สี่เหลี่ยมคางหมูตั้งฉากกับฐาน วงกลมล้อมรอบสี่เหลี่ยมคางหมู

สี่เหลี่ยมคางหมูเป็นกรณีพิเศษของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีด้านคู่หนึ่งขนานกัน คำว่า "สี่เหลี่ยมคางหมู" มาจาก คำภาษากรีกτράπεζα แปลว่า โต๊ะ ในบทความนี้เราจะดูประเภทของสี่เหลี่ยมคางหมูและคุณสมบัติของมัน นอกจากนี้เราจะหาวิธีการคำนวณด้วย แต่ละองค์ประกอบเช่นแนวทแยง สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเส้นกึ่งกลาง พื้นที่ ฯลฯ นำเสนอวัสดุในรูปแบบเรขาคณิตยอดนิยมเบื้องต้น เช่น ในรูปแบบที่เข้าถึงได้ง่าย

ข้อมูลทั่วไป

ก่อนอื่น เรามาทำความเข้าใจกันว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคืออะไร รูปนี้เป็นกรณีพิเศษของรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านสี่ด้านและจุดยอดสี่จุด จุดยอดสองจุดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ไม่อยู่ติดกันเรียกว่าตรงกันข้าม สิ่งเดียวกันอาจกล่าวได้สำหรับด้านที่ไม่อยู่ติดกันสองด้าน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนประเภทหลัก ได้แก่ สี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมคางหมู และเดลทอยด์

กลับมาที่สี่เหลี่ยมคางหมู ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว รูปนี้มีด้านขนานกันสองด้าน พวกเขาเรียกว่าฐาน อีกสองอัน (ไม่ขนานกัน) คือด้านข้าง ในสื่อการสอบและต่างๆ การทดสอบบ่อยครั้งที่คุณจะพบปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งการแก้ปัญหามักต้องใช้ความรู้จากนักเรียนที่โปรแกรมไม่ได้จัดเตรียมไว้ หลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนแนะนำให้นักเรียนรู้จักคุณสมบัติของมุมและเส้นทแยงมุมตลอดจนเส้นแบ่ง สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว- แต่นอกจากนี้รูปทรงเรขาคณิตดังกล่าวยังมีลักษณะอื่นอีกด้วย แต่จะเพิ่มเติมเกี่ยวกับพวกเขาในภายหลัง...

ประเภทของสี่เหลี่ยมคางหมู

ตัวเลขนี้มีหลายประเภท อย่างไรก็ตามส่วนใหญ่มักเป็นเรื่องปกติที่จะต้องพิจารณาสองอันคือหน้าจั่วและสี่เหลี่ยม

1. สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมคือรูปที่ด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน มุมทั้งสองของเธอจะเท่ากับเก้าสิบองศาเสมอ

2. สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือรูปทรงเรขาคณิตที่มีด้านเท่ากัน ซึ่งหมายความว่ามุมที่ฐานก็เท่ากันเป็นคู่เช่นกัน

หลักการสำคัญของระเบียบวิธีในการศึกษาคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมู

หลักการสำคัญรวมถึงการใช้วิธีการที่เรียกว่างาน ที่จริงแล้ว ไม่จำเป็นต้องแนะนำคุณสมบัติใหม่ของรูปนี้ในวิชาเรขาคณิตทางทฤษฎี สามารถค้นพบและกำหนดได้ในกระบวนการแก้ไขปัญหาต่างๆ (โดยเฉพาะระบบ) ในขณะเดียวกัน เป็นสิ่งสำคัญมากที่ครูจะต้องรู้ว่าต้องมอบหมายงานใดให้กับนักเรียนในคราวเดียว กระบวนการศึกษา- ยิ่งไปกว่านั้น คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูแต่ละอย่างสามารถแสดงเป็นงานหลักในระบบงานได้

หลักการที่สองคือองค์กรที่เรียกว่าเกลียวในการศึกษาคุณสมบัติ "โดดเด่น" ของสี่เหลี่ยมคางหมู นี่แสดงถึงการกลับคืนสู่กระบวนการเรียนรู้ไปสู่คุณลักษณะส่วนบุคคลของรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด ช่วยให้นักเรียนจดจำได้ง่ายขึ้น เช่น คุณสมบัติของสี่จุด สามารถพิสูจน์ได้ทั้งเมื่อศึกษาความคล้ายคลึงกันและต่อมาโดยใช้เวกเตอร์ และความสมมูลของรูปสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกับด้านข้างของรูปสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ไม่เพียงแต่คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่มีความสูงเท่ากันที่ลากไปยังด้านที่วางอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน แต่ยังใช้สูตร S = 1/2( ab*ซินα) นอกจากนี้ คุณยังสามารถสร้างสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีเครื่องหมายไว้หรือสามเหลี่ยมมุมฉากบนสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีเครื่องหมายไว้ก็ได้ เป็นต้น

การใช้คุณสมบัติ "นอกหลักสูตร" ของรูปทรงเรขาคณิตในเนื้อหาของหลักสูตรของโรงเรียนเป็นเทคโนโลยีที่เน้นงานในการสอน การอ้างอิงถึงคุณสมบัติที่กำลังศึกษาอย่างต่อเนื่องในขณะที่อ่านหัวข้ออื่นๆ ช่วยให้นักเรียนได้รับความรู้ที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมคางหมูและรับประกันความสำเร็จในการแก้ปัญหาที่ได้รับมอบหมาย เรามาเริ่มศึกษาตัวเลขที่ยอดเยี่ยมนี้กันดีกว่า

องค์ประกอบและคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว รูปทรงเรขาคณิตนี้มีด้านเท่ากัน เรียกอีกอย่างว่าสี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกต้อง เหตุใดจึงโดดเด่นและเหตุใดจึงได้ชื่อเช่นนี้? ลักษณะเฉพาะของรูปนี้คือไม่เพียงแต่ด้านข้างและมุมที่ฐานจะเท่ากันเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเส้นทแยงมุมด้วย นอกจากนี้ ผลรวมของมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือ 360 องศา แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! ในบรรดาสี่เหลี่ยมคางหมูที่รู้จักทั้งหมด มีเพียงหน้าจั่วอันเดียวเท่านั้นที่สามารถอธิบายได้ว่าเป็นวงกลม นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าผลรวมของมุมตรงข้ามของรูปนี้เท่ากับ 180 องศา และภายใต้เงื่อนไขนี้เท่านั้นที่สามารถอธิบายวงกลมรอบรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนได้ คุณสมบัติถัดไปของรูปทรงเรขาคณิตที่พิจารณาคือ ระยะห่างจากจุดยอดของฐานถึงเส้นโครงของจุดยอดตรงข้ามไปยังเส้นตรงที่มีฐานนี้จะเท่ากับเส้นกึ่งกลาง

ทีนี้ เรามาดูวิธีหามุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วกัน ให้เราพิจารณาวิธีแก้ปัญหานี้โดยทราบขนาดของด้านข้างของรูป

สารละลาย

โดยทั่วไปรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมักจะแสดงด้วยตัวอักษร A, B, C, D โดยที่ BS และ AD เป็นฐาน ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ด้านข้างจะเท่ากัน เราจะถือว่าขนาดของมันเท่ากับ X และขนาดของฐานเท่ากับ Y และ Z (เล็กกว่าและใหญ่กว่าตามลำดับ) ในการคำนวณ จำเป็นต้องวาดความสูง H จากมุม B ผลลัพธ์ที่ได้คือ ABN สามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ AB คือด้านตรงข้ามมุมฉาก และ BN และ AN คือขา เราคำนวณขนาดของขา AN: เราลบอันที่เล็กกว่าออกจากฐานที่ใหญ่กว่าแล้วหารผลลัพธ์ด้วย 2 เราเขียนมันในรูปแบบของสูตร: (Z-Y)/2 = F. ตอนนี้เพื่อคำนวณค่าเฉียบพลัน มุมของสามเหลี่ยม เราใช้ฟังก์ชัน cos เราได้รับรายการต่อไปนี้: cos(β) = X/F ตอนนี้เราคำนวณมุม: β=arcos (X/F) นอกจากนี้เมื่อรู้มุมหนึ่งแล้ว เราก็สามารถกำหนดมุมที่สองได้ ด้วยเหตุนี้เราจึงดำเนินการทางคณิตศาสตร์เบื้องต้น: 180 - β ทุกมุมถูกกำหนดไว้

มีวิธีแก้ไขที่สองสำหรับปัญหานี้ ขั้นแรกเราลดระดับลงจากมุมจนถึงความสูง H เราคำนวณค่าของขา BN เรารู้ว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา เราได้รับ: BN = √(X2-F2) ต่อไปเราใช้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติทีจี เป็นผลให้เราได้: β = arctan (BN/F) พบมุมแหลมแล้ว ต่อไปเราจะกำหนดมันเหมือนกับวิธีแรก

คุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว

ก่อนอื่น มาเขียนกฎสี่ข้อกันก่อน หากเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วตั้งฉากกัน ดังนั้น:

ความสูงของรูปจะเท่ากับผลรวมของฐานหารด้วยสอง

ความสูงและเส้นกึ่งกลางของมันเท่ากัน

จุดศูนย์กลางของวงกลมคือจุดที่ ;

หากด้านข้างถูกหารด้วยจุดสัมผัสเป็นส่วน H และ M ก็จะเท่ากับ รากที่สองผลิตภัณฑ์ของกลุ่มเหล่านี้

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่เกิดจากจุดสัมผัส จุดยอดของสี่เหลี่ยมคางหมูและจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้นั้นเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับรัศมี

พื้นที่ของรูปเท่ากับผลคูณของฐานและผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงของผลรวมครึ่งหนึ่ง

สี่เหลี่ยมคางหมูที่คล้ายกัน

หัวข้อนี้สะดวกมากในการศึกษาคุณสมบัติของสิ่งนี้ เช่น เส้นทแยงมุมแบ่งรูปสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสามเหลี่ยมสี่รูป และรูปที่อยู่ติดกับฐานจะคล้ายกัน และรูปที่อยู่ติดกับด้านข้างจะมีขนาดเท่ากัน ข้อความนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีการหารสี่เหลี่ยมคางหมูด้วยเส้นทแยงมุม ส่วนแรกของข้อความนี้ได้รับการพิสูจน์ผ่านสัญลักษณ์ของความคล้ายคลึงกันในสองมุม เพื่อพิสูจน์ส่วนที่สอง ควรใช้วิธีด้านล่างนี้จะดีกว่า

การพิสูจน์ทฤษฎีบท

เรายอมรับว่ารูป ABSD (AD และ BS เป็นฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู) หารด้วยเส้นทแยงมุม VD และ AC จุดตัดกันคือ O เราได้สามเหลี่ยมสี่อัน: AOS - ที่ฐานล่าง, BOS - ที่ฐานบน, ABO และ SOD ที่ด้านข้าง สามเหลี่ยม SOD และ BOS มีความสูงเท่ากัน หากส่วน BO และ OD เป็นฐาน เราพบว่าความแตกต่างระหว่างพื้นที่ (P) เท่ากับความแตกต่างระหว่างส่วนเหล่านี้: PBOS/PSOD = BO/OD = K ดังนั้น PSOD = PBOS/K ในทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยม BOS และ AOB มีความสูงเท่ากัน เราใช้กลุ่ม CO และ OA เป็นฐาน เราได้ PBOS/PAOB = CO/OA = K และ PAOB = PBOS/K จากนี้ไป PSOD = PAOB

ในการรวมวัสดุเข้าด้วยกัน แนะนำให้นักเรียนค้นหาความเชื่อมโยงระหว่างพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นซึ่งสี่เหลี่ยมคางหมูถูกหารด้วยเส้นทแยงมุมโดยการแก้ปัญหาต่อไปนี้ เป็นที่ทราบกันว่าสามเหลี่ยม BOS และ AOD มีพื้นที่เท่ากัน จำเป็นต้องค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู เนื่องจาก PSOD = PAOB จึงหมายถึง PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม BOS และ AOD จะได้ว่า BO/OD = √(PBOS/PAOD) ดังนั้น PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD) เราได้ PSOD = √(PBOS*PAOD) จากนั้น PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

คุณสมบัติของความคล้ายคลึงกัน

การพัฒนาหัวข้อนี้อย่างต่อเนื่องสามารถพิสูจน์อย่างอื่นได้ คุณสมบัติที่น่าสนใจสี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้นการใช้ความคล้ายคลึงกันจึงสามารถพิสูจน์คุณสมบัติของส่วนที่ผ่านจุดที่เกิดจากจุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปทรงเรขาคณิตนี้ซึ่งขนานกับฐานได้ เพื่อทำเช่นนี้ เรามาแก้ปัญหาต่อไปนี้: เราจำเป็นต้องค้นหาความยาวของส่วน RK ที่ผ่านจุด O จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม AOD และ BOS จะได้ว่า AO/OS = AD/BS จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม AOP และ ASB จะได้ว่า AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD) จากตรงนี้เราจะได้ RO=BS*BP/(BS+BP) ในทำนองเดียวกัน จากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม DOC และ DBS จะได้ว่า OK = BS*AD/(BS+AD) จากตรงนี้ เราจะได้ RO=OK และ RK=2*BS*AD/(BS+AD) ส่วนที่ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมขนานกับฐานและเชื่อมต่อด้านข้างทั้งสองข้างจะถูกแบ่งครึ่งตามจุดตัด ความยาวของมันคือค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของฐานของร่าง

พิจารณาคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูต่อไปนี้ ซึ่งเรียกว่าคุณสมบัติของสี่จุด จุดตัดของเส้นทแยงมุม (O) จุดตัดของความต่อเนื่องของด้านข้าง (E) รวมถึงจุดกึ่งกลางของฐาน (T และ F) จะอยู่ในเส้นเดียวกันเสมอ สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้ง่าย ๆ ด้วยวิธีความคล้ายคลึงกัน ผลลัพธ์ของสามเหลี่ยม BES และ AED จะคล้ายกัน และในแต่ละสามเหลี่ยมนั้น ค่ามัธยฐาน ET และ EJ จะแบ่งมุมยอด E ออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน ดังนั้นจุด E, T และ F จึงอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ในทำนองเดียวกัน จุด T, O และ Zh ตั้งอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ทั้งหมดนี้เป็นไปตามความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม BOS และ AOD จากที่นี่เราสรุปได้ว่าจุดทั้งสี่ - E, T, O และ F - จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

เมื่อใช้สี่เหลี่ยมคางหมูที่คล้ายกัน คุณสามารถขอให้นักเรียนหาความยาวของส่วน (LS) ที่แบ่งรูปออกเป็นสองส่วนที่คล้ายกัน ส่วนนี้จะต้องขนานกับฐาน เนื่องจากผลลัพธ์ของสี่เหลี่ยมคางหมู ALFD และ LBSF มีความคล้ายคลึงกัน ดังนั้น BS/LF = LF/AD เป็นไปตามนั้น LF=√(BS*AD) เราพบว่าส่วนที่แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสองส่วนที่คล้ายกันนั้นมีความยาวเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของความยาวของฐานของรูป

พิจารณาคุณสมบัติความคล้ายคลึงต่อไปนี้ มันขึ้นอยู่กับส่วนที่แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสองร่างเท่ากัน เราถือว่า ABSD สี่เหลี่ยมคางหมูถูกแบ่งตามส่วน EH ออกเป็นสองส่วนที่คล้ายกัน จากจุดยอด B ความสูงจะถูกละเว้นซึ่งแบ่งตามส่วน EN ออกเป็นสองส่วน - B1 และ B2 เราได้: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 และ PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2 ต่อไป เราจะเขียนระบบที่มีสมการแรกคือ (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 และสมการที่สอง (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2 เป็นไปตามนั้น B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) และ BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1) เราพบว่าความยาวของส่วนที่แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กันจะเท่ากับค่าเฉลี่ยรากกำลังสองของความยาวของฐาน: √((BS2+AD2)/2)

การค้นพบความคล้ายคลึงกัน

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่า:

1. ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นขนานกับ AD และ BS และเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ BS และ AD (ความยาวของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู)

2. เส้นที่ผ่านจุด O ของจุดตัดของเส้นทแยงมุมที่ขนานกับ AD และ BS จะเท่ากับค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของตัวเลข AD และ BS (2*BS*AD/(BS+AD))

3. ส่วนที่แบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นชิ้นที่คล้ายกันจะมีความยาวของค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของฐาน BS และ AD

4. องค์ประกอบที่แบ่งตัวเลขออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน จะมีความยาวของค่าเฉลี่ยรากกำลังสองของตัวเลข AD และ BS

เพื่อรวมเนื้อหาและทำความเข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างส่วนที่พิจารณา นักเรียนจำเป็นต้องสร้างให้เป็นสี่เหลี่ยมคางหมูเฉพาะ เขาสามารถแสดงเส้นกลางและส่วนที่ผ่านจุด O ซึ่งเป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปได้อย่างง่ายดายขนานกับฐาน แต่ที่สามและสี่จะอยู่ที่ไหน? คำตอบนี้จะนำนักเรียนไปสู่การค้นพบความสัมพันธ์ที่ต้องการระหว่างค่าเฉลี่ย

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

พิจารณาคุณสมบัติของรูปนี้ดังต่อไปนี้ เราถือว่าส่วน MH นั้นขนานกับฐานและแบ่งครึ่งเส้นทแยงมุม เรียกจุดตัด Ш และ Ш ส่วนนี้จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่างของฐาน ลองดูรายละเอียดเพิ่มเติมนี้ MS คือเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม ABS ซึ่งเท่ากับ BS/2 MSH คือเส้นกลางของสามเหลี่ยม ABD ซึ่งเท่ากับ AD/2 จากนั้นเราจะได้ ShShch = MSh-MSh ดังนั้น ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2

จุดศูนย์ถ่วง

มาดูกันว่าองค์ประกอบนี้ถูกกำหนดอย่างไรสำหรับรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องขยายฐานไปในทิศทางตรงกันข้าม มันหมายความว่าอะไร? คุณต้องเพิ่มฐานล่างเข้ากับฐานด้านบน - ในทิศทางใดก็ได้เช่นไปทางขวา และเราขยายอันล่างตามความยาวของอันบนไปทางซ้าย ต่อไปเราจะเชื่อมต่อพวกมันในแนวทแยง จุดตัดของส่วนนี้กับเส้นกึ่งกลางของรูปคือจุดศูนย์ถ่วงของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

สี่เหลี่ยมคางหมูที่จารึกไว้และล้อมรอบ

เรามาแสดงรายการคุณสมบัติของตัวเลขดังกล่าว:

1. สี่เหลี่ยมคางหมูสามารถเขียนเป็นวงกลมได้เฉพาะในกรณีที่เป็นหน้าจั่วเท่านั้น

2. สี่เหลี่ยมคางหมูสามารถอธิบายได้รอบวงกลม โดยมีเงื่อนไขว่าผลรวมของความยาวของฐานเท่ากับผลรวมของความยาวของด้าน

ข้อพิสูจน์ของวงกลมล้อมรอบ:

1. ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูที่อธิบายไว้จะเท่ากับสองรัศมีเสมอ

2. สังเกตด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูที่อธิบายไว้จากศูนย์กลางของวงกลมในมุมฉาก

ข้อพิสูจน์ข้อแรกนั้นชัดเจน แต่เพื่อพิสูจน์ข้อที่สอง จำเป็นต้องพิสูจน์ว่ามุม SOD นั้นถูกต้อง ซึ่งในความเป็นจริงแล้วไม่ได้เท่ากับ งานเยอะมาก- แต่ความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัตินี้จะทำให้คุณสามารถใช้สามเหลี่ยมมุมฉากเมื่อแก้ไขปัญหาได้

ตอนนี้ให้เราระบุผลที่ตามมาสำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่จารึกไว้ในวงกลม เราพบว่าความสูงคือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของฐานของรูป: H=2R=√(BS*AD) ขณะฝึกเทคนิคพื้นฐานในการแก้ปัญหารูปสี่เหลี่ยมคางหมู (หลักการวาดความสูงสองระดับ) ผู้เรียนจะต้องแก้โจทย์ต่อไปนี้ เราถือว่า BT คือความสูงของรูปหน้าจั่ว ABSD จำเป็นต้องค้นหากลุ่ม AT และ TD การใช้สูตรที่อธิบายไว้ข้างต้นจะทำให้ทำได้ไม่ยาก

ตอนนี้เรามาดูวิธีการกำหนดรัศมีของวงกลมโดยใช้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูที่จำกัดขอบเขต เราลดความสูงจากจุดยอด B ลงถึงฐาน AD เนื่องจากวงกลมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้น BS+AD = 2AB หรือ AB = (BS+AD)/2 จากสามเหลี่ยม ABN เราจะพบว่า sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD) PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. เราได้ PABSD = (BS+BP)*R ซึ่งตามมาด้วย R = PABSD/(BS+BP)

สูตรทั้งหมดสำหรับเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู

ตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะก้าวต่อไป องค์ประกอบสุดท้ายของรูปทรงเรขาคณิตนี้ ลองหาว่าเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู (M) มีค่าเท่ากับเท่าใด:

1. ผ่านฐาน: M = (A+B)/2

2. ผ่านความสูง ฐาน และมุม:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2

3. ผ่านความสูง เส้นทแยงมุม และมุมระหว่างสิ่งเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น D1 และ D2 เป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู α, β - มุมระหว่างพวกเขา:

M = D1*D2*sinα/2Н = D1*D2*sinβ/2Н

4. ผ่านพื้นที่และความสูง: M = P/N

สวัสดีตอนเย็น! โอ้ แวดวงที่มีขอบเขตหรือจารึกไว้เหล่านี้ รูปทรงเรขาคณิต- มันยากมากที่จะสับสน อะไรและเมื่อไหร่

ลองคิดดูก่อนด้วยถ้อยคำ เราจะมีวงกลมล้อมรอบประมาณ กล่าวอีกนัยหนึ่ง สี่เหลี่ยมคางหมูนี้ถูกจารึกไว้ในวงกลม

โปรดจำไว้ว่าเราสามารถอธิบายได้เพียงวงกลมรอบๆ เท่านั้น ในทางกลับกัน สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วก็เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านเท่ากัน

เรามาลองแก้ปัญหากัน เรารู้ว่าฐานของ ADCB สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือ 6 (DC) และ 4 (AB) และรัศมีของวงกลมที่มีเส้นรอบวงคือ 4 คุณต้องหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู FK

FK คือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู เราจำเป็นต้องหามันให้เจอ แต่ก่อนหน้านั้น จำไว้ว่าจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม และ OS, OD, OA, OB เป็นที่รู้จักในรัศมี

ใน OFC เรารู้ด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งเป็นรัศมีของวงกลม และขา FC = ครึ่งหนึ่งของฐาน DC = 3 ซม. (เนื่องจาก DF = FC)

ตอนนี้เรามาค้นหาของ:

และในสามเหลี่ยมมุมฉาก OKB เราก็รู้ด้านตรงข้ามมุมฉากด้วย เนื่องจากนี่คือรัศมีของวงกลม และ KB เท่ากับครึ่งหนึ่ง AB KB = 2 ซม. และเมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราคำนวณส่วนตกลง:

1. ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของความแตกต่างฐาน
2. สามเหลี่ยมที่เกิดจากฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและส่วนของเส้นทแยงมุมจนถึงจุดตัดจะคล้ายกัน
3. สามเหลี่ยมที่เกิดจากส่วนของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งด้านข้างวางอยู่บนด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู - มีขนาดเท่ากัน (มีพื้นที่เท่ากัน)
4. หากคุณขยายด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูไปทางฐานเล็ก มันจะตัดกันที่จุดหนึ่งโดยมีเส้นตรงเชื่อมจุดกึ่งกลางของฐาน
5. ส่วนที่เชื่อมต่อฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูจะถูกหารด้วยจุดนี้ในสัดส่วนเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู
6. ส่วนที่ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและลากผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดนี้ และความยาวของมันจะเท่ากับ 2ab/(a + b) โดยที่ a และ b เป็นฐานของ สี่เหลี่ยมคางหมู

คุณสมบัติของส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

มาเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ซึ่งเป็นผลมาจากการที่เราจะได้ส่วน LM
ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู อยู่บนเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู.

ส่วนนี้ ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู.

ความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับครึ่งหนึ่งของความแตกต่างของฐาน

LM = (ค.ศ. - พ.ศ.)/2
หรือ
LM = (ก-ข)/2

คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

สามเหลี่ยมที่เกิดจากฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู - มีความคล้ายคลึงกัน.
สามเหลี่ยม BOC และ AOD มีความคล้ายคลึงกัน เนื่องจากมุม BOC และ AOD เป็นแนวตั้ง จึงมีค่าเท่ากัน
มุม OCB และ OAD เป็นมุมภายในที่วางขวางโดยมีเส้นขนาน AD และ BC (ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกัน) และเส้นซีแคนต์ AC ดังนั้นทั้งสองจึงเท่ากัน
มุม OBC และ ODA เท่ากันด้วยเหตุผลเดียวกัน (ขวางภายใน)

เนื่องจากมุมทั้งสามของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับมุมที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้จึงคล้ายกัน

ต่อจากนี้จะมีอะไรบ้าง?

ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตจะใช้ความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมดังนี้ หากเราทราบความยาวขององค์ประกอบสององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน (เราหารทีละองค์ประกอบ) โดยที่ความยาวขององค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดสัมพันธ์กันด้วยค่าที่เท่ากันทุกประการ

คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่อยู่ด้านข้างและเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

พิจารณารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่วางอยู่บนด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู AB และ CD นี่คือสามเหลี่ยม AOB และ COD แม้ว่าขนาดของแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้อาจแตกต่างกันโดยสิ้นเชิงก็ตาม พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากด้านข้างและจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากันนั่นคือสามเหลี่ยมมีขนาดเท่ากัน

หากเราขยายด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูไปยังฐานที่เล็กกว่า จุดตัดของด้านข้างก็จะเท่ากับ ตรงกับเส้นตรงที่ลากผ่านกลางฐาน.

ดังนั้นสี่เหลี่ยมคางหมูใดๆ ก็สามารถขยายเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ โดยที่:

• สามเหลี่ยมที่เกิดจากฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีจุดยอดร่วมที่จุดตัดของด้านที่ขยายจะคล้ายกัน
• เส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูคือค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นในเวลาเดียวกัน

คุณสมบัติของส่วนที่เชื่อมต่อฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู

หากคุณวาดส่วนที่ปลายอยู่บนฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งอยู่ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู (KN) ดังนั้นอัตราส่วนของส่วนที่เป็นส่วนประกอบจากด้านข้างของฐานถึงจุดตัดกัน ของเส้นทแยงมุม (KO/ON) จะเท่ากับอัตราส่วนของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู(พ.ศ./ค.ศ.)

KO/ON = BC/AD

คุณสมบัตินี้ตามมาจากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกัน (ดูด้านบน)

คุณสมบัติของส่วนที่ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู

หากเราวาดส่วนที่ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู มันจะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• ระยะทางที่กำหนด (กม.) แบ่งครึ่งด้วยจุดตัดของเส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมคางหมู
• ความยาวส่วนผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูและขนานกับฐานเท่ากับ กม. = 2ab/(ก + ข)

สูตรการหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

ก, ข- ฐานสี่เหลี่ยมคางหมู

ซีดี- ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู

ด1 ดี2- เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

α β - มุมที่มีฐานใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมคางหมู

สูตรการหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูผ่านฐาน ด้านข้าง และมุมที่ฐาน

สูตรกลุ่มแรก (1-3) สะท้อนถึงคุณสมบัติหลักประการหนึ่งของเส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมคางหมู:

1. ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านข้างบวกสองเท่าของผลคูณของฐาน คุณสมบัติของเส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมคางหมูนี้สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นทฤษฎีบทที่แยกจากกัน

2 - สูตรนี้ได้มาจากการแปลงสูตรก่อนหน้า กำลังสองของเส้นทแยงมุมที่สองจะถูกส่งผ่านเครื่องหมายเท่ากับ หลังจากนั้นรากที่สองจะถูกแยกออกจากด้านซ้ายและด้านขวาของนิพจน์

3 - สูตรการหาความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูนี้คล้ายกับสูตรก่อนหน้า โดยมีความแตกต่างคือเหลือเส้นทแยงมุมอีกเส้นทางด้านซ้ายของนิพจน์

กลุ่มสูตรถัดไป (4-5) มีความหมายคล้ายกันและแสดงความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกัน

กลุ่มของสูตร (6-7) ช่วยให้คุณหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูได้หากทราบฐานที่ใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมคางหมู ด้านหนึ่งและมุมที่ฐาน

สูตรการหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูผ่านความสูง

งาน.
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD (AD | | BC) ตัดกันที่จุด O จงหาความยาวของฐาน BC ของสี่เหลี่ยมคางหมู ถ้าฐาน AD = 24 ซม. ความยาว AO = 9 ซม. ความยาว OS = 6 ซม.

สารละลาย.
การแก้ปัญหานี้มีอุดมการณ์เหมือนกันทุกประการกับปัญหาก่อนหน้านี้

สามเหลี่ยม AOD และ BOC มีความคล้ายคลึงกันในสามมุม - AOD และ BOC เป็นแนวตั้ง และมุมที่เหลือจะเท่ากันในทิศทางคู่ เนื่องจากมันถูกสร้างขึ้นจากจุดตัดของเส้นหนึ่งเส้นและเส้นคู่ขนานสองเส้น

เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมมีความคล้ายคลึงกัน มิติทางเรขาคณิตทั้งหมดจึงสัมพันธ์กัน เช่นเดียวกับมิติทางเรขาคณิตของส่วน AO และ OC ที่เรารู้จักตามเงื่อนไขของปัญหา นั่นคือ

AO/OC = AD/BC
9/6 = 24 / ก่อนคริสต์ศักราช
พ.ศ. = 24 * 6/9 = 16

คำตอบ: 16 ซม

งาน .
ในสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ทราบว่า AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17 ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู

สารละลาย .
ในการหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูจากจุดยอดของฐาน B และ C ที่เล็กกว่า เราจะลดความสูงลง 2 อันจากฐานที่ใหญ่กว่า เนื่องจากสี่เหลี่ยมคางหมูไม่เท่ากัน เราจึงแสดงความยาว AM = a ความยาว KD = b ( เพื่อไม่ให้สับสนกับสัญกรณ์ในสูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู) เนื่องจากฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นขนานกัน และเราทิ้งความสูงสองอันตั้งฉากกับฐานที่ใหญ่กว่า ดังนั้น MBCK จึงเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า

วิธี
AD = AM+BC+KD
ก + 8 + ข = 24
ก = 16 - ข

สามเหลี่ยม DBM และ ACK เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้นมุมขวาของพวกมันจึงถูกสร้างขึ้นตามความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู ให้เราแสดงความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูด้วย h จากนั้นตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ชม 2 + (24 - ก) 2 = (5√17) 2
และ
ชั่วโมง 2 + (24 - ข) 2 = 13 2

ลองคำนึงว่า a = 16 - b จากนั้นในสมการแรก
ชั่วโมง 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
ชั่วโมง 2 = 425 - (8 + b) 2

ลองแทนค่าของกำลังสองของความสูงเป็นสมการที่สองที่ได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราได้รับ:
425 - (8 + ข) 2 + (24 - ข) 2 = 169
-(64 + 16b + ข) 2 + (24 - ข) 2 = -256
-64 - 16b - ข 2 + 576 - 48b + ข 2 = -256
-64b = -768
ข = 12

ดังนั้น KD = 12
ที่ไหน
ชั่วโมง 2 = 425 - (8 + ข) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
ชั่วโมง = 5

หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูจากความสูงและผลรวมของฐานครึ่งหนึ่ง
โดยที่ a b - ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู, h - ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 ซม. 2

คำตอบ: พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูคือ 80 ตารางวา

งานโครงการ“ คุณสมบัติที่น่าสนใจของสี่เหลี่ยมคางหมู” จบโดย: นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 Kudzaeva Ellina Bazzaeva Diana MKOU Secondary School s. N.Batako หัวหน้า: Gagieva A.O. 20 พฤศจิกายน 2558

วัตถุประสงค์ของงาน: พิจารณาคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่ง หลักสูตรของโรงเรียนไม่มีการศึกษารูปทรงเรขาคณิต แต่เมื่อแก้ไขปัญหาเรขาคณิตของการสอบ Unified State จากส่วนที่ขยาย C 4 อาจจำเป็นต้องรู้และสามารถนำคุณสมบัติเหล่านี้ไปใช้ได้อย่างแม่นยำ

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมู: หากสี่เหลี่ยมคางหมูถูกหารด้วยเส้นขนานกับฐานเท่ากับ a และ b ให้ออกเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูสองอันที่เท่ากัน จากนั้นส่วนของเส้นนี้ซึ่งอยู่ระหว่างด้านด้านข้างจะเท่ากับ B ถึง

คุณสมบัติของส่วนที่ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู ส่วนที่ขนานกับฐานที่ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมจะเท่ากับ: a ใน c

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมู: ส่วนของเส้นตรงขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งอยู่ภายในสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นจะถูกแบ่งออกเป็นสามส่วนด้วยเส้นทแยงมุม จากนั้นส่วนที่อยู่ติดกับด้านข้างจะเท่ากัน MP=ตกลง RM O K

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว: หากวงกลมสามารถเขียนไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูได้ รัศมีของวงกลมจะเป็นสัดส่วนเฉลี่ยของส่วนที่จุดสัมผัสกันแบ่งด้านข้าง O S V A D. E O

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว: ถ้าจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตอยู่ที่ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้นเส้นทแยงมุมของมันจะตั้งฉากกับด้าน O A B C D

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว: สามารถเขียนวงกลมไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วได้ ถ้าด้านด้านข้างเท่ากับเส้นกึ่งกลาง ส วี เอ ดี ฮ

1) ถ้าข้อความปัญหาบอกว่าวงกลมถูกเขียนไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม คุณสามารถใช้คุณสมบัติต่อไปนี้: 1. ผลรวมของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลรวมของด้านข้าง 2. ระยะทางจากจุดยอดของสี่เหลี่ยมคางหมูถึงจุดสัมผัสของวงกลมที่ถูกจารึกไว้นั้นเท่ากัน 3. ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมเท่ากับด้านที่สั้นกว่าและเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ 4. จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้คือจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู 5. ถ้าจุดสัมผัสแบ่งด้านออกเป็นส่วน m และ n รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้จะเท่ากับ

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมที่วงกลมถูกจารึกไว้: 1) รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่เกิดจากศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ จุดสัมผัส และจุดยอดของสี่เหลี่ยมคางหมู - สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับรัศมี (AMOE และ BKOM เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน r) 2) หากวงกลมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับผลคูณของฐาน: S=AD*BC

พิสูจน์: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงของมันครึ่งหนึ่ง: ให้เราแสดงว่า CF=m, FD=n. เนื่องจากระยะทางจากจุดยอดถึงจุดสัมผัสกันเท่ากัน ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูจึงเท่ากับสองรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายใน และ

I. เส้นแบ่งครึ่งของมุมที่ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูตัดกันที่มุม 90° 1)∠ABC+∠BAD=180º (เป็นด้านเดียวภายในด้วย AD∥BC และซีแคนต์ AB) 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º (เนื่องจากเส้นแบ่งครึ่งแบ่งครึ่งมุม) 3) เนื่องจากผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180º ในรูปสามเหลี่ยม ABK เรามี: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º ดังนั้น ∠AKB=180-90=90º สรุป: เส้นแบ่งครึ่งของมุมที่ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูตัดกันที่มุมขวา ข้อความนี้ใช้เมื่อแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งมีวงกลมจารึกไว้

I I. จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของสี่เหลี่ยมคางหมูที่อยู่ติดกับด้านข้างนั้นอยู่ที่เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู ให้เส้นแบ่งครึ่งของมุม ABC ตัดกับด้าน AD ที่จุด S จากนั้นสามเหลี่ยม ABS คือหน้าจั่วที่มีฐาน BS ซึ่งหมายความว่าเส้นแบ่งครึ่ง AK ก็เป็นค่ามัธยฐานเช่นกัน นั่นคือจุด K คือจุดกึ่งกลางของ BS ถ้า M และ N เป็นจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้น MN จะเป็นเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูและ MN∥AD เนื่องจาก M และ K เป็นจุดกึ่งกลางของ AB และ BS ดังนั้น MK จึงเป็นเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม ABS และ MK∥AS เนื่องจากเส้นตรงที่ขนานกับเส้นที่กำหนดสามารถลากผ่านจุด M ได้เพียงเส้นเดียว จุด K จึงอยู่บนเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู

สาม. จุดตัดแบ่งครึ่ง มุมที่คมชัดที่ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเป็นของอีกฐานหนึ่ง ในกรณีนี้ สามเหลี่ยม ABK และ DCK เป็นหน้าจั่วที่มีฐาน AK และ DK ตามลำดับ ดังนั้น BC=BK+KC=AB+CD สรุป: ถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมแหลมของสี่เหลี่ยมคางหมูตัดกันที่จุดที่ฐานเล็กกว่า ฐานที่เล็กกว่าจะเท่ากับผลรวมของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วในกรณีนี้มีฐานที่เล็กกว่าสองเท่าของขนาดด้านข้าง

I V. จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ง มุมป้านที่ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเป็นของอีกฐานหนึ่ง ในกรณีนี้ สามเหลี่ยม ABF และ DCF เป็นหน้าจั่วที่มีฐาน BF และ CF ตามลำดับ ดังนั้น AD=AF+FD=AB+CD สรุป: ถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมป้านของสี่เหลี่ยมคางหมูตัดกันที่จุดที่ฐานใหญ่กว่า ฐานที่ใหญ่กว่าจะเท่ากับผลรวมของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู ในกรณีนี้ สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วมีฐานที่ใหญ่กว่าซึ่งใหญ่เป็นสองเท่าของด้านข้าง

ถ้าเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วด้วย ด้าน a, b, cสามารถเขียน d และสามารถอธิบายวงกลมรอบๆ ได้ จากนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับ