Nie zabraknie również zadań do samodzielnego rozwiązania, na które będzie można zobaczyć odpowiedzi.

Jeżeli w zadaniu zarówno długości wektorów, jak i kąt między nimi są przedstawione „na srebrnym talerzu”, to stan zadania i jego rozwiązanie wygląda następująco:

Przykład 1 Podano wektory. Znajdź iloczyn skalarny wektorów, jeśli ich długości i kąt między nimi są reprezentowane przez następujące wartości:

Obowiązuje również inna definicja, która jest całkowicie równoważna definicji 1.

Definicja 2. Iloczyn skalarny wektorów jest liczbą (skalarem) równą iloczynowi długości jednego z tych wektorów i rzutu innego wektora na oś wyznaczoną przez pierwszy z tych wektorów. Formuła zgodnie z definicją 2:

Za pomocą tego wzoru rozwiążemy problem po kolejnym ważnym punkcie teoretycznym.

Definicja iloczynu skalarnego wektorów w postaci współrzędnych

Taką samą liczbę można uzyskać, jeśli pomnożone wektory są podane przez ich współrzędne.

Definicja 3. Iloczyn skalarny wektorów jest liczbą równą sumie iloczynów parami ich odpowiednich współrzędnych.

Na powierzchni

Jeśli dwa wektory i na płaszczyźnie są określone przez ich dwa współrzędne kartezjańskie

wtedy iloczyn skalarny tych wektorów jest równy sumie iloczynów parami ich odpowiednich współrzędnych:

.

Przykład 2 Znajdź wartość liczbową rzutu wektora na oś równoległą do wektora.

Decyzja. Iloczyn skalarny wektorów znajdujemy, dodając iloczyny parami ich współrzędnych:

Teraz musimy zrównać otrzymany iloczyn skalarny z iloczynem długości wektora i rzutu wektora na oś równoległą do wektora (zgodnie ze wzorem).

Znajdujemy długość wektora jako pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych:

.

Napisz równanie i rozwiąż je:

Odpowiedź. Pożądana wartość liczbowa to minus 8.

W kosmosie

Jeśli dwa wektory i w przestrzeni są określone przez ich trzy prostokątne współrzędne kartezjańskie

,

wtedy iloczyn skalarny tych wektorów jest również równy sumie iloczynów parami ich odpowiednich współrzędnych, tylko istnieją już trzy współrzędne:

.

Zadanie znalezienia iloczynu skalarnego w rozważany sposób polega na przeanalizowaniu właściwości iloczynu skalarnego. Ponieważ w zadaniu konieczne będzie określenie, jaki kąt tworzą pomnożone wektory.

Właściwości iloczynu skalarnego wektorów

Własności algebraiczne

1. (własność przemienna: wartość ich iloczynu skalarnego nie zmienia się wraz ze zmianą miejsc pomnożonych wektorów).

2. (własność asocjacyjna względem czynnika liczbowego: iloczyn skalarny wektora pomnożony przez jakiś czynnik i inny wektor jest równy iloczynowi skalarnemu tych wektorów pomnożonemu przez ten sam czynnik).

3. (własność rozdzielna względem sumy wektorów: iloczyn skalarny sumy dwóch wektorów przez trzeci wektor jest równy sumie iloczynów skalarnych pierwszego wektora przez trzeci wektor i drugiego wektora przez trzeci wektor).

4. (kwadrat skalarny wektora większego od zera) jeśli jest wektorem niezerowym, a , jeśli jest wektorem zerowym.

Właściwości geometryczne

W definicjach badanej operacji poruszyliśmy już pojęcie kąta między dwoma wektorami. Czas wyjaśnić tę koncepcję.

Na powyższym rysunku widoczne są dwa wektory, które mają wspólny początek. I pierwszą rzeczą, na którą musisz zwrócić uwagę: między tymi wektorami są dwa kąty - φ 1 oraz φ 2 . Który z tych kątów występuje w definicjach i właściwościach iloczynu skalarnego wektorów? Suma rozpatrywanych kątów wynosi 2 π i dlatego cosinusy tych kątów są równe. Definicja iloczynu skalarnego obejmuje tylko cosinus kąta, a nie wartość jego wyrażenia. Ale we właściwościach uwzględniany jest tylko jeden róg. I to jest jeden z dwóch kątów, który nie przekracza π czyli 180 stopni. Ten kąt jest pokazany na rysunku jako φ 1 .

1. Nazywa się dwa wektory prostokątny oraz kąt między tymi wektorami jest prosty (90 stopni lub π /2 ) jeśli iloczyn skalarny tych wektorów wynosi zero :

.

Ortogonalność w algebrze wektorowej to prostopadłość dwóch wektorów.

2. Tworzą się dwa niezerowe wektory ostry róg (od 0 do 90 stopni, czyli mniej π iloczyn skalarny jest pozytywny .

3. Tworzą się dwa niezerowe wektory kąt rozwarty (od 90 do 180 stopni, czyli to samo - więcej π /2 ) wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn skalarny jest ujemny .

Przykład 3 Wektory podane są we współrzędnych:

.

Oblicz iloczyny skalarne wszystkich par danych wektorów. Jaki kąt (ostry, prawy, rozwarty) tworzą te pary wektorów?

Decyzja. Obliczymy, dodając iloczyny odpowiednich współrzędnych.

Otrzymaliśmy liczbę ujemną, więc wektory tworzą kąt rozwarty.

Otrzymaliśmy liczbę dodatnią, więc wektory tworzą kąt ostry.

Mamy zero, więc wektory tworzą kąt prosty.

Otrzymaliśmy liczbę dodatnią, więc wektory tworzą kąt ostry.

.

Otrzymaliśmy liczbę dodatnią, więc wektory tworzą kąt ostry.

Do autotestu możesz użyć kalkulator online Iloczyn skalarny wektorów i cosinusa kąta między nimi .

Przykład 4 Biorąc pod uwagę długości dwóch wektorów i kąt między nimi:

.

Określ, przy jakiej wartości liczby wektory i są ortogonalne (prostopadłe).

Decyzja. Wektory mnożymy zgodnie z zasadą mnożenia wielomianów:

Teraz obliczmy każdy termin:

.

Skomponujmy równanie (równość iloczynu do zera), podaj podobne wyrazy i rozwiążmy równanie:

Odpowiedź: mamy wartość λ = 1,8 , przy której wektory są ortogonalne.

Przykład 5 Udowodnij, że wektor prostopadły (prostopadły) do wektora

Decyzja. Aby sprawdzić ortogonalność, mnożymy wektory i jako wielomiany, podstawiając zamiast niego wyrażenie podane w warunku problemowym:

.

Aby to zrobić, musisz pomnożyć każdy wyraz (termin) pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego i dodać wynikowe iloczyny:

.

W rezultacie należny ułamek ulega zmniejszeniu. Uzyskuje się następujący wynik:

Wniosek: w wyniku mnożenia otrzymaliśmy zero, dlatego udowodniono ortogonalność (prostopadłość) wektorów.

Rozwiąż problem sam, a następnie zobacz rozwiązanie

Przykład 6 Biorąc pod uwagę długości wektorów i , a kąt między tymi wektorami wynosi π /4 . Określ, przy jakiej wartości μ wektory i są wzajemnie prostopadłe.

Do autotestu możesz użyć kalkulator online Iloczyn skalarny wektorów i cosinusa kąta między nimi .

Reprezentacja macierzowa iloczynu skalarnego wektorów i iloczynu wektorów n-wymiarowych

Czasami, dla jasności, korzystne jest przedstawienie dwóch pomnożonych wektorów w postaci macierzy. Wtedy pierwszy wektor jest reprezentowany jako macierz wierszy, a drugi jako macierz kolumn:

Wtedy iloczyn skalarny wektorów będzie iloczyn tych macierzy :

Wynik jest taki sam, jak uzyskany metodą, którą już rozważaliśmy. Mamy jedną pojedynczą liczbę, a iloczyn wiersza-macierzy przez kolumnę-macierzy jest również jedną pojedynczą liczbą.

W postaci macierzowej wygodnie jest przedstawić iloczyn abstrakcyjnych wektorów n-wymiarowych. Tak więc iloczyn dwóch wektorów czterowymiarowych będzie iloczynem macierzy wierszy z czterema elementami przez macierz kolumnową również z czterema elementami, iloczyn dwóch wektorów pięciowymiarowych będzie iloczynem macierzy wierszy z pięcioma elementami przez macierz kolumnowa również z pięcioma elementami i tak dalej.

Przykład 7 Znajdź produkty kropkowe par wektorów

,

za pomocą reprezentacji macierzowej.

Decyzja. Pierwsza para wektorów. Reprezentujemy pierwszy wektor jako macierz wierszy, a drugi jako macierz kolumn. Znajdujemy iloczyn skalarny tych wektorów jako iloczyn macierzy wierszy przez macierz kolumn:

Podobnie reprezentujemy drugą parę i znajdujemy:

Jak widać, wyniki są takie same jak dla tych samych par z przykładu 2.

Kąt między dwoma wektorami

Wyprowadzenie wzoru na cosinus kąta między dwoma wektorami jest bardzo piękne i zwięzłe.

Aby wyrazić iloczyn skalarny wektorów

(1)

w postaci współrzędnych najpierw znajdujemy iloczyn skalarny ortów. Iloczyn skalarny wektora z samym sobą jest z definicji:

To, co jest napisane w powyższym wzorze oznacza: iloczyn skalarny wektora z samym sobą jest równy kwadratowi jego długości. Cosinus zera jest równy jeden, więc kwadrat każdej ort będzie równy jeden:

Ponieważ wektory

są parami prostopadłe, to iloczyny parami orts będą równe zero:

Przeprowadźmy teraz mnożenie wielomianów wektorowych:

Zastępujemy po prawej stronie równości wartości odpowiednich iloczynów skalarnych ortów:

Otrzymujemy wzór na cosinus kąta między dwoma wektorami:

Przykład 8 Biorąc pod uwagę trzy punkty A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Znajdź kąt.

Decyzja. Znajdujemy współrzędne wektorów:

,

.

Korzystając ze wzoru na cosinus kąta, otrzymujemy:

Stąd, .

Do autotestu możesz użyć kalkulator online Iloczyn skalarny wektorów i cosinusa kąta między nimi .

Przykład 9 Biorąc pod uwagę dwa wektory

Znajdź sumę, różnicę, długość, iloczyn skalarny i kąt między nimi.

2. Różnica

Iloczyn skalarny wektorów

Nadal mamy do czynienia z wektorami. Na pierwszej lekcji Wektory dla manekinów rozważaliśmy pojęcie wektora, działania z wektorami, współrzędne wektora i najprostsze problemy z wektorami. Jeśli trafiłeś na tę stronę po raz pierwszy z wyszukiwarki, gorąco polecam przeczytanie powyższego artykułu wprowadzającego, ponieważ aby przyswoić materiał, musisz kierować się terminami i zapisem, których używam, posiadać podstawową wiedzę o wektorach i umieć rozwiązywać podstawowe problemy. Ta lekcja jest logiczną kontynuacją tematu, aw niej szczegółowo przeanalizuję typowe zadania wykorzystujące iloczyn skalarny wektorów. To BARDZO WAŻNA praca.. Staraj się nie pomijać przykładów, towarzyszy im przydatna premia - praktyka pomoże utrwalić omawiany materiał i "dostać rękę" w rozwiązywaniu typowych problemów geometrii analitycznej.

Dodawanie wektorów, mnożenie wektora przez liczbę…. Naiwnością byłoby sądzić, że matematycy nie wymyślili czegoś innego. Oprócz już rozważonych działań istnieje szereg innych operacji na wektorach, a mianowicie: iloczyn skalarny wektorów, iloczyn krzyżowy wektorów oraz iloczyn mieszany wektorów . Iloczyn skalarny wektorów jest nam znany ze szkoły, pozostałe dwa iloczyny są tradycyjnie związane z kierunkiem matematyki wyższej. Tematy są proste, algorytm rozwiązywania wielu problemów jest stereotypowy i zrozumiały. Jedyną rzeczą. Jest przyzwoita ilość informacji, więc niepożądana jest próba opanowania i rozwiązania WSZYSTKIEGO I NA RAZ. Dotyczy to zwłaszcza manekinów, uwierz mi, autor absolutnie nie chce czuć się jak Chikatilo z matematyki. Cóż, oczywiście nie z matematyki też =) Bardziej przygotowani uczniowie mogą korzystać z materiałów wybiórczo, w pewnym sensie „pozyskać” brakującą wiedzę, dla Ciebie będę nieszkodliwym Hrabia Drakulą =)

Na koniec otwórzmy trochę drzwi i przyjrzyjmy się, co się dzieje, gdy spotykają się dwa wektory….

Definicja iloczynu skalarnego wektorów.
Właściwości iloczynu skalarnego. Typowe zadania

Pojęcie iloczynu skalarnego

Najpierw o kąt między wektorami. Myślę, że każdy intuicyjnie rozumie, jaki jest kąt między wektorami, ale na wszelki wypadek trochę więcej. Rozważmy wolne niezerowe wektory i . Jeśli odłożymy te wektory z dowolnego punktu, otrzymamy obraz, który wielu już przedstawiło mentalnie:

Przyznaję, tutaj opisałem sytuację tylko na poziomie zrozumienia. Jeśli potrzebujesz ścisłej definicji kąta między wektorami, zapoznaj się z podręcznikiem, ale do zadań praktycznych w zasadzie tego nie potrzebujemy. Również TUTAJ I DALEJ czasami ignoruję wektory zerowe ze względu na ich małe znaczenie praktyczne. Dokonałem rezerwacji specjalnie dla zaawansowanych odwiedzających stronę, którzy mogą mi zarzucić teoretyczną niekompletność niektórych z poniższych stwierdzeń.

może przyjmować wartości od 0 do 180 stopni (od 0 do radianów) włącznie. Analitycznie ten fakt jest zapisany jako podwójna nierówność: lub (w radianach).

W literaturze ikona kąta jest często pomijana i po prostu pisana.

Definicja: Iloczyn skalarny dwóch wektorów to LICZBA równa iloczynowi długości tych wektorów i cosinusa kąta między nimi:

To dość ścisła definicja.

Skupiamy się na istotnych informacjach:

Przeznaczenie: iloczyn skalarny jest oznaczony przez lub po prostu .

Wynikiem operacji jest LICZBA: Pomnóż wektor przez wektor, aby otrzymać liczbę. Rzeczywiście, jeśli długości wektorów są liczbami, cosinus kąta jest liczbą, to ich iloczyn będzie również liczbą.

Tylko kilka przykładów na rozgrzewkę:

Przykład 1

Decyzja: Używamy formuły . W tym przypadku:

Odpowiedź:

Wartości cosinusów można znaleźć w tabela trygonometryczna . Polecam go wydrukować - będzie wymagany w prawie wszystkich częściach wieży i będzie wymagany wielokrotnie.

Z czysto matematycznego punktu widzenia iloczyn skalarny jest bezwymiarowy, to znaczy wynik w tym przypadku jest tylko liczbą i tyle. Z punktu widzenia problemów fizyki iloczyn skalarny ma zawsze pewne znaczenie fizyczne, to znaczy po wyniku należy wskazać tę lub inną jednostkę fizyczną. Kanoniczny przykład obliczania pracy siły można znaleźć w dowolnym podręczniku (wzór jest dokładnie iloczynem skalarnym). Praca siły jest mierzona w dżulach, dlatego odpowiedź zostanie napisana dość konkretnie, na przykład.

Przykład 2

Znajdź, jeśli , a kąt między wektorami wynosi .

To jest przykład do samodzielnego podjęcia decyzji, odpowiedź znajduje się na końcu lekcji.

Kąt między wektorami a wartością iloczynu skalarnego

W przykładzie 1 iloczyn skalarny okazał się dodatni, aw przykładzie 2 ujemny. Dowiedzmy się, od czego zależy znak iloczynu skalarnego. Spójrzmy na naszą formułę: . Długości niezerowych wektorów są zawsze dodatnie: , więc znak może zależeć tylko od wartości cosinusa.

Notatka: Aby lepiej zrozumieć poniższe informacje, lepiej przestudiować wykres cosinus w podręczniku Wykresy i właściwości funkcji . Zobacz, jak zachowuje się cosinus na segmencie.

Jak już wspomniano, kąt między wektorami może się różnić w granicach , a możliwe są następujące przypadki:

1) Jeśli zastrzyk między wektorami Pikantny: (od 0 do 90 stopni), to , oraz iloczyn kropkowy będzie pozytywny współreżyserowany, kąt między nimi jest uważany za zero, a iloczyn skalarny również będzie dodatni. Ponieważ , wzór jest uproszczony: .

2) Jeśli zastrzyk między wektorami tępy: (od 90 do 180 stopni), to , i odpowiednio, iloczyn skalarny jest ujemny: . Przypadek szczególny: jeśli wektory skierowane przeciwnie, wtedy brany jest pod uwagę kąt między nimi rozmieszczony: (180 stopni). Iloczyn skalarny jest również ujemny, ponieważ

Odwrotne stwierdzenia są również prawdziwe:

1) Jeśli , to kąt między tymi wektorami jest ostry. Alternatywnie wektory są współkierunkowe.

2) Jeśli , to kąt między tymi wektorami jest rozwarty. Alternatywnie wektory są skierowane przeciwnie.

Ale trzeci przypadek jest szczególnie interesujący:

3) Jeśli zastrzyk między wektorami prosty: (90 stopni) wtedy i iloczyn skalarny wynosi zero: . Odwrotność jest również prawdziwa: jeśli , to . Zwięzłe stwierdzenie jest sformułowane w następujący sposób: Iloczyn skalarny dwóch wektorów wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy dane wektory są ortogonalne. Krótka notacja matematyczna:

! Notatka : powtarzać podstawy logiki matematycznej : dwustronna ikona konsekwencji logicznej jest zwykle czytana „jeśli i tylko wtedy”, „jeśli i tylko wtedy”. Jak widać strzałki są skierowane w obie strony - „z tego wynika to i odwrotnie - z tego wynika to”. Nawiasem mówiąc, jaka jest różnica od ikony śledzenia w jedną stronę ? Twierdzenia ikon tylko toże „z tego wynika to”, a nie fakt, że jest odwrotnie. Na przykład: , ale nie każde zwierzę jest panterą, więc w tym przypadku nie można użyć ikony. Jednocześnie zamiast ikony móc użyj ikony jednostronnej. Na przykład podczas rozwiązywania problemu stwierdziliśmy, że doszliśmy do wniosku, że wektory są ortogonalne: - taki zapis będzie poprawny, a nawet bardziej odpowiedni niż .

Trzeci przypadek ma duże znaczenie praktyczne., ponieważ pozwala sprawdzić, czy wektory są ortogonalne, czy nie. Ten problem rozwiążemy w drugiej części lekcji.

Właściwości produktu kropkowego

Wróćmy do sytuacji, gdy dwa wektory współreżyserowany. W tym przypadku kąt między nimi wynosi zero, a wzór iloczynu skalarnego przyjmuje postać: .

Co się stanie, jeśli wektor zostanie pomnożony przez siebie? Jasne jest, że wektor jest współkierujący ze sobą, więc posługujemy się powyższym uproszczonym wzorem:

Numer nazywa się kwadrat skalarny wektor i są oznaczone jako .

Zatem, kwadrat skalarny wektora jest równy kwadratowi długości danego wektora:

Z tej równości można uzyskać wzór na obliczenie długości wektora:

Choć wydaje się to niejasne, ale zadania lekcji ułożą wszystko na swoim miejscu. Do rozwiązywania problemów potrzebujemy również właściwości kropki.

Dla dowolnych wektorów i dowolnej liczby prawdziwe są następujące właściwości:

1) - przestawny lub przemienny prawo produktu skalarnego.

2) - dystrybucja lub dystrybucyjny prawo produktu skalarnego. Mówiąc najprościej, możesz otworzyć nawiasy.

3) - kombinacja lub asocjacyjny prawo produktu skalarnego. Stałą można pobrać z iloczynu skalarnego.

Często wszelkiego rodzaju nieruchomości (które też trzeba udowodnić!) są postrzegane przez studentów jako niepotrzebny śmieć, który wystarczy zapamiętać i bezpiecznie zapomnieć zaraz po egzaminie. Wydawałoby się, że co tu ważne, każdy już od pierwszego stopnia wie, że produkt nie zmienia się z permutacji czynników:. Muszę cię ostrzec, w wyższej matematyce przy takim podejściu łatwo jest coś zepsuć. Na przykład przemienność nie obowiązuje dla macierze algebraiczne . To nieprawda dla iloczyn krzyżowy wektorów . Dlatego przynajmniej lepiej jest zagłębić się w dowolne właściwości, które napotkasz w trakcie wyższej matematyki, aby zrozumieć, co można, a czego nie można zrobić.

Przykład 3

.

Decyzja: Najpierw wyjaśnijmy sytuację z wektorem. O co w tym wszystkim chodzi? Suma wektorów i jest dobrze zdefiniowanym wektorem, który jest oznaczony przez . Interpretację geometryczną działań z wektorami można znaleźć w artykule Wektory dla manekinów . Ta sama pietruszka z wektorem jest sumą wektorów i .

Tak więc, zgodnie z warunkiem, wymagane jest znalezienie iloczynu skalarnego. Teoretycznie musisz zastosować działającą formułę , ale problem polega na tym, że nie znamy długości wektorów i kąta między nimi. Ale w warunku podobne parametry są podane dla wektorów, więc pójdziemy w drugą stronę:

(1) Podstawiamy wyrażenia wektorów .

(2) Nawiasy otwieramy zgodnie z zasadą mnożenia wielomianów, w artykule można znaleźć wulgarny łamacz języka Liczby zespolone lub Całkowanie funkcji ułamkowo-wymiernej . Nie będę się powtarzał =) Nawiasem mówiąc, własność rozdzielności iloczynu skalarnego pozwala nam otworzyć nawiasy. Mamy prawo.

(3) W pierwszym i ostatnim wyrazie zapisujemy zwięźle kwadraty skalarne wektorów: . W drugim członie posługujemy się przemiennością iloczynu skalarnego: .

(4) Oto podobne terminy: .

(5) W pierwszym terminie posługujemy się formułą skalarno-kwadratową, o której nie tak dawno wspomniano. W ostatnim semestrze, odpowiednio, działa to samo: . Drugi termin jest rozszerzony zgodnie ze standardową formułą .

(6) Zastąp te warunki i STARANNIE wykonać obliczenia końcowe.

Odpowiedź:

Ujemna wartość iloczynu skalarnego oznacza, że ​​kąt między wektorami jest rozwarty.

Zadanie jest typowe, oto przykład samodzielnego rozwiązania:

Przykład 4

Znajdź iloczyn skalarny wektorów i , jeśli wiadomo, że .

Teraz kolejne wspólne zadanie, tylko dla nowego wzoru na długość wektora. Oznaczenia tutaj będą się trochę pokrywać, więc dla jasności przepiszę je inną literą:

Przykład 5

Znajdź długość wektora, jeśli .

Decyzja będzie wyglądać następująco:

(1) Podajemy wyrażenie wektorowe .

(2) Używamy wzoru na długość: , podczas gdy wektorem „ve” jest wyrażenie całkowite.

(3) Używamy wzoru szkolnego do kwadratu sumy. Zwróć uwagę na to, jak ciekawie to tutaj działa: - w rzeczywistości jest to kwadrat różnicy i w rzeczywistości tak jest. Ci, którzy chcą, mogą przestawiać wektory w miejscach: - okazało się, że to samo aż do zmiany terminów.

(4) To, co następuje, jest już znane z dwóch poprzednich problemów.

Odpowiedź:

Ponieważ mówimy o długości, nie zapomnij podać wymiaru - „jednostki”.

Przykład 6

Znajdź długość wektora, jeśli .

To jest przykład zrób to sam. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Nadal wyciskamy przydatne rzeczy z produktu skalarnego. Przyjrzyjmy się jeszcze raz naszej formule . Zgodnie z zasadą proporcji ustawiamy długości wektorów na mianownik po lewej stronie:

Zamieńmy części:

Jakie jest znaczenie tej formuły? Jeśli znane są długości dwóch wektorów i ich iloczyn skalarny, można obliczyć cosinus kąta między tymi wektorami, a w konsekwencji sam kąt.

Czy iloczyn skalarny jest liczbą? Numer. Czy długości wektorów są liczbami? Liczby. Więc ułamek to także liczba. A jeśli cosinus kąta jest znany: , to korzystając z funkcji odwrotnej łatwo jest znaleźć sam kąt: .

Przykład 7

Znajdź kąt między wektorami i , jeśli wiadomo, że .

Decyzja: Używamy formuły:

Na końcowym etapie obliczeń zastosowano technikę – eliminację irracjonalności w mianowniku. W celu wyeliminowania irracjonalności pomnożyłem licznik i mianownik przez .

Więc jeśli , następnie:

Wartości odwrotnych funkcji trygonometrycznych można znaleźć przez tabela trygonometryczna . Chociaż to się rzadko zdarza. W zagadnieniach geometrii analitycznej znacznie częściej pojawiają się jakieś niezdarne niedźwiedzie, a wartość kąta trzeba w przybliżeniu znaleźć za pomocą kalkulatora. W rzeczywistości zobaczymy to zdjęcie raz za razem.

Odpowiedź:

Ponownie nie zapomnij określić wymiaru - radiany i stopnie. Osobiście, aby celowo „usunąć wszystkie pytania”, wolę wskazać oba (o ile oczywiście warunkowo nie jest wymagane podawanie odpowiedzi tylko w radianach lub tylko w stopniach).

Teraz sam poradzisz sobie z trudniejszym zadaniem:

Przykład 7*

Podane są długości wektorów i kąt między nimi. Znajdź kąt między wektorami , .

Zadanie jest nie tyle trudne, co wielokierunkowe.
Przeanalizujmy algorytm rozwiązania:

1) Zgodnie z warunkiem wymagane jest znalezienie kąta między wektorami i , więc musisz użyć wzoru .

2) Znajdujemy iloczyn skalarny (patrz przykłady nr 3, 4).

3) Znajdź długość wektora i długość wektora (patrz przykłady nr 5, 6).

4) Zakończenie rozwiązania pokrywa się z Przykładem nr 7 - znamy liczbę , co oznacza, że ​​łatwo jest znaleźć sam kąt:

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Druga część lekcji poświęcona jest temu samemu iloczynowi skalarnemu. Współrzędne. Będzie jeszcze łatwiej niż w pierwszej części.

Iloczyn skalarny wektorów,
podane przez współrzędne w bazie ortonormalnej

Odpowiedź:

Nie trzeba dodawać, że radzenie sobie ze współrzędnymi jest znacznie przyjemniejsze.

Przykład 14

Znajdź iloczyn skalarny wektorów i jeśli

To jest przykład zrób to sam. Tutaj możesz użyć asocjatywności operacji, to znaczy nie liczyć, ale natychmiast wyjąć trójkę z iloczynu skalarnego i pomnożyć przez niego jako ostatni. Rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Na końcu akapitu prowokacyjny przykład obliczania długości wektora:

Przykład 15

Znajdź długości wektorów , jeśli

Decyzja: ponownie nasuwa się metoda z poprzedniej sekcji: ale jest inny sposób:

Znajdźmy wektor:

A jego długość według banalnego wzoru :

Iloczyn skalarny w ogóle nie ma tu znaczenia!

Jak wypada przy obliczaniu długości wektora:
Zatrzymać. Dlaczego nie skorzystać z oczywistej właściwości długości wektora? Co można powiedzieć o długości wektora? Ten wektor jest 5 razy dłuższy niż wektor. Kierunek jest odwrotny, ale to nie ma znaczenia, bo mówimy o długości. Oczywiście długość wektora jest równa iloczynowi moduł liczby na długość wektora:
- znak modułu „zjada” możliwy minus liczby.

Zatem:

Odpowiedź:

Wzór na cosinus kąta między wektorami podanymi przez współrzędne

Teraz mamy pełną informację, aby wyrazić wcześniej wyprowadzony wzór na cosinus kąta między wektorami w postaci współrzędnych wektorów:

Cosinus kąta między wektorami płaskimi i , podane w bazie ortonormalnej , wyraża się wzorem:
.

Cosinus kąta między wektorami przestrzennymi, podane w bazie ortonormalnej , wyraża się wzorem:

Przykład 16

Podano trzy wierzchołki trójkąta. Znajdź (kąt wierzchołka ).

Decyzja: Warunek nie jest wymagany, ale nadal:

Wymagany kąt zaznaczony jest zielonym łukiem. Od razu przypominamy sobie szkolne oznaczenie kątownika: - szczególna uwaga środek litera - jest to wierzchołek kąta, którego potrzebujemy. Dla zwięzłości można go również napisać po prostu.

Z rysunku widać, że kąt trójkąta pokrywa się z kątem między wektorami i , czyli innymi słowy: .

Pożądane jest nauczenie się wykonywania analizy wykonywanej mentalnie.

Znajdźmy wektory:

Obliczmy iloczyn skalarny:

A długości wektorów:

Cosinus kąta:

Właśnie taką kolejność zadań polecam manekinom. Bardziej zaawansowani czytelnicy mogą pisać obliczenia „w jednym wierszu”:

Oto przykład „złej” wartości cosinusa. Otrzymana wartość nie jest ostateczna, więc nie ma sensu pozbywać się irracjonalności w mianowniku.

Znajdźmy kąt:

Jeśli spojrzysz na rysunek, wynik jest całkiem prawdopodobny. Aby sprawdzić kąt można również zmierzyć kątomierzem. Nie uszkadzaj powłoki monitora =)

Odpowiedź:

W odpowiedzi nie zapomnij o tym zapytany o kąt trójkąta(a nie o kącie między wektorami), nie zapomnij podać dokładnej odpowiedzi: i przybliżonej wartości kąta: znaleźć za pomocą kalkulatora.

Ci, którym podobał się ten proces, mogą obliczyć kąty i upewnić się, że równość kanoniczna jest prawdziwa

Przykład 17

Trójkąt jest podany w przestrzeni przez współrzędne jego wierzchołków. Znajdź kąt między bokami i

To jest przykład zrób to sam. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji

Mała, końcowa sekcja poświęcona będzie projekcjom, w których „uczestniczy” również iloczyn skalarny:

Rzut wektora na wektor. Rzut wektorowy na osie współrzędnych.
Cosinusy kierunku wektora

Rozważ wektory i :

Projektujemy wektor na wektor , w tym celu pomijamy początek i koniec wektora prostopadłe na wektor (zielone linie przerywane). Wyobraź sobie, że promienie światła padają prostopadle na wektor. Wtedy odcinek (czerwona linia) będzie „cieniem” wektora. W tym przypadku rzutem wektora na wektor jest DŁUGOŚĆ segmentu. Oznacza to, że PROJEKCJA TO LICZBA.

Ta LICZBA jest oznaczona następująco: , "duży wektor" oznacza wektor KTÓRY projekt, „mały wektor indeksu dolnego” oznacza wektor NA który jest przewidywany.

Sam wpis brzmi tak: „rzut wektora „a” na wektor „być”.

Co się stanie, jeśli wektor „być” jest „zbyt krótki”? Rysujemy linię prostą zawierającą wektor „być”. A wektor „a” będzie już rzutowany w kierunku wektora „być”, po prostu - na linii prostej zawierającej wektor "być". To samo stanie się, jeśli wektor "a" zostanie odłożony na bok w trzydziestym królestwie - nadal będzie łatwo rzutowany na linię zawierającą wektor "be".

Jeśli kąt między wektorami Pikantny(jak na zdjęciu), to

Jeśli wektory prostokątny, wtedy (rzutem jest punkt, którego wymiary przyjmuje się jako zero).

Jeśli kąt między wektorami tępy(na rysunku zmień mentalnie strzałkę wektora), a następnie (ta sama długość, ale ze znakiem minus).

Odłóż te wektory na bok z jednego punktu:

Oczywiście podczas przesuwania wektora jego rzut się nie zmienia

I. Iloczyn skalarny znika wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z wektorów ma wartość zero lub wektory są prostopadłe. Rzeczywiście, jeśli lub , lub wtedy .

I odwrotnie, jeśli pomnożone wektory nie są zerowe, to dlatego, że z warunku

gdy następuje:

Ponieważ kierunek wektora zerowego jest nieokreślony, wektor zerowy można uznać za prostopadły do ​​dowolnego wektora. Dlatego wyspecyfikowaną właściwość iloczynu skalarnego można sformułować w krótszy sposób: iloczyn skalarny znika wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są prostopadłe.

II. Iloczyn skalarny ma właściwość przemieszczania:

Ta właściwość wynika bezpośrednio z definicji:

ponieważ różne oznaczenia dla tego samego kąta.

III. Prawo rozdzielcze ma wyjątkowe znaczenie. Jego zastosowanie jest równie dobre jak w zwykłej arytmetyce czy algebrze, gdzie formułuje się ją następująco: aby pomnożyć sumę, należy pomnożyć każdy wyraz i dodać otrzymane iloczyny, czyli

Oczywiście mnożenie liczb wielowartościowych w arytmetyce lub wielomianach w algebrze opiera się na tej właściwości mnożenia.

Prawo to ma takie samo podstawowe znaczenie w algebrze wektorów, ponieważ na jego podstawie możemy zastosować zwykłą zasadę mnożenia wielomianów do wektorów.

Udowodnijmy, że dla dowolnych trzech wektorów A, B, C równość

Zgodnie z drugą definicją iloczynu skalarnego, wyrażoną wzorem, otrzymujemy:

Stosując teraz właściwość 2 rzutów z § 5, stwierdzamy:

co było do okazania

IV. Iloczyn skalarny ma właściwość łączenia w odniesieniu do współczynnika liczbowego; właściwość ta wyraża się wzorem:

tj. aby pomnożyć iloczyn skalarny wektorów przez liczbę, wystarczy pomnożyć jeden z czynników przez tę liczbę.