Деление на обикновени дроби. Действия с дроби

В тази статия ще разберем как деление на смесени числа. Първо, нека очертаем правилото за деление на смесени числа и да разгледаме решенията на примери. След това ще се съсредоточим върху разделянето на смесено число на естествено числои деление на естествено число на смесено число. В заключение, нека да разгледаме как да разделим смесено число на обикновена дроб.

Навигация в страницата.

Деление на смесено число на смесено число

Деление на смесени числаможе да се сведе до деление на обикновени дроби. За да направите това, достатъчно е да преобразувате смесени числа в неправилни дроби.

Нека го запишем правило за деление на смесени числа: за да разделите смесено число на смесено число, трябва да:

разделете съответните обикновени дроби.

Остава да разгледаме пример за деление на смесени числа.

Пример.

Какъв е резултатът от разделянето на смесено число на смесено число?

Решение.

За да намалим делението на смесени числа до деленето на обикновени дроби, ние преобразуваме смесените числа в неправилни дроби, получаваме И .

По този начин, . Сега нека използваме правилото за деление на обикновени дроби: . На този етап можете да намалите фракцията: . Това завършва разделянето на смесените числа.

Отговор:

Деление на смесено число с естествено число

Деление на смесено число с естествено числоводи до деление на обикновена дроб на естествено число. За да направите това, достатъчно е смесеното число, което се разделя, да се преобразува в неправилна дроб.

Пример.

Разделете смесеното число на естественото число 75.

Решение.

Първо преминаваме от смесено число към неправилна дроб: , Тогава . Остава да разделим обикновената дроб на естествено число: . След редукция получаваме дробта 1/20, която е частното от деленето на смесено число на естественото число 75.

Отговор:

Деление на естествено число на смесено число

Деление на естествено число на смесено числослед замяна на смесено число с неправилна дроб, се свежда до разделяне на естествено число на обикновена дроб. За по-голяма яснота нека разгледаме решението на примера.

Пример.

Разделете естественото число 40 на смесено число.

Решение.

Първо, нека представим смесеното число като неправилна дроб: .

Сега можем да преминем към деленето, получаваме . Получената дроб е несъкратима (вижте съкратими и несъкратими дроби), но неправилна, така че трябва да отделим цялата част от нея, имаме . Това завършва деленето на естествено число на смесено число.

Обикновените дробни числа за първи път се срещат с учениците в 5-ти клас и ги придружават през целия им живот, тъй като в ежедневието често е необходимо да се разглежда или използва обект не като цяло, а на отделни части. Започнете да изучавате тази тема - споделя. Акциите са равни части, на които е разделен този или онзи обект. В края на краищата не винаги е възможно да се изрази например дължината или цената на даден продукт като цяло число; трябва да се вземат предвид части или дроби от някаква мярка. Образувана от глагола „разделяне“ - разделяне на части и имаща арабски корени, самата дума „фракция“ възниква на руски език през 8 век.

Дробните изрази отдавна се смятат за най-трудния дял от математиката. През 17 век, когато се появяват първите учебници по математика, те се наричат „счупени числа“, което е много трудно за разбиране от хората.

Модерна визияпрости дробни остатъци, чиито части са разделени с хоризонтална линия, са били насърчавани за първи път от Фибоначи - Леонардо от Пиза. Неговите творби са датирани от 1202 г. Но целта на тази статия е просто и ясно да обясни на читателя как се умножават смесени дроби различни знаменатели.

Умножение на дроби с различни знаменатели

Първоначално си струва да се определи видове дроби:

правилно;
неправилно;
смесен.

След това трябва да запомните как се умножават дробни числа с еднакви знаменатели. Самото правило на този процес не е трудно да се формулира независимо: резултатът от умножаването на прости дроби с еднакви знаменатели е дробен израз, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите на тези дроби . Тоест всъщност новият знаменател е квадрат на един от първоначално съществуващите.

При умножаване прости дроби с различни знаменателиза два или повече фактора правилото не се променя:

а/b * ° С/д = а*в / b*d.

Единствената разлика е, че образуваното число под дробната линия ще бъде продукт на различни числа и, естествено, не може да се нарече квадрат на един числов израз.

Струва си да разгледаме умножението на дроби с различни знаменатели, като използваме примери:

8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Примерите използват методи за намаляване на дробни изрази. Можете да намалите само числата на числителя с числата на знаменателя; съседните множители над или под дробната линия не могат да бъдат намалени.

Наред с простите дроби съществува понятието смесени дроби. Смесеното число се състои от цяло число и дробна част, т.е. това е сумата от тези числа:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Как работи умножението?

Дадени са няколко примера за разглеждане.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Примерът използва умножение на число по обикновена дробна част, правилото за това действие може да се запише като:

а* б/° С = а*б/° С.

Всъщност такъв продукт е сумата от еднакви дробни остатъци и броят на членовете показва това естествено число. Специален случай:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Има друго решение за умножаване на число с дробен остатък. Просто трябва да разделите знаменателя на това число:

д* д/f = д/е: г.

Тази техника е полезна за използване, когато знаменателят е разделен на естествено число без остатък или, както се казва, на цяло число.

Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби и получете продукта по описания по-горе начин:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Този пример включва метода на представяне смесена фракциянеправилно, може да се представи и като обща формула:

а b° С = а*б+ c / c, където знаменателят на новата дроб се образува чрез умножаване на цялата част със знаменателя и добавянето му с числителя на първоначалния дробен остатък, а знаменателят остава същият.

Този процес работи и в обратна страна. За да разделите цялата част и дробния остатък, трябва да разделите числителя на неправилна дроб на нейния знаменател с помощта на „ъгъл“.

Умножение неправилни дроби произведени по общоприет начин. Когато пишете под една дробна линия, трябва да намалите дробите, ако е необходимо, за да намалите числата с помощта на този метод и да улесните изчисляването на резултата.

В интернет има много помощници за решаване дори на сложни математически задачи в различни варианти на програми. Достатъчен брой такива услуги предлагат своята помощ при изчисляване на умножение на дроби с различни числа в знаменателите - така наречените онлайн калкулатори за изчисляване на дроби. Те могат не само да умножават, но и да извършват всички други прости аритметични операции с обикновени дроби и смесени числа. Не е трудно да се работи с него, попълвате съответните полета на страницата на уебсайта, избирате знака на математическата операция и натискате „изчисли“. Програмата изчислява автоматично.

Темата за аритметичните действия с дроби е актуална за цялото обучение на учениците от средните и средните класове. В гимназията вече не разглеждат най-простите видове, но цели дробни изрази, но знанията за правилата за трансформация и изчисления, получени по-рано, се прилагат в оригиналния им вид. Добре усвоените основни познания дават пълна увереност при успешното решаване на най-сложните проблеми.

В заключение има смисъл да цитираме думите на Лев Николаевич Толстой, който пише: „Човекът е част. Не е във властта на човек да увеличи своя числител - своите заслуги - но всеки може да намали своя знаменател - своето мнение за себе си, и с това намаляване да се доближи до своето съвършенство.

Появява се разделяне. В тази статия ще говорим за деление на обикновени дроби. Първо ще дадем правило за деление на обикновени дроби и ще разгледаме примери за деление на дроби. След това ще се съсредоточим върху разделянето на обикновена дроб на естествено число и числата на дроб. И накрая, нека да разгледаме как да разделим обикновена дроб на смесено число.

Навигация в страницата.

Деление на обикновена дроб на обикновена дроб

Известно е, че делението е действие, обратно на умножението (виж връзката между деление и умножение). Тоест разделянето включва намиране на неизвестен фактор, когато продуктът и друг фактор са известни. Същото значение на делението се запазва и при деленето на обикновени дроби.

Нека да разгледаме примери за разделяне на обикновени дроби.

Обърнете внимание, че не трябва да забравяме намаляването на дроби и отделянето на цялата част от неправилна дроб.

Деление на дроб на естествено число

Ще го дадем веднага правило за деление на дроб на естествено число: за да разделите дробта a/b на естествено число n, трябва да оставите числителя същия и да умножите знаменателя по n, т.е.

Това правило за деление следва пряко от правилото за деление на обикновени дроби. Наистина, представянето на естествено число като дроб води до следните равенства .

Нека да разгледаме примера за деление на дроб на число.

Пример.

Разделете дробта 16/45 на естественото число 12.

Решение.

Според правилото за деление на дроб на число имаме . Да направим съкращението: . Това разделение е завършено.

Отговор:

Деление на естествено число на дроб

Правилото за деление на дроби е подобно правило за деление на естествено число на дроб: за да разделите естествено число n на обикновена дроб a/b, трябва да умножите числото n по реципрочната стойност на дробта a/b.

Съгласно посоченото правило, , а правилото за умножаване на естествено число с обикновена дроб позволява то да бъде пренаписано във формата .

Нека разгледаме един пример.

Пример.

Разделете естественото число 25 на дробта 15/28.

Решение.

Нека преминем от деление към умножение, имаме . След като намалим и изберем цялата част, получаваме .

Отговор:

Деление на дроб на смесено число

Деление на дроб на смесено числолесно се свежда до деление на обикновени дроби. За да направите това, достатъчно е да извършите

Последния път научихме как да събираме и изваждаме дроби (вижте урока „Събиране и изваждане на дроби“). Най-трудната част от тези действия беше привеждането на дроби към общ знаменател.

Сега е време да се занимаваме с умножение и деление. Добри новиние, че тези операции са дори по-прости от събирането и изваждането. Първо, нека разгледаме най-простия случай, когато има две положителни дроби без отделена цяла част.

За да умножите две дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели поотделно. Първото число ще бъде числителят на новата дроб, а второто ще бъде знаменателят.

За да разделите две дроби, трябва да умножите първата дроб по „обърнатата“ втора дроб.

Обозначаване:

От определението следва, че деленето на дроби се свежда до умножение. За да „обърнете“ дроб, просто разменете числителя и знаменателя. Затова през целия урок ще разглеждаме основно умножението.

В резултат на умножението може да възникне редуцируема дроб (и често възниква) - тя, разбира се, трябва да бъде намалена. Ако след всички съкращения дробта се окаже неправилна, цялата част трябва да бъде маркирана. Но това, което определено няма да се случи с умножението, е редукция до общ знаменател: без кръстосани методи, най-големи множители и най-малко общи кратни.

По дефиниция имаме:

Умножение на дроби с цели части и отрицателни дроби

Ако дробите съдържат цяло число, те трябва да бъдат преобразувани в неправилни - и едва след това да се умножат според схемите, описани по-горе.

Ако има минус в числителя на дроб, в знаменателя или пред него, той може да бъде изваден от умножението или напълно премахнат съгласно следните правила:

Плюс с минус дава минус;
Две отрицания правят утвърдително.

Досега тези правила се срещаха само при събиране и изваждане на отрицателни дроби, когато беше необходимо да се отървете от цялата част. За една работа те могат да бъдат обобщени, за да „изгорят“ няколко недостатъка наведнъж:

Зачеркваме негативите по двойки, докато изчезнат напълно. В краен случай може да оцелее един минус - този, за който нямаше половинка;
Ако няма останали минуси, операцията е завършена - можете да започнете да умножавате. Ако последният минус не е зачеркнат, защото за него няма двойка, го извеждаме извън границите на умножението. Резултатът е отрицателна дроб.

Задача. Намерете значението на израза:

Преобразуваме всички дроби в неправилни и след това премахваме минусите от умножението. Умножаваме останалото според обичайните правила. Получаваме:

Позволете ми да ви напомня още веднъж, че знакът минус, който се появява пред дробта с осветената цяла част, се отнася конкретно за цялата дроб, а не само за цялата й част (това се отнася за последните два примера).

Обърнете внимание и на отрицателните числа: при умножаване те се ограждат в скоби. Това се прави, за да се отделят минусите от знаците за умножение и да се направи цялата нотация по-точна.

Намаляване на дроби в движение

Умножението е много трудоемка операция. Числата тук се оказват доста големи и за да опростите проблема, можете да опитате да намалите фракцията допълнително преди умножение. Наистина, по същество числителите и знаменателите на дробите са обикновени множители и следователно могат да бъдат намалени, като се използва основното свойство на дроб. Разгледайте примерите:

Задача. Намерете значението на израза:

По дефиниция имаме:

Във всички примери с червено са отбелязани числата, които са били намалени и това, което е останало от тях.

Моля, обърнете внимание: в първия случай множителите бяха напълно намалени. На тяхно място остават единици, които най-общо казано не е необходимо да се изписват. Във втория пример не беше възможно да се постигне пълно намаление, но общият размер на изчисленията все пак намаля.

Никога обаче не използвайте тази техника, когато събирате и изваждате дроби! Да, понякога има подобни числа, които просто искате да намалите. Ето вижте:

Не можете да направите това!

Грешката възниква, защото при събиране числителят на дроб произвежда сума, а не произведение на числа. Следователно е невъзможно да се приложи основното свойство на дроб, тъй като това свойство се занимава конкретно с умножението на числа.

Просто няма други причини за намаляване на дроби, така че правилното решение на предишния проблем изглежда така:

Правилно решение:

Както можете да видите, правилният отговор се оказа не толкова красив. Като цяло, бъдете внимателни.

T тип урок:ОНЗ (откриване на нови знания – по технологията на дейностния метод на обучение).

Основни цели:

Изведете методи за деление на дроб на естествено число;
Развиват способността да делят дроб на естествено число;
Повторете и затвърдете деленето на дроби;
Тренирайте способността за намаляване на дроби, анализиране и решаване на проблеми.

Материал за демонстрация на оборудването:

1. Задачи за актуализиране на знанията:

Сравнете изразите:

Справка:

2. Пробна (самостоятелна) задача.

1. Извършете разделяне:

2. Извършете разделяне, без да извършвате цялата верига от изчисления: .

Стандарти:

Когато разделяте дроб на естествено число, можете да умножите знаменателя по това число, но да оставите числителя същия.

Ако числителят се дели на естествено число, тогава когато разделяте дроб на това число, можете да разделите числителя на числото и да оставите знаменателя същия.

По време на часовете

I. Мотивация (самоопределение) към образователни дейности.

Предназначение на етапа:

Организирайте актуализирането на изискванията към ученика по отношение на учебната дейност („трябва“);
Организиране на дейности на учениците за създаване на тематични рамки („Аз мога“);
Създайте условия у ученика да развие вътрешна потребност от включване в образователни дейности („искам”).

Организация учебен процесна етап I.

Здравейте! Радвам се да ви видя всички на урока по математика. Надявам се да е взаимно.

Момчета, какви нови знания придобихте в последния урок? (Разделете дроби).

вярно Какво ви помага при деленето на дроби? (Правило, свойства).

Къде са ни нужни тези знания? (В примери, уравнения, задачи).

Много добре! Справихте се добре със задачите в последния урок. Искате ли сами да откриете нови знания днес? (Да).

Тогава - да вървим! И мотото на урока ще бъде твърдението „Не можете да научите математика, като гледате как съседът ви го прави!“

II. Актуализиране на знанията и отстраняване на индивидуални затруднения в пробно действие.

Предназначение на етапа:

Организирайте актуализирането на научените методи на действие, достатъчни за изграждане на нови знания. Запишете тези методи устно (в речта) и символично (стандартно) и ги обобщете;
Организирайте актуализирането на умствените операции и когнитивни процеси, достатъчни за изграждане на нови знания;
Мотивира за пробно действие и самостоятелното му изпълнение и обосновка;
Настояще индивидуална задачаза пробно действие и да го анализира, за да идентифицира ново учебно съдържание;
Организирайте фиксирането на образователната цел и темата на урока;
Организиране на изпълнението на пробно действие и отстраняване на затруднението;
Организирайте анализ на получените отговори и запишете индивидуалните трудности при извършване на пробно действие или обосноваването му.

Организация на учебния процес на II етап.

Фронтално, с помощта на таблети (индивидуални дъски).

1. Сравнете изразите:

(Тези изрази са равни)

Какви интересни неща забелязахте? (Числителят и знаменателят на делителя, числителят и знаменателят на делителя във всеки израз са увеличени с еднакъв брой пъти. Така делителите и делителите в изразите са представени с дроби, които са равни помежду си).

Намерете значението на израза и го запишете на таблета си. (2)

Как мога да запиша това число като дроб?

Как извършихте действието разделяне? (Децата рецитират правилото, учителят го окачва на дъската буквени обозначения)

2. Изчислете и запишете само резултатите:

3. Съберете резултатите и запишете отговора. (2)

Как се нарича числото, получено в задача 3? (естествен)

Мислите ли, че можете да разделите дроб на естествено число? (Да, ще опитаме)

Опитайте тази.

4. Индивидуална (пробна) задача.

Извършете деление: (само пример a)

Какво правило използвахте за разделяне? (Според правилото за деление на дроби по дроби)

Сега разделете дробта на естествено число, по-голямо от по прост начин, без извършване на цялата верига от изчисления: (пример b). Ще ви дам 3 секунди за това.

Кой не успя да изпълни задачата за 3 секунди?

Кой го направи? (няма такива)

Защо? (Не знаем пътя)

Какво получи? (трудност)

Какво мислите, че ще правим в клас? (Делите дроби на естествени числа)

Точно така, отворете си тетрадките и запишете темата на урока: „Деление на дроб с естествено число“.

Защо тази тема звучи ново, когато вече знаете как да разделяте дроби? (Има нужда от нов начин)

вярно Днес ще установим техника, която опростява делението на дроб на естествено число.

III. Идентифициране на местоположението и причината за проблема.

Предназначение на етапа:

Организирайте възстановяването на завършени операции и записвайте (словесно и символично) мястото – стъпка, операция – където е възникнало затруднението;
Организирайте съпоставянето на действията на учениците с използвания метод (алгоритъм) и фиксирането във външната реч на причината за затруднението - онези специфични знания, умения или способности, които липсват за решаване на първоначалния проблем от този тип.

Организация на учебния процес в III етап.

Каква задача трябваше да изпълните? (Разделете дроб на естествено число, без да преминавате през цялата верига от изчисления)

Какво ви причини затруднение? (Не можах да реша за кратко времебърз начин)

Каква цел си поставяме в урока? (Намирам бърз начинделение на дроб на естествено число)

Какво ще ви помогне? (Вече известно правило за деление на дроби)

IV. Изграждане на проект за излизане от проблем.

Предназначение на етапа:

Изясняване на целта на проекта;
Избор на метод (изясняване);
Определяне на средни стойности (алгоритъм);
Изграждане на план за постигане на целта.

Организация на учебния процес в IV етап.

Да се върнем към тестовата задача. Казахте, че сте разделили според правилото за деление на дроби? (да)

За да направите това, заменете естественото число с дроб? (да)

Коя стъпка (или стъпки) според вас може да се пропусне?

(Веригата на решението е отворена на дъската:

Анализирайте и направете заключение. (Етап 1)

Ако няма отговор, тогава ще ви преведем през въпроси:

Къде отиде естественият делител? (В знаменателя)

Променил ли се е числителят? (Не)

И така, коя стъпка можете да „пропуснете“? (Етап 1)

План за действие:

Умножете знаменателя на дроб по естествено число.
Ние не променяме числителя.
Получаваме нова фракция.

V. Изпълнение на изградения обект.

Предназначение на етапа:

Организира комуникативно взаимодействие с цел реализиране на изградения проект, насочен към придобиване на липсващите знания;
Организирайте записа на изградения метод на действие в речта и знаците (с помощта на стандарт);
Организирайте решението на първоначалния проблем и запишете как да преодолеете затруднението;
Организирайте изясняване общнови знания.

Организация на учебния процес на V етап.

Сега бързо стартирайте тестовия случай по нов начин.

Сега успяхте ли да изпълните задачата бързо? (да)

Обяснете как го направихте? (Деца говорят)

Това означава, че получихме нови знания: правилото за деление на дроб на естествено число.

Много добре! Кажете го по двойки.

След това един ученик говори на класа. Ние фиксираме алгоритъма-правило устно и под формата на стандарт на дъската.

Сега въведете обозначенията на буквите и запишете формулата за нашето правило.

Ученикът пише на дъската, като казва правилото: когато разделяте дроб на естествено число, можете да умножите знаменателя по това число, но оставете числителя същия.

(Всеки записва формулата в тетрадките си).

Сега отново анализирайте веригата на решаване на тестовата задача, като обърнете специално внимание на отговора. Какво направи? (Числителят на дробта 15 беше разделен (намален) на числото 3)

Какво е това число? (Естествен, делител)

И така, как иначе можете да разделите дроб на естествено число? (Проверете: ако числителят на дроб се дели на това естествено число, можете да разделите числителя на това число, да запишете резултата в числителя на новата дроб и да оставите знаменателя същия)

Запишете този метод като формула. (Ученикът записва правилото на дъската, докато го произнася. Всеки записва формулата в тетрадките си.)

Да се върнем към първия метод. Можете да го използвате, ако a:n? (Да то общ метод)

И кога е удобно да използвате втория метод? (Когато числителят на дроб се дели на естествено число без остатък)

VI. Първична консолидация с произношение във външна реч.

Предназначение на етапа:

Организирайте усвояването от деца на нов метод на действие при решаване на стандартни проблеми с тяхното произношение във външна реч (фронтално, по двойки или групи).

Организация на учебния процес в VI етап.

Изчислете по нов начин:

№ 363 (a; d) - изпълнява се на дъската, произнасяйки правилото.
№ 363 (д; е) - по двойки с проверка по образец.

VII. Самостоятелна работа със самопроверка по стандарт.

Предназначение на етапа:

Организирайте самоизпълнениена учениците се дават задачи за нов начин на действие;
Организиране на самотест въз основа на сравнение със стандарта;
Въз основа на резултатите от изпълнението самостоятелна работаорганизирайте размисъл върху усвояването на нов начин на действие.

Организация на учебния процес на VII етап.

Изчислете по нов начин:

№ 363 (b; c)

Учениците проверяват стандарта и отбелязват правилността на изпълнението. Причините за грешките се анализират и грешките се коригират.

Учителят пита тези ученици, които са направили грешки, каква е причината?

На този етап е важно всеки ученик самостоятелно да проверява работата си.

VIII. Включване в системата от знания и повторение.

Предназначение на етапа:

Организира идентифицирането на границите на приложение на нови знания;
Организирайте повторение на учебното съдържание, необходимо за осигуряване на смислена приемственост.

Организация на учебния процес в VIII етап.

Организирайте записването на неразрешените трудности в урока като посока за бъдещи образователни дейности;

Организирайте дискусия и записване на домашните.

Организация на учебния процес в ІХ етап.

1. Диалог:

Момчета, какви нови знания открихте днес? (Научих как да разделя дроб на естествено число по прост начин)

Формулирайте общ метод. (Те казват)

По какъв начин и в какви случаи можете да го използвате? (Те казват)

Какво е предимството на новия метод?

Постигнахме ли целта на урока? (да)

Какви знания използвахте, за да постигнете целта си? (Те казват)

Всичко получи ли се при вас?

Какви бяха трудностите?

2. Домашна работа: точка 3.2.4.; № 365(l, n, o, p); № 370.

3. Учител:Радвам се, че днес всички бяха активни и успяха да намерят изход от затруднението. И най-важното, не са били съседи при откриването на нов и основаването му. Благодаря за урока, деца!