Без да знаете как да намалите дроб и да имате стабилни умения за решаване на такива примери, е много трудно да изучавате алгебра в училище. Колкото по-напред отивате, толкова повече пречи на основните ви познания за редуциране на дроби. нова информация. Първо се появяват степени, след това фактори, които по-късно стават полиноми.
Как можете да избегнете объркване тук? Внимателно затвърдете уменията в предишните теми и постепенно се подгответе за знания как да намалите дроб, което става все по-сложно от година на година.
Основни познания
Без тях няма да можете да се справите със задачи от всяко ниво. За да разберете, трябва да разберете две прости точки. Първо: можете само да намалите факторите. Този нюанс се оказва много важен, когато в числителя или знаменателя се появяват полиноми. След това трябва ясно да разграничите къде е множителят и къде събираемият.
Втората точка казва, че всяко число може да бъде представено под формата на фактори. Освен това резултатът от намаляването е дроб, чийто числител и знаменател вече не могат да бъдат намалени.
Правила за съкращаване на обикновени дроби
Първо трябва да проверите дали числителят се дели на знаменателя или обратното. Тогава точно този брой трябва да бъде намален. Това е най-простият вариант.
Второто е анализът външен видчисла. Ако и двете завършват с една или повече нули, тогава те могат да бъдат съкратени с 10, 100 или хиляда. Тук можете да видите дали числата са четни. Ако да, тогава можете спокойно да го намалите на две.
Третото правило за намаляване на дроб е разлагането на числителя и знаменателя на прости множители. По това време трябва активно да използвате всичките си знания за признаците за делимост на числата. След това разлагане остава само да се намерят всички повтарящи се, да се умножат и да се намалят с полученото число.
Ами ако има алгебричен израз в дроб?
Тук се появяват първите трудности. Защото тук се появяват термини, които могат да бъдат идентични с фактори. Много искам да ги намаля, но не мога. Преди да можете да намалите алгебрична дроб, тя трябва да бъде преобразувана така, че да има множители.
За да направите това, ще трябва да изпълните няколко стъпки. Може да се наложи да преминете през всички тях или може би първият ще предостави подходящ вариант.
Проверете дали числителят и знаменателят или някой израз в тях се различават по знак. В този случай просто трябва да поставите минус едно извън скоби. Това създава равни фактори, които могат да бъдат намалени.
Вижте дали е възможно да премахнете общия множител от полинома извън скоби. Може би това ще доведе до скоба, която също може да бъде съкратена, или ще бъде премахнат моном.
Опитайте се да групирате мономите, за да добавите общ множител към тях. След това може да се окаже, че ще има фактори, които могат да бъдат намалени, или отново ще се повтори поставянето в скоби на общи елементи.
Опитайте се да разгледате писмено формулите за съкратено умножение. С тяхна помощ можете лесно да преобразувате полиноми в множители.
Последователност от действия с дроби със степени
За да разберете лесно въпроса как да намалите дроб със степени, трябва да запомните твърдо основните операции с тях. Първият от тях е свързан с умножението на правомощията. В този случай, ако основите са еднакви, индикаторите трябва да се добавят.
Второто е разделението. Отново, за тези, които имат същите причини, индикаторите ще трябва да бъдат извадени. Освен това трябва да извадите от числото, което е в дивидента, а не обратното.
Третото е степенуването. При това положение показателите се умножават.
Успешното редуциране също ще изисква способността да се редуцират правомощията до равни бази. Тоест, да видим, че четири е две на квадрат. Или 27 - кубът от три. Защото намаляването на 9 на квадрат и 3 на куб е трудно. Но ако трансформираме първия израз като (3 2) 2, тогава редукцията ще бъде успешна.
Намаляването на дроби е необходимо, за да се намали фракцията до повече прост изглед, например в отговора, получен в резултат на решаване на израз.
Съкращаване на дроби, определение и формула.
Какво е намаляване на дроби? Какво означава намаляване на дроб?
определение:
Намаляване на дроби- това е разделянето на числителя и знаменателя на дроб на едно и също положително число, което не е равно на нула и едно. В резултат на съкращаването се получава дроб с по-малък числител и знаменател, равна на предходната дроб съгл.
Формула за съкращаване на дробиосновни свойства на рационалните числа.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Да разгледаме един пример:
Намалете дроба \(\frac(9)(15)\)
Решение:
Можем да разделим дроб на прости множители и да съкратим общи множители.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Отговор: след редукция получихме дробта \(\frac(3)(5)\). Според основното свойство на рационалните числа първоначалната и получената дроби са равни.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Как да намалим дробите? Редуциране на дроб до нейната несъкратима форма.
За да получим в резултат несъкратима дроб, имаме нужда намерете най-големия общ делител(КИМАНЕ)за числителя и знаменателя на дробта.
Има няколко начина за намиране на НОД; в примера ще използваме разлагането на числата на прости множители.
Вземете несъкратимата дроб \(\frac(48)(136)\).
Решение:
Нека намерим НОД(48, 136). Нека напишем числата 48 и 136 на прости множители.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
Правилото за редуциране на дроб до несъкратим вид.
- Трябва да намерите най-големия общ делител на числителя и знаменателя.
- Трябва да разделите числителя и знаменателя на най-големия общ делител, за да получите несъкратима дроб в резултат на деленето.
Пример:
Намалете дробта \(\frac(152)(168)\).
Решение:
Нека намерим НОД(152, 168). Нека напишем числата 152 и 168 на прости множители.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)
Отговор: \(\frac(19)(21)\) е несъкратима дроб.
Намаляване на неправилните дроби.
Как да намалим неправилна дроб?
Правилата за съкращаване на дроби са еднакви за правилните и неправилните дроби.
Да разгледаме един пример:
Намалете неправилната дроб \(\frac(44)(32)\).
Решение:
Нека напишем числителя и знаменателя на прости множители. И тогава ще намалим общите фактори.
\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)
Намаляване на смесени фракции.
Смесените дроби следват същите правила като обикновените дроби. Единствената разлика е, че можем не докосвайте цялата част, а намалете частичната частили Преобразувайте смесена дроб в неправилна дроб, съкратете я и я преобразувайте обратно в правилна дроб.
Да разгледаме един пример:
Съкратете смесената дроб \(2\frac(30)(45)\).
Решение:
Нека го решим по два начина:
Първи начин:
Нека напишем дробната част на прости множители, но няма да засягаме цялата част.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)
Втори начин:
Нека първо да го преобразуваме в неправилна дроб и след това да го напишем на прости множители и да го намалим. Нека преобразуваме получената неправилна дроб в правилна дроб.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)
Свързани въпроси:
Можете ли да намалите дроби, когато събирате или изваждате?
Отговор: не, първо трябва да добавите или извадите дроби според правилата и едва след това да ги намалите. Да разгледаме един пример:
Изчислете израза \(\frac(50+20-10)(20)\) .
Решение:
Те често правят грешката да съкращават същите числаВ нашия случай числителят и знаменателят имат числото 20, но не могат да бъдат намалени, докато не завършите събирането и изваждането.
\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
С какви числа можете да намалите една дроб?
Отговор: Можете да намалите дроб чрез най-големия общ множител или общия делител на числителя и знаменателя. Например фракцията \(\frac(100)(150)\).
Нека напишем числата 100 и 150 на прости множители.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Най-големият общ делител ще бъде числото gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
Получихме несъкратимата дроб \(\frac(2)(3)\).
Но не е необходимо винаги да се дели на gcd; не винаги е необходима несъкратима дроб; можете да намалите дробта с обикновен делител на числителя и знаменателя. Например, числата 100 и 150 имат общ делител 2. Нека намалим дробта \(\frac(100)(150)\) с 2.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)
Получихме съкратимата дроб \(\frac(50)(75)\).
Какви фракции могат да бъдат намалени?
Отговор: Можете да съкратите дроби, в които числителят и знаменателят имат общ делител. Например дробта \(\frac(4)(8)\). Числото 4 и 8 имат число, на което и двете се делят - числото 2. Следователно такава дроб може да бъде намалена с числото 2.
Пример:
Сравнете двете дроби \(\frac(2)(3)\) и \(\frac(8)(12)\).
Тези две дроби са равни. Нека разгледаме по-отблизо фракцията \(\frac(8)(12)\):
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\пъти 1=\frac(2)(3)\)
От тук получаваме \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
Две дроби са равни тогава и само ако едната от тях е получена чрез намаляване на другата дроб с общия множител на числителя и знаменателя.
Пример:
Ако е възможно, намалете следните дроби: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) г) \(\frac(100)(250)\)
Решение:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \пъти 3 \пъти 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
в) \(\frac(17)(100)\) несъкратима дроб
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ по 5)=\frac(2)(5)\)
Онлайн калкулатор изпълнява намаляване алгебрични дроби в съответствие с правилото за съкращаване на дроби: замяна на оригиналната дроб с равна дроб, но с по-малък числител и знаменател, т.е. Едновременно деление на числителя и знаменателя на дроб на техния общ най-голям общ множител (НОД). Калкулаторът също се показва подробно решение, което ще ви помогне да разберете последователността на намаляването.
дадени:
Решение:
Извършва редукция на дроби
проверка на възможността за извършване на редукция на алгебрична дроб
1) Определяне на най-големия общ делител (НОД) на числителя и знаменателя на дроб
определяне на най-големия общ делител (НОД) на числителя и знаменателя на алгебрична дроб
2) Намаляване на числителя и знаменателя на дроб
намаляване на числителя и знаменателя на алгебрична дроб
3) Избиране на цялата част от дроб
отделяне на цялата част от алгебрична дроб
4) Преобразуване на алгебрична дроб в десетична дроб
преобразуване на алгебрична дроб в десетична
Помощ за изработка на сайт на проекта
Уважаеми посетители на сайта.
Ако не сте успели да намерите това, което търсите, не забравяйте да напишете за това в коментарите, какво липсва в момента на сайта. Това ще ни помогне да разберем в каква посока трябва да продължим, а други посетители скоро ще могат да получат необходимия материал.
Ако сайтът се оказа полезен за вас, дарете сайта на проекта само 2 ₽и ще знаем, че се движим в правилната посока.
Благодаря ви, че се отбихте!
I. Процедура за намаляване на алгебрична дроб с помощта на онлайн калкулатор:
- За да намалите алгебрична дроб, въведете стойностите на числителя и знаменателя на дробта в съответните полета. Ако фракцията е смесена, попълнете и полето, съответстващо на цялата част от фракцията. Ако дробта е проста, оставете полето за цялата част празно.
- За да посочите отрицателна дроб, поставете знак минус върху цялата част на дробта.
- В зависимост от зададената алгебрична дроб автоматично се изпълнява следната последователност от действия:
- определяне на най-големия общ делител (НОД) на числителя и знаменателя на дроб;
- намаляване на числителя и знаменателя на дроб с gcd;
- подчертаване на цялата част от дроб, ако числителят на крайната дроб е по-голям от знаменателя.
- преобразуване на крайната алгебрична дроб в десетична дробзакръглено до най-близката стотна.
II. За справка:
Дробта е число, състоящо се от една или повече части (дроби) на единица. Обикновената дроб (обикновена дроб) се записва като две числа (числителя на дробта и знаменателя на дробта), разделени от хоризонтална черта (дробна лента), указваща знака за деление. Числителят на дроб е числото над дробната черта. Числителят показва колко акции са взети от цялото. Знаменателят на дроб е числото под дробната черта. Знаменателят показва на колко равни части е разделено цялото. Простата дроб е дроб, която няма цяла част. Простата дроб може да бъде правилна или неправилна. Правилна дроб е дроб, чийто числител е по-малък от знаменателя, така че правилната дроб винаги е по-малка от единица. Пример за правилни дроби: 8/7, 11/19, 16/17. Неправилна дроб е дроб, в която числителят е по-голям или равен на знаменателя, така че неправилната дроб винаги е по-голяма или равна на едно. Пример за неправилни дроби: 7/6, 8/7, 13/13. смесена дроб е число, което съдържа цяло число и правилна дроб и обозначава сумата от това цяло число и правилната дроб. Всяка смесена дроб може да бъде преобразувана в неправилна дроб проста дроб. Пример за смесени дроби: 1¼, 2½, 4¾.
III. Забележка:
- Маркиран блок с изходни данни жълто , разпределен междинен изчислителен блок син , блокът за решение е маркиран в зелено.
- За събиране, изваждане, умножение и деление на обикновени или смесени дроби използвайте онлайн калкулатора за дроби с подробни решения.
За да разберем как да съкращаваме дроби, нека първо да разгледаме един пример.
Да намалиш дроб означава да разделиш числителя и знаменателя на едно и също нещо. И 360, и 420 завършват с цифра, така че можем да намалим тази дроб с 2. В новата дроб и 180, и 210 също се делят на 2, така че намаляваме тази дроб с 2. В числата 90 и 105 сумата от цифрите се дели на 3, така че и двете числа се делят на 3, намаляваме дробта с 3. В новата дроб 30 и 35 завършват на 0 и 5, което означава, че и двете числа се делят на 5, така че намаляваме дробта с 5. Получената дроб от шест седми е несъкратима. Това е окончателният отговор.
Можем да стигнем до същия отговор по различен начин.
И 360, и 420 завършват на нула, което означава, че се делят на 10. Намаляваме дробта с 10. В новата дроб и числителят 36, и знаменателят 42 са разделени на 2. Намаляваме дробта с 2. В следващата дроб, както числителят 18, така и знаменателят 21 са разделени на 3, което означава, че намаляваме дробта с 3. Стигнахме до резултата - шест седми.
И още едно решение.
Следващия път ще разгледаме примери за съкращаване на дроби.
дивизияи числителя и знаменателя на дробта върху техните общ делител, различен от един, се нарича намаляване на дроб.
За съкращаване обикновена дроб, трябва да разделите неговия числител и знаменател на едно и също естествено число.
Това число е най-големият общ делител на числителя и знаменателя на дадената дроб.
Възможни са следните формуляри за записване на решенияПримери за съкращаване на обикновени дроби.
Студентът има право да избере всяка форма на запис.
Примери. Опростете дробите.
Намалете дробта с 3 (разделете числителя на 3;
разделете знаменателя на 3).
Намалете дроба със 7.
Извършваме посочените действия в числителя и знаменателя на дробта.
Получената дроб се намалява с 5.
Нека намалим тази дроб 4)
На 5·7³- най-големият общ делител (НОД) на числителя и знаменателя, който се състои от общите множители на числителя и знаменателя, взети на степен с най-малък показател.
Нека разложим числителя и знаменателя на тази дроб на прости множители.
Получаваме: 756=2²·3³·7И 1176=2³·3·7².
Определете НОД (най-големия общ делител) на числителя и знаменателя на дробта 5) .
Това е произведението на общи множители, взети с най-ниските показатели.
gcd(756, 1176)= 2²·3·7.
Разделяме числителя и знаменателя на тази дроб на тяхната gcd, т.е 2²·3·7получаваме несъкратима дроб 9/14
.
Или беше възможно да се напише разлагането на числителя и знаменателя под формата на произведение от прости множители, без да се използва концепцията за мощност, и след това да се намали дробта, като се зачеркнат същите множители в числителя и знаменателя. Когато не останат еднакви множители, умножаваме останалите множители отделно в числителя и отделно в знаменателя и записваме получената дроб 9/14 .
И накрая беше възможно да се намали тази част 5) постепенно, прилагайки знаци за деление на числата както към числителя, така и към знаменателя на дробта. Нека помислим така: числа 756 И 1176 завършват на четно число, което означава, че и двете се делят на 2 . Намаляваме дроба с 2 . Числителят и знаменателят на новата дроб са числа 378 И 588 също се разделя на 2 . Намаляваме дроба с 2 . Забелязваме, че броят 294 - дори и 189 е нечетно и намаляването с 2 вече не е възможно. Да проверим делимостта на числата 189 И 294 На 3 .
(1+8+9)=18 се дели на 3 и (2+9+4)=15 се дели на 3, следователно и самите числа 189 И 294 се разделят на 3 . Намаляваме дроба с 3 . Освен това, 63 се дели на 3 и 98 - Не. Нека разгледаме други прости множители. И двете числа се делят на 7 . Намаляваме дроба с 7 и получаваме несъкратимата дроб 9/14 .
