дивизияи числителя и знаменателя на дробта върху техните общ делител , различен от един, се нарича намаляване на дроб.
За съкращаване обикновена дроб, трябва да разделите неговия числител и знаменател на едно и също естествено число.
Това число е най-големият общ делител на числителя и знаменателя на дадената дроб.
Възможни са следните формуляри за записване на решенияПримери за съкращаване на обикновени дроби.
Студентът има право да избере всяка форма на запис.
Примери. Опростете дробите.
Намалете дробта с 3 (разделете числителя на 3;
разделете знаменателя на 3).
Намалете дроба със 7.
Извършваме посочените действия в числителя и знаменателя на дробта.
Получената дроб се намалява с 5.
Нека намалим тази дроб 4)
На 5·7³- най-големият общ делител (НОД) на числителя и знаменателя, който се състои от общите множители на числителя и знаменателя, взети на степен с най-малък показател.
Нека разложим числителя и знаменателя на тази дроб на прости множители.
Получаваме: 756=2²·3³·7И 1176=2³·3·7².
Определете НОД (най-големия общ делител) на числителя и знаменателя на дробта 5) .
Това е произведението на общи множители, взети с най-ниските показатели.
gcd(756, 1176)= 2²·3·7.
Разделяме числителя и знаменателя на тази дроб на тяхната gcd, т.е 2²·3·7получаваме несъкратима дроб 9/14
.
Или беше възможно да се напише разлагането на числителя и знаменателя под формата на произведение от прости множители, без да се използва концепцията за мощност, и след това да се намали дробта, като се зачеркнат същите множители в числителя и знаменателя. Когато не останат еднакви множители, умножаваме останалите множители отделно в числителя и отделно в знаменателя и записваме получената дроб 9/14 .
И накрая беше възможно да се намали тази част 5) постепенно, прилагайки знаци за деление на числата както към числителя, така и към знаменателя на дробта. Нека помислим така: числа 756 И 1176 завършват на четно число, което означава, че и двете се делят на 2 . Намаляваме дроба с 2 . Числителят и знаменателят на новата дроб са числа 378 И 588 също се разделя на 2 . Намаляваме дроба с 2 . Забелязваме, че броят 294 - дори и 189 е нечетно и намаляването с 2 вече не е възможно. Да проверим делимостта на числата 189 И 294 На 3 .
(1+8+9)=18 се дели на 3 и (2+9+4)=15 се дели на 3, следователно и самите числа 189 И 294 се разделят на 3 . Намаляваме дроба с 3 . Освен това, 63 се дели на 3 и 98 - Не. Нека разгледаме други прости множители. И двете числа се делят на 7 . Намаляваме дроба с 7 и получаваме несъкратимата дроб 9/14 .
За да разберем как да съкращаваме дроби, нека първо да разгледаме един пример.
Да намалиш дроб означава да разделиш числителя и знаменателя на едно и също нещо. И 360, и 420 завършват с цифра, така че можем да намалим тази дроб с 2. В новата дроб и 180, и 210 също се делят на 2, така че намаляваме тази дроб с 2. В числата 90 и 105 сумата от цифрите се дели на 3, така че и двете числа се делят на 3, намаляваме дробта с 3. В новата дроб 30 и 35 завършват на 0 и 5, което означава, че и двете числа се делят на 5, така че намаляваме дробта с 5. Получената дроб от шест седми е несъкратима. Това е окончателният отговор.
Можем да стигнем до същия отговор по различен начин.
И 360, и 420 завършват на нула, което означава, че се делят на 10. Намаляваме дробта с 10. В новата дроб и числителят 36, и знаменателят 42 са разделени на 2. Намаляваме дробта с 2. В следващата дроб, както числителят 18, така и знаменателят 21 са разделени на 3, което означава, че намаляваме дробта с 3. Стигнахме до резултата - шест седми.
И още едно решение.
Следващия път ще разгледаме примери за съкращаване на дроби.
Удобно и просто онлайн калкулатордроби с подробно решение Може би:
- Събиране, изваждане, умножение и деление на дроби онлайн,
- Получете готово решение на дроби със снимка и го прехвърлете удобно.
Резултатът от решаването на дроби ще бъде тук...
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Знак за дроб "/" + - * :
_erase Изчисти
Нашият онлайн калкулатор за дроби има бързо въвеждане. За да решите дроби, например, просто пишете 1/2+2/7
в калкулатора и натиснете " Решете дроби". Калкулаторът ще ви пише подробно решение на дробии ще издаде лесно за копиране изображение.
Знаци, използвани за писане в калкулатор
Можете да въведете пример за решение от клавиатурата или чрез бутони.
Характеристики на онлайн калкулатора за дроби
Калкулаторът на дроби може да извършва операции само с 2 прости дроби. Те могат да бъдат правилни (числителят е по-малък от знаменателя) или неправилни (числителят е по-голям от знаменателя). Числата в числителя и знаменателя не могат да бъдат отрицателни или по-големи от 999.Нашият онлайн калкулатор решава дроби и привежда отговора в правилната форма - намалява дробта и избира цялата част, ако е необходимо.
Ако трябва да решите отрицателни дроби, просто използвайте свойствата на минус. При умножаване и деление на отрицателни дроби минус по минус дава плюс. Тоест произведението и деленето на отрицателни дроби е равно на произведението и делението на същите положителни. Ако една дроб е отрицателна при умножение или деление, тогава просто премахнете минуса и след това го добавете към отговора. Когато събирате отрицателни дроби, резултатът ще бъде същият, както ако събирате същите положителни дроби. Ако добавите една отрицателна дроб, тогава това е същото като изваждането на същата положителна дроб.
При изваждане на отрицателни дроби резултатът ще бъде същият, както ако те бяха разменени и направени положителни. Тоест минус по минус в в такъв случайдава плюс, но пренареждането на членовете не променя сумата. Използваме същите правила, когато изваждаме дроби, една от които е отрицателна.
За решаване на смесени дроби (дроби, в които цяла част) просто преместете цялата част във фракция. За да направите това, умножете цялата част по знаменателя и добавете към числителя.
Ако трябва да решите 3 или повече дроби онлайн, трябва да ги решите една по една. Първо пребройте първите 2 дроби, след това решете следващата дроб с отговора, който получавате и т.н. Извършете операциите една по една, 2 дроби наведнъж и в крайна сметка ще получите правилния отговор.
Ако трябва да разделим 497 на 4, тогава при деленето ще видим, че 497 не се дели равномерно на 4, т.е. остатъкът от делението остава. В такива случаи се казва, че е завършено деление с остатък, а решението се записва по следния начин:
497: 4 = 124 (1 остатък).
Компонентите за деление от лявата страна на равенството се наричат по същия начин, както при деление без остатък: 497 - дивидент, 4 - разделител. Резултатът от деленето при деление с остатък се нарича непълна частна. В нашия случай това е числото 124. И накрая, последният компонент, който не е в обикновено деление, - остатък. В случаите, когато няма остатък, се казва, че едно число е разделено на друго без следа или напълно. Смята се, че при такова деление остатъкът е нула. В нашия случай остатъкът е 1.
Остатъкът винаги е по-малък от делителя.
Делението може да се провери чрез умножение. Ако например има равенство 64: 32 = 2, тогава проверката може да се извърши по следния начин: 64 = 32 * 2.
Често в случаите, когато се извършва деление с остатък, е удобно да се използва равенството
a = b * n + r,
където a е дивидентът, b е делителят, n е частичното частно, r е остатъкът.
Частното на естествените числа може да се запише като дроб.
Числителят на дроб е дивидентът, а знаменателят е делителят.
Тъй като числителят на дроб е дивидентът, а знаменателят е делителят, вярват, че чертата на дроб означава действието на деленето. Понякога е удобно да напишете делението като дроб, без да използвате знака ":".
Частното от деленето на естествените числа m и n може да бъде записано като дроб \(\frac(m)(n)\), където числителят m е дивидентът, а знаменателят n е делителят:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Следните правила са верни:
За да получите дробта \(\frac(m)(n)\), трябва да разделите единицата на n равни части (дяла) и да вземете m такива части.
За да получите дробта \(\frac(m)(n)\), трябва да разделите числото m на числото n.
За да намерите част от цяло, трябва да разделите числото, съответстващо на цялото, на знаменателя и да умножите резултата по числителя на дробта, която изразява тази част.
За да намерите цяло от неговата част, трябва да разделите числото, съответстващо на тази част, на числителя и да умножите резултата по знаменателя на фракцията, която изразява тази част.
Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат по едно и също число (с изключение на нула), стойността на дробта няма да се промени:
\(\голям \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Ако числителят и знаменателят на дроб са разделени на едно и също число (с изключение на нула), стойността на дробта няма да се промени:
\(\голям \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Това свойство се нарича основно свойство на дроб.
Последните две трансформации се наричат намаляване на дроб.
Ако дробите трябва да бъдат представени като дроби с еднакъв знаменател, тогава това действие се извиква свеждане на дроби до общ знаменател.
Правилни и неправилни дроби. Смесени числа
Вече знаете, че дроб може да се получи, като едно цяло се раздели на равни части и се вземат няколко такива части. Например дробта \(\frac(3)(4)\) означава три четвърти от едно. В много от задачите в предишния параграф дробите са използвани за представяне на части от цяло. Здравият разум диктува, че частта винаги трябва да е по-малка от цялото, но какво да кажем за дроби като \(\frac(5)(5)\) или \(\frac(8)(5)\)? Ясно е, че това вече не е част от звеното. Вероятно затова се наричат дроби, чийто числител е по-голям или равен на знаменателя неправилни дроби. Останалите дроби, т.е. дроби, чийто числител е по-малък от знаменателя, се наричат правилни дроби.
Както знаете, всяка обикновена дроб, както правилна, така и неправилна, може да се разглежда като резултат от разделянето на числителя на знаменателя. Следователно в математиката, за разлика от обикновения език, терминът „неправилна дроб“ не означава, че сме направили нещо нередно, а само че числителят на тази дроб е по-голям или равен на знаменателя.
Ако числото се състои от цяла част и дроб, тогава такова фракциите се наричат смесени.
Например:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 е цялата част, а \(\frac(2)(3) \) е дробната част.
Ако числителят на дробта \(\frac(a)(b)\) се дели на естествено число n, тогава, за да се раздели тази дроб на n, нейният числител трябва да бъде разделен на това число:
\(\голям \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Ако числителят на дробта \(\frac(a)(b)\) не се дели на естествено число n, тогава за да разделите тази дроб на n, трябва да умножите нейния знаменател по това число:
\(\голям \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Обърнете внимание, че второто правило също е вярно, когато числителят се дели на n. Следователно можем да го използваме, когато е трудно да определим на пръв поглед дали числителят на една дроб се дели на n или не.
Действия с дроби. Събиране на дроби.
Можете да извършвате аритметични операции с дробни числа, точно както с естествени числа. Нека първо разгледаме добавянето на дроби. Лесно е да събирате дроби с еднакви знаменатели. Нека намерим, например, сумата от \(\frac(2)(7)\) и \(\frac(3)(7)\). Лесно е да се разбере, че \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
За да съберете дроби с еднакви знаменатели, трябва да съберете техните числители и да оставите знаменателя същия.
Използвайки букви, правилото за събиране на дроби с еднакви знаменатели може да бъде написано по следния начин:
\(\голям \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Ако трябва да добавите дроби с различни знаменатели, тогава първо трябва да бъдат приведени към общ знаменател. Например:
\(\голям \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
За дробите, както и за естествените числа, са валидни комутативността и асоциативността на събирането.
Добавяне на смесени фракции
Извикват се нотации като \(2\frac(2)(3)\). смесени фракции. В този случай се извиква числото 2 цяла частсмесена дроб и числото \(\frac(2)(3)\) е нейното дробна част. Записът \(2\frac(2)(3)\) се чете по следния начин: „две и две трети“.
Когато разделите числото 8 на числото 3, можете да получите два отговора: \(\frac(8)(3)\) и \(2\frac(2)(3)\). Те изразяват едно и също дробно число, т.е. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Така неправилната дроб \(\frac(8)(3)\) се представя като смесена дроб \(2\frac(2)(3)\). В такива случаи казват, че от неправилна дроб подчерта цялата част.
Изваждане на дроби (дробни числа)
Изваждането на дробни числа, подобно на естествените числа, се определя въз основа на действието на добавяне: изваждането на друго от едно число означава намиране на число, което, когато се добави към второто, дава първото. Например:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \), тъй като \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)
Правилото за изваждане на дроби с еднакви знаменатели е подобно на правилото за събиране на такива дроби:
За да намерите разликата между дроби с еднакви знаменатели, трябва да извадите числителя на втората от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя същия.
Използвайки букви, това правило е написано така:
\(\голям \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Умножение на дроби
За да умножите дроб по дроб, трябва да умножите техните числители и знаменатели и да запишете първия продукт като числител, а втория като знаменател.
Използвайки букви, правилото за умножение на дроби може да бъде написано по следния начин:
\(\голям \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Използвайки формулираното правило, можете да умножите дроб по естествено число, по смесена дроб, както и да умножите смесени дроби. За да направите това, трябва да напишете естествено число като дроб със знаменател 1, смесена дроб - като неправилна дроб.
Резултатът от умножението трябва да се опрости (ако е възможно) чрез намаляване на дробта и изолиране на цялата част от неправилната дроб.
За дробите, както и за естествените числа, са валидни комутативността и комбинативността на умножението, както и разпределителното свойство на умножението спрямо събирането.
Деление на дроби
Нека вземем дробта \(\frac(2)(3)\) и я „обърнем“, разменяйки числителя и знаменателя. Получаваме дробта \(\frac(3)(2)\). Тази дроб се нарича обратендроби \(\frac(2)(3)\).
Ако сега „обърнем“ дробта \(\frac(3)(2)\), ще получим оригиналната дроб \(\frac(2)(3)\). Следователно дроби като \(\frac(2)(3)\) и \(\frac(3)(2)\) се наричат взаимно обратни.
Например фракциите \(\frac(6)(5) \) и \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) и \(\frac (18 )(7)\).
Използвайки букви, реципрочните дроби могат да бъдат записани както следва: \(\frac(a)(b) \) и \(\frac(b)(a) \)
Ясно е, че произведението на реципрочните дроби е равно на 1. Например: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Използвайки реципрочни дроби, можете да намалите деленето на дроби до умножение.
Правилото за деление на дроб на дроб е:
За да разделите една дроб на друга, трябва да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя.
Използвайки букви, правилото за разделяне на дроби може да бъде написано по следния начин:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Ако дивидентът или делителят е естествено числоили смесена дроб, тогава, за да се използва правилото за деление на дроби, тя трябва първо да бъде представена като неправилна дроб.
