Математическите изрази и задачи изискват много допълнителни знания. NOC е един от основните, особено често се използва в темата.Темата се изучава в гимназията, докато не е особено трудна за разбиране на материала, няма да е трудно за човек, запознат със степените и таблицата за умножение, да избере необходимите числа и намерете резултата.
Определение
Общо кратно е число, което може да бъде напълно разделено на две числа едновременно (a и b). Най-често това число се получава чрез умножаване на оригиналните числа a и b. Числото трябва да се дели на двете числа едновременно, без отклонения.
NOC е кратко име, което е взето от първите букви.
Начини за получаване на номер
За да намерите LCM, методът за умножение на числа не винаги е подходящ, той е много по-подходящ за прости едноцифрени или двуцифрени числа. Прието е да се разделят на фактори, колкото по-голямо е числото, толкова повече фактори ще има.
Пример #1
За най-простия пример училищата обикновено приемат прости, едноцифрени или двуцифрени числа. Например, трябва да решите следната задача, намерете най-малкото общо кратно на числата 7 и 3, решението е съвсем просто, просто ги умножете. В резултат на това има числото 21, просто няма по-малко число.
Пример #2
Вторият вариант е много по-труден. Дадени са числата 300 и 1260, намирането на LCM е задължително. За решаване на задачата се предполагат следните действия:
Разлагане на първо и второ число на най-прости множители. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Първият етап е завършен.
Вторият етап включва работа с вече получените данни. Всяко от получените числа трябва да участва в изчисляването на крайния резултат. За всеки фактор най-големият брой срещания се взема от оригиналните числа. LCM е често срещано число, така че факторите от числата трябва да се повтарят в него до последно, дори и тези, които присъстват в един случай. И двете начални числа имат в състава си числата 2, 3 и 5, в различни степени, 7 е само в един случай.
За да изчислите крайния резултат, трябва да вземете всяко число в най-голямата от представените им степени в уравнението. Остава само да умножите и да получите отговора, с правилното попълване задачата се вписва в две стъпки без обяснение:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOK = 6300.
Това е цялата задача, ако се опитате да изчислите желаното число чрез умножение, тогава отговорът определено няма да е правилен, тъй като 300 * 1260 = 378 000.
Преглед:
6300 / 300 = 21 - вярно;
6300 / 1260 = 5 е правилно.
Коректността на резултата се определя чрез проверка - разделяне на LCM на двете оригинални числа, ако числото е цяло число и в двата случая, тогава отговорът е правилен.
Какво означава NOC в математиката
Както знаете, в математиката няма нито една безполезна функция, тази не е изключение. Най-честата цел на това число е да приведе дроби към общ знаменател. Това, което обикновено се изучава в 5-6 клас на гимназията. Освен това е общ делител за всички кратни, ако такива условия са в проблема. Такъв израз може да намери кратно не само на две числа, но и на много по-голямо число - три, пет и т.н. Колкото повече числа - толкова повече действия в задачата, но сложността на това не се увеличава.
Например, като се имат предвид числата 250, 600 и 1500, трябва да намерите общия им LCM:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - този пример описва разлагането на множители в детайли, без редукция.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
За да се състави израз, е необходимо да се споменат всички множители, в случая са дадени 2, 5, 3 - за всички тези числа е необходимо да се определи максималната степен.
Внимание: всички множители трябва да бъдат доведени до пълно опростяване, ако е възможно, разлагане до ниво на едноцифрени числа.
Преглед:
1) 3000 / 250 = 12 - вярно;
2) 3000 / 600 = 5 - вярно;
3) 3000 / 1500 = 2 е правилно.
Този метод не изисква никакви трикове или способности на ниво гений, всичко е просто и ясно.
Друг начин
В математиката много неща са свързани, много могат да бъдат решени по два или повече начина, същото важи и за намирането на най-малкото общо кратно, LCM. Следният метод може да се използва в случай на прости двуцифрени и едноцифрени числа. Съставя се таблица, в която множителят се въвежда вертикално, множителят хоризонтално, а произведението се посочва в пресичащите се клетки на колоната. Можете да отразявате таблицата с помощта на линия, взема се число и резултатите от умножаването на това число с цели числа се записват в ред, от 1 до безкрайност, понякога са достатъчни 3-5 точки, второто и следващите числа се подлагат към същия изчислителен процес. Всичко се случва, докато се намери общо кратно.
Имайки предвид числата 30, 35, 42, трябва да намерите LCM, който свързва всички числа:
1) Кратни на 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т.н.
2) Кратни на 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т.н.
3) Кратни на 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т.н.
Забелязва се, че всички числа са доста различни, единственото общо число сред тях е 210, така че това ще бъде LCM. Сред процесите, свързани с това изчисление, има и най-големият общ делител, който се изчислява по подобни принципи и често се среща в съседни задачи. Разликата е малка, но достатъчно значителна, LCM включва изчисляване на число, което се дели на всички зададени начални стойности, а GCD предполага изчисляването на най-голямата стойност, на която са разделени първоначалните числа.
Онлайн калкулаторът ви позволява бързо да намерите най-големия общ делител и най-малкото общо кратно на две или произволен друг брой числа.
Калкулатор за намиране на GCD и NOC
Намерете GCD и NOC
GCD и NOC намерени: 5806
Как да използвате калкулатора
- Въведете числа в полето за въвеждане
- В случай на въвеждане на грешни символи, полето за въвеждане ще бъде маркирано в червено
- натиснете бутона "Намиране на GCD и NOC"
Как се въвеждат числа
- Числата се въвеждат разделени с интервали, точки или запетаи
- Дължината на въведените числа не е ограничена, така че намирането на gcd и lcm на дълги числа няма да е трудно
Какво е NOD и NOK?
Най-голям общ делителот няколко числа е най-голямото естествено цяло число, на което всички оригинални числа се делят без остатък. Най-големият общ делител се обозначава съкратено като GCD.
Най-малко общо кратноняколко числа е най-малкото число, което се дели на всяко от оригиналните числа без остатък. Най-малкото общо кратно се обозначава съкратено като НОК.
Как да проверя дали едно число се дели на друго число без остатък?
За да разберете дали едно число се дели на друго без остатък, можете да използвате някои свойства на делимост на числата. След това чрез комбинирането им може да се провери делимостта на някои от тях и техните комбинации.
Някои признаци за делимост на числата
1. Признак за делимост на числото на 2
За да определите дали едно число се дели на две (дали е четно), достатъчно е да погледнете последната цифра на това число: ако е равно на 0, 2, 4, 6 или 8, тогава числото е четно, което означава, че се дели на 2.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 2.
Решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото се дели на две.
2. Признак за делимост на числото на 3
Едно число се дели на 3, когато сборът от неговите цифри се дели на 3. По този начин, за да определите дали дадено число се дели на 3, трябва да изчислите сумата от цифрите и да проверите дали се дели на 3. Дори ако сумата от цифрите се оказа много голяма, можете да повторите същия процес отново.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 3.
Решение:броим сбора на цифрите: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 3, което означава, че числото се дели на три.
3. Признак за делимост на числото на 5
Едно число се дели на 5, когато последната му цифра е нула или пет.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 5.
Решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото НЕ се дели на пет.
4. Признак за делимост на числото на 9
Този знак е много подобен на знака за делимост на три: едно число се дели на 9, когато сборът от неговите цифри се дели на 9.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 9.
Решение:изчисляваме сумата от цифрите: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 9, което означава, че числото се дели на девет.
Как да намерим GCD и LCM на две числа
Как да намерим НОД на две числа
Най-лесният начин за изчисляване на най-големия общ делител на две числа е да намерите всички възможни делители на тези числа и да изберете най-големия от тях.
Разгледайте този метод, като използвате примера за намиране на GCD(28, 36):
- Разлагаме двете числа на множители: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
- Намираме общи множители, тоест тези, които имат и двете числа: 1, 2 и 2.
- Изчисляваме произведението на тези фактори: 1 2 2 \u003d 4 - това е най-големият общ делител на числата 28 и 36.
Как да намерим LCM на две числа
Има два най-често срещани начина за намиране на най-малкото кратно на две числа. Първият начин е, че можете да напишете първите кратни на две числа и след това да изберете сред тях такова число, което ще бъде общо за двете числа и в същото време най-малкото. И второто е да намерим НОД на тези числа. Нека просто го разгледаме.
За да изчислите LCM, трябва да изчислите произведението на оригиналните числа и след това да го разделите на предварително намерения GCD. Нека намерим LCM за същите числа 28 и 36:
- Намерете произведението на числата 28 и 36: 28 36 = 1008
- gcd(28, 36) вече е известно, че е 4
- LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252.
Намиране на GCD и LCM за множество числа
Най-големият общ делител може да се намери за няколко числа, а не само за две. За тази цел числата, за които трябва да се търси най-големият общ делител, се разлагат на прости множители, след което се намира произведението на общите прости множители на тези числа. Освен това, за да намерите GCD на няколко числа, можете да използвате следната връзка: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).
Подобна връзка важи и за най-малкото общо кратно на числа: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Пример:намерете GCD и LCM за числата 12, 32 и 36.
- Първо, нека разложим числата на множители: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
- Нека намерим общи множители: 1, 2 и 2 .
- Техният продукт ще даде gcd: 1 2 2 = 4
- Сега нека намерим LCM: за това първо намираме LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
- За да намерите НОК на трите числа, трябва да намерите НОД(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , НОД = 1 2 .2 3 = 12 .
- LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .
Определение.Нарича се най-голямото естествено число, на което числата a и b се делят без остатък най-голям общ делител (gcd)тези числа.
Нека намерим най-големия общ делител на числата 24 и 35.
Делителите на 24 ще бъдат числата 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителите на 35 ще бъдат числата 1, 5, 7, 35.
Виждаме, че числата 24 и 35 имат само един общ делител - числото 1. Такива числа се наричат взаимно приме.
Определение.Естествените числа се наричат взаимно примеако техният най-голям общ делител (gcd) е 1.
Най-голям общ делител (НОД)може да се намери, без да се изписват всички делители на дадените числа.
Разлагайки числата 48 и 36 на множители, получаваме:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
От факторите, включени в разширяването на първото от тези числа, изтриваме онези, които не са включени в разширяването на второто число (т.е. две двойки).
Остават множителите 2 * 2 * 3. Тяхното произведение е 12. Това число е най-големият общ делител на числата 48 и 36. Намерен е и най-големият общ делител на три или повече числа.
Да намеря най-голям общ делител
2) от факторите, включени в разширяването на едно от тези числа, зачеркнете онези, които не са включени в разширяването на други числа;
3) намерете произведението на останалите множители.
Ако всички дадени числа се делят на едно от тях, то това число е най-голям общ делителдадени числа.
Например най-големият общ делител на 15, 45, 75 и 180 е 15, тъй като той дели всички останали числа: 45, 75 и 180.
Най-малко общо кратно (LCM)
Определение. Най-малко общо кратно (LCM)естествените числа a и b са най-малкото естествено число, което е кратно на a и b. Най-малкото общо кратно (LCM) на числата 75 и 60 може да се намери, без да се записват кратни на тези числа подред. За да направим това, разлагаме 75 и 60 на прости множители: 75 \u003d 3 * 5 * 5 и 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Изписваме факторите, включени в разширението на първото от тези числа, и добавяме към тях липсващите фактори 2 и 2 от разширението на второто число (т.е. комбинираме факторите).
Получаваме пет фактора 2 * 2 * 3 * 5 * 5, чийто продукт е 300. Това число е най-малкото общо кратно на числата 75 и 60.
Също така намерете най-малкото общо кратно на три или повече числа.
Да се намерете най-малкото общо кратноняколко естествени числа, трябва:
1) разложи ги на прости множители;
2) напишете факторите, включени в разширяването на едно от числата;
3) добавете към тях липсващите множители от разширенията на останалите числа;
4) намерете произведението на получените фактори.
Обърнете внимание, че ако едно от тези числа се дели на всички други числа, тогава това число е най-малкото общо кратно на тези числа.
Например най-малкото общо кратно на 12, 15, 20 и 60 би било 60, тъй като се дели на всички дадени числа.
Питагор (VI в. пр. н. е.) и неговите ученици изучават въпроса за делимостта на числата. Число, равно на сумата от всичките му делители (без самото число), те наричат перфектно число. Например числата 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) са перфектни. Следващите съвършени числа са 496, 8128, 33 550 336. Питагорейците са знаели само първите три съвършени числа. Четвъртият - 8128 - става известен през 1 век. н. д. Петият - 33 550 336 - е намерен през 15 век. До 1983 г. вече са известни 27 съвършени числа. Но досега учените не знаят дали има нечетни съвършени числа, дали има най-голямото съвършено число.
Интересът на древните математици към простите числа се дължи на факта, че всяко число е или просто, или може да бъде представено като произведение на прости числа, тоест простите числа са като тухли, от които са изградени останалите естествени числа.
Вероятно сте забелязали, че простите числа в редицата от естествени числа се срещат неравномерно - в някои части на редицата са повече, в други - по-малко. Но колкото по-нататък се движим по редицата от числа, толкова по-редки са простите числа. Възниква въпросът: съществува ли последното (най-голямото) просто число? Древногръцкият математик Евклид (3 век пр. н. е.) в книгата си „Начала“, която в продължение на две хиляди години е основният учебник по математика, доказва, че има безкрайно много прости числа, тоест зад всяко просто число стои четно число. по-голямо просто число.
За намиране на прости числа друг гръцки математик от същото време, Ератостен, измисли такъв метод. Той записа всички числа от 1 до някакво число и след това задраска единицата, която не е нито просто, нито съставно число, след това задраска през едно всички числа след 2 (числа, кратни на 2, т.е. 4, 6, 8 и т.н.). Първото останало число след 2 беше 3. След това, след две, всички числа след 3 бяха задраскани (числа, кратни на 3, т.е. 6, 9, 12 и т.н.). накрая само простите числа останаха незадраскани.
Помислете за три начина за намиране на най-малкото общо кратно.
Намиране чрез факторизиране
Първият начин е да се намери най-малкото общо кратно чрез разлагане на дадените числа на прости множители.
Да предположим, че трябва да намерим LCM на числата: 99, 30 и 28. За да направим това, разлагаме всяко от тези числа на прости множители:
За да може желаното число да се дели на 99, 30 и 28, е необходимо и достатъчно то да включва всички прости множители на тези делители. За да направим това, трябва да вземем всички прости множители на тези числа на най-високата степен и да ги умножим заедно:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Така че LCM (99, 30, 28) = 13 860. Никое друго число, по-малко от 13 860, не се дели равномерно на 99, 30 или 28.
За да намерите най-малкото общо кратно на дадени числа, трябва да ги разделите на прости множители, след това да вземете всеки прост множител с най-големия показател, с който се среща, и да умножите тези множители заедно.
Тъй като взаимно простите числа нямат общи прости множители, тяхното най-малко общо кратно е равно на произведението на тези числа. Например три числа: 20, 49 и 33 са взаимно прости. Ето защо
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.
Същото трябва да се направи, когато се търси най-малкото общо кратно на различни прости числа. Например LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Намиране чрез подбор
Вторият начин е да се намери най-малкото общо кратно чрез фитиране.
Пример 1. Когато най-голямото от дадените числа се дели равномерно на други дадени числа, тогава НОК на тези числа е равен на по-голямото от тях. Например дадени са четири числа: 60, 30, 10 и 6. Всяко от тях се дели на 60, следователно:
NOC(60, 30, 10, 6) = 60
В други случаи, за да се намери най-малкото общо кратно, се използва следната процедура:
- Определете най-голямото число от дадените числа.
- След това намираме числа, които са кратни на най-голямото число, като го умножаваме по естествени числа във възходящ ред и проверяваме дали останалите дадени числа се делят на получения продукт.
Пример 2. Дадени са три числа 24, 3 и 18. Определя се най-голямото от тях - това е числото 24. След това се намират кратните на 24, като се проверява дали всяко от тях се дели на 18 и на 3:
24 1 = 24 се дели на 3, но не се дели на 18.
24 2 = 48 - дели се на 3, но не се дели на 18.
24 3 \u003d 72 - делимо на 3 и 18.
И така, LCM(24, 3, 18) = 72.
Намиране чрез последователно намиране LCM
Третият начин е да се намери най-малкото общо кратно чрез последователно намиране на LCM.
LCM на две дадени числа е равен на произведението на тези числа, делено на техния най-голям общ делител.
Пример 1. Намерете LCM на две дадени числа: 12 и 8. Определете техния най-голям общ делител: НОД (12, 8) = 4. Умножете тези числа:
Ние разделяме продукта на GCD:
Така че LCM(12, 8) = 24.
За да намерите LCM на три или повече числа, се използва следната процедура:
- Първо се намира LCM на всеки две от дадените числа.
- След това LCM на намереното най-малко общо кратно и третото дадено число.
- След това LCM на полученото най-малко общо кратно и четвъртото число и т.н.
- Така търсенето на LCM продължава, докато има числа.
Пример 2. Нека намерим НОК на три дадени числа: 12, 8 и 9. Вече намерихме НОК на числата 12 и 8 в предишния пример (това е числото 24). Остава да намерим най-малкото общо кратно на 24 и третото дадено число - 9. Определяме техния най-голям общ делител: gcd (24, 9) = 3. Умножаваме LCM с числото 9:
Ние разделяме продукта на GCD:
И така, LCM(12, 8, 9) = 72.
Нека продължим дискусията за най-малкото общо кратно, която започнахме в раздела LCM - Най-малко общо кратно, дефиниция, примери. В тази тема ще разгледаме начини за намиране на LCM за три или повече числа, ще анализираме въпроса как да намерим LCM на отрицателно число.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез gcd
Вече установихме връзката между най-малкото общо кратно и най-големия общ делител. Сега нека научим как да дефинираме LCM чрез GCD. Първо, нека разберем как да направим това за положителни числа.
Определение 1
Можете да намерите най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител, като използвате формулата LCM (a, b) \u003d a b: НОД (a, b) .
Пример 1
Необходимо е да се намери LCM на числата 126 и 70.
Решение
Нека вземем a = 126 , b = 70 . Заменете стойностите във формулата за изчисляване на най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител LCM (a, b) = a · b: НОД (a, b) .
Намира НОД на числата 70 и 126. За това се нуждаем от алгоритъма на Евклид: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , следователно gcd (126 , 70) = 14 .
Нека изчислим LCM: LCM (126, 70) = 126 70: НОД (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Отговор: LCM (126, 70) = 630.
Пример 2
Намерете nok на числата 68 и 34.
Решение
GCD в този случай е лесно да се намери, тъй като 68 се дели на 34. Изчислете най-малкото общо кратно, като използвате формулата: LCM (68, 34) = 68 34: НОД (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Отговор: LCM(68, 34) = 68.
В този пример използвахме правилото за намиране на най-малкото общо кратно на положителни цели числа a и b: ако първото число се дели на второто, тогава LCM на тези числа ще бъде равно на първото число.
Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители
Сега нека разгледаме начин за намиране на LCM, който се основава на разлагането на числата на прости множители.
Определение 2
За да намерим най-малкото общо кратно, трябва да изпълним няколко прости стъпки:
- съставяме произведението на всички прости множители на числа, за които трябва да намерим LCM;
- ние изключваме всички прости множители от техните получени продукти;
- произведението, получено след елиминиране на общите прости множители, ще бъде равно на LCM на дадените числа.
Този начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на равенството LCM (a , b) = a b: НОД (a , b) . Ако погледнете формулата, ще стане ясно: произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, които участват в разширяването на тези две числа. В този случай НОД на две числа е равен на произведението на всички прости множители, които присъстват едновременно в разложенията на тези две числа.
Пример 3
Имаме две числа 75 и 210. Можем да ги разделим по следния начин: 75 = 3 5 5и 210 = 2 3 5 7. Ако направите произведението на всички множители на двете оригинални числа, получавате: 2 3 3 5 5 5 7.
Ако изключим множителите, общи за числата 3 и 5, получаваме продукт от следната форма: 2 3 5 5 7 = 1050. Този продукт ще бъде нашият LCM за числата 75 и 210.
Пример 4
Намерете LCM на числата 441 и 700 , разлагайки двете числа на прости множители.
Решение
Нека намерим всички прости множители на числата, дадени в условието:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Получаваме две вериги от числа: 441 = 3 3 7 7 и 700 = 2 2 5 5 7 .
Продуктът на всички фактори, които са участвали в разширяването на тези числа, ще изглежда така: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Нека намерим общите множители. Това число е 7. Изключваме го от общия продукт: 2 2 3 3 5 5 7 7. Оказва се, че NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Отговор: LCM (441 , 700) = 44 100 .
Нека дадем още една формулировка на метода за намиране на LCM чрез разлагане на числата на прости множители.
Определение 3
Преди това изключихме от общия брой фактори, общи за двете числа. Сега ще го направим по различен начин:
- Нека разложим и двете числа на прости множители:
- добавете към произведението на простите множители на първото число липсващите множители на второто число;
- получаваме продукта, който ще бъде търсеният LCM от две числа.
Пример 5
Да се върнем към числата 75 и 210, за които вече търсихме LCM в един от предишните примери. Нека ги разделим на прости фактори: 75 = 3 5 5и 210 = 2 3 5 7. Към произведението на множители 3 , 5 и 5 номер 75 добавете липсващите множители 2 и 7 числата 210 . Получаваме: 2 3 5 5 7 .Това е LCM на числата 75 и 210.
Пример 6
Необходимо е да се изчисли LCM на числата 84 и 648.
Решение
Нека разложим числата от условието на прости множители: 84 = 2 2 3 7и 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Добавете към произведението на множителите 2 , 2 , 3 и 7
числа 84 липсващи множители 2 , 3 , 3 и
3
числата 648 . Получаваме продукта 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .Това е най-малкото общо кратно на 84 и 648.
Отговор: LCM (84, 648) = 4536.
Намиране на LCM на три или повече числа
Независимо с колко числа имаме работа, алгоритъмът на нашите действия винаги ще бъде един и същ: последователно ще намираме LCM на две числа. Има теорема за този случай.
Теорема 1
Да предположим, че имаме цели числа a 1 , a 2 , … , a k. НОК m kот тези числа се намира при последователно изчисление m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .
Сега нека да разгледаме как теоремата може да се приложи към конкретни проблеми.
Пример 7
Трябва да изчислите най-малкото общо кратно на четирите числа 140 , 9 , 54 и 250 .
Решение
Нека въведем нотацията: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Нека започнем с изчисляването на m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Нека използваме евклидовия алгоритъм, за да изчислим НОД на числата 140 и 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Получаваме: НОД(140, 9) = 1, НОК(140, 9) = 140 9: НОД(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Следователно m 2 = 1 260 .
Сега нека изчислим по същия алгоритъм m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . В хода на изчисленията получаваме m 3 = 3 780.
Остава да изчислим m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Ние действаме по същия алгоритъм. Получаваме m 4 \u003d 94 500.
LCM на четирите числа от примерното условие е 94500.
Отговор: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Както можете да видите, изчисленията са прости, но доста трудоемки. За да спестите време, можете да отидете по друг начин.
Определение 4
Предлагаме ви следния алгоритъм на действие:
- разложи всички числа на прости множители;
- към произведението на множителите на първото число добавете липсващите множители от произведението на второто число;
- добавете липсващите фактори на третото число към продукта, получен на предишния етап и т.н.;
- полученото произведение ще бъде най-малкото общо кратно на всички числа от условието.
Пример 8
Необходимо е да се намери НОК на пет числа 84, 6, 48, 7, 143.
Решение
Нека разложим всичките пет числа на прости множители: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Простите числа, което е числото 7, не могат да бъдат разложени на прости множители. Такива числа съвпадат с тяхното разлагане на прости множители.
Сега нека вземем произведението на простите множители 2, 2, 3 и 7 на числото 84 и добавим към тях липсващите множители на второто число. Разложихме числото 6 на 2 и 3. Тези множители вече са в произведението на първото число. Затова ги пропускаме.
Продължаваме да добавяме липсващите множители. Обръщаме се към числото 48, от произведението на прости множители, на които вземаме 2 и 2. След това добавяме прост множител 7 от четвъртото число и множителите 11 и 13 от петото. Получаваме: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Това е най-малкото общо кратно на петте оригинални числа.
Отговор: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.
Намиране на най-малкото общо кратно на отрицателни числа
За да се намери най-малкото общо кратно на отрицателни числа, тези числа трябва първо да бъдат заменени с числа с противоположен знак и след това изчисленията да се извършат съгласно горните алгоритми.
Пример 9
LCM(54, −34) = LCM(54, 34) и LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Такива действия са допустими поради факта, че ако се приеме, че аи − а- противоположни числа
тогава множеството от кратни асъвпада с набора от кратни на число − а.
Пример 10
Необходимо е да се изчисли LCM на отрицателни числа − 145 и − 45 .
Решение
Нека сменим числата − 145 и − 45 към техните противоположни числа 145 и 45 . Сега, използвайки алгоритъма, ние изчисляваме LCM (145 , 45) = 145 45: НОД (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , като преди това сме определили НОД с помощта на алгоритъма на Евклид.
Получаваме, че НОК на числата − 145 и − 45 се равнява 1 305 .
Отговор: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
