Równania nieliniowe z dwiema niewiadomymi
Definicja 1. Niech A będzie jakimś zbiór par liczb (X; y) . Mówią, że zbiór A jest dany funkcja numeryczna z z dwóch zmiennych x i y , jeśli zostanie podana reguła, za pomocą której każda para liczb ze zbioru A jest powiązana z określoną liczbą.
Ćwiczenia funkcja numeryczna z z dwóch zmiennych x i y często oznaczać Więc:
Gdzie F (X , y) – dowolna funkcja inna niż funkcja
F (X , y) = topór+by+c ,
gdzie a, b, c są danymi liczbami.
Definicja 3. Rozwiązywanie równania (2) zadzwoń pod parę liczb ( X; y), dla którego wzór (2) jest prawdziwą równością.
Przykład 1. Rozwiązać równanie
Ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, ze wzoru (4) wynika, że niewiadome x i y spełniają układ równań
którego rozwiązaniem jest para liczb (6; 3).
Odpowiedź: (6; 3)
Przykład 2. Rozwiązać równanie
Dlatego rozwiązaniem równania (6) jest nieskończona liczba par liczb typ
(1 + y ; y) ,
gdzie y jest dowolną liczbą.
liniowy
Definicja 4. Rozwiązywanie układu równań
zadzwoń pod parę liczb ( X; y) , podstawiając je do każdego z równań tego układu, uzyskuje się poprawną równość.
Układy dwóch równań, z których jedno jest liniowe, mają postać
G(X , y)
Przykład 4. Rozwiązać układ równań
Rozwiązanie . Wyraźmy niewiadome y z pierwszego równania układu (7) poprzez nieznane x i otrzymane wyrażenie podstawimy do drugiego równania układu:
Rozwiązanie równania
X 1 = - 1 , X 2 = 9 .
Stąd,
y 1 = 8 - X 1 = 9 ,
y 2 = 8 - X 2 = - 1 .
Układy dwóch równań, z których jedno jest jednorodne
Układy dwóch równań, z których jedno jest jednorodne, mają postać
gdzie a, b, c są podane liczby, i G(X , y) – funkcja dwóch zmiennych x i y.
Przykład 6. Rozwiązać układ równań
Rozwiązanie . Rozwiążmy równanie jednorodne
3X 2 + 2xy - y 2 = 0 ,
3X 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,
traktując to jako równanie kwadratowe ze względu na niewiadomą x:
.
W razie X = - 5y, z drugiego równania układu (11) otrzymujemy równanie
5y 2 = - 20 ,
który nie ma korzeni.
W razie
z drugiego równania układu (11) otrzymujemy równanie
,
którego pierwiastkiem są liczby y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Znajdując dla każdej z tych wartości y odpowiednią wartość x, otrzymujemy dwa rozwiązania układu: (- 2 ; 3), (2; - 3).
Odpowiedź: (- 2; 3), (2; - 3)
Przykłady rozwiązywania układów równań innych typów
Przykład 8. Rozwiąż układ równań (MIPT)
Rozwiązanie . Wprowadźmy nowe niewiadome u i v, które wyrażamy poprzez x i y według wzorów:
Aby przepisać układ (12) w kategoriach nowych niewiadomych, najpierw wyrażamy niewiadome x i y w kategoriach u i v. Z układu (13) wynika, że
Rozwiążmy układ liniowy (14) usuwając zmienną x z drugiego równania tego układu. W tym celu dokonujemy na układzie (14) następujących przekształceń:
- Pierwsze równanie układu pozostawimy bez zmian;
- od drugiego równania odejmujemy pierwsze równanie i zastępujemy drugie równanie układu powstałą różnicą.
W rezultacie układ (14) zostaje przekształcony w układ równoważny
z którego znajdujemy
Korzystając ze wzorów (13) i (15) przepisujemy oryginalny układ (12) w postaci
Pierwsze równanie układu (16) jest liniowe, zatem możemy z niego wyrazić nieznane u poprzez nieznane v i podstawić to wyrażenie do drugiego równania układu.
Na lekcjach matematyki w klasie 7 spotykamy się po raz pierwszy równania z dwiema zmiennymi, ale bada się je tylko w kontekście układów równań z dwiema niewiadomymi. Dlatego znika z pola widzenia cała linia problemy, w których na współczynniki równania wprowadzane są pewne warunki, które je ograniczają. Ponadto ignorowane są również metody rozwiązywania problemów, takie jak „Rozwiąż równanie w liczbach naturalnych lub całkowitych”, chociaż w Materiały do egzaminu ujednoliconego stanu i dalej egzaminy wstępne Problemy tego typu zdarzają się coraz częściej.
Które równanie nazwiemy równaniem z dwiema zmiennymi?
Na przykład równania 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 lub xy = 12 są równaniami z dwiema zmiennymi.
Rozważmy równanie 2x – y = 1. Staje się prawdziwe, gdy x = 2 i y = 3, więc ta para wartości zmiennych jest rozwiązaniem omawianego równania.
Zatem rozwiązaniem dowolnego równania z dwiema zmiennymi jest zbiór uporządkowanych par (x; y), wartości zmiennych, które zamieniają to równanie w prawdziwą równość liczbową.
Równanie z dwiema niewiadomymi może:
A) mieć jedno rozwiązanie. Na przykład równanie x 2 + 5y 2 = 0 ma jedyna decyzja (0; 0);
B) mieć wiele rozwiązań. Na przykład (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ma 4 rozwiązania: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) nie mają rozwiązań. Na przykład równanie x 2 + y 2 + 1 = 0 nie ma rozwiązań;
G) mają nieskończenie wiele rozwiązań. Np. x + y = 3. Rozwiązaniem tego równania będą liczby, których suma jest równa 3. Zbiór rozwiązań tego równania można zapisać w postaci (k; 3 – k), gdzie k jest dowolną wartością rzeczywistą numer.
Głównymi metodami rozwiązywania równań z dwiema zmiennymi są metody oparte na rozkładaniu wyrażeń na czynniki, izolowaniu pełnego kwadratu i korzystaniu z właściwości równanie kwadratowe, ograniczenia wyrażeń, metody oceny. Równanie zwykle przekształca się do postaci, z której można uzyskać układ znajdowania niewiadomych.
Faktoryzacja
Przykład 1.
Rozwiąż równanie: xy – 2 = 2x – y.
Rozwiązanie.
Grupujemy terminy w celu faktoryzacji:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Z każdego nawiasu wyciągamy wspólny czynnik:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Mamy:
y = 2, x – dowolna liczba rzeczywista lub x = -1, y – dowolna liczba rzeczywista.
Zatem, odpowiedzią są wszystkie pary postaci (x; 2), x € R i (-1; y), y € R.
Równość liczb nieujemnych do zera
Przykład 2.
Rozwiąż równanie: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Rozwiązanie.
Grupowanie:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Teraz każdy nawias można złożyć, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Suma dwóch nieujemnych wyrażeń wynosi zero tylko wtedy, gdy 3x – 2 = 0 i 2y – 3 = 0.
Oznacza to x = 2/3 i y = 3/2.
Odpowiedź: (2/3; 3/2).
Metoda szacowania
Przykład 3.
Rozwiąż równanie: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Rozwiązanie.
W każdym nawiasie wybieramy cały kwadrat:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Oszacujmy 
znaczenie wyrażeń w nawiasach.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 i (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, to lewa strona równania zawsze wynosi co najmniej 2. Równość jest możliwa, jeśli:
(x + 1) 2 + 1 = 1 i (y – 2) 2 + 2 = 2, co oznacza x = -1, y = 2.
Odpowiedź: (-1; 2).
Zapoznajmy się z inną metodą rozwiązywania równań z dwiema zmiennymi drugiego stopnia. Metoda ta polega na traktowaniu równania jako kwadrat w odniesieniu do jakiejś zmiennej.
Przykład 4.
Rozwiąż równanie: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Rozwiązanie.
Rozwiążmy to równanie jako równanie kwadratowe dla x. Znajdźmy dyskryminator:
re = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Równanie będzie miało rozwiązanie tylko wtedy, gdy D = 0, to znaczy, jeśli y = 4. Podstawiamy wartość y do pierwotnego równania i stwierdzamy, że x = 3.
Odpowiedź: (3; 4).
Często w równaniach z dwiema niewiadomymi wskazują ograniczenia dotyczące zmiennych.
Przykład 5.
Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Rozwiązanie.
Zapiszmy równanie w postaci x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Prawa strona otrzymanego równania przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2. Zatem x 2 nie jest podzielne przez 5. Ale kwadrat liczba niepodzielna przez 5 daje resztę 1 lub 4. Zatem równość jest niemożliwa i nie ma rozwiązań.
Odpowiedź: brak korzeni.
Przykład 6.
Rozwiąż równanie: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Rozwiązanie.
Zaznaczmy całe kwadraty w każdym nawiasie:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Lewa strona równania jest zawsze większa lub równa 3. Równość jest możliwa pod warunkiem |x| – 2 = 0 i y + 3 = 0. Zatem x = ± 2, y = -3.
Odpowiedź: (2; -3) i (-2; -3).
Przykład 7.
Dla każdej pary ujemnych liczb całkowitych (x;y) spełniających równanie
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, oblicz sumę (x + y). W odpowiedzi proszę wskazać najmniejszą kwotę.
Rozwiązanie.
Wybierzmy całe kwadraty:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Ponieważ x i y są liczbami całkowitymi, ich kwadraty również są liczbami całkowitymi. Otrzymamy sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych równą 37, jeśli dodamy 1 + 36. Zatem:
(x – y) 2 = 36 i (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 i (y + 2) 2 = 36.
Rozwiązując te układy i biorąc pod uwagę, że x i y są ujemne, znajdujemy rozwiązania: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Odpowiedź: -17.
Nie rozpaczaj, jeśli masz trudności z rozwiązywaniem równań z dwiema niewiadomymi. Przy odrobinie praktyki poradzisz sobie z każdym równaniem.
Nadal masz pytania? Nie wiesz, jak rozwiązywać równania z dwiema zmiennymi?
Aby skorzystać z pomocy korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.
Podejście autora do tego tematu nie jest przypadkowe. Równania z dwiema zmiennymi po raz pierwszy spotykamy na zajęciach w siódmej klasie. Jedno równanie z dwiema zmiennymi ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Widać to wyraźnie na wykresie funkcji liniowej wyrażonej jako ax + by=c. W ramach zajęć szkolnych uczniowie uczą się układów dwóch równań z dwiema zmiennymi. W rezultacie cała seria problemów z ograniczonymi warunkami na współczynniku równania, a także metody ich rozwiązywania, wypadają z oczu nauczyciela, a tym samym ucznia.
Mówimy o rozwiązaniu równania z dwiema niewiadomymi w liczbach całkowitych lub liczby naturalne X.
W szkole w klasach 4-6 uczy się liczb naturalnych i całkowitych. Zanim ukończą szkołę, nie wszyscy uczniowie pamiętają różnice między zbiorami tych liczb.
Jednak problem typu „rozwiązać równanie w postaci ax + by=c w liczbach całkowitych” coraz częściej pojawia się na egzaminach wstępnych na uniwersytety i w materiałach Unified State Examination.
Rozwiązywanie niepewnych równań rozwija logiczne myślenie, inteligencję i umiejętność analizy.
Proponuję rozwinąć kilka lekcji na ten temat. Nie mam jasnych zaleceń co do harmonogramu tych zajęć. Niektóre elementy można wykorzystać także w klasie 7 (dla mocnej klasy). Lekcje te można wykorzystać jako podstawę i opracować mały kurs do wyboru w zakresie szkolenia przedzawodowego w klasie 9. I oczywiście materiał ten można wykorzystać w klasach 10–11 w celu przygotowania się do egzaminów.
Cel lekcji:
- powtórzenie i uogólnienie wiedzy na temat „Równania pierwszego i drugiego rzędu”
- wychowanie zainteresowanie poznawcze do przedmiotu akademickiego
- rozwijanie umiejętności analizowania, dokonywania uogólnień, przenoszenia wiedzy na nową sytuację
Lekcja 1.
Podczas zajęć.
1) Org. za chwilę.
2) Aktualizacja podstawowej wiedzy.
Definicja. Równanie liniowe dwóch zmiennych jest równaniem postaci
mx + ny = k, gdzie m, n, k to liczby, x, y to zmienne.
Przykład: 5x+2y=10
Definicja. Rozwiązaniem równania z dwiema zmiennymi jest para wartości zmiennych, która zamienia równanie w prawdziwą równość.
Równania z dwiema zmiennymi, które mają takie same rozwiązania, nazywane są równoważnymi.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2,5x+6
Równanie to może mieć dowolną liczbę rozwiązań. Aby to zrobić, wystarczy wziąć dowolną wartość x i znaleźć odpowiednią wartość y.
Niech x = 2, y = -2,5 2+6 = 1
x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4
Pary liczb (2;1); (4;-4) – rozwiązania równania (1).
Równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Tło historyczne
Równania nieokreślone (diofantyny) to równania zawierające więcej niż jedną zmienną.
W III wieku. OGŁOSZENIE – Diofant z Aleksandrii napisał „Arytmetykę”, w której rozszerzył zbiór liczb do wymiernych i wprowadził symbolikę algebraiczną.
Diofant rozważał także problematykę rozwiązywania równań nieokreślonych i podał metody rozwiązywania równań nieokreślonych drugiego i trzeciego stopnia.
4) Studiowanie nowego materiału.
Definicja: Niejednorodne równanie diofantyny pierwszego rzędu z dwiema niewiadomymi x, y jest równaniem w postaci mx + ny = k, gdzie m, n, k, x, y Z k0
Oświadczenie 1.
Jeśli wolny wyraz k w równaniu (1) nie jest podzielny przez największy wspólny dzielnik(NWD) liczb m i n, wówczas równanie (1) nie ma rozwiązań całkowitych.
Przykład: 34x – 17 lat = 3.
NWD (34; 17) = 17, 3 nie jest podzielne równomiernie przez 17, w liczbach całkowitych nie ma rozwiązania.
Niech k będzie podzielone przez gcd (m, n). Dzieląc wszystkie współczynniki, możemy zapewnić, że m i n staną się względnie pierwsze.
Oświadczenie 2.
Jeśli m i n równania (1) są wzajemne liczby pierwsze, to równanie to ma co najmniej jedno rozwiązanie.
Oświadczenie 3.
Jeżeli współczynniki m i n równania (1) są liczbami względnie pierwszymi, to równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań:
Gdzie (; ) jest dowolnym rozwiązaniem równania (1), t Z
Definicja. Jednorodne równanie diofantyny pierwszego rzędu z dwiema niewiadomymi x, y jest równaniem w postaci mx + ny = 0, gdzie (2)
Oświadczenie 4.
Jeśli m i n są liczbami względnie pierwszymi, to każde rozwiązanie równania (2) ma postać 
5) Praca domowa. Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych:
- 9x – 18 lat = 5
- x + y= xy
- Kilkoro dzieci zbierało jabłka. Każdy chłopiec zebrał 21 kg, a dziewczynka 15 kg. W sumie zebrali 174 kg. Ilu chłopców i ile dziewcząt zbierało jabłka?
Komentarz. NA ta lekcja Nie ma przykładów rozwiązywania równań w liczbach całkowitych. Dlatego Praca domowa dzieci podejmują decyzję na podstawie stwierdzenia 1 i wyboru.
Lekcja 2.
1) Moment organizacyjny
2) Sprawdzanie pracy domowej
1) 9x – 18 lat = 5
Liczba 5 nie jest podzielna przez 9; w liczbach całkowitych nie ma rozwiązań.
Korzystając z metody selekcji, możesz znaleźć rozwiązanie
Odpowiedź: (0;0), (2;2)
3) Zróbmy równanie:
Niech chłopcy będą x, x Z, a dziewczynki y, y Z, wtedy możemy utworzyć równanie 21x + 15y = 174
Wielu uczniów po napisaniu równania nie będzie w stanie go rozwiązać.
Odpowiedź: 4 chłopców, 6 dziewcząt.
3) Nauka nowego materiału
Po napotkaniu trudności z zadaniami domowymi uczniowie byli przekonani o konieczności poznania własnych metod rozwiązywania równań niepewnych. Przyjrzyjmy się niektórym z nich.
I. Metoda uwzględniania reszt z dzielenia.
Przykład. Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych 3x – 4y = 1.
Lewa strona równania jest podzielna przez 3, zatem prawa strona musi być podzielna. Rozważmy trzy przypadki.
Odpowiedź: gdzie m Z.
Opisana metoda jest wygodna w użyciu, jeśli liczby m i n nie są małe, ale można je rozłożyć na proste czynniki.
Przykład: rozwiązuj równania w liczbach całkowitych.
Niech y = 4n, wtedy 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) dzielimy przez 4.
y = 4n+1, wtedy 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n nie jest podzielne przez 4.
y = 4n+2, wtedy 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n nie jest podzielne przez 4.
y = 4n+3, wtedy 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n nie jest podzielne przez 4.
Zatem y = 4n
4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
Odpowiedź: , gdzie n Z.
II. Równania niepewne drugiego stopnia
Dzisiaj na lekcji zajmiemy się tylko rozwiązywaniem równań diofantyny drugiego rzędu.
Ze wszystkich typów równań rozważymy przypadek, w którym możemy zastosować wzór na różnicę kwadratów lub inną metodę faktoryzacji.
Przykład: Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych.
Liczba 13 jest liczbą pierwszą, zatem można ją rozłożyć na czynniki tylko na cztery sposoby: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
Rozważmy te przypadki
Odpowiedź: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).
4) Praca domowa.
Przykłady. Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych:
(x - y)(x + y)=4
| 2x = 4 | 2x = 5 | 2x = 5 |
| x = 2 | x = 5/2 | x = 5/2 |
| y = 0 | nie pasuje | nie pasuje |
| 2x = -4 | nie pasuje | nie pasuje |
| x = -2 | ||
| y = 0 |
Odpowiedź: (-2;0), (2;0).
Odpowiedzi: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).
V) 
Odpowiedź: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).
Wyniki. Co to znaczy rozwiązać równanie w liczbach całkowitych?
Jakie znasz metody rozwiązywania równań niepewnych?
Aplikacja:
Ćwiczenia na trening.
1) Rozwiąż liczby całkowite.
| a) 8x + 12 lat = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z |
| b) 7x + 5 lat = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z |
| c) 4x + 7 lat = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z |
| d) 9x – 2y = 1 | x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z |
| e) 9x – 11 lat = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, n Z |
| e) 7x – 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z |
| g) 19x – 5 lat = 119 | x = 1 + 5 p, y = -20 + 19 p, p Z |
| h) 28x – 40 lat = 60 | x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z |
2) Znajdź nieujemne rozwiązania równania w postaci liczb całkowitych.
Równość f(x; y) = 0 reprezentuje równanie z dwiema zmiennymi. Rozwiązaniem takiego równania jest para wartości zmiennych, która zamienia równanie z dwiema zmiennymi w prawdziwą równość.
Jeśli mamy równanie z dwiema zmiennymi, to zgodnie z tradycją przy jego pisaniu na pierwszym miejscu musimy umieścić x, a na drugim miejscu y.
Rozważmy równanie x – 3y = 10. Pary (10; 0), (16; 2), (-2; -4) są rozwiązaniami rozważanego równania, natomiast para (1; 5) nie jest rozwiązaniem.
Aby znaleźć inne pary rozwiązań tego równania, należy wyrazić jedną zmienną w kategoriach drugiej - na przykład x w kategoriach y. W rezultacie otrzymujemy równanie
x = 10 + 3 lata. Obliczmy wartości x, wybierając dowolne wartości y.
Jeśli y = 7, to x = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31.
Jeśli y = -2, to x = 10 + 3 ∙ (-2) = 10 – 6 = 4.
Zatem pary (31; 7), (4; -2) są również rozwiązaniami danego równania.
Jeżeli równania z dwiema zmiennymi mają te same pierwiastki, wówczas takie równania nazywamy równoważnymi.
W przypadku równań z dwiema zmiennymi obowiązują twierdzenia o równoważnych przekształceniach równań.
Rozważmy wykres równania z dwiema zmiennymi.
Niech będzie dane równanie z dwiema zmiennymi f(x; y) = 0. Wszystkie jego rozwiązania można przedstawić za pomocą punktów na płaszczyźnie współrzędnych, uzyskując pewien zbiór punktów na płaszczyźnie. Ten zbiór punktów na płaszczyźnie nazywany jest wykresem równania f(x; y) = 0.
Zatem wykres równania y – x 2 = 0 jest parabolą y = x 2; wykres równania y – x = 0 jest linią prostą; wykres równania y – 3 = 0 jest linią prostą równoległą do osi x itd.
Równanie w postaci ax + by = c, gdzie x i y są zmiennymi, a a, b i c są liczbami, nazywa się liniowym; liczby a, b nazywane są współczynnikami zmiennych, c jest terminem wolnym.
Wykres równania liniowego ax + by = c wygląda następująco:
Wykreślmy równanie 2x – 3y = -6.
1. Ponieważ żaden ze współczynników zmiennej nie jest równy zero, wówczas wykres tego równania będzie linią prostą.
2. Aby skonstruować linię prostą, musimy znać co najmniej dwa jej punkty. Podstaw wartości x do równań i uzyskaj wartości y i odwrotnie:
jeśli x = 0, to y = 2; (0 ∙ x – 3y = -6);
jeśli y = 0, to x = -3; (2x – 3 ∙ 0 = -6). 
Mamy więc na wykresie dwa punkty: (0; 2) i (-3; 0).
3. Przeprowadźmy prostą przez uzyskane punkty i otrzymajmy wykres równania
2x – 3 lata = -6.
Jeżeli równanie liniowe ax + by = c ma postać 0 ∙ x + 0 ∙ y = c, to musimy rozważyć dwa przypadki:
1. c = 0. W tym przypadku dowolna para (x; y) spełnia równanie, dlatego wykresem równania jest cała płaszczyzna współrzędnych;
2. c ≠ 0. W tym przypadku równanie nie ma rozwiązania, co oznacza, że jego wykres nie zawiera ani jednego punktu.
blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.
§ 1 Dobór pierwiastków równań w sytuacjach rzeczywistych
Rozważmy tę realną sytuację:
Mistrz i uczeń wspólnie wykonali 400 niestandardowych części. Ponadto mistrz pracował przez 3 dni, a uczeń przez 2 dni. Ile części wykonała każda osoba?
Stwórzmy algebraiczny model tej sytuacji. Pozwól mistrzowi wyprodukować części w ciągu 1 dnia. A uczeń tkwi w szczegółach. Następnie mistrz wykona 3 części w 3 dni, a uczeń 2 części w 2 dni. Razem wyprodukują 3 + 2 części. Ponieważ zgodnie z warunkiem wyprodukowano ogółem 400 części, otrzymujemy równanie:
Wynikowe równanie nazywa się równaniem liniowym dwóch zmiennych. Tutaj musimy znaleźć parę liczb x i y, dla których równanie przyjmuje postać prawdziwej równości liczbowej. Zauważ, że jeśli x = 90, y = 65, to otrzymujemy równość:
3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400
Ponieważ uzyskano poprawną równość liczbową, rozwiązaniem tego równania będzie para liczb 90 i 65. Jednak znalezione rozwiązanie nie jest jedyne. Jeśli x = 96 i y = 56, to otrzymujemy równość:
96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400
Jest to również prawdziwa równość liczbowa, co oznacza, że para liczb 96 i 56 jest również rozwiązaniem tego równania. Ale para liczb x = 73 i y = 23 nie będzie rozwiązaniem tego równania. Tak naprawdę 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 da nam niepoprawną równość liczbową 265 = 400. Należy zauważyć, że jeśli rozważymy równanie w odniesieniu do tej rzeczywistej sytuacji, to pojawią się pary liczb, które będąc rozwiązanie tego równania nie będzie rozwiązaniem problemu. Na przykład kilka liczb:
x = 200 i y = -100
jest rozwiązaniem równania, ale student nie potrafi zrobić -100 części, a zatem taka para liczb nie może być odpowiedzią na pytanie. Zatem w każdej konkretnej sytuacji rzeczywistej konieczne jest rozsądne podejście do doboru pierwiastków równania.
Podsumujmy pierwsze wyniki:
Równanie w postaci ax + bу + c = 0, gdzie a, b, c są dowolnymi liczbami, nazywa się równaniem liniowym z dwiema zmiennymi.
Rozwiązaniem równania liniowego dwóch zmiennych jest para liczb odpowiadających x i y, dla których równanie zamienia się w prawdziwą równość liczbową.
§ 2 Wykres równania liniowego
Już sam zapis pary (x;y) skłania do zastanowienia się nad możliwością przedstawienia jej jako punktu o współrzędnych xy y na płaszczyźnie. Oznacza to, że możemy otrzymać model geometryczny konkretnej sytuacji. Rozważmy na przykład równanie:
2x + y - 4 = 0
Wybierzmy kilka par liczb, które będą rozwiązaniami tego równania i skonstruujmy punkty o znalezionych współrzędnych. Niech to będą punkty:
A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).
Zauważ, że wszystkie punkty leżą na tej samej prostej. Linia ta nazywana jest wykresem równania liniowego dwóch zmiennych. Jest to graficzny (lub geometryczny) model danego równania.
Jeśli para liczb (x;y) jest rozwiązaniem równania
ax + vy + c = 0, to punkt M(x;y) należy do wykresu równania. Można powiedzieć odwrotnie: jeśli punkt M(x;y) należy do wykresu równania ax + y + c = 0, to para liczb (x;y) jest rozwiązaniem tego równania.
Z kursu geometrii wiemy:
Do wykreślenia linii prostej potrzebne są 2 punkty, zatem do narysowania wykresu równania liniowego z dwiema zmiennymi wystarczą znajomości tylko 2 par rozwiązań. Jednak odgadywanie korzeni nie zawsze jest wygodną i racjonalną procedurą. Możesz działać według innej zasady. Ponieważ odcięta punktu (zmienna x) jest zmienną niezależną, można jej nadać dowolną dogodną wartość. Podstawiając tę liczbę do równania, znajdujemy wartość zmiennej y.
Podajmy na przykład równanie:
Niech x = 0, wtedy otrzymamy 0 - y + 1 = 0 lub y = 1. Oznacza to, że jeśli x = 0, to y = 1. Rozwiązaniem tego równania jest para liczb (0;1). Ustalmy inną wartość zmiennej x: x = 2. Otrzymujemy wówczas 2 - y + 1 = 0 lub y = 3. Para liczb (2;3) jest również rozwiązaniem tego równania. Korzystając z dwóch znalezionych punktów, można już zbudować wykres równania x - y + 1 = 0.
Możesz to zrobić: najpierw przypisz określoną wartość zmiennej y, a dopiero potem oblicz wartość x.
§ 3 Układ równań
Znajdź dwie liczby naturalne, których suma wynosi 11, a różnica wynosi 1.
Aby rozwiązać ten problem, najpierw tworzymy model matematyczny (mianowicie algebraiczny). Niech pierwszą liczbą będzie x, a drugą liczbą y. Następnie suma liczb x + y = 11 i różnica liczb x - y = 1. Ponieważ oba równania dotyczą tych samych liczb, warunki te muszą być spełnione jednocześnie. Zwykle w takich przypadkach stosuje się specjalny zapis. Równania zapisuje się jedno pod drugim i łączy w nawiasach klamrowych.
Taki zapis nazywa się układem równań.
Skonstruujmy teraz zbiory rozwiązań każdego równania, tj. wykresy każdego z równań. Weźmy pierwsze równanie:
Jeśli x = 4, to y = 7. Jeśli x = 9, to y = 2.
Narysujmy linię prostą przez punkty (4;7) i (9;2).
Weźmy drugie równanie x - y = 1. Jeśli x = 5, to y = 4. Jeśli x = 7, to y = 6. Rysujemy również linię prostą przez punkty (5;4) i (7;6 ). Otrzymaliśmy model geometryczny problemu. Interesująca nas para liczb (x;y) musi być rozwiązaniem obu równań. Na rysunku widzimy pojedynczy punkt leżący na obu prostych; jest to punkt przecięcia prostych.
Jego współrzędne to (6;5). Dlatego rozwiązaniem problemu będzie: pierwsza wymagana liczba to 6, druga to 5.
Lista wykorzystanej literatury:
- Mordkovich A.G., Algebra 7. klasa w 2 częściach, Część 1, Podręcznik dla instytucje edukacyjne/ A.G. Mordkowicz. – wyd. 10, poprawione – Moskwa, „Mnemosyne”, 2007
- Mordkovich A.G., Algebra 7. klasa w 2 częściach, część 2, Książka problemów dla instytucji edukacyjnych / [A.G. Mordkovich i inni]; pod redakcją A.G. Mordkovich – wydanie 10, poprawione – Moskwa, „Mnemosyne”, 2007
- JEJ. Tulchinskaya, Algebra 7. klasa. Ankieta Blitz: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących, wydanie 4, poprawione i rozszerzone, Moskwa, Mnemosyne, 2008
- Alexandrova L.A., Algebra 7. klasa. Tematyczny praca testowa V Nowa forma dla uczniów szkół ogólnokształcących, pod red. A.G. Mordkovich, Moskwa, „Mnemosyne”, 2011
- Aleksandrowa Los Angeles Algebra w klasie 7. Niezależna praca dla uczniów szkół ogólnokształcących, pod red. A.G. Mordkovich – wydanie VI, stereotypowe, Moskwa, „Mnemosyne”, 2010
