วงกลมสามารถอธิบายได้รอบๆ สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วใดๆ วัสดุทางเรขาคณิตในหัวข้อ "สี่เหลี่ยมคางหมูและคุณสมบัติของมัน"

1. ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของความแตกต่างฐาน
2. สามเหลี่ยมที่เกิดจากฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและส่วนของเส้นทแยงมุมจนถึงจุดตัดจะคล้ายกัน
3. สามเหลี่ยมที่เกิดจากส่วนของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งด้านข้างวางอยู่บนด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู - มีขนาดเท่ากัน (มีพื้นที่เท่ากัน)
4. หากคุณขยายด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูไปทางฐานเล็ก มันจะตัดกันที่จุดหนึ่งโดยมีเส้นตรงเชื่อมจุดกึ่งกลางของฐาน
5. ส่วนที่เชื่อมต่อฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูจะถูกหารด้วยจุดนี้ในสัดส่วนเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู
6. ส่วนที่ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและลากผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดนี้ และความยาวของมันจะเท่ากับ 2ab/(a + b) โดยที่ a และ b เป็นฐานของ สี่เหลี่ยมคางหมู

คุณสมบัติของส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

มาเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ซึ่งเป็นผลมาจากการที่เราจะได้ส่วน LM
ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู อยู่บนเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู.

ส่วนนี้ ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู.

ความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับครึ่งหนึ่งของความแตกต่างของฐาน

LM = (ค.ศ. - พ.ศ.)/2
หรือ
LM = (ก-ข)/2

คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

สามเหลี่ยมที่เกิดจากฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู - มีความคล้ายคลึงกัน.
สามเหลี่ยม BOC และ AOD มีความคล้ายคลึงกัน เนื่องจากมุม BOC และ AOD เป็นแนวตั้ง จึงมีค่าเท่ากัน
มุม OCB และ OAD เป็นมุมภายในที่วางขวางโดยมีเส้นขนาน AD และ BC (ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกัน) และเส้นซีแคนต์ AC ดังนั้นทั้งสองจึงเท่ากัน
มุม OBC และ ODA เท่ากันด้วยเหตุผลเดียวกัน (ขวางภายใน)

เนื่องจากมุมทั้งสามของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับมุมที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้จึงคล้ายกัน

ต่อจากนี้จะมีอะไรบ้าง?

ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตจะใช้ความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมดังนี้ หากเราทราบความยาวขององค์ประกอบสององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน (เราหารทีละองค์ประกอบ) โดยที่ความยาวขององค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดสัมพันธ์กันด้วยค่าที่เท่ากันทุกประการ

คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่อยู่ด้านข้างและเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

พิจารณารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่วางอยู่บนด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู AB และ CD นี่คือสามเหลี่ยม AOB และ COD แม้ว่าขนาดของแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้อาจแตกต่างกันโดยสิ้นเชิงก็ตาม พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากด้านข้างและจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากันนั่นคือสามเหลี่ยมมีขนาดเท่ากัน

หากเราขยายด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูไปยังฐานที่เล็กกว่า จุดตัดของด้านข้างก็จะเท่ากับ ตรงกับเส้นตรงที่ลากผ่านกลางฐาน.

ดังนั้นสี่เหลี่ยมคางหมูใดๆ ก็สามารถขยายเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ โดยที่:

• สามเหลี่ยมที่เกิดจากฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีจุดยอดร่วมที่จุดตัดของด้านที่ขยายจะคล้ายกัน
• เส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู ในเวลาเดียวกันคือค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้น

คุณสมบัติของส่วนที่เชื่อมต่อฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู

หากคุณวาดส่วนที่ปลายอยู่บนฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งอยู่ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู (KN) ดังนั้นอัตราส่วนของส่วนที่เป็นส่วนประกอบจากด้านข้างของฐานถึงจุดตัดกัน ของเส้นทแยงมุม (KO/ON) จะเท่ากับอัตราส่วนของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู(พ.ศ./ค.ศ.)

KO/ON = BC/AD

คุณสมบัตินี้ตามมาจากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกัน (ดูด้านบน)

คุณสมบัติของส่วนที่ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู

หากเราวาดส่วนที่ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู มันจะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• ระยะทางที่กำหนด (กม.) แบ่งครึ่งด้วยจุดตัดของเส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมคางหมู
• ความยาวของส่วนผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูและขนานกับฐานเท่ากับ กม. = 2ab/(ก + ข)

สูตรการหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

ก, ข- ฐานสี่เหลี่ยมคางหมู

ซีดี- ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู

ด1 ดี2- เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู

α β - มุมที่มีฐานใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมคางหมู

สูตรการหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูผ่านฐาน ด้านข้าง และมุมที่ฐาน

สูตรกลุ่มแรก (1-3) สะท้อนถึงคุณสมบัติหลักประการหนึ่งของเส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมคางหมู:

1. ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านข้างบวกสองเท่าของผลคูณของฐาน คุณสมบัติของเส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมคางหมูนี้สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นทฤษฎีบทที่แยกจากกัน

2 - สูตรนี้ได้มาจากการแปลงสูตรก่อนหน้า กำลังสองของเส้นทแยงมุมที่สองจะถูกส่งผ่านเครื่องหมายเท่ากับ หลังจากนั้นรากที่สองจะถูกแยกออกจากด้านซ้ายและด้านขวาของนิพจน์

3 - สูตรการหาความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูนี้คล้ายกับสูตรก่อนหน้า โดยมีความแตกต่างคือเหลือเส้นทแยงมุมอีกเส้นทางด้านซ้ายของนิพจน์

กลุ่มสูตรถัดไป (4-5) มีความหมายคล้ายกันและแสดงความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกัน

กลุ่มของสูตร (6-7) ช่วยให้คุณหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูได้หากทราบฐานที่ใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมคางหมู ด้านหนึ่งและมุมที่ฐาน

สูตรการหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูผ่านความสูง

บันทึก- ใน บทเรียนนี้ให้วิธีแก้ปัญหาเรขาคณิตเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมคางหมู หากคุณไม่พบวิธีแก้ไขปัญหาเรขาคณิตประเภทที่คุณสนใจ โปรดถามคำถามในฟอรัม.

งาน.
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD (AD | | BC) ตัดกันที่จุด O จงหาความยาวของฐาน BC ของสี่เหลี่ยมคางหมู ถ้าฐาน AD = 24 ซม. ความยาว AO = 9 ซม. ความยาว OS = 6 ซม.

สารละลาย.
การแก้ปัญหานี้มีอุดมการณ์เหมือนกันทุกประการกับปัญหาก่อนหน้านี้

สามเหลี่ยม AOD และ BOC มีความคล้ายคลึงกันในสามมุม - AOD และ BOC เป็นแนวตั้ง และมุมที่เหลือจะเท่ากันในทิศทางคู่ เนื่องจากมันถูกสร้างขึ้นจากจุดตัดของเส้นหนึ่งเส้นและเส้นคู่ขนานสองเส้น

เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมมีความคล้ายคลึงกัน มิติทางเรขาคณิตทั้งหมดจึงสัมพันธ์กัน เช่นเดียวกับมิติทางเรขาคณิตของส่วน AO และ OC ที่เรารู้จักตามเงื่อนไขของปัญหา นั่นคือ

AO/OC = AD/BC
9/6 = 24/ปีก่อนคริสตกาล
พ.ศ. = 24 * 6/9 = 16

คำตอบ: 16 ซม

งาน .
ในสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ทราบว่า AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17 ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู

สารละลาย .
ในการหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูจากจุดยอดของฐาน B และ C ที่เล็กกว่า เราจะลดความสูงลง 2 อันจากฐานที่ใหญ่กว่า เนื่องจากสี่เหลี่ยมคางหมูไม่เท่ากัน เราจึงแสดงความยาว AM = a ความยาว KD = b ( เพื่อไม่ให้สับสนกับสัญกรณ์ในสูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู) เนื่องจากฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นขนานกัน และเราทิ้งความสูงสองอันตั้งฉากกับฐานที่ใหญ่กว่า ดังนั้น MBCK จึงเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า

วิธี
AD = AM+BC+KD
ก + 8 + ข = 24
ก = 16 - ข

สามเหลี่ยม DBM และ ACK เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้นมุมขวาของพวกมันจึงถูกสร้างขึ้นตามความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู ให้เราแสดงความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูด้วย h จากนั้นตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ชม 2 + (24 - ก) 2 = (5√17) 2
และ
ชั่วโมง 2 + (24 - ข) 2 = 13 2

ลองคำนึงว่า a = 16 - b จากนั้นในสมการแรก
ชั่วโมง 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
ชั่วโมง 2 = 425 - (8 + b) 2

ลองแทนค่าของกำลังสองของความสูงเป็นสมการที่สองที่ได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราได้รับ:
425 - (8 + ข) 2 + (24 - ข) 2 = 169
-(64 + 16b + ข) 2 + (24 - ข) 2 = -256
-64 - 16b - ข 2 + 576 - 48b + ข 2 = -256
-64b = -768
ข = 12

ดังนั้น KD = 12
ที่ไหน
ชั่วโมง 2 = 425 - (8 + ข) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
ชั่วโมง = 5

หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูจากความสูงและผลรวมของฐานครึ่งหนึ่ง
โดยที่ a b - ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู, h - ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 ซม. 2

คำตอบ: พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูคือ 80 ตารางวา

สวัสดีตอนเย็น! โอ้ แวดวงที่มีขอบเขตหรือจารึกไว้เหล่านี้ รูปทรงเรขาคณิต- มันยากมากที่จะสับสน อะไรและเมื่อไหร่

ลองคิดดูก่อนด้วยถ้อยคำ เราจะมีวงกลมล้อมรอบประมาณ กล่าวอีกนัยหนึ่ง สี่เหลี่ยมคางหมูนี้ถูกจารึกไว้ในวงกลม

โปรดจำไว้ว่าเราสามารถอธิบายได้เพียงวงกลมรอบๆ เท่านั้น ในทางกลับกัน สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วก็เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านเท่ากัน

เรามาลองแก้ปัญหากัน เรารู้ว่าบริเวณนั้น สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ADCB คือ 6 (DC) และ 4 (AB) และรัศมีของวงกลมที่มีเส้นรอบวงคือ 4 คุณต้องหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู FK

FK คือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู เราจำเป็นต้องหามันให้เจอ แต่ก่อนหน้านั้น จำไว้ว่าจุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม และ OS, OD, OA, OB เป็นที่รู้จักในรัศมี

ใน OFC เรารู้ด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งเป็นรัศมีของวงกลม และขา FC = ครึ่งหนึ่งของฐาน DC = 3 ซม. (เนื่องจาก DF = FC)

ตอนนี้เรามาค้นหาของ:

และในสามเหลี่ยมมุมฉาก OKB เราก็รู้ด้านตรงข้ามมุมฉากด้วย เนื่องจากนี่คือรัศมีของวงกลม และ KB เท่ากับครึ่งหนึ่ง AB KB = 2 ซม. และเมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราคำนวณส่วนตกลง:

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย กระบวนการยุติธรรม การดำเนินคดี และ/หรือ ตามคำขอของประชาชน หรือการร้องขอจาก เจ้าหน้าที่รัฐบาลในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ในบทความนี้เราจะพยายามสะท้อนคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูให้ครบถ้วนที่สุด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราจะพูดถึงลักษณะทั่วไปและคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมู เช่นเดียวกับคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกจารึกไว้และวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู เราจะพูดถึงคุณสมบัติของหน้าจั่วและสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมด้วย

ตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยใช้คุณสมบัติที่กล่าวถึงจะช่วยให้คุณจัดเรียงปัญหาลงในหัวและจดจำเนื้อหาได้ดีขึ้น

ราวสำหรับออกกำลังกายและทั้งหมดทั้งหมด

ขั้นแรก ให้เรานึกถึงสั้น ๆ ว่าสี่เหลี่ยมคางหมูคืออะไรและมีแนวคิดอื่นใดที่เกี่ยวข้องกับมัน

ดังนั้น สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ซึ่งมีด้านสองด้านขนานกัน (นี่คือฐาน) และทั้งสองไม่ขนานกัน - นี่คือด้านข้าง

ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถลดความสูงลงได้ - ตั้งฉากกับฐาน มีการวาดเส้นกึ่งกลางและเส้นทแยงมุม นอกจากนี้ยังสามารถวาดเส้นแบ่งครึ่งจากมุมใดก็ได้ของสี่เหลี่ยมคางหมู

ตอนนี้เราจะพูดถึงคุณสมบัติต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบเหล่านี้และชุดค่าผสมของมัน

คุณสมบัติของเส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมคางหมู

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นในขณะที่คุณกำลังอ่าน ให้ร่าง ACME สี่เหลี่ยมคางหมูบนกระดาษแล้ววาดเส้นทแยงมุมลงไป

1. หากคุณพบจุดกึ่งกลางของแต่ละเส้นทแยงมุม (เรียกจุดเหล่านี้ว่า X และ T) แล้วเชื่อมต่อเข้าด้วยกัน คุณจะได้ส่วน คุณสมบัติอย่างหนึ่งของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูคือส่วน HT อยู่บนเส้นกึ่งกลาง และความยาวของมันสามารถหาได้โดยการหารผลต่างของฐานด้วยสอง: HT = (ก – ข)/2.
2. ก่อนหน้าเราคือ ACME สี่เหลี่ยมคางหมูแบบเดียวกัน เส้นทแยงมุมตัดกันที่จุด O ลองดูที่สามเหลี่ยม AOE และ MOK ซึ่งประกอบขึ้นจากส่วนของเส้นทแยงมุมพร้อมกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู สามเหลี่ยมเหล่านี้คล้ายกัน ค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึง k ของรูปสามเหลี่ยมแสดงผ่านอัตราส่วนของฐานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู: k = AE/กม.
   อัตราส่วนของพื้นที่สามเหลี่ยม AOE และ MOK อธิบายโดยสัมประสิทธิ์ k 2 .
3. สี่เหลี่ยมคางหมูเดียวกันซึ่งมีเส้นทแยงมุมเดียวกันตัดกันที่จุด O เฉพาะคราวนี้เราจะพิจารณาสามเหลี่ยมที่ส่วนของเส้นทแยงมุมประกอบขึ้นพร้อมกับด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู พื้นที่ของสามเหลี่ยม AKO และ EMO มีขนาดเท่ากัน - พื้นที่เท่ากัน
4. คุณสมบัติอีกประการหนึ่งของสี่เหลี่ยมคางหมูเกี่ยวข้องกับการสร้างเส้นทแยงมุม ดังนั้น หากคุณเดินต่อไปยังด้านข้างของ AK และ ME ในทิศทางของฐานที่เล็กกว่า ไม่ช้าก็เร็ว ทั้งสองจะตัดกันที่จุดใดจุดหนึ่ง จากนั้นให้ลากเส้นตรงผ่านตรงกลางฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู ตัดกันฐานที่จุด X และ T
   หากตอนนี้เราขยายเส้น XT ออกไป มันจะเชื่อมต่อจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู O ซึ่งเป็นจุดที่ส่วนขยายของด้านข้างและตรงกลางของฐาน X และ T ตัดกัน
5. ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุม เราจะวาดส่วนที่จะเชื่อมต่อฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู (T อยู่บนฐาน KM ที่เล็กกว่า, X บน AE ที่ใหญ่กว่า) จุดตัดของเส้นทแยงมุมแบ่งส่วนนี้ตามอัตราส่วนต่อไปนี้: ถึง/OX = กม./AE.
6. ตอนนี้ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุม เราจะวาดส่วนที่ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู (a และ b) จุดตัดจะแบ่งเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน คุณสามารถหาความยาวของส่วนได้โดยใช้สูตร 2ab/(ก + ข).

คุณสมบัติของเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู

วาดเส้นกลางในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐาน

1. ความยาวของเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถคำนวณได้โดยการเพิ่มความยาวของฐานแล้วหารครึ่งหนึ่ง: ม. = (ก + ข)/2.
2. หากคุณวาดส่วนใดๆ (เช่น ความสูง) ผ่านฐานทั้งสองของสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นกลางจะแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน

คุณสมบัติเส้นแบ่งครึ่งของสี่เหลี่ยมคางหมู

เลือกมุมใดก็ได้ของสี่เหลี่ยมคางหมูแล้ววาดเส้นแบ่งครึ่ง ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณามุม KAE ของ ACME สี่เหลี่ยมคางหมูของเรา เมื่อก่อสร้างด้วยตัวเองเสร็จแล้ว คุณสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าเส้นแบ่งครึ่งตัดออกจากฐาน (หรือต่อเนื่องเป็นเส้นตรงด้านนอกร่าง) ส่วนที่มีความยาวเท่ากับด้านข้าง

คุณสมบัติของมุมสี่เหลี่ยมคางหมู

1. ไม่ว่ามุมสองคู่ใดที่อยู่ติดกับด้านที่คุณเลือก ผลรวมของมุมในคู่นั้นจะเท่ากับ 180 0 เสมอ: α + β = 180 0 และ γ + δ = 180 0
2. ลองเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูกับส่วน TX ทีนี้ลองดูมุมที่ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู หากผลรวมของมุมสำหรับมุมใดมุมหนึ่งคือ 90 0 ความยาวของส่วน TX สามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายโดยพิจารณาจากความแตกต่างของความยาวของฐานโดยแบ่งออกเป็นครึ่งหนึ่ง: เท็กซัส = (AE – กม.)/2.
3. หากเส้นขนานถูกลากผ่านด้านข้างของมุมสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นเหล่านี้จะแบ่งด้านข้างของมุมนั้นออกเป็นส่วนตามสัดส่วน

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว (ด้านเท่ากันหมด)

1. ในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว มุมที่ฐานใดๆ จะเท่ากัน
2. ตอนนี้สร้างสี่เหลี่ยมคางหมูอีกครั้งเพื่อให้ง่ายต่อการจินตนาการว่าเรากำลังพูดถึงอะไร ดูที่ฐาน AE อย่างระมัดระวัง - จุดยอดของฐานตรงข้าม M ถูกฉายไปยังจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นที่มี AE ระยะห่างจากจุดยอด A ถึงจุดฉายภาพของจุดยอด M และเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วนั้นเท่ากัน
3. คำสองสามคำเกี่ยวกับคุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว - ความยาวเท่ากัน และมุมเอียงของเส้นทแยงมุมเหล่านี้กับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูก็เหมือนกัน
4. วงกลมสามารถอธิบายได้เฉพาะบริเวณสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเท่านั้น เนื่องจากผลรวมของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ 180 0 – เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสิ่งนี้.
5. คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วตามมาจากย่อหน้าที่แล้ว - ถ้าวงกลมสามารถอธิบายได้ใกล้กับสี่เหลี่ยมคางหมู วงกลมนั้นก็คือหน้าจั่ว
6. จากคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วตามคุณสมบัติของความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู: ถ้าเส้นทแยงมุมของมันตัดกันที่มุมฉากความยาวของความสูงจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน: ชั่วโมง = (ก + ข)/2.
7. อีกครั้ง วาดส่วน TX ผ่านจุดกึ่งกลางของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู - ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วจะตั้งฉากกับฐาน และในเวลาเดียวกัน TX ก็คือแกนสมมาตรของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว
8. คราวนี้ ลดความสูงจากจุดยอดตรงข้ามของสี่เหลี่ยมคางหมูลงบนฐานที่ใหญ่กว่า (เรียกว่า a) คุณจะได้รับสองส่วน ความยาวของด้านหนึ่งสามารถพบได้หากเพิ่มความยาวของฐานและแบ่งครึ่ง: (ก + ข)/2- เราได้อันที่สองเมื่อเราลบอันที่เล็กกว่าออกจากฐานที่ใหญ่กว่าแล้วหารผลต่างผลลัพธ์ด้วยสอง: (ก – ข)/2.

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกจารึกไว้ในวงกลม

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงสี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกจารึกไว้ในวงกลมอยู่แล้ว เรามาดูรายละเอียดเกี่ยวกับปัญหานี้กันดีกว่า โดยเฉพาะบริเวณที่ศูนย์กลางของวงกลมสัมพันธ์กับสี่เหลี่ยมคางหมู ขอแนะนำให้คุณใช้เวลาหยิบดินสอขึ้นมาวาดสิ่งที่จะกล่าวถึงด้านล่างนี้ด้วย วิธีนี้จะทำให้คุณเข้าใจเร็วขึ้นและจดจำได้ดีขึ้น

1. ตำแหน่งของศูนย์กลางของวงกลมถูกกำหนดโดยมุมเอียงของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูไปทางด้านข้าง ตัวอย่างเช่น เส้นทแยงมุมอาจขยายจากด้านบนของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นมุมฉากไปด้านข้าง ในกรณีนี้ ฐานที่ใหญ่กว่าจะตัดศูนย์กลางของเส้นรอบวงที่อยู่ตรงกลางพอดี (R = ½AE)
2. เส้นทแยงมุมและด้านข้างสามารถบรรจบกันในมุมแหลมได้ ดังนั้นจุดศูนย์กลางของวงกลมจะอยู่ภายในสี่เหลี่ยมคางหมู
3. ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตไว้อาจอยู่นอกสี่เหลี่ยมคางหมู เลยฐานที่ใหญ่กว่า ถ้ามีมุมป้านระหว่างเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูกับด้านข้าง
4. มุมที่เกิดจากเส้นทแยงมุมและฐานขนาดใหญ่ของสี่เหลี่ยมคางหมู ACME (มุมที่ถูกจารึกไว้) คือครึ่งหนึ่งของมุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกับมัน: แม่ = ½MOE.
5. สั้นๆ เกี่ยวกับสองวิธีในการค้นหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ วิธีที่หนึ่ง: ดูภาพวาดของคุณอย่างละเอียด - คุณเห็นอะไร คุณจะสังเกตเห็นได้ง่ายว่าเส้นทแยงมุมแบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูป รัศมีหาได้จากอัตราส่วนของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมต่อไซน์ของมุมตรงข้าม คูณด้วย 2 ตัวอย่างเช่น, R = AE/2*sinAME- สูตรสามารถเขียนได้ในลักษณะเดียวกันสำหรับด้านใดๆ ของสามเหลี่ยมทั้งสอง
6. วิธีที่สอง: ค้นหารัศมีของวงกลมที่จำกัดขอบเขตผ่านพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เกิดจากเส้นทแยงมุม ด้านข้าง และฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู: R = AM*ฉัน*AE/4*S AME.

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบวงกลม

คุณสามารถใส่วงกลมลงในสี่เหลี่ยมคางหมูได้หากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่ง อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ด้านล่าง และการรวมกันของตัวเลขนี้มีคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายประการ

1. หากวงกลมเขียนไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู ความยาวของเส้นกึ่งกลางของวงกลมนั้นหาได้ง่ายโดยการบวกความยาวของด้านแล้วหารผลรวมที่ได้เป็นครึ่งหนึ่ง: ม. = (ค + ง)/2.
2. สำหรับ ACME สี่เหลี่ยมคางหมูที่จำกัดรอบวงกลม ผลรวมของความยาวของฐานจะเท่ากับผลรวมของความยาวของด้าน: AK + ME = กม. + AE.
3. จากคุณสมบัติของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู ข้อความแบบตรงกันข้ามมีดังนี้: วงกลมสามารถเขียนลงในสี่เหลี่ยมคางหมูได้ โดยผลรวมของฐานเท่ากับผลรวมของด้านข้าง
4. จุดสัมผัสของวงกลมที่มีรัศมี r อยู่ในสี่เหลี่ยมคางหมูจะแบ่งด้านออกเป็นสองส่วน เรียกมันว่า a และ b รัศมีของวงกลมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร: ร = √ab.
5. และทรัพย์สินอีกอย่างหนึ่ง เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ให้ยกตัวอย่างนี้ด้วยตนเองด้วย เรามี ACME สี่เหลี่ยมคางหมูแบบเก่าที่ดี ซึ่งอธิบายไว้เป็นวงกลม ประกอบด้วยเส้นทแยงมุมที่ตัดกันที่จุด O สามเหลี่ยม AOK และ EOM ที่เกิดจากส่วนของเส้นทแยงมุมและด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
   ความสูงของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้ ลดลงถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก (เช่น ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู) ซึ่งตรงกับรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ และความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม

สี่เหลี่ยมคางหมูจะเรียกว่าสี่เหลี่ยมถ้ามุมใดมุมหนึ่งถูกต้อง และคุณสมบัติของมันก็เกิดจากเหตุการณ์นี้

1. สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมมีด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน
2. ความสูงและด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูที่อยู่ติดกัน มุมฉากเท่าเทียมกัน ซึ่งช่วยให้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูรูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้ (สูตรทั่วไป S = (ก + ข) * ชั่วโมง/2) ไม่เพียงแต่ผ่านความสูงเท่านั้น แต่ยังผ่านด้านที่อยู่ติดกับมุมฉากด้วย
3. สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม คุณสมบัติทั่วไปของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูที่อธิบายไว้ข้างต้นมีความเกี่ยวข้องกัน

หลักฐานแสดงคุณสมบัติบางประการของสี่เหลี่ยมคางหมู

ความเท่าเทียมกันของมุมที่ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว:

• คุณคงเดาได้แล้วว่าเราจะต้องมีสี่เหลี่ยมคางหมู AKME อีกครั้ง - วาดรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ลากเส้นตรง MT จากจุดยอด M ขนานกับด้านข้างของ AK (MT || AK)

AKMT รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ได้จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (AK || MT, KM || AT) เนื่องจาก ME = KA = MT, ∆ MTE คือหน้าจั่ว และ MET = MTE

เอเค || MT ดังนั้น MTE = KAE, MET = MTE = KAE

AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME โดยที่

Q.E.D.

ตอนนี้ จากคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว (ความเท่ากันของเส้นทแยงมุม) เราได้พิสูจน์แล้ว สี่เหลี่ยมคางหมู ACME คือหน้าจั่ว:

• ขั้นแรก ให้วาดเส้นตรง MX – MX || เค. เราได้รับสี่เหลี่ยมด้านขนาน KMHE (ฐาน – MX || KE และ KM || EX)

∆AMX คือหน้าจั่ว เนื่องจาก AM = KE = MX และ MAX = MEA

เอ็มเอช || KE, KEA = MHE ดังนั้น MAE = MHE

ปรากฎว่าสามเหลี่ยม AKE และ EMA มีค่าเท่ากัน เนื่องจาก AM = KE และ AE เป็นด้านร่วมของสามเหลี่ยมทั้งสองรูป และ MAE = MXE ด้วย เราสามารถสรุปได้ว่า AK = ME และจากนี้สรุปได้ว่า AKME สี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเป็นหน้าจั่ว

ตรวจสอบงาน

ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู ACME คือ 9 ซม. และ 21 ซม. ด้านข้าง KA เท่ากับ 8 ซม. สร้างมุม 150 0 โดยมีฐานเล็กกว่า คุณต้องหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู

วิธีแก้ปัญหา: จากจุดยอด K เราลดความสูงลงเหลือฐานที่ใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมคางหมู เรามาเริ่มดูมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูกันดีกว่า

มุม AEM และ KAN มีด้านเดียว ซึ่งหมายความว่าโดยรวมแล้วพวกเขาให้ 180 0 ดังนั้น KAN = 30 0 (ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของมุมสี่เหลี่ยมคางหมู)

ตอนนี้ให้เราพิจารณาสี่เหลี่ยม ∆ANC (ฉันเชื่อว่าประเด็นนี้ชัดเจนสำหรับผู้อ่านโดยไม่มีหลักฐานเพิ่มเติม) จากนั้นเราจะพบความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู KH - ในรูปสามเหลี่ยมคือขาที่อยู่ตรงข้ามกับมุม 30 0 ดังนั้น KH = ½AB = 4 ซม.

เราค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยใช้สูตร: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 ซม. 2

คำหลัง

หากคุณศึกษาบทความนี้อย่างรอบคอบและรอบคอบไม่ขี้เกียจเกินไปที่จะวาดสี่เหลี่ยมคางหมูสำหรับคุณสมบัติที่กำหนดทั้งหมดด้วยดินสอในมือและวิเคราะห์ในทางปฏิบัติคุณควรจะเชี่ยวชาญเนื้อหาได้ดี

แน่นอนว่ามีข้อมูลมากมายที่นี่ หลากหลายและบางครั้งก็ทำให้เกิดความสับสน: ไม่ใช่เรื่องยากเลยที่จะสับสนระหว่างคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูที่อธิบายไว้กับคุณสมบัติของสิ่งที่จารึกไว้ แต่คุณเองก็ได้เห็นว่าความแตกต่างนั้นใหญ่มาก

ตอนนี้คุณมีบทสรุปโดยละเอียดทั้งหมดแล้ว คุณสมบัติทั่วไปสี่เหลี่ยมคางหมู ตลอดจนคุณสมบัติและลักษณะเฉพาะของหน้าจั่วและสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม สะดวกมากในการนำไปใช้เพื่อเตรียมตัวสอบและสอบ ลองด้วยตัวเองและแชร์ลิงก์กับเพื่อนของคุณ!

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

งานโครงการ “ คุณสมบัติที่น่าสนใจของสี่เหลี่ยมคางหมู” เสร็จสิ้นโดย: นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 Kudzaeva Ellina Bazzaeva Diana MCOU Secondary School s. N.Batako หัวหน้า: Gagieva A.O. 20 พฤศจิกายน 2558

วัตถุประสงค์ของงาน: พิจารณาคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งใน หลักสูตรของโรงเรียนไม่มีการศึกษารูปทรงเรขาคณิต แต่เมื่อแก้ไขปัญหาเรขาคณิตของการสอบ Unified State จากส่วนที่ขยาย C 4 อาจจำเป็นต้องรู้และสามารถนำคุณสมบัติเหล่านี้ไปใช้ได้อย่างแม่นยำ

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมู: ถ้าสี่เหลี่ยมคางหมูถูกหารด้วยเส้นขนานกับฐานเท่ากับ a และ b ให้ออกเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูสองอันที่เท่ากัน จากนั้นส่วนของเส้นนี้ซึ่งอยู่ระหว่างด้านด้านข้างจะเท่ากับ B ถึง

คุณสมบัติของส่วนที่ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู ส่วนที่ขนานกับฐานที่ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมจะเท่ากับ: a ใน c

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมู: ส่วนของเส้นตรงขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งอยู่ภายในสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นจะถูกแบ่งออกเป็นสามส่วนด้วยเส้นทแยงมุม จากนั้นส่วนที่อยู่ติดกับด้านข้างจะเท่ากัน MP=ตกลง RM O K

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว: หากวงกลมสามารถเขียนไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูได้ รัศมีของวงกลมจะเป็นสัดส่วนเฉลี่ยของส่วนที่จุดสัมผัสกันแบ่งด้านข้าง O S V A D. E O

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว: ถ้าจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตอยู่ที่ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้นเส้นทแยงมุมของมันจะตั้งฉากกับด้าน O A B C D

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว: สามารถเขียนวงกลมไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วได้ ถ้าด้านด้านข้างเท่ากับเส้นกึ่งกลาง ส วี เอ ดี ฮ

1) ถ้าข้อความปัญหาบอกว่าวงกลมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม คุณสามารถใช้คุณสมบัติต่อไปนี้: 1. ผลรวมของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลรวมของด้านข้าง 2. ระยะทางจากจุดยอดของสี่เหลี่ยมคางหมูถึงจุดสัมผัสของวงกลมที่ถูกจารึกไว้นั้นเท่ากัน 3. ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมเท่ากับด้านที่เล็กกว่าและเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ 4. จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้คือจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู 5. ถ้าจุดสัมผัสแบ่งด้านออกเป็นส่วน m และ n รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้จะเท่ากับ

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมที่วงกลมถูกจารึกไว้: 1) รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่เกิดจากศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ จุดสัมผัส และจุดยอดของสี่เหลี่ยมคางหมู - สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับรัศมี (AMOE และ BKOM เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน r) 2) ถ้าวงกลมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับผลคูณของฐาน: S=AD*BC

พิสูจน์: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงของมันครึ่งหนึ่ง: ให้เราแสดงว่า CF=m, FD=n. เนื่องจากระยะทางจากจุดยอดถึงจุดสัมผัสกันเท่ากัน ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูจึงเท่ากับสองรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายใน และ

I. เส้นแบ่งครึ่งของมุมที่ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูตัดกันที่มุม 90° 1)∠ABC+∠BAD=180º (เป็นด้านเดียวภายในด้วย AD∥BC และซีแคนต์ AB) 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º (เนื่องจากเส้นแบ่งครึ่งแบ่งครึ่งมุม) 3) เนื่องจากผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180º ในรูปสามเหลี่ยม ABK เรามี: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º ดังนั้น ∠AKB=180-90=90º สรุป: เส้นแบ่งครึ่งมุมที่ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูตัดกันที่มุมฉาก ข้อความนี้ใช้เมื่อแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งมีวงกลมจารึกไว้

I I. จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งสี่เหลี่ยมคางหมูที่อยู่ติดกับด้านข้างนั้นอยู่ที่เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู ให้เส้นแบ่งครึ่งของมุม ABC ตัดกับด้าน AD ที่จุด S จากนั้นสามเหลี่ยม ABS คือหน้าจั่วที่มีฐาน BS ซึ่งหมายความว่าเส้นแบ่งครึ่ง AK ก็เป็นค่ามัธยฐานเช่นกัน นั่นคือจุด K คือจุดกึ่งกลางของ BS ถ้า M และ N เป็นจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู ดังนั้น MN จะเป็นเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูและ MN∥AD เนื่องจาก M และ K เป็นจุดกึ่งกลางของ AB และ BS ดังนั้น MK จึงเป็นเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม ABS และ MK∥AS เนื่องจากเส้นตรงที่ขนานกับเส้นนี้ลากผ่านจุด M ได้เพียงเส้นเดียว จุด K จึงอยู่บนเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู

สาม. จุดตัดแบ่งครึ่ง มุมที่คมชัดที่ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเป็นของอีกฐานหนึ่ง ในกรณีนี้ สามเหลี่ยม ABK และ DCK เป็นหน้าจั่วที่มีฐาน AK และ DK ตามลำดับ ดังนั้น BC=BK+KC=AB+CD สรุป: ถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมแหลมของสี่เหลี่ยมคางหมูตัดกันที่จุดที่ฐานเล็กกว่า ฐานที่เล็กกว่าจะเท่ากับผลรวมของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วในกรณีนี้มีฐานที่เล็กกว่าสองเท่าของขนาดด้านข้าง

I V. จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่ง มุมป้านที่ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเป็นของอีกฐานหนึ่ง ในกรณีนี้ สามเหลี่ยม ABF และ DCF เป็นหน้าจั่วที่มีฐาน BF และ CF ตามลำดับ ดังนั้น AD=AF+FD=AB+CD สรุป: ถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมป้านของสี่เหลี่ยมคางหมูตัดกันที่จุดที่ฐานใหญ่กว่า ฐานที่ใหญ่กว่าจะเท่ากับผลรวมของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู ในกรณีนี้ สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วมีฐานที่ใหญ่กว่าซึ่งใหญ่เป็นสองเท่าของด้านข้าง

ถ้าเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วด้วย ด้าน a, b, cสามารถเขียน d และสามารถอธิบายวงกลมรอบๆ ได้ จากนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูจะเท่ากับ