Намиране на най-големия общ делител онлайн. Намиране на най-малкото общо кратно: методи, примери за намиране на LCM

Онлайн калкулаторът ви позволява бързо да намерите най-големия общ делител и най-малкото общо кратно на две или друг брой числа.

Калкулатор за намиране на GCD и NOC

Намерете GCD и NOC

Намерени GCD и NOC: 5806

Как да използвате калкулатора

• Въведете числа в полето за въвеждане
• В случай на въвеждане на неправилни знаци, полето за въвеждане ще бъде маркирано в червено
• натиснете бутона "Намерете GCD и NOC"

Как да въвеждате числа

• Числата се въвеждат разделени с интервали, точки или запетаи
• Дължината на въведените числа не е ограничена, така че намирането на gcd и lcm на дълги числа няма да е трудно

Какво е NOD и NOK?

Най-голям общ делителот няколко числа е най-голямото естествено число, на което всички оригинални числа се делят без остатък. Най-големият общ делител се съкращава като GCD.
Най-малко общо кратноняколко числа е най-малкото число, което се дели на всяко от оригиналните числа без остатък. Най-малкото общо кратно е съкратено като НОК.

Как да проверите дали едно число се дели на друго число без остатък?

За да разберете дали едно число се дели на друго без остатък, можете да използвате някои свойства на делимост на числата. След това, като ги комбинирате, може да се провери делимостта на някои от тях и техните комбинации.

Някои признаци за делимост на числата

1. Знак за делимост на число на 2
За да определите дали едно число се дели на две (дали е четно), достатъчно е да погледнете последната цифра на това число: ако е равно на 0, 2, 4, 6 или 8, тогава числото е четно, което означава, че се дели на 2.
пример:определете дали числото 34938 се дели на 2.
решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото се дели на две.

2. Знак за делимост на число на 3
Едно число се дели на 3, когато сборът от цифрите му се дели на 3. По този начин, за да определите дали едно число се дели на 3, трябва да изчислите сбора от цифрите и да проверите дали се дели на 3. Дори ако сумата от цифрите се оказа много голяма, можете да повторите същия процес отново.
пример:определете дали числото 34938 се дели на 3.
решение:броим сбора от цифрите: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 3, което означава, че числото се дели на три.

3. Знак за делимост на число на 5
Числото се дели на 5, когато последната му цифра е нула или пет.
пример:определи дали числото 34938 се дели на 5.
решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото НЕ се дели на пет.

4. Знак за делимост на число на 9
Този знак е много подобен на знака за делимост на три: числото се дели на 9, когато сборът от цифрите му се дели на 9.
пример:определи дали числото 34938 се дели на 9.
решение:изчисляваме сбора от цифрите: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 9, което означава, че числото се дели на девет.

Как да намерите GCD и LCM на две числа

Как да намерите GCD на две числа

Най-простият начин да изчислите най-големия общ делител на две числа е да намерите всички възможни делители на тези числа и да изберете най-големия от тях.

Помислете за този метод, като използвате примера за намиране на GCD(28, 36) :

1. Разлагаме на множители и двете числа: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Намираме общи фактори, тоест тези, които имат и двете числа: 1, 2 и 2.
3. Изчисляваме произведението на тези фактори: 1 2 2 \u003d 4 - това е най-големият общ делител на числата 28 и 36.

Как да намерите LCM на две числа

Има два най-често срещани начина за намиране на най-малкото кратно на две числа. Първият начин е, че можете да напишете първите кратни на две числа и след това да изберете измежду тях такова число, което ще бъде общо за двете числа и в същото време най-малкото. И второто е да се намери GCD на тези числа. Нека просто го разгледаме.

За да изчислите LCM, трябва да изчислите произведението на оригиналните числа и след това да го разделите на предварително намерения GCD. Нека намерим LCM за същите числа 28 и 36:

1. Намерете произведението на числата 28 и 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) вече е известно, че е 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Намиране на GCD и LCM за множество числа

Най-големият общ делител може да се намери за няколко числа, а не само за две. За това числата, които трябва да се търсят за най-големия общ делител, се разлагат на прости множители, след което се намира произведението на общите прости множители на тези числа. Също така, за да намерите GCD на няколко числа, можете да използвате следната връзка: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Подобно отношение важи и за най-малкото общо кратно на числата: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

пример:намерете GCD и LCM за числа 12, 32 и 36.

1. Първо, нека разложим числата на множители: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Нека намерим общи фактори: 1, 2 и 2.
3. Техният продукт ще даде gcd: 1 2 2 = 4
4. Сега нека намерим LCM: за това първо намираме LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. За да намерите LCM и на трите числа, трябва да намерите GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2 . 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Помислете за три начина за намиране на най-малкото общо кратно.

Намиране чрез факторинг

Първият начин е да се намери най-малкото общо кратно чрез разлагане на дадените числа в прости множители.

Да предположим, че трябва да намерим LCM от числа: 99, 30 и 28. За да направим това, ние разлагаме всяко от тези числа на прости множители:

За да се дели желаното число на 99, 30 и 28, е необходимо и достатъчно то да включва всички прости множители на тези делители. За да направим това, трябва да вземем всички прости множители на тези числа до най-високата възникнала степен и да ги умножим заедно:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Така че LCM (99, 30, 28) = 13 860. Никое друго число, по-малко от 13 860, не се дели равномерно на 99, 30 или 28.

За да намерите най-малкото общо кратно на дадени числа, трябва да ги разложите на прости множители, след това да вземете всеки прост множител с най-големия показател, който се среща, и да умножите тези фактори заедно.

Тъй като взаимно простите числа нямат общи прости множители, тяхното най-малко общо кратно е равно на произведението на тези числа. Например три числа: 20, 49 и 33 са взаимно прости. Така

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Същото трябва да се направи, когато се търси най-малкото общо кратно на различни прости числа. Например LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Намиране чрез избор

Вторият начин е да се намери най-малкото общо кратно чрез напасване.

Пример 1. Когато най-голямото от дадените числа се дели на други дадени числа, тогава LCM на тези числа е равна на по-голямото от тях. Например, дадени четири числа: 60, 30, 10 и 6. Всяко от тях се дели на 60, следователно:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

В други случаи, за да се намери най-малкото общо кратно, се използва следната процедура:

1. Определете най-голямото число от дадените числа.
2. След това намираме числа, кратни на най-голямото число, като го умножаваме по естествени числа във възходящ ред и проверяваме дали останалите дадени числа се делят на получения продукт.

Пример 2. Дадени са три числа 24, 3 и 18. Определете най-голямото от тях - това е числото 24. След това намерете числата, които са кратни на 24, като проверите дали всяко от тях се дели на 18 и на 3:

24 1 = 24 се дели на 3, но не се дели на 18.

24 2 = 48 - дели се на 3, но не се дели на 18.

24 3 \u003d 72 - дели се на 3 и 18.

Така че LCM(24, 3, 18) = 72.

Намиране чрез последователно намиране LCM

Третият начин е да се намери най-малкото общо кратно чрез последователно намиране на LCM.

LCM на две дадени числа е равен на произведението на тези числа, разделено на техния най-голям общ делител.

Пример 1. Намерете LCM на две дадени числа: 12 и 8. Определете техния най-голям общ делител: GCD (12, 8) = 4. Умножете тези числа:

Разделяме продукта на техния GCD:

Така че LCM(12, 8) = 24.

За намиране на LCM от три или повече числа се използва следната процедура:

1. Първо се намира LCM на всяко две от дадените числа.
2. След това LCM на намереното най-малко общо кратно и третото дадено число.
3. След това LCM на полученото най-малко общо кратно и четвъртото число и т.н.
4. Така LCM търсенето продължава, докато има числа.

Пример 2. Да намерим НКМ на три дадени числа: 12, 8 и 9. Вече намерихме НКМ на числата 12 и 8 в предишния пример (това е числото 24). Остава да се намери най-малкото общо кратно на 24 и третото дадено число - 9. Определете техния най-голям общ делител: gcd (24, 9) = 3. Умножете LCM с числото 9:

Разделяме продукта на техния GCD:

Така че LCM(12, 8, 9) = 72.

Математическите изрази и задачи изискват много допълнителни знания. NOC е един от основните, особено често използван в темата.Темата се изучава в гимназията, докато не е особено трудна за разбиране на материала, няма да е трудно за човек, запознат със степените и таблицата за умножение, да избере необходимите числа и намерете резултата.

Определение

Общото кратно е число, което може да бъде напълно разделено на две числа едновременно (a и b). Най-често това число се получава чрез умножаване на оригиналните числа a и b. Числото трябва да се дели на двете числа наведнъж, без отклонения.

NOC е кратко име, което е взето от първите букви.

Начини за получаване на номер

За да намерите LCM, методът за умножение на числата не винаги е подходящ, той е много по-подходящ за прости едноцифрени или двуцифрени числа. Обичайно е да се разделят на фактори, колкото по-голямо е числото, толкова повече фактори ще има.

Пример №1

За най-простия пример училищата обикновено вземат прости, едноцифрени или двуцифрени числа. Например, трябва да решите следната задача, да намерите най-малкото общо кратно на числата 7 и 3, решението е съвсем просто, просто ги умножете. В резултат на това има числото 21, просто няма по-малко число.

Пример №2

Вторият вариант е много по-труден. Дадени са числата 300 и 1260, намирането на LCM е задължително. За решаване на задачата се предполагат следните действия:

Разлагане на първото и второто число на най-простите фактори. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Първият етап е завършен.

Вторият етап включва работа с вече получените данни. Всяко от получените числа трябва да участва в изчисляването на крайния резултат. За всеки фактор най-големият брой събития се взема от първоначалните числа. LCM е често срещано число, така че факторите от числата трябва да се повтарят в него до последно, дори и тези, които присъстват в един случай. И двете изходни числа имат в състава си числата 2, 3 и 5, в различни степени 7 е само в един случай.

За да изчислите крайния резултат, трябва да вземете всяко число в най-голямата от представените им степени в уравнението. Остава само да се умножи и да се получи отговорът, с правилното попълване задачата се вписва в две стъпки без обяснение:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

Това е цялата задача, ако се опитате да изчислите желаното число чрез умножение, тогава отговорът определено няма да бъде правилен, тъй като 300 * 1260 = 378 000.

Преглед:

6300 / 300 = 21 - вярно;

6300 / 1260 = 5 е правилно.

Коректността на резултата се определя чрез проверка - разделяне на LCM на двете оригинални числа, ако числото е цяло число и в двата случая, тогава отговорът е верен.

Какво означава NOC в математиката

Както знаете, в математиката няма нито една безполезна функция, тази не е изключение. Най-честата цел на това число е да доведе дробите до общ знаменател. Това, което обикновено се изучава в 5-6 клас на гимназията. Освен това е общ делител за всички кратни, ако такива условия са в задачата. Такъв израз може да намери кратно не само на две числа, но и на много по-голямо число - три, пет и т.н. Колкото повече числа - толкова повече действия в задачата, но сложността на това не се увеличава.

Например, като се имат предвид числата 250, 600 и 1500, трябва да намерите общия им LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - този пример описва факторизацията в детайли, без намаляване.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

За да се състави израз, е необходимо да се споменат всички фактори, в този случай са дадени 2, 5, 3 - за всички тези числа е необходимо да се определи максималната степен.

Внимание: всички множители трябва да бъдат доведени до пълно опростяване, ако е възможно, разлагане до нивото на едноцифрени числа.

Преглед:

1) 3000 / 250 = 12 - вярно;

2) 3000 / 600 = 5 - вярно;

3) 3000 / 1500 = 2 е правилно.

Този метод не изисква никакви трикове или способности на ниво гений, всичко е просто и ясно.

Друг начин

В математиката много е свързано, много може да се реши по два или повече начина, същото важи и за намирането на най-малкото общо кратно, LCM. Следният метод може да се използва в случай на прости двуцифрени и едноцифрени числа. Съставя се таблица, в която множителят се въвежда вертикално, множителят хоризонтално, а произведението е посочено в пресичащите се клетки на колоната. Можете да отразите таблицата с помощта на ред, взема се число и резултатите от умножаването на това число по цели числа се записват в ред, от 1 до безкрайност, понякога са достатъчни 3-5 точки, второто и следващите числа се подлагат към същия изчислителен процес. Всичко се случва, докато се намери общо кратно.

Като се имат предвид числата 30, 35, 42, трябва да намерите LCM, който свързва всички числа:

1) Кратни на 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т.н.

2) Кратни на 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т.н.

3) Кратни на 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т.н.

Прави впечатление, че всички числа са доста различни, единственото общо число сред тях е 210, така че ще бъде LCM. Сред процесите, свързани с това изчисление, има и най-големият общ делител, който се изчислява по подобни принципи и често се среща в съседни задачи. Разликата е малка, но достатъчно значителна, LCM включва изчисляването на число, което се дели на всички дадени първоначални стойности, а GCD предполага изчисляването на най-голямата стойност, на която се делят първоначалните числа.

Кратно на число е число, което се дели на дадено число без остатък. Най-малкото общо кратно (LCM) на група от числа е най-малкото число, което се дели равномерно на всяко число в групата. За да намерите най-малкото общо кратно, трябва да намерите простите множители на дадените числа. Също така LCM може да се изчисли с помощта на редица други методи, които са приложими за групи от две или повече числа.

Стъпки

Редица кратни

Вижте тези числа.Методът, описан тук, се използва най-добре, когато са дадени две числа, всяко от които е по-малко от 10. Ако са дадени големи числа, използвайте различен метод.

• Например намерете най-малкото общо кратно на числата 5 и 8. Това са малки числа, така че може да се използва този метод.

1. Кратно на число е число, което се дели на дадено число без остатък. В таблицата за умножение могат да се намерят множество числа.

   • Например числата, кратни на 5, са: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Запишете поредица от числа, кратни на първото число.Направете това под кратни на първото число, за да сравните два реда числа.

   • Например числата, кратни на 8, са: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 и 64.

3. Намерете най-малкото число, което се появява и в двете серии от кратни.Може да се наложи да напишете дълги серии от кратни, за да намерите общата сума. Най-малкото число, което се появява и в двете серии от кратни, е най-малкото общо кратно.

   • Например, най-малкото число, което се появява в поредицата от кратни на 5 и 8, е 40. Следователно 40 е най-малкото общо кратно на 5 и 8.

   Разлагане на глави

   1. Вижте тези числа.Методът, описан тук, се използва най-добре, когато са дадени две числа, които и двете са по-големи от 10. Ако са дадени по-малки числа, използвайте различен метод.

      • Например намерете най-малкото общо кратно на числата 20 и 84. Всяко от числата е по-голямо от 10, така че може да се използва този метод.

   2. Разложете на множители първото число.Тоест трябва да намерите такива прости числа, когато се умножат, получавате дадено число. След като намерите прости фактори, запишете ги като равенство.

      • Например, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)и 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). И така, простите множители на числото 20 са числата 2, 2 и 5. Запишете ги като израз: .

   3. Разложете второто число на прости множители.Направете това по същия начин, както сте разложили на множители първото число, тоест намерете такива прости числа, които при умножение ще получат това число.

      • Например, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)и 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). И така, простите множители на числото 84 са числата 2, 7, 3 и 2. Запишете ги като израз: .

   4. Запишете общите фактори за двете числа.Напишете такива фактори като операция за умножение. Докато записвате всеки фактор, го зачеркнете и в двата израза (изрази, които описват разлагането на числата в прости множители).

      • Например общият фактор за двете числа е 2, така че пишете 2 × (\displaystyle 2\times )и зачеркнете 2 в двата израза.
      • Общият множител и за двете числа е друг фактор 2, така че пишете 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)и зачеркнете второто 2 в двата израза.

   5. Добавете останалите фактори към операцията за умножение.Това са фактори, които не са зачертани и в двата израза, тоест фактори, които не са общи и за двете числа.

      • Например в израза 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5)и двете две (2) са зачертани, защото са общи фактори. Коефициентът 5 не е зачертан, така че напишете операцията за умножение, както следва: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • В израза 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2)и двете двойки (2) също са зачертани. Фактори 7 и 3 не са зачертани, така че напишете операцията за умножение, както следва: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Изчислете най-малкото общо кратно.За да направите това, умножете числата в писмената операция за умножение.

      • Например, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Значи най-малкото общо кратно на 20 и 84 е 420.

   Намиране на общи делители

   1. Начертайте мрежа, както бихте направили за игра на тик-так.Такава мрежа се състои от две успоредни линии, които се пресичат (под прав ъгъл) с две други успоредни прави. Това ще доведе до три реда и три колони (решетката прилича много на знака #). Напишете първото число в първия ред и втората колона. Напишете второто число в първия ред и третата колона.

      • Например намерете най-малкото общо кратно на 18 и 30. Напишете 18 в първия ред и втората колона и напишете 30 в първия ред и третата колона.

   2. Намерете делителя, общ за двете числа.Запишете го в първия ред и първата колона. По-добре е да се търсят прости делители, но това не е задължително условие.

      • Например 18 и 30 са четни числа, така че общият им делител е 2. Така че напишете 2 в първия ред и първата колона.

   3. Разделете всяко число на първия делител.Запишете всяко частно под съответното число. Частното е резултат от разделянето на две числа.

      • Например, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), така че напишете 9 под 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), така че напишете 15 под 30.

   4. Намерете делител, общ за двете частни.Ако няма такъв делител, пропуснете следващите две стъпки. В противен случай запишете делителя във втория ред и първата колона.

      • Например, 9 и 15 се делят на 3, така че напишете 3 във втория ред и първата колона.

   5. Разделете всяко частно на втория делител.Запишете всеки резултат от деленето под съответното частно.

      • Например, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), така че напишете 3 под 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), така че напишете 5 под 15.

   6. Ако е необходимо, допълнете мрежата с допълнителни клетки.Повторете горните стъпки, докато частните имат общ делител.

   7. Окръжете числата в първата колона и последния ред на мрежата.След това напишете осветените числа като операция за умножение.

      • Например, числата 2 и 3 са в първата колона, а числата 3 и 5 са ​​в последния ред, така че напишете операцията за умножение по следния начин: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Намерете резултата от умножението на числата.Това ще изчисли най-малкото общо кратно на двете дадени числа.

      • Например, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Значи най-малкото общо кратно на 18 и 30 е 90.

   Алгоритъм на Евклид

   1. Запомнете терминологията, свързана с операцията за разделяне.Дивидентът е числото, което се разделя. Делителят е числото, на което се дели. Частното е резултат от разделянето на две числа. Остатъкът е числото, което остава при разделяне на две числа.

      • Например в израза 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)Почивка. 3:
        15 е делимото
        6 е делителят
        2 е частен
        3 е остатъкът.

Представеният по-долу материал е логично продължение на теорията от статията под заглавие LCM – най-малко общо кратно, определение, примери, връзка между LCM и GCD. Тук ще говорим за намиране на най-малкото общо кратно (LCM), и обърнете специално внимание на решаването на примери. Нека първо покажем как LCM на две числа се изчислява по отношение на GCD на тези числа. След това помислете за намиране на най-малкото общо кратно чрез разлагане на числата в прости фактори. След това ще се съсредоточим върху намирането на LCM от три или повече числа, а също така ще обърнем внимание на изчисляването на LCM на отрицателни числа.

Навигация в страницата.

Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез gcd

Един от начините за намиране на най-малкото общо множество се основава на връзката между LCM и GCD. Съществуващата връзка между LCM и GCD ви позволява да изчислите най-малкото общо кратно на две положителни числа чрез известния най-голям общ делител. Съответната формула има формата LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Помислете за примери за намиране на LCM според горната формула.

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на двете числа 126 и 70.

Решение.

В този пример a=126, b=70. Нека използваме връзката между LCM и GCD, изразена с формулата LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Тоест, първо трябва да намерим най-големия общ делител на числата 70 и 126, след което можем да изчислим LCM на тези числа според написаната формула.

Намерете gcd(126, 70) с помощта на алгоритъма на Евклид: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , следователно gcd(126, 70)=14 .

Сега намираме необходимото най-малко общо кратно: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14 = 630 .

Отговор:

LCM(126, 70)=630.

Пример.

Какво е LCM(68, 34)?

Решение.

Като 68 се дели равномерно на 34, тогава gcd(68, 34)=34. Сега изчисляваме най-малкото общо кратно: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68.

Отговор:

LCM(68, 34)=68.

Обърнете внимание, че предишният пример отговаря на следното правило за намиране на LCM за положителни цели числа a и b: ако числото a се дели на b, тогава най-малкото общо кратно на тези числа е a.

Намиране на LCM чрез разлагане на числата в прости фактори

Друг начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на разлагането на числата в прости фактори. Ако направим произведение на всички прости множители на тези числа, след което изключим от това произведение всички общи прости множители, които присъстват в разложенията на тези числа, тогава полученият продукт ще бъде равен на най-малкото общо кратно на тези числа.

Обявеното правило за намиране на LCM следва от равенството LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Наистина, произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, участващи в разширенията на числата a и b. От своя страна gcd(a, b) е равно на произведението на всички прости множители, които присъстват едновременно в разложенията на числата a и b (което е описано в раздела за намиране на gcd с помощта на разлагането на числата в прости фактори ).

Да вземем пример. Нека знаем, че 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Съставете произведението на всички фактори на тези разложения: 2 3 3 5 5 5 7 . Сега изключваме от този продукт всички фактори, които присъстват както в разширяването на числото 75, така и в разширяването на числото 210 (такива фактори са 3 и 5), тогава продуктът ще приеме формата 2 3 5 5 7 . Стойността на този продукт е равна на най-малкото общо кратно на числата 75 и 210, т.е. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Пример.

След като разложите числата 441 и 700 в прости множители, намерете най-малкото общо кратно на тези числа.

Решение.

Нека да разложим числата 441 и 700 на прости множители:

Получаваме 441=3 3 7 7 и 700=2 2 5 5 7 .

Сега нека направим произведение на всички фактори, участващи в разширенията на тези числа: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Нека изключим от това произведение всички фактори, които присъстват едновременно в двете разширения (има само един такъв фактор - това е числото 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . По този начин, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Отговор:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Правилото за намиране на LCM с помощта на разлагането на числата в прости множители може да бъде формулирано малко по-различно. Ако добавим липсващите фактори от разширяването на числото b към факторите от разлагането на числото a, тогава стойността на получения продукт ще бъде равна на най-малкото общо кратно на числата a и b.

Например, нека вземем всички едни и същи числа 75 и 210, техните разложения в прости множители са както следва: 75=3 5 5 и 210=2 3 5 7 . Към факторите 3, 5 и 5 от разширението на числото 75, добавяме липсващите фактори 2 и 7 от разширението на числото 210, получаваме произведението 2 3 5 5 7 , чиято стойност е LCM(75 , 210).

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на 84 и 648.

Решение.

Първо получаваме разлагането на числата 84 и 648 на прости множители. Те изглеждат като 84=2 2 3 7 и 648=2 2 2 3 3 3 3 . Към факторите 2 , 2 , 3 и 7 от разлагането на числото 84 добавяме липсващите фактори 2 , 3 , 3 и 3 от разлагането на числото 648 , получаваме произведението 2 2 2 3 3 3 3 7 , което е равно на 4 536 . По този начин желаното най-малко общо кратно на числата 84 и 648 е 4,536.

Отговор:

LCM(84, 648)=4 536 .

Намиране на LCM от три или повече числа

Най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се намери чрез последователно намиране на LCM на две числа. Припомнете си съответната теорема, която дава начин за намиране на LCM от три или повече числа.

Теорема.

Нека са дадени положителни цели числа a 1 , a 2 , …, a k, най-малкото общо кратно m k от тези числа се намира в последователното изчисление m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Помислете за приложението на тази теорема на примера за намиране на най-малкото общо кратно на четири числа.

Пример.

Намерете LCM на четирите числа 140 , 9 , 54 и 250 .

Решение.

В този пример a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Първо намираме m 2 = LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). За да направим това, използвайки евклидовия алгоритъм, определяме gcd(140, 9) , имаме 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , следователно, gcd( 140, 9)=1 , откъдето LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1 = 1 260 . Тоест m 2 =1 260 .

Сега намираме m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Нека го изчислим чрез gcd(1 260, 54) , което също се определя от алгоритъма на Евклид: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Тогава gcd(1 260, 54)=18, откъдето LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Тоест m 3 = 3 780.

Остава да се намери m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). За да направим това, намираме GCD(3 780, 250) с помощта на алгоритъма на Евклид: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Следователно, gcd(3 780, 250)=10 , откъдето gcd(3 780, 250)= 3 780 250: gcd (3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Тоест m 4 = 94 500.

Така най-малкото общо кратно на първоначалните четири числа е 94 500.

Отговор:

LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.

В много случаи най-малкото общо кратно на три или повече числа удобно се намира с помощта на прости фактори на дадени числа. В този случай трябва да се спазва следното правило. Най-малкото общо кратно на няколко числа е равно на произведението, което се съставя по следния начин: липсващите фактори от разлагането на второто число се добавят към всички фактори от разширението на първото число, липсващите фактори от разширението на третото число се добавя към получените фактори и т.н.

Помислете за пример за намиране на най-малкото общо кратно с помощта на разлагането на числата на прости множители.

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на пет числа 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Решение.

Първо получаваме разширенията на тези числа в прости множители: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 прости множители) и 143=11 13 .

За да намерите LCM на тези числа, към коефициентите на първото число 84 (те са 2 , 2 , 3 и 7 ) трябва да добавите липсващите множители от разширението на второто число 6 . Разширението на числото 6 не съдържа липсващи фактори, тъй като и 2, и 3 вече присъстват в разширението на първото число 84 . Освен факторите 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 2 и 2 от разширението на третото число 48, получаваме набор от фактори 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Няма нужда да добавяте фактори към този набор в следващата стъпка, тъй като 7 вече се съдържа в него. Накрая към факторите 2, 2, 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 11 и 13 от разширението на числото 143. Получаваме произведението 2 2 2 2 3 7 11 13 , което е равно на 48 048 .