พีระมิด- นี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยที่หน้าหนึ่งเป็นฐานของปิรามิด - รูปหลายเหลี่ยมตามอำเภอใจและส่วนที่เหลือเป็นใบหน้าด้านข้าง - สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมเรียกว่าด้านบนของปิรามิด เส้นตั้งฉากที่หล่นจากด้านบนของปิรามิดถึงฐานเรียกว่า ความสูงของปิรามิด. ปิระมิดเรียกว่า สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ฯลฯ หากฐานของปิรามิดเป็นรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมจัตุรัส ฯลฯ ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมคือจัตุรมุข - จัตุรมุข รูปสี่เหลี่ยม - ห้าเหลี่ยม ฯลฯ
พีระมิด, ปิรามิดที่ถูกตัดทอน
ปิรามิดที่ถูกต้อง
ถ้าฐานของปิรามิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ และความสูงตกไปถึงจุดศูนย์กลางของฐาน แสดงว่าปิระมิดนั้นเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ในปิรามิดปกติ ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน ความสูงของรูปสามเหลี่ยมด้านข้างของพีระมิดปกติเรียกว่า - ระยะกึ่งกลางของปิรามิดปกติ.
ปิรามิดที่ถูกตัดทอน
ส่วนที่ขนานกับฐานของปิรามิดจะแบ่งปิรามิดออกเป็นสองส่วน ส่วนของปิระมิดระหว่างฐานกับส่วนนี้คือ ปิรามิดที่ถูกตัดทอน . ส่วนนี้สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นหนึ่งในฐานของมัน ระยะห่างระหว่างฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอนเรียกว่าความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอน ปิรามิดที่ถูกตัดทอนจะเรียกว่าปกติถ้าปิรามิดที่ได้มาเป็นแบบปกติ ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติจะมีรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเท่ากัน ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติเรียกว่า - ระยะกึ่งกลางของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ.
คำนิยาม
พีระมิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2...A_n\) และ \(n\) สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม \(P\) (ไม่อยู่ในระนาบของรูปหลายเหลี่ยม) และมีด้านตรงข้ามกัน ซึ่งประจวบกับ ด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม
การกำหนด: \(PA_1A_2...A_n\) .
ตัวอย่าง: พีระมิดห้าเหลี่ยม \(PA_1A_2A_3A_4A_5\)
สามเหลี่ยม \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) ฯลฯ ถูกเรียก ใบหน้าด้านข้างปิรามิด เซ็กเมนต์ \(PA_1, PA_2\) ฯลฯ – ซี่โครงด้านข้าง, รูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – พื้นฐาน, จุด \(P\) – สูงสุด.
ความสูงปิรามิดเป็นปิรามิดที่ตั้งฉากลงจากด้านบนของปิรามิดถึงระนาบของฐาน
ปิรามิดที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมเรียกว่า จัตุรมุข.
ปิรามิดมีชื่อว่า ถูกต้องหากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:
\((a)\) ขอบด้านข้างของพีระมิดเท่ากัน
\((b)\) ความสูงของปิรามิดลากผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐานไว้
\((c)\) ซี่โครงด้านข้างเอียงกับระนาบของฐานในมุมเดียวกัน
\((d)\) ใบหน้าด้านข้างเอียงกับระนาบของฐานในมุมเดียวกัน
จัตุรมุขปกติเป็นปิระมิดสามเหลี่ยม ซึ่งใบหน้าทั้งหมดมีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากัน
ทฤษฎีบท
เงื่อนไข \((a), (b), (c), (d)\) เทียบเท่ากัน
การพิสูจน์
ลองหาความสูงของพีระมิด \(PH\) กัน ให้ \(\alpha\) เป็นระนาบของฐานของพีระมิด
1) ให้เราพิสูจน์ว่าจาก \((a)\) ตามนั้น \((b)\) ให้ \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
เพราะ \(PH\perp \alpha\) ดังนั้น \(PH\) จะตั้งฉากกับเส้นใดๆ ที่อยู่ในระนาบนี้ ซึ่งหมายความว่ารูปสามเหลี่ยมนั้นมีมุมฉาก ซึ่งหมายความว่ารูปสามเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากันในขาทั่วไป \(PH\) และด้านตรงข้ามมุมฉาก \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) ซึ่งหมายความว่า ซึ่งหมายความว่าจุด \(A_1, A_2, ..., A_n\) อยู่ในระยะห่างเท่ากันจากจุด \(H\) ดังนั้นจุดเหล่านั้นจึงอยู่บนวงกลมเดียวกันกับรัศมี \(A_1H\) ตามคำจำกัดความ วงกลมนี้ล้อมรอบรูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2...A_n\)
2) ให้เราพิสูจน์ว่า \((b)\) หมายถึง \((c)\)
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและเท่ากันทั้งสองขา ซึ่งหมายความว่ามุมของพวกมันก็เท่ากัน ดังนั้น \(\มุม PA_1H=\มุม PA_2H=...=\มุม PA_nH\).
3) ให้เราพิสูจน์ว่า \((c)\) หมายถึง \((a)\)
คล้ายกับจุดแรก สามเหลี่ยม \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งตามขาและมุมแหลม ซึ่งหมายความว่าด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากัน นั่นคือ \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\)
4) ให้เราพิสูจน์ว่า \((b)\) หมายถึง \((d)\)
เพราะ ในรูปหลายเหลี่ยมปกติ ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจำกัดขอบเขตและวงกลมที่ถูกจารึกไว้จะตรงกัน (โดยทั่วไป จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติ) ดังนั้น \(H\) คือศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ ลองวาดเส้นตั้งฉากจากจุด \(H\) ไปยังด้านข้างของฐาน: \(HK_1, HK_2\) ฯลฯ นี่คือรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ (ตามคำจำกัดความ) จากนั้น ตาม TTP (\(PH\) เป็นเส้นตั้งฉากกับระนาบ \(HK_1, HK_2\) ฯลฯ เป็นเส้นโครงตั้งฉากกับด้านข้าง) เอียง \(PK_1, PK_2\) ฯลฯ ตั้งฉากกับด้านข้าง \(A_1A_2, A_2A_3\) ฯลฯ ตามลำดับ ดังนั้นตามคำนิยาม \(\มุม PK_1H, \มุม PK_2H\)เท่ากับมุมระหว่างหน้าด้านข้างกับฐาน เพราะ สามเหลี่ยม \(PK_1H, PK_2H, ...\) เท่ากัน (เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งสองด้าน) จากนั้นมุม \(\มุม PK_1H, \มุม PK_2H, ...\)มีความเท่าเทียมกัน
5) ให้เราพิสูจน์ว่า \((d)\) หมายถึง \((b)\)
เช่นเดียวกับจุดที่สี่ สามเหลี่ยม \(PK_1H, PK_2H, ...\) เท่ากัน (เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามขาและมุมแหลม) ซึ่งหมายความว่าส่วน \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) เท่ากับ เท่ากัน. ซึ่งหมายความว่า ตามคำจำกัดความแล้ว \(H\) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ที่ฐาน แต่เพราะว่า สำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีเส้นกำกับและวงกลมมีเส้นรอบวงตรงกัน ดังนั้น \(H\) คือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีเส้นล้อมรอบ ชต.
ผลที่ตามมา
ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติจะมีสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน
คำนิยาม
เรียกว่าความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากจุดยอด ระยะกึ่งกลางของตำแหน่ง.
เส้นตั้งฉากกลางของหน้าด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดปกติจะเท่ากันและยังเป็นค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่งด้วย
หมายเหตุสำคัญ
1. ความสูงของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติอยู่ที่จุดตัดของความสูง (หรือเส้นแบ่งครึ่ง หรือค่ามัธยฐาน) ของฐาน (ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ)
2. ความสูงของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติจะอยู่ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมของฐาน (ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส)
3. ความสูงของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติจะอยู่ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมของฐาน (ฐานเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติ)
4. ความสูงของปิระมิดตั้งฉากกับเส้นตรงใดๆ ที่วางอยู่ที่ฐาน
คำนิยาม
ปิรามิดมีชื่อว่า สี่เหลี่ยมถ้าขอบด้านข้างด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับระนาบของฐาน
หมายเหตุสำคัญ
1. ในพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ขอบที่ตั้งฉากกับฐานคือความสูงของพีระมิด นั่นคือ \(SR\) คือความสูง
2. เพราะ \(SR\) ตั้งฉากกับเส้นใดๆ จากฐาน ดังนั้น \(\สามเหลี่ยม SRM, \สามเหลี่ยม SRP\)– สามเหลี่ยมมุมฉาก.
3. สามเหลี่ยม \(\สามเหลี่ยม SRN, \สามเหลี่ยม SRK\)- เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้วย
นั่นคือ สามเหลี่ยมใดๆ ที่เกิดจากขอบนี้และเส้นทแยงมุมที่โผล่ออกมาจากจุดยอดของขอบนี้ซึ่งอยู่ที่ฐานจะเป็นสี่เหลี่ยม
\[(\Large(\text(ปริมาตรและพื้นที่ผิวของปิรามิด)))\]
ทฤษฎีบท
ปริมาตรของปิรามิดเท่ากับหนึ่งในสามของผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูงของปิรามิด: \
ผลที่ตามมา
ให้ \(a\) เป็นด้านของฐาน \(h\) เป็นความสูงของปิรามิด
1. ปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติคือ \(V_(\text(right Triangle.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. ปริมาตรของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือ \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. ปริมาตรของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติคือ \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. ปริมาตรของจัตุรมุขปกติคือ \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
ทฤษฎีบท
พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากับผลคูณครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงของฐานและจุดกึ่งกลางของฐาน
\[(\Large(\text(Frustum)))\]
คำนิยาม
พิจารณาปิรามิดตามอำเภอใจ \(PA_1A_2A_3...A_n\) ให้เราวาดระนาบขนานกับฐานของปิรามิดผ่านจุดหนึ่งซึ่งอยู่บนขอบด้านข้างของปิรามิด เครื่องบินนี้จะแยกปิรามิดออกเป็นสองรูปทรงหลายเหลี่ยม หนึ่งในนั้นคือปิรามิด (\(PB_1B_2...B_n\)) และอีกอันเรียกว่าปิรามิด ปิรามิดที่ถูกตัดทอน(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) )
ปิรามิดที่ถูกตัดปลายมีสองฐาน - รูปหลายเหลี่ยม \(A_1A_2...A_n\) และ \(B_1B_2...B_n\) ซึ่งคล้ายกัน
ความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอนนั้นตั้งฉากจากจุดใดจุดหนึ่งของฐานบนไปยังระนาบของฐานล่าง
หมายเหตุสำคัญ
1. ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
2. ส่วนที่เชื่อมต่อศูนย์กลางของฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอนปกติ (นั่นคือปิรามิดที่ได้จากหน้าตัดของปิรามิดปกติ) คือความสูง
ลองพิจารณาว่าปิรามิดมีคุณสมบัติอะไรบ้าง โดยที่ด้านข้างตั้งฉากกับฐาน
ถ้า ใบหน้าด้านข้างของพีระมิดสองด้านที่อยู่ติดกันตั้งฉากกับฐาน, ที่ ขอบด้านข้างทั่วไปของใบหน้าเหล่านี้คือความสูงของปิรามิด. ถ้าปัญหาบอกว่า ขอบของปิรามิดคือความสูงของมันถ้าอย่างนั้น เรากำลังพูดถึงปิรามิดประเภทนี้
ใบหน้าของปิรามิดตั้งฉากกับฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ถ้าฐานของปิระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยม
ในกรณีทั่วไป เราจะมองหาพื้นผิวด้านข้างของพีระมิดเป็นผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมด
ฐานของปิระมิดคือการฉายใบหน้าตั้งฉาก ซึ่งไม่ตั้งฉากกับฐาน (ในกรณีนี้คือ SBC) ซึ่งหมายความว่าตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉาก พื้นที่ของฐานเท่ากับผลคูณของพื้นที่ของหน้านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างมันกับระนาบของฐาน .
ถ้าฐานของปิระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ในกรณีนี้ หน้าทั้งหมดของปิรามิดเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก.
สามเหลี่ยม SAB และ SAC เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เนื่องจาก SA คือความสูงของปิรามิด สามเหลี่ยม ABC เป็นมุมฉาก
ข้อเท็จจริงที่ว่าสามเหลี่ยม SBC นั้นมีมุมฉากนั้นเป็นไปตามทฤษฎีบทของสามเหลี่ยมตั้งฉากสามเส้น (AB คือเส้นโครงของ SB ที่เอียงไปบนระนาบของฐาน เนื่องจาก AB ตั้งฉากกับ BC ตามเงื่อนไข ดังนั้น SB จึงตั้งฉากกับ BC)
มุมระหว่างพื้นผิวด้านข้างของ SBC และฐานในกรณีนี้คือมุม ABS
พื้นที่ผิวด้านข้างเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก:
เนื่องจากในกรณีนี้
ถ้าฐานของปิระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
ในกรณีนี้ มุมระหว่างระนาบข้าง BCS และระนาบฐานคือมุม AFS โดยที่ AF คือระดับความสูง ค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC
ในทำนองเดียวกัน ถ้าที่ฐานของปิรามิดมีรูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
ถ้าฐานของปิระมิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ในกรณีนี้ ฐานของปิระมิดคือการฉายภาพด้านข้างในมุมฉากซึ่งไม่ตั้งฉากกับฐาน
ถ้าเราแบ่งฐานออกเป็นสามเหลี่ยมสองอันแล้ว
โดยที่ α และ β เป็นมุมระหว่างระนาบ ADS และ CDS และระนาบฐาน ตามลำดับ
ถ้า BF และ BK คือความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน มุม BFS คือมุมเอียงของ CDS ของหน้าด้านข้างกับระนาบของฐาน และมุม BKS คือมุมเอียงของ ADS ด้านข้าง
(เขียนแบบในกรณีที่ B เป็นมุมป้าน)
ถ้าฐานของพีระมิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD แล้วมุม BFS และ BKS จะเท่ากัน สามเหลี่ยม ABS และ CBS รวมถึง ADS และ CDS ก็เท่ากันในกรณีนี้เช่นกัน
หากฐานของปิระมิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ในกรณีนี้ มุมระหว่างระนาบหน้าด้านข้าง SAD และระนาบฐานคือมุม SAB
และมุมระหว่างระนาบของ SCD หน้าด้านข้างกับระนาบของฐานคือมุม SCB
(โดยทฤษฎีบทสามตั้งฉาก)
วิดีโอสอนนี้จะช่วยให้ผู้ใช้เข้าใจแนวคิดเกี่ยวกับธีมพีระมิด ปิรามิดที่ถูกต้อง ในบทนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของปิรามิดและให้คำจำกัดความแก่มัน ลองพิจารณาว่าปิรามิดปกติคืออะไรและมีคุณสมบัติอะไรบ้าง จากนั้นเราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติ
ในบทนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของปิรามิดและให้คำจำกัดความแก่มัน
พิจารณารูปหลายเหลี่ยม เอ 1 เอ 2...หนึ่งซึ่งอยู่ในระนาบ α และจุด ปซึ่งไม่อยู่ในระนาบ α (รูปที่ 1) มาเชื่อมต่อจุดต่างๆ ปมียอดเขา ก 1, 2, 3, … หนึ่ง. เราได้รับ nสามเหลี่ยม: ก 1 ก 2 อาร์, ก 2 ก 3 อาร์และอื่น ๆ
คำนิยาม. รูปทรงหลายเหลี่ยม RA 1 A 2 ...กประกอบด้วย n-สี่เหลี่ยม เอ 1 เอ 2...หนึ่งและ nสามเหลี่ยม RA 1 A 2, RA 2 ก 3 …RA n A n-1 เรียกว่า n-ปิรามิดถ่านหิน ข้าว. 1.
ข้าว. 1
พิจารณาปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม PABCD(รูปที่ 2)
ร- ด้านบนของปิรามิด
เอบีซีดี- ฐานของปิรามิด
ร- ซี่โครงด้านข้าง.
เอบี- ซี่โครงฐาน
จากจุด รลองวางตั้งฉากกัน ร.นไปยังระนาบฐาน เอบีซีดี. เส้นตั้งฉากที่วาดคือความสูงของปิรามิด
ข้าว. 2
พื้นผิวทั้งหมดของปิรามิดประกอบด้วยพื้นผิวด้านข้างนั่นคือพื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดและพื้นที่ฐาน:
S เต็ม = ด้าน S + S หลัก
ปิรามิดจะเรียกว่าถูกต้องหาก:
- ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ
- ส่วนที่เชื่อมต่อยอดปิรามิดเข้ากับศูนย์กลางฐานคือความสูง
คำอธิบายโดยใช้ตัวอย่างของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ
พิจารณาปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ PABCD(รูปที่ 3)
ร- ด้านบนของปิรามิด ฐานของปิรามิด เอบีซีดี- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติ นั่นคือ สี่เหลี่ยมจัตุรัส จุด เกี่ยวกับ, จุดตัดของเส้นทแยงมุมคือจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัส วิธี, รคือความสูงของปิรามิด
ข้าว. 3
คำอธิบาย: ถูกต้อง nในรูปสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้และจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้นตรงกัน จุดศูนย์กลางนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยม บางครั้งพวกเขาบอกว่าจุดยอดถูกฉายเข้าตรงกลาง
เรียกว่าความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติที่ดึงมาจากจุดยอด ระยะกึ่งกลางของตำแหน่งและถูกกำหนดไว้ ฮา.
1. ขอบด้านข้างทั้งหมดของปิรามิดปกติเท่ากัน
2. ใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน
เราจะพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้โดยใช้ตัวอย่างของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ
ที่ให้ไว้: PABCD- ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ
เอบีซีดี- สี่เหลี่ยม,
ร- ความสูงของปิรามิด
พิสูจน์:
1. RA = PB = อาร์เอส = PD
2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP ดูภาพประกอบ 4.
ข้าว. 4
การพิสูจน์.
ร- ความสูงของปิรามิด นั่นก็คือ ตรง รตั้งฉากกับเครื่องบิน เอบีซีและดังนั้นจึงตรง JSC, VO, ดังนั้นและ ทำนอนอยู่ในนั้น สามเหลี่ยมดังนั้น ROA, ROV, ROS, รด- สี่เหลี่ยม
พิจารณารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เอบีซีดี. จากคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะได้ดังนี้ AO = VO = CO = ทำ.
แล้วก็สามเหลี่ยมมุมฉาก ROA, ROV, ROS, รดขา ร- ทั่วไปและขา JSC, VO, ดังนั้นและ ทำเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากันทั้งสองด้าน จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมตามความเท่าเทียมกันของส่วนต่างๆ RA = PB = อาร์เอส = PDจุดที่ 1 ได้รับการพิสูจน์แล้ว
เซ็กเมนต์ เอบีและ ดวงอาทิตย์เท่ากันเพราะเป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดียวกัน RA = PB = อาร์เอส. สามเหลี่ยมดังนั้น เอวีอาร์และ วีเอสอาร์ -หน้าจั่วและเท่ากันทั้งสามด้าน
ในทำนองเดียวกัน เราพบสามเหลี่ยมนั้น ABP, VCP, CDP, DAPเป็นหน้าจั่วและเท่ากัน ตามที่ต้องพิสูจน์ในวรรค 2
พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและเส้นตั้งฉากในฐาน:
เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เรามาเลือกปิรามิดสามเหลี่ยมปกติกัน
ที่ให้ไว้: RAVS- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ
AB = BC = เอซี
ร- ความสูง.
พิสูจน์: 
. ดูภาพประกอบ 5.
ข้าว. 5
การพิสูจน์.
RAVS- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ นั่นคือ เอบี= เอซี = พ.ศ. อนุญาต เกี่ยวกับ- ศูนย์กลางของสามเหลี่ยม เอบีซี, แล้ว รคือความสูงของปิรามิด ที่ฐานของปิรามิดมีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอยู่ เอบีซี. สังเกตว่า 
.
สามเหลี่ยม อาร์เอวี อาร์วีเอส อาร์เอสเอ- สามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน (ตามคุณสมบัติ) ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมมีด้าน 3 ด้าน คือ อาร์เอวี อาร์วีเอส อาร์เอสเอ. ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือ:
ด้าน S = 3S RAW
ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือ 3 ม. ความสูงของปิรามิดคือ 4 ม. ค้นหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิด
ที่ให้ไว้: พีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ เอบีซีดี,
เอบีซีดี- สี่เหลี่ยม,
ร= 3 ม.
ร- ความสูงของปิรามิด
ร= 4 ม.
หา: ฝั่งเอส ดูภาพประกอบ 6.
ข้าว. 6
สารละลาย.
ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว .
ขั้นแรกให้หาด้านข้างของฐานก่อน เอบี. เรารู้ว่ารัศมีของวงกลมที่ฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือ 3 เมตร
จากนั้น ม.
หาเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เอบีซีดีด้านข้าง 6 ม.:
พิจารณารูปสามเหลี่ยม บีซีดี. อนุญาต ม- ตรงกลางด้านข้าง กระแสตรง. เพราะ เกี่ยวกับ- กลาง บีดี, ที่ 
(ม.)
สามเหลี่ยม ดีพีซี- หน้าจั่ว ม- กลาง กระแสตรง. นั่นคือ, RM- ค่ามัธยฐาน ดังนั้น ความสูงในรูปสามเหลี่ยม ดีพีซี. แล้ว RM- แนวกึ่งกลางของปิรามิด
ร- ความสูงของปิรามิด แล้วตรง รตั้งฉากกับเครื่องบิน เอบีซีและดังนั้นจึงตรง โอมนอนอยู่ในนั้น ลองหาระยะกึ่งกลางฐาน RMจากสามเหลี่ยมมุมฉาก รอม.
ตอนนี้เราสามารถหาพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดได้แล้ว:
คำตอบ: 60 ตร.ม.
รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบฐานของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติเท่ากับ m พื้นที่ผิวด้านข้างคือ 18 m 2 หาความยาวของระยะแนบใน.
ที่ให้ไว้: เอบีซีพี- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ
AB = BC = SA
ร= ม.
ด้าน S = 18 ตร.ม.
หา: . ดูภาพประกอบ 7.
ข้าว. 7
สารละลาย.
ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เอบีซีจะได้รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบไว้ มาหาข้างกันเถอะ เอบีสามเหลี่ยมนี้ใช้กฎของไซน์
เมื่อทราบด้านของสามเหลี่ยมปกติ (m) เราจะพบเส้นรอบรูปของมัน
ตามทฤษฎีบทเรื่องพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติโดยที่ ฮา- แนวกึ่งกลางของปิรามิด แล้ว:
คำตอบ: 4 ม.
ดังนั้นเราจึงดูว่าพีระมิดคืออะไร พีระมิดปกติคืออะไร และเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติแล้ว ในบทต่อไป เราจะมาทำความรู้จักกับปิรามิดที่ถูกตัดทอน
บรรณานุกรม
- เรขาคณิต. เกรด 10-11: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับพื้นฐานและเฉพาะทาง) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov - ฉบับที่ 5, ว. และเพิ่มเติม - อ.: Mnemosyne, 2551. - 288 หน้า: ป่วย.
- เรขาคณิต. เกรด 10-11: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 หน้า: ป่วย
- เรขาคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไปที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึกและเฉพาะทาง /E วี. โปโตสคูเยฟ, แอล. ไอ. ซวาลิช. - ฉบับที่ 6 แบบเหมารวม. - อ.: อีแร้ง, 008. - 233 น.: ป่วย
- พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต "Yaklass" ()
- พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต "เทศกาลแนวคิดการสอน" วันที่ 1 กันยายน" ()
- พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต “Slideshare.net” ()
การบ้าน
- รูปหลายเหลี่ยมปกติสามารถเป็นฐานของปิรามิดที่ไม่ปกติได้หรือไม่
- พิสูจน์ว่าขอบที่แยกจากกันของปิรามิดปกตินั้นตั้งฉากกัน
- หาค่าของมุมไดฮีดรัลที่ด้านข้างของฐานของพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ ถ้าระยะกึ่งกลางของพีระมิดเท่ากับด้านข้างของฐาน
- RAVS- ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ สร้างมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่ฐานของปิรามิด
) รูปสี่เหลี่ยม ฯลฯ พีระมิดเป็นกรณีพิเศษของกรวย
ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาปิรามิดในเรขาคณิต
เรขาคณิตของพีระมิดเริ่มต้นในอียิปต์โบราณและบาบิโลน แต่ได้รับการพัฒนาอย่างแข็งขันในสมัยกรีกโบราณ ปริมาตรของปิรามิดเป็นที่รู้จักของชาวอียิปต์โบราณ นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกคนแรกที่สร้างปริมาตรของปิรามิดคือเดโมคริตุส ซึ่งได้รับการพิสูจน์โดย Eudoxus แห่ง Cnidus Euclid นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณจัดระบบความรู้เกี่ยวกับปิรามิดใน "องค์ประกอบ" เล่มที่ 12 ของเขา และยังได้รับคำจำกัดความแรกของปิรามิด: รูปร่างทางกายภาพที่ถูกล้อมรอบด้วยระนาบที่บรรจบกันจากระนาบหนึ่งไปยังจุดหนึ่ง(เล่ม XI คำจำกัดความ 12)
องค์ประกอบของปิรามิด
การพัฒนาปิรามิด
กวาดเป็นรูปแบนที่ได้จากการรวมพื้นผิวของตัวเรขาคณิตเข้ากับระนาบเดียว (โดยไม่ต้องวางใบหน้าหรือองค์ประกอบพื้นผิวอื่นทับซ้อนกัน) เมื่อเริ่มศึกษาการพัฒนาพื้นผิว ขอแนะนำให้พิจารณาอย่างหลังว่าเป็นฟิล์มที่ยืดหยุ่นและขยายไม่ได้ พื้นผิวบางส่วนที่นำเสนอในลักษณะนี้สามารถใช้ร่วมกับระนาบได้โดยการดัดงอ ยิ่งไปกว่านั้น หากส่วนหนึ่งของพื้นผิวสามารถรวมกับระนาบได้โดยไม่ต้องฉีกขาดหรือติดกาว พื้นผิวดังกล่าวจะเรียกว่าสามารถพัฒนาได้ และผลลัพธ์ที่ได้คือรูปร่างที่แบนราบคือการพัฒนา
คุณสมบัติของปิรามิด
หากขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน, ที่:
- วงกลมสามารถอธิบายได้รอบๆ ฐานของปิรามิด โดยที่ยอดของปิรามิดยื่นออกมาตรงกลาง
- ซี่โครงด้านข้างมีมุมเท่ากันกับระนาบของฐาน
- สิ่งที่กลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ ถ้าขอบด้านข้างสร้างมุมเท่ากันกับระนาบของฐาน หรือถ้าสามารถอธิบายวงกลมรอบฐานของปิระมิดได้ โดยให้ยอดปิรามิดยื่นออกมาตรงกลาง แล้วทั้งหมด ขอบด้านข้างของปิรามิดเท่ากัน
หากใบหน้าด้านข้างเอียงไปที่ระนาบฐานในมุมเดียวกัน, ที่:
- วงกลมสามารถจารึกไว้ที่ฐานของปิรามิด และด้านบนของปิรามิดจะถูกฉายไปที่กึ่งกลาง
- ความสูงของใบหน้าด้านข้างเท่ากัน
- พื้นที่ผิวด้านข้างเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและความสูงของหน้าด้านข้าง
ทฤษฎีบทที่เชื่อมโยงปิรามิดกับตัวเรขาคณิตอื่นๆ
คำอธิบายของทรงกลมรอบปิรามิดปกติ:
SD คือความสูงของปิรามิด
AD คือรัศมีของวงกลมที่แสดงถึงฐาน
B - กึ่งกลางของขอบของใบหน้าด้านข้าง
C คือจุดตัดของระนาบที่ผ่านตรงกลางของซี่โครงในแนวตั้งฉากกับพวกมัน
AC=CS - รัศมีของทรงกลมที่อธิบายปิรามิด
ทรงกลมที่จารึกไว้ในปิรามิดปกติ:
D - ศูนย์กลางฐาน
SF - ระยะกึ่งกลาง
ASD - ระนาบเส้นแบ่งครึ่งของมุมระหว่างใบหน้าด้านข้าง
BCE - ระนาบเส้นแบ่งครึ่งของมุมระหว่างฐานกับหน้าด้านข้าง
C - จุดตัดของระนาบเส้นแบ่งครึ่งทั้งหมด
CK=CD - รัศมีของทรงกลมที่จารึกไว้ในปิรามิด
ทรงกลม
กรวย
กระบอก
- กล่าวกันว่าทรงกระบอกจะจารึกไว้ในปิรามิดหากฐานใดฐานหนึ่งตรงกับวงกลมของระนาบที่จารึกไว้ในส่วนของพีระมิด ซึ่งขนานกับฐาน และฐานอีกฐานหนึ่งเป็นของฐานของปิรามิด
- ว่ากันว่าทรงกระบอกนั้นถูกอธิบายไว้ใกล้กับปิรามิด ถ้าจุดยอดของปิรามิดนั้นอยู่ในฐานใดฐานหนึ่ง และฐานอีกอันนั้นถูกอธิบายไว้ใกล้กับฐานของปิรามิด ยิ่งไปกว่านั้น เป็นไปได้ที่จะอธิบายทรงกระบอกใกล้กับปิรามิดก็ต่อเมื่อมีรูปหลายเหลี่ยมจารึกไว้ที่ฐานของปิรามิด (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ)
สูตรที่เกี่ยวข้องกับปิรามิด
- ปริมาตรของปิรามิดสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:
- พื้นผิวด้านข้างคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าด้านข้าง:
- พื้นที่ผิวทั้งหมดคือผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างและพื้นที่ฐาน:
- หากต้องการหาพื้นที่ผิวข้างในปิรามิดปกติ คุณสามารถใช้สูตรได้ดังนี้
