Rozwiązywanie równań w liczbach całkowitych jest jednym z najstarszych problemów matematycznych. Już na początku II tysiąclecia p.n.e. mi. Babilończycy wiedzieli, jak rozwiązywać układy takich równań z dwiema zmiennymi. Ten obszar matematyki osiągnął swój największy rozkwit w Starożytna Grecja. Głównym źródłem dla nas jest Arytmetyka Diofantosa, która zawiera Różne rodzaje równania. Diofantos (od jego imienia nazwa równań to równania diofantyczne) przewiduje szereg metod badania równań drugiego i trzeciego stopnia, które rozwinęły się dopiero w XIX wieku.
Najprostsze równania diofantyny to ax + y = 1 (równanie z dwiema zmiennymi, pierwszy stopień) x2 + y2 = z2 (równanie z trzema zmiennymi, drugi stopień)
Najpełniej zbadano równania algebraiczne, a ich rozwiązanie było jednym z nich najważniejsze zadania Algebra w XVI-XVII wieku.
Już na początku XIX w. w pracach P. Fermata, L. Eulera, K. Gaussa badano równanie diofantyczne o postaci: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, gdzie a, b, c , d, e, f to liczby; x, y nieznane zmienne.
Jest to równanie drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi.
zbudowany przez K. Gaussa ogólna teoria postacie kwadratowe, które są podstawą rozwiązywania niektórych typów równań z dwiema zmiennymi (równania diofantyny). Istnieje duża liczba specyficzne równania diofantyny rozwiązywane metodami elementarnymi. /p>
Materiał teoretyczny.
W tej części pracy zostaną opisane podstawowe pojęcia matematyczne, zostaną zdefiniowane terminy, a także sformułowane zostanie twierdzenie o rozwinięciu metodą współczynników nieokreślonych, które badano i uwzględniono przy rozwiązywaniu równań z dwiema zmiennymi.
Definicja 1: Równanie w postaci ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, gdzie a, b, c, d, e, f są liczbami; x, y nieznane zmienne nazywane są równaniem drugiego stopnia z dwiema zmiennymi.
W kurs szkolny studiuje się matematykę równanie kwadratowe ax2+inx+c=0, gdzie liczby a, b, c x zmienna, z jedną zmienną. Istnieje wiele sposobów rozwiązania tego równania:
1. Znajdowanie pierwiastków za pomocą dyskryminatora;
2. Znalezienie pierwiastków współczynnika parzystego w (wg D1=);
3. Wyszukiwanie pierwiastków z wykorzystaniem twierdzenia Viety;
4. Znajdowanie pierwiastków poprzez wyodrębnienie idealnego kwadratu dwumianu.
Rozwiązanie równania oznacza znalezienie wszystkich jego pierwiastków lub udowodnienie, że nie istnieją.
Definicja 2: Pierwiastkiem równania jest liczba, która po podstawieniu do równania tworzy prawdziwą równość.
Definicja 3: Rozwiązanie równania z dwiema zmiennymi nazywa się parą liczb (x, y), które po podstawieniu do równania daje prawdziwą równość.
Proces znajdowania rozwiązań równania bardzo często polega na zastąpieniu równania równaniem równoważnym, ale łatwiejszym do rozwiązania. Takie równania nazywane są równoważnymi.
Definicja 4: Mówi się, że dwa równania są równoważne, jeśli każde rozwiązanie jednego równania jest rozwiązaniem drugiego równania i odwrotnie, a oba równania rozpatrywane są w tej samej dziedzinie.
Aby rozwiązać równania z dwiema zmiennymi, należy skorzystać z twierdzenia o rozkładzie równania na sumę pełnych kwadratów (metodą współczynników nieokreślonych).
Dla równania drugiego rzędu ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) ma miejsce rozwinięcie a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)
Sformułujmy warunki, w jakich zachodzi rozwinięcie (2) równania (1) dwóch zmiennych.
Twierdzenie: Jeśli współczynniki a, b, c równania (1) spełniają warunki a0 i 4ab – c20, wówczas rozwinięcie (2) wyznacza się w unikalny sposób.
Innymi słowy, równanie (1) z dwiema zmiennymi można sprowadzić do postaci (2) metodą współczynników nieokreślonych, jeśli spełnione są warunki twierdzenia.
Spójrzmy na przykład implementacji metody współczynników nieokreślonych.
METODA nr 1. Rozwiązać równanie metodą współczynników nieokreślonych
2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
1. Sprawdźmy spełnienie warunków twierdzenia a=2, b=1, c=2, co oznacza a=2,4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.
2. Warunki twierdzenia są spełnione i można je rozwinąć zgodnie ze wzorem (2).
3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, w oparciu o warunki twierdzenia obie części tożsamości są równoważne. Uprośćmy prawą stronę tożsamości.
4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =
2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =
2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =
X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).
5. Przyrównujemy współczynniki identycznych zmiennych z ich potęgami.
x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h
6. Zdobądźmy układ równań, rozwiążmy go i znajdź wartości współczynników.
7. Podstaw współczynniki do (2), a równanie przyjmie postać
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0
Zatem pierwotne równanie jest równoważne równaniu
2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), równanie to jest równoważne układowi dwóch równań liniowych.
Odpowiedź: (-1; 1).
Jeśli zwrócisz uwagę na rodzaj rozwinięcia (3), zauważysz, że ma ono identyczną formę, jak wyodrębnienie pełnego kwadratu z równania kwadratowego z jedną zmienną: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.
Zastosujmy tę technikę przy rozwiązywaniu równania z dwiema zmiennymi. Rozwiążmy, wybierając pełny kwadrat, równanie kwadratowe z dwiema zmiennymi, które zostało już rozwiązane za pomocą twierdzenia.
METODA nr 2: Rozwiąż równanie 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
Rozwiązanie: 1. Wyobraźmy sobie 2x2 jako sumę dwóch wyrazów x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
2. Pogrupujmy wyrazy w taki sposób, aby móc je złożyć korzystając ze wzoru na pełny kwadrat.
(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.
3. Wybierz całe kwadraty z wyrażeń w nawiasach.
(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.
4. To równanie jest równoważne układowi równań liniowych.
Odpowiedź: (-1;1).
Jeśli porównać wyniki, widać, że równanie rozwiązane metodą nr 1 z wykorzystaniem twierdzenia i metodą współczynników nieokreślonych oraz równanie rozwiązane metodą nr 2 z wykorzystaniem ekstrakcji pełnego kwadratu mają te same pierwiastki.
Wniosek: Równanie kwadratowe z dwiema zmiennymi można rozszerzyć na sumę kwadratów na dwa sposoby:
➢ Pierwszą metodą jest metoda współczynników nieokreślonych, która opiera się na twierdzeniu i rozwinięciu (2).
➢ Drugi sposób polega na zastosowaniu transformacji tożsamościowych, które pozwalają na sekwencyjne wybieranie pełnych kwadratów.
Oczywiście przy rozwiązywaniu problemów preferowana jest druga metoda, ponieważ nie wymaga zapamiętywania rozwinięć (2) i warunków.
Metodę tę można również zastosować do równań kwadratowych z trzema zmiennymi. Wyodrębnienie idealnego kwadratu w takich równaniach jest bardziej pracochłonne. W przyszłym roku zrobię taką metamorfozę.
Ciekawostką jest, że funkcja mająca postać: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f nazywana jest funkcja kwadratowa dwie zmienne. Funkcje kwadratowe odgrywają ważną rolę w różnych gałęziach matematyki:
W programowaniu matematycznym (programowanie kwadratowe)
W algebrze liniowej i geometrii (formy kwadratowe)
W teorii równań różniczkowych (sprowadzenie równania liniowego drugiego rzędu do postaci kanonicznej).
Rozwiązując te różne problemy, zasadniczo należy zastosować procedurę izolowania pełnego kwadratu z równania kwadratowego (jednej, dwóch lub więcej zmiennych).
Proste, których równania są opisane równaniem kwadratowym dwóch zmiennych, nazywane są krzywymi drugiego rzędu.
To jest okrąg, elipsa, hiperbola.
Przy konstruowaniu wykresów tych krzywych stosuje się również metodę sekwencyjnego izolowania pełnego kwadratu.
Przyjrzyjmy się, jak działa metoda sekwencyjnego wybierania całego kwadratu na konkretnych przykładach.
Część praktyczna.
Rozwiązuj równania metodą sekwencyjnego izolowania pełnego kwadratu.
1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;
(x +1)2 + (x + y)2 = 0;
Odpowiedź:(-1;1).
2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;
(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;
Odpowiedź:(0,5; - 0,5).
3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;
3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;
3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;
3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;
Odpowiedź:(-1;1).
Rozwiąż równania:
1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0
(sprowadź do postaci: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)
Odpowiedź: (-3; -3)
2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0
(sprowadź do postaci: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)
Odpowiedź: (-1; 1)
3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0
(sprowadź do postaci: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)
Odpowiedź: (7; -7)
Wniosek.
W tym Praca naukowa zbadano równania z dwiema zmiennymi drugiego stopnia i rozważono metody ich rozwiązywania. Zadanie zostało zrealizowane, sformułowane i opisane szerzej. krótka droga rozwiązania polegające na wyodrębnieniu pełnego kwadratu i zastąpieniu równania równoważnym układem równań, co daje uproszczoną procedurę znajdowania pierwiastków równania z dwiema zmiennymi.
Ważnym punktem pracy jest to, że rozważaną technikę stosuje się przy rozwiązywaniu różnych problemów matematycznych związanych z funkcją kwadratową, konstruowaniu krzywych drugiego rzędu i znajdowaniu największej (najmniejszej) wartości wyrażeń.
Zatem najliczniejsze zastosowania w matematyce ma technika rozkładania równania drugiego rzędu z dwiema zmiennymi na sumę kwadratów.
Temat:Funkcja liniowa
Lekcja:Równanie liniowe z dwiema zmiennymi i jej wykresem
Zapoznaliśmy się z pojęciami osi współrzędnych i płaszczyzny współrzędnych. Wiemy, że każdy punkt na płaszczyźnie jednoznacznie definiuje parę liczb (x; y), przy czym pierwsza liczba jest odciętą punktu, a druga rzędną.
Bardzo często spotykamy się z równaniem liniowym dwóch zmiennych, którego rozwiązaniem jest para liczb dających się przedstawić na płaszczyźnie współrzędnych.
Równanie postaci:
Gdzie a, b, c są liczbami i 
Nazywa się to równaniem liniowym z dwiema zmiennymi x i y. Rozwiązaniem takiego równania będzie dowolna para liczb x i y, podstawiając którą do równania otrzymamy poprawną równość liczbową.
Para liczb zostanie przedstawiona na płaszczyźnie współrzędnych jako punkt.
Dla takich równań zobaczymy wiele rozwiązań, czyli wiele par liczb, a wszystkie odpowiadające im punkty będą leżeć na tej samej prostej.
Spójrzmy na przykład:
Aby znaleźć rozwiązania tego równania, należy wybrać odpowiednie pary liczb x i y:
Niech , wówczas pierwotne równanie zamienia się w równanie z jedną niewiadomą:
,
Czyli pierwsza para liczb będąca rozwiązaniem danego równania (0; 3). Mamy punkt A(0; 3)
Pozwalać . Otrzymujemy oryginalne równanie z jedną zmienną: 
, stąd mamy punkt B(3; 0)
Umieśćmy pary liczb w tabeli:
Narysujmy punkty na wykresie i narysujmy linię prostą: 
Należy pamiętać, że dowolny punkt na danej prostej będzie rozwiązaniem danego równania. Sprawdźmy - weź punkt ze współrzędną i skorzystaj z wykresu, aby znaleźć jego drugą współrzędną. To oczywiste, że w tym momencie. Podstawmy tę parę liczb do równania. Otrzymujemy 0=0 - poprawną równość liczbową, co oznacza, że rozwiązaniem jest punkt leżący na prostej.
Na razie nie możemy udowodnić, że dowolny punkt leżący na skonstruowanej prostej jest rozwiązaniem równania, dlatego przyjmujemy to jako prawdziwe i udowodnimy to później.
Przykład 2 – wykres równania:
Zróbmy tabelę; do skonstruowania linii prostej potrzebujemy tylko dwóch punktów, ale dla kontroli weźmiemy trzeci:
W pierwszej kolumnie wybraliśmy wygodną, znajdziemy ją z:
, ,
W drugiej kolumnie wybraliśmy wygodną, znajdźmy x:
, , ,
Sprawdźmy i znajdźmy:
, ,
Zbudujmy wykres:
Pomnóżmy podane równanie przez dwa:
Po takiej transformacji zbiór rozwiązań nie ulegnie zmianie, a wykres pozostanie taki sam.
Wniosek: nauczyliśmy się rozwiązywać równania z dwiema zmiennymi i budować ich wykresy, dowiedzieliśmy się, że wykres takiego równania jest linią prostą i że każdy punkt na tej prostej jest rozwiązaniem równania
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i inne Algebra 7. wydanie 6. M.: Oświecenie. 2010
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. i inne Algebra 7.M.: Oświecenie. 2006
2. Portal do przeglądania rodziny ().
Zadanie 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, nr 960, art. 210;
Zadanie 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, nr 961, art. 210;
Zadanie 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, nr 962, art. 210;
Równania nieliniowe z dwiema niewiadomymi
Definicja 1. Niech A będzie jakimś zbiór par liczb (X; y) . Mówią, że zbiór A jest dany funkcja numeryczna z z dwóch zmiennych x i y, jeśli zostanie podana reguła, za pomocą której każda para liczb ze zbioru A jest powiązana z określoną liczbą.
Ćwiczenia funkcja numeryczna z z dwóch zmiennych x i y często oznaczać Więc:
Gdzie F (X , y) – dowolna funkcja inna niż funkcja
F (X , y) = topór+by+c ,
gdzie a, b, c są danymi liczbami.
Definicja 3. Rozwiązywanie równania (2) zadzwoń pod parę liczb ( X; y), dla którego wzór (2) jest prawdziwą równością.
Przykład 1. Rozwiązać równanie
Ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, ze wzoru (4) wynika, że niewiadome x i y spełniają układ równań
którego rozwiązaniem jest para liczb (6; 3).
Odpowiedź: (6; 3)
Przykład 2. Rozwiązać równanie
Dlatego rozwiązaniem równania (6) jest nieskończona liczba par liczb Uprzejmy
(1 + y ; y) ,
gdzie y jest dowolną liczbą.
liniowy
Definicja 4. Rozwiązywanie układu równań
zadzwoń pod parę liczb ( X; y) , podstawiając je do każdego z równań tego układu, uzyskuje się poprawną równość.
Układy dwóch równań, z których jedno jest liniowe, mają postać
G(X , y)
Przykład 4. Rozwiązać układ równań
Rozwiązanie . Wyraźmy niewiadome y z pierwszego równania układu (7) poprzez nieznane x i otrzymane wyrażenie podstawimy do drugiego równania układu:
Rozwiązanie równania
X 1 = - 1 , X 2 = 9 .
Stąd,
y 1 = 8 - X 1 = 9 ,
y 2 = 8 - X 2 = - 1 .
Układy dwóch równań, z których jedno jest jednorodne
Układy dwóch równań, z których jedno jest jednorodne, mają postać
gdzie a, b, c są danymi liczbami i G(X , y) – funkcja dwóch zmiennych x i y.
Przykład 6. Rozwiązać układ równań
Rozwiązanie . Rozwiążmy równanie jednorodne
3X 2 + 2xy - y 2 = 0 ,
3X 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,
traktując to jako równanie kwadratowe ze względu na niewiadomą x:
.
W razie X = - 5y, z drugiego równania układu (11) otrzymujemy równanie
5y 2 = - 20 ,
który nie ma korzeni.
W razie
z drugiego równania układu (11) otrzymujemy równanie
,
którego pierwiastkiem są liczby y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Znajdując dla każdej z tych wartości y odpowiednią wartość x, otrzymujemy dwa rozwiązania układu: (- 2 ; 3), (2; - 3).
Odpowiedź: (- 2; 3), (2; - 3)
Przykłady rozwiązywania układów równań innych typów
Przykład 8. Rozwiąż układ równań (MIPT)
Rozwiązanie . Wprowadźmy nowe niewiadome u i v, które wyrażamy poprzez x i y według wzorów:
Aby przepisać układ (12) w kategoriach nowych niewiadomych, najpierw wyrażamy niewiadome x i y w kategoriach u i v. Z układu (13) wynika, że
Rozwiążmy układ liniowy (14) usuwając zmienną x z drugiego równania tego układu. W tym celu dokonujemy na układzie (14) następujących przekształceń:
- Pierwsze równanie układu pozostawimy bez zmian;
- od drugiego równania odejmujemy pierwsze równanie i zastępujemy drugie równanie układu powstałą różnicą.
W rezultacie układ (14) zostaje przekształcony w układ równoważny
z którego znajdujemy
Korzystając ze wzorów (13) i (15) przepisujemy oryginalny układ (12) w postaci
Pierwsze równanie układu (16) jest liniowe, zatem możemy z niego wyrazić nieznane u poprzez nieznane v i podstawić to wyrażenie do drugiego równania układu.
Równanie liniowe z dwiema zmiennymi to dowolne równanie, które ma następny widok: a*x + b*y =с. Tutaj x i y to dwie zmienne, a, b, c to pewne liczby.
Poniżej kilka przykłady równań liniowych.
1. 10*x + 25*y = 150;
Podobnie jak równania z jedną niewiadomą, równanie liniowe z dwiema zmiennymi (niewiadomymi) również ma rozwiązanie. Na przykład równanie liniowe x-y=5, gdzie x=8 i y=3 zamienia się w poprawną tożsamość 8-3=5. W tym przypadku mówimy, że para liczb x=8 i y=3 jest rozwiązaniem równania liniowego x-y=5. Można też powiedzieć, że para liczb x=8 i y=3 spełnia równanie liniowe x-y=5.
Rozwiązywanie równania liniowego
Zatem rozwiązaniem równania liniowego a*x + b*y = c jest dowolna para liczb (x,y), która spełnia to równanie, czyli zamienia równanie ze zmiennymi x i y na poprawną równość liczbową. Zwróć uwagę, jak zapisana jest tutaj para liczb x i y. Ten wpis jest krótszy i wygodniejszy. Trzeba tylko pamiętać, że pierwsze miejsce w takim rekordzie to wartość zmiennej x, a drugie to wartość zmiennej y.
Należy pamiętać, że liczby x=11 i y=8, x=205 i y=200 x= 4,5 i y= -0,5 również spełniają równanie liniowe x-y=5, a zatem są rozwiązaniami tego równania liniowego.
Rozwiązywanie równania liniowego z dwiema niewiadomymi nie jest jedyny. Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele różnych rozwiązań. To znaczy, istnieje nieskończenie wiele różnych dwie liczby x i y, które przekształcają równanie liniowe w prawdziwą tożsamość.
Jeżeli kilka równań z dwiema zmiennymi ma identyczne rozwiązania, wówczas równania takie nazywane są równaniami równoważnymi. Należy zauważyć, że jeśli równania z dwiema niewiadomymi nie mają rozwiązań, to również uważa się je za równoważne.
Podstawowe własności równań liniowych z dwiema niewiadomymi
1. Każdy wyraz równania można przenieść z jednej części na drugą, ale konieczna jest zmiana jego znaku na przeciwny. Wynikowe równanie będzie równoważne pierwotnemu.
2. Obie strony równania można podzielić przez dowolną liczbę różną od zera. W rezultacie otrzymujemy równanie równoważne pierwotnemu.
§ 1 Dobór pierwiastków równań w sytuacjach rzeczywistych
Rozważmy tę realną sytuację:
Mistrz i uczeń wspólnie wykonali 400 niestandardowych części. Ponadto mistrz pracował przez 3 dni, a uczeń przez 2 dni. Ile części wykonała każda osoba?
Stwórzmy algebraiczny model tej sytuacji. Pozwól mistrzowi wyprodukować części w ciągu 1 dnia. A uczeń tkwi w szczegółach. Następnie mistrz wykona 3 części w 3 dni, a uczeń 2 części w 2 dni. Razem wyprodukują 3 + 2 części. Ponieważ zgodnie z warunkiem wyprodukowano w sumie 400 części, otrzymujemy równanie:
Otrzymane równanie nazywa się równaniem liniowym dwóch zmiennych. Tutaj musimy znaleźć parę liczb x i y, dla których równanie przybierze postać prawdziwej równości liczbowej. Zauważ, że jeśli x = 90, y = 65, to otrzymujemy równość:
3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400
Ponieważ uzyskano poprawną równość liczbową, rozwiązaniem tego równania będzie para liczb 90 i 65. Jednak znalezione rozwiązanie nie jest jedyne. Jeśli x = 96 i y = 56, to otrzymujemy równość:
96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400
Jest to również prawdziwa równość liczbowa, co oznacza, że para liczb 96 i 56 jest również rozwiązaniem tego równania. Ale para liczb x = 73 i y = 23 nie będzie rozwiązaniem tego równania. Tak naprawdę 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 da nam niepoprawną równość liczbową 265 = 400. Należy zauważyć, że jeśli rozważymy równanie w odniesieniu do tej rzeczywistej sytuacji, to pojawią się pary liczb, które będąc rozwiązanie tego równania nie będzie rozwiązaniem problemu. Na przykład kilka liczb:
x = 200 i y = -100
jest rozwiązaniem równania, ale student nie potrafi zrobić -100 części, a zatem taka para liczb nie może być odpowiedzią na pytanie. Zatem w każdej konkretnej sytuacji rzeczywistej konieczne jest rozsądne podejście do wyboru pierwiastków równania.
Podsumujmy pierwsze wyniki:
Równanie w postaci ax + bу + c = 0, gdzie a, b, c są dowolnymi liczbami, nazywa się równaniem liniowym z dwiema zmiennymi.
Rozwiązaniem równania liniowego dwóch zmiennych jest para liczb odpowiadających x i y, dla których równanie zamienia się w prawdziwą równość liczbową.
§ 2 Wykres równania liniowego
Już sam zapis pary (x;y) skłania do zastanowienia się nad możliwością przedstawienia jej jako punktu o współrzędnych xy y na płaszczyźnie. Oznacza to, że możemy otrzymać model geometryczny konkretnej sytuacji. Rozważmy na przykład równanie:
2x + y - 4 = 0
Wybierzmy kilka par liczb, które będą rozwiązaniami tego równania i skonstruujmy punkty o znalezionych współrzędnych. Niech to będą punkty:
A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).
Zauważ, że wszystkie punkty leżą na tej samej prostej. Linię tę nazywa się wykresem równania liniowego dwóch zmiennych. Jest to graficzny (lub geometryczny) model danego równania.
Jeśli para liczb (x;y) jest rozwiązaniem równania
ax + vy + c = 0, to punkt M(x;y) należy do wykresu równania. Można powiedzieć odwrotnie: jeśli punkt M(x;y) należy do wykresu równania ax + y + c = 0, to para liczb (x;y) jest rozwiązaniem tego równania.
Z kursu geometrii wiemy:
Do skonstruowania prostej potrzebne są 2 punkty, zatem aby wykreślić wykres równania liniowego z dwiema zmiennymi wystarczą znać tylko 2 pary rozwiązań. Jednak odgadywanie korzeni nie zawsze jest wygodną i racjonalną procedurą. Możesz działać według innej zasady. Ponieważ odcięta punktu (zmienna x) jest zmienną niezależną, można jej nadać dowolną dogodną wartość. Podstawiając tę liczbę do równania, znajdujemy wartość zmiennej y.
Podajmy na przykład równanie:
Niech x = 0, wtedy otrzymamy 0 - y + 1 = 0 lub y = 1. Oznacza to, że jeśli x = 0, to y = 1. Rozwiązaniem tego równania jest para liczb (0;1). Ustalmy inną wartość zmiennej x: x = 2. Otrzymujemy wówczas 2 - y + 1 = 0 lub y = 3. Para liczb (2;3) jest również rozwiązaniem tego równania. Korzystając z dwóch znalezionych punktów, można już zbudować wykres równania x - y + 1 = 0.
Możesz to zrobić: najpierw przypisz określoną wartość zmiennej y, a dopiero potem oblicz wartość x.
§ 3 Układ równań
Znajdź dwa liczby naturalne, którego suma wynosi 11, a różnica wynosi 1.
Aby rozwiązać ten problem, najpierw tworzymy model matematyczny (mianowicie algebraiczny). Niech pierwszą liczbą będzie x, a drugą liczbą y. Następnie suma liczb x + y = 11 i różnica liczb x - y = 1. Ponieważ oba równania dotyczą tych samych liczb, warunki te muszą być spełnione jednocześnie. Zwykle w takich przypadkach stosuje się specjalny zapis. Równania zapisuje się jedno pod drugim i łączy w nawiasach klamrowych.
Taki zapis nazywamy układem równań.
Skonstruujmy teraz zbiory rozwiązań każdego równania, tj. wykresy każdego z równań. Weźmy pierwsze równanie:
Jeśli x = 4, to y = 7. Jeśli x = 9, to y = 2.
Narysujmy linię prostą przez punkty (4;7) i (9;2).
Weźmy drugie równanie x - y = 1. Jeśli x = 5, to y = 4. Jeśli x = 7, to y = 6. Rysujemy również linię prostą przez punkty (5;4) i (7;6 ). Otrzymaliśmy model geometryczny problemu. Interesująca nas para liczb (x;y) musi być rozwiązaniem obu równań. Na rysunku widzimy pojedynczy punkt leżący na obu prostych, jest to punkt przecięcia prostych.
Jego współrzędne to (6;5). Dlatego rozwiązaniem problemu będzie: pierwsza wymagana liczba to 6, druga to 5.
Lista wykorzystanej literatury:
- Mordkovich A.G., Algebra 7. klasa w 2 częściach, Część 1, Podręcznik dla instytucje edukacyjne/ A.G. Mordkowicz. – wyd. 10, poprawione – Moskwa, „Mnemosyne”, 2007
- Mordkovich A.G., Algebra 7. klasa w 2 częściach, część 2, Książka problemów dla instytucji edukacyjnych / [A.G. Mordkovich i inni]; pod redakcją A.G. Mordkovich – wydanie 10, poprawione – Moskwa, „Mnemosyne”, 2007
- JEJ. Tulchinskaya, Algebra 7. klasa. Ankieta Blitz: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących, wydanie 4, poprawione i rozszerzone, Moskwa, „Mnemosyne”, 2008
- Alexandrova L.A., Algebra 7. klasa. Tematyczny praca testowa V Nowa forma dla uczniów szkół ogólnokształcących, pod red. A.G. Mordkovich, Moskwa, „Mnemosyne”, 2011
- Aleksandrowa Los Angeles Algebra w klasie 7. Niezależna praca dla uczniów szkół ogólnokształcących, pod red. A.G. Mordkovich – wydanie VI, stereotypowe, Moskwa, „Mnemosyne”, 2010
