Nie ma jeszcze słowa o długości!

(1) Podstawiamy wyrażenia wektorów .

(2) Używając praw rozdzielczych, otwórz nawiasy zgodnie z zasadą mnożenia wielomianów.

(3) Używając praw asocjacyjnych, usuwamy wszystkie stałe poza iloczynami wektorowymi. Przy niewielkim doświadczeniu czynności 2 i 3 można wykonywać jednocześnie.

(4) Pierwszy i ostatni wyraz są równe zeru (wektor zerowy) ze względu na przyjemną właściwość . W drugim terminie posługujemy się właściwością antykomutacyjną produktu wektorowego:

(5) Przedstawiamy podobne terminy.

W rezultacie wektor okazał się wyrażany przez wektor, co było wymagane do osiągnięcia:

2) W drugim kroku znajdujemy długość produktu wektorowego, którego potrzebujemy. Ta akcja jest podobna do przykładu 3:

3) Znajdź obszar pożądanego trójkąta:

Kroki 2-3 rozwiązania można ułożyć w jednej linii.

Odpowiedź:

Rozważany problem jest dość powszechny w testach, oto przykład samodzielnego rozwiązania:

Przykład 5

Znajdź, jeśli

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Zobaczmy, jak uważny byłeś, studiując poprzednie przykłady ;-)

Iloczyn poprzeczny wektorów we współrzędnych

, podane w bazie ortonormalnej , wyraża się wzorem:

Formuła jest naprawdę prosta: piszemy wektory współrzędnych w górnym wierszu wyznacznika, „pakujemy” współrzędne wektorów w drugim i trzecim wierszu i wstawiamy w ścisłej kolejności- najpierw współrzędne wektora „ve”, potem współrzędne wektora „double-ve”. Jeśli wektory trzeba pomnożyć w innej kolejności, należy również zamienić linie:

Przykład 10

Sprawdź, czy następujące wektory przestrzenne są współliniowe:
a)
b)

Decyzja: Test opiera się na jednym ze stwierdzeń w tej lekcji: jeśli wektory są współliniowe, to ich iloczyn poprzeczny wynosi zero (wektor zerowy): .

a) Znajdź produkt wektorowy:

Więc wektory nie są współliniowe.

b) Znajdź produkt wektorowy:

Odpowiedź: a) nie współliniowe, b)

Być może tutaj znajdują się wszystkie podstawowe informacje o iloczynie wektorowym wektorów.

Ta sekcja nie będzie bardzo duża, ponieważ istnieje niewiele problemów, gdy używany jest mieszany produkt wektorów. W rzeczywistości wszystko będzie opierać się na definicji, znaczeniu geometrycznym i kilku działających formułach.

Mieszany iloczyn wektorów jest iloczynem trzech wektorów:

W ten sposób ustawiają się jak pociąg i czekają, nie mogą czekać, aż zostaną obliczone.

Najpierw znowu definicja i obraz:

Definicja: Produkt mieszany niewspółpłaszczyznowy wektory , podjęte w tej kolejności, jest nazywany objętość równoległościanu, zbudowany na tych wektorach, wyposażony w znak „+”, jeśli podstawa jest prawa i znak „-”, jeśli podstawa jest lewa.

Zróbmy rysunek. Linie dla nas niewidoczne są rysowane linią przerywaną:

Zanurzmy się w definicji:

2) Zrobione wektory w określonej kolejności, czyli permutacja wektorów w produkcie, jak można się domyślać, nie pozostaje bez konsekwencji.

3) Zanim skomentuję znaczenie geometryczne, zwrócę uwagę na oczywisty fakt: mieszany iloczyn wektorów to LICZBA: . W literaturze edukacyjnej projekt może być nieco inny, kiedyś oznaczałem mieszany produkt, a wynik obliczeń literą „pe”.

A-prioryte mieszany produkt to objętość równoległościanu, zbudowany na wektorach (figura jest narysowana czerwonymi wektorami i czarnymi liniami). Oznacza to, że liczba jest równa objętości danego równoległościanu.

Notatka : Rysunek jest schematyczny.

4) Nie przejmujmy się ponownie koncepcją orientacji podstawy i przestrzeni. Znaczenie ostatniej części jest takie, że do objętości można dodać znak minus. Mówiąc prościej, produkt mieszany może być ujemny: .

Wzór na obliczenie objętości równoległościanu zbudowanego na wektorach wynika bezpośrednio z definicji.

Dla wektorów , oraz , podanych współrzędnymi , iloczyn mieszany oblicza się według wzoru: .

Temat 5. Linie w samolocie.

Prosty na powierzchni w układzie współrzędnych można podać równaniem jednego z następujących typów:

1) - ogólne równanie linia prosta, gdzie jest wektorem normalnym linii prostej;

2) - równanie prostej przechodzącej przez punkt prostopadły do danego wektora ;

3) - równanie prostej przechodzącej przez punkt równoległy do danego wektora ( równanie kanoniczne );

4) - równanie prostej przechodzącej przez dwa podane punkty , ;

Odległość od punktu do linii , podane przez ogólne równanie na płaszczyźnie, znajduje się wzorem:

Zastrzyk , ( )między prostymi liniami i , podane przez ogólne równania lub równania z nachyleniem, można znaleźć za pomocą jednego z następujących wzorów:

Jeśli lub .

Jeśli lub

Współrzędne punktu przecięcia linii i są znalezione jako rozwiązanie układu równań liniowych: lub .

Temat 10. Zestawy. Zbiory numeryczne. Funkcje.

Ustaw połączenie podzbiór set jeśli wszystkie elementy zbioru należą do zbioru i napisz .

Zestawy i nazywane równy , jeśli składają się z tych samych elementów i zapisują . Dwa zestawy i będą równe wtedy i tylko wtedy, gdy i .

Ustaw połączenie uniwersalny (w ramach tej teorii matematycznej) , jeśli jego elementami są wszystkie obiekty rozważane w tej teorii.

Stowarzyszenie

przejście zestawy i nazywa się zestawem

różnica zestawy i nazywa się zestawem

Suplement zestawy (aż do zestawu uniwersalnego) nazywamy zestawem.

Ważny (prawdziwy) numer nazywa się nieskończonym ułamkiem dziesiętnym, przyjmowanym ze znakiem „+” lub „”. Liczby rzeczywiste są utożsamiane z punktami na osi liczbowej.

moduł (wartość bezwzględna) liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną:

Zestaw nazywa się liczbowy jeśli jego elementy są liczbami rzeczywistymi. Numeryczne w przerwach nazywane są zestawami

liczby: , , , , , , , , .

Funkcja nazywa się monotonicznie rosnący (zanikający ) na zestawie, jeśli większa wartość argumentu odpowiada większej (mniejszej) wartości funkcji .

Funkcja nazywa się ograniczony na zbiorze , jeśli istnieje taka liczba , że dla wszystkich spełniony jest następujący warunek : . W przeciwnym razie funkcja to Nieograniczony .

Odwrócić funkcjonować , , to funkcja, która jest zdefiniowana w zestawie i przypisuje każdemu takiemu, że . Aby znaleźć funkcję odwrotną do funkcji , musisz rozwiązać równanie stosunkowo. Jeśli funkcja , jest ściśle monotoniczny na , to zawsze ma odwrotność, a jeśli funkcja rośnie (maleje), to funkcja odwrotna również rośnie (maleje).

Wykres funkcji to parabola z wierzchołkiem w , której gałęzie są skierowane w górę jeśli lub w dół jeśli .

W niektórych przypadkach przy konstruowaniu wykresu funkcji wskazane jest podzielenie jej dziedziny definicji na kilka nieprzecinających się przedziałów i sekwencyjne budowanie wykresu na każdym z nich.

Każdy uporządkowany zestaw liczb rzeczywistych nazywa się arytmetyka kropkowo-wymiarowa (koordynować) przestrzeń i oznaczone lub , podczas gdy liczby nazywają się its współrzędne .

Niech i być pewnymi zbiorami punktów i . Jeżeli każdemu punktowi przyporządkujemy, według jakiejś zasady, jedną dobrze określoną liczbę rzeczywistą , to mówią, że na zbiorze dana jest funkcja liczbowa zmiennych i zapisujemy lub krótko i , gdy jest wywoływana domena definicji , - zestaw wartości , - argumenty (zmienne niezależne) funkcje.

Często oznacza się funkcję dwóch zmiennych, funkcję trzech zmiennych -. Dziedziną definicji funkcji jest pewien zbiór punktów na płaszczyźnie, funkcje to pewien zbiór punktów w przestrzeni.

Temat 7. Ciągi i szeregi liczbowe. Limit sekwencji. Granica funkcji i ciągłość.

Jeżeli zgodnie z pewną zasadą każda liczba naturalna jest powiązana z jedną, dobrze określoną liczbą rzeczywistą, to mówią, że ciąg liczb . Krótko oznaczamy . Numer nazywa się wspólny członek ciągu . Sekwencja nazywana jest również funkcją argumentu naturalnego. Sekwencja zawsze zawiera nieskończoną liczbę elementów, z których niektóre mogą być równe.

Numer nazywa się limit sekwencji i napisz, czy dla dowolnej liczby istnieje liczba taka, że nierówność jest spełniona dla wszystkich .

Sekwencja, która ma skończoną granicę, nazywa się zbieżny , Inaczej - rozbieżny .

: 1) zanikający , jeśli ; 2) wzrastający , jeśli ; 3) niezmniejszające się , jeśli ; 4) nie rosnący , jeśli . Wszystkie powyższe sekwencje są nazywane monotonny .

Sekwencja nazywa się ograniczony , jeśli istnieje taka liczba, że dla wszystkich spełniony jest następujący warunek: . W przeciwnym razie sekwencja to Nieograniczony .

Każda sekwencja ograniczona monotonem ma limit ( twierdzenie Weierstrassa).

Sekwencja nazywa się nieskończenie mały , jeśli . Sekwencja nazywa się nieskończenie duży (zbieżne do nieskończoności), jeśli .

numer nazywa się granicą ciągu, gdzie

Stała nazywana jest liczbą nierówną. Logarytm podstawowy liczby nazywany jest logarytmem naturalnym liczby i jest oznaczany .

Wyrażenie postaci , gdzie jest ciągiem liczb, nazywa się szeregi liczbowe i są oznaczone. Suma pierwszych wyrazów szeregu nazywa się th częściowa suma wiersz.

Wiersz nazywa się zbieżny jeśli istnieje skończona granica i rozbieżny jeśli limit nie istnieje. Numer nazywa się suma szeregu zbieżnego , podczas pisania.

Jeśli szereg jest zbieżny, to (niezbędne kryterium zbieżności szeregu ) . Odwrotność nie jest prawdą.

Jeżeli , to seria jest rozbieżna ( wystarczające kryterium rozbieżności szeregu ).

Uogólnione szeregi harmoniczne nazywa się szeregiem, który jest zbieżny i rozbieżny w .

Szeregi geometryczne wywołaj szereg, który jest zbieżny w , podczas gdy jego suma jest równa i rozbieżna w . znajdź numer lub symbol. (lewe półsąsiedztwo, prawe półsąsiedztwo) i

Rozważ iloczyn wektorów , oraz , w składzie:
. Tutaj pierwsze dwa wektory są mnożone wektorowo, a ich wynik jest mnożony skalarnie przez trzeci wektor. Taki iloczyn nazywamy iloczynem wektorowo-skalarnym lub mieszanym iloczynem trzech wektorów. Mieszany produkt to pewna liczba.

Poznajmy geometryczne znaczenie wyrażenia
.

Twierdzenie . Mieszany iloczyn trzech wektorów jest równy objętości równoległościanu zbudowanego na tych wektorach, pobranej ze znakiem plus, jeśli te wektory tworzą prawą trójkę, i ze znakiem minus, jeśli tworzą lewą trójkę.

Dowód.. Konstruujemy równoległościan, którego krawędziami są wektory , , i wektor
.

Mamy:
,
, gdzie - powierzchnia równoległoboku zbudowana na wektorach oraz ,
dla prawej trójki wektorów i
po lewej stronie, gdzie
to wysokość równoległościanu. Otrzymujemy:
, tj.
, gdzie - objętość równoległościanu utworzonego przez wektory , oraz .

Mieszane właściwości produktu

1. Mieszany produkt nie zmienia się, gdy cykliczny permutacja jego czynników, tj. .

Rzeczywiście, w tym przypadku nie zmienia się ani objętość równoległościanu, ani orientacja jego krawędzi.

2. Iloczyn mieszany nie zmienia się, gdy znaki mnożenia wektorowego i skalarnego są odwrócone, tj.
.

Naprawdę,
oraz
. Bierzemy ten sam znak po prawej stronie tych równości, ponieważ trójki wektorów , , oraz , , - jedna orientacja.

Stąd,
. To pozwala nam napisać mieszany iloczyn wektorów
jak
bez znaków wektora, mnożenie przez skalar.

3. Iloczyn mieszany zmienia znak, gdy dowolne dwa wektory czynnikowe zamieniają się miejscami, tj.
,
,
.

W rzeczywistości taka permutacja jest równoznaczna z permutacją czynników w iloczynie wektorowym, która zmienia znak iloczynu.

4. Iloczyn mieszany wektorów niezerowych , oraz wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy są współpłaszczyznowe.

2.12. Obliczanie iloczynu mieszanego w postaci współrzędnych w bazie ortonormalnej

Niech wektory
,
,
. Znajdźmy ich iloczyn mieszany za pomocą wyrażeń we współrzędnych dla iloczynów wektorowych i skalarnych:

. (10)

Otrzymaną formułę można zapisać krócej:

ponieważ prawa strona równości (10) jest rozwinięciem wyznacznika trzeciego rzędu pod względem elementów trzeciego rzędu.

Zatem mieszany iloczyn wektorów jest równy wyznacznikowi trzeciego rzędu, składającemu się ze współrzędnych pomnożonych wektorów.

2.13 Niektóre zastosowania mieszanego produktu

Wyznaczanie względnej orientacji wektorów w przestrzeni

Określanie względnej orientacji wektorów , oraz w oparciu o następujące rozważania. Jeśli
, następnie , , - w prawo trzy jeśli
, następnie , , - zostawiłem trzy.

Warunek zgodności dla wektorów

Wektory , oraz są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy ich mieszany iloczyn wynosi zero (
,
,
):

wektory , , współpłaszczyznowy.

Określanie objętości równoległościanu i trójkątnej piramidy

Łatwo wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach , oraz oblicza się jako
, a objętość trójkątnej piramidy zbudowanej na tych samych wektorach jest równa
.

Przykład 1 Udowodnij, że wektory
,
,
współpłaszczyznowy.

Decyzja. Znajdźmy iloczyn mieszany tych wektorów za pomocą wzoru:

Oznacza to, że wektory
współpłaszczyznowy.

Przykład 2 Biorąc pod uwagę wierzchołki czworościanu: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Znajdź długość jego wysokości zrzuconą z wierzchołka .

Decyzja. Znajdźmy najpierw objętość czworościanu
. Zgodnie ze wzorem otrzymujemy:

Ponieważ wyznacznik jest liczbą ujemną, w tym przypadku przed formułą należy umieścić znak minus. Stąd,
.

Pożądana wartość h określić ze wzoru
, gdzie S - powierzchnia bazowa. Określmy obszar S:

gdzie

O ile

Podstawianie do formuły
wartości
oraz
, dostajemy h= 3.

Przykład 3 Czy tworzą wektory?
podstawa w kosmosie? Rozkładać wektor
na podstawie wektorów .

Decyzja. Jeśli wektory tworzą bazę w przestrzeni, to nie leżą na tej samej płaszczyźnie, tj. nie są współpłaszczyznowe. Znajdź mieszany iloczyn wektorów
:
,

Dlatego wektory nie są współpłaszczyznowe i tworzą bazę w przestrzeni. Jeżeli wektory tworzą bazę w przestrzeni, to każdy wektor można przedstawić jako liniową kombinację wektorów bazowych, a mianowicie
,gdzie
współrzędne wektora w oparciu o wektor
. Znajdźmy te współrzędne, kompilując i rozwiązując układ równań