Czym jest równanie?

Równanie jest jednym z podstawowych pojęć wszelkiej matematyki. Zarówno szkolna jak i wyższa. To ma sens, prawda? Co więcej, jest to bardzo prosta koncepcja. Przekonaj się poniżej. :) Więc jakie jest równanie?

Fakt, że to słowo ma ten sam rdzeń co słowa „równy”, „równość”, myślę, że nikt nie budzi zastrzeżeń. Równanie to dwa wyrażenia matematyczne połączone znakiem równości „=”. Ale… nie byle jaki. Oraz te, w których (co najmniej jeden) zawiera nieznana ilość . Lub w inny sposób zmienny . Lub po prostu „zmienna” w skrócie. Może istnieć jedna lub więcej zmiennych. W matematyce szkolnej równania z jeden zmienny. co zwykle oznacza się literąx . Lub inne ostatnie litery alfabetu łacińskiego -tak , z , t i tak dalej.

Na razie rozważymy również równania z jedną zmienną. Z dwiema zmiennymi lub więcej - na specjalnej lekcji.

Co to znaczy rozwiązać równanie?

Pójść dalej. Zmienna w wyrażeniach zawartych w równaniu może przyjmować dowolne dozwolone wartości. Dlatego jest to zmienna. :) Dla niektórych wartości zmiennej uzyskuje się poprawną równość, ale dla niektórych nie. Rozwiązać równanie- oznacza to znalezienie wszystkich takich wartości zmiennej przy podstawieniu do oryginał równanie jest otrzymywane prawdziwa równość . Lub, bardziej naukowo, tożsamość. Na przykład 5=5, 0=0, -10=-10. I tak dalej. :) Albo udowodnij, że takie wartości zmiennych nie istnieją.

Konkretnie skupiam się na słowie „oryginalny”. Dlaczego - wyjaśni się poniżej.

Te same wartości zmiennej, przy podstawieniu której równanie staje się tożsamością, nazywane są bardzo pięknie - pierwiastki równania. Jeżeli zostanie udowodnione, że takich wartości nie ma, to w tym przypadku mówimy, że równanie nie ma korzeni.

Dlaczego potrzebne są równania?

Dlaczego potrzebujemy równań? Przede wszystkim równania są bardzo potężnym i najbardziej wszechstronnym narzędziem do rozwiązywanie problemów . Najbardziej inny. :) W szkole z reguły pracują zadania tekstowe. To są zadania na ruch, do pracy, na zainteresowanie i wiele, wiele innych. Jednak użycie równań nie ogranicza się do szkolnych łamigłówek dotyczących basenów, rur, pociągów i taboretów. :)

Bez umiejętności układania i rozwiązywania równań nie można rozwiązać jednego poważnego problemu naukowego - fizycznego, inżynierskiego czy ekonomicznego. Na przykład, aby obliczyć, gdzie uderzy rakieta. Lub odpowiedz na pytanie, czy jakaś krytyczna konstrukcja wytrzyma obciążenie, czy nie (na przykład winda lub most). Albo przewidzieć pogodę, wzrost (lub spadek) cen lub dochodów...

Ogólnie rzecz biorąc, równanie jest kluczową postacią w rozwiązywaniu szerokiej gamy problemów obliczeniowych.

Jakie są równania?

W matematyce istnieje mnóstwo równań. Najróżniejsze typy. Jednak wszystkie równania można warunkowo podzielić tylko na 4 klasy:

1) Liniowy,

2) Kwadrat,

3) Ułamkowy (lub ułamkowo-racjonalny),

4) Inne.

Różne typy równań wymagają innego podejścia do ich rozwiązania: równania liniowe są rozwiązywane w jeden sposób, równania kwadratowe w inny, równania ułamkowe w trzecim, trygonometryczne, logarytmiczne, wykładnicze i inne są również rozwiązywane własnymi metodami.

Oczywiście przede wszystkim inne równania. Są to równania irracjonalne, trygonometryczne, wykładnicze, logarytmiczne i wiele innych. A nawet równania różniczkowe (dla studentów), w których niewiadoma nie jest liczbą, ale funkcjonować. Lub nawet całą rodzinę funkcji. :) W odpowiednich lekcjach szczegółowo przeanalizujemy wszystkie te typy równań. I tutaj mamy podstawowe techniki, które mają zastosowanie do rozwiązania absolutnie nic(tak, dowolne!) równania. Te metody są nazywane równoważne przekształcenia równań . Jest ich tylko dwóch. I nie ma gdzie ich ominąć. Więc zapoznajmy się!

Jak rozwiązywać równania? Identyczne (ekwiwalentne) przekształcenia równań.

Rozwiązanie każdy Równanie polega na stopniowej transformacji zawartych w nim wyrażeń. Ale nie byle jakie przemiany, ale takie, że istota całego równania się nie zmieniła. Pomimo tego, że po każdej transformacji równanie zmieni się i ostatecznie stanie się zupełnie inne od pierwotnego. Takie przekształcenia w matematyce nazywają się równowartość lub identyczny . Wśród całej gamy identycznych przekształceń równań, dwa podstawowe. Zostaną omówione. Tak, tylko dwa! I każdy z nich zasługuje na szczególną uwagę. Zastosowanie tych dwóch identycznych przekształceń w takiej czy innej kolejności gwarantuje sukces w rozwiązaniu 99% wszystkich równań.

Więc zapoznajmy się!

Pierwsza identyczna transformacja:

Do obu części równania możesz dodać (lub odjąć) dowolną (ale tę samą!) liczbę lub wyrażenie (w tym ze zmienną).

Istota równania pozostaje taka sama. Tę transformację stosujesz wszędzie, naiwnie myśląc, że przenosisz niektóre wyrazy z jednej części równania na drugą, zmieniając znak. :)

Na przykład to fajne równanie:

Nie ma o czym myśleć: przesuwamy minus trzy w prawo, zmieniając minus na plus:

Ale co dzieje się w rzeczywistości? I w rzeczywistości ty dodaj trzy do obu stron równania! Lubię to:

Istota całego równania z dodawania do obu części trójki nie zmienia się. Po lewej pozostaje czysty X (co tak naprawdę staramy się osiągnąć), a po prawej - co się stanie.

Przeniesienie warunków z jednej części na drugą jest Skrócona wersja pierwsza identyczna transformacja. Tutaj można popełnić błąd tylko w jednej rzeczy - zapominając o zmianie znaku przy przenoszeniu. Na przykład to równanie:

Sprawa jest prosta. Pracujemy bezpośrednio według zaklęcia: z Xs w lewo, bez Xs - w prawo. Jaki wyraz z x mamy po prawej? Co? 2x? Zło! Po prawej mamy -2x (minus dwa x)! Dlatego termin ten zostanie przeniesiony na lewą stronę z plusem :

Połowa bitwy jest zakończona, X są po lewej stronie. Pozostaje przesunąć jednostkę w prawo. Znowu pytanie - z jakim znakiem? Nic nie jest napisane po lewej stronie przed jednostką - co oznacza, że ​​rozumie się, że stoi przed plus. Dlatego jedność zostanie już przeniesiona na prawo z minusem:

To prawie wszystko. Po lewej podajemy podobne, a po prawej liczymy. I otrzymujemy:

A teraz przeanalizujmy nasze machinacje z przeniesieniem terminów. Co zrobiliśmy, gdy przesunęliśmy się -2x w lewo? TAk! My dodane do obu nasze złe wyrażenie równania to 2x. Powiedziałem, że mamy prawo dodawać (odejmować) dowolną liczbę, a nawet wyrażenie z x! Dopóki jest taki sam. :) A kiedy przestawiłeś jednostkę w prawo? Całkiem dobrze! My odjęte od obu stron równania jeden. To wszystko.) To jest cały punkt pierwszej równoważnej transformacji.

Lub ten przykład - dla uczniów szkół średnich:

Równanie jest logarytmiczne. Więc co? Kogo to obchodzi? Tak czy inaczej, pierwszym krokiem jest wykonanie podstawowej transformacji tożsamościowej - przesuwamy wyraz ze zmienną (czyli -log 3 x) w lewo, a wyrażenie liczbowe log 3 4 przesuwamy w prawo. Oczywiście ze zmianą znaku:

To wszystko. Kto zaprzyjaźnia się z logarytmami, rozwiąże w myślach równanie i otrzyma:

Co? Chcesz sinusy? Proszę, oto sinusy dla Ciebie:

Wykonujemy ponownie pierwszą identyczną transformację - przenosimy grzech x w lewo (z minusem), a -1/4 w prawo (z plusem):

Otrzymaliśmy najprostsze równanie trygonometryczne z sinusem, co też nie jest trudne dla tych, którzy znają się na rzeczy.

Zobacz, jak uniwersalna jest pierwsza transformacja równoważna! Można go znaleźć wszędzie i wszędzie i nie da się go obejść. Dlatego musisz być w stanie zrobić to automatycznie. Najważniejsze, aby nie zapomnieć o zmianie znaku podczas przenoszenia! Nadal zapoznajemy się z identycznymi przekształceniami równań.)

Druga identyczna transformacja:

Obie części równania można pomnożyć (podzielić) przez tę samą niezerową liczbę lub wyrażenie.

Tę identyczną transformację stosujemy również stale, gdy jakieś współczynniki przeszkadzają nam w równaniu i chcemy się ich pozbyć. Bezpieczny dla samego równania. :) Na przykład takie złe równanie:

Tutaj dla wszystkich jest jasne, że x=3. A jak zgadłeś? Odebrany? A może wskazałeś palcem na niebo i zgadłeś?

Aby nie podnosić i nie zgadywać (w końcu jesteśmy matematykami, a nie wróżbitami :)), musisz zrozumieć, że jesteś po prostu podziel obie strony równania za cztery. Co nam przeszkadza.

Lubię to:

Ten kij z podziałem oznacza, że ​​czwórka jest podzielona obie części nasze równanie. Cała lewa strona i cała prawa strona:

Po lewej czwórki są skutecznie redukowane, a X pozostaje w doskonałej izolacji. A po prawej, dzieląc 12 przez 4, naturalnie otrzymuje się trójkę. :)

Lub to równanie:

Co zrobić z jedną siódmą? Ruch w prawo? Nie, nie możesz! Jedna siódma związana jest z mnożeniem x. stosunek, wiesz. :) Nie da się oderwać współczynnika i przenieść go oddzielnie od X. Tylko całe wyrażenie (1/7)x jako całość. Ale - nie ma takiej potrzeby. :) Znowu pamiętamy o mnożeniu/dzieleniu. Co nas powstrzymuje? Ułamek to 1/7, prawda? Więc pozbądźmy się tego. Jak? A w wyniku jakiego działania tracimy ułamek? Ułamek znika, gdy mnożenie o liczbę równą jej mianownikowi! Pomnóżmy obie strony naszego równania przez 7:

Po lewej stronie siódemki zostaną zmniejszone i pozostanie samotne x, a po prawej, jeśli pamiętasz tabliczkę mnożenia, otrzymasz 21:

Teraz przykład dla uczniów szkół średnich:

Aby dostać się do x i tym samym rozwiązać nasze złe równanie trygonometryczne, najpierw musimy uzyskać czysty cosinus po lewej stronie, bez żadnych współczynników. I ta dwójka staje na drodze. :) Dzielimy więc całą lewą stronę przez 2:

Ale wtedy również prawą stronę trzeba będzie podzielić przez dwa: tego już wymaga MATEMATYKA. Dzielimy:

Po prawej stronie otrzymaliśmy wartość tabeli cosinusa. A teraz równanie jest rozwiązane dla słodkiej duszy.)

Czy wszystko jest jasne z mnożeniem/dzieleniem? Doskonały! Ale… Uwaga! W tej transformacji, mimo swojej prostoty, tkwi źródło bardzo irytujących błędów! To jest nazwane utrata korzeni oraz nabycie obcych korzeni .

Powyżej już powiedziałem, że obie części równania można pomnożyć (podzielić) przez dowolną liczbę lub wyrażenie z x. Ale z jednym ważnym zastrzeżeniem: wyrażeniem, przez które mnożymy (dzielimy), musi być różne od zera . To ta moda, którą wiele osób z początku po prostu ignoruje, prowadzi do tak irytujących błędów. W rzeczywistości znaczenie tego ograniczenia jest jasne: głupotą jest mnożenie przez zero, ale w ogóle nie można dzielić. Dowiedzmy się, co jest co? Zacznijmy od dzielenia i utrata korzeni .

Powiedzmy, że mamy następujące równanie:

Tutaj naprawdę swędzi, aby wziąć i podzielić obie części równania we wspólny nawias (x-1):

Załóżmy, że zadanie do egzaminu mówi, aby znaleźć sumę pierwiastków tego równania. Co napiszemy w odpowiedzi? Trójka? Jeśli zdecydujesz, że trójka, to ty zostali napadnięci. Nazywa się to „gubieniem korzeni”. :) O co chodzi?

I otwórzmy nawiasy w oryginalnym równaniu i zbierzmy wszystko po lewej:

Otrzymaliśmy klasyczne równanie kwadratowe. Rozwiązujemy przez dyskryminację (lub przez twierdzenie Vieta) i otrzymujemy dwa pierwiastki:

Więc suma pierwiastków wynosi 1+3 = 4. Cztery, nie trzy! Gdzie „zniknęliśmy” korzeń?

x=1

Z pierwszym rozwiązaniem? I tę, którą straciliśmy właśnie w momencie dzielenia obu części na nawiasy (x-1). Dlaczego to się stało? A wszystko dlatego, że przy x = 1 ten sam nawias (x-1) jest resetowany do zera. A my mamy prawo tylko się dzielić niezerowe wyrażenie! Jak można uniknąć utraty tego korzenia? A w ogóle utrata korzeni? Aby to zrobić, po pierwsze, przed podzieleniem przez jakieś wyrażenie przez x, zawsze dodajemy warunek, że to wyrażenie jest niezerowe. I znajdujemy zera tego wyrażenia. W ten sposób (używając naszego równania jako przykładu):

A po drugie, aby niektóre pierwiastki nie zniknęły w procesie dzielenia, musimy osobno sprawdzić kandydatów na pierwiastki wszystko zera naszego wyrażenia (to przez które dzielimy). Jak? Po prostu podłącz je oryginalne równanie i liczyć. W naszym przypadku sprawdzamy jedno:

Wszystko jest sprawiedliwe. Więc jeden jest korzeniem!

Ogólnie rzecz biorąc, na przyszłość zawsze staraj się unikać podział do wyrażenia z x. Utrata korzeni to bardzo niebezpieczna i irytująca rzecz! Użyj innych metod - otwieranie nawiasów, a zwłaszcza faktoryzacja. Faktoring to najłatwiejszy i najbezpieczniejszy sposób na uniknięcie utraty korzeni. Aby to zrobić, zbieramy wszystko po lewej stronie, następnie wyjmujemy z nawiasów czynnik wspólny (którym tak bardzo chcemy „zmniejszyć”), rozkładamy go na czynniki, a następnie każdy wynikowy czynnik przyrównujemy do zera. Na przykład, nasze równanie może być całkiem nieszkodliwie rozwiązane nie tylko przez sprowadzenie do kwadratu, ale także przez faktoring. Sam zobacz:

Przesuń całe wyrażenie (x-1) w lewo. Ze znakiem minus:

Wyciągamy (x-1) z nawiasu jako wspólny czynnik i rozkładamy na czynniki:

Produkt ma zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Teraz przyrównujemy (w umyśle!) każdy nawias do zera i otrzymujemy nasze dwa pierwiastki prawne:

I nie zginął ani jeden korzeń!

Rozważmy teraz sytuację odwrotną - nabycie zagranicznych korzeni. Ta sytuacja ma miejsce, gdy mnożenie obie części równania w wyrażenie z x. Dość często występuje przy rozwiązywaniu równań ułamkowo-wymiernych. Na przykład to proste równanie:

Sprawa jest znajoma - obie części mnożymy przez mianownik, aby pozbyć się ułamka i uzyskać równanie w linijce:

Przyrównujemy każdy czynnik do zera i otrzymujemy dwa pierwiastki:

Wydaje się, że wszystko jest w porządku. Ale spróbujmy dokonać podstawowej kontroli. A jeśli w x=0 wszystko będzie ładnie rosło razem, otrzymamy tożsamość 2 = 2, a następnie z x=1 dzielony przez zero. Czego absolutnie nie można zrobić. Jeden nie nadaje się jako pierwiastek naszego równania. W takich przypadkach mówi się, że x=1- tak zwana obcy korzeń . Jedynka jest pierwiastkiem naszego nowego równania bez ułamka x(x-1) = 0, ale nie jestźródło oryginał równanie ułamkowe. Jak pojawia się ten obcy korzeń? Pojawia się, gdy obie części są pomnożone przez mianownik x-1. Które w x=1 po prostu idzie do zera! A mamy prawo mnożyć tylko przez wyrażenie niezerowe!

Jak być? W ogóle się nie rozmnażaj? Wtedy w ogóle nie będziemy w stanie niczego rozwiązać. Czy sprawdzasz za każdym razem? Mogą. Ale często jest to czasochłonne, jeśli oryginalne równanie jest zbyt pokręcone. W takich przypadkach ratują trzy magiczne litery - ODZ. O podmuch D do przyjęcia W pomysły. Aby wykluczyć pojawienie się obcych pierwiastków, przy mnożeniu przez wyrażenie z x zawsze konieczne jest dodatkowe zapisanie ODZ. W naszym przypadku:

Teraz, z tym ograniczeniem, możesz bezpiecznie pomnożyć obie części przez mianownik. Z takiego rozmnażania wykluczymy wszystkie szkodliwe konsekwencje (tj. obce korzenie) zgodnie z ODZ. I bezlitośnie rozrzucimy naszą jedność.

Tak więc pojawienie się obcych korzeni nie jest tak niebezpieczne jak strata: ODZ to potężna rzecz. I twardy. Ona zawsze usunie wszystko, co dla nas zbędne. :) Zaprzyjaźnimy się z ODZ i poznamy się bardziej szczegółowo na osobnej lekcji.

To są wszystkie identyczne transformacje.) Tylko dwie. Jednak niedoświadczony uczeń może mieć pewne trudności związane z: sekwencja ich zastosowania: w niektórych przykładach zaczynają się od mnożenia (lub dzielenia), w niektórych - od przeniesienia. Na przykład to równanie liniowe:

Gdzie zacząć? Możesz zacząć od przeniesienia:

I możesz najpierw podzielić obie części przez pięć, a następnie przenieść. Wtedy liczby staną się prostsze i łatwiej będzie policzyć:

Jak widać, to i to jest możliwe. Tak więc dla niektórych uczniów pojawia się pytanie: „Jaka jest właściwa droga?” Odpowiedź: „Zgadza się!” Kto jest wygodniejszy. :) Dopóki twoje działania nie są sprzeczne z zasadami matematyki. A kolejność tych działań zależy wyłącznie od osobistych preferencji i przyzwyczajeń decydenta. Jednak z doświadczeniem takie pytania same znikną i w rezultacie matematyka wam nie rozkaże, ale wy będziecie dowodzić matematyką. :)

Podsumowując, chciałbym osobno powiedzieć o tzw przekształcenia warunkowo identyczne, ważny przez określone warunki. Na przykład podniesienie obu stron równania do tej samej potęgi. Lub wydobycie korzenia z obu części. Jeśli wykładnik jest nieparzysty, nie ma ograniczeń - buduj i usuwaj bez obaw. Ale jeśli jest parzyste, to takie przekształcenie będzie identyczne tylko wtedy, gdy obie strony równania są nieujemne. O tych pułapkach omówimy szczegółowo w temacie dotyczącym irracjonalnych równań.

Równania

Jak rozwiązywać równania?

W tej części przypomnimy (lub przestudiujemy - jak kto lubi) najbardziej elementarne równania. Czym więc jest równanie? Mówiąc po ludzku, jest to pewnego rodzaju wyrażenie matematyczne, w którym występuje znak równości i niewiadoma. Co jest zwykle oznaczane literą "X". Rozwiązać równanie jest znalezienie takich wartości x, które przy podstawieniu do oryginał wyrażenie, da nam poprawną tożsamość. Przypomnę, że tożsamość jest wyrażeniem, które nie budzi wątpliwości nawet u osoby, która absolutnie nie jest obciążona wiedzą matematyczną. Jak 2=2, 0=0, ab=ab itd. Jak więc rozwiązywać równania? Rozwiążmy to.

Są różne rodzaje równań (byłem zaskoczony, prawda?). Ale całą ich nieskończoną różnorodność można podzielić tylko na cztery typy.

4. Inny.)

Cała reszta, oczywiście, przede wszystkim, tak...) Obejmuje to sześcienne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i wiele innych. Będziemy z nimi ściśle współpracować w odpowiednich sekcjach.

Muszę od razu powiedzieć, że czasami równania pierwszych trzech typów są tak nakręcone, że ich nie rozpoznajesz ... Nic. Nauczymy się je rozwijać.

I dlaczego potrzebujemy tych czterech typów? I co wtedy równania liniowe rozwiązany w jeden sposób kwadrat inni wymierny ułamkowy - trzeci, a reszta w ogóle nie rozwiązane! Cóż, nie chodzi o to, że w ogóle nie decydują, na próżno obraziłem matematykę.) Po prostu mają swoje specjalne techniki i metody.

Ale dla każdego (powtarzam - dla każdy!) równania to wiarygodna i bezproblemowa podstawa do rozwiązywania. Działa wszędzie i zawsze. Ta baza - Brzmi przerażająco, ale sprawa jest bardzo prosta. I bardzo (bardzo!) ważny.

W rzeczywistości rozwiązanie równania składa się z tych samych przekształceń. Na 99%. Odpowiedz na pytanie: " Jak rozwiązywać równania? kłamie, właśnie w tych przemianach. Czy podpowiedź jest jasna?)

Transformacje tożsamościowe równań.

W dowolne równania aby znaleźć nieznane, konieczne jest przekształcenie i uproszczenie oryginalnego przykładu. Co więcej, aby przy zmianie wyglądu istota równania się nie zmieniła. Takie przekształcenia nazywają się identyczny lub odpowiednik.

Zauważ, że te przekształcenia są tylko dla równań. W matematyce nadal występują identyczne przekształcenia wyrażenia. To kolejny temat.

Teraz powtórzymy wszystko-wszystko-wszystko podstawowe identyczne przekształcenia równań.

Podstawowe, ponieważ można je zastosować do każdy równania - liniowe, kwadratowe, ułamkowe, trygonometryczne, wykładnicze, logarytmiczne itp. itp.

Pierwsza identyczna transformacja: można dodać (odjąć) obie strony dowolnego równania każdy(ale to samo!) liczbę lub wyrażenie (w tym wyrażenie z niewiadomą!). Istota równania się nie zmienia.

Nawiasem mówiąc, ciągle używałeś tej transformacji, myślałeś tylko, że przenosisz niektóre wyrazy z jednej części równania na drugą ze zmianą znaku. Rodzaj:

Sprawa jest znajoma, przesuwamy dwójkę w prawo i otrzymujemy:

Właściwie ty zabrany z obu stron równania dwójka. Wynik jest taki sam:

x+2 - 2 = 3 - 2

Przeniesienie terminów na lewo-prawo ze zmianą znaku to po prostu skrócona wersja pierwszej identycznej transformacji. A dlaczego potrzebujemy tak głębokiej wiedzy? - ty pytasz. Nic w równaniach. Poruszaj się, na litość boską. Tylko nie zapomnij zmienić znaku. Ale w nierównościach nawyk przeniesienia może prowadzić do ślepego zaułka ....

Druga transformacja tożsamości: obie strony równania można pomnożyć (podzielić) przez to samo niezerowe liczba lub wyrażenie. Pojawia się tu już zrozumiałe ograniczenie: głupotą jest mnożenie przez zero, ale w ogóle nie da się dzielić. To jest transformacja, której używasz, gdy decydujesz się na coś fajnego jak

Zrozumiały, X= 2. Ale jak to znalazłeś? Wybór? Czy po prostu świeci? Aby nie podnosić i nie czekać na wgląd, musisz zrozumieć, że jesteś po prostu podziel obie strony równania przez 5. Dzieląc lewą stronę (5x), piątka została zmniejszona, pozostawiając czysty X. Właśnie tego potrzebowaliśmy. A dzieląc prawą stronę (10) przez pięć, okazało się oczywiście dwójką.

To wszystko.

To zabawne, ale te dwie (tylko dwie!) identyczne transformacje leżą u podstaw rozwiązania wszystkie równania matematyczne. Jak! Warto przyjrzeć się przykładom tego, co i jak, prawda?)

Przykłady identycznych przekształceń równań. Główne problemy.

Zacznijmy pierwszy identyczna transformacja. Przesuń w lewo-prawo.

Przykład dla najmłodszych.)

Powiedzmy, że musimy rozwiązać następujące równanie:

3-2x=5-3x

Zapamiętajmy zaklęcie: "z X - w lewo, bez X - w prawo!" To zaklęcie jest instrukcją zastosowania pierwszej transformacji tożsamości.) Jakie wyrażenie z x mamy po prawej? 3x? Odpowiedź jest błędna! Po naszej prawej stronie - 3x! Minus trzy x! Dlatego przy przesunięciu w lewo znak zmieni się na plus. Dostać:

3-2x+3x=5

Tak więc X zostały połączone. Zróbmy liczby. Trzy po lewej. Jaki znak? Odpowiedź „z żadną” nie jest akceptowana!) Przed trójką rzeczywiście nic nie jest rysowane. A to oznacza, że ​​przed trójką jest plus. Tak więc matematycy się zgodzili. Nic nie jest napisane, więc plus. Dlatego trójka zostanie przeniesiona na prawą stronę z minusem. Otrzymujemy:

-2x+3x=5-3

Pozostały puste miejsca. Po lewej - podaj podobne, po prawej - policz. Odpowiedź brzmi natychmiast:

W tym przykładzie wystarczyła jedna identyczna transformacja. Drugi nie był potrzebny. No dobrze.)

Przykład dla starszych).

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Na kursie matematyki w 7 klasie po raz pierwszy spotykają się z równania z dwiema zmiennymi, ale są badane tylko w kontekście układów równań z dwiema niewiadomymi. Dlatego znika z pola widzenia szereg problemów, w których na współczynniki równania, które je ograniczają, wprowadza się pewne warunki. Ponadto ignorowane są również metody rozwiązywania problemów typu „Rozwiąż równanie w liczbach naturalnych lub całkowitych”, chociaż problemy tego rodzaju pojawiają się coraz częściej w materiałach USE i na egzaminach wstępnych.

Które równanie nazwiemy równaniem z dwiema zmiennymi?

Na przykład równania 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 lub xy = 12 są równaniami z dwiema zmiennymi.

Rozważ równanie 2x - y = 1. Zamienia się w prawdziwą równość przy x = 2 i y = 3, więc ta para wartości zmiennych jest rozwiązaniem rozważanego równania.

Zatem rozwiązaniem dowolnego równania z dwiema zmiennymi jest zestaw uporządkowanych par (x; y), wartości zmiennych, które to równanie zamienia w prawdziwą równość liczbową.

Równanie z dwiema niewiadomymi może:

a) mieć jedno rozwiązanie. Na przykład równanie x 2 + 5y 2 = 0 ma unikalne rozwiązanie (0; 0);

b) mieć wiele rozwiązań. Na przykład (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ma 4 rozwiązania: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

w) nie mają rozwiązań. Na przykład równanie x 2 + y 2 + 1 = 0 nie ma rozwiązań;

G) mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Na przykład x + y = 3. Rozwiązaniem tego równania będą liczby, których suma wynosi 3. Zbiór rozwiązań tego równania można zapisać jako (k; 3 - k), gdzie k jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Głównymi metodami rozwiązywania równań z dwiema zmiennymi są metody oparte na wyrażeniach rozkładających na czynniki, wyróżniające pełny kwadrat, wykorzystujące właściwości równania kwadratowego, wyrażenia ograniczone i metody oceny. Równanie z reguły jest przekształcane do postaci, z której można uzyskać system znajdowania niewiadomych.

Faktoryzacja

Przykład 1

Rozwiąż równanie: xy - 2 = 2x - y.

Rozwiązanie.

Terminy grupujemy na potrzeby faktoringu:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Wyjmij wspólny dzielnik z każdego nawiasu:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Mamy:

y = 2, x to dowolna liczba rzeczywista lub x = -1, y to dowolna liczba rzeczywista.

W ten sposób, odpowiedzią są wszystkie pary postaci (x; 2), x € R i (-1; y), y € R.

Równość do zera liczb nieujemnych

Przykład 2

Rozwiąż równanie: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Rozwiązanie.

Grupowanie:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Teraz każdy nawias można zwinąć za pomocą wzoru różnicy kwadratów.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Suma dwóch nieujemnych wyrażeń wynosi zero tylko wtedy, gdy 3x - 2 = 0 i 2y - 3 = 0.

Więc x = 2/3 i y = 3/2.

Odpowiedź: (2/3; 3/2).

Metoda ewaluacji

Przykład 3

Rozwiąż równanie: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Rozwiązanie.

W każdym nawiasie wybierz pełny kwadrat:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Oszacowanie znaczenie wyrażeń w nawiasach.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 i (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, to lewa strona równania wynosi zawsze co najmniej 2. Równość jest możliwa, jeżeli:

(x + 1) 2 + 1 = 1 i (y - 2) 2 + 2 = 2, więc x = -1, y = 2.

Odpowiedź: (-1; 2).

Zapoznajmy się z inną metodą rozwiązywania równań z dwiema zmiennymi drugiego stopnia. Ta metoda polega na tym, że równanie jest uważane za kwadrat względem jakiejś zmiennej.

Przykład 4

Rozwiąż równanie: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Rozwiązanie.

Rozwiążmy równanie jako kwadratowe względem x. Znajdźmy wyróżnik:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Równanie będzie miało rozwiązanie tylko wtedy, gdy D = 0, tj. jeśli y = 4. Podstawiamy wartość y do oryginalnego równania i znajdujemy, że x = 3.

Odpowiedź: (3; 4).

Często w równaniach z dwiema niewiadomymi wskazują ograniczenia dotyczące zmiennych.

Przykład 5

Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Rozwiązanie.

Przepiszmy równanie w postaci x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Prawa strona otrzymanego równania po podzieleniu przez 5 daje resztę 2. Dlatego x 2 nie jest podzielne przez 5. Ale kwadrat liczby niepodzielnej przez 5 daje resztę 1 lub 4. Zatem równość jest niemożliwa i nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: bez korzeni.

Przykład 6

Rozwiąż równanie: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Rozwiązanie.

Wybierzmy pełne kwadraty w każdym nawiasie:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Lewa strona równania jest zawsze większa lub równa 3. Równość jest możliwa, jeśli |x| – 2 = 0 i y + 3 = 0. Zatem x = ± 2, y = -3.

Odpowiedź: (2; -3) i (-2; -3).

Przykład 7

Dla każdej pary liczb całkowitych ujemnych (x; y) spełniających równanie
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, oblicz sumę (x + y). Odpowiedz na najmniejszą kwotę.

Rozwiązanie.

Wybierz pełne kwadraty:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Ponieważ xiy są liczbami całkowitymi, ich kwadraty są również liczbami całkowitymi. Sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych, równą 37, otrzymujemy, dodając 1 + 36. Zatem:

(x - y) 2 = 36 i (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 i (y + 2) 2 = 36.

Rozwiązując te układy i biorąc pod uwagę, że x i y są ujemne, znajdujemy rozwiązania: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odpowiedź: -17.

Nie rozpaczaj, jeśli masz trudności z rozwiązywaniem równań z dwiema niewiadomymi. Przy odrobinie praktyki będziesz w stanie opanować każde równanie.

Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak rozwiązywać równania z dwiema zmiennymi?
Aby uzyskać pomoc korepetytora - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Aplikacja

Rozwiązanie dowolnego typu równań online na stronie w celu utrwalenia badanego materiału przez uczniów i uczniów.Rozwiązywanie równań online. Równania online. Istnieją równania algebraiczne, parametryczne, transcendentalne, funkcyjne, różniczkowe itp. Niektóre klasy równań mają rozwiązania analityczne, które są wygodne, ponieważ nie tylko podają dokładną wartość pierwiastka, ale pozwalają na zapisanie rozwiązania w forma formuły, która może zawierać parametry. Wyrażenia analityczne pozwalają nie tylko obliczyć pierwiastki, ale przeanalizować ich istnienie i ich liczbę w zależności od wartości parametrów, co często jest nawet ważniejsze dla praktycznego zastosowania niż konkretne wartości pierwiastków. Rozwiązywanie równań online Równania online. Rozwiązaniem równania jest zadanie znalezienia takich wartości argumentów, dla których osiągnięto tę równość. Na możliwe wartości argumentów można nałożyć dodatkowe warunki (całkowite, rzeczywiste itp.). Rozwiązywanie równań online Równania online. Możesz rozwiązać równanie online natychmiast i z dużą dokładnością wyniku. Argumenty danych funkcji (czasami nazywane „zmiennymi”) w przypadku równania nazywane są „niewiadomymi”. Wartości niewiadomych, dla których osiąga się tę równość, nazywane są rozwiązaniami lub pierwiastkami danego równania. Mówi się, że korzenie spełniają dane równanie. Rozwiązanie równania online oznacza znalezienie zbioru wszystkich jego rozwiązań (pierwiastków) lub udowodnienie, że nie ma pierwiastków. Rozwiązywanie równań online Równania online. Równoważne lub równoważne nazywa się równaniami, których zbiory pierwiastków pokrywają się. Równoważne są również uważane za równania, które nie mają pierwiastków. Równoważność równań ma właściwość symetrii: jeśli jedno równanie jest równoważne drugiemu, to drugie równanie jest równoważne pierwszemu. Równoważność równań ma właściwość przechodniości: jeśli jedno równanie jest równoważne drugiemu, a drugie jest równoważne trzeciemu, to pierwsze równanie jest równoważne trzeciemu. Właściwość równoważności równań umożliwia przeprowadzanie za ich pomocą przekształceń, na których opierają się metody ich rozwiązywania. Rozwiązywanie równań online Równania online. Strona pozwoli Ci rozwiązać równanie online. Do równań, dla których znane są rozwiązania analityczne należą równania algebraiczne, nie wyższe niż czwarty stopień: równanie liniowe, równanie kwadratowe, równanie sześcienne i równanie czwartego stopnia. Równania algebraiczne wyższych stopni generalnie nie mają rozwiązania analitycznego, chociaż niektóre z nich można sprowadzić do równań niższych stopni. Równania zawierające funkcje transcendentalne nazywane są transcendentalnymi. Wśród nich rozwiązania analityczne są znane dla niektórych równań trygonometrycznych, ponieważ zera funkcji trygonometrycznych są dobrze znane. W ogólnym przypadku, gdy nie można znaleźć rozwiązania analitycznego, stosuje się metody numeryczne. Metody numeryczne nie dają dokładnego rozwiązania, a jedynie pozwalają na zawężenie przedziału, w którym leży pierwiastek do pewnej z góry określonej wartości. Rozwiązywanie równań online.. Równania online.. Zamiast równania online, pokażemy, jak to samo wyrażenie tworzy zależność liniową i to nie tylko wzdłuż stycznej prostej, ale także w samym punkcie przegięcia wykresu. Ta metoda jest niezbędna przez cały czas w badaniu przedmiotu. Często zdarza się, że rozwiązanie równań zbliża się do wartości końcowej za pomocą nieskończonych liczb i pisania wektorów. Konieczne jest sprawdzenie danych początkowych i to jest istota zadania. W przeciwnym razie warunek lokalny jest konwertowany na formułę. Odwrócenie linii prostej danej funkcji, którą kalkulator równań obliczy bez większego opóźnienia w wykonaniu, zostanie skompensowane przywilejem przestrzeni. Będzie dotyczyć wyników uczniów w środowisku naukowym. Jednak, podobnie jak wszystkie powyższe, pomoże nam w procesie znajdowania, a kiedy całkowicie rozwiążesz równanie, zapisz wynikową odpowiedź na końcach odcinka linii prostej. Linie w przestrzeni przecinają się w punkcie, a ten punkt nazywa się przecinanym przez linie. Przedział na linii zaznaczono tak, jak podano wcześniej. Zostanie opublikowany najwyższy post dotyczący nauki matematyki. Przypisanie wartości argumentu z parametrycznie zdefiniowanej powierzchni i rozwiązanie równania online będzie w stanie wskazać zasady produktywnego wywołania funkcji. Pasek Möbiusa, lub jak to się nazywa nieskończoność, wygląda jak ósemka. Jest to powierzchnia jednostronna, a nie dwustronna. Zgodnie z powszechnie znaną zasadą obiektywnie przyjmiemy równania liniowe jako podstawowe oznaczenie, takie jakie są w dziedzinie nauki. Tylko dwie wartości kolejno podanych argumentów są w stanie ujawnić kierunek wektora. Założenie, że inne rozwiązanie równań online jest czymś więcej niż tylko rozwiązywaniem, oznacza uzyskanie pełnej wersji niezmiennika na wyjściu. Bez zintegrowanego podejścia studentom trudno jest nauczyć się tego materiału. Tak jak poprzednio, w każdym szczególnym przypadku nasz wygodny i inteligentny kalkulator równań online pomoże każdemu w trudnym momencie, ponieważ wystarczy określić parametry wejściowe, a system sam obliczy odpowiedź. Zanim zaczniemy wprowadzać dane, potrzebujemy narzędzia do wprowadzania danych, co można zrobić bez większych trudności. Liczba punktów każdej odpowiedzi będzie równaniem kwadratowym prowadzącym do naszych wniosków, ale nie jest to takie proste, ponieważ łatwo jest udowodnić coś przeciwnego. Teoria, ze względu na swoje osobliwości, nie jest poparta wiedzą praktyczną. Zobaczenie kalkulatora ułamków na etapie publikowania odpowiedzi nie jest łatwym zadaniem w matematyce, ponieważ alternatywa wpisywania liczby na zbiorze zwiększa przyrost funkcji. Jednak błędem byłoby nie mówić o szkoleniu uczniów, więc każdy wyrazimy tyle, ile trzeba. Znalezione wcześniej równanie sześcienne słusznie będzie należało do dziedziny definicji i zawierało przestrzeń wartości liczbowych, a także zmiennych symbolicznych. Po zapoznaniu się lub zapamiętaniu twierdzenia nasi uczniowie pokażą się tylko z najlepszej strony, a my będziemy z nich szczęśliwi. W przeciwieństwie do zbioru przecięć pól, nasze równania online są opisane przez płaszczyznę ruchu wzdłuż pomnożenia dwóch i trzech połączonych liczbowo linii. Zbiór w matematyce nie jest jednoznacznie zdefiniowany. Najlepszym rozwiązaniem, zdaniem studentów, jest wypowiedź pisemna dokończona do końca. Jak mówiono w języku naukowym, abstrakcja wyrażeń symbolicznych nie jest zawarta w stanie rzeczy, ale rozwiązanie równań daje jednoznaczny wynik we wszystkich znanych przypadkach. Czas trwania sesji lektorskiej jest oparty na potrzebach w tej ofercie. Analiza wykazała potrzebę stosowania wszystkich technik obliczeniowych w wielu dziedzinach i jest absolutnie jasne, że kalkulator równań jest niezbędnym narzędziem w uzdolnionych rękach ucznia. Lojalne podejście do nauki matematyki determinuje znaczenie poglądów różnych kierunków. Chcesz wyznaczyć jedno z kluczowych twierdzeń i rozwiązać równanie w taki sposób, w zależności od odpowiedzi na które będzie dalsza potrzeba jego zastosowania. Analityka w tym obszarze nabiera tempa. Zacznijmy od początku i wyprowadźmy wzór. Po przebiciu się przez poziom wzrostu funkcji linia styczna w punkcie przegięcia z konieczności doprowadzi do tego, że rozwiązanie równania online będzie jednym z głównych aspektów konstruowania tego samego wykresu z argumentu funkcji. Podejście amatorskie ma prawo być stosowane, jeśli warunek ten nie jest sprzeczny z wnioskami studentów. Jest to podzadanie, które sprowadza na dalszy plan analizę warunków matematycznych jako równań liniowych w istniejącej dziedzinie definicji obiektu. Przesunięcie w kierunku ortogonalności niweluje przewagę pojedynczej wartości bezwzględnej. Modulo, rozwiązywanie równań online daje taką samą liczbę rozwiązań, jeśli najpierw otworzysz nawiasy znakiem plus, a następnie znakiem minus. W takim przypadku rozwiązań jest dwa razy więcej, a wynik będzie dokładniejszy. Stabilny i poprawny kalkulator równań online to sukces w osiągnięciu zamierzonego celu w zadaniu postawionym przez nauczyciela. Wybór odpowiedniej metody wydaje się możliwy ze względu na znaczne różnice w poglądach wielkich naukowców. Otrzymane równanie kwadratowe opisuje krzywą linii, tzw. parabolę, a znak określi jej wypukłość w układzie współrzędnych kwadratu. Z równania otrzymujemy zarówno wyróżnik, jak i same pierwiastki zgodnie z twierdzeniem Vieta. W pierwszym etapie konieczne jest przedstawienie wyrażenia jako ułamka właściwego lub niewłaściwego i skorzystanie z kalkulatora ułamków. W zależności od tego powstanie plan naszych dalszych obliczeń. Matematyka z podejściem teoretycznym jest przydatna na każdym etapie. Na pewno przedstawimy wynik w postaci równania sześciennego, ponieważ w tym wyrażeniu ukryjemy jego korzenie, aby uprościć zadanie studentowi na uniwersytecie. Wszelkie metody są dobre, jeśli nadają się do powierzchownej analizy. Dodatkowe operacje arytmetyczne nie spowodują błędów obliczeniowych. Określ odpowiedź z określoną dokładnością. Korzystając z rozwiązania równań nie oszukujmy się - znalezienie zmiennej niezależnej danej funkcji nie jest takie proste, szczególnie przy badaniu prostych równoległych w nieskończoności. Wobec wyjątku potrzeba jest bardzo oczywista. Różnica polaryzacji jest jednoznaczna. Z doświadczeń nauczania w instytutach nasz nauczyciel nauczył się głównej lekcji, w której równania były badane online w pełnym sensie matematycznym. Tutaj chodziło o większe wysiłki i specjalne umiejętności w stosowaniu teorii. Na korzyść naszych wniosków nie należy patrzeć przez pryzmat. Do niedawna uważano, że zbiór zamknięty szybko rozrasta się na tym obszarze, a rozwiązanie równań po prostu wymaga zbadania. Na pierwszym etapie nie rozważaliśmy wszystkich możliwych opcji, ale takie podejście jest bardziej uzasadnione niż kiedykolwiek. Dodatkowe czynności z nawiasami uzasadniają pewne postępy wzdłuż osi rzędnych i odciętych, których nie można przeoczyć gołym okiem. Istnieje punkt przegięcia w sensie szerokiego proporcjonalnego wzrostu funkcji. Jeszcze raz udowodnimy, w jaki sposób warunek konieczny zostanie zastosowany na całym przedziale malejącej jednej lub drugiej malejącej pozycji wektora. W ograniczonej przestrzeni wybierzemy zmienną z początkowego bloku naszego skryptu. System zbudowany jako podstawa na trzech wektorach odpowiada za brak głównego momentu siły. Jednak kalkulator równań wydedukował i pomógł w znalezieniu wszystkich składników zbudowanego równania, zarówno nad powierzchnią, jak i wzdłuż równoległych linii. Opiszmy okrąg wokół punktu początkowego. W ten sposób zaczniemy poruszać się w górę wzdłuż linii przekroju, a styczna będzie opisywała okrąg na całej jego długości, w wyniku czego otrzymamy krzywą, którą nazywamy ewolwentą. Przy okazji porozmawiajmy o tej krzywej trochę historii. Faktem jest, że historycznie w matematyce nie było pojęcia samej matematyki w czystym tego słowa znaczeniu, jakim jest dzisiaj. Wcześniej wszyscy naukowcy zajmowali się jedną wspólną rzeczą, czyli nauką. Później, kilka wieków później, kiedy świat nauki był wypełniony kolosalną ilością informacji, ludzkość wyróżniła jednak wiele dyscyplin. Nadal pozostają niezmienione. A jednak każdego roku naukowcy na całym świecie próbują udowodnić, że nauka jest nieograniczona i że nie można rozwiązać równania, jeśli nie ma się wiedzy z zakresu nauk przyrodniczych. Być może nie da się jej ostatecznie zakończyć. Myślenie o tym jest równie bezsensowne, jak ogrzewanie powietrza na zewnątrz. Znajdźmy przedział, w którym argument o wartości dodatniej określa moduł wartości w gwałtownie rosnącym kierunku. Reakcja pomoże znaleźć co najmniej trzy rozwiązania, ale konieczne będzie ich sprawdzenie. Zacznijmy od tego, że musimy rozwiązać równanie online, korzystając z unikalnej usługi naszej strony internetowej. Wprowadźmy obie części podanego równania, wciśnijmy przycisk „ROZWIĄZUJ” i uzyskajmy dokładną odpowiedź w ciągu kilku sekund. W szczególnych przypadkach weźmiemy książkę o matematyce i dwukrotnie sprawdzimy naszą odpowiedź, a mianowicie spojrzymy tylko na odpowiedź i wszystko stanie się jasne. Ten sam projekt wyleci na sztucznie zbędnym równoległościanie. Istnieje równoległobok o równoległych bokach, który wyjaśnia wiele zasad i podejść do badania relacji przestrzennej wznoszącego się procesu akumulacji pustej przestrzeni w naturalnych formułach. Niejednoznaczne równania liniowe pokazują zależność pożądanej zmiennej od naszego obecnego rozwiązania ogólnego i konieczne jest jakoś wyprowadzenie i zredukowanie niewłaściwego ułamka do nietrywialnego przypadku. Na linii prostej zaznaczamy dziesięć punktów i przez każdy punkt narysujemy krzywą w danym kierunku, a wypukłością do góry. Nasz kalkulator równań bez większych trudności przedstawi wyrażenie w takiej postaci, że jego sprawdzenie poprawności reguł będzie oczywiste już na początku zapisu. Przede wszystkim system specjalnych reprezentacji stabilności dla matematyków, chyba że wzór stanowi inaczej. Odpowiemy na to szczegółową prezentacją raportu o stanie izomorficznym plastycznego układu ciał, a rozwiązanie równań online opisze ruch każdego punktu materialnego w tym układzie. Na poziomie pogłębionego studium konieczne będzie szczegółowe wyjaśnienie kwestii inwersji przynajmniej dolnej warstwy przestrzeni. W porządku rosnącym na odcinku nieciągłości funkcji zastosujemy ogólną metodę znakomitego badacza, nawiasem mówiąc, naszego rodaka, a o zachowaniu samolotu opowiemy poniżej. Ze względu na silne cechy analitycznie podanej funkcji, kalkulatora równań online używamy wyłącznie zgodnie z jego przeznaczeniem w ramach wyznaczonych granic autorytetu. Argumentując dalej, przerywamy przegląd jednorodności samego równania, to znaczy jego prawa strona jest równa zeru. Jeszcze raz zweryfikujemy słuszność naszej decyzji w matematyce. Aby uniknąć trywialnego rozwiązania, dokonamy pewnych korekt w warunkach początkowych problemu warunkowej stabilności systemu. Ułóżmy równanie kwadratowe, dla którego wypisujemy dwa wpisy przy użyciu znanego wzoru i znajdujemy pierwiastki ujemne. Jeśli jeden pierwiastek przekracza drugi i trzeci pierwiastek o pięć jednostek, to dokonując zmian w głównym argumencie, zniekształcamy w ten sposób warunki początkowe podproblemu. W gruncie rzeczy coś niezwykłego w matematyce zawsze można opisać z dokładnością do setnej części liczby dodatniej. Kalkulator frakcji jest kilkakrotnie lepszy od swoich odpowiedników na podobnych zasobach w najlepszym momencie obciążenia serwera. Na powierzchni wektora prędkości rosnącego wzdłuż osi y rysujemy siedem linii zagiętych w przeciwnych kierunkach do siebie. Współmierność przypisanego argumentu funkcji prowadzi licznik salda odzysków. W matematyce zjawisko to można przedstawić za pomocą równania sześciennego o współczynnikach urojonych, a także w dwubiegunowym przebiegu malejących linii. Punkty krytyczne różnicy temperatur w wielu ich znaczeniach i postępach opisują proces faktoryzacji złożonej funkcji ułamkowej. Jeśli kazano ci rozwiązać równanie, nie spiesz się z tym w tej chwili, zdecydowanie najpierw oceń cały plan działania, a dopiero potem podejmij właściwe podejście. Na pewno będą korzyści. Łatwość w pracy jest oczywista, podobnie jak w matematyce. Rozwiąż równanie online. Wszystkie równania online to pewien rodzaj zapisu liczb lub parametrów oraz zmienna, którą należy zdefiniować. Oblicz tę właśnie zmienną, czyli znajdź konkretne wartości lub przedziały zbioru wartości, dla których tożsamość będzie spełniona. Warunki początkowe i końcowe zależą bezpośrednio. Ogólne rozwiązanie równań z reguły zawiera pewne zmienne i stałe, ustalając je, otrzymamy całe rodziny rozwiązań dla danego sformułowania problemu. Generalnie uzasadnia to wysiłki włożone w zwiększenie funkcjonalności przestrzennego sześcianu o boku równym 100 centymetrom. Możesz zastosować twierdzenie lub lemat na dowolnym etapie konstruowania odpowiedzi. Witryna stopniowo wydaje kalkulator równań, w razie potrzeby pokazuje najmniejszą wartość w dowolnym przedziale sumowania produktów. W połowie przypadków taka kula jak pusta nie spełnia w większym stopniu wymagań do ustalenia pośredniej odpowiedzi. Przynajmniej na osi y w kierunku malejącej reprezentacji wektorowej proporcja ta będzie niewątpliwie bardziej optymalna niż poprzednie wyrażenie. W godzinie, w której przeprowadzana jest pełna analiza punktowa na funkcjach liniowych, w rzeczywistości zbierzemy razem wszystkie nasze liczby zespolone i dwubiegunowe przestrzenie płaszczyzn. Podstawiając zmienną do wynikowego wyrażenia, rozwiążesz równanie etapami i udzielisz najbardziej szczegółowej odpowiedzi z dużą dokładnością. Po raz kolejny sprawdzanie swoich działań w matematyce będzie dobrą formą ze strony ucznia. Proporcja w stosunku frakcji ustala integralność wyniku we wszystkich ważnych obszarach aktywności wektora zerowego. Banalność potwierdza się pod koniec wykonywanych czynności. Dzięki prostemu zestawowi zadań uczniowie nie mogą mieć trudności, jeśli rozwiążą równanie online w jak najkrótszym czasie, ale nie zapominają o wszelkiego rodzaju zasadach. Zbiór podzbiorów przecina się w obszarze notacji zbieżnej. W różnych przypadkach produkt nie ulega błędnej faktoryzacji. Pomożemy Ci rozwiązać równanie online w naszej pierwszej części dotyczącej podstaw technik matematycznych dla znaczących sekcji dla studentów na uniwersytetach i szkołach technicznych. Odpowiadanie na przykłady nie każe nam czekać kilka dni, ponieważ proces najlepszego współdziałania analizy wektorowej z sekwencyjnym znajdowaniem rozwiązań został opatentowany na początku ubiegłego wieku. Okazuje się, że starania o nawiązanie kontaktu z otaczającym zespołem nie poszły na marne, coś innego było oczywiście spóźnione. Kilka pokoleń później naukowcy na całym świecie uwierzyli, że matematyka jest królową nauk. Niezależnie od tego, czy jest to odpowiedź lewa, czy odpowiedź prawidłowa, wyczerpujące terminy i tak muszą być zapisane w trzech wierszach, ponieważ w naszym przypadku będziemy mówić jednoznacznie tylko o analizie wektorowej właściwości macierzy. Równania nieliniowe i liniowe wraz z równaniami dwukwadratowymi zajmują szczególne miejsce w naszej książce o najlepszych metodach obliczania trajektorii ruchu w przestrzeni wszystkich punktów materialnych układu zamkniętego. Liniowa analiza iloczynu skalarnego trzech kolejnych wektorów pomoże nam wcielić tę ideę w życie. Na końcu każdego ustawienia zadanie jest ułatwione przez wprowadzenie zoptymalizowanych wyjątków liczbowych w kontekście wykonywanych nakładek przestrzeni liczbowych. Kolejny wyrok nie sprzeciwi się znalezionej odpowiedzi w arbitralnej formie trójkąta w kole. Kąt między tymi dwoma wektorami zawiera wymagany procent marginesu, a rozwiązywanie równań online często ujawnia jakiś wspólny pierwiastek równania, w przeciwieństwie do warunków początkowych. Wyjątek pełni rolę katalizatora w całym nieuniknionym procesie znajdowania pozytywnego rozwiązania w zakresie definicji funkcji. Jeśli nie jest powiedziane, że nie możesz korzystać z komputera, kalkulator równań online jest odpowiedni do trudnych zadań. Wystarczy wpisać swoje dane warunkowe w odpowiednim formacie, a nasz serwer w możliwie najkrótszym czasie wystawi pełną odpowiedź wynikową. Funkcja wykładnicza rośnie znacznie szybciej niż funkcja liniowa. Świadczą o tym Talmudy sprytnej literatury bibliotecznej. Wykona obliczenia w sensie ogólnym, tak jak zrobiłoby to podane równanie kwadratowe z trzema złożonymi współczynnikami. Parabola w górnej części półpłaszczyzny charakteryzuje prostoliniowy ruch równoległy wzdłuż osi punktu. W tym miejscu warto wspomnieć o potencjalnej różnicy w przestrzeni roboczej ciała. W zamian za nieoptymalny wynik, nasz kalkulator frakcji słusznie zajmuje pierwsze miejsce w matematycznym rankingu przeglądu programów funkcjonalnych na zapleczu. Łatwość korzystania z tej usługi docenią miliony internautów. Jeśli nie wiesz, jak z niego korzystać, chętnie Ci pomożemy. Chcemy również podkreślić i wyróżnić równanie sześcienne z szeregu zadań uczniów szkół podstawowych, gdy trzeba szybko znaleźć jego pierwiastki i narysować wykres funkcji na płaszczyźnie. Najwyższy stopień reprodukcji jest jednym z najtrudniejszych problemów matematycznych w instytucie, a na jego badanie przeznacza się wystarczającą liczbę godzin. Podobnie jak wszystkie równania liniowe, nasze nie jest wyjątkiem od wielu obiektywnych reguł, spójrz z różnych punktów widzenia, a okaże się, że jest proste i wystarczające do ustalenia warunków początkowych. Przedział wzrostu pokrywa się z przedziałem wypukłości funkcji. Rozwiązywanie równań online. Badanie teorii opiera się na równaniach online z wielu rozdziałów dotyczących nauki głównej dyscypliny. W przypadku takiego podejścia w niepewnych problemach bardzo łatwo jest przedstawić rozwiązanie równań w z góry określonej formie i nie tylko wyciągnąć wnioski, ale także przewidzieć wynik takiego pozytywnego rozwiązania. Serwis pomoże nam poznać przedmiot w najlepszych tradycjach matematyki, tak jak to jest w zwyczaju na Wschodzie. W najlepszych momentach przedziału czasowego podobne zadania były dziesięciokrotnie mnożone przez wspólny mnożnik. Przy obfitości mnożenia wielu zmiennych w kalkulatorze równań zaczął się mnożyć przez jakość, a nie przez zmienne ilościowe, takie jak masa czy masa ciała. Aby uniknąć przypadków niezrównoważenia systemu materialnego, jest dla nas całkiem oczywiste wyprowadzenie trójwymiarowego konwertera na trywialną zbieżność niezdegenerowanych macierzy matematycznych. Wykonaj zadanie i rozwiąż równanie w podanych współrzędnych, ponieważ wynik jest z góry nieznany, a wszystkie zmienne zawarte w czasie poprzestrzennym są nieznane. Na krótki czas wypchnij wspólny czynnik z nawiasów i wcześniej podziel przez największy wspólny dzielnik obu części. Spod powstałego zakrytego podzbioru liczb wyodrębnij szczegółowo trzydzieści trzy punkty z rzędu w krótkim czasie. O ile każdy uczeń jest w stanie rozwiązać równanie online w najlepszy możliwy sposób, patrząc w przyszłość, powiedzmy jedną ważną, ale kluczową rzecz, bez której nie będzie nam łatwo żyć w przyszłości. W ubiegłym stuleciu wielki naukowiec zauważył w teorii matematyki szereg prawidłowości. W praktyce okazało się, że wydarzenia nie są do końca oczekiwane. Jednak w zasadzie to samo rozwiązanie równań online pomaga w lepszym zrozumieniu i postrzeganiu holistycznego podejścia do nauki oraz praktycznego utrwalenia przerabianego przez studentów materiału teoretycznego. Dużo łatwiej jest to zrobić w czasie nauki.

=

Równanie to równość zawierająca literę, której wartość ma zostać znaleziona.

W równaniach niewiadoma jest zwykle oznaczana małą literą łacińską. Najczęściej używane litery to „x” [x] i „y” [y].

• Pierwiastek równania- jest to wartość litery, przy której z równania uzyskuje się poprawną równość liczbową.
• Rozwiązać równanie- oznacza znalezienie wszystkich korzeni lub upewnienie się, że nie ma korzeni.

Po rozwiązaniu równania zawsze wypisujemy czek po odpowiedzi.

Informacje dla rodziców

Drodzy rodzice, zwracamy uwagę na fakt, że w szkole podstawowej i w klasie 5 dzieci NIE znają tematu „Liczby ujemne”.

Dlatego muszą rozwiązywać równania, używając tylko właściwości dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Poniżej podano metody rozwiązywania równań dla oceny 5.

Nie próbuj wyjaśniać rozwiązania równań, przenosząc liczby i litery z jednej części równania na drugą ze zmianą znaku.

Swoją wiedzę na temat pojęć związanych z dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem możesz odświeżyć podczas lekcji „Prawa arytmetyki”.

Rozwiązywanie równań na dodawanie i odejmowanie

Jak znaleźć nieznane
termin

Jak znaleźć nieznane
odjemna

Jak znaleźć nieznane
odjemnik

Aby znaleźć nieznany termin, odejmij znany termin od sumy.

Aby znaleźć nieznaną odcinek, musisz dodać odjemnik do różnicy.

Aby znaleźć nieznaną odjemną, konieczne jest odjęcie różnicy od odjemnej.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
Badanie

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x=16
Badanie

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x=2
Badanie

Rozwiązywanie równań mnożenia i dzielenia

Jak znaleźć nieznane
czynnik

Jak znaleźć nieznane
dywidenda

Jak znaleźć nieznane
rozdzielacz

Aby znaleźć nieznany czynnik, produkt należy podzielić przez znany czynnik.

Aby znaleźć nieznaną dywidendę, należy pomnożyć iloraz przez dzielnik.

Aby znaleźć nieznany dzielnik, podziel dzielną przez iloraz.

y 4 = 12
y=12:4
y=3
Badanie

y:7=2
y = 2 7
y=14
Badanie

8:y=4
y=8:4
y=2
Badanie

Równanie to równanie zawierające literę, której znak ma zostać znaleziony. Rozwiązaniem równania jest zestaw wartości literowych, który zamienia równanie w prawdziwą równość:

Przypomnij sobie, aby rozwiązać problem równanie konieczne jest przeniesienie terminów z nieznanym do jednej części równości, a terminów liczbowych do drugiej, przyniesienie podobnych i uzyskanie następującej równości:

Z ostatniej równości określamy niewiadomą według zasady: „jeden z czynników jest równy ilorazowi podzielonemu przez drugi czynnik”.

Ponieważ liczby wymierne a i b mogą mieć te same i różne znaki, znak niewiadomego jest określony przez reguły dzielenia liczb wymiernych.

Procedura rozwiązywania równań liniowych

Równanie liniowe należy uprościć, otwierając nawiasy i wykonując czynności drugiego etapu (mnożenie i dzielenie).

Przenieś niewiadome na jedną stronę znaku równości, a liczby na drugą stronę znaku równości, stając się identyczne z daną równością,

Przenieś podobne do lewej i prawej strony znaku równości, uzyskując równość formy topór = b.

Oblicz pierwiastek równania (znajdź nieznaną) X od równości x = b : a),

Przetestuj, podstawiając niewiadomą do podanego równania.

Jeśli otrzymamy identyczność w równości numerycznej, to równanie zostanie rozwiązane poprawnie.

Szczególne przypadki rozwiązywania równań

1. Jeśli równanie jest dany przez iloczyn równy 0, to do jego rozwiązania używamy własności mnożenia: „iloczyn jest równy zero, jeśli jeden z czynników lub oba czynniki są równe zeru”.

27 (x - 3) = 0
27 nie jest równe 0, więc x - 3 = 0

Drugi przykład ma dwa rozwiązania równania, ponieważ
To jest równanie drugiego stopnia:

Jeśli współczynniki równania są zwykłymi ułamkami, to przede wszystkim musisz pozbyć się mianowników. Dla tego:

Znajdź wspólny mianownik;

Określ dodatkowe współczynniki dla każdego członu równania;

Pomnóż liczniki ułamków i liczb całkowitych przez dodatkowe czynniki i zapisz wszystkie wyrazy równania bez mianowników (wspólny mianownik można odrzucić);

Przenieś wyrazy z niewiadomymi do jednej części równania, a wyrazy liczbowe do drugiej od znaku równości, uzyskując równoważną równość;

Przynieś jak członkowie;

Podstawowe własności równań

W dowolnej części równania możesz wprowadzić podobne terminy lub otworzyć nawias.

Dowolny wyraz równania można przenieść z jednej części równania na drugą, zmieniając jego znak na przeciwny.

Obie strony równania można pomnożyć (podzielić) przez tę samą liczbę z wyjątkiem 0.

W powyższym przykładzie wszystkie jego właściwości zostały użyte do rozwiązania równania.

Zasada rozwiązywania prostych równań

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są silni „nie bardzo. »
I dla tych, którzy „bardzo wyrównani. "")

Równania liniowe.

Równania liniowe nie są najtrudniejszym tematem w matematyce szkolnej. Ale jest tam kilka sztuczek, które mogą zagadać nawet wyszkolonego ucznia. Możemy to rozgryźć?)

Równanie liniowe jest zwykle definiowane jako równanie o postaci:

Nic skomplikowanego, prawda? Zwłaszcza jeśli nie zauważasz słów: „gdzie a i b są liczbami”. A jeśli zauważysz, ale nieostrożnie się zastanowisz?) W końcu, jeśli a=0, b=0(dowolne liczby są możliwe?), wtedy otrzymujemy zabawne wyrażenie:

Ale to nie wszystko! Jeśli powiedzmy a=0, a b=5, okazuje się, że jest to coś całkiem absurdalnego:

Co nadweręża i podważa zaufanie do matematyki, tak.) Zwłaszcza na egzaminach. Ale z tych dziwnych wyrażeń musisz także znaleźć X! Który w ogóle nie istnieje. I, co zaskakujące, ten X jest bardzo łatwy do znalezienia. Dowiemy się, jak to zrobić. W tej lekcji.

Jak rozpoznać wygląd równania liniowego? To zależy od czego wygląd zewnętrzny.) Sztuczka polega na tym, że równania liniowe nazywa się nie tylko równaniami postaci topór + b = 0 , ale także wszelkie równania, które sprowadza się do tej postaci przez przekształcenia i uproszczenia. A kto wie, czy jest zmniejszony, czy nie?)

W niektórych przypadkach można wyraźnie rozpoznać równanie liniowe. Powiedzmy, że jeśli mamy równanie, w którym są tylko niewiadome pierwszego stopnia, tak liczby. A równanie nie ułamki podzielone przez nieznany , to jest ważne! I podział przez numer, lub ułamek liczbowy - to wszystko! Na przykład:

To jest równanie liniowe. Są tu ułamki, ale nie ma x w kwadracie, sześcianie itd., i nie ma x w mianownikach, tj. Nie dzielenie przez x. A oto równanie



nie można nazwać liniowym. Tutaj wszystkie x są w pierwszym stopniu, ale jest dzielenie przez wyrażenie z x. Po uproszczeniach i przekształceniach możesz otrzymać równanie liniowe, kwadratowe i cokolwiek chcesz.

Okazuje się, że niemożliwe jest znalezienie równania liniowego w jakimś skomplikowanym przykładzie, dopóki prawie go nie rozwiążesz. To denerwujące. Ale w zadaniach z reguły nie pytają o formę równania, prawda? W zadaniach równania są uporządkowane zdecydować. To sprawia, że ​​jestem szczęśliwy.)

Rozwiązywanie równań liniowych. Przykłady.

Całe rozwiązanie równań liniowych składa się z identycznych przekształceń równań. Nawiasem mówiąc, te przekształcenia (aż dwie!) leżą u podstaw rozwiązań wszystkie równania matematyczne. Innymi słowy, decyzja każdy Równanie zaczyna się od tych samych przekształceń. W przypadku równań liniowych to (rozwiązanie) na tych przekształceniach kończy się pełną odpowiedzią. Warto skorzystać z linku, prawda?) Ponadto istnieją również przykłady rozwiązywania równań liniowych.

Zacznijmy od najprostszego przykładu. Bez pułapek. Powiedzmy, że musimy rozwiązać następujące równanie.

To jest równanie liniowe. Wszystkie X są do pierwszej potęgi, nie ma dzielenia przez X. Ale tak naprawdę nie obchodzi nas, jakie to równanie. Musimy to rozwiązać. Schemat tutaj jest prosty. Zbierz wszystko, co ma x po lewej stronie równości, wszystko bez x (liczby) po prawej.

Aby to zrobić, musisz przenieść — 4x w lewo, oczywiście ze zmianą znaku, ale — 3 - w prawo. Przy okazji, to jest pierwsza identyczna transformacja równań. Zaskoczony? Nie poszli więc za linkiem, ale na próżno.) Otrzymujemy:

Podajemy podobne, uważamy:

Czego potrzebujemy, aby być całkowicie szczęśliwym? Tak, aby po lewej stronie był czysty X! Pięć przeszkadza. Pozbądź się piątki za pomocą druga identyczna transformacja równań. Mianowicie dzielimy obie części równania przez 5. Otrzymujemy gotową odpowiedź:

Oczywiście elementarny przykład. To na rozgrzewkę.) Nie jest jasne, dlaczego przywołałem tutaj identyczne przekształcenia? OK. Bierzemy byka za rogi.) Zdecydujmy się na coś bardziej imponującego.

Na przykład oto to równanie:



Gdzie zaczynamy? Z x - w lewo, bez x - w prawo? Może tak być. Małe kroki wzdłuż długiej drogi. I możesz natychmiast, w uniwersalny i potężny sposób. O ile oczywiście w twoim arsenale nie ma identycznych przekształceń równań.

Zadaję Ci kluczowe pytanie: Czego najbardziej nie lubisz w tym równaniu?

95 osób na 100 odpowie: ułamki ! Odpowiedź jest prawidłowa. Więc pozbądźmy się ich. Więc zaczynamy od razu druga identyczna transformacja. Przez co należy pomnożyć ułamek po lewej stronie, aby mianownik został całkowicie zmniejszony? Zgadza się, 3. A po prawej? Przez 4. Ale matematyka pozwala nam pomnożyć obie strony przez ten sam numer. Jak się wydostaniemy? Pomnóżmy obie strony przez 12! Tych. do wspólnego mianownika. Wtedy trzy zostaną zredukowane, a cztery. Nie zapominaj, że musisz pomnożyć każdą część całkowicie. Oto jak wygląda pierwszy krok:





Notatka! Licznik ułamka (x+2) Wziąłem w nawiasy! Dzieje się tak, ponieważ mnożąc ułamki, licznik mnoży się przez całość, całkowicie! A teraz możesz redukować ułamki i redukować:

Otwarcie pozostałych nawiasów:

Nie przykład, ale czysta przyjemność!) Teraz przypominamy sobie zaklęcie z niższych klas: z x - w lewo, bez x - w prawo! I zastosuj tę transformację:

I obie części dzielimy przez 25, tj. zastosuj ponownie drugą transformację:



To wszystko. Odpowiadać: X=0,16

Uwaga: aby sprowadzić oryginalne mylące równanie do przyjemnej postaci, użyliśmy dwóch (tylko dwóch!) identyczne przekształcenia- tłumaczenie lewo-prawo ze zmianą znaku i mnożeniem - dzielenie równania przez tę samą liczbę. To jest uniwersalny sposób! Tak będziemy pracować każdy równania! Absolutnie dowolny. Dlatego cały czas powtarzam te same przekształcenia.)

Jak widać, zasada rozwiązywania równań liniowych jest prosta. Bierzemy równanie i upraszczamy je za pomocą identycznych przekształceń, aż otrzymamy odpowiedź. Główne problemy tkwią w obliczeniach, a nie w zasadzie rozwiązania.

Ale. W procesie rozwiązywania najbardziej elementarnych równań liniowych są takie niespodzianki, że mogą one doprowadzić do silnego odrętwienia.) Na szczęście takie niespodzianki mogą być tylko dwie. Nazwijmy je szczególnymi przypadkami.

Szczególne przypadki rozwiązywania równań liniowych.

Najpierw niespodzianka.

Załóżmy, że natkniesz się na równanie elementarne, coś takiego:

Nieco znudzony przenosimy z X w lewo, bez X - w prawo. Wraz ze zmianą znaku wszystko jest chinarne. Otrzymujemy:

Rozważamy i. Ups. Otrzymujemy:

Ta równość sama w sobie nie budzi zastrzeżeń. Zero to naprawdę zero. Ale X zniknął! I musimy napisać w odpowiedzi, ile x jest równe. W przeciwnym razie rozwiązanie się nie liczy, tak.) Ślepy zaułek?

Spokojna! W takich wątpliwych przypadkach zachowują najogólniejsze zasady. Jak rozwiązywać równania? Co to znaczy rozwiązać równanie? To znaczy, znajdź wszystkie wartości x, które po wstawieniu do oryginalnego równania dadzą nam poprawną równość.

Ale mamy poprawną równość już stało się! 0=0, gdzie naprawdę?! Pozostaje dowiedzieć się, przy jakim x jest to uzyskane. W jakie wartości x można podstawić? oryginał równanie, jeśli te x's nadal kurczyć się do zera? Daj spokój?)

TAk. Xs można podstawić każdy! Co chcesz. Co najmniej 5, co najmniej 0,05, co najmniej -220. Nadal będą się kurczyć. Jeśli mi nie wierzysz, możesz to sprawdzić.) Zastąp dowolne wartości x w oryginał równanie i obliczenia. Cały czas będzie uzyskiwana czysta prawda: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 i tak dalej.

Oto twoja odpowiedź: x jest dowolną liczbą.

Odpowiedź można zapisać różnymi symbolami matematycznymi, istota się nie zmienia. To jest całkowicie poprawna i kompletna odpowiedź.

Niespodzianka druga.

Weźmy to samo elementarne równanie liniowe i zmieńmy w nim tylko jedną liczbę. Tak zdecydujemy:

Po tych samych identycznych przekształceniach otrzymujemy coś intrygującego:

Lubię to. Rozwiązał równanie liniowe, uzyskał dziwną równość. Mówiąc matematycznie, mamy zła równość. Mówiąc prościej, to nieprawda. Zachwycać się. Niemniej jednak ten nonsens jest całkiem dobrym powodem do prawidłowego rozwiązania równania.)

Ponownie myślimy w oparciu o ogólne zasady. Co da nam x po wstawieniu do pierwotnego równania? prawidłowy równość? Tak, żaden! Nie ma takich xów. Cokolwiek zastąpisz, wszystko zostanie zredukowane, bzdury pozostaną.)

Oto twoja odpowiedź: nie ma rozwiązań.

To też jest całkowicie słuszna odpowiedź. W matematyce takie odpowiedzi często się zdarzają.

Lubię to. Teraz mam nadzieję, że utrata X w procesie rozwiązywania dowolnego (nie tylko liniowego) równania w ogóle Ci nie przeszkadza. Sprawa jest znajoma.)

Teraz, gdy uporaliśmy się ze wszystkimi pułapkami w równaniach liniowych, rozwiązanie ich ma sens.

Czy będą na egzaminie? - Słyszę pytanie o praktycznych ludzi. Odpowiadam. W najczystszej postaci nie. Zbyt elementarne. Ale w GIA, czyli przy rozwiązywaniu problemów na egzaminie, na pewno się na nie natkniesz! Zmieniamy więc myszkę na uchwyt i decydujemy.









Odpowiedzi podano bezładnie: 2,5; brak rozwiązań; 51; 17.

Stało się?! Gratulacje! Masz duże szanse na egzaminach.)

Odpowiedzi się nie zgadzają? M-tak. To nie jest przyjemne. To nie jest temat, bez którego można się obejść. Polecam odwiedzić sekcję 555. Jest bardzo szczegółowa, Co robić i Jak zrób to, aby nie pomylić się w rozwiązaniu. Na przykładzie tych równań.

ALE jak rozwiązywać równania bardziej podchwytliwe - to jest w następnym temacie.

Jeśli podoba Ci się ta strona.

Nawiasem mówiąc, mam dla ciebie kilka innych interesujących stron.)

Tutaj możesz przećwiczyć rozwiązywanie przykładów i poznać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Ucz się z zainteresowaniem!

A tutaj możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Rozwiązywanie równań liniowych Klasa 7

Do rozwiązania równań liniowych użyj dwóch podstawowych zasad (właściwości).

Właściwość #1
lub
reguła transferu

Po przeniesieniu z jednej części równania do drugiej wyraz równania zmienia swój znak na przeciwny.

Spójrzmy na przykład na regułę transferu. Załóżmy, że musimy rozwiązać równanie liniowe.



Przypomnij sobie, że każde równanie ma lewą i prawą stronę.



Przesuńmy cyfrę „3” z lewej strony równania na prawo.

Ponieważ liczba „3” miała znak „+” po lewej stronie równania, oznacza to, że „3” zostanie przeniesione na prawą stronę równania ze znakiem „-”.



Wynikowa wartość liczbowa „ x \u003d 2 ” nazywana jest pierwiastkiem równania.

Nie zapomnij zapisać odpowiedzi po rozwiązaniu dowolnego równania.

Rozważmy inne równanie.

Zgodnie z regułą transferu przeniesiemy „4x” z lewej strony równania na prawą, zmieniając znak na przeciwny.

Mimo że nie ma znaku przed „4x”, rozumiemy, że przed „4x” znajduje się znak „+”.

Teraz podajemy podobne i rozwiązujemy równanie do końca.

Właściwość #2
lub
zasada podziału

W dowolnym równaniu możesz podzielić lewą i prawą stronę przez tę samą liczbę.

Ale nie możesz dzielić przez nieznane!

Spójrzmy na przykład, jak używać reguły dzielenia przy rozwiązywaniu równań liniowych.

Liczba „4”, która stoi na „x”, nazywana jest współczynnikiem liczbowym nieznanego.



Między współczynnikiem liczbowym a niewiadomą zawsze znajduje się akcja mnożenia.

Aby rozwiązać równanie, należy upewnić się, że przy „x” występuje współczynnik „1”.

Zadajmy sobie pytanie: „Co trzeba podzielić” 4” na
dostać "1"?. Odpowiedź jest oczywista, musisz podzielić przez „4”.

Użyj zasady dzielenia i podziel lewą i prawą stronę równania przez „4”. Nie zapominaj, że musisz podzielić zarówno lewą, jak i prawą część.



Wykorzystujemy redukcję ułamków i rozwiązujemy równanie liniowe do końca.



Jak rozwiązać równanie, jeśli „x” jest ujemne?

Często w równaniach występuje sytuacja, gdy przy „x” występuje ujemny współczynnik. Jak w poniższym równaniu.

Aby rozwiązać takie równanie, ponownie zadajemy sobie pytanie: „Co trzeba podzielić „-2” przez, aby uzyskać „1”?”. Podziel przez „-2”.

Rozwiązywanie prostych równań liniowych

W tym filmie przeanalizujemy cały zestaw równań liniowych, które są rozwiązywane za pomocą tego samego algorytmu - dlatego nazywa się je najprostszymi.

Na początek zdefiniujmy: czym jest równanie liniowe i które z nich należy nazwać najprostszym?

Równanie liniowe to takie, w którym występuje tylko jedna zmienna i to tylko pierwszego stopnia.

Najprostsze równanie oznacza konstrukcję:

Wszystkie inne równania liniowe sprowadza się do najprostszych za pomocą algorytmu:

2. Otwarte nawiasy, jeśli są;
3. Przenieś terminy zawierające zmienną na jedną stronę znaku równości, a terminy bez zmiennej na drugą;
4. Przynieś podobne warunki po lewej i prawej stronie znaku równości;
5. Otrzymane równanie podziel przez współczynnik zmiennej $x$ .

Oczywiście ten algorytm nie zawsze pomaga. Faktem jest, że czasami po tych wszystkich machinacjach współczynnik zmiennej $x$ okazuje się równy zero. W takim przypadku możliwe są dwie opcje:

6. Równanie nie ma w ogóle rozwiązań. Na przykład, gdy otrzymasz coś takiego jak $0\cdot x=8$, tj. po lewej stronie jest zero, a po prawej niezerowa liczba. W poniższym filmie przyjrzymy się kilku przyczynom, dla których taka sytuacja jest możliwa.
7. Rozwiązaniem są wszystkie liczby. Jedynym przypadkiem, w którym jest to możliwe, jest sprowadzenie równania do konstrukcji $0\cdot x=0$. Jest całkiem logiczne, że bez względu na to, jakie $x$ zastąpimy, nadal okaże się, że „zero jest równe zero”, tj. poprawna równość liczbowa.

A teraz zobaczmy, jak to wszystko działa na przykładzie prawdziwych problemów.

Przykłady rozwiązywania równań

Dziś mamy do czynienia z równaniami liniowymi i to tylko najprostszymi. Ogólnie rzecz biorąc, równanie liniowe oznacza każdą równość, która zawiera dokładnie jedną zmienną i idzie tylko do pierwszego stopnia.

Takie konstrukcje są rozwiązywane w przybliżeniu w ten sam sposób:

1. Przede wszystkim musisz otworzyć nawiasy, jeśli takie istnieją (jak w naszym ostatnim przykładzie);
2. Następnie przynieś podobne
3. Na koniec wyizoluj zmienną, tj. wszystko, co jest związane ze zmienną — terminy, w których jest ona zawarta — przenosi się na jedną stronę, a wszystko, co pozostaje bez niej, na drugą stronę.

Następnie z reguły trzeba zbliżyć po każdej stronie wynikową równość, a potem pozostaje tylko podzielić przez współczynnik przy „x”, a otrzymamy ostateczną odpowiedź.

W teorii wygląda to ładnie i prosto, ale w praktyce nawet doświadczeni licealiści mogą popełniać obraźliwe błędy w dość prostych równaniach liniowych. Zwykle błędy popełniane są albo podczas otwierania nawiasów, albo podczas liczenia „plusów” i „minusów”.

Ponadto zdarza się, że równanie liniowe w ogóle nie ma rozwiązań, lub że rozwiązaniem jest cała oś liczbowa, tj. Jakikolwiek numer. Przeanalizujemy te subtelności w dzisiejszej lekcji. Ale zaczniemy, jak już zrozumiałeś, od najprostszych zadań.

Schemat rozwiązywania prostych równań liniowych

Na początek jeszcze raz napiszę cały schemat rozwiązywania najprostszych równań liniowych:

4. Rozwiń nawiasy, jeśli takie istnieją.
5. Odseparuj zmienne, tj. wszystko, co zawiera „x”, jest przenoszone na jedną stronę, a bez „x” - na drugą.
6. Przedstawiamy podobne terminy.
7. Wszystko dzielimy przez współczynnik przy „x”.

Oczywiście ten schemat nie zawsze działa, ma pewne subtelności i sztuczki, a teraz je poznamy.

Rozwiązywanie rzeczywistych przykładów prostych równań liniowych

W pierwszym kroku musimy otworzyć wsporniki. Ale nie ma ich w tym przykładzie, więc pomijamy ten krok. W drugim kroku musimy wyizolować zmienne. Uwaga: mówimy tylko o indywidualnych terminach. Napiszmy:

Po lewej i po prawej stronie podajemy podobne terminy, ale to już zostało zrobione tutaj. Dlatego przechodzimy do czwartego kroku: podziel przez współczynnik:

Tutaj otrzymaliśmy odpowiedź.

W tym zadaniu możemy obserwować nawiasy, więc je rozwińmy:

Zarówno po lewej, jak i po prawej stronie widzimy w przybliżeniu tę samą konstrukcję, ale działajmy zgodnie z algorytmem, tj. zmienne sekwestrujące:

Na jakich korzeniach to działa? Odpowiedź: dla każdego. Dlatego możemy napisać, że $x$ to dowolna liczba.

Trzecie równanie liniowe jest już bardziej interesujące:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Jest tu kilka nawiasów, ale nie są one przez nic mnożone, po prostu mają przed sobą różne znaki. Podzielmy je:

Wykonujemy drugi krok już nam znany:

Wykonujemy ostatni krok - wszystko dzielimy przez współczynnik przy „x”:

Rzeczy do zapamiętania podczas rozwiązywania równań liniowych

Jeśli zignorujemy zbyt proste zadania, to powiem:

8. Jak powiedziałem powyżej, nie każde równanie liniowe ma rozwiązanie - czasami po prostu nie ma pierwiastków;
9. Nawet jeśli są korzenie, to zero może się do nich dostać - nie ma w tym nic złego.

Zero to ta sama liczba, co reszta, nie należy jej jakoś dyskryminować ani zakładać, że jeśli masz zero, to zrobiłeś coś złego.

Kolejna funkcja związana jest z rozszerzaniem nawiasów. Uwaga: gdy przed nimi jest „minus”, usuwamy go, ale w nawiasach zmieniamy znaki na naprzeciwko. A potem możemy go otworzyć według standardowych algorytmów: otrzymamy to, co widzieliśmy w powyższych obliczeniach.

Zrozumienie tego prostego faktu pomoże ci uniknąć popełniania głupich i bolesnych błędów w liceum, gdy robienie takich działań jest oczywiste.

Rozwiązywanie złożonych równań liniowych

Przejdźmy do bardziej złożonych równań. Teraz konstrukcje staną się bardziej skomplikowane i podczas wykonywania różnych przekształceń pojawi się funkcja kwadratowa. Jednak nie należy się tego obawiać, ponieważ jeśli zgodnie z intencją autora rozwiążemy równanie liniowe, to w procesie transformacji wszystkie jednomiany zawierające funkcję kwadratową z konieczności zostaną zredukowane.

Oczywiście pierwszym krokiem jest otwarcie nawiasów. Zróbmy to bardzo ostrożnie:

Teraz weźmy prywatność:

Oczywiście to równanie nie ma rozwiązań, więc w odpowiedzi piszemy następująco:

Wykonujemy te same kroki. Pierwszy krok:

Przenieśmy wszystko ze zmienną w lewo, a bez niej - w prawo:

Oczywiście to równanie liniowe nie ma rozwiązania, więc piszemy je tak:

lub bez korzeni.

Niuanse rozwiązania

Oba równania są całkowicie rozwiązane. Na przykładzie tych dwóch wyrażeń po raz kolejny upewniliśmy się, że nawet w najprostszych równaniach liniowych wszystko może nie być takie proste: może być albo jeden, albo żaden, albo nieskończenie wiele. W naszym przypadku rozważaliśmy dwa równania, w obu po prostu nie ma pierwiastków.

Ale chciałbym zwrócić uwagę na inny fakt: jak pracować z nawiasami i jak je rozwinąć, jeśli przed nimi jest znak minus. Rozważ to wyrażenie:

Przed otwarciem musisz wszystko pomnożyć przez „x”. Uwaga: pomnóż każdy indywidualny termin. Wewnątrz znajdują się dwa wyrazy - odpowiednio dwa wyrazy i jest mnożony.

I dopiero po dokonaniu tych pozornie elementarnych, ale bardzo ważnych i niebezpiecznych przekształceń, można otworzyć nawias z tego punktu widzenia, że ​​jest po nim znak minus. Tak, tak: dopiero teraz, po przekształceniach, pamiętamy, że przed nawiasami jest znak minus, co oznacza, że ​​wszystko poniżej po prostu zmienia znaki. Jednocześnie znikają same nawiasy i, co najważniejsze, znika również przedni „minus”.

To samo robimy z drugim równaniem:

Nieprzypadkowo zwracam uwagę na te drobne, pozornie nieistotne fakty. Bo rozwiązywanie równań to zawsze ciąg elementarnych przekształceń, gdzie niemożność jasnego i kompetentnego wykonania prostych czynności prowadzi do tego, że licealiści przychodzą do mnie i uczą się na nowo rozwiązywać takie proste równania.

Oczywiście nadejdzie dzień, w którym wyszlifujesz te umiejętności do automatyzmu. Nie musisz już wykonywać tylu przekształceń za każdym razem, napiszesz wszystko w jednej linijce. Ale kiedy dopiero się uczysz, musisz napisać każdą akcję osobno.

Rozwiązywanie jeszcze bardziej złożonych równań liniowych

To, co teraz rozwiążemy, trudno nazwać najprostszym zadaniem, ale znaczenie pozostaje takie samo.

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21=3\]

Pomnóżmy wszystkie elementy z pierwszej części:

Zróbmy rekolekcje:

Zróbmy ostatni krok:

Oto nasza ostateczna odpowiedź. I pomimo tego, że w procesie rozwiązywania mieliśmy współczynniki z funkcją kwadratową, to jednak wzajemnie się znosiły, co sprawia, że ​​równanie jest dokładnie liniowe, a nie kwadratowe.

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Zróbmy pierwszy krok ostrożnie: pomnóż każdy element w pierwszym nawiasie przez każdy element w drugim. W sumie po przekształceniach należy uzyskać cztery nowe terminy:

A teraz dokładnie wykonaj mnożenie w każdym wyrazie:

Przesuńmy terminy z "x" w lewo, a bez - w prawo:

Oto podobne terminy:

Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.

Najważniejsza uwaga dotycząca tych dwóch równań jest taka: jak tylko zaczniemy mnożyć nawiasy, w których jest więcej niż wyraz, to odbywa się to zgodnie z następującą zasadą: bierzemy pierwszy wyraz z pierwszego i mnożymy przez każdy element od drugiego; następnie bierzemy drugi element z pierwszego i podobnie mnożymy przez każdy element z drugiego. W rezultacie otrzymujemy cztery terminy.

Na sumie algebraicznej

Ostatnim przykładem chciałbym przypomnieć uczniom, czym jest suma algebraiczna. W matematyce klasycznej przez 1-7$ rozumiemy konstrukcję prostą: odejmujemy siedem od jednego. W algebrze rozumiemy przez to, co następuje: do liczby „jeden” dodajemy kolejną liczbę, a mianowicie „minus siedem”. Ta suma algebraiczna różni się od zwykłej sumy arytmetycznej.

Gdy tylko wykonasz wszystkie przekształcenia, każde dodawanie i mnożenie, zaczniesz widzieć konstrukcje podobne do opisanych powyżej, po prostu nie będziesz miał problemów z algebrą podczas pracy z wielomianami i równaniami.

Podsumowując, spójrzmy na jeszcze kilka przykładów, które będą jeszcze bardziej złożone niż te, które właśnie oglądaliśmy, i aby je rozwiązać, będziemy musieli nieco rozszerzyć nasz standardowy algorytm.

Rozwiązywanie równań z ułamkiem

Aby rozwiązać takie zadania, do naszego algorytmu trzeba będzie dodać jeszcze jeden krok. Ale najpierw przypomnę nasz algorytm:

10. Oddzielne zmienne.

Niestety, ten wspaniały algorytm, pomimo całej swojej skuteczności, nie jest całkowicie odpowiedni, gdy mamy przed sobą ułamki. A w tym, co zobaczymy poniżej, w obu równaniach mamy ułamek po lewej i po prawej stronie.

Jak pracować w takim przypadku? Tak, to bardzo proste! Aby to zrobić, musisz dodać jeszcze jeden krok do algorytmu, który można wykonać zarówno przed pierwszą akcją, jak i po niej, a mianowicie pozbyć się ułamków. Zatem algorytm będzie wyglądał następująco:

11. Pozbądź się ułamków.
12. Otwarte nawiasy.
13. Przynieś podobne.
14. Podziel przez współczynnik.

Co to znaczy „pozbyć się ułamków”? I dlaczego można to zrobić zarówno po, jak i przed pierwszym standardowym krokiem? W rzeczywistości w naszym przypadku wszystkie ułamki są liczbowe pod względem mianownika, tj. wszędzie mianownik to tylko liczba. Dlatego jeśli pomnożymy obie części równania przez tę liczbę, pozbędziemy się ułamków.

Pozbądźmy się ułamków w tym równaniu:

Uwaga: wszystko jest pomnożone przez „cztery” raz, tj. tylko dlatego, że masz dwa nawiasy nie oznacza, że ​​musisz pomnożyć każdy z nich przez „cztery”. Napiszmy:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(-1 \right)\cdot 4\]

Wykonujemy oddzielenie zmiennej:

Przeprowadzamy redukcję podobnych terminów:

\[-4x=-1\lewo| :\lewo(-4 \prawo) \prawo.\]

Otrzymaliśmy ostateczne rozwiązanie, przechodzimy do drugiego równania.

Tutaj wykonujemy te same czynności:

To właściwie wszystko, co chciałem dzisiaj powiedzieć.

Kluczowe punkty

Najważniejsze ustalenia są następujące:

8. Znać algorytm rozwiązywania równań liniowych.
9. Możliwość otwierania nawiasów.
10. Nie martw się, jeśli masz gdzieś funkcje kwadratowe, najprawdopodobniej w trakcie dalszych przekształceń zostaną one zmniejszone.
11. Pierwiastki w równaniach liniowych, nawet najprostszych, są trzech typów: jeden pierwiastek, cała oś liczbowa jest pierwiastkiem, w ogóle nie ma pierwiastków.

Mam nadzieję, że ta lekcja pomoże Ci opanować prosty, ale bardzo ważny temat dla dalszego zrozumienia całej matematyki. Jeśli coś nie jest jasne, wejdź na stronę, rozwiąż przedstawione tam przykłady. Bądź na bieżąco, czeka na Ciebie wiele innych ciekawych rzeczy!

12. Równanie irracjonalne: nauka rozwiązywania metodą izolacji pierwiastków
13. Jak rozwiązać równanie dwukwadratowe
14. Przetestuj lekcję „Złożone wyrażenia z ułamkami” (łatwe)
15. Egzamin próbny 2012 od 7 grudnia. Opcja 1 (bez logarytmów)
16. Film instruktażowy dotyczący zadań C2: odległość od punktu do płaszczyzny
17. Korepetytor matematyki: gdzie zabrać uczniów?

Aby obejrzeć film, wprowadź swój adres e-mail i kliknij przycisk „Rozpocznij szkolenie”

• Korepetytor z 12-letnim doświadczeniem
• Nagranie wideo z każdej sesji
• Jednorazowy koszt zajęć - 3000 rubli za 60 minut