§ 87. Събиране на дроби.
Добавянето на дроби има много прилики със събирането на цели числа. Събирането на дроби е действие, състоящо се във факта, че няколко дадени числа (членове) се комбинират в едно число (сума), което съдържа всички единици и дроби от единици на термини.
Ще разгледаме последователно три случая:
1. Събиране на дроби с еднакви знаменатели.
2. Събиране на дроби с различни знаменатели.
3. Събиране на смесени числа.
1. Събиране на дроби с еднакви знаменатели.
Помислете за пример: 1/5 + 2/5.
Вземете сегмента AB (фиг. 17), вземете го като единица и го разделете на 5 равни части, тогава частта AC от този сегмент ще бъде равна на 1/5 от сегмента AB, а частта от същия сегмент CD ще бъде равно на 2/5 AB.
От чертежа се вижда, че ако вземем отсечката AD, то тя ще бъде равна на 3/5 AB; но отсечката AD е точно сумата от отсечките AC и CD. И така, можем да напишем:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Имайки предвид тези членове и получената сума, виждаме, че числителят на сумата е получен чрез добавяне на числителите на членовете, а знаменателят остава непроменен.
От това получаваме следното правило: За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители и да оставите същия знаменател.
Помислете за пример:
2. Събиране на дроби с различни знаменатели.
Нека съберем дроби: 3/4 + 3/8 Първо те трябва да бъдат намалени до най-малкия общ знаменател:
Междинната връзка 6/8 + 3/8 не може да бъде написана; ние сме го написали тук за по-голяма яснота.
По този начин, за да добавите дроби с различни знаменатели, първо трябва да ги доведете до най-малкия общ знаменател, да добавите техните числители и да подпишете общия знаменател.
Помислете за пример (ще напишем допълнителни множители върху съответните дроби):
3. Събиране на смесени числа.
Нека съберем числата: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Нека първо приведем дробните части на нашите числа към общ знаменател и ги пренапишем отново:
Сега добавете последователно целите и дробните части:
§ 88. Изваждане на дроби.
Изваждането на дроби се дефинира по същия начин като изваждането на цели числа. Това е действие, чрез което по даден сбор от два члена и един от тях се намира друг член. Нека разгледаме последователно три случая:
1. Изваждане на дроби с еднакви знаменатели.
2. Изваждане на дроби с различни знаменатели.
3. Изваждане на смесени числа.
1. Изваждане на дроби с еднакви знаменатели.
Помислете за пример:
13 / 15 - 4 / 15
Да вземем отсечката AB (фиг. 18), да я приемем за единица и да я разделим на 15 равни части; тогава AC частта на този сегмент ще бъде 1/15 от AB, а AD частта от същия сегмент ще съответства на 13/15 AB. Нека отделим друг сегмент ED, равен на 4/15 AB.
Трябва да извадим 4/15 от 13/15. На чертежа това означава, че отсечката ED трябва да се извади от отсечката AD. В резултат ще остане сегмент AE, който е 9/15 от сегмент AB. Така че можем да напишем:
Примерът, който направихме, показва, че числителят на разликата се получава чрез изваждане на числителите, а знаменателят остава същият.
Следователно, за да извадите дроби с еднакви знаменатели, трябва да извадите числителя на изваждаемото от числителя на умаляваното и да оставите същия знаменател.
2. Изваждане на дроби с различни знаменатели.
Пример. 3/4 - 5/8
Първо, нека намалим тези дроби до най-малкия общ знаменател:
Междинната връзка 6 / 8 - 5 / 8 е написана тук за яснота, но може да бъде пропусната в бъдеще.
По този начин, за да извадите дроб от дроб, първо трябва да ги доведете до най-малкия общ знаменател, след това да извадите числителя на изваждаемото от числителя на умаляваното и да подпишете общия знаменател под тяхната разлика.
Помислете за пример:
3. Изваждане на смесени числа.
Пример. 10 3/4 - 7 2/3 .
Нека приведем дробните части на умаляваното и изместеното към най-малкия общ знаменател:
Извадихме цяло от цяло и дроб от дроб. Но има случаи, когато дробната част на субтрахенда е по-голяма от дробната част на умаляваното. В такива случаи трябва да вземете една единица от цялата част на намаленото, да го разделите на онези части, в които е изразена дробната част, и да добавите към дробната част на намаленото. И тогава изваждането ще се извърши по същия начин, както в предишния пример:
§ 89. Умножение на дроби.
Когато изучаваме умножението на дроби, ще разгледаме следните въпроси:
1. Умножение на дроб по цяло число.
2. Намиране на дроб от дадено число.
3. Умножение на цяло число с дроб.
4. Умножение на дроб по дроб.
5. Умножение на смесени числа.
6. Понятието лихва.
7. Намиране на проценти от дадено число. Нека ги разгледаме последователно.
1. Умножение на дроб по цяло число.
Умножаването на дроб по цяло число има същото значение като умножаването на цяло число по цяло число. Умножаването на дроб (множител) по цяло число (множител) означава съставяне на сбор от еднакви членове, при което всеки член е равен на множителя, а броят на членовете е равен на множителя.
Така че, ако трябва да умножите 1/9 по 7, това може да стане по следния начин:
Лесно получихме резултата, тъй като действието се сведе до събиране на дроби с еднакви знаменатели. Следователно,
Разглеждането на това действие показва, че умножаването на дроб по цяло число е еквивалентно на увеличаване на този дроб толкова пъти, колкото има единици в цялото число. И тъй като увеличението на дробта се постига или чрез увеличаване на нейния числител
или чрез намаляване на знаменателя му 
, тогава можем или да умножим числителя по цялото число, или да разделим знаменателя на него, ако такова деление е възможно.
От тук получаваме правилото:
За да умножите дроб по цяло число, трябва да умножите числителя по това цяло число и да оставите знаменателя същия или, ако е възможно, да разделите знаменателя на това число, като оставите числителя непроменен.
При умножаване са възможни съкращения, например:
2. Намиране на дроб от дадено число.Има много задачи, в които трябва да намерите или изчислите част от дадено число. Разликата между тези задачи и другите е, че те дават броя на някои обекти или мерни единици и вие трябва да намерите част от това число, което също е посочено тук с определена дроб. За да улесним разбирането, първо ще дадем примери за такива проблеми и след това ще представим метода за тяхното решаване.
Задача 1.Имах 60 рубли; 1/3 от тези пари похарчих за закупуване на книги. Колко струваха книгите?
Задача 2.Влакът трябва да измине разстоянието между градовете А и Б, равно на 300 км. Той вече е изминал 2/3 от това разстояние. Колко километра е това?
Задача 3.В селото има 400 къщи, 3/4 от тях са тухлени, останалите са дървени. Колко тухлени къщи има?
Ето някои от многото проблеми, с които трябва да се справим, за да намерим дроб от дадено число. Обикновено се наричат задачи за намиране на дроб от дадено число.
Решение на проблем 1.От 60 рубли. Похарчих 1/3 за книги; И така, за да намерите цената на книгите, трябва да разделите числото 60 на 3:
Решение на проблем 2.Смисълът на задачата е, че трябва да намерите 2/3 от 300 км. Изчислете първата 1/3 от 300; това се постига чрез разделяне на 300 км на 3:
300: 3 = 100 (това е 1/3 от 300).
За да намерите две трети от 300, трябва да удвоите полученото частно, тоест да умножите по 2:
100 x 2 = 200 (това е 2/3 от 300).
Решение на задача 3.Тук трябва да определите броя на тухлените къщи, които са 3/4 от 400. Нека първо намерим 1/4 от 400,
400: 4 = 100 (това е 1/4 от 400).
За да се изчислят три четвърти от 400, полученото частно трябва да се утрои, тоест да се умножи по 3:
100 x 3 = 300 (това е 3/4 от 400).
Въз основа на решението на тези задачи можем да изведем следното правило:
За да намерите стойността на дроб от дадено число, трябва да разделите това число на знаменателя на дробта и да умножите полученото частно по неговия числител.
3. Умножение на цяло число с дроб.
По-рано (§ 26) беше установено, че умножението на цели числа трябва да се разбира като добавяне на идентични термини (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). В този параграф (параграф 1) беше установено, че умножаването на дроб с цяло число означава намиране на сумата от еднакви членове, равни на тази дроб.
И в двата случая умножението се състоеше в намиране на сумата от еднакви членове.
Сега преминаваме към умножаване на цяло число по дроб. Тук ще се срещнем с такова, например, умножение: 9 2/3. Съвсем очевидно е, че предишната дефиниция на умножението не е приложима в този случай. Това се вижда от факта, че не можем да заменим такова умножение със събиране на равни числа.
Поради това ще трябва да дадем нова дефиниция на умножението, т.е., с други думи, да отговорим на въпроса какво трябва да се разбира под умножение с дроб, как трябва да се разбира това действие.
Значението на умножаването на цяло число по дроб е ясно от следната дефиниция: да умножиш цяло число (множител) по дроб (множител) означава да намериш тази дроб от множителя.
А именно, умножаването на 9 по 2/3 означава намиране на 2/3 от девет единици. В предишния параграф такива проблеми бяха решени; така че е лесно да разберем, че в крайна сметка получаваме 6.
Но сега възниква интересен и важен въпрос: защо такива привидно различни действия като намирането на сумата от равни числа и намирането на част от число се наричат една и съща дума „умножение“ в аритметиката?
Това се случва, защото предишното действие (повтаряне на числото с членове няколко пъти) и новото действие (намиране на част от число) дават отговор на еднородни въпроси. Това означава, че тук изхождаме от съображенията, че еднородни въпроси или задачи се решават с едно и също действие.
За да разберете това, помислете за следния проблем: „1 м плат струва 50 рубли. Колко ще струват 4 м такъв плат?
Този проблем се решава чрез умножаване на броя на рублите (50) по броя на метрите (4), т.е. 50 x 4 = 200 (рубли).
Да вземем същата задача, но в нея количеството плат ще бъде изразено като дробно число: „1 м плат струва 50 рубли. Колко ще струват 3/4 м такъв плат?
Този проблем също трябва да бъде решен чрез умножаване на броя на рублите (50) по броя на метрите (3/4).
Можете също така да промените числата в него няколко пъти, без да променяте значението на задачата, например вземете 9/10 m или 2 3/10 m и т.н.
Тъй като тези задачи имат еднакво съдържание и се различават само по числа, ние наричаме действията, използвани при решаването им, с една и съща дума – умножение.
Как се умножава цяло число по дроб?
Нека вземем числата, срещнати в последния проблем:
Според дефиницията трябва да намерим 3/4 от 50. Първо намираме 1/4 от 50, а след това 3/4.
1/4 от 50 е 50/4;
3/4 от 50 е .
Следователно.
Помислете за друг пример: 12 5 / 8 = ?
1/8 от 12 е 12/8,
5/8 от числото 12 е .
Следователно,
От тук получаваме правилото:
За да умножите цяло число по дроб, трябва да умножите цялото число по числителя на дробта и да направите този продукт числител и да подпишете знаменателя на дадената дроб като знаменател.
Пишем това правило с букви:
За да стане това правило напълно ясно, трябва да се помни, че дроб може да се разглежда като частно. Ето защо е полезно да сравним намереното правило с правилото за умножение на число с частно, което беше изложено в § 38
Трябва да се помни, че преди да извършите умножение, трябва да направите (ако е възможно) порязвания, например:
4. Умножение на дроб по дроб.Умножаването на дроб по дроб има същото значение като умножаването на цяло число по дроб, тоест, когато умножавате дроб по дроб, трябва да намерите дроба в множителя от първата дроб (множител).
А именно, умножаването на 3/4 по 1/2 (половината) означава намиране на половината от 3/4.
Как се умножава дроб по дроб?
Да вземем пример: 3/4 по 5/7. Това означава, че трябва да намерите 5/7 от 3/4. Намерете първо 1/7 от 3/4 и след това 5/7
1/7 от 3/4 ще бъде изразено така:
5/7 числата 3/4 ще бъдат изразени както следва:
По този начин,
Друг пример: 5/8 по 4/9.
1/9 от 5/8 е,
4/9 числата 5/8 са .
По този начин, 
От тези примери може да се изведе следното правило:
За да умножите дроб по дроб, трябва да умножите числителя по числителя и знаменателя по знаменателя и да направите първия продукт числител, а втория продукт знаменател на продукта.
Това правило може да се напише най-общо, както следва:
При умножаване е необходимо да се правят (ако е възможно) съкращения. Помислете за примери:
5. Умножение на смесени числа.Тъй като смесените числа могат лесно да бъдат заменени с неправилни дроби, това обстоятелство обикновено се използва при умножаване на смесени числа. Това означава, че в случаите, когато множителят, или множителят, или и двата фактора са изразени като смесени числа, те се заменят с неправилни дроби. Умножете например смесени числа: 2 1/2 и 3 1/5. Превръщаме всяка от тях в неправилна дроб и след това ще умножим получените дроби според правилото за умножение на дроб по дроб:
правило.За да умножите смесени числа, първо трябва да ги преобразувате в неправилни дроби и след това да умножите според правилото за умножение на дроб по дроб.
Забележка.Ако един от множителите е цяло число, тогава умножението може да се извърши въз основа на закона за разпределение, както следва:
6. Понятието лихва.При решаване на задачи и при извършване на различни практически изчисления ние използваме всякакви видове дроби. Но трябва да се има предвид, че много количества допускат не какви да е, а естествени подразделения за тях. Например, можете да вземете една стотна (1/100) от рубла, това ще бъде стотинка, две стотни са 2 копейки, три стотни са 3 копейки. Можете да вземете 1/10 от рублата, това ще бъде "10 копейки, или стотинка. Можете да вземете една четвърт от рублата, т.е. 25 копейки, половин рубла, т.е. 50 копейки (петдесет копейки). Но те на практика не Не вземайте например 2/7 рубли, защото рублата не е разделена на седмини.
Единицата за измерване на теглото, т.е. килограмът, позволява преди всичко десетични подразделения, например 1/10 кг или 100 г. И такива части от килограм като 1/6, 1/11, 1/ 13 са необичайни.
Като цяло нашите (метрични) мерки са десетични и позволяват десетични подразделения.
Все пак трябва да се отбележи, че е изключително полезно и удобно в голямо разнообразие от случаи да се използва един и същ (унифициран) метод за подразделяне на количествата. Дългогодишният опит показва, че такова добре обосновано разделение е делението на "стотните". Нека разгледаме няколко примера, свързани с най-различни области на човешката практика.
1. Цената на книгите е намаляла с 12/100 от предишната цена.
Пример. Предишната цена на книгата е 10 рубли. Тя падна с 1 рубла. 20 коп.
2. Спестовните банки изплащат през годината на вложителите 2/100 от сумата, която е вложена в спестяванията.
Пример. 500 рубли се поставят в касата, доходът от тази сума за годината е 10 рубли.
3. Броят на завършилите едно училище е 5/100 от общия брой на учениците.
ПРИМЕР В училището са учили само 1200 ученици, 60 от тях са завършили училище.
Стотната част от числото се нарича процент..
Думата "процент" е заимствана от латинския език и нейният корен "cent" означава сто. Заедно с предлога (pro centum) тази дума означава "за сто". Значението на този израз следва от факта, че първоначално в древен Рим лихвата е парите, които длъжникът плаща на заемодателя „за всеки сто“. Думата "цент" се чува в такива познати думи: центнер (сто килограма), сантиметър (те казват сантиметър).
Например, вместо да кажем, че заводът е произвел 1/100 от всички продукти, произведени от него през изминалия месец, ще кажем следното: заводът е произвел един процент от брака през изминалия месец. Вместо да кажем: заводът е произвел 4/100 продукта повече от установения план, ще кажем: заводът е надхвърлил плана с 4 процента.
Горните примери могат да бъдат изразени по различен начин:
1. Цената на книгите е намаляла с 12 процента от предходната цена.
2. Спестовните банки плащат на вложителите 2 процента годишно от сумата, вложена в спестяванията.
3. Броят на завършилите едно училище е 5 процента от броя на всички ученици в училището.
За съкращаване на буквата е обичайно да се пише знакът% вместо думата "процент".
Трябва обаче да се помни, че знакът % обикновено не се записва в изчисленията, той може да бъде написан в формулировката на проблема и в крайния резултат. Когато извършвате изчисления, трябва да напишете дроб със знаменател 100 вместо цяло число с тази икона.
Трябва да можете да замените цяло число с указаната икона с дроб със знаменател 100:
Обратно, трябва да свикнете да пишете цяло число с посочената икона вместо дроб със знаменател 100:
7. Намиране на проценти от дадено число.
Задача 1.Училището получи 200 кубика. м дърва за огрев, като дървата за огрев от бреза са 30%. Колко брезови дърва имаше?
Значението на този проблем е, че брезовите дърва за огрев са само част от дървата за огрев, доставени на училището, и тази част се изразява като част от 30 / 100. И така, ние сме изправени пред задачата да намерим дроб от число. За да го решим, трябва да умножим 200 по 30 / 100 (задачите за намиране на част от число се решават чрез умножаване на число по дроб.).
Така че 30% от 200 е равно на 60.
Дробта 30/100, срещана в този проблем, може да бъде намалена с 10. Би било възможно да се извърши това намаление от самото начало; решението на проблема няма да се промени.
Задача 2.В лагера имаше 300 деца на различна възраст. Децата на 11 години са 21%, децата на 12 години са 61% и накрая 13-годишните са 18%. Колко деца от всяка възраст бяха в лагера?
В този проблем трябва да извършите три изчисления, тоест да намерите последователно броя на децата на 11 години, след това на 12 години и накрая на 13 години.
И така, тук ще е необходимо да се намери дроб от число три пъти. Хайде да го направим:
1) Колко деца бяха на 11 години?
2) Колко деца бяха на 12 години?
3) Колко деца бяха на 13 години?
След решаването на задачата е полезно да съберете намерените числа; тяхната сума трябва да бъде 300:
63 + 183 + 54 = 300
Трябва да обърнете внимание и на факта, че сумата от процентите, дадени в условието на задачата, е 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Това предполага, че общият брой на децата в лагера е приет за 100%.
3 a da cha 3.Работникът получаваше 1200 рубли на месец. От тях той харчи 65% за храна, 6% за апартамент и отопление, 4% за газ, електричество и радио, 10% за културни нужди и 15% спестява. Колко пари са изразходвани за нуждите, посочени в задачата?
За да решите тази задача, трябва да намерите 5 пъти дроб от числото 1200. Нека го направим.
1) Колко пари се харчат за храна? В задачата пише, че този разход е 65% от всички печалби, тоест 65/100 от числото 1200. Нека направим изчислението:
2) Колко пари са платени за апартамент с парно? Разсъждавайки като предишния, стигаме до следното изчисление:
3) Колко пари платихте за газ, електричество и радио?
4) Колко пари се харчат за културни нужди?
5) Колко пари е спестил работникът?
За проверка е полезно да добавите числата, намерени в тези 5 въпроса. Сумата трябва да бъде 1200 рубли. Всички печалби се приемат за 100%, което лесно се проверява чрез сумиране на процентите, дадени в изявлението на проблема.
Решихме три проблема. Въпреки факта, че тези задачи бяха за различни неща (доставка на дърва за огрев за училището, брой деца на различна възраст, разходи на работника), те бяха решени по един и същи начин. Това се случи, защото във всички задачи беше необходимо да се намерят няколко процента от дадените числа.
§ 90. Деление на дроби.
Когато изучаваме разделянето на дроби, ще разгледаме следните въпроси:
1. Разделете цяло число на цяло число.
2. Деление на дроб с цяло число
3. Деление на цяло число на дроб.
4. Деление на дроб с дроб.
5. Деление на смесени числа.
6. Намиране на число по дадена негова дроб.
7. Намиране на число по неговия процент.
Нека ги разгледаме последователно.
1. Разделете цяло число на цяло число.
Както беше посочено в раздела за цели числа, деленето е действие, състоящо се в това, че като се има предвид произведението на два фактора (дивидента) и един от тези фактори (делителят), се намира друг фактор.
Разделянето на цяло число на цяло число разгледахме в отдела за цели числа. Там срещнахме два случая на деление: деление без остатък, или "изцяло" (150: 10 = 15), и деление с остатък (100: 9 = 11 и 1 в остатъка). Следователно можем да кажем, че в областта на целите числа точното деление не винаги е възможно, тъй като дивидентът не винаги е произведение на делителя и цялото число. След въвеждането на умножението с дроб, можем да считаме за възможен всеки случай на деление на цели числа (само делението на нула е изключено).
Например, разделянето на 7 на 12 означава намиране на число, чието произведение по 12 би било 7. Това число е частта 7/12, защото 7/12 12 = 7. Друг пример: 14: 25 = 14/25, защото 14/25 25 = 14.
По този начин, за да разделите цяло число на цяло число, трябва да направите дроб, чийто числител е равен на дивидент, а знаменателят е делител.
2. Деление на дроб с цяло число.
Разделете дробта 6/7 на 3. Съгласно определението за деление, дадено по-горе, тук имаме произведението (6/7) и един от множителите (3); изисква се да се намери такъв втори множител, който, когато се умножи по 3, ще даде дадения продукт 6/7. Очевидно трябва да е три пъти по-малък от този продукт. Това означава, че поставената пред нас задача беше да намалим дробта 6/7 3 пъти.
Вече знаем, че съкращаването на дроб може да стане или чрез намаляване на числителя, или чрез увеличаване на знаменателя. Следователно можете да напишете:
В този случай числителят 6 се дели на 3, така че числителят трябва да се намали 3 пъти.
Да вземем друг пример: 5/8 делено на 2. Тук числителят 5 не се дели на 2, което означава, че знаменателят ще трябва да се умножи по това число:
Въз основа на това можем да формулираме правилото: За да разделите дроб на цяло число, трябва да разделите числителя на дробта на това цяло число(ако е възможно), оставяйки същия знаменател или умножете знаменателя на дробта по това число, оставяйки същия числител.
3. Деление на цяло число на дроб.
Нека се изисква да се раздели 5 на 1/2, т.е. да се намери число, което след умножаване по 1/2 ще даде продуктът 5. Очевидно това число трябва да е по-голямо от 5, тъй като 1/2 е правилна дроб, и когато числото се умножава с правилна дроб, произведението трябва да е по-малко от умножаващото. За да стане по-ясно, нека напишем нашите действия, както следва: 5: 1 / 2 = х , така че x 1/2 \u003d 5.
Трябва да намерим такъв номер х , което, когато се умножи по 1/2, ще даде 5. Тъй като умножаването на определено число по 1/2 означава намиране на 1/2 от това число, тогава, следователно, 1/2 от неизвестното число х е 5, а цялото число х два пъти повече, т.е. 5 2 \u003d 10.
Така че 5: 1/2 = 5 2 = 10
Да проверим: 
Нека разгледаме още един пример. Нека се изисква да се раздели 6 на 2/3. Нека първо се опитаме да намерим желания резултат с помощта на чертежа (фиг. 19).
Фиг.19
Начертайте отсечка AB, равна на 6 от някои единици, и разделете всяка единица на 3 равни части. Във всяка единица три трети (3 / 3) в целия сегмент AB е 6 пъти по-голям, т.е. д. 18/3. Свързваме с помощта на малки скоби 18 получени сегмента от 2; Ще има само 9 сегмента. Това означава, че дробта 2/3 се съдържа в b единици 9 пъти, или, с други думи, дробта 2/3 е 9 пъти по-малка от 6 цели числа. Следователно,
Как да получите този резултат без чертеж само с изчисления? Ще аргументираме следното: необходимо е да разделим 6 на 2/3, т.е. необходимо е да отговорим на въпроса колко пъти 2/3 се съдържа в 6. Нека първо разберем: колко пъти е 1/3 съдържащи се в 6? В цяла единица - 3 трети, а в 6 единици - 6 пъти повече, т.е. 18 трети; за да намерим това число, трябва да умножим 6 по 3. Следователно 1/3 се съдържа в b единици 18 пъти, а 2/3 се съдържа в b единици не 18 пъти, а половината пъти, т.е. 18: 2 = 9 Следователно, когато разделихме 6 на 2/3, направихме следното:
От тук получаваме правилото за деление на цяло число на дроб. За да разделите цяло число на дроб, трябва да умножите това цяло число по знаменателя на дадената дроб и, превръщайки този продукт в числител, да го разделите на числителя на дадената дроб.
Пишем правилото с букви:
За да стане това правило напълно ясно, трябва да се помни, че дроб може да се разглежда като частно. Ето защо е полезно да сравним намереното правило с правилото за деление на число на частно, което беше изложено в § 38. Имайте предвид, че същата формула е получена там.
При разделяне са възможни съкращения, например:
4. Деление на дроб с дроб.
Нека се изисква да се раздели 3/4 на 3/8. Какво ще означава числото, което ще се получи в резултат на деленето? Ще отговори на въпроса колко пъти дробта 3/8 се съдържа в дробта 3/4. За да разберем този въпрос, нека направим чертеж (фиг. 20).
Вземете отсечката AB, вземете я за единица, разделете я на 4 равни части и маркирайте 3 такива части. Отсечката AC ще бъде равна на 3/4 от отсечката AB. Нека сега разделим всеки от четирите начални сегмента наполовина, тогава сегментът AB ще бъде разделен на 8 равни части и всяка такава част ще бъде равна на 1/8 от сегмента AB. Свързваме 3 такива сегмента с дъги, тогава всеки от сегментите AD и DC ще бъде равен на 3/8 от сегмента AB. Чертежът показва, че отсечката, равна на 3/8, се съдържа в отсечката, равна на 3/4, точно 2 пъти; Така че резултатът от разделянето може да се запише така:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Нека разгледаме още един пример. Нека се изисква да се раздели 15/16 на 3/32:
Можем да разсъждаваме така: трябва да намерим число, което, след като бъде умножено по 3/32, ще даде продукт, равен на 15/16. Нека напишем изчисленията така:
15 / 16: 3 / 32 = х
3 / 32 х = 15 / 16
3/32 неизвестен номер х съставляват 15/16
1/32 неизвестно число х е,
32 / 32 номера х грим .
Следователно,
По този начин, за да разделите дроб на дроб, трябва да умножите числителя на първата дроб по знаменателя на втората и да умножите знаменателя на първата дроб по числителя на втората и да направите първия продукт числител и второ знаменателя.
Нека напишем правилото с букви:
При разделяне са възможни съкращения, например:
5. Деление на смесени числа.
При разделянето на смесени числа те първо трябва да се превърнат в неправилни дроби, а след това получените дроби да се разделят според правилата за разделяне на дробни числа. Помислете за пример:
Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби:
Сега нека разделим:
По този начин, за да разделите смесени числа, трябва да ги преобразувате в неправилни дроби и след това да ги разделите според правилото за деление на дроби.
6. Намиране на число по дадена негова дроб.
Сред различните задачи за дроби понякога има такива, в които е дадена стойността на някаква дроб от неизвестно число и се изисква да се намери това число. Този тип задача ще бъде обратна на задачата за намиране на дроб от дадено число; там беше дадено число и се изискваше да се намери част от това число, тук е дадена дроб от число и се изисква да се намери самото това число. Тази идея ще стане още по-ясна, ако се обърнем към решението на този тип проблеми.
Задача 1.През първия ден стъкларите са остъклили 50 прозореца, което е 1/3 от всички прозорци на построената къща. Колко прозореца има в тази къща?
Решение.В задачата се казва, че 50 остъклени прозореца съставляват 1/3 от всички прозорци на къщата, което означава, че общо има 3 пъти повече прозорци, т.е.
Къщата имаше 150 прозореца.
Задача 2.В магазина са продадени 1500 кг брашно, което е 3/8 от общата наличност на брашно в магазина. Какви бяха първоначалните доставки на брашно в магазина?
Решение.От условието на задачата се вижда, че продадените 1500 кг брашно съставляват 3/8 от общата наличност; това означава, че 1/8 от този запас ще бъде 3 пъти по-малко, т.е., за да го изчислите, трябва да намалите 1500 3 пъти:
1500: 3 = 500 (това е 1/8 от акциите).
Очевидно целият запас ще бъде 8 пъти по-голям. Следователно,
500 8 \u003d 4000 (кг).
Първоначалната доставка на брашно в магазина беше 4000 кг.
От разглеждането на този проблем може да се изведе следното правило.
За да намерите число по дадена стойност на неговата фракция, достатъчно е да разделите тази стойност на числителя на дробта и да умножите резултата по знаменателя на дробта.
Решихме две задачи за намиране на число по дадена дроб. Такива задачи, както се вижда особено добре от последната, се решават чрез две действия: деление (когато се намери една част) и умножение (когато се намери цялото число).
Въпреки това, след като сме изучили деленето на дроби, горните задачи могат да бъдат решени с едно действие, а именно: деление с дроб.
Например, последната задача може да бъде решена с едно действие по следния начин:
В бъдеще ще решаваме задачата за намиране на число чрез неговата дроб с едно действие - деление.
7. Намиране на число по неговия процент.
В тези задачи ще трябва да намерите число, като знаете няколко процента от това число.
Задача 1.В началото на тази година получих 60 рубли от спестовната каса. доход от сумата, която вложих в спестявания преди година. Колко пари сложих в спестовната каса? (Касите дават на вложителите 2% от дохода на година.)
Смисълът на проблема е, че определена сума пари беше поставена от мен в спестовна банка и лежа там една година. След една година получих 60 рубли от нея. доход, което е 2/100 от парите, които влагам. Колко пари депозирах?
Следователно, знаейки частта от тези пари, изразена по два начина (в рубли и в дроби), трябва да намерим цялата, все още неизвестна сума. Това е обикновена задача за намиране на число, дадена в неговата дроб. Чрез разделяне се решават следните задачи:
И така, 3000 рубли бяха поставени в спестовната банка.
Задача 2.За две седмици рибарите изпълниха месечния план с 64%, като приготвиха 512 тона риба. Какъв беше планът им?
От условието на задачата става ясно, че рибарите са изпълнили част от плана. Тази част се равнява на 512 тона, което е 64% от плана. Колко тона риба трябва да бъдат уловени според плана, не знаем. Решението на проблема ще се състои в намирането на това число.
Такива задачи се решават чрез разделяне на:
Така че, според плана, трябва да подготвите 800 тона риба.
Задача 3.Влакът пътува от Рига до Москва. Когато измина 276-ия километър, един от пътниците попита преминаващия кондуктор каква част от пътя вече са изминали. На това кондукторът отговори: „Вече изминахме 30% от цялото пътуване.“ Какво е разстоянието от Рига до Москва?
От условието на задачата се вижда, че 30% от пътуването от Рига до Москва е 276 км. Трябва да намерим цялото разстояние между тези градове, т.е. за тази част намерете цялото:
§ 91. Реципрочни числа. Замяна на делението с умножение.
Вземете дробта 2/3 и пренаредете числителя на мястото на знаменателя, получаваме 3/2. Имаме дроб, реципрочната на тази.
За да получите реципрочна дроб на дадена, трябва да поставите нейния числител на мястото на знаменателя, а знаменателя на мястото на числителя. По този начин можем да получим дроб, която е реципрочна на всяка дроб. Например:
3/4, обратна 4/3; 5/6, обратна 6/5
Две дроби, които имат свойството, че числителят на първата е знаменателят на втората, а знаменателят на първата е числителят на втората, се наричат взаимно обратни.
Сега нека помислим каква дроб ще бъде реципрочната на 1/2. Очевидно ще бъде 2/1 или просто 2. Търсейки реципрочната стойност на това, получаваме цяло число. И този случай не е изолиран; напротив, за всички дроби с числител 1 (едно), реципрочните ще бъдат цели числа, например:
1/3, обратно 3; 1/5, обратна 5
Тъй като при намирането на реципрочни величини се срещнахме и с цели числа, занапред няма да говорим за реципрочни, а за реципрочни величини.
Нека разберем как да напишем реципрочната стойност на цяло число. За дроби това се решава просто: трябва да поставите знаменателя на мястото на числителя. По същия начин можете да получите реципрочната стойност на цяло число, тъй като всяко цяло число може да има знаменател 1. Следователно реципрочната стойност на 7 ще бъде 1/7, защото 7 \u003d 7/1; за числото 10 обратното е 1/10, тъй като 10 = 10/1
Тази идея може да се изрази по друг начин: реципрочната стойност на дадено число се получава чрез разделяне на едно на даденото число. Това твърдение е вярно не само за цели числа, но и за дроби. Наистина, ако искате да напишете число, което е реципрочна на дробта 5/9, тогава можем да вземем 1 и да го разделим на 5/9, т.е.
Сега нека посочим едно Имотвзаимно реципрочни числа, които ще ни бъдат полезни: произведението на взаимно реципрочни числа е равно на единица.Наистина:
Използвайки това свойство, можем да намерим реципрочни стойности по следния начин. Нека намерим реципрочната стойност на 8.
Нека го обозначим с буквата х , след това 8 х = 1, следователно х = 1/8. Нека намерим друго число, обратното на 7/12, означим го с буква х , след това 7/12 х = 1, следователно х = 1: 7/11 или х = 12 / 7 .
Тук въведохме концепцията за реципрочни числа, за да допълним малко информацията за разделянето на дроби.
Когато разделим числото 6 на 3/5, правим следното:
Обърнете специално внимание на израза и го сравнете с дадения: .
Ако вземем израза отделно, без връзка с предишния, тогава е невъзможно да се реши въпросът откъде идва: от разделянето на 6 на 3/5 или от умножаването на 6 по 5/3. И в двата случая резултатът е един и същ. Така че можем да кажем че деленето на едно число с друго може да бъде заменено с умножаване на дивидента по реципрочната стойност на делителя.
Примерите, които даваме по-долу, напълно потвърждават това заключение.
Дробта е една или повече части от цяло, което обикновено се приема за единица (1). Както при естествените числа, можете да извършвате всички основни аритметични операции с дроби (събиране, изваждане, деление, умножение), за това трябва да знаете характеристиките на работата с дроби и да правите разлика между техните видове. Има няколко вида дроби: десетични и обикновени или прости. Всеки вид дроби има своите специфики, но след като веднъж сте разбрали как да се справяте с тях, ще можете да решавате всякакви примери с дроби, тъй като ще знаете основните принципи за извършване на аритметични изчисления с дроби. Нека да разгледаме примери как да разделим дроб на цяло число, използвайки различни видовефракции.
Как да разделим дроб на естествено число?Обикновени или прости дроби се наричат дроби, които се записват като такова съотношение на числа, в което дивидентът (числителят) е посочен в горната част на дробта, а делителят (знаменателят) на дробта е посочен отдолу. Как да разделя такава дроб на цяло число? Нека да разгледаме един пример! Да кажем, че трябва да разделим 8/12 на 2.
За да направим това, трябва да извършим поредица от действия:
По този начин, ако сме изправени пред задачата да разделим дроб на цяло число, схемата на решение ще изглежда така: 
По същия начин можете да разделите всяка обикновена (проста) дроб на цяло число.
Как да разделя десетична запетая на цяло число?
Десетична дроб е дроб, която се получава чрез разделяне на единица на десет, хиляда и т.н. Аритметичните операции с десетични дроби са доста прости.
Помислете за пример как да разделите дроб на цяло число. Да кажем, че трябва да разделим десетичната дроб 0,925 на естественото число 5.
Обобщавайки, ще се съсредоточим върху две основни точки, които са важни при извършване на операцията за разделяне на десетични дроби на цяло число: - за разделяне на десетична дроб на естествено число се използва деление в колона;
- запетая се поставя в частното, когато е завършено делението на цялата част от дивидента.
С дроби можете да извършвате всички действия, включително деление. Тази статия показва разделянето на обикновени дроби. Ще бъдат дадени определения, ще бъдат разгледани примери. Нека се спрем на разделянето на дроби на естествени числа и обратно. Ще бъде разгледано деленето на обикновена дроб на смесено число.
Деление на обикновени дроби
Делението е обратното на умножението. При деление неизвестният множител е при познатото произведение и друг множител, където даденото му значение се запазва с обикновени дроби.
Ако е необходимо да разделите обикновената дроб a b на c d, тогава за да определите такова число, трябва да умножите по делителя c d, това в крайна сметка ще даде дивидент a b. Нека вземем число и го запишем a b · d c, където d c е реципрочната стойност на c d числото. Равенствата могат да бъдат записани, като се използват свойствата на умножението, а именно: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , където изразът a b d c е частното от деленето на a b на c d .
От тук получаваме и формулираме правилото за деление на обикновени дроби:
Определение 1
За да разделите обикновена дроб a b на c d, е необходимо да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя.
Нека запишем правилото като израз: a b: c d = a b d c
Правилата за деление се свеждат до умножение. За да се придържате към него, трябва да сте добре запознати с извършването на умножение на обикновени дроби.
Нека да преминем към разделянето на обикновените дроби.
Пример 1
Извършете деление 9 7 на 5 3 . Запишете резултата като дроб.
Решение
Числото 5 3 е реципрочното на 3 5 . Трябва да използвате правилото за деление на обикновени дроби. Записваме този израз, както следва: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.
Отговор: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Когато редуцирате дроби, трябва да подчертаете цялата част, ако числителят е по-голям от знаменателя.
Пример 2
Разделете 8 15: 24 65 . Запишете отговора като дроб.
Решение
Решението е да преминете от деление към умножение. Записваме го в следния вид: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Необходимо е да се направи намаление и това се прави по следния начин: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9
Избираме цялата част и получаваме 13 9 = 1 4 9 .
Отговор: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Деление на извънредна дроб на естествено число
Използваме правилото за деление на дроб на естествено число: за да разделим b на естествено число n, трябва да умножим само знаменателя по n. От тук получаваме израза: a b: n = a b · n .
Правилото за деление е следствие от правилото за умножение. Следователно, представянето на естествено число като дроб ще даде равенство от този тип: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.
Помислете за това деление на дроб на число.
Пример 3
Разделете дробта 1645 на числото 12.
Решение
Приложете правилото за деление на дроб на число. Получаваме израз като 16 45: 12 = 16 45 12 .
Нека намалим дробта. Получаваме 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .
Отговор: 16 45: 12 = 4 135 .
Деление на естествено число с обикновена дроб
Правилото за разделяне е подобно относноправилото за деление на естествено число на обикновена дроб: за да се раздели естествено число n на обикновено a b , е необходимо числото n да се умножи по реципрочната на дробта a b .
Въз основа на правилото имаме n: a b \u003d n b a и благодарение на правилото за умножаване на естествено число с обикновена дроб получаваме нашия израз във формата n: a b \u003d n b a. Необходимо е да разгледаме това разделение с пример.
Пример 4
Разделете 25 на 15 28 .
Решение
Трябва да преминем от деление към умножение. Записваме под формата на израз 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Нека съкратим дробта и получим резултата под формата на дроб 46 2 3 .
Отговор: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Деление на обикновена дроб със смесено число
Когато разделяте обикновена дроб на смесено число, можете лесно да блеснете с разделянето на обикновени дроби. Трябва да преобразувате смесено число в неправилна дроб.
Пример 5
Разделете дробта 35 16 на 3 1 8 .
Решение
Тъй като 3 1 8 е смесено число, нека го представим като неправилна дроб. Тогава получаваме 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Сега нека разделим дробите. Получаваме 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
Отговор: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Делението на смесено число се извършва по същия начин като обикновените числа.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Обикновените дробни числа за първи път се срещат с учениците в 5-ти клас и ги придружават през целия им живот, тъй като в ежедневието често е необходимо да се разглежда или използва някакъв обект не изцяло, а на отделни части. Началото на изучаването на тази тема - споделете. Акциите са равни частина които е разделен даден обект. В крайна сметка не винаги е възможно да се изрази например дължината или цената на даден продукт като цяло число; трябва да се вземат предвид части или дялове от всякаква мярка. Образувана от глагола "раздробяване" - разделяне на части и с арабски корени, през VIII век самата дума "фракция" се появява на руски език.
Дробните изрази отдавна се смятат за най-трудния раздел на математиката. През 17 век, когато се появяват първите учебници по математика, те се наричат "счупени числа", което е много трудно да се покаже в разбирането на хората.
Съвременната форма на прости дробни остатъци, части от които са разделени точно с хоризонтална линия, е популяризирана за първи път от Фибоначи - Леонардо от Пиза. Неговите писания датират от 1202 г. Но целта на тази статия е просто и ясно да обясни на читателя как се извършва умножението на смесени дроби с различни знаменатели.
Умножение на дроби с различни знаменатели
Първоначално е необходимо да се определи разновидности на дроби:
- правилно;
- погрешно;
- смесен.
След това трябва да запомните как се умножават дробни числа с еднакви знаменатели. Самото правило на този процес е лесно да се формулира независимо: резултатът от умножаването на прости дроби с еднакви знаменатели е дробен израз, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите на тези дроби. . Тоест всъщност новият знаменател е квадрат на един от първоначално съществуващите.
При умножаване прости дроби с различни знаменателиза два или повече фактора правилото не се променя:
а/b * ° С/д = а*в / b*d.
Единствената разлика е, че образуваното число под дробната лента ще бъде произведение от различни числа и, разбира се, не може да се нарече квадрат на един числов израз.
Струва си да разгледаме умножението на дроби с различни знаменатели, като използваме примери:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Примерите използват начини за намаляване на дробни изрази. Можете да намалите само числата на числителя с числата на знаменателя; съседните множители над или под дробната лента не могат да бъдат намалени.
Наред с простите дробни числа съществува понятието смесени дроби. Смесеното число се състои от цяло число и дробна част, т.е. това е сумата от тези числа:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Как работи умножението?
Дадени са няколко примера за разглеждане.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Примерът използва умножение на число по обикновена дробна част, можете да запишете правилото за това действие по формулата:
а * б/° С = а*б/° С.
Всъщност такъв продукт е сумата от еднакви дробни остатъци и броят на членовете показва това естествено число. Специален случай:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Има и друг вариант за решаване на умножението на число с дробен остатък. Просто трябва да разделите знаменателя на това число:
д* д/f = д/е: г.
Полезно е да използвате тази техника, когато знаменателят е разделен на естествено число без остатък или, както се казва, напълно.
Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби и получете продукта по описания по-горе начин:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Този пример включва начин за представяне на смесена дроб като неправилна дроб, тя може да бъде представена и като обща формула:
а b° С = а*б+ c / c, където знаменателят на новата дроб се формира чрез умножаване на цялата част със знаменателя и добавянето му към числителя на първоначалния дробен остатък, а знаменателят остава същият.
Този процес работи и в обратна посока. За да изберете цялата част и дробния остатък, трябва да разделите числителя на неправилна дроб на знаменателя с „ъгъл“.
Умножение на неправилни дробипроизведени по обичайния начин. Когато записът преминава под един дробен ред, ако е необходимо, трябва да намалите дробите, за да намалите числата с помощта на този метод и да е по-лесно да изчислите резултата.
В интернет има много помощници за решаване дори на сложни математически задачи в различни варианти на програмата. Достатъчен брой такива услуги предлагат своята помощ при изчисляването на умножението на дроби с различни числа в знаменателите - така наречените онлайн калкулатори за изчисляване на дроби. Те могат не само да умножават, но и да извършват всички други прости аритметични операции с обикновени дроби и смесени числа. Работата с него не е трудна, на страницата на сайта се попълват съответните полета, избира се знакът на математическото действие и се натиска „изчисли“. Програмата отчита автоматично.
Темата за аритметичните операции с дробни числа е актуална за цялото обучение на средни и старши ученици. В гимназията те вече не разглеждат най-простите видове, а цели дробни изрази, но знанията за правилата за трансформация и изчисления, получени по-рано, се прилагат в оригиналния им вид. Добре усвоените основни знания дават пълна увереност в успешното решаване на най-сложните задачи.
В заключение има смисъл да цитираме думите на Лев Толстой, който пише: „Човекът е частица. Не е във властта на човека да увеличи своя числител - собствените си заслуги, но всеки може да намали своя знаменател - мнението си за себе си, и чрез това намаляване да се доближи до своето съвършенство.
) и знаменателят по знаменателя (получаваме знаменателя на произведението).
Формула за умножение на дроби:
Например:
Преди да продължите с умножението на числители и знаменатели, е необходимо да проверите възможността за намаляване на дробите. Ако успеете да намалите фракцията, тогава ще ви бъде по-лесно да продължите да правите изчисления.
Деление на обикновена дроб на дроб.
Деление на дроби с естествено число.
Не е толкова страшно, колкото изглежда. Както в случая със събирането, ние преобразуваме цяло число в дроб с единица в знаменателя. Например:
Умножение на смесени дроби.
Правила за умножение на дроби (смесени):
- преобразуване на смесени дроби в неправилни;
- умножават числителите и знаменателите на дробите;
- намаляваме фракцията;
- ако получим неправилна дроб, тогава превръщаме неправилната дроб в смесена.
Забележка!За да умножите смесена дроб с друга смесена дроб, първо трябва да ги приведете във формата на неправилни дроби и след това да умножите според правилото за умножение на обикновени дроби.
Вторият начин за умножаване на дроб с естествено число.
По-удобно е да използвате втория метод за умножаване на обикновена дроб с число.
Забележка!За да умножите дроб по естествено число, е необходимо да разделите знаменателя на дроба на това число и да оставите числителя непроменен.
От горния пример става ясно, че тази опция е по-удобна за използване, когато знаменателят на дроб е разделен без остатък на естествено число.
Многостепенни дроби.
В гимназията често се срещат триетажни (или повече) фракции. Пример:
За да се приведе такава фракция в обичайната й форма, се използва разделяне на 2 точки:
Забележка!При разделяне на дроби редът на делене е много важен. Бъдете внимателни, тук е лесно да се объркате.
Забележка, например:
Когато разделяте едно на която и да е дроб, резултатът ще бъде същата дроб, само обърната:
Практически съвети за умножение и деление на дроби:
1. Най-важното при работата с дробни изрази е точността и вниманието. Правете всички изчисления внимателно и точно, съсредоточено и ясно. По-добре е да напишете няколко допълнителни реда в чернова, отколкото да се объркате в изчисленията в главата си.
2. При задачи с различни видове дроби – преминаване към вид обикновени дроби.
3. Намаляваме всички дроби, докато вече не е възможно да се намали.
4. Привеждаме многостепенни дробни изрази в обикновени, като използваме разделяне на 2 точки.
5. Разделяме единицата на дроб в ума си, просто като обърнем дробта.
