Kurs wideo „Get an A” zawiera wszystkie tematy niezbędne do pomyślnego zdania egzaminu z matematyki o 60-65 punktów. Całkowicie wszystkie zadania 1-13 z profilu USE w matematyce. Nadaje się również do zaliczenia podstawowego USE w matematyce. Jeśli chcesz zdać egzamin na 90-100 punktów, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!

Kurs przygotowujący do egzaminu dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz do rozwiązania części 1 egzaminu z matematyki (12 pierwszych zadań) i zadania 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na Zjednoczonym Egzaminu Państwowym i ani stupunktowy student, ani humanista nie mogą się bez nich obejść.

Cała niezbędna teoria. Szybkie rozwiązania, pułapki i tajemnice egzaminu. Przeanalizowano wszystkie istotne zadania części 1 z zadań Banku FIPI. Kurs w pełni zgodny z wymaganiami USE-2018.

Kurs zawiera 5 dużych tematów po 2,5 godziny każdy. Każdy temat podany jest od podstaw, prosto i przejrzyście.

Setki zadań egzaminacyjnych. Problemy tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiał referencyjny, analiza wszystkich typów zadań USE. Stereometria. Sprytne sztuczki do rozwiązywania, przydatne ściągawki, rozwijanie wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw - do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Wizualne wyjaśnienie złożonych pojęć. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Baza do rozwiązywania złożonych problemów II części egzaminu.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i wiadomości.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

• W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnić swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych względów interesu publicznego.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz surowo egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

W geometrii przestrzennej przy rozwiązywaniu problemów z pryzmatami często pojawia się problem z obliczeniem pola powierzchni boków lub ścian tworzących te trójwymiarowe figury. Artykuł poświęcony jest zagadnieniu wyznaczania pola podstawy pryzmatu oraz jego powierzchni bocznej.

Pryzmat figury

Przed przystąpieniem do rozważenia wzorów dotyczących powierzchni podstawy i powierzchni takiego czy innego pryzmatu, konieczne jest zrozumienie, o jakiej postaci mówimy.

Graniastosłup w geometrii to figura przestrzenna składająca się z dwóch równoległych wielokątów, które są sobie równe, oraz kilku czworokątów lub równoległoboków. Liczba tych ostatnich jest zawsze równa liczbie wierzchołków jednego wielokąta. Na przykład, jeśli figurę tworzą dwa równoległe n-kąty, liczba równoległoboków wyniesie n.

Łączące się n-gony równoległoboku nazywane są bokami pryzmatu, a ich całkowita powierzchnia to pole powierzchni bocznej figury. Same n-gony nazywane są zasadami.

Powyższy rysunek przedstawia przykład pryzmatu papierowego. Jego górną podstawą jest żółty prostokąt. Na drugiej podstawie stoi ta sama figura. Czerwone i zielone prostokąty to ściany boczne.

Jakie są pryzmaty?

Istnieje kilka rodzajów pryzmatów. Wszystkie różnią się od siebie tylko dwoma parametrami:

• rodzaj n-gonów tworzących bazy;
• kąt między n-gonem a ścianami bocznymi.

Na przykład, jeśli podstawy są trójkątami, to pryzmat nazywa się trójkątnym, jeśli czworokąty, jak na poprzednim rysunku, to figura nazywa się pryzmatem czworokątnym i tak dalej. Dodatkowo n-kąt może być wypukły lub wklęsły, wtedy ta właściwość jest również dodawana do nazwy pryzmatu.

Kąt między ścianami bocznymi a podstawą może być prosty, ostry lub rozwarty. W pierwszym przypadku mówią o prostopadłościanie, w drugim - o pochylonym lub ukośnym.

Graniastosłupy regularne wyróżniają się specjalnym typem figur. Mają najwyższą symetrię spośród pozostałych pryzmatów. Będzie poprawny tylko wtedy, gdy jest prostokątny, a jego podstawą jest n-gon foremny. Poniższy rysunek przedstawia zestaw pryzmatów regularnych, w których liczba boków n-kąta waha się od trzech do ośmiu.

Powierzchnia pryzmatu

Pod powierzchnią rozważanej figury dowolnego typu rozumiana jest całość wszystkich punktów należących do powierzchni pryzmatu. Wygodnie jest badać powierzchnię pryzmatu, biorąc pod uwagę jego rozwój. Poniżej przykład takiego przeciągnięcia na pryzmat trójkątny.

Widać, że całą powierzchnię tworzą dwa trójkąty i trzy prostokąty.

W przypadku pryzmatu ogólnego typu, jego powierzchnia będzie się składać z dwóch n-kątnych podstaw i n czworoboków.

Rozważmy bardziej szczegółowo kwestię obliczania pola powierzchni pryzmatów różnych typów.

Powierzchnia podstawy pryzmatu

Być może najłatwiejszym zadaniem podczas pracy z pryzmatami jest problem ze znalezieniem obszaru podstawy zwykłej figury. Ponieważ tworzy go n-gon, dla którego wszystkie kąty i długości boków są takie same, zawsze można go podzielić na identyczne trójkąty, dla których znane są kąty i boki. Całkowity obszar trójkątów będzie polem n-gonu.

Innym sposobem określenia części pola powierzchni pryzmatu (podstawy) jest użycie dobrze znanego wzoru. To wygląda tak:

S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

Oznacza to, że powierzchnia S n n-kąta jest jednoznacznie określona na podstawie znajomości długości jego boku a. Pewną trudnością w obliczeniu wzoru może być obliczenie cotangensa, zwłaszcza gdy n>4 (dla n≤4, wartości cotangensa są danymi tabelarycznymi). Aby określić tę funkcję trygonometryczną, zaleca się użycie kalkulatora.

Przy ustalaniu problemu geometrycznego należy zachować ostrożność, ponieważ może być konieczne znalezienie obszaru podstaw pryzmatu. Następnie wartość uzyskaną ze wzoru należy pomnożyć przez dwa.

Powierzchnia podstawy trójkątnego pryzmatu

Na przykładzie trójkątnego pryzmatu zastanów się, jak znaleźć obszar podstawy tej figury.

Najpierw rozważ prosty przypadek - zwykły pryzmat. Powierzchnia podstawy jest obliczana zgodnie ze wzorem podanym w powyższym akapicie, należy w nim zastąpić n \u003d 3. Otrzymujemy:

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

Pozostaje zastąpić wyrażeniem określone wartości długości boku trójkąta równobocznego, aby uzyskać obszar podstawy.

Załóżmy teraz, że mamy pryzmat, którego podstawą jest dowolny trójkąt. Znane są jego dwa boki a i b oraz kąt między nimi α. Ten rysunek pokazano poniżej.

Jak w tym przypadku znaleźć obszar podstawy trójkątnego pryzmatu? Należy pamiętać, że pole dowolnego trójkąta jest równe połowie iloczynu boku i wysokości obniżonej do tej strony. Rysunek pokazuje wysokość od h do boku b. Długość h odpowiada iloczynowi sinusa kąta alfa i długości boku a. Wtedy obszar całego trójkąta to:

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

Jest to podstawa przedstawionego trójkątnego pryzmatu.

Powierzchnia boczna

Odkryliśmy, jak znaleźć obszar podstawy pryzmatu. Boczna powierzchnia tej figury zawsze składa się z równoległoboków. W przypadku prostych pryzmatów równoległoboki stają się prostokątami, więc łatwo jest obliczyć ich całkowitą powierzchnię:

S = ∑ i=1 n (a i *b)

Tutaj b jest długością krawędzi bocznej, a i jest długością boku i-tego prostokąta, który pokrywa się z długością boku n-kąta. W przypadku zwykłego graniastosłupa n-kątnego otrzymujemy proste wyrażenie:

Jeżeli graniastosłup jest pochylony, to w celu wyznaczenia pola powierzchni bocznej należy wykonać nacięcie prostopadłe, obliczyć jego obwód P sr i pomnożyć przez długość żebra bocznego.

Powyższy rysunek pokazuje, jak należy wykonać to cięcie dla ukośnego pryzmatu pięciokątnego.

Różne pryzmaty różnią się od siebie. Jednocześnie mają ze sobą wiele wspólnego. Aby znaleźć obszar podstawy pryzmatu, musisz dowiedzieć się, jak wygląda.

Ogólna teoria

Graniastosłup to dowolny wielościan, którego boki mają kształt równoległoboku. Co więcej, u jego podstawy może znajdować się dowolny wielościan - od trójkąta do n-kąta. Co więcej, podstawy pryzmatu są zawsze sobie równe. Co nie dotyczy bocznych ścianek - mogą one znacznie różnić się wielkością.

Podczas rozwiązywania problemów napotykamy nie tylko obszar podstawy pryzmatu. Może być konieczne poznanie powierzchni bocznej, to znaczy wszystkich ścian, które nie są podstawami. Cała powierzchnia będzie już połączeniem wszystkich ścian tworzących pryzmat.

Czasami w zadaniach pojawiają się wysokości. Jest prostopadły do ​​podstaw. Przekątna wielościanu to odcinek łączący parami dowolne dwa wierzchołki, które nie należą do tej samej ściany.

Należy zauważyć, że powierzchnia podstawy prostego lub pochyłego pryzmatu nie zależy od kąta między nimi a powierzchniami bocznymi. Jeśli mają te same cyfry na górnej i dolnej powierzchni, ich obszary będą równe.

trójkątny pryzmat

Ma u podstawy figurę z trzema wierzchołkami, czyli trójkąt. Wiadomo, że jest inny. Jeśli to wystarczy przypomnieć, że jego powierzchnię wyznacza połowa iloczynu nóg.

Notacja matematyczna wygląda tak: S = ½ śr.

Aby określić obszar podstawy w ogólnej formie, przydatne są formuły: Czapla i ta, w której połowa boku jest przenoszona na narysowaną do niej wysokość.

Pierwsza formuła powinna być napisana w następujący sposób: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Ten wpis zawiera półobwód (p), czyli sumę trzech boków podzieloną przez dwa.

Po drugie: S = ½ n a * a.

Jeśli chcesz poznać obszar podstawy trójkątnego pryzmatu, który jest regularny, trójkąt okazuje się być równoboczny. Ma własną formułę: S = ¼ a 2 * √3.

pryzmat czworokątny

Jego podstawą jest dowolny ze znanych czworoboków. Może to być prostokąt lub kwadrat, równoległościan lub romb. W każdym przypadku, aby obliczyć powierzchnię podstawy pryzmatu, będziesz potrzebować własnego wzoru.

Jeżeli podstawą jest prostokąt, to jego pole wyznacza się następująco: S = av, gdzie a, b są bokami prostokąta.

Jeśli chodzi o pryzmat czworokątny, powierzchnię podstawy zwykłego pryzmatu oblicza się ze wzoru na kwadrat. Bo to on leży u podstawy. S \u003d 2.

W przypadku, gdy podstawa jest równoległościanem, potrzebna będzie następująca równość: S \u003d a * n a. Zdarza się, że podano bok równoległościanu i jeden z kątów. Następnie, aby obliczyć wysokość, będziesz musiał użyć dodatkowego wzoru: na \u003d b * sin A. Co więcej, kąt A sąsiaduje z bokiem „b”, a wysokość jest przeciwna do tego kąta.

Jeśli u podstawy pryzmatu leży romb, to do określenia jego powierzchni potrzebny będzie ten sam wzór, jak dla równoległoboku (ponieważ jest to przypadek szczególny). Ale możesz również użyć tego: S = ½ d 1 d 2. Tutaj d 1 i d 2 to dwie przekątne rombu.

Regularny pryzmat pięciokątny

Ten przypadek polega na podzieleniu wielokąta na trójkąty, których obszary są łatwiejsze do odnalezienia. Chociaż zdarza się, że figury mogą mieć różną liczbę wierzchołków.

Ponieważ podstawą pryzmatu jest pięciokąt foremny, można go podzielić na pięć trójkątów równobocznych. Następnie powierzchnia podstawy pryzmatu jest równa powierzchni jednego takiego trójkąta (wzór widać powyżej), pomnożonej przez pięć.

Regularny pryzmat sześciokątny

Zgodnie z zasadą opisaną dla graniastosłupa pięciokątnego można podzielić sześciokąt podstawowy na 6 trójkątów równobocznych. Wzór na powierzchnię podstawy takiego pryzmatu jest podobny do poprzedniego. Tylko w tym należy pomnożyć przez sześć.

Formuła będzie wyglądać tak: S = 3/2 i 2 * √3.

Zadania

Nr 1. Podana jest regularna linia prosta, której przekątna wynosi 22 cm, wysokość wielościanu wynosi 14 cm Oblicz obszar podstawy pryzmatu i całej powierzchni.

Decyzja. Podstawa pryzmatu jest kwadratem, ale jego bok nie jest znany. Jego wartość można znaleźć na podstawie przekątnej kwadratu (x), która jest powiązana z przekątną pryzmatu (d) i jego wysokością (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. Z drugiej strony ten odcinek „x” to przeciwprostokątna w trójkącie, którego nogi są równe bokowi kwadratu. Oznacza to, że x 2 \u003d a 2 + a 2. Okazuje się zatem, że a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Zastąp liczbę 22 zamiast d i zastąp „n” jej wartością - 14, okazuje się, że bok kwadratu ma 12 cm Teraz łatwo jest znaleźć obszar podstawowy: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Aby określić obszar całej powierzchni, musisz dodać dwukrotną wartość obszaru bazowego i czterokrotnie zwiększyć bok. Tę ostatnią łatwo znaleźć według wzoru na prostokąt: pomnóż wysokość wielościanu i bok podstawy. To znaczy 14 i 12, ta liczba będzie równa 168 cm 2. Stwierdzono, że całkowita powierzchnia pryzmatu wynosi 960 cm2.

Odpowiedź. Powierzchnia podstawy pryzmatu wynosi 144 cm2. Cała powierzchnia - 960 cm 2 .

Nr 2. Dana U podstawy leży trójkąt o boku 6 cm, w tym przypadku przekątna powierzchni bocznej wynosi 10 cm Oblicz obszary: podstawę i powierzchnię boczną.

Decyzja. Ponieważ pryzmat jest regularny, jego podstawą jest trójkąt równoboczny. Dlatego jego powierzchnia okazuje się równa 6 do kwadratu razy ¼ i pierwiastkowi kwadratowemu z 3. Prosta kalkulacja prowadzi do wyniku: 9√3 cm2. Jest to obszar jednej podstawy pryzmatu.

Wszystkie ściany boczne są takie same i są prostokątami o bokach 6 i 10 cm, aby obliczyć ich powierzchnie, wystarczy pomnożyć te liczby. Następnie pomnóż je przez trzy, bo pryzmat ma dokładnie tyle ścian bocznych. Następnie obszar powierzchni bocznej nawija się 180 cm 2 .

Odpowiedź. Obszary: podstawa - 9√3 cm2, boczna powierzchnia pryzmatu - 180 cm2.

Definicja.

Jest to sześciokąt, którego podstawy są dwoma równymi kwadratami, a ściany boczne są równymi prostokątami.

Boczne żebro jest wspólną stroną dwóch sąsiednich ścian bocznych

Wysokość pryzmatu to odcinek prostopadły do ​​podstawy pryzmatu

Przekątna pryzmatu- odcinek łączący dwa wierzchołki podstaw, które nie należą do tej samej ściany

Płaszczyzna ukośna- płaszczyzna przechodząca przez przekątną pryzmatu i jego boczne krawędzie

Przekrój po przekątnej- granice przecięcia pryzmatu i płaszczyzny przekątnej. Przekątna zwykłego czworokątnego graniastosłupa to prostokąt

Przekrój prostopadły (przekrój ortogonalny)- to przecięcie pryzmatu i płaszczyzny narysowanej prostopadle do jego bocznych krawędzi

Elementy zwykłego czworokątnego pryzmatu

Rysunek przedstawia dwa regularne pryzmaty czworokątne, które są oznaczone odpowiednimi literami:

• Podstawy ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 są równe i równoległe do siebie
• Powierzchnie boczne AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, z których każda jest prostokątem
• Powierzchnia boczna - suma pól wszystkich powierzchni bocznych pryzmatu
• Powierzchnia całkowita - suma powierzchni wszystkich podstaw i ścian bocznych (suma powierzchni powierzchni bocznych i podstaw)
• Żebra boczne AA 1 , BB 1 , CC 1 i DD 1 .
• Przekątna B 1 D
• Przekątna podstawy BD
• Przekrój skośny BB 1 D 1 D
• Przekrój prostopadły A 2 B 2 C 2 D 2 .

Właściwości regularnego pryzmatu czworokątnego

• Podstawy to dwa równe kwadraty
• Podstawy są do siebie równoległe
• Boki są prostokątami.
• Boki są sobie równe
• Ściany boczne są prostopadłe do podstaw
• Żebra boczne są do siebie równoległe i równe
• Przekrój prostopadły prostopadły do ​​wszystkich bocznych żeber i równoległy do ​​podstaw
• Kąty przekroju prostopadłego — z prawej
• Przekątna zwykłego czworokątnego graniastosłupa to prostokąt
• Prostopadły (przekrój ortogonalny) równoległy do ​​podstaw

Wzory na zwykły pryzmat czworokątny

Instrukcje rozwiązywania problemów

Podczas rozwiązywania problemów na ten temat ” zwykły czworokątny pryzmat” oznacza, że:

Prawidłowy pryzmat- graniastosłup, u którego podstawy leży wielokąt foremny, a krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzn podstawy. Oznacza to, że u podstawy znajduje się zwykły czworokątny pryzmat kwadrat. (patrz powyżej właściwości zwykłego pryzmatu czworokątnego) Notatka. Jest to część lekcji z zadaniami z geometrii (sekcja geometria bryłowa - pryzmat). Oto zadania, które powodują trudności w rozwiązaniu. Jeśli potrzebujesz rozwiązać problem z geometrii, którego tutaj nie ma - napisz o tym na forum. Dla oznaczenia czynności wyciągania pierwiastka kwadratowego w rozwiązywaniu problemów stosuje się symbol√ .

Zadanie.

W zwykłym czworokątnym pryzmacie powierzchnia podstawy wynosi 144 cm 2, a wysokość 14 cm. Znajdź przekątną pryzmatu i całkowitą powierzchnię.

Decyzja.
Regularny czworokąt to kwadrat.
W związku z tym bok podstawy będzie równy

√144 = 12 cm.
Skąd przekątna podstawy zwykłego prostopadłościanu będzie równa
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Przekątna zwykłego graniastosłupa tworzy z przekątną podstawy i wysokością pryzmatu trójkąt prostokątny. W związku z tym, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, przekątna danego regularnego graniastosłupa czworokątnego będzie równa:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odpowiedź: 22 cm

Zadanie

Znajdź całkowitą powierzchnię zwykłego czworokątnego pryzmatu, jeśli jego przekątna wynosi 5 cm, a przekątna powierzchni bocznej 4 cm.

Decyzja.
Ponieważ podstawa zwykłego czworokątnego graniastosłupa jest kwadratem, to bok podstawy (oznaczony jako a) znajduje się w twierdzeniu Pitagorasa:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Wysokość ściany bocznej (oznaczona jako h) będzie wtedy równa:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

Całkowita powierzchnia będzie równa sumie powierzchni bocznej i dwukrotnej powierzchni bazowej

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odpowiedź: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.