Рано или късно всички деца в училище започват да учат дроби: тяхното събиране, деление, умножение и всички възможни операции, които могат да се извършват с дроби. За да осигурят правилна помощ на детето, самите родители не трябва да забравят как да разделят числата на дроби, в противен случай няма да можете да му помогнете по никакъв начин, а само ще го объркате. Ако трябва да запомните това действие, но просто не можете да поставите цялата информация в главата си единично правило, тогава тази статия ще ви помогне: ще се научите да разделяте число на дроб и ще видите ясни примери.
Как да разделим число на дроб
Запишете примера си като груба чернова, за да можете да правите бележки и изтривания. Не забравяйте, че цялото число се записва между клетките, точно в пресечната им точка, а дробните числа се записват всяко в своята клетка.
- IN този методтрябва да обърнете дроба с главата надолу, тоест да напишете знаменателя в числителя, а числителя в знаменателя.
- Знакът за деление трябва да се промени на умножение.
- Сега всичко, което трябва да направите, е да извършите умножението според правилата, които вече сте научили: числителят се умножава по цяло число, но не докосвате знаменателя.
Разбира се, в резултат на такова действие ще получите много голямо числов числителя. Не можете да оставите дроб в това състояние - учителят просто няма да приеме този отговор. Намалете дроба, като разделите числителя на знаменателя. Напишете полученото цяло число вляво от дробта в средата на клетките, а остатъкът ще бъде новият числител. Знаменателят остава непроменен.
Този алгоритъм е доста прост, дори за дете. След като го изпълни пет или шест пъти, детето ще запомни процедурата и ще може да я приложи към всякакви дроби.
Как да разделим число на десетична запетая
Има и други видове дроби - десетични. Разделянето на тях става по съвсем различен алгоритъм. Ако срещнете такъв пример, следвайте инструкциите:
- Първо преобразувайте и двете числа в десетични знаци. Това е лесно да се направи: вашият делител вече е представен като дроб и дивидент естествено числоразделяте със запетая, за да получите десетичен знак. Тоест, ако дивидентът е 5, получавате дробта 5,0. Трябва да разделите число с толкова цифри, колкото има след десетичната запетая и делителя.
- След това трябва да направите и двете десетични дроби естествени числа. В началото може да изглежда малко объркващо, но е най-много бърз начинделение, което ще ви отнеме секунди след няколко тренировки. Дробта 5.0 ще стане числото 50, дробта 6.23 ще стане 623.
- Направете разделението. Ако числата са големи или делението ще се случи с остатък, направете го в колона. По този начин можете ясно да видите всички действия този пример. Не е необходимо да поставяте запетая нарочно, тъй като тя ще се появи сама по време на дългия процес на разделяне.
Този тип деление първоначално изглежда твърде объркващо, тъй като трябва да превърнете дивидента и делителя в дроб и след това обратно в естествени числа. Но след кратка практика веднага ще започнете да виждате онези числа, които просто трябва да разделите едно на друго.
Не забравяйте, че способността за правилно разделяне на дроби и цели числа от тях може да бъде полезна много пъти в живота, следователно детето трябва да знае перфектно тези правила и прости принципи, така че в по-горните класове те да не се превърнат в пречка, поради която детето не може да решава по-сложни задачи.
Дробта е една или повече части от цяло, обикновено приемана за единица (1). Както при естествените числа, с дроби можете да извършвате всички основни аритметични операции (събиране, изваждане, деление, умножение), за да направите това, трябва да знаете характеристиките на работата с дроби и да правите разлика между техните видове. Има няколко вида дроби: десетични и обикновени или прости. Всеки тип дроби има своите специфики, но след като разберете как да боравите с тях, ще можете да решавате всякакви примери с дроби, тъй като ще знаете основните принципи за извършване на аритметични изчисления с дроби. Нека да разгледаме примери как да разделим дроб на цяло число с помощта на различни видоведроби.
Как да се разделим проста дробкъм естествено число?Обикновените или прости дроби са дроби, които са записани под формата на съотношение на числа, в които дивидентът (числителят) е посочен в горната част на дробта, а делителят (знаменателят) на дробта е посочен в долната част. Как да разделим такава дроб на цяло число? Нека да разгледаме един пример! Да кажем, че трябва да разделим 8/12 на 2.
За да направим това, трябва да извършим редица действия:
Така, ако сме изправени пред задачата да разделим дроб на цяло число, диаграмата на решението ще изглежда така: 
По подобен начин можете да разделите всяка обикновена (проста) дроб на цяло число.
Как да разделя десетична запетая на цяло число?
Десетичната дроб е дроб, която се получава чрез разделяне на единица на десет, хиляда и т.н. Аритметичните операции с десетични знаци са доста прости.
Нека да разгледаме пример как да разделим дроб на цяло число. Да кажем, че трябва да разделим десетичната дроб 0,925 на естественото число 5.
За да обобщим, нека се спрем на две основни точки, които са важни при извършване на операцията за деление на десетични дроби на цяло число: - за разделяне на десетична дроб на естествено число се използва дълго деление;
- Запетая се поставя в частното, когато е завършено делението на цялата част от дивидента.
§ 87. Събиране на дроби.
Събирането на дроби има много прилики със събирането на цели числа. Събирането на дроби е действие, състоящо се в това, че няколко дадени числа (членове) се комбинират в едно число (сума), съдържащо всички единици и дроби на единиците на термините.
Ще разгледаме последователно три случая:
1. Събиране на дроби с еднакви знаменатели.
2. Събиране на дроби с различни знаменатели.
3. Събиране на смесени числа.
1. Събиране на дроби с еднакви знаменатели.
Помислете за пример: 1/5 + 2/5.
Нека вземем отсечката AB (фиг. 17), вземем я за една и я разделим на 5 равни части, тогава частта AC от тази отсечка ще бъде равна на 1/5 от отсечката AB, а частта от същата отсечка CD ще бъде равна на 2/5 AB.
От чертежа става ясно, че ако вземем отсечката AD, тя ще бъде равна на 3/5 AB; но отсечката AD е точно сумата от отсечките AC и CD. Така че можем да напишем:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Като се имат предвид тези членове и получената сума, виждаме, че числителят на сумата е получен чрез добавяне на числителите на членовете, а знаменателят остава непроменен.
От това получаваме следното правило: За да съберете дроби с еднакви знаменатели, трябва да съберете техните числители и да оставите същия знаменател.
Да разгледаме един пример:
2. Събиране на дроби с различни знаменатели.
Нека съберем дробите: 3 / 4 + 3 / 8 Първо те трябва да бъдат намалени до най-малкия общ знаменател:
Междинната връзка 6/8 + 3/8 не може да бъде написана; написахме го тук за яснота.
По този начин, за да добавите дроби с различни знаменатели, първо трябва да ги намалите до най-малкия общ знаменател, да добавите техните числители и да маркирате общия знаменател.
Нека разгледаме пример (ще напишем допълнителни множители над съответните дроби):
3. Събиране на смесени числа.
Нека съберем числата: 2 3/8 + 3 5/6.
Нека първо приведем дробните части на нашите числа към общ знаменател и ги пренапишем отново:
Сега добавяме последователно целите и дробните части:
§ 88. Изваждане на дроби.
Изваждането на дроби се дефинира по същия начин като изваждането на цели числа. Това е действие, с помощта на което по сбор от два члена и един от тях се намира друг член. Нека разгледаме последователно три случая:
1. Изваждане на дроби с еднакви знаменатели.
2. Изваждане на дроби с различни знаменатели.
3. Изваждане на смесени числа.
1. Изваждане на дроби с еднакви знаменатели.
Да разгледаме един пример:
13 / 15 - 4 / 15
Да вземем отсечката AB (фиг. 18), да я приемем за единица и да я разделим на 15 равни части; тогава част AC от този сегмент ще представлява 1/15 от AB, а част AD от същия сегмент ще съответства на 13/15 AB. Нека отделим друг сегмент ED равен на 4/15 AB.
Трябва да извадим дробта 4/15 от 13/15. На чертежа това означава, че сегмент ED трябва да се извади от сегмент AD. В резултат ще остане сегмент AE, който е 9/15 от сегмент AB. Така че можем да напишем:
Примерът, който направихме, показва, че числителят на разликата се получава чрез изваждане на числителите, но знаменателят остава същият.
Следователно, за да извадите дроби с еднакви знаменатели, трябва да извадите числителя на изважданото от числителя на умаляваното и да оставите същия знаменател.
2. Изваждане на дроби с различни знаменатели.
Пример. 3/4 - 5/8
Първо, нека намалим тези дроби до най-малкия общ знаменател:
Междинните 6 / 8 - 5 / 8 са написани тук за яснота, но могат да бъдат пропуснати по-късно.
По този начин, за да извадите дроб от дроб, първо трябва да ги намалите до най-малкия общ знаменател, след това да извадите числителя на умаляваното от числителя на умаляваното и да подпишете общия знаменател под тяхната разлика.
Да разгледаме един пример:
3. Изваждане на смесени числа.
Пример. 10 3/4 - 7 2/3.
Нека редуцираме дробните части на умаляваното и изваждаемото до най-малкия общ знаменател:
Извадихме цяло от цяло и дроб от дроб. Но има случаи, когато дробната част на субтрахенда е по-голяма от дробната част на умаляваното. В такива случаи трябва да вземете една единица от цялата част на съкратеното, да я разделите на онези части, в които е изразена дробната част, и да я добавите към дробната част на умаленото. И тогава изваждането ще се извърши по същия начин, както в предишния пример:
§ 89. Умножение на дроби.
Когато изучаваме умножението с дроби, ще разгледаме следните въпроси:
1. Умножение на дроб по цяло число.
2. Намиране на дроб от дадено число.
3. Умножение на цяло число с дроб.
4. Умножение на дроб по дроб.
5. Умножение на смесени числа.
6. Понятието лихва.
7. Намиране на процента на дадено число. Нека ги разгледаме последователно.
1. Умножение на дроб по цяло число.
Умножаването на дроб по цяло число има същото значение като умножаването на цяло число по цяло число. Да се умножи дроб (множително) по цяло число (множител) означава да се създаде сума от еднакви членове, в която всеки член е равен на умноженото, а броят на членовете е равен на множителя.
Това означава, че ако трябва да умножите 1/9 по 7, тогава това може да се направи по следния начин:
Лесно получихме резултата, тъй като действието се сведе до събиране на дроби с еднакви знаменатели. следователно
Разглеждането на това действие показва, че умножаването на дроб по цяло число е еквивалентно на увеличаване на този дроб с толкова пъти, колкото е броят на единиците, съдържащи се в цялото число. И тъй като увеличаването на дроб се постига или чрез увеличаване на нейния числител
или чрез намаляване на знаменателя му 
, тогава можем или да умножим числителя по цяло число, или да разделим знаменателя на него, ако такова деление е възможно.
От тук получаваме правилото:
За да умножите дроб по цяло число, умножавате числителя по това цяло число и оставяте знаменателя същия или, ако е възможно, разделяте знаменателя на това число, оставяйки числителя непроменен.
При умножаване са възможни съкращения, например:
2. Намиране на дроб от дадено число.Има много задачи, в които трябва да намерите или изчислите част от дадено число. Разликата между тези задачи и другите е, че те дават броя на някои обекти или мерни единици и вие трябва да намерите част от това число, което също е посочено тук с определена дроб. За да улесним разбирането, първо ще дадем примери за такива проблеми и след това ще представим метод за тяхното решаване.
Задача 1.Имах 60 рубли; Похарчих 1/3 от тези пари за закупуване на книги. Колко струваха книгите?
Задача 2.Влакът трябва да измине разстояние между градовете A и B, равно на 300 km. Той вече е изминал 2/3 от това разстояние. Колко километра е това?
Задача 3.В селото има 400 къщи, 3/4 от тях са тухлени, останалите са дървени. Колко тухлени къщи има общо?
Това са някои от многото проблеми, които срещаме, за да намерим част от дадено число. Те обикновено се наричат задачи за намиране на част от дадено число.
Решение на проблем 1.От 60 rub. Похарчих 1/3 за книги; Това означава, че за да намерите цената на книгите, трябва да разделите числото 60 на 3:
Решаване на проблем 2.Въпросът на проблема е, че трябва да намерите 2/3 от 300 км. Нека първо изчислим 1/3 от 300; това се постига чрез разделяне на 300 км на 3:
300: 3 = 100 (това е 1/3 от 300).
За да намерите две трети от 300, трябва да удвоите полученото частно, т.е. да умножите по 2:
100 x 2 = 200 (това е 2/3 от 300).
Решаване на проблем 3.Тук трябва да определите броя на тухлените къщи, които съставляват 3/4 от 400. Нека първо намерим 1/4 от 400,
400: 4 = 100 (това е 1/4 от 400).
Да изчисля три четвъртиот 400, полученото частно трябва да се утрои, т.е. да се умножи по 3:
100 x 3 = 300 (това е 3/4 от 400).
Въз основа на решението на тези проблеми можем да изведем следното правило:
За да намерите стойността на дроб от дадено число, трябва да разделите това число на знаменателя на дробта и да умножите полученото частно по неговия числител.
3. Умножение на цяло число с дроб.
По-рано (§ 26) беше установено, че умножението на цели числа трябва да се разбира като събиране на еднакви членове (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). В този параграф (точка 1) беше установено, че умножаването на дроб с цяло число означава намиране на сумата от еднакви членове, равни на тази дроб.
И в двата случая умножението се състоеше в намиране на сумата от еднакви членове.
Сега преминаваме към умножаване на цяло число по дроб. Тук ще срещнем например умножение: 9 2 / 3. Ясно е, че предишната дефиниция на умножението не се отнася за този случай. Това се вижда от факта, че не можем да заменим такова умножение със събиране на равни числа.
Поради това ще трябва да дадем нова дефиниция на умножението, т.е. с други думи да отговорим на въпроса какво трябва да се разбира под умножение с дроб, как трябва да се разбира това действие.
Значението на умножаването на цяло число по дроб е ясно от следната дефиниция: умножаването на цяло число (умножено) по дроб (умножено) означава намиране на тази част от умноженото.
А именно, умножаването на 9 по 2/3 означава намиране на 2/3 от девет единици. В предишния параграф такива проблеми бяха решени; така че е лесно да разберем, че ще завършим с 6.
Но сега има интересен и важен въпрос: Защо такива на пръв поглед различни операции, като намиране на сбора от равни числа и намиране на част от число, се наричат в аритметиката с една и съща дума „умножение“?
Това се случва, защото предишното действие (повтаряне на число с членове няколко пъти) и новото действие (намиране на част от число) дават отговори на еднородни въпроси. Това означава, че тук изхождаме от съображенията, че еднородните въпроси или задачи се решават чрез едно и също действие.
За да разберете това, помислете за следния проблем: „1 м плат струва 50 рубли. Колко ще струват 4 м такъв плат?
Този проблем се решава чрез умножаване на броя на рублите (50) по броя на метрите (4), т.е. 50 x 4 = 200 (рубли).
Да вземем същата задача, но в нея количеството плат ще бъде изразено като дроб: „1 м плат струва 50 рубли. Колко ще струват 3/4 м такъв плат?”
Този проблем също трябва да бъде решен чрез умножаване на броя на рублите (50) по броя на метрите (3/4).
Можете да промените числата в него още няколко пъти, без да променяте смисъла на задачата, например вземете 9/10 m или 2 3/10 m и т.н.
Тъй като тези задачи имат еднакво съдържание и се различават само по числа, ние наричаме действията, използвани при решаването им, с една и съща дума – умножение.
Как се умножава цяло число по дроб?
Нека вземем числата, срещнати в последния проблем:
Според дефиницията трябва да намерим 3/4 от 50. Нека първо намерим 1/4 от 50, а след това 3/4.
1/4 от 50 е 50/4;
3/4 от числото 50 е .
Следователно.
Нека разгледаме друг пример: 12 5 / 8 =?
1/8 от числото 12 е 12/8,
5/8 от числото 12 е .
следователно
От тук получаваме правилото:
За да умножите цяло число по дроб, трябва да умножите цялото число по числителя на дробта и да направите този продукт числител и да подпишете знаменателя на тази дроб като знаменател.
Нека напишем това правило с букви:
За да стане това правило напълно ясно, трябва да се помни, че една дроб може да се разглежда като частно. Ето защо е полезно да сравним намереното правило с правилото за умножение на число с частно, което беше изложено в § 38
Важно е да запомните, че преди да извършите умножение, трябва да направите (ако е възможно) намаления, Например:
4. Умножение на дроб по дроб.Умножаването на дроб по дроб има същото значение като умножаването на цяло число по дроб, т.е., когато умножавате дроб по дроб, трябва да намерите дробта, която е във фактора от първата дроб (множимото).
А именно, умножаването на 3/4 по 1/2 (половината) означава намиране на половината от 3/4.
Как се умножава дроб по дроб?
Да вземем пример: 3/4 умножено по 5/7. Това означава, че трябва да намерите 5/7 от 3/4. Нека първо намерим 1/7 от 3/4 и след това 5/7
1/7 от числото 3/4 ще бъде изразено, както следва:
5/7 числата 3/4 ще бъдат изразени както следва:
По този начин,
Друг пример: 5/8, умножено по 4/9.
1/9 от 5/8 е,
4/9 от числото 5/8 е .
По този начин, 
От тези примери може да се изведе следното правило:
За да умножите дроб по дроб, трябва да умножите числителя по числителя и знаменателя по знаменателя и да направите първия продукт числител, а втория продукт знаменател на продукта.
Това е правилото в общ изгледможе да се напише така:
При умножаване е необходимо да се правят (ако е възможно) съкращения. Нека да разгледаме примери:
5. Умножение на смесени числа.Тъй като смесените числа могат лесно да бъдат заменени с неправилни дроби, това обстоятелство обикновено се използва при умножаване на смесени числа. Това означава, че в случаите, когато множителят, или множителят, или и двата фактора са изразени като смесени числа, те се заменят с неправилни дроби. Нека умножим например смесени числа: 2 1/2 и 3 1/5. Нека превърнем всеки от тях в правилна дроби след това ще умножим получените дроби според правилото за умножение на дроб по дроб:
правило.За да умножите смесени числа, първо трябва да ги преобразувате в неправилни дроби и след това да ги умножите според правилото за умножение на дроби по дроби.
Забележка.Ако един от множителите е цяло число, тогава умножението може да се извърши въз основа на закона за разпределение, както следва:
6. Понятието лихва.При решаване на задачи и извършване на различни практически изчисления ние използваме всякакви видове дроби. Но трябва да се има предвид, че много количества позволяват не какви да е, а естествени деления за тях. Например, можете да вземете една стотна (1/100) от рубла, това ще бъде копейка, две стотни са 2 копейки, три стотни са 3 копейки. Можете да вземете 1/10 от рублата, това ще бъде "10 копейки или десет копейки. Можете да вземете четвърт рубла, т.е. 25 копейки, половин рубла, т.е. 50 копейки (петдесет копейки). Но те практически не го вземат, например 2/7 от рублата, защото рублата не се дели на седмини.
Единицата за тегло, т.е. килограмът, позволява предимно десетични деления, например 1/10 кг или 100 г. И такива части от килограм като 1/6, 1/11, 1/13 не са често срещани.
Като цяло нашите (метрични) мерки са десетични и позволяват десетични деления.
Все пак трябва да се отбележи, че е изключително полезно и удобно в голямо разнообразие от случаи да се използва един и същ (унифициран) метод за подразделяне на количествата. Дългогодишният опит показва, че такова добре обосновано разделение е "стотното". Нека разгледаме няколко примера, отнасящи се до най-различни области на човешката практика.
1. Цената на книгите е намаляла с 12/100 от предишната цена.
Пример. Предишната цена на книгата беше 10 рубли. Намаля с 1 рубла. 20 копейки
2. Спестовните банки изплащат на вложителите 2/100 от сумата, депозирана за спестявания през годината.
Пример. 500 рубли се депозират в касата, доходът от тази сума за годината е 10 рубли.
3. Броят на завършилите едно училище е 5/100 от общия брой на учениците.
ПРИМЕР В училището имаше само 1200 ученици, от които 60 завършиха.
Стотната част от числото се нарича процент.
Думата "процент" е заимствана от латински езики неговият корен "цент" означава сто. Заедно с предлога (pro centum) тази дума означава „за сто“. Значението на такъв израз следва от факта, че първоначално в древен Римлихвите са парите, които длъжникът плаща на заемодателя „за всеки сто“. Думата „цент“ се чува в такива познати думи: центнер (сто килограма), сантиметър (да речем сантиметър).
Например, вместо да кажем, че през последния месец заводът е произвел 1/100 от всички произведени от него продукти, които са били дефектни, ще кажем следното: през последния месец заводът е произвел един процент от дефектите. Вместо да кажем: заводът е произвел 4/100 продукта повече от установения план, ще кажем: заводът е надхвърлил плана с 4 процента.
Горните примери могат да бъдат изразени по различен начин:
1. Цената на книгите е намаляла с 12 процента от предходната цена.
2. Спестовните банки плащат на вложителите 2 процента годишно върху сумата, депозирана в спестяванията.
3. Броят на завършилите едно училище е 5 процента от всички ученици.
За да се съкрати буквата, обичайно е да се пише символът % вместо думата „процент“.
Трябва обаче да запомните, че при изчисленията знакът % обикновено не се изписва; той може да бъде записан в формулировката на проблема и в крайния резултат. Когато извършвате изчисления, трябва да напишете дроб със знаменател 100 вместо цяло число с този символ.
Трябва да можете да замените цяло число с посочената икона с дроб със знаменател 100:
Обратно, трябва да свикнете да пишете цяло число с посочения символ вместо дроб със знаменател 100:
7. Намиране на процента на дадено число.
Задача 1.Училището получи 200 кубика. м дърва за огрев, като дървата за огрев от бреза са 30%. Колко брезови дърва имаше?
Значението на този проблем е, че брезовите дърва за огрев са само част от дървата за огрев, доставени на училището, и тази част се изразява в съотношение 30/100. Това означава, че имаме задача да намерим дроб от число. За да го решим, трябва да умножим 200 по 30/100 (задачите за намиране на част от число се решават чрез умножаване на числото по дробта.).
Това означава, че 30% от 200 е равно на 60.
Дробта 30/100, срещана в този проблем, може да бъде намалена с 10. Би било възможно да се направи това намаление от самото начало; решението на проблема не би се променило.
Задача 2.В лагера имаше 300 деца различни възрасти. Децата на 11 години са 21%, децата на 12 години са 61% и накрая децата на 13 години са 18%. Колко деца от всяка възраст имаше в лагера?
В тази задача трябва да извършите три изчисления, т.е. последователно да намерите броя на децата на 11 години, след това на 12 години и накрая на 13 години.
Това означава, че тук ще трябва да намерите частта от числото три пъти. Хайде да го направим:
1) Колко 11-годишни деца имаше?
2) Колко 12-годишни деца имаше?
3) Колко 13-годишни деца имаше?
След решаването на задачата е полезно да съберете намерените числа; тяхната сума трябва да бъде 300:
63 + 183 + 54 = 300
Трябва също да се отбележи, че сумата от процентите, дадени в изложението на проблема, е 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Това предполага, че общ бройдецата в лагера са взети като 100%.
3 a d a h a 3.Работникът получаваше 1200 рубли на месец. От тях той харчи 65% за храна, 6% за апартаменти и отопление, 4% за газ, електричество и радио, 10% за културни нужди и 15% спестява. Колко пари са изразходвани за нуждите, посочени в задачата?
За да решите тази задача, трябва да намерите дробта от 1200 5 пъти. Нека направим това.
1) Колко пари са похарчени за храна? Задачата гласи, че този разход е 65% от общата печалба, т.е. 65/100 от числото 1200. Нека направим изчислението:
2) Колко пари платихте за апартамент с парно? Разсъждавайки подобно на предишното, стигаме до следното изчисление:
3) Колко пари платихте за газ, електричество и радио?
4) Колко пари са похарчени за културни нужди?
5) Колко пари е спестил работникът?
За да проверите, е полезно да съберете числата в тези 5 въпроса. Сумата трябва да бъде 1200 рубли. Всички печалби се приемат за 100%, което е лесно да се провери, като се съберат процентните числа, дадени в изложението на проблема.
Решихме три проблема. Въпреки факта, че тези проблеми се занимаваха с различни неща (доставка на дърва за училището, брой деца на различна възраст, разходи на работниците), те бяха решени по един и същи начин. Това се случи, защото във всички задачи беше необходимо да се намерят няколко процента от дадените числа.
§ 90. Деление на дроби.
Докато изучаваме разделянето на дроби, ще разгледаме следните въпроси:
1. Разделете цяло число на цяло число.
2. Деление на дроб на цяло число
3. Деление на цяло число на дроб.
4. Деление на дроб с дроб.
5. Деление на смесени числа.
6. Намиране на число от дадената му дроб.
7. Намиране на число по неговия процент.
Нека ги разгледаме последователно.
1. Разделете цяло число на цяло число.
Както беше посочено в отдела за цели числа, деленето е действие, което се състои в това, че като се има предвид произведението на два фактора (дивидент) и един от тези фактори (делител), се намира друг фактор.
Разгледахме разделянето на цяло число на цяло число в раздела за цели числа. Там се натъкнахме на два случая на деление: деление без остатък или „изцяло“ (150: 10 = 15) и деление с остатък (100: 9 = 11 и 1 остатък). Следователно можем да кажем, че в областта на целите числа точното деление не винаги е възможно, тъй като дивидентът не винаги е произведение на делителя по цялото число. След като въведохме умножението с дроб, можем да считаме за възможен всеки случай на деление на цели числа (само делението на нула е изключено).
Например, разделянето на 7 на 12 означава намиране на число, чието произведение от 12 би било равно на 7. Такова число е дробта 7/12, защото 7/12 12 = 7. Друг пример: 14: 25 = 14 / 25, защото 14 / 25 25 = 14.
По този начин, за да разделите цяло число на цяло число, трябва да създадете дроб, чийто числител е равен на дивидента, а знаменателят е равен на делителя.
2. Деление на дроб на цяло число.
Разделете дробта 6/7 на 3. Съгласно определението за деление, дадено по-горе, тук имаме произведението (6/7) и един от множителите (3); трябва да намерите втори фактор, който, когато се умножи по 3, ще даде тази работа 6/7. Очевидно трябва да е три пъти по-малък от този продукт. Това означава, че поставената пред нас задача беше да намалим дробта 6/7 3 пъти.
Вече знаем, че съкращаването на дроб може да стане или чрез намаляване на числителя, или чрез увеличаване на знаменателя. Следователно можете да напишете:
IN в такъв случайЧислителят на 6 се дели на 3, така че числителят трябва да бъде разделен наполовина.
Нека вземем друг пример: 5/8 делено на 2. Тук числителят 5 не се дели на 2, което означава, че знаменателят ще трябва да се умножи по това число:
Въз основа на това може да се направи правило: За да разделите дроб на цяло число, трябва да разделите числителя на дробта на това цяло число.(ако е възможно), оставяйки същия знаменател или умножете знаменателя на дробта по това число, оставяйки същия числител.
3. Деление на цяло число на дроб.
Нека е необходимо да се раздели 5 на 1/2, т.е. да се намери число, което след умножаване по 1/2 ще даде продуктът 5. Очевидно това число трябва да е по-голямо от 5, тъй като 1/2 е правилна дроб , а при умножаване на число произведението на правилната дроб трябва да е по-малко от произведението, което се умножава. За да стане това по-ясно, нека напишем нашите действия, както следва: 5: 1 / 2 = х , което означава x 1/2 = 5.
Трябва да намерим такъв номер х , което, ако се умножи по 1/2, ще даде 5. Тъй като умножаването на определено число по 1/2 означава намиране на 1/2 от това число, тогава, следователно, 1/2 от неизвестното число х е равно на 5 и цялото число х два пъти повече, т.е. 5 2 = 10.
Така че 5: 1/2 = 5 2 = 10
Да проверим: 
Нека да разгледаме друг пример. Да кажем, че искате да разделите 6 на 2/3. Нека първо се опитаме да намерим желания резултат с помощта на чертежа (фиг. 19).
Фиг.19
Нека начертаем отсечка AB, равна на 6 единици, и разделим всяка единица на 3 равни части. Във всяка единица три трети (3/3) от целия сегмент AB е 6 пъти по-голям, т.е. д. 18/3. С помощта на малки скоби свързваме получените 18 сегмента от 2; Ще има само 9 сегмента. Това означава, че дробта 2/3 се съдържа в 6 единици 9 пъти, или, с други думи, дробта 2/3 е 9 пъти по-малка от 6 цели единици. следователно
Как да получите този резултат без чертеж само с изчисления? Нека разсъждаваме така: трябва да разделим 6 на 2/3, т.е. трябва да отговорим на въпроса колко пъти 2/3 се съдържа в 6. Нека първо разберем: колко пъти 1/3 се съдържа в 6? В цяла единица има 3 трети, а в 6 единици има 6 пъти повече, т.е. 18 трети; за да намерим това число, трябва да умножим 6 по 3. Това означава, че 1/3 се съдържа в b единици 18 пъти, а 2/3 се съдържа в b единици не 18 пъти, а наполовина толкова пъти, т.е. 18: 2 = 9 Следователно, когато разделихме 6 на 2/3, направихме следното:
От тук получаваме правилото за деление на цяло число на дроб. За да разделите цяло число на дроб, трябва да умножите това цяло число по знаменателя на дадената дроб и, превръщайки този продукт в числител, да го разделите на числителя на дадената дроб.
Нека напишем правилото с букви:
За да стане това правило напълно ясно, трябва да се помни, че една дроб може да се разглежда като частно. Ето защо е полезно да сравним намереното правило с правилото за деление на число на частно, което беше изложено в § 38. Моля, имайте предвид, че същата формула е получена там.
При разделяне са възможни съкращения, например:
4. Деление на дроб с дроб.
Да кажем, че трябва да разделим 3/4 на 3/8. Какво ще означава числото, получено от деленето? Ще отговори на въпроса колко пъти дробта 3/8 се съдържа в дробта 3/4. За да разберем този въпрос, нека направим чертеж (фиг. 20).
Нека вземем отсечка AB, вземем я за една, разделим я на 4 равни части и маркираме 3 такива части. Отсечката AC ще бъде равна на 3/4 от отсечката AB. Нека сега разделим всеки от четирите първоначални сегмента наполовина, тогава сегментът AB ще бъде разделен на 8 равни части и всяка такава част ще бъде равна на 1/8 от сегмента AB. Нека свържем 3 такива отсечки с дъги, тогава всяка от отсечките AD и DC ще бъде равна на 3/8 от отсечката AB. Чертежът показва, че отсечка, равна на 3/8, се съдържа в отсечка, равна на 3/4 точно 2 пъти; Това означава, че резултатът от деленето може да се запише по следния начин:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Нека да разгледаме друг пример. Да кажем, че трябва да разделим 15/16 на 3/32:
Можем да разсъждаваме така: трябва да намерим число, което след умножаване по 3/32 ще даде продукт, равен на 15/16. Нека напишем изчисленията така:
15 / 16: 3 / 32 = х
3 / 32 х = 15 / 16
3/32 неизвестен номер х са 15/16
1/32 от неизвестно число х е,
32 / 32 номера х грим .
следователно
По този начин, за да разделите дроб на дроб, трябва да умножите числителя на първата дроб по знаменателя на втората и да умножите знаменателя на първата дроб по числителя на втората и да направите първия продукт числител, а вторият знаменателят.
Нека напишем правилото с букви:
При разделяне са възможни съкращения, например:
5. Деление на смесени числа.
При разделянето на смесени числа те първо трябва да се превърнат в неправилни дроби, а след това получените дроби да се разделят по правилата за деление на дроби. Да разгледаме един пример:
Нека преобразуваме смесени числа в неправилни дроби:
Сега нека разделим:
По този начин, за да разделите смесени числа, трябва да ги преобразувате в неправилни дроби и след това да ги разделите, като използвате правилото за деление на дроби.
6. Намиране на число от дадената му дроб.
Сред различните задачи с дроби понякога има такива, в които е дадена стойността на някаква дроб от неизвестно число и трябва да намерите това число. Този тип задача ще бъде обратна на задачата за намиране на част от дадено число; там беше дадено число и се изискваше да се намери част от това число, тук беше дадена дроб от число и се изискваше да се намери самото това число. Тази идея ще стане още по-ясна, ако се обърнем към решаването на този тип проблеми.
Задача 1.През първия ден стъкларите са остъклили 50 прозореца, което е 1/3 от всички прозорци на построената къща. Колко прозореца има в тази къща?
Решение.Задачата гласи, че 50 остъклени прозореца съставляват 1/3 от всички прозорци на къщата, което означава, че общо има 3 пъти повече прозорци, т.е.
Къщата имаше 150 прозореца.
Задача 2.В магазина са продадени 1500 кг брашно, което е 3/8 от общата наличност на брашно в магазина. Какви бяха първоначалните доставки на брашно в магазина?
Решение.От условията на задачата става ясно, че 1500 кг продадено брашно представляват 3/8 от общата наличност; Това означава, че 1/8 от този резерв ще бъде 3 пъти по-малко, т.е. за да го изчислите, трябва да намалите 1500 3 пъти:
1500: 3 = 500 (това е 1/8 от резерва).
Очевидно цялото предлагане ще бъде 8 пъти по-голямо. следователно
500 8 = 4000 (кг).
Първоначалната наличност на брашно в склада беше 4000 кг.
От разглеждането на този проблем може да се изведе следното правило.
За да намерите число от дадена стойност на неговата дроб, е достатъчно да разделите тази стойност на числителя на дробта и да умножите резултата по знаменателя на дробта.
Решихме две задачи за намиране на число по дадена дроб. Такива задачи, както се вижда особено ясно от последната, се решават чрез две действия: деление (когато се намери една част) и умножение (когато се намери цялото число).
Въпреки това, след като сме научили делението на дроби, горните задачи могат да бъдат решени с едно действие, а именно: деление на дроб.
Например, последната задача може да бъде решена с едно действие по следния начин:
В бъдеще ще решаваме задачи за намиране на число от неговата дроб с едно действие – деление.
7. Намиране на число по неговия процент.
В тези задачи ще трябва да намерите число, като знаете няколко процента от това число.
Задача 1.В началото на тази година получих 60 рубли от спестовната каса. доход от сумата, която вложих в спестявания преди година. Колко пари съм вложил в спестовната каса? (Касите дават на вложителите 2% доходност на година.)
Смисълът на проблема е, че сложих определена сума пари в спестовна каса и останах там една година. След една година получих 60 рубли от нея. доход, който е 2/100 от парите, които депозирах. Колко пари вложих?
Следователно, знаейки част от тези пари, изразени по два начина (в рубли и дроби), трябва да намерим цялата, все още неизвестна сума. Това е обикновена задача за намиране на число, дадена в неговата дроб. Чрез разделяне се решават следните задачи:
Това означава, че в спестовната банка са депозирани 3000 рубли.
Задача 2.Риболовците са изпълнили месечния план с 64% за две седмици, като са уловили 512 тона риба. Какъв беше планът им?
От условията на задачата става ясно, че рибарите са изпълнили част от плана. Тази част се равнява на 512 тона, което е 64% от плана. Не знаем колко тона риба трябва да бъдат приготвени според плана. Намирането на това число ще бъде решението на проблема.
Такива проблеми се решават чрез разделяне:
Това означава, че по план трябва да се приготвят 800 тона риба.
Задача 3.Влакът пътува от Рига до Москва. Когато измина 276-ия километър, един от пътниците попита минаващ кондуктор колко от пътя вече са изминали. На това кондукторът отговори: „Вече изминахме 30% от цялото пътуване.“ Какво е разстоянието от Рига до Москва?
От условията на проблема става ясно, че 30% от маршрута от Рига до Москва е 276 км. Трябва да намерим цялото разстояние между тези градове, т.е. за тази част намерете цялото:
§ 91. Реципрочни числа. Замяна на делението с умножение.
Нека вземем дробта 2/3 и заменим числителя на мястото на знаменателя, получаваме 3/2. Получихме обратната на тази дроб.
За да получите дроб, която е обратна на дадена дроб, трябва да поставите нейния числител на мястото на знаменателя и знаменателя на мястото на числителя. По този начин можем да получим реципрочната стойност на всяка дроб. Например:
3/4, реверс 4/3; 5/6, обратно 6/5
Две дроби, които имат свойството, че числителят на първата е знаменател на втората, а знаменателят на първата е числителят на втората, се наричат взаимно обратни.
Сега нека помислим каква дроб ще бъде реципрочната на 1/2. Очевидно ще бъде 2/1 или просто 2. Като търсим обратната дроб на даденото, получаваме цяло число. И този случай не е изолиран; напротив, за всички дроби с числител 1 (едно), реципрочните ще бъдат цели числа, например:
1/3, реверс 3; 1/5, реверс 5
Тъй като при намирането на реципрочни дроби се сблъскахме и с цели числа, по-нататък ще говорим не за реципрочни дроби, а за реципрочни числа.
Нека да разберем как да напишем обратното число на цяло число. За дроби това може да се реши просто: трябва да поставите знаменателя на мястото на числителя. По същия начин можете да получите обратното на цяло число, тъй като всяко цяло число може да има знаменател 1. Това означава, че обратното на 7 ще бъде 1/7, защото 7 = 7/1; за числото 10 обратното ще бъде 1/10, тъй като 10 = 10/1
Тази идея може да се изрази по различен начин: реципрочната стойност на дадено число се получава чрез разделяне на едно на даден номер . Това твърдение е вярно не само за цели числа, но и за дроби. Всъщност, ако трябва да напишем обратното на дробта 5/9, тогава можем да вземем 1 и да го разделим на 5/9, т.е.
Сега нека посочим едно нещо Имотреципрочни числа, които ще ни бъдат полезни: произведението на реципрочните числа е равно на единица.Наистина:
Използвайки това свойство, можем да намерим реципрочни числа по следния начин. Да кажем, че трябва да намерим обратното на 8.
Нека го обозначим с буквата х , след това 8 х = 1, следователно х = 1/8. Нека намерим друго число, което е обратно на 7/12 и го означим с буквата х , след това 7/12 х = 1, следователно х = 1: 7 / 12 или х = 12 / 7 .
Тук въведохме концепцията за реципрочни числа, за да допълним леко информацията за деленето на дроби.
Когато разделим числото 6 на 3/5, правим следното:
Обърнете специално внимание на израза и го сравнете с дадения: .
Ако вземем израза отделно, без връзка с предишния, тогава е невъзможно да се реши въпросът откъде идва: от разделянето на 6 на 3/5 или от умножаването на 6 по 5/3. И в двата случая се случва едно и също. Следователно можем да кажем че деленето на едно число с друго може да бъде заменено с умножаване на делителя по обратната на делителя.
Примерите, които даваме по-долу, напълно потвърждават това заключение.
За решения различни задачиот курс по математика и физика трябва да делиш дроби. Това е много лесно да се направи, ако знаете определени правила за извършване на тази математическа операция.
Преди да преминем към формулирането на правилото за деление на дроби, нека си припомним някои математически термини:
- Горната част на дробта се нарича числител, а долната част се нарича знаменател.
- При деление числата се извикват по следния начин: дивидент: делител = частно
Как се делят дроби: прости дроби
За да разделите две прости дроби, умножете дивидента по реципрочната стойност на делителя. Тази дроб се нарича още обърната, защото се получава чрез размяна на числителя и знаменателя. Например:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Как се делят дроби: смесени дроби
Ако трябва да разделим смесени фракции, тогава всичко тук също е доста просто и ясно. Първо преобразуваме смесената дроб в обикновена неправилна дроб. За да направите това, умножете знаменателя на такава дроб с цяло число и добавете числителя към получения продукт. В резултат на това получихме нов числител смесена фракция, а знаменателят му ще остане непроменен. Освен това разделянето на дроби ще се извърши точно по същия начин като разделянето на прости дроби. Например:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Как да разделим дроб на число
За да се раздели проста дроб на число, последното трябва да се запише като дроб (неправилна). Това е много лесно да се направи: това число е написано на мястото на числителя, а знаменателят на такава дроб е равен на едно. По-нататъшното разделяне се извършва по обичайния начин. Нека да разгледаме това с пример:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Как да разделим десетични знаци
Често възрастен изпитва трудности при разделянето на цяло число или десетична дроб на десетична дроб без помощта на калкулатор.
И така, за да разделите десетични дроби, просто трябва да задраскате запетаята в делителя и да спрете да обръщате внимание на това. В делителя запетаята трябва да се премести надясно точно на толкова места, колкото е била в дробната част на делителя, като при необходимост се добавят нули. И продължават да произвеждат редовно разделениес цяло число. За да стане това по-ясно, разгледайте следния пример.
Можете да правите всичко с дроби, включително деление. Тази статия показва разделянето на обикновени дроби. Ще бъдат дадени определения и ще бъдат обсъдени примери. Нека се спрем подробно на разделянето на дроби на естествени числа и обратно. Ще бъде обсъдено деление на обикновена дроб със смесено число.
Деление на дроби
Делението е обратното на умножението. При разделянето неизвестният фактор се намира при известна творбаи друг фактор, къде се съхранява дадено значениес обикновени дроби.
Ако е необходимо да разделите обикновена дроб a b на c d, тогава за да определите такова число, трябва да умножите по делителя c d, това в крайна сметка ще даде дивидент a b. Нека вземем число и го запишем a b · d c, където d c е обратното на c d числото. Равенствата могат да бъдат написани, като се използват свойствата на умножението, а именно: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, където изразът a b · d c е частното от деленето на a b на c d.
От тук получаваме и формулираме правилото за деление на обикновени дроби:
Определение 1
За да разделите обикновена дроб a b на c d, трябва да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя.
Нека запишем правилото под формата на израз: a b: c d = a b · d c
Правилата за деление се свеждат до умножение. За да се придържате към него, трябва да имате добро разбиране за умножаване на дроби.
Нека да преминем към разглеждане на разделянето на обикновени дроби.
Пример 1
Разделете 9 7 на 5 3. Запишете резултата като дроб.
Решение
Числото 5 3 е реципрочната дроб 3 5. Необходимо е да се използва правилото за разделяне на обикновени дроби. Записваме този израз по следния начин: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.
Отговор: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Когато редуцирате дроби, отделете цялата част, ако числителят е по-голям от знаменателя.
Пример 2
Разделете 8 15: 24 65. Запишете отговора като дроб.
Решение
За да решите, трябва да преминете от деление към умножение. Нека го запишем в следния вид: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Необходимо е да се направи намаление и това се прави по следния начин: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Изберете цялата част и получете 13 9 = 1 4 9.
Отговор: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Деление на извънредна дроб на естествено число
Използваме правилото за деление на дроб на естествено число: за да разделите b на естествено число n, трябва само да умножите знаменателя по n. От тук получаваме израза: a b: n = a b · n.
Правилото за деление е следствие от правилото за умножение. Следователно, представянето на естествено число като дроб ще даде равенство от този тип: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.
Помислете за това деление на дроб на число.
Пример 3
Разделете дробта 16 45 на числото 12.
Решение
Нека приложим правилото за деление на дроб на число. Получаваме израз от формата 16 45: 12 = 16 45 · 12.
Нека намалим дробта. Получаваме 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.
Отговор: 16 45: 12 = 4 135 .
Деление на естествено число на дроб
Правилото за разделяне е подобно Оправилото за деление на естествено число на обикновена дроб: за да се раздели естествено число n на обикновена дроб a b, е необходимо числото n да се умножи по реципрочната стойност на дробта a b.
Въз основа на правилото имаме n: a b = n · b a и благодарение на правилото за умножаване на естествено число по обикновена дроб, получаваме нашия израз във формата n: a b = n · b a. Необходимо е да разгледаме това разделение с пример.
Пример 4
Разделете 25 на 15 28.
Решение
Трябва да преминем от деление към умножение. Нека го запишем под формата на израза 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Нека съкратим дробта и получим резултата под формата на дробта 46 2 3.
Отговор: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Деление на дроб на смесено число
Когато разделяте обикновена дроб на смесено число, можете лесно да започнете да разделяте обикновени дроби. Трябва да се направи трансфер смесено числов неправилна дроб.
Пример 5
Разделете дробта 35 16 на 3 1 8.
Решение
Тъй като 3 1 8 е смесено число, представяме го във формата неправилна дроб. Тогава получаваме 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Сега нека разделим дроби. Получаваме 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Отговор: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Делението на смесено число се извършва по същия начин като обикновените числа.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
