Wykres funkcji y 1 3x 2. Funkcje kwadratowe i sześcienne

Lekcja na temat: „Wykres i właściwości funkcji $y=x^3$. Przykłady rysowania wykresów”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń. Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 7
Podręcznik elektroniczny dla klasy 7 „Algebra w 10 minut”
Kompleks edukacyjny 1C „Algebra, klasy 7-9”

Własności funkcji $y=x^3$

Opiszmy własności tej funkcji:

1. x jest zmienną niezależną, y jest zmienną zależną.

2. Dziedzina definicji: oczywiste jest, że dla dowolnej wartości argumentu (x) można obliczyć wartość funkcji (y). Zatem dziedziną definicji tej funkcji jest cała oś liczbowa.

3. Zakres wartości: y może być dowolne. W związku z tym zakres wartości jest również całą osią liczbową.

4. Jeśli x= 0, to y= 0.

Wykres funkcji $y=x^3$

1. Stwórzmy tabelę wartości:

2. Dla dodatnich wartości x wykres funkcji $y=x^3$ jest bardzo podobny do paraboli, której gałęzie są bardziej „dociśnięte” do osi OY.

3. Ponieważ dla ujemnych wartości x funkcja $y=x^3$ ma przeciwne wartości, wykres funkcji jest symetryczny względem początku.

Zaznaczmy teraz punkty na płaszczyźnie współrzędnych i zbudujmy wykres (patrz rys. 1).

Krzywa ta nazywana jest parabolą sześcienną.

Przykłady

I. Na małym statku całkowicie zabrakło świeżej wody. Konieczne jest doprowadzenie wystarczającej ilości wody z miasta. Wodę zamawia się z wyprzedzeniem i płaci za pełną kostkę, nawet jeśli napełni się ją trochę mniej. Ile kostek powinienem zamówić, aby nie przepłacić za dodatkową kostkę i całkowicie zapełnić zbiornik? Wiadomo, że zbiornik ma tę samą długość, szerokość i wysokość, które wynoszą 1,5 m. Rozwiążmy to zadanie bez wykonywania obliczeń.

Rozwiązanie:

1. Narysujmy funkcję $y=x^3$.
2. Znajdź punkt A, współrzędną x, która jest równa 1,5. Widzimy, że współrzędna funkcji mieści się w przedziale od 3 do 4 (patrz ryc. 2). Musisz więc zamówić 4 kostki.

Wybierzmy na płaszczyźnie prostokątny układ współrzędnych i narysujmy wartości argumentu na osi odciętych X, a na rzędnej - wartości funkcji y = f(x).

Wykres funkcji y = f(x) to zbiór wszystkich punktów, których odcięte należą do dziedziny definicji funkcji, a rzędne są równe odpowiednim wartościom funkcji.

Innymi słowy wykres funkcji y = f (x) jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny, współrzędnych X, Na które spełniają relację y = f(x).

Na ryc. Rys. 45 i 46 przedstawiają wykresy funkcji y = 2x + 1 I y = x 2 - 2x.

Ściśle rzecz biorąc, należy rozróżnić wykres funkcji (której dokładną matematyczną definicję podano powyżej) od narysowanej krzywej, która zawsze daje jedynie mniej lub bardziej dokładny szkic wykresu (a nawet wtedy z reguły nie cały wykres, a jedynie jego część zlokalizowana w końcowych częściach płaszczyzny). Jednakże w dalszej części będziemy zazwyczaj mówić „wykres”, a nie „szkic wykresu”.

Korzystając z wykresu, możesz znaleźć wartość funkcji w punkcie. Mianowicie, jeśli o to chodzi x = a należy do dziedziny definicji funkcji y = f(x), a następnie znajdź numer fa)(tj. wartości funkcji w punkcie x = a) powinieneś to zrobić. Jest to konieczne przez punkt odciętej x = a narysuj linię prostą równoległą do osi rzędnych; ta prosta przetnie wykres funkcji y = f(x) w jednym punkcie; rzędna tego punktu będzie, zgodnie z definicją wykresu, równa fa)(ryc. 47).

Na przykład dla funkcji f(x) = x 2 - 2x korzystając z wykresu (ryc. 46) znajdujemy f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 itd.

Wykres funkcji wyraźnie ilustruje zachowanie i właściwości funkcji. Na przykład, biorąc pod uwagę rys. 46 jasne jest, że funkcja y = x 2 - 2x akceptuje wartości dodatnie Na X< 0 i o godz x > 2, ujemny - przy 0< x < 2; najmniejsza wartość funkcjonować y = x 2 - 2x przyjmuje o godz x = 1.

Aby wykreślić funkcję k(x) musisz znaleźć wszystkie punkty płaszczyzny, współrzędne X,Na które spełniają równanie y = f(x). W większości przypadków nie da się tego zrobić, ponieważ istnieje nieskończona liczba takich punktów. Dlatego wykres funkcji jest przedstawiony w przybliżeniu - z większą lub mniejszą dokładnością. Najprostsza jest metoda wykreślenia wykresu z wykorzystaniem kilku punktów. Polega ona na tym, że argument X podaj skończoną liczbę wartości - powiedzmy x 1, x 2, x 3,..., x k i utwórz tabelę zawierającą wartości wybranych funkcji.

Tabela wygląda następująco:

Po skompilowaniu takiej tabeli możemy zarysować kilka punktów na wykresie funkcji y = f(x). Następnie łącząc te punkty gładką linią otrzymujemy przybliżony widok wykresu funkcji y = f(x).

Należy jednak zaznaczyć, że metoda wykresu wielopunktowego jest bardzo zawodna. W rzeczywistości zachowanie wykresu pomiędzy zamierzonymi punktami i jego zachowanie poza odcinkiem pomiędzy wziętymi skrajnymi punktami pozostaje nieznane.

Przykład 1. Aby wykreślić funkcję y = f(x) ktoś skompilował tabelę wartości argumentów i funkcji:

Odpowiednie pięć punktów pokazano na ryc. 48.

Na podstawie położenia tych punktów doszedł do wniosku, że wykres funkcji jest linią prostą (pokazaną na rys. 48 linią przerywaną). Czy wniosek ten można uznać za wiarygodny? O ile nie istnieją dodatkowe względy na poparcie tego wniosku, trudno go uznać za wiarygodny. niezawodny.

Aby uzasadnić nasze stwierdzenie, rozważmy funkcję

Z obliczeń wynika, że wartości tej funkcji w punktach -2, -1, 0, 1, 2 dokładnie opisuje powyższa tabela. Wykres tej funkcji wcale nie jest jednak linią prostą (pokazuje to rys. 49). Innym przykładem może być funkcja y = x + l + sinπx; jego znaczenie opisano również w tabeli powyżej.

Przykłady te pokazują, że w „czystej” postaci metoda wykreślania wykresu z wykorzystaniem kilku punktów jest zawodna. Dlatego też, aby wykreślić wykres danej funkcji, zwykle postępuje się w następujący sposób. Najpierw badamy właściwości tej funkcji, za pomocą których możemy zbudować szkic wykresu. Następnie, obliczając wartości funkcji w kilku punktach (których wybór zależy od ustalonych właściwości funkcji), znajdują się odpowiednie punkty wykresu. Na koniec przez skonstruowane punkty rysuje się krzywą, wykorzystując właściwości tej funkcji.

Niektórym (najprostszym i najczęściej używanym) właściwościom funkcji używanych do wyszukiwania szkicu grafu przyjrzymy się później, ale teraz przyjrzymy się niektórym powszechnie stosowanym metodom konstruowania grafów.

Wykres funkcji y = |f(x)|.

Często konieczne jest wykreślenie funkcji y = |f(x)|, gdzie f(x) - dana funkcja. Przypomnijmy, jak to się robi. Definiując wartość bezwzględną liczby, możemy pisać

Oznacza to, że wykres funkcji y =|f(x)| można uzyskać z wykresu funkcji y = f(x) w następujący sposób: wszystkie punkty na wykresie funkcji y = f(x), którego rzędne są nieujemne, należy pozostawić bez zmian; dalej zamiast punktów wykresu funkcji y = f(x) mając współrzędne ujemne, należy skonstruować odpowiednie punkty na wykresie funkcji y = -f(x)(tj. część wykresu funkcji
y = f(x), która leży poniżej osi X, powinny być odzwierciedlone symetrycznie względem osi X).

Przykład 2. Wykres funkcji y = |x|.

Weźmy wykres funkcji y = x(ryc. 50, a) i część tego wykresu o godz X< 0 (leży pod osią X) symetrycznie odbite względem osi X. W rezultacie otrzymujemy wykres funkcji y = |x|(ryc. 50, b).

Przykład 3. Wykres funkcji y = |x 2 - 2x|.

Najpierw narysujmy funkcję y = x 2 - 2x. Wykres tej funkcji jest parabolą, której gałęzie są skierowane w górę, wierzchołek paraboli ma współrzędne (1; -1), jej wykres przecina oś x w punktach 0 i 2. W przedziale (0; 2) funkcja przyjmuje wartości ujemne, dlatego ta część wykresu jest odzwierciedlona symetrycznie względem osi odciętych. Rysunek 51 przedstawia wykres funkcji y = |x 2 -2x|, na podstawie wykresu funkcji y = x 2 - 2x

Wykres funkcji y = f(x) + g(x)

Rozważmy problem skonstruowania wykresu funkcji y = f(x) + g(x). jeśli podane są wykresy funkcji y = f(x) I y = g(x).

Należy zauważyć, że dziedzina definicji funkcji y = |f(x) + g(x)| to zbiór wszystkich wartości x, dla których zdefiniowane są obie funkcje y = f(x) i y = g(x), tj. ta dziedzina definicji jest przecięciem dziedzin definicji, funkcji f(x) i g(x).

Niech punkty (x 0 , y 1) I (x 0, y 2) należą odpowiednio do wykresów funkcji y = f(x) I y = g(x), tj. y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Wtedy punkt (x0;. y1 + y2) należy do wykresu funkcji y = f(x) + g(x)(Do f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. i dowolny punkt na wykresie funkcji y = f(x) + g(x) można uzyskać w ten sposób. Dlatego wykres funkcji y = f(x) + g(x) można uzyskać z wykresów funkcji y = f(x). I y = g(x) zastępując każdy punkt ( x n, y 1) grafika funkcyjna y = f(x) kropka (x n, y 1 + y 2), Gdzie y 2 = g(x n), czyli przesuwając każdy punkt ( x n, y 1) wykres funkcji y = f(x) wzdłuż osi Na według kwoty y 1 = g(x n). W tym przypadku brane są pod uwagę tylko takie punkty X n, dla którego zdefiniowano obie funkcje y = f(x) I y = g(x).

Ta metoda wykreślania funkcji y = f(x) + g(x) nazywa się dodawaniem wykresów funkcji y = f(x) I y = g(x)

Przykład 4. Na rysunku skonstruowano wykres funkcji metodą dodawania wykresów
y = x + sinx.

Podczas kreślenia funkcji y = x + sinx tak myśleliśmy f(x) = x, A g(x) = sinx. Aby wykreślić wykres funkcji, wybieramy punkty z odciętymi -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Wartości f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Wykonajmy obliczenia w wybranych punktach i umieśćmy wyniki w tabeli.

W złoty wiek Technologie informacyjne niewiele osób kupi papier milimetrowy i spędzi godziny na rysowaniu funkcji lub losowe wybieranie danych i po co zawracać sobie głowę tak żmudną pracą, skoro można zbudować wykres funkcji online. Ponadto liczenie milionów wartości wyrażeń w celu prawidłowego wyświetlenia jest prawie nierealne i trudne i pomimo wszelkich wysiłków wynikiem będzie linia przerywana, a nie krzywa. Ponieważ komputer jest w tym przypadku- niezastąpiony pomocnik.

Co to jest wykres funkcji

Funkcja to reguła, zgodnie z którą każdy element jednego zbioru jest powiązany z jakimś elementem innego zbioru, np. wyrażenie y = 2x + 1 ustanawia połączenie pomiędzy zbiorami wszystkich wartości x i wszystkimi wartościami z y, zatem jest to funkcja. Zatem wykresem funkcji będzie zbiór punktów, których współrzędne spełniają podane wyrażenie.

Na rysunku widzimy wykres funkcji y = x. Jest to linia prosta i każdy jej punkt ma swoje współrzędne na osi X i na osi Y. Bazując na definicji, jeśli podstawimy współrzędną X jakiegoś punktu w tym równaniu, wówczas otrzymujemy współrzędną tego punktu na osi Y.

Usługi online umożliwiające sporządzanie wykresów funkcji

Przyjrzyjmy się kilku popularnym i najlepszym usługom, które pozwalają szybko narysować wykres funkcji.

Lista otwiera się z najpopularniejszą usługą, która umożliwia wykreślenie wykresu funkcji za pomocą równania online. Umath zawiera tylko niezbędne narzędzia, takie jak skalowanie, poruszanie się wzdłuż płaszczyzny współrzędnych i przeglądanie współrzędnych punktu, na który wskazuje mysz.

Instrukcje:

Wpisz równanie w polu po znaku „=”.
Naciśnij przycisk „Zbuduj wykres”.

Jak widać wszystko jest niezwykle proste i przystępne, tuż pod wykresem podana jest składnia do zapisywania złożonych funkcji matematycznych: z modułem, trygonometryczna, wykładnicza. W razie potrzeby można także ustawić równanie metodą parametryczną lub zbudować wykresy w biegunowym układzie współrzędnych.

Yotx posiada wszystkie funkcje poprzedniej usługi, ale jednocześnie zawiera tak ciekawe innowacje jak utworzenie interwału wyświetlania funkcji, możliwość zbudowania wykresu na podstawie danych tabelarycznych, a także wyświetlenie tabeli z całymi rozwiązaniami.

Instrukcje:

Wybierz żądaną metodę ustawiania harmonogramu.
Wpisz swoje równanie.
Ustaw interwał.
Naciśnij przycisk "Zbudować".

Dla tych, którzy są zbyt leniwi, aby wymyślić, jak zapisać określone funkcje, ta pozycja oferuje usługę z możliwością wybrania tej, której potrzebujesz z listy jednym kliknięciem myszy.

Instrukcje:

Znajdź na liście potrzebną funkcję.
Kliknij go lewym przyciskiem myszy
W razie potrzeby wprowadź współczynniki w polu "Funkcjonować:".
Naciśnij przycisk "Zbudować".

W zakresie wizualizacji istnieje możliwość zmiany koloru wykresu, a także jego ukrycia lub całkowitego usunięcia.

Desmos to zdecydowanie najbardziej zaawansowana usługa do konstruowania równań online. Przesuwając kursor z wciśniętym lewym przyciskiem myszy po wykresie, można szczegółowo obejrzeć wszystkie rozwiązania równania z dokładnością do 0,001. Wbudowana klawiatura umożliwia szybkie wpisywanie potęg i ułamków zwykłych. Najważniejszą zaletą jest możliwość zapisania równania w dowolnym stanie bez sprowadzania go do postaci: y = f(x).

Instrukcje:

W lewej kolumnie kliknij prawym przyciskiem myszy pustą linię.
W lewym dolnym rogu kliknij ikonę klawiatury.
W panelu, który się pojawi, wprowadź wymagane równanie (aby wpisać nazwy funkcji, przejdź do sekcji „A B C”).
Harmonogram budowany jest w czasie rzeczywistym.

Wizualizacja jest po prostu idealna, adaptacyjna, widać, że projektanci pracowali nad aplikacją. Na plus możemy zaliczyć ogromną ilość możliwości masteringu, czego przykłady możecie zobaczyć w menu w lewym górnym rogu.

Istnieje wiele witryn do konstruowania wykresów funkcji, ale każdy może wybrać dla siebie w oparciu o wymaganą funkcjonalność i osobiste preferencje. Lista najlepszych została sporządzona tak, aby spełnić wymagania każdego matematyka, zarówno młodego, jak i starszego. Powodzenia w zrozumieniu „królowej nauk”!

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, postępowaniem sądowym i/lub na podstawie żądań publicznych lub żądań od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.