Jak skonstruować kąt rozwarty równy danemu. Podstawowe zadania do budowy

Cele Lekcji:

• Kształtowanie umiejętności analizy przestudiowanego materiału i umiejętności zastosowania go do rozwiązywania problemów;
• Pokaż znaczenie badanych pojęć;
• Rozwój aktywności poznawczej i samodzielności w zdobywaniu wiedzy;
• Zainteresowanie tematem, poczucie piękna.

Cele Lekcji:

• Wykształcenie umiejętności konstruowania kąta równego danemu za pomocą linijki podziałki, cyrkla, kątomierza i trójkąta rysunkowego.
• Sprawdź umiejętność rozwiązywania problemów przez uczniów.

Plan lekcji:

1. Powtórzenie.
2. Konstruowanie kąta równego zadanemu.
3. Analiza.
4. Budowa pierwszego przykładu.
5. Budowa drugiego przykładu.

Powtórzenie.

Zastrzyk.

płaski róg- nieograniczona figura geometryczna utworzona przez dwa promienie (boki kąta) wychodzące z jednego punktu (wierzchołek kąta).

Kąt jest również nazywany figurą utworzoną przez wszystkie punkty płaszczyzny zamkniętej między tymi promieniami (ogólnie mówiąc, dwa takie promienie odpowiadają dwóm kątom, ponieważ dzielą płaszczyznę na dwie części. Jeden z tych kątów jest warunkowo nazywany wewnętrznym, a inne zewnętrzne.
Czasami, dla zwięzłości, kąt nazywany jest miarą kątową.

Do oznaczenia kąta służy ogólnie przyjęty symbol: , zaproponowany w 1634 roku przez francuskiego matematyka Pierre'a Erigona.

Zastrzyk- jest to figura geometryczna (ryc. 1), utworzona przez dwa promienie OA i OB (boki narożne), emanujące z jednego punktu O (wierzchołek narożny).

Kąt jest oznaczony symbolem i trzema literami oznaczającymi końce promieni i wierzchołek kąta: AOB (ponadto litera wierzchołka jest środkowa). Kąty są mierzone przez wielkość obrotu promienia OA wokół wierzchołka O, aż promień OA przejdzie do pozycji OB. Istnieją dwie powszechnie używane jednostki do pomiaru kątów: radiany i stopnie. Pomiar kątów w radianach, patrz poniżej pod „Długość łuku”, a także w rozdziale „Trygonometria”.

System stopni do pomiaru kątów.

Tutaj jednostką miary jest stopień (jego oznaczenie to °) - jest to obrót wiązki o 1/360 pełnego obrotu. Zatem pełny obrót belki wynosi 360 o. Jeden stopień dzieli się na 60 minut (notacja ‘); jedna minuta - odpowiednio przez 60 sekund (oznaczenie "). Kąt 90 ° (ryc. 2) nazywa się prawym; kąt mniejszy niż 90° (ryc. 3) nazywa się ostrym; kąt większy niż 90 ° (ryc. 4) nazywa się rozwartym.

Linie proste tworzące kąt prosty nazywamy wzajemnie prostopadłymi. Jeśli proste AB i MK są prostopadłe, oznaczamy to: AB MK.

Konstruowanie kąta równego zadanemu.

Przed rozpoczęciem budowy lub rozwiązaniem jakiegokolwiek problemu, niezależnie od tematu, konieczne jest wykonanie analiza. Zrozum, o co chodzi w zadaniu, przeczytaj je uważnie i powoli. Jeśli po raz pierwszy pojawiły się wątpliwości lub coś było niejasne lub jasne, ale nie do końca, zaleca się ponowne przeczytanie. Jeśli wykonujesz zadanie w klasie, możesz zapytać nauczyciela. W przeciwnym razie twoje zadanie, które źle zrozumiałeś, może nie zostać poprawnie rozwiązane lub możesz znaleźć coś, co nie jest tym, czego od ciebie wymagano i zostanie to uznane za nieprawidłowe i będziesz musiał je powtórzyć. Jak dla mnie - lepiej poświęcić trochę więcej czasu na studiowanie zadania, niż powtarzać zadanie ponownie.

Analiza.

Niech a będzie danym promieniem o wierzchołku A i niech (ab) będzie żądanym kątem. Wybieramy punkty B i C odpowiednio na promieniach a i b. Łącząc punkty B i C otrzymujemy trójkąt ABC. W równych trójkątach odpowiednie kąty są równe, a zatem następuje metoda konstrukcji. Jeżeli punkty C i B są wybrane w jakiś dogodny sposób na bokach danego kąta, z danego promienia do danej półpłaszczyzny konstruuje się trójkąt AB 1 C 1 równy ABC (a można to zrobić, jeśli wszystkie boki trójkąt są znane), wtedy problem zostanie rozwiązany.

Podczas wykonywania jakichkolwiek konstrukcje Zachowaj szczególną ostrożność i staraj się starannie wykonywać wszystkie konstrukcje. Ponieważ wszelkie niespójności mogą skutkować pewnymi błędami, odchyleniami, które mogą prowadzić do błędnej odpowiedzi. A jeśli zadanie tego typu jest wykonywane po raz pierwszy, błąd będzie bardzo trudny do znalezienia i naprawienia.

Budowa pierwszego przykładu.

Narysuj okrąg wyśrodkowany na wierzchołku danego kąta. Niech B i C będą punktami przecięcia okręgu z bokami kąta. Narysuj okrąg o promieniu AB wyśrodkowanym w punkcie A 1 - punkcie początkowym tego promienia. Punkt przecięcia tego okręgu z danym promieniem będzie oznaczony przez B 1 . Opiszmy okrąg o środku B 1 i promieniu BC. Punkt przecięcia C 1 skonstruowanych okręgów w określonej półpłaszczyźnie leży po stronie wymaganego kąta.

Trójkąty ABC i A 1 B 1 C 1 są równe z trzech stron. Kąty A i A 1 są odpowiednimi kątami tych trójkątów. Dlatego ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Dla większej przejrzystości możemy bardziej szczegółowo rozważyć te same konstrukcje.

Budowa drugiego przykładu.

Pozostaje również zadanie przełożenia z danej półprostej na daną półpłaszczyznę kąta równego danemu kątowi.

Budowa.

Krok 1. Narysujmy okrąg o dowolnym promieniu i środkach w wierzchołku A o podanym kącie. Niech B i C będą punktami przecięcia okręgu z bokami kąta. I narysuj odcinek BC.

Krok 2 Narysuj okrąg o promieniu AB wyśrodkowanym w punkcie O, punkcie początkowym tej półprostej. Oznacz punkt przecięcia okręgu z promieniem B 1 .

Krok 3 Opiszmy teraz okrąg o środku B 1 i promieniu BC. Niech punkt C 1 będzie punktem przecięcia skonstruowanych okręgów w określonej półpłaszczyźnie.

Krok 4 Narysujmy promień od punktu O do punktu C 1 . Kąt C 1 OB 1 będzie pożądany.

Dowód.

Trójkąty ABC i OB 1 C 1 są przystające jako trójkąty o odpowiednich bokach. I dlatego kąty CAB i C 1 OB 1 są równe.

Interesujący fakt:

W liczbach.

W przedmiotach otaczającego cię świata przede wszystkim dostrzegasz ich indywidualne właściwości, które odróżniają jeden przedmiot od drugiego.

Obfitość poszczególnych, indywidualnych właściwości przyćmiewa ogólne właściwości tkwiące w absolutnie wszystkich obiektach, dlatego zawsze trudniej jest je wykryć.

Jedną z najważniejszych wspólnych właściwości obiektów jest to, że wszystkie obiekty można policzyć i zmierzyć. Tę wspólną właściwość obiektów odzwierciedlamy w pojęciu liczby.

Ludzie opanowywali proces liczenia, czyli pojęcie liczby, bardzo powoli, przez wieki, w upartej walce o byt.

Aby policzyć, konieczne jest posiadanie nie tylko obiektów, które mają być liczone, ale już zdolność do odwracania uwagi przy rozpatrywaniu tych obiektów od wszystkich innych ich właściwości, z wyjątkiem liczby, a ta umiejętność jest wynikiem długiej historii rozwój oparty na doświadczeniu.

Każdy człowiek uczy się teraz liczyć za pomocą liczb niepostrzeżenie nawet w dzieciństwie, prawie jednocześnie z tym, jak zaczyna mówić, ale to liczenie, do którego jesteśmy przyzwyczajeni, przeszło długą drogę rozwoju i przybrało różne formy.

Był czas, kiedy do liczenia przedmiotów używano tylko dwóch liczb: jednej i dwóch. W proces dalszej rozbudowy systemu liczbowego zaangażowane były części ludzkiego ciała, a przede wszystkim palce, a jeśli nie było wystarczającej liczby takich „liczb”, to patyki, kamyki i inne rzeczy.

N. N. Miklukho-Maclay w jego książce „Wycieczki” opowiada o zabawnym sposobie liczenia używanym przez tubylców Nowej Gwinei:

Pytania:

1. Jaka jest definicja kąta?
2. Jakie są rodzaje narożników?
3. Jaka jest różnica między średnicą a promieniem?

Lista wykorzystanych źródeł:

1. Mazur K. I. „Rozwiązywanie głównych problemów konkurencyjnych w matematyce zbioru pod redakcją M. I. Scanaviego”
2. Pomysłowość matematyczna. licencjat Kordemskiego. Moskwa.
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometria, 7 - 9: podręcznik dla instytucji edukacyjnych"

Pracował na lekcji:

Lewczenko V.S.

Poturnak S.A.

Możesz zadać pytanie o nowoczesną edukację, wyrazić pomysł lub rozwiązać pilny problem na Forum Edukacji gdzie rada wychowawcza świeżej myśli i działania spotyka się na arenie międzynarodowej. Po utworzeniu blog, Nie tylko poprawisz swój status jako kompetentnego nauczyciela, ale także wniesiesz znaczący wkład w rozwój szkoły przyszłości. Gildia Liderów Edukacji otwiera drzwi do najwyższej rangi specjalistów i zaprasza do współpracy w kierunku tworzenia najlepszych szkół na świecie.

Przedmioty > Matematyka > Matematyka klasa 7

Konstruowanie kąta równego zadanemu. Dane: półprosta, kąt. Budowa. V. A. C. 7. Aby to udowodnić, wystarczy zauważyć, że trójkąty ABC i OB1C1 są przystające jako trójkąty o odpowiednio równych bokach. Kąty A i O są odpowiednimi kątami tych trójkątów. Należy: przesunąć z danej półprostej do danej półpłaszczyzny kąt równy podanemu kątowi. C1. W 1. A. 1. Narysuj dowolny okrąg wyśrodkowany na wierzchołku A o podanym kącie. 2. Niech B i C będą punktami przecięcia okręgu z bokami kąta. 3. Narysuj okrąg o promieniu AB wyśrodkowanym w punkcie O, punkcie początkowym tej półprostej. 4. Oznacz punkt przecięcia tego okręgu z podaną półprostą przez B1. 5. Opisz okrąg o środku B1 i promieniu BC. 6. Punkt przecięcia C1 skonstruowanych okręgów w określonej półpłaszczyźnie leży po stronie wymaganego kąta.

zjeżdżalnia 6 z prezentacji „Geometria „Problemy z budową””. Rozmiar archiwum z prezentacją to 234 KB.

Klasa geometrii 7

podsumowanie pozostałych prezentacji

„Trójkąt równoramienny” - Twierdzenie. Trójkąt to najprostsza zamknięta figura prostoliniowa. Rozwiązywanie problemów. Znajdź kąt KBA. Równość trójkątów. Zgadnij rebus. ABC jest równoramienny. Wymień przystające elementy trójkątów. Klasyfikacja trójkątów według boków. W trójkącie równoramiennym AMK AM = AK. Klasyfikacja trójkątów według wielkości kątów. Boki boczne. Trójkąt o równych wszystkich bokach. Trójkąt równoramienny.

"Segmenty pomiarowe i kąty" - Porównanie segmentów. http://www.physicsdepartment.ru/blog/images/0166.jpg. F3 = f4. MN > CD. 1m =. Środek cięcia. 1km. Jaka jest największa liczba części, na które można podzielić samolot za pomocą 4 odrębnych linii? Inne jednostki miary. Porównywanie kształtów za pomocą nakładki. Porównanie kątów. Strony VM i UE połączyły się. Na ile części można podzielić samolot za pomocą 3 różnych linii prostych? http://www.robertagor.it/calibro.jpg.

„Trójkąt prostokątny, jego właściwości” - Jeden z rogów trójkąta prostokątnego. Decyzja. Który trójkąt nazywa się trójkątem prostokątnym. Trójkąt prostokątny. Własności trójkąta prostokątnego. Rozgrzać się. Rozwój logicznego myślenia. Dwusieczna. Noga trójkąta prostokątnego. Zróbmy równanie. Przyjrzyjmy się bliżej rysunkowi. własność trójkąta prostokątnego. Mieszkańcy trzech domów. Trójkąt.

„Definiowanie kąta” - Pojęcia kątów. Przesuń promienie. Etap przygotowawczy lekcji. Zastrzyk. Wyjaśnienie nowego materiału. Kąt dzieli płaszczyznę. Pojęcia wewnętrznych i zewnętrznych powierzchni kąta. Zainteresowany tematem. Promień na rysunku dzieli kąt. Wyznaczanie kąta wyprostowanego. Rozwój logicznego myślenia. Kąt rozwarty. Ostry róg. Słowa wprowadzające. Pomaluj wnętrze narożnika. Kąty. Promień BM dzieli kąt ABC na dwa kąty.

„Drugi i trzeci znak równości trójkątów” - Boki. Mediana w trójkącie równoramiennym. Drugi i trzeci znak równości trójkątów. Decyzja. Trzy boki jednego trójkąta. Baza. Udowodnić. Własności trójkąta równoramiennego. Znaki równości trójkątów. Rozwiązywanie problemów. Dyktowanie matematyczne. Kąty. Zadanie. Obwód trójkąta równoramiennego.

"Kartezjański układ współrzędnych na płaszczyźnie" - Płaszczyzna, na której określony jest kartezjański układ współrzędnych. Współrzędne w życiu ludzi. Układ współrzędnych geograficznych. Kartezjański układ współrzędnych na płaszczyźnie. Projekt algebry. Naukowcy, którzy są autorami współrzędnych. Starożytny grecki astronom Klaudiusz. Komórka na boisku. Punkt przecięcia osi. Wprowadzenie prostszej notacji do algebry. Miejsce w kinie. Wartość w kartezjańskim układzie współrzędnych.

lekcja matematyki z geometrii

Podsumowanie lekcji „Konstruowanie kąta równego danemu. Budowa dwusiecznej kąta»

edukacyjne: zapoznanie uczniów z zadaniami konstrukcyjnymi, w rozwiązaniu których używane są tylko kompasy i linijka; naucz budować kąt równy zadanemu, budować dwusieczną kąta;

rozwijanie: rozwój myślenia przestrzennego, uwagi;

edukacyjne: wykształcenie pracowitości i dokładności.

Ekwipunek: tabele z kolejnością rozwiązywania zadań budowlanych; kompas i linijka.

Podczas zajęć:

1. Aktualizacja głównych pojęć teoretycznych (5 min).

Najpierw możesz przeprowadzić frontalną ankietę na następujące pytania:

• 1. Jaka figura nazywa się trójkątem?
• 2. Jakie trójkąty nazywamy równymi?
• 3. Sformułuj znaki równości trójkątów.
• 4. Który segment nazywa się dwusieczną trójkąta? Ile dwusiecznych ma trójkąt?
• 5. Zdefiniuj okrąg. Jaki jest środek, promień, cięciwa i średnica okręgu?

Aby powtórzyć znaki równości trójkątów, możesz zasugerować.

Ćwiczenie: wskaż, na której z figur (rys. 1) znajdują się równe trójkąty.

Ryż. 1

Powtórzenie pojęcia koła i jego elementów można zorganizować, proponując klasie: ćwiczenie, z jego wykonaniem przez jednego ucznia na tablicy: dana prosta a i punkt A leżący na prostej oraz punkt B nie leżący na linii. Narysuj okrąg o środku w punkcie A przechodzący przez punkt B. Zaznacz punkty przecięcia okręgu linią a. Nazwij promienie okręgu.

2. Nauka nowego materiału (praca praktyczna) (20 min)

Konstruowanie kąta równego zadanemu

Aby rozważyć nowy materiał, przydatne jest, aby nauczyciel miał stół (tabela nr 1 w załączniku 4). Praca ze stołem może być zorganizowana na różne sposoby: może zilustrować historię nauczyciela lub przykładowy zapis rozwiązania; możesz zaprosić uczniów, używając tabeli, aby opowiedzieli o rozwiązaniu problemu, a następnie samodzielnie uzupełnij go w zeszytach. Tabela może być wykorzystana podczas rozmowy kwalifikacyjnej z uczniami i przy powtarzaniu materiału.

Zadanie. Odsuń od podanego promienia kąt równy danemu.

Decyzja. Ten kąt z wierzchołkiem A i belką OM pokazano na rysunku 2.

Ryż. 2

Wymagane jest skonstruowanie kąta równego kątowi A, tak aby jeden z boków pokrywał się z promieniem OM. Narysuj okrąg o dowolnym promieniu wyśrodkowany na wierzchołku A o podanym kącie. Ten okrąg przecina boki narożnika w punktach B i C (ryc. 3, a). Następnie rysujemy okrąg o tym samym promieniu, którego środek znajduje się na początku tego promienia OM. Przecina belkę w punkcie D (ryc. 3, b). Następnie konstruujemy okrąg o środku D, którego promień jest równy BC. Okręgi o środkach O i D przecinają się w dwóch punktach. Oznaczmy jeden z tych punktów literą E. Udowodnijmy, że wymagany jest kąt MOE.

Rozważ trójkąty ABC i ODE. Odcinki AB i AC są promieniami okręgu o środku A, a OD i OE są promieniami okręgu o środku O. Ponieważ z założenia te okręgi mają równe promienie, to AB=OD, AC=OE. Ponadto, zgodnie z konstrukcją, BC \u003d DE. Dlatego ABC = ODE z trzech stron. Dlatego DOE = TY, czyli skonstruowany kąt MOE jest równy danemu kątowi A.

Ryż. 3

Konstruowanie dwusiecznej o podanym kącie

Zadanie. Skonstruuj dwusieczną danego kąta.

Decyzja. Narysuj okrąg o dowolnym promieniu wyśrodkowany na wierzchołku A o podanym kącie. Przetnie boki narożnika w punktach B i C. Następnie narysujemy dwa okręgi o tym samym promieniu BC ze środkami w punktach B i C (tylko części tych okręgów pokazano na rysunku 4). Przecinają się w dwóch punktach. Jeden z tych punktów leżący wewnątrz kąta BAC będzie oznaczony literą E. Udowodnijmy, że promień AE jest dwusieczną tego kąta.

Rozważ trójkąty ACE i ABE. Są równe z trzech stron. Rzeczywiście, AE jest wspólną stroną; AC i AB są równe, podobnie jak promienie tego samego okręgu; CE=BE według konstrukcji. Z równości trójkątów ACE i ABE wynika, że ​​CAE \u003d BAE, tj. promień AE jest dwusieczną danego kąta.

Ryż. 4

Nauczyciel może zaprosić uczniów do skorzystania z tej tabeli (tabela nr 2 w załączniku 4) do zbudowania dwusiecznej kąta.

Uczeń przy tablicy wykonuje konstrukcję, uzasadniając każdy krok wykonanych czynności.

Dowód pokazuje nauczyciel, trzeba szczegółowo zastanowić się nad dowodem na to, że w wyniku konstrukcji rzeczywiście uzyska się równe kąty.

3. Mocowanie (10 min)

Warto zaproponować uczniom następujące zadanie, aby skonsolidować omawiany materiał:

Zadanie. Podano kąt rozwarty AOB. Skonstruuj promień OX tak, aby kąty XOA i XOB były równymi kątami rozwartymi.

Zadanie. Użyj cyrkla i linijki, aby skonstruować kąty 30º i 60º.

Zadanie. Skonstruuj trójkąt o podanym boku, kącie przylegającym do jego boku oraz dwusiecznej trójkąta wychodzącego z wierzchołka o podanym kącie.

• 4. Podsumowanie (3 min)
• 1. Podczas lekcji rozwiązaliśmy dwa problemy budowlane. Badane:
  • a) zbuduj kąt równy podanemu;
  • b) skonstruować dwusieczną kąta.
• 2. W trakcie rozwiązywania tych problemów:
  • a) zapamiętał znaki równości trójkątów;
  • b) zastosował konstrukcję okręgów, segmentów, promieni.
• 5. Do domu (2 min): nr 150-152 (patrz załącznik 1).

Cel lekcji: Kształtowanie umiejętności budowania kąta równego zadanemu. Zadanie: Stwórz warunki do opanowania algorytmu konstrukcji za pomocą cyrkla i linijki o kącie równym zadanemu; stworzyć warunki do opanowania sekwencji działań przy rozwiązywaniu problemu konstrukcyjnego (analiza, konstrukcja, dowód); doskonalić umiejętność posługiwania się właściwościami koła, znakami równości trójkątów do rozwiązania problemu dowodowego; dają możliwość zastosowania nowych umiejętności w rozwiązywaniu problemów

W geometrii rozróżnia się zadania konstrukcyjne, które można rozwiązać tylko za pomocą dwóch narzędzi: cyrkla i linijki bez podziałek skali. Linijka umożliwia narysowanie dowolnej linii prostej, a także zbudowanie linii prostej przechodzącej przez dwa zadane punkty; za pomocą kompasu można narysować okrąg o dowolnym promieniu, a także okrąg ze środkiem w danym punkcie i promieniem równym danemu segmentowi. I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I

Dane: kąt A. A Skonstruowano: kąt O. B C O D E Dowód: A = O Dowód: rozważ trójkąty ABC i ODE. 1.AC=OE, jako promienie jednego okręgu. 2.AB=OD, jako promienie jednego okręgu. 3.BC=DE, jako promienie jednego okręgu. ABC \u003d ODE (3 nagrody) A \u003d O Zadanie 2. Odłóż kąt równy temu z danej belki

Udowodnijmy, że promień AB jest dwusieczną A 3. Dowód: Konstrukcja dodatkowa (połączmy punkt B z punktami D i C). Rozważ ASV i ADB: A B C D 1.AC=AD jako promienie jednego okręgu. 2.CB=DB, jako promienie jednego okręgu. 3. AB - strona wspólna. ASV \u003d ADB, zgodnie z III znakiem równości trójkątów Belka AB jest dwusieczną 4. Badania: Problem zawsze ma unikalne rozwiązanie.

Schemat rozwiązywania problemów konstrukcyjnych: Analiza (rysowanie pożądanej figury, ustalanie powiązań pomiędzy zadanymi i pożądanymi elementami, plan konstrukcyjny). Budynek zgodnie z planem. Dowód, że figura spełnia warunki problemu. Badania (kiedy i ile rozwiązań ma problem?).