W poprzednim rozdziale wykazano, że wybierając na płaszczyźnie określony układ współrzędnych, można analitycznie wyrazić właściwości geometryczne charakteryzujące punkty rozpatrywanej prostej za pomocą równania pomiędzy aktualnymi współrzędnymi. W ten sposób otrzymujemy równanie prostej. W tym rozdziale przyjrzymy się równaniom linii prostych.

Aby utworzyć równanie prostej we współrzędnych kartezjańskich, należy w jakiś sposób ustawić warunki określające jej położenie względem osi współrzędnych.

Na początek wprowadzimy pojęcie współczynnika kątowego prostej, będącego jedną z wielkości charakteryzujących położenie prostej na płaszczyźnie.

Kąt nachylenia prostej do osi Ox nazwijmy kątem, o który należy obrócić oś Ox, aby pokrywała się z daną linią (lub była do niej równoległa). Jak zwykle, kąt rozważymy biorąc pod uwagę znak (znak zależy od kierunku obrotu: przeciwnie do ruchu wskazówek zegara lub zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Ponieważ dodatkowy obrót osi Ox o kąt 180° ponownie zrówna ją z linią prostą, to kąta nachylenia prostej do osi nie da się wybrać jednoznacznie (z dokładnością do wielokrotności ).

Tangens tego kąta jest wyznaczany jednoznacznie (ponieważ zmiana kąta nie zmienia jego tangensu).

Tangens kąta nachylenia prostej do osi Wółu nazywany jest współczynnikiem kątowym prostej.

Współczynnik kątowy charakteryzuje kierunek prostej (nie rozróżniamy tutaj dwóch wzajemnie przeciwnych kierunków prostej). Jeśli nachylenie linia jest równa zeru, wówczas linia jest równoległa do osi x. Przy dodatnim współczynniku kątowym kąt nachylenia prostej do osi Wołu będzie ostry (rozważamy tutaj najmniejszy wartość dodatnia kąt pochylenia) (ryc. 39); Co więcej, im większy współczynnik kątowy, tym większy kąt jego nachylenia do osi Wołu. Jeżeli współczynnik kątowy będzie ujemny, wówczas kąt nachylenia prostej do osi Wół będzie rozwarty (ryc. 40). Należy zauważyć, że prosta prostopadła do osi Wółu nie ma współczynnika kątowego (styczna kąta nie istnieje).

Nachylenie jest proste. W tym artykule przyjrzymy się zagadnieniom związanym z płaszczyzną współrzędnych zawartym w Unified State Examination z matematyki. Są to zadania dla:

— wyznaczanie współczynnika kątowego prostej, gdy znane są dwa punkty, przez które ona przechodzi;
— wyznaczenie odciętej lub rzędnej punktu przecięcia dwóch prostych na płaszczyźnie.

Czym jest odcięta i rzędna punktu, opisano w tym rozdziale. Rozważaliśmy w nim już kilka problemów związanych z płaszczyzną współrzędnych. Co musisz zrozumieć, biorąc pod uwagę rodzaj rozważanego problemu? Trochę teorii.

Równanie prostej na płaszczyźnie współrzędnych ma postać:

Gdzie k – to jest nachylenie linii.

Następna chwila! Nachylenie prostej jest równe tangensowi kąta nachylenia prostej. Jest to kąt pomiędzy daną linią a osiąOh.

Zakres wynosi od 0 do 180 stopni.

To znaczy, jeśli sprowadzimy równanie linii prostej do postaci y = kx + B, wtedy zawsze możemy wyznaczyć współczynnik k (współczynnik nachylenia).

Ponadto, jeśli na podstawie warunku możemy wyznaczyć tangens kąta nachylenia prostej, to w ten sposób znajdziemy jej współczynnik kątowy.

Kolejny punkt teoretyczny!Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.Formuła wygląda następująco:

Rozważmy problemy (podobne do problemów z otwarty bank zadania):

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (–6;0) i (0;6).

Najbardziej racjonalnym sposobem rozwiązania tego problemu jest znalezienie tangensa kąta pomiędzy osią x a daną prostą. Wiadomo, że jest ona równa nachyleniu. Rozważmy trójkąt prostokątny utworzony przez linię prostą oraz osie x i oy:

Tangens kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek boku przeciwnego do boku sąsiedniego:

*Obie nogi są równe sześć (to są ich długości).

Z pewnością, to zadanie można rozwiązać za pomocą wzoru na znalezienie równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. Ale to będzie dłuższe rozwiązanie.

Odpowiedź 1

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (5;0) i (0;5).

Nasze punkty mają współrzędne (5;0) i (0;5). Oznacza,

Zapiszmy formułę w formie y = kx + B

Stwierdziliśmy, że nachylenie k = – 1.

Odpowiedź 1

Prosty A przechodzi przez punkty o współrzędnych (0;6) i (8;0). Prosty B przechodzi przez punkt o współrzędnych (0;10) i jest równoległy do ​​prostej A B z osią Oh.

W tym zadaniu można znaleźć równanie prostej A, określ dla niego nachylenie. Na linii prostej B nachylenie będzie takie samo, ponieważ są one równoległe. Następnie możesz znaleźć równanie linii B. A następnie, podstawiając do niego wartość y = 0, znajdź odciętą. ALE!

W w tym przypadku, łatwiej jest skorzystać z własności podobieństwa trójkątów.

Trójkąty prostokątne utworzone przez te (równoległe) linie i osie współrzędnych są podobne, co oznacza, że ​​stosunki ich odpowiednich boków są równe.

Wymagana odcięta wynosi 40/3.

Odpowiedź: 40/3

Prosty A przechodzi przez punkty o współrzędnych (0;8) i (–12;0). Prosty B przechodzi przez punkt o współrzędnych (0; –12) i jest równoległy do ​​prostej A. Znajdź odciętą punktu przecięcia prostej B z osią Oh.

W przypadku tego problemu najbardziej racjonalnym sposobem rozwiązania jest skorzystanie z własności podobieństwa trójkątów. Ale rozwiążemy to w inny sposób.

Znamy punkty, przez które przechodzi prosta A. Możemy napisać równanie prostej. Wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty ma postać:

Warunkowo punkty mają współrzędne (0;8) i (–12;0). Oznacza,

Przypomnijmy sobie to y = kx + B:

Mam ten kącik k = 2/3.

*Współczynnik kąta można znaleźć poprzez tangens kąta w trójkącie prostokątnym o ramionach 8 i 12.

Wiadomo, że linie równoległe mają równe współczynniki kąta. Oznacza to, że równanie prostej przechodzącej przez punkt (0;-12) ma postać:

Znajdź wartość B możemy zastąpić odciętą i rzędną do równania:

Zatem linia prosta wygląda następująco:

Teraz, aby znaleźć żądaną odciętą punktu przecięcia prostej z osią x, należy podstawić y = 0:

Odpowiedź: 18

Znajdź rzędną punktu przecięcia osi Oh oraz linię przechodzącą przez punkt B(10;12) i równoległą do linii przechodzącej przez początek i punkt A(10;24).

Znajdźmy równanie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (0;0) i (10;24).

Wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty ma postać:

Nasze punkty mają współrzędne (0;0) i (10;24). Oznacza,

Przypomnijmy sobie to y = kx + B

Współczynniki kąta prostych równoległych są równe. Oznacza to, że równanie prostej przechodzącej przez punkt B(10;12) ma postać:

Oznaczający B Znajdźmy, podstawiając współrzędne punktu B(10;12) do tego równania:

Otrzymaliśmy równanie prostej:

Aby znaleźć współrzędną punktu przecięcia tej linii z osią Jednostka organizacyjna należy podstawić do znalezionego równania X= 0:

*Najprostsze rozwiązanie. Stosując tłumaczenie równoległe, przesuwamy tę linię w dół wzdłuż osi Jednostka organizacyjna do punktu (10;12). Przesunięcie następuje o 12 jednostek, czyli punkt A(10;24) „przesunięty” do punktu B(10;12), a punkt O(0;0) „przeniesiony” do punktu (0;–12). Oznacza to, że uzyskana linia prosta przetnie oś Jednostka organizacyjna w punkcie (0;–12).

Wymagana rzędna to –12.

Odpowiedź: –12

Znajdź rzędną punktu przecięcia prostej podanej w równaniu

3x + 2у = 6, z osią Oj.

Współrzędna punktu przecięcia danej linii z osią Jednostka organizacyjna ma postać (0; Na). Podstawmy odciętą do równania X= 0 i znajdź współrzędną:

Współrzędna punktu przecięcia linii i osi Jednostka organizacyjna równa się 3.

*System został rozwiązany:

Odpowiedź: 3

Znajdź rzędną punktu przecięcia prostych podanych w równaniach

3x + 2 lata = 6 I y = – x.

Gdy dane są dwie proste i pytanie dotyczy znalezienia współrzędnych punktu przecięcia tych prostych, rozwiązuje się układ tych równań:

W pierwszym równaniu podstawiamy - X zamiast Na:

Współrzędna jest równa minus sześć.

Odpowiedź: – 6

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (–2;0) i (0;2).

Znajdź nachylenie prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych (2;0) i (0;2).

Linia a przechodzi przez punkty o współrzędnych (0;4) i (6;0). Linia b przechodzi przez punkt o współrzędnych (0;8) i jest równoległa do prostej a. Znajdź odciętą punktu przecięcia linii b z osią Wół.

Znajdź współrzędną punktu przecięcia osi oy i prostej przechodzącej przez punkt B (6;4) i równoległej do prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i punkt A (6;8).

1. Należy jasno zrozumieć, że współczynnik kątowy linii prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia linii prostej. Pomoże Ci to w rozwiązaniu wielu problemów tego typu.

2. Należy zrozumieć wzór na znalezienie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. Za jego pomocą zawsze znajdziesz równanie prostej, jeśli zostaną podane współrzędne jej dwóch punktów.

3. Pamiętaj, że współczynniki nachylenia prostych równoległych są równe.

4. Jak rozumiesz, w niektórych problemach wygodnie jest skorzystać z funkcji podobieństwa trójkątów. Problemy rozwiązuje się praktycznie ustnie.

5. Zadania, w których podane są dwie proste i konieczne jest znalezienie odciętej lub rzędnej punktu ich przecięcia, można rozwiązać graficznie. Oznacza to, że zbuduj je na płaszczyźnie współrzędnych (na kartce papieru w kwadracie) i wizualnie określ punkt przecięcia. *Ale ta metoda nie zawsze ma zastosowanie.

6. I na koniec. Jeśli podana jest linia prosta i współrzędne punktów jej przecięcia z osiami współrzędnych, wówczas w takich problemach wygodnie jest znaleźć współczynnik kątowy, znajdując tangens kąta w utworzonym trójkącie prostokątnym. Jak „zobaczyć” ten trójkąt przy różnych położeniach prostych na płaszczyźnie pokazano schematycznie poniżej:

>> Kąt prosty od 0 do 90 stopni<<

>> Kąt prosty od 90 do 180 stopni<<

To wszystko. Powodzenia!

Z poważaniem, Aleksander.

P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.

Ten program matematyczny znajduje równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x)\) w punkcie określonym przez użytkownika \(a\).

Program nie tylko wyświetla równanie styczne, ale także wyświetla proces rozwiązywania problemu.

Ten kalkulator online może być przydatny dla uczniów szkół średnich podczas przygotowań do sprawdzianów i egzaminów, podczas sprawdzania wiedzy przed egzaminem Unified State Exam, a także dla rodziców do kontrolowania rozwiązania wielu problemów z matematyki i algebry. A może wynajęcie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz jak najszybciej odrobić zadanie domowe z matematyki lub algebry? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowymi rozwiązaniami.

W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci, a jednocześnie wzrasta poziom edukacji w zakresie rozwiązywania problemów.

Jeśli chcesz znaleźć pochodną funkcji, mamy do tego zadanie Znajdź pochodną.

Jeżeli nie znasz zasad wprowadzania funkcji, polecamy się z nimi zapoznać.

Wprowadź wyrażenie funkcyjne \(f(x)\) i liczbę \(a\)

f(x)=
a=

Znajdź równanie styczne

Odkryto, że niektóre skrypty niezbędne do rozwiązania tego problemu nie zostały załadowane i program może nie działać.
Być może masz włączonego AdBlocka.
W takim przypadku wyłącz ją i odśwież stronę.

JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Aby rozwiązanie się pojawiło, musisz włączyć JavaScript.
Poniżej znajdują się instrukcje dotyczące włączania JavaScript w Twojej przeglądarce.

Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sekunda...

Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, możesz napisać o tym w Formularzu opinii.
Nie zapomnij wskaż, które zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Bezpośrednie nachylenie

Przypomnijmy, że wykres funkcji liniowej \(y=kx+b\) jest linią prostą. Wywoływana jest liczba \(k=tg \alpha \). nachylenie linii prostej, a kąt \(\alfa \) jest kątem pomiędzy tą linią a osią Wółu

Jeśli \(k>0\), to \(0 Jeśli \(kRównanie stycznej do wykresu funkcji

Jeżeli punkt M(a; f(a)) należy do wykresu funkcji y = f(x) i jeżeli w tym miejscu można poprowadzić styczną do wykresu funkcji, która nie jest prostopadła do osi x, wówczas z geometrycznego znaczenia pochodnej wynika, że ​​współczynnik kątowy stycznej jest równy f "(a). Następnie opracujemy algorytm układania równania stycznej do wykresu dowolnej funkcji.

Niech na wykresie tej funkcji będzie podana funkcja y = f(x) i punkt M(a; f(a)); niech wiadomo, że f”(a) istnieje. Utwórzmy równanie na styczną do wykresu danej funkcji w danym punkcie. Równanie to, podobnie jak równanie dowolnej prostej nierównoległej do osi rzędnych, ma postać y = kx + b, więc zadaniem jest znalezienie wartości współczynników k i b.

Ze współczynnikiem kątowym k wszystko jest jasne: wiadomo, że k = f"(a). Do obliczenia wartości b wykorzystujemy fakt, że pożądana prosta przechodzi przez punkt M(a; f(a)) Oznacza to, że jeśli podstawiamy współrzędne punktu M do równania prostej, otrzymamy poprawną równość: \(f(a)=ka+b\), czyli \(b = f(a) - ka\).

Pozostaje podstawić znalezione wartości współczynników k i b do równania linii prostej:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a )(x-a) $$

Otrzymaliśmy równanie stycznej do wykresu funkcji\(y = f(x) \) w punkcie \(x=a \).

Algorytm znajdowania równania stycznej do wykresu funkcji \(y=f(x)\)
1. Oznacz odciętą punktu stycznego literą \(a\)
2. Oblicz \(f(a)\)
3. Znajdź \(f"(x)\) i oblicz \(f"(a)\)
4. Podstaw znalezione liczby \(a, f(a), f"(a) \) do wzoru \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)

Książki (podręczniki) Streszczenia Jednolitego Egzaminu Państwowego i Jednolitego Państwowego Egzaminu Testy online Gry, łamigłówki Rysowanie wykresów funkcji Słownik pisowni języka rosyjskiego Słownik slangu młodzieżowego Katalog szkół rosyjskich Katalog średnich instytucji edukacyjnych Rosji Katalog rosyjskich uniwersytetów Lista problemów Znajdowanie GCD i LCM Upraszczanie wielomianu (mnożenie wielomianów)

Na rysunku przedstawiono kąt nachylenia prostej oraz wskazano wartość współczynnika kątowego dla różnych opcji położenia prostej względem prostokątnego układu współrzędnych.

Znalezienie nachylenia prostej o znanym kącie nachylenia do osi Wołu nie nastręcza żadnych trudności. Aby to zrobić, wystarczy przypomnieć sobie definicję współczynnika kątowego i obliczyć tangens kąta nachylenia.

Przykład.

Znajdź nachylenie prostej, jeśli jej kąt nachylenia do osi odciętej jest równy .

Rozwiązanie.

Według warunku. Następnie, z definicji nachylenia linii prostej, obliczamy .

Odpowiedź:

Zadanie znalezienia kąta nachylenia prostej do osi x przy znanym nachyleniu jest nieco bardziej skomplikowane. Tutaj należy wziąć pod uwagę znak nachylenia. Kiedy kąt nachylenia linii prostej jest ostry i można go znaleźć jako . Gdy kąt nachylenia linii prostej jest rozwarty i można go określić za pomocą wzoru .

Przykład.

Wyznacz kąt nachylenia prostej do osi odciętej, jeżeli jej nachylenie jest równe 3.

Rozwiązanie.

Ponieważ pod warunkiem współczynnik kątowy jest dodatni, kąt nachylenia linii prostej do osi Wołu jest ostry. Obliczamy to za pomocą wzoru.

Odpowiedź:

Przykład.

Nachylenie prostej wynosi . Określ kąt nachylenia prostej do osi Wołu.

Rozwiązanie.

Oznaczmy k jest współczynnikiem kątowym linii prostej, - kątem nachylenia tej prostej do dodatniego kierunku osi Ox. Ponieważ , następnie korzystamy ze wzoru na obliczenie kąta nachylenia prostej następujący typ . Podstawiamy do niego dane z warunku: .

Odpowiedź:

Równanie prostej ze współczynnikiem kątowym.

Równanie prostej ze spadkiem ma postać , gdzie k jest nachyleniem prostej, b jest liczbą rzeczywistą. Korzystając z równania prostej ze współczynnikiem kątowym, można określić dowolną linię prostą, która nie jest równoległa do osi Oy (dla prostej równoległej do osi rzędnych współczynnik kątowy nie jest definiowany).

Spójrzmy na znaczenie wyrażenia: „linia prosta na płaszczyźnie system stały współrzędne podaje równanie ze współczynnikiem kątowym w postaci „. Oznacza to, że równanie jest spełnione przez współrzędne dowolnego punktu na prostej i nie jest spełnione przez współrzędne żadnego innego punktu na płaszczyźnie. Zatem, jeżeli podstawiając współrzędne punktu uzyskamy poprawną równość, to przez ten punkt przechodzi prosta. W przeciwnym razie punkt nie leży na prostej.

Przykład.

Linię prostą wyznacza się za pomocą równania o nachyleniu. Czy punkty również należą do tej prostej?

Rozwiązanie.

Podstawmy współrzędne punktu do pierwotnego równania prostej z nachyleniem: . Otrzymaliśmy poprawną równość, dlatego punkt M 1 leży na prostej.

Podstawiając współrzędne punktu, otrzymujemy niepoprawną równość: . Zatem punkt M 2 nie leży na prostej.

Odpowiedź:

Kropka M 1 należy do prostej, M 2 nie.

Należy zauważyć, że przez punkt przechodzi prosta określona równaniem prostej ze współczynnikiem kątowym, gdyż podstawiając jej współrzędne do równania otrzymujemy poprawną równość: .

Zatem równanie linii prostej ze współczynnikiem kątowym definiuje na płaszczyźnie linię prostą przechodzącą przez punkt i tworzącą kąt z dodatnim kierunkiem osi x, oraz .

Jako przykład zobrazujmy linię prostą określoną przez równanie prostej ze współczynnikiem kątowym postaci . Linia ta przechodzi przez punkt i ma nachylenie radianów (60 stopni) w kierunku dodatnim osi Wół. Jego nachylenie jest równe .

Równanie prostej z nachyleniem przechodzącej przez dany punkt.

Teraz rozwiążemy bardzo ważny problem: otrzymamy równanie prostej o zadanym nachyleniu k i przechodzącej przez punkt .

Ponieważ prosta przechodzi przez punkt, równość jest prawdziwa . Nie znamy liczby b. Aby się tego pozbyć, od lewej i prawej strony równania prostej ze współczynnikiem nachylenia odejmujemy lewą i prawą stronę ostatniej równości. W tym przypadku otrzymujemy . Ta równość jest równanie prostej o zadanym nachyleniu k, która przechodzi przez dany punkt.

Spójrzmy na przykład.

Przykład.

Zapisz równanie prostej przechodzącej przez punkt, której nachylenie wynosi -2.

Rozwiązanie.

Od stanu jaki mamy . Wtedy równanie prostej ze współczynnikiem kątowym przyjmie postać .

Odpowiedź:

Przykład.

Napisz równanie prostej, jeśli wiadomo, że przechodzi ona przez punkt, a kąt nachylenia do dodatniego kierunku osi Ox jest równy .

Rozwiązanie.

Najpierw obliczmy nachylenie prostej, której równania szukamy (rozwiązaliśmy ten problem w poprzednim akapicie tego artykułu). A-przeorat . Mamy teraz wszystkie dane do zapisania równania prostej ze współczynnikiem kąta:

Odpowiedź:

Przykład.

Zapisz równanie prostej ze współczynnikiem kątowym przechodzącym przez punkt równoległy do ​​tej prostej.

Rozwiązanie.

Oczywiście kąty nachylenia linii równoległych do osi Wółu pokrywają się (w razie potrzeby zobacz artykuł Równoległość linii), dlatego współczynniki kątowe linii równoległych są równe. Następnie nachylenie prostej, której równanie musimy uzyskać, jest równe 2, ponieważ nachylenie prostej jest równe 2. Teraz możemy utworzyć wymagane równanie prostej o nachyleniu:

Odpowiedź:

Przejście od równania prostej ze współczynnikiem kąta do innych typów równań prostej i odwrotnie.

Pomimo całej znajomości równanie linii prostej ze współczynnikiem kątowym nie zawsze jest wygodne w użyciu przy rozwiązywaniu problemów. W niektórych przypadkach problemy łatwiej jest rozwiązać, gdy równanie prostej przedstawi się w innej formie. Na przykład równanie linii prostej ze współczynnikiem kątowym nie pozwala od razu zapisać współrzędnych wektora kierującego linii prostej lub współrzędnych wektora normalnego linii prostej. Dlatego należy nauczyć się przechodzić od równania prostej ze współczynnikiem kąta do innych typów równań tej prostej.

Z równania prostej ze współczynnikiem kątowym łatwo otrzymać równanie kanoniczne prostej na płaszczyźnie postaci . Aby to zrobić, przesuwamy wyraz b z prawej strony równania na lewą stronę z przeciwnym znakiem, a następnie dzielimy obie strony powstałej równości przez nachylenie k: . Działania te prowadzą nas od równania prostej ze współczynnikiem kąta do równania kanonicznego prostej.

Przykład.

Podaj równanie prostej ze współczynnikiem kąta do postaci kanonicznej.

Rozwiązanie.

Dokonajmy niezbędnych przekształceń: .

Odpowiedź:

Przykład.

Linię prostą wyznacza się poprzez równanie linii prostej ze współczynnikiem kątowym. Czy wektor jest wektorem normalnym tej prostej?

Rozwiązanie.

Aby rozwiązać ten problem, przejdźmy od równania prostej ze współczynnikiem kąta do ogólnego równania tej prostej: . Wiemy, że współczynniki zmiennych x i y w ogólnym równaniu prostej są odpowiadającymi współrzędnymi wektora normalnego tej prostej, czyli wektora normalnego prostej . Oczywiste jest, że wektor jest współliniowy z wektorem, ponieważ relacja jest ważna (jeśli to konieczne, zobacz artykuł). Zatem pierwotny wektor jest również normalnym wektorem liniowym , a zatem jest wektorem normalnym i pierwotną linią.

Odpowiedź:

Tak to jest.

A teraz rozwiążemy problem odwrotny - problem redukcji równania prostej na płaszczyźnie do równania prostej ze współczynnikiem kąta.

Z ogólnego równania prostej postaci , w którym bardzo łatwo dojść do równania ze współczynnikiem nachylenia. Aby to zrobić, musisz rozwiązać ogólne równanie prostej względem y. W tym przypadku otrzymujemy . Otrzymana równość jest równaniem linii prostej o współczynniku kątowym równym .

Równanie prostej na płaszczyźnie.
Wektor kierunku jest prosty. Normalny wektor

Linia prosta na płaszczyźnie jest jedną z najprostszych figury geometryczne, znane Ci od klasy młodsze, a dzisiaj dowiemy się, jak sobie z tym poradzić, korzystając z metod geometrii analitycznej. Aby opanować materiał, musisz umieć zbudować linię prostą; wie, jakie równanie definiuje linię prostą, w szczególności linię prostą przechodzącą przez początek współrzędnych oraz linie proste równoległe do osi współrzędnych. Ta informacja można znaleźć w instrukcji Wykresy i własności funkcji elementarnych, stworzyłem go dla Mathana, ale sekcja dotycząca funkcji liniowej okazała się bardzo udana i szczegółowa. Dlatego drogie czajniki rozgrzejcie się najpierw tam. Poza tym trzeba mieć podstawową wiedzę nt wektory, w przeciwnym razie zrozumienie materiału będzie niepełne.

NA ta lekcja Przyjrzymy się sposobom utworzenia równania linii prostej na płaszczyźnie. Polecam nie zaniedbywać praktycznych przykładów (nawet jeśli wydaje się to bardzo proste), ponieważ przedstawię je elementarne i ważne fakty, metody techniczne, które będą wymagane w przyszłości, także w innych działach matematyki wyższej.

• Jak napisać równanie prostej ze współczynnikiem kąta?
• Jak ?
• Jak znaleźć wektor kierunku, korzystając z ogólnego równania linii prostej?
• Jak napisać równanie prostej, mając punkt i wektor normalny?

i zaczynamy:

Równanie prostej ze spadkiem

Nazywa się dobrze znaną „szkolną” formą równania linii prostej równanie prostej ze spadkiem. Przykładowo, jeśli z równania wynika linia prosta, to jej nachylenie wynosi: . Rozważmy znaczenie geometryczne tego współczynnika i jak jego wartość wpływa na położenie linii:

Udowodniono to na kursie geometrii nachylenie prostej jest równe tangens kąta pomiędzy dodatnim kierunkiem osii ta linia: , a kąt „odkręca się” w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Aby nie zaśmiecać rysunku, narysowałem kąty tylko dla dwóch prostych. Rozważmy „czerwoną” linię i jej nachylenie. Zgodnie z powyższym: (kąt „alfa” jest oznaczony zielonym łukiem). Dla „niebieskiej” prostej ze współczynnikiem kąta równość jest prawdziwa (kąt „beta” jest oznaczony brązowym łukiem). A jeśli znana jest tangens kąta, w razie potrzeby łatwo ją znaleźć i sam kącik używając funkcja odwrotna– arcustangens. Jak mówią, tabela trygonometryczna lub mikrokalkulator w twoich rękach. Zatem, współczynnik kątowy charakteryzuje stopień nachylenia linii prostej do osi odciętej.

Możliwe są następujące przypadki:

1) Jeśli nachylenie jest ujemne: wówczas linia, z grubsza mówiąc, biegnie od góry do dołu. Przykładami są „niebieskie” i „malinowe” linie proste na rysunku.

2) Jeśli nachylenie jest dodatnie: linia biegnie od dołu do góry. Przykłady - „czarne” i „czerwone” linie proste na rysunku.

3) Jeżeli nachylenie wynosi zero: , to równanie przyjmuje postać , a odpowiadająca mu prosta jest równoległa do osi. Przykładem jest „żółta” linia prosta.

4) Dla rodziny linii równoległych do osi (na rysunku nie ma przykładu poza samą osią) współczynnik kątowy nie istnieje (styczna do 90 stopni nie jest zdefiniowana).

Im większy współczynnik nachylenia w wartości bezwzględnej, tym bardziej stromy jest wykres liniowy..

Rozważmy na przykład dwie linie proste. Tutaj zatem linia prosta ma bardziej strome nachylenie. Przypominam, że moduł pozwala zignorować znak, który nas interesuje Wartości bezwzględne współczynniki kątowe.

Z kolei linia prosta jest bardziej stroma niż linie proste .

I odwrotnie: im mniejszy współczynnik nachylenia w wartości bezwzględnej, tym bardziej płaska jest linia prosta.

Do linii prostych nierówność jest prawdziwa, zatem linia prosta jest bardziej płaska. Zjeżdżalnia dla dzieci, aby nie zrobić sobie siniaków i guzów.

Dlaczego jest to konieczne?

Przedłuż swoją mękę Znajomość powyższych faktów pozwala od razu dostrzec swoje błędy, zwłaszcza błędy przy konstruowaniu wykresów – jeśli na rysunku okaże się „najwyraźniej coś jest nie tak”. Wskazane jest, abyś ty od razu było jasne, że np. linia prosta jest bardzo stroma i biegnie od dołu do góry, a linia prosta jest bardzo płaska, dociśnięta blisko osi i biegnie od góry do dołu.

W problemach geometrycznych często pojawia się kilka linii prostych, dlatego wygodnie jest je w jakiś sposób wyznaczyć.

Oznaczenia: linie proste są oznaczone jako małe z literami łacińskimi: . Popularną opcją jest oznaczanie ich tą samą literą z naturalnymi indeksami dolnymi. Na przykład pięć linii, które właśnie sprawdziliśmy, można oznaczyć przez .

Ponieważ każda linia prosta jest jednoznacznie określona przez dwa punkty, można ją oznaczyć za pomocą tych punktów: itp. Oznaczenie wyraźnie sugeruje, że punkty należą do linii.

Czas się trochę rozgrzać:

Jak napisać równanie prostej ze współczynnikiem kąta?

Jeżeli znany jest punkt należący do danej prostej oraz współczynnik kątowy tej prostej, to równanie tej prostej wyraża się wzorem:

Przykład 1

Napisz równanie prostej o nachyleniu, jeżeli wiadomo, że punkt należy do danej prostej.

Rozwiązanie: Ułóżmy równanie prostej, korzystając ze wzoru . W tym przypadku:

Odpowiedź:

Badanie robi się to prosto. Najpierw patrzymy na wynikowe równanie i upewniamy się, że nasze nachylenie jest na swoim miejscu. Po drugie, współrzędne punktu muszą spełniać to równanie. Podstawmy je do równania:

Otrzymuje się poprawną równość, co oznacza, że ​​punkt spełnia otrzymane równanie.

Wniosek: Równanie zostało znalezione poprawnie.

Bardziej skomplikowany przykład do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 2

Napisz równanie prostej, jeśli wiadomo, że jej kąt nachylenia do dodatniego kierunku osi wynosi , a punkt należy do tej prostej.

Jeśli będziesz miał jakieś trudności, przeczytaj ponownie materiał teoretyczny. Dokładniej, bardziej praktycznie, pomijam wiele dowodów.

Zadzwonił ostatni dzwonek, zakończyła się uroczystość wręczenia dyplomów, a za bramami naszej rodzimej szkoły czeka na nas sama geometria analityczna. Skończyły się żarty... A może dopiero zaczynają =)

Z nostalgią machamy piórem do znajomych i zapoznajemy się z ogólnym równaniem linii prostej. Ponieważ w geometrii analitycznej dokładnie to się stosuje:

Ogólne równanie prostej ma postać: , gdzie są pewne liczby. Jednocześnie współczynniki jednocześnie nie są równe zeru, ponieważ równanie traci sens.

Ubierzmy się w garnitur i powiążmy równanie ze współczynnikiem nachylenia. Najpierw przesuńmy wszystkie terminy na lewą stronę:

Termin z „X” należy umieścić na pierwszym miejscu:

W zasadzie równanie ma już postać , ale zgodnie z zasadami etykiety matematycznej współczynnik pierwszego wyrazu (w tym przypadku) musi być dodatni. Zmiana znaków:

Zapamiętaj tę funkcję techniczną! Sprawiamy, że pierwszy współczynnik (najczęściej) jest dodatni!

W geometrii analitycznej równanie prostej prawie zawsze będzie podane w formie ogólnej. Cóż, jeśli to konieczne, można to łatwo sprowadzić do postaci „szkolnej” ze współczynnikiem kątowym (z wyjątkiem linii prostych równoległych do osi rzędnych).

Zadajmy sobie pytanie co wystarczająco umiesz konstruować linię prostą? Dwa punkty. Ale o tym sprawa dzieci później, teraz trzyma się zasady strzałek. Każda linia prosta ma bardzo specyficzne nachylenie, do którego łatwo się „dostosować”. wektor.

Wektor równoległy do ​​prostej nazywany jest wektorem kierunkowym tej prostej. Jest oczywiste, że każda linia prosta ma nieskończoną liczbę wektorów kierunkowych i wszystkie będą współliniowe (współkierunkowe lub nie – to nie ma znaczenia).

Oznaczę wektor kierunkowy następująco: .

Ale jeden wektor nie wystarczy, aby zbudować linię prostą, wektor jest dowolny i nie jest powiązany z żadnym punktem na płaszczyźnie. Dlatego dodatkowo konieczna jest znajomość jakiegoś punktu należącego do prostej.

Jak napisać równanie prostej za pomocą punktu i wektora kierunku?

Jeżeli znany jest pewien punkt należący do prostej oraz wektor kierunkowy tej prostej, to równanie tej prostej można ułożyć ze wzoru:

Czasem się to nazywa równanie kanoniczne prostej .

Co zrobić, kiedy jedna ze współrzędnych jest równa zeru, zrozumiemy to na praktycznych przykładach poniżej. Swoją drogą, uwaga - oba na raz współrzędne nie mogą być równe zeru, ponieważ wektor zerowy nie określa określonego kierunku.

Przykład 3

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku

Rozwiązanie: Ułóżmy równanie prostej, korzystając ze wzoru. W tym przypadku:

Korzystając z właściwości proporcji pozbywamy się ułamków:

I doprowadzamy równanie do Ogólny wygląd:

Odpowiedź:

Z reguły w takich przykładach nie ma potrzeby rysowania, ale dla zrozumienia:

Na rysunku widzimy punkt początkowy, pierwotny wektor kierunku (można go wykreślić z dowolnego punktu na płaszczyźnie) oraz skonstruowaną linię prostą. Nawiasem mówiąc, w wielu przypadkach najwygodniej jest skonstruować linię prostą za pomocą równania ze współczynnikiem kątowym. Łatwo jest przekształcić nasze równanie w formę i łatwo wybrać inny punkt, aby skonstruować linię prostą.

Jak zauważono na początku akapitu, linia prosta ma nieskończenie wiele wektorów kierunkowych i wszystkie są współliniowe. Na przykład narysowałem trzy takie wektory: . Niezależnie od tego, jaki wektor kierunkowy wybierzemy, wynikiem będzie zawsze to samo równanie linii prostej.

Utwórzmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku:

Rozwiązanie proporcji:

Podziel obie strony przez –2 i otrzymaj znajome równanie:

Zainteresowani mogą w ten sam sposób testować wektory lub dowolny inny wektor współliniowy.

Teraz rozwiążmy problem odwrotny:

Jak znaleźć wektor kierunku, korzystając z ogólnego równania linii prostej?

Bardzo prosta:

Jeżeli prostą wyznacza równanie ogólne w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor jest wektorem kierunkowym tej prostej.

Przykłady znajdowania wektorów kierunkowych linii prostych:

To stwierdzenie pozwala nam znaleźć tylko jeden wektor kierunkowy z nieskończonej liczby, ale nie potrzebujemy więcej. Chociaż w niektórych przypadkach wskazane jest zmniejszenie współrzędnych wektorów kierunkowych:

Zatem równanie określa linię prostą równoległą do osi, a współrzędne powstałego wektora kierunkowego wygodnie dzieli się przez –2, uzyskując dokładnie wektor bazowy jako wektor kierunkowy. Logiczny.

Podobnie równanie określa linię prostą równoległą do osi i dzieląc współrzędne wektora przez 5, otrzymujemy wektor jednostkowy jako wektor kierunkowy.

Teraz zróbmy to sprawdzenie Przykładu 3. Przykład poszedł, więc przypominam, że w nim skompilowaliśmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku

Po pierwsze, korzystając z równania prostej rekonstruujemy jej wektor kierunkowy: – wszystko jest w porządku, otrzymaliśmy wektor pierwotny (w niektórych przypadkach wynikiem może być wektor współliniowy z pierwotnym, co zwykle łatwo zauważyć po proporcjonalności odpowiednich współrzędnych).

Po drugie, współrzędne punktu muszą spełniać równanie. Podstawiamy je do równania:

Uzyskano prawidłową równość, z czego bardzo się cieszymy.

Wniosek: Zadanie zostało wykonane poprawnie.

Przykład 4

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji. Zdecydowanie zaleca się sprawdzenie za pomocą omówionego właśnie algorytmu. Staraj się zawsze (jeśli to możliwe) sprawdzać wersję roboczą. Głupotą jest popełnianie błędów, których można w 100% uniknąć.

W przypadku, gdy jedna ze współrzędnych wektora kierunku wynosi zero, należy postępować bardzo prosto:

Przykład 5

Rozwiązanie: Wzór nie jest odpowiedni, ponieważ mianownik po prawej stronie wynosi zero. Jest wyjście! Korzystając z właściwości proporcji, przepisujemy formułę w formie, a resztę toczymy po głębokiej koleinie:

Odpowiedź:

Badanie:

1) Przywróć wektor kierunkowy linii:
– otrzymany wektor jest współliniowy z pierwotnym wektorem kierunku.

2) Podstaw współrzędne punktu do równania:

Otrzymuje się poprawną równość

Wniosek: zadanie wykonane poprawnie

Powstaje pytanie, po co zawracać sobie głowę formułą, skoro istnieje wersja uniwersalna, która sprawdzi się w każdym przypadku? Są dwa powody. Po pierwsze, formuła ma postać ułamka dużo lepiej zapamiętany. Po drugie, wadą uniwersalnej formuły jest to ryzyko pomyłki znacznie wzrasta podczas zastępowania współrzędnych.

Przykład 6

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie.

Wróćmy do wszechobecnych dwóch punktów:

Jak napisać równanie prostej wykorzystując dwa punkty?

Jeżeli znane są dwa punkty, to równanie prostej przechodzącej przez te punkty można ułożyć ze wzoru:

W rzeczywistości jest to rodzaj wzoru i oto dlaczego: jeśli znane są dwa punkty, to wektor będzie wektorem kierunku danej prostej. Na lekcji Wektory dla manekinów rozważaliśmy najprostsze zadanie– jak znaleźć współrzędne wektora z dwóch punktów. Zgodnie z tym problemem współrzędne wektora kierunku to:

Notatka : punkty można „zamienić” i zastosować formułę . Takie rozwiązanie będzie równoważne.

Przykład 7

Napisz równanie prostej, korzystając z dwóch punktów .

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru:

Łączenie mianowników:

I przetasuj talię:

Nadszedł czas, aby pozbyć się liczb ułamkowych. W takim przypadku musisz pomnożyć obie strony przez 6:

Otwórz nawiasy i przypomnij sobie równanie:

Odpowiedź:

Badanie jest oczywiste – współrzędne punktów początkowych muszą spełniać otrzymane równanie:

1) Zastąp współrzędne punktu:

Prawdziwa równość.

2) Zastąp współrzędne punktu:

Prawdziwa równość.

Wniosek: Równanie prostej jest zapisane poprawnie.

Jeśli przynajmniej jeden punktów nie spełnia równania, poszukaj błędu.

Warto zaznaczyć, że weryfikacja graficzna w tym przypadku jest trudna, gdyż konstruujemy linię prostą i sprawdzamy, czy punkty do niej należą , nie takie proste.

Zwrócę uwagę na jeszcze kilka technicznych aspektów rozwiązania. Być może w tym problemie bardziej opłaca się zastosować formułę lustrzaną i w tych samych punktach zrób równanie:

Mniej frakcji. Jeśli chcesz, możesz przeprowadzić rozwiązanie do końca, wynikiem powinno być to samo równanie.

Drugą kwestią jest spojrzenie na ostateczną odpowiedź i ustalenie, czy można ją jeszcze bardziej uprościć? Na przykład, jeśli otrzymasz równanie, warto je zmniejszyć o dwa: – równanie będzie definiować tę samą prostą. Jednak jest to już temat do rozmów względne położenie linii.

Otrzymawszy odpowiedź w przykładzie 7 na wszelki wypadek sprawdziłem, czy WSZYSTKIE współczynniki równania są podzielne przez 2, 3 lub 7. Chociaż najczęściej takich redukcji dokonuje się w trakcie rozwiązania.

Przykład 8

Napisz równanie prostej przechodzącej przez te punkty .

To przykład samodzielnego rozwiązania, które pozwoli lepiej zrozumieć i przećwiczyć techniki obliczeniowe.

Podobnie jak w poprzednim akapicie: jeśli we wzorze jeden z mianowników (współrzędna wektora kierunku) przyjmuje wartość zero, wówczas zapisujemy to w postaci . Ponownie zwróć uwagę, jak niezręcznie i zdezorientowana wygląda. Nie widzę większego sensu w podawaniu praktycznych przykładów, skoro właściwie już rozwiązaliśmy ten problem (patrz nr 5, 6).

Bezpośredni wektor normalny (wektor normalny)

Co jest normalne? W prostych słowach, normalna jest prostopadła. Oznacza to, że wektor normalny linii jest prostopadły do ​​danej linii. Oczywiście każda linia prosta ma ich nieskończoną liczbę (podobnie jak wektorów kierunkowych), a wszystkie wektory normalne linii prostej będą współliniowe (współkierunkowe lub nie, to nie ma znaczenia).

Radzenie sobie z nimi będzie jeszcze łatwiejsze niż z wektorami prowadzącymi:

Jeżeli prostą wyznacza równanie ogólne w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor jest wektorem normalnym tej prostej.

Jeżeli współrzędne wektora kierunkowego trzeba ostrożnie „wyciągnąć” z równania, wówczas współrzędne wektora normalnego można po prostu „usunąć”.

Wektor normalny jest zawsze prostopadły do ​​wektora kierunku linii. Sprawdźmy ortogonalność tych wektorów za pomocą produkt kropkowy:

Podam przykłady z tymi samymi równaniami, co dla wektora kierunku:

Czy można skonstruować równanie prostej, mając jeden punkt i wektor normalny? Czuję to w brzuchu, to możliwe. Jeśli znany jest wektor normalny, wówczas kierunek samej linii prostej jest jasno określony - jest to „sztywna konstrukcja” o kącie 90 stopni.

Jak napisać równanie prostej, mając punkt i wektor normalny?

Jeżeli znany jest pewien punkt należący do prostej oraz wektor normalny tej prostej, to równanie tej prostej wyraża się wzorem:

Tutaj wszystko udało się bez ułamków i innych niespodzianek. To jest nasz wektor normalny. Kochaj go. I szacunek =)

Przykład 9

Napisz równanie prostej, mając dany punkt i wektor normalny. Znajdź wektor kierunkowy linii.

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru:

Otrzymaliśmy ogólne równanie prostej, sprawdźmy:

1) „Usuń” współrzędne wektora normalnego z równania: – tak, rzeczywiście z warunku otrzymano wektor pierwotny (lub należy uzyskać wektor współliniowy).

2) Sprawdźmy, czy punkt spełnia równanie:

Prawdziwa równość.

Po upewnieniu się, że równanie jest poprawnie ułożone, wykonamy drugie, dalsze łatwa część zadania. Wyciągamy wektor kierujący linii prostej:

Odpowiedź:

Na rysunku sytuacja wygląda następująco:

W celach szkoleniowych podobne zadanie do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 10

Napisz równanie prostej wychodzącej z punktu i wektor normalny. Znajdź wektor kierunkowy linii.

Ostatnia część lekcji poświęcona będzie mniej powszechnym, ale także ważnym typom równań prostej na płaszczyźnie

Równanie prostej w odcinkach.
Równanie prostej w postaci parametrycznej

Równanie prostej w odcinkach ma postać , gdzie są niezerowe stałe. Niektórych typów równań nie można przedstawić w tej formie, na przykład bezpośredniej proporcjonalności (ponieważ wolny wyraz jest równy zeru i nie ma możliwości uzyskania jedynki po prawej stronie).

Jest to, mówiąc w przenośni, równanie „techniczne”. Typowym zadaniem jest przedstawienie ogólnego równania linii jako równania linii w odcinkach. Jak to jest wygodne? Równanie prostej w odcinkach pozwala szybko znaleźć punkty przecięcia prostej z osiami współrzędnych, co może być bardzo ważne w niektórych zagadnieniach matematyki wyższej.

Znajdźmy punkt przecięcia linii z osią. Resetujemy „y” do zera i równanie przyjmuje postać . Pożądany punkt jest uzyskiwany automatycznie: .

To samo z osią – punkt, w którym prosta przecina oś rzędnych.