W artykule przedstawiono wstępne informacje na temat systemów nierówności. Oto definicja systemu nierówności i definicja rozwiązania systemu nierówności. Wymieniono także główne typy systemów, z którymi najczęściej trzeba pracować na lekcjach algebry w szkole, wraz z podanymi przykładami.

Nawigacja strony.

Co to jest system nierówności?

Wygodnie jest definiować układy nierówności w ten sam sposób, w jaki wprowadziliśmy definicję układu równań, czyli według rodzaju zapisu i zawartego w nim znaczenia.

Definicja.

Układ nierówności jest zapisem reprezentującym pewną liczbę nierówności zapisanych jedna pod drugą, połączonych z lewej strony nawiasem klamrowym i oznacza zbiór wszystkich rozwiązań, które są jednocześnie rozwiązaniami każdej nierówności układu.

Podajmy przykład układu nierówności. Weźmy dwa dowolne, np. 2 x−3>0 i 5−x≥4 x−11, zapiszmy je jedno pod drugim
2 x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
i łączymy ze znakiem systemowym - nawiasem klamrowym, w rezultacie otrzymujemy układ nierówności w postaci:

Podobny pogląd dotyczy systemów nierówności w podręczniki szkolne. Warto zauważyć, że ich definicje podano w sposób węższy: dla nierówności z jedną zmienną lub z dwiema zmiennymi.

Główne typy systemów nierówności

Jest oczywiste, że można stworzyć nieskończenie wiele różnych systemów nierówności. Aby nie zgubić się w tej różnorodności, wskazane jest rozważenie ich w grupach, które mają własne cechy. Wszystkie systemy nierówności można podzielić na grupy według następujących kryteriów:

przez liczbę nierówności w systemie;
według liczby zmiennych objętych rejestracją;
ze względu na rodzaj samych nierówności.

Na podstawie liczby nierówności zawartych w zapisie wyróżnia się układy dwa, trzy, cztery itd. nierówności W poprzednim akapicie podaliśmy przykład układu, który jest układem dwóch nierówności. Pokażmy inny przykład układu czterech nierówności .

Osobno powiemy, że nie ma sensu mówić o samym systemie nierówności, w tym przypadku w istocie mówimy o samej nierówności, a nie o systemie.

Jeśli spojrzysz na liczbę zmiennych, istnieją systemy nierówności z jednym, dwoma, trzema itd. zmienne (lub, jak to mówią, niewiadome). Spójrz na ostatni układ nierówności zapisany dwa akapity powyżej. Jest to układ z trzema zmiennymi x, y i z. Należy pamiętać, że jej pierwsze dwie nierówności nie zawierają wszystkich trzech zmiennych, a tylko jedną z nich. W kontekście tego układu należy je rozumieć jako nierówności z trzema zmiennymi postaci odpowiednio x+0·y+0·z≥−2 i 0·x+y+0·z≤5. Należy pamiętać, że szkoła skupia się na nierównościach z jedną zmienną.

Pozostaje omówić, jakie rodzaje nierówności występują w systemach rejestrujących. W szkole rozważają głównie układy dwóch nierówności (rzadziej – trzech, jeszcze rzadziej – czterech i więcej) z jedną lub dwiema zmiennymi, a same nierówności są zazwyczaj całe nierówności pierwszego lub drugiego stopnia (rzadziej - stopnie wyższe lub częściowo racjonalne). Ale nie zdziw się, jeśli w swoich materiałach przygotowujących do egzaminu Unified State Exam natkniesz się na systemy nierówności zawierające nierówności irracjonalne, logarytmiczne, wykładnicze i inne. Jako przykład podajemy układ nierówności , jest pobierane z .

Jakie jest rozwiązanie układu nierówności?

Wprowadźmy kolejną definicję związaną z systemami nierówności - definicję rozwiązania układu nierówności:

Definicja.

Rozwiązywanie układu nierówności z jedną zmienną nazywa się taką wartością zmiennej, która zamienia każdą z nierówności układu w prawdziwą, innymi słowy jest rozwiązaniem każdej nierówności układu.

Wyjaśnijmy na przykładzie. Weźmy układ dwóch nierówności z jedną zmienną. Przyjmijmy wartość zmiennej x równą 8, jest to z definicji rozwiązanie naszego układu nierówności, gdyż podstawienie jej do nierówności układu daje dwie poprawne nierówności numeryczne 8>7 i 2−3·8≤0. Wręcz przeciwnie, jedność nie jest rozwiązaniem układu, gdyż gdy zastąpimy ją zmienną x, pierwsza nierówność zamieni się w niepoprawną nierówność liczbową 1>7.

Podobnie można wprowadzić definicję rozwiązania układu nierówności z dwójką, trójką i duża liczba zmienne:

Definicja.

Rozwiązywanie układu nierówności z dwójką, trójką itd. zmienne zwane parą, trójką itd. wartości tych zmiennych, co jednocześnie jest rozwiązaniem każdej nierówności układu, czyli zamienia każdą nierówność układu w poprawną nierówność liczbową.

Przykładowo para wartości x=1, y=2 lub w innym zapisie (1, 2) jest rozwiązaniem układu nierówności z dwiema zmiennymi, gdyż 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Układy nierówności mogą nie mieć rozwiązań, mogą mieć skończoną liczbę rozwiązań lub mogą mieć nieskończoną liczbę rozwiązań. Ludzie często mówią o zbiorze rozwiązań systemu nierówności. Jeżeli układ nie ma rozwiązań, to istnieje pusty zbiór jego rozwiązań. Gdy istnieje skończona liczba rozwiązań, to zbiór rozwiązań zawiera skończoną liczbę elementów, a gdy istnieje nieskończenie wiele rozwiązań, to zbiór rozwiązań składa się z nieskończonej liczby elementów.

Niektóre źródła wprowadzają definicje szczególnego i ogólnego rozwiązania układu nierówności, jak na przykład w podręcznikach Mordkowicza. Pod prywatne rozwiązanie układu nierówności zrozumieć jej jedną decyzję. Z kolei ogólne rozwiązanie układu nierówności- to są wszystkie jej prywatne decyzje. Jednak określenia te mają sens tylko wtedy, gdy trzeba konkretnie podkreślić, o jakim rozwiązaniu mówimy, ale zwykle wynika to już z kontekstu, dlatego znacznie częściej mówią po prostu „rozwiązanie układu nierówności”.

Z definicji układu nierówności i jego rozwiązań przedstawionych w tym artykule wynika, że rozwiązaniem układu nierówności jest przecięcie zbiorów rozwiązań wszystkich nierówności tego układu.

Bibliografia.

Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Algebra: Klasa 9: edukacyjna. dla edukacji ogólnej instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2009. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A.G. Algebra. 9. klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - wyd. 13, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: il. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A.G. Algebra i początki analizy matematycznej. Klasa 11. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom profilu) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - wyd. 2, skreślone. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: il. ISBN 978-5-346-01027-2.
Ujednolicony egzamin państwowy-2013. Matematyka: standardowe opcje egzaminu: 30 opcji / wyd. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. – M.: Wydawnictwo „Edukacja Narodowa”, 2012. – 192 s. – (USE-2013. FIPI - szkoła).

Dzisiaj na lekcji uogólnimy naszą wiedzę na temat rozwiązywania systemów nierówności i przeanalizujemy rozwiązanie zbioru systemów nierówności.

Definicja pierwsza.

Mówi się, że kilka nierówności z jedną zmienną tworzy system nierówności, jeśli zadaniem jest znalezienie wszystkich ogólnych rozwiązań danych nierówności.

Wartość zmiennej, przy której każda z nierówności układu zamienia się w poprawną nierówność liczbową, nazywa się częściowym rozwiązaniem układu nierówności.

Zbiór wszystkich rozwiązań szczegółowych układu nierówności reprezentuje rozwiązanie ogólne układu nierówności (częściej mówią po prostu – rozwiązanie układu nierówności).

Rozwiązanie układu nierówności polega na znalezieniu wszystkich jego konkretnych rozwiązań lub udowodnieniu, że dany układ nie ma rozwiązań.

Pamiętać! Rozwiązaniem układu nierówności jest przecięcie rozwiązań nierówności zawartych w tym systemie.

Nierówności zawarte w systemie łączone są nawiasem klamrowym.

Algorytm rozwiązywania układu nierówności z jedną zmienną:

Pierwszy polega na rozwiązaniu każdej nierówności osobno.

Drugim jest znalezienie punktu przecięcia znalezionych rozwiązań.

To przecięcie jest zbiorem rozwiązań układu nierówności

Ćwiczenie 1

Rozwiąż układ nierówności siedem x minus czterdzieści dwa jest mniejsze lub równe zero i dwa x minus siedem jest większe od zera.

Rozwiązaniem pierwszej nierówności jest to, że x jest mniejsze lub równe sześć, druga nierówność polega na tym, że x jest większe niż drugie siedem. Zaznaczmy te przedziały na linii współrzędnych. Rozwiązanie pierwszej nierówności zaznaczono cieniowaniem poniżej, a rozwiązanie drugiej nierówności cieniowaniem u góry. Rozwiązaniem układu nierówności będzie przecięcie rozwiązań nierówności, czyli przedział, w którym pokrywają się oba kreskowania. W rezultacie otrzymujemy półinterwał od siedmiu sekund do sześciu, w tym sześciu.

Zadanie 2

Rozwiąż układ nierówności: x kwadrat plus x minus sześć jest większe od zera i x kwadrat plus x plus sześć jest większe od zera.

Rozwiązanie

Rozwiążmy pierwszą nierówność - x kwadrat plus x minus sześć jest większe od zera.

Rozważmy funkcję ig równą x kwadrat plus x minus sześć. Zera funkcji: x pierwsze jest równe minus trzy, x drugie jest równe dwa. Przedstawiając schematycznie parabolę, okazuje się, że rozwiązaniem pierwszej nierówności jest połączenie promieni liczb otwartych od minus nieskończoności do minus trzy i od dwóch do plus nieskończoności.

Rozwiążmy drugą nierówność układu: x kwadrat plus x plus sześć jest większe od zera.

Rozważmy funkcję ig równą x kwadrat plus x dodać sześć. Dyskryminator jest równy minus dwadzieścia trzy mniej od zera, co oznacza, że funkcja nie ma zer. Parabola nie ma punktów wspólnych z osią Wołu. Przedstawiając schematycznie parabolę, okazuje się, że rozwiązaniem nierówności jest zbiór wszystkich liczb.

Przedstawmy na osi współrzędnych rozwiązania nierówności układu.

Z rysunku widać, że rozwiązaniem układu jest połączenie liczb otwartych promieni od minus nieskończoności do minus trzech i od dwóch do plus nieskończoności.

Odpowiedź: suma promieni liczb otwartych od minus nieskończoności do minus trzy i od dwóch do plus nieskończoności.

Pamiętać! Jeśli w systemie kilku nierówności jedna jest konsekwencją drugiej (lub innych), wówczas konsekwencję nierówności można odrzucić.

Rozważmy przykład rozwiązania nierówności przez system.

Zadanie 3

Rozwiąż logarytm nierówności z wyrażenia x kwadrat minus trzynaście x plus czterdzieści dwa przy podstawie dwa większe lub równe jeden.

Rozwiązanie

ODZ nierówności jest określona przez warunek x kwadrat minus trzynaście x plus czterdzieści dwa większe od zera. Wyobraźmy sobie liczbę jeden jako logarytm dwóch do podstawy dwa i otrzymamy nierówność - logarytm wyrażenia x kwadrat minus trzynaście x plus czterdzieści dwa do podstawy dwa jest większy lub równy logarytmowi dwóch do podstawy dwa.

Widzimy, że podstawa logarytmu jest równa dwa przez jeden, a następnie dochodzimy do równoważnej nierówności x kwadrat minus trzynaście x plus czterdzieści dwa większe lub równe dwa. W konsekwencji rozwiązanie tej nierówności logarytmicznej sprowadza się do rozwiązania układu dwóch nierówności kwadratowych.

Ponadto łatwo zauważyć, że jeśli spełniona jest druga nierówność, to tym bardziej spełniona jest pierwsza nierówność. Zatem pierwsza nierówność jest konsekwencją drugiej i można ją odrzucić. Przekształcamy drugą nierówność i zapisujemy ją w postaci: x kwadrat minus trzynaście x plus czterdzieści jest większe od zera. Jego rozwiązaniem jest połączenie dwóch promieni liczbowych od minus nieskończoności do pięciu i od ośmiu do plus nieskończoności.

Odpowiedź: połączenie dwóch promieni liczbowych od minus nieskończoności do pięciu i od ośmiu do plus nieskończoności.

otwarte promienie liczbowe

Definicja druga.

Mówi się, że kilka nierówności z jedną zmienną tworzy zbiór nierówności, jeśli zadaniem jest znalezienie wszystkich takich wartości zmiennej, z których każda jest rozwiązaniem przynajmniej jednej z podanych nierówności.

Każdą taką wartość zmiennej nazywamy szczególnym rozwiązaniem zbioru nierówności.

Zbiór wszystkich szczegółowych rozwiązań zbioru nierówności wynosi ogólne rozwiązanie zbioru nierówności.

Pamiętać! Rozwiązaniem zbioru nierówności jest kombinacja rozwiązań nierówności zawartych w zbiorze.

Nierówności znajdujące się w zestawie łączymy nawiasem kwadratowym.

Algorytm rozwiązywania zbioru nierówności:

Pierwszy polega na rozwiązaniu każdej nierówności osobno.

Drugim jest znalezienie sumy znalezionych rozwiązań.

Suma ta jest rozwiązaniem zbioru nierówności.

Zadanie 4

punkt zerowy dwa razy różnica dwóch X i trzy mniej niż X minus dwa;

pięć x minus siedem jest większe niż x minus sześć.

Rozwiązanie

Przekształćmy każdą z nierówności. Otrzymujemy zestaw równoważny

x jest większe niż siedem trzecich;

x jest większe niż jedna czwarta.

W przypadku pierwszej nierówności zbiorem rozwiązań jest przedział od siedmiu trzecich do plus nieskończoności, a dla drugiej – przedział od jednej czwartej do plus nieskończoności.

Przedstawmy na osi współrzędnych zbiór liczb spełniających nierówności x większe od siedmiu trzecich i x większe od jednej czwartej.

Znajdujemy to łącząc te zbiory, tj. rozwiązaniem tego zbioru nierówności jest otwarty promień numeryczny od jednej czwartej do plus nieskończoności.

Odpowiedź: otwarta wiązka liczbowa od jednej czwartej do plus nieskończoności.

Zadanie 5

Rozwiąż układ nierówności:

dwa x minus jeden jest mniejsze niż trzy, a trzy x minus dwa jest większe lub równe dziesięć.

Rozwiązanie

Przekształćmy każdą z nierówności. Otrzymujemy równoważny zbiór nierówności: x jest większe niż dwa i x jest większe lub równe cztery.

Przedstawmy na osi współrzędnych zbiór liczb spełniających te nierówności.

Znajdujemy to łącząc te zbiory, tj. rozwiązaniem tego zbioru nierówności jest otwarty promień numeryczny od dwa do plus nieskończoność.

Odpowiedź: otwórz promień liczbowy od dwóch do plus nieskończoności.

1. Pojęcie nierówności z jedną zmienną

2. Nierówności równoważne. Twierdzenia o równoważności nierówności

3. Rozwiązywanie nierówności z jedną zmienną

4. Graficzne rozwiązanie nierówności z jedną zmienną

5. Nierówności zawierające zmienną pod znakiem modułu

6. Główne wnioski

Nierówności z jedną zmienną

Oferty 2 X + 7 > 10-tki, x 2 + 7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 nazywane są nierównościami z jedną zmienną.

Ogólnie pojęcie to definiuje się w następujący sposób:

Definicja. Niech f(x) i g(x) będą dwoma wyrażeniami ze zmienną x i dziedziną X. Wtedy nierówność postaci f(x) > g(x) lub f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.

Zmienna wartość X od wielu X, w którym nierówność zamienia się w rzeczywistą nierówność liczbową decyzja. Rozwiązanie nierówności oznacza znalezienie wielu rozwiązań.

Zatem rozwiązując nierówność 2 X + 7 > 10 -x, x? R jest numerem X= 5, ponieważ 2 5 + 7 > 10 - 5 jest prawdziwą nierównością numeryczną. A zbiorem jego rozwiązań jest przedział (1, ∞), który wyznaczamy wykonując transformację nierówności: 2 X + 7 > 10-X => 3X >3 => X >1.

Nierówności równoważne. Twierdzenia o równoważności nierówności

Podstawą rozwiązywania nierówności za pomocą jednej zmiennej jest koncepcja równoważności.

Definicja. Dwie nierówności nazywamy równoważnymi, jeżeli ich zbiory rozwiązań są równe.

Na przykład nierówności 2 X+ 7 > 10 i 2 X> 3 są równoważne, ponieważ ich zbiory rozwiązań są równe i reprezentują przedział (2/3, ∞).

Twierdzenia o równoważności nierówności i wynikające z nich konsekwencje są podobne do odpowiednich twierdzeń o równoważności równań. W ich dowodzie wykorzystuje się własności prawdziwych nierówności numerycznych.

Twierdzenie 3. Niech nierówność f(x) > g(x) zdefiniowany na planie X I H(X) jest wyrażeniem zdefiniowanym w tym samym zestawie. Potem nierówności f(x) > g(x) i f(x)+ h(x) > g(x) + h(x) są równoważne na zestawie X.

Z tego twierdzenia wynikają wnioski, które są często używane przy rozwiązywaniu nierówności:

1) Jeśli do obu stron nierówności f(x) > g(x) dodaj tę samą liczbę D, wtedy otrzymamy nierówność f(x) + d > g(x)+ d, odpowiednik oryginału.

2) Jeśli dowolny wyraz (wyrażenie liczbowe lub wyrażenie ze zmienną) zostanie przeniesiony z jednej części nierówności do drugiej, zmieniając znak wyrazu na przeciwny, wówczas otrzymamy nierówność równoważną podanej.

Twierdzenie 4. Niech nierówność f(x) > g(x) zdefiniowany na planie X I H(X X od wielu X wyrażenie h(x) akceptuje wartości dodatnie. Potem nierówności f(x) > g(x) i f(x) h(x) > g(x) h(x) są równoważne na zestawie X.

f(x) > g(x) pomnóż przez tę samą liczbę dodatnią D, wtedy otrzymamy nierówność f(x) d > g(x) d, równoważne temu.

Twierdzenie 5. Niech nierówność f(x) > g(x) zdefiniowany na planie X I H(X) - wyrażenie zdefiniowane na tym samym zbiorze i dla wszystkich X dużo ich X wyrażenie H(X) przyjmuje wartości ujemne. Potem nierówności f(x) > g(x) i f(x) h(x) > g(x) h(x) są równoważne na zestawie X.

Z tego twierdzenia wynika wniosek: jeśli obie strony nierówności f(x) > g(x) pomnóż przez tę samą liczbę ujemną D i zamieniamy znak nierówności na przeciwny, otrzymujemy nierówność f(x) d > g(x) d, równoważne temu.

Rozwiązywanie nierówności z jedną zmienną

Rozwiążmy nierówność 5 X - 5 < 2х - 16, X? R, a my uzasadnimy wszystkie przekształcenia, które dokonamy w procesie rozwiązania.

Rozwiązanie nierówności X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 to przedział (-∞, 7).

Ćwiczenia

1. Określ, które z poniższych wpisów są nierównościami z jedną zmienną:

a) -12 - 7 X< 3X+ 8; d) 12 x + 3(X- 2);

b) 15( X+ 2) > 4; e) 17-12,8;

c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x 2+ 3X-4> 0.

2. Czy liczba 3 jest rozwiązaniem nierówności? 6(2x + 7) < 15(X + 2), X? R? A liczba 4,25?

3. Czy następujące pary nierówności są równoważne na zbiorze liczb rzeczywistych:

a) -17 X< -51 и X > 3;

b) (3 X-1)/4 >0 i 3 X-1>0;

c) 6-5 X>-4 i X<2?

4. Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe:

a) -7 X < -28 => X>4;

B) X < 6 => X < 5;

V) X< 6 => X< 20?

5. Rozwiąż nierówność 3( X - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 i uzasadnij wszystkie przekształcenia, które wykonasz.

6. Udowodnić to rozwiązując nierówność 2(x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) jest dowolną liczbą rzeczywistą.

7. Udowodnić, że nie ma liczby rzeczywistej, która byłaby rozwiązaniem nierówności 3(2 - X) - 2 > 5 - 3X.

8. Jeden bok trójkąta ma długość 5 cm, a drugi 8 cm. Jaka może być długość trzeciego boku, jeśli obwód trójkąta wynosi:

a) mniej niż 22 cm;

b) więcej niż 17 cm?

GRAFICZNE ROZWIĄZANIE NIERÓWNOŚCI Z JEDNĄ ZMIENNĄ. Dla rozwiązanie graficzne nierówności fa (x) > g (x) trzeba zbudować wykresy funkcji

y = fa (x) = g (x) i wybierz te przedziały osi odciętych, na których znajduje się wykres funkcji y = f(x) znajduje się nad wykresem funkcji y = g(x).

Przykład 17.8. Rozwiązać graficznie nierówność x 2- 4 > 3X.

Y - x* - 4

Rozwiązanie. Konstruujmy wykresy funkcji w jednym układzie współrzędnych

y = x 2 - 4 i y = Zx (ryc. 17.5). Rysunek pokazuje, że wykresy funkcji Na= x 2- 4 znajduje się nad wykresem funkcji y = 3 X Na X< -1 i x > 4, tj. zbiór rozwiązań pierwotnej nierówności jest zbiorem

(- ¥; -1) È (4; + oo) .

Odpowiedź: x О(- oo; -1) i ( 4; + oo).

Harmonogram funkcja kwadratowa Na= topór 2 + bx + c jest parabolą z gałęziami skierowanymi w górę, jeśli > 0 i w dół, jeśli A< 0. W tym przypadku możliwe są trzy przypadki: parabola przecina oś Oh(tj. równanie aha 2+ bx+ c = 0 ma dwa różne pierwiastki); parabola dotyka osi X(tj. równanie topór 2 + bx+ c = 0 ma jeden pierwiastek); parabola nie przecina osi Oh(tj. równanie aha 2+ bx+ c = 0 nie ma pierwiastków). Zatem istnieje sześć możliwych położeń paraboli, która służy jako wykres funkcji y = aha 2+b x + c(ryc. 17.6). Korzystając z tych ilustracji, możesz rozwiązać nierówności kwadratowe.

Przykład 17.9. Rozwiąż nierówność: a) 2 x gł+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.

Rozwiązanie, a) Równanie 2x 2 + 5x -3 = 0 ma dwa pierwiastki: x, = -3, x 2 = 0,5. Parabola służąca jako wykres funkcji Na= 2x 2+ 5x -3, jak pokazano na ryc. A. Nierówność 2x 2+ 5x -3 > 0 jest spełnione dla tych wartości X, dla którego punkty paraboli leżą nad osią Oh: będzie o godz X< х х albo kiedy X> x g> te. Na X< -3 lub o godz x > 0,5. Oznacza to, że zbiorem rozwiązań pierwotnej nierówności jest zbiór (- ¥; -3) i (0,5; + ¥).

b) Równanie -Зх 2 + 2x- 6 = 0 nie ma rzeczywistych pierwiastków. Parabola służąca jako wykres funkcji Na= - 3x 2 - 2x - 6, pokazany na ryc. 17.6 Nierówność -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, dla którego punkty paraboli leżą poniżej osi Oh. Ponieważ cała parabola leży poniżej osi Oh, wówczas zbiorem rozwiązań pierwotnej nierówności jest zbiór R .

NIERÓWNOŚCI ZAWIERAJĄCE ZMIENNĄ POD ZNAKIEM MODUŁU. Rozwiązując te nierówności należy pamiętać, że:

|k(x) | =

k(x), Jeśli k(x) ³ 0,

- k(x), Jeśli k(x) < 0,

W takim przypadku zakres dopuszczalnych wartości nierówności należy podzielić na przedziały, w każdym z których wyrażenia pod znakiem modułu zachowują swój znak. Następnie rozwijając moduły (biorąc pod uwagę znaki wyrażeń), należy rozwiązać nierówność na każdym przedziale i połączyć powstałe rozwiązania w zbiór rozwiązań pierwotnej nierówności.

Przykład 17.10. Rozwiąż nierówność:

|x -1| + |2- x| > 3+x.

Rozwiązanie. Punkty x = 1 i x = 2 dzielą oś liczbową (ODZ nierówności (17.9)) na trzy przedziały: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Rozwiążmy tę nierówność dla każdego z nich. Jeśli x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; zatem |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. Oznacza to, że nierówność (17.9) przyjmuje postać: 1- x + 2 - x > 3 + x, tj. X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

Jeśli 1 £ x £,2, to x - 1 ³ 0 i 2 – x ³ 0; dlatego | x- 1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. Oznacza to, że system utrzymuje:

x – 1 + 2 – x > 3 + x,

Powstały układ nierówności nie ma rozwiązań. Dlatego na przedziale [ 1; 2] zbiór rozwiązań nierówności (17.9) jest pusty.

Jeśli x > 2, to x - 1 > 0 i 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

x -1 + x – 2 > 3+x,

x > 6 lub

Łącząc rozwiązania znalezione na wszystkich częściach nierówności ODZ (17.9), otrzymujemy jej rozwiązanie - zbiór (-¥; 0) È (6; +oo).

Czasami warto skorzystać z interpretacji geometrycznej modułu liczby rzeczywistej, zgodnie z którą | | oznacza odległość punktu a linii współrzędnych od początku O, a | a - b | oznacza odległość między punktami aib na linii współrzędnych. Alternatywnie można zastosować metodę podniesienia obu stron nierówności do kwadratu.

Twierdzenie 17.5. Jeśli wyrażenia f(x) i g(x) dla dowolnego x przyjmuj tylko wartości nieujemne, a następnie nierówności fa (x) > g (x) I f (x) ² > g (x) ² są równoważne.

58. Główne wnioski § 12

W tej sekcji zdefiniowaliśmy następujące kwestie koncepcje:

Wyrażenie numeryczne;

Wartość wyrażenia numerycznego;

Wyrażenie, które nie ma znaczenia;

Wyrażenie ze zmiennymi;

Zakres definicji wyrażenia;

Identycznie równe wyrażenia;

Tożsamość;

Identyczne przekształcenie wyrażenia;

Równość liczbowa;

Nierówność numeryczna;

Równanie z jedną zmienną;

Pierwiastek równania;

Co to znaczy rozwiązać równanie;

Równania równoważne;

Nierówność z jedną zmienną;

Rozwiązywanie nierówności;

Co to znaczy rozwiązać nierówność;

Nierówności równoważne.

Ponadto zbadaliśmy twierdzenia o równoważności równań i nierówności, które są podstawą ich rozwiązania.

Znajomość definicji wszystkich powyższych pojęć i twierdzeń o równoważności równań i nierówności - warunek konieczny metodologicznie kompetentne badanie materiału algebraicznego z młodzieżą w wieku szkolnym.

Program do rozwiązywania zadań liniowych, kwadratowych i nierówności ułamkowe nie tylko daje odpowiedź na problem, ale także prowadzi szczegółowe rozwiązanie z wyjaśnieniami, tj. wyświetla proces rozwiązywania sprawdzający wiedzę z matematyki i/lub algebry.

Ponadto, jeśli w procesie rozwiązywania jednej z nierówności konieczne jest rozwiązanie np. równanie kwadratowe, wyświetli się także jego szczegółowe rozwiązanie (zawiera spoiler).

Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich w przygotowaniach do egzaminu testy, rodzicom, aby monitorowali sposoby rozwiązywania nierówności przez swoje dzieci.

Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich szkoły średnie w przygotowaniu do sprawdzianów i egzaminów, podczas sprawdzania wiedzy przed Unified State Exam, aby rodzice mogli kontrolować rozwiązanie wielu problemów z matematyki i algebry. A może wynajęcie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz to zrobić jak najszybciej? Praca domowa na matematyce lub algebrze? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowymi rozwiązaniami.

W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci, a jednocześnie wzrasta poziom edukacji w zakresie rozwiązywania problemów.

Zasady wpisywania nierówności

Dowolna litera łacińska może działać jako zmienna.
Na przykład: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$ itp.

Liczby można wprowadzać jako liczby całkowite lub ułamkowe.
Co więcej, liczby ułamkowe można wprowadzać nie tylko w postaci ułamka dziesiętnego, ale także w postaci ułamka zwykłego.

Zasady wprowadzania ułamków dziesiętnych.
W ułamkach dziesiętnych część ułamkową można oddzielić od całości kropką lub przecinkiem.
Na przykład możesz wprowadzić ułamki dziesiętne w następujący sposób: 2,5x - 3,5x^2

Zasady wpisywania ułamków zwykłych.
Tylko liczba całkowita może pełnić funkcję licznika, mianownika i części całkowitej ułamka.

Mianownik nie może być ujemny.

Przy wprowadzaniu ułamka liczbowego licznik oddziela się od mianownika znakiem dzielenia: /
Cała część oddzielone od ułamka ampersandem: &
Wejście: 3 i 1/3 - 5 i 6/5 lat +1/7 lat^2
Wynik: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 $

Podczas wprowadzania wyrażeń można używać nawiasów. W tym przypadku przy rozwiązywaniu nierówności najpierw upraszcza się wyrażenia.
Na przykład: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Wybierać właściwy znak nierówności i wpisz wielomiany w polach poniżej.

Rozwiązać układ nierówności

Odkryto, że niektóre skrypty niezbędne do rozwiązania tego problemu nie zostały załadowane i program może nie działać.
Być może masz włączonego AdBlocka.
W takim przypadku wyłącz ją i odśwież stronę.

JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Aby rozwiązanie się pojawiło, musisz włączyć JavaScript.
Poniżej znajdują się instrukcje dotyczące włączania JavaScript w Twojej przeglądarce.

Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sekunda...

Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, możesz napisać o tym w Formularzu opinii.
Nie zapomnij wskaż, które zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Układy nierówności z jedną niewiadomą. Przedziały numeryczne

W siódmej klasie zapoznałeś się z pojęciem układu i nauczyłeś się rozwiązywać układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Następnie rozważymy systemy nierówności liniowe z jedną nieznaną. Zbiory rozwiązań układów nierówności można zapisać za pomocą przedziałów (przedziałów, półprzedziałów, odcinków, półprostych). Zapoznasz się także z notacją przedziałów liczbowych.

Jeżeli w nierównościach $4x > 2000$ i $5x \leq 4000$ nieznana liczba x jest taka sama, to nierówności te rozpatrywane są łącznie i mówi się, że tworzą układ nierówności: $$ \left\ (\begin(tablica)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(tablica)\right.$$

Nawias klamrowy pokazuje, że należy znaleźć wartości x, dla których obie nierówności układu zamieniają się w prawidłowe nierówności numeryczne. Układ ten jest przykładem układu nierówności liniowych z jedną niewiadomą.

Rozwiązaniem układu nierówności z jedną niewiadomą jest wartość niewiadomej, przy której wszystkie nierówności układu zamieniają się w prawdziwe nierówności liczbowe. Rozwiązanie układu nierówności oznacza znalezienie wszystkich rozwiązań tego układu lub stwierdzenie, że ich nie ma.

Nierówności $x \geq -2 $ i $x \leq 3 $ można zapisać jako nierówność podwójną: $-2 \leq x \leq 3 $.

Rozwiązaniami układów nierówności z jedną niewiadomą są różne zbiory liczbowe. Te zestawy mają nazwy. Zatem na osi liczb zbiór liczb x taki, że $-2 \leq x \leq 3 $ jest reprezentowany przez odcinek o końcach w punktach -2 i 3.

-2

Jeśli \(a jest segmentem i jest oznaczone przez [a; b]

Jeśli \(a jest przedziałem i jest oznaczone przez (a; b)

Zbiory liczb $x$ spełniające nierówności \(a \leq x są półprzedziałami i oznaczane są odpowiednio [a; b) i (a; b]

Nazywa się segmenty, przedziały, półprzedziały i półproste przedziały numeryczne.

Zatem przedziały liczbowe można określić w postaci nierówności.

Rozwiązaniem nierówności z dwiema niewiadomymi jest para liczb (x; y), która zamienia daną nierówność w rzeczywistą nierówność liczbową. Rozwiązanie nierówności polega na znalezieniu zbioru wszystkich jej rozwiązań. Zatem rozwiązaniami nierówności x > y będą np. pary liczb (5; 3), (-1; -1), ponieważ $5 \geq 3 $ i $-1 \geq - 1$

Rozwiązywanie układów nierówności

Nauczyłeś się już, jak rozwiązywać nierówności liniowe z jedną niewiadomą. Czy wiesz co to jest układ nierówności i rozwiązanie tego układu? Dlatego proces rozwiązywania układów nierówności z jedną niewiadomą nie sprawi Ci żadnych trudności.

A jednak przypomnijmy: aby rozwiązać układ nierówności, należy rozwiązać każdą nierówność z osobna, a następnie znaleźć przecięcie tych rozwiązań.

Przykładowo pierwotny układ nierówności został zredukowany do postaci:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

Aby rozwiązać ten układ nierówności, zaznacz rozwiązanie każdej nierówności na osi liczbowej i znajdź ich przecięcie:

-2

Przecięcie to odcinek [-2; 3] - jest to rozwiązanie pierwotnego układu nierówności.

Temat lekcji: Rozwiązywanie układu nierówności liniowych z jedną zmienną

Data: _______________

Klasa: 6a, 6b, 6c

Typ lekcji: nauka nowego materiału i pierwotna konsolidacja.

Cel dydaktyczny: stworzyć warunki dla świadomości i zrozumienia bloku nowych informacji edukacyjnych.

Cele: 1) Edukacyjne: wprowadzić pojęcia: rozwiązanie systemów nierówności, równoważne systemy nierówności i ich własności; uczyć, jak zastosować te pojęcia przy rozwiązywaniu prostych układów nierówności z jedną zmienną.

2) Rozwojowe: promowanie rozwoju elementów twórczej, samodzielnej aktywności uczniów; rozwijać mowę, umiejętność myślenia, analizowania, uogólniania, wyrażania swoich myśli w sposób jasny i zwięzły.

3) Edukacyjne: kształtowanie szacunku wobec siebie nawzajem i odpowiedzialnego podejścia do pracy wychowawczej.

Zadania:

powtórzyć teorię na temat nierówności numerycznych i przedziałów liczbowych;

podać przykład problemu, który można rozwiązać za pomocą układu nierówności;

rozważyć przykłady rozwiązywania układów nierówności;

wykonywać samodzielną pracę.

Formy organizacji Działania edukacyjne: - frontalny – zbiorowy – indywidualny.

Metody: objaśniający - ilustrujący.

Plan lekcji:

1. Organizowanie czasu, motywacja, wyznaczanie celów

2. Aktualizacja opracowania tematu

3. Nauka nowego materiału

4. Pierwotna konsolidacja i zastosowanie nowego materiału

5. Wykonywanie samodzielnej pracy

7. Podsumowanie lekcji. Odbicie.

Podczas zajęć:

1. Moment organizacyjny

Nierówność może być dobrą pomocą. Trzeba tylko wiedzieć, kiedy zwrócić się do niego o pomoc. Formułowanie problemów w wielu zastosowaniach matematyki często formułuje się w języku nierówności. Na przykład wiele problemów ekonomicznych sprowadza się do badania systemów nierówności liniowych. Dlatego ważna jest umiejętność rozwiązywania układów nierówności. Co to znaczy „rozwiązać system nierówności”? Właśnie temu przyjrzymy się podczas dzisiejszej lekcji.

2. Aktualizowanie wiedzy.

Praca ustna z klasą, troje uczniów pracuje przy użyciu indywidualnych kart.

Aby przejrzeć teorię tematu „Nierówności i ich właściwości”, przeprowadzimy testy, po których nastąpi weryfikacja i rozmowa na temat teorii tego tematu. Każde zadanie testowe wymaga odpowiedzi „Tak” - rysunek, „Nie” - rysunek ____

Wynik testu powinien być jakąś liczbą.

(odpowiedź: ).

Ustal zgodność pomiędzy nierównością a przedziałem liczbowym

1. (– ; – 0,3)

2. (3; 18)

3. [ 12; + )

4. (– 4; 0]

5. [ 4; 12]

6. [ 2,5; 10)

„Matematyka uczy pokonywania trudności i poprawiania własnych błędów.” Znajdź błąd w rozwiązaniu nierówności, wyjaśnij, dlaczego popełniono błąd, zapisz prawidłowe rozwiązanie w zeszycie.

2x<8-6

x>-1

3. Studiowanie nowego materiału.

Jak myślisz, co nazywa się rozwiązaniem systemu nierówności?

(Rozwiązaniem układu nierówności z jedną zmienną jest wartość zmiennej, dla której każda z nierówności układu jest prawdziwa)

Co to znaczy „rozwiązać system nierówności”?

(Rozwiązanie układu nierówności polega na znalezieniu wszystkich jego rozwiązań lub udowodnieniu, że rozwiązań nie ma)

Co należy zrobić, aby odpowiedzieć na pytanie „jest to dana liczba

rozwiązanie układu nierówności?

(Podstaw tę liczbę do obu nierówności układu, jeśli nierówności są prawdziwe, to podana liczba jest rozwiązaniem układu nierówności, jeśli nierówności są błędne, to podana liczba nie jest rozwiązaniem układu nierówności)

Formułować algorytm rozwiązywania układów nierówności

1. Rozwiąż każdą nierówność układu.

2. Przedstaw graficznie rozwiązania każdej nierówności na linii współrzędnych.

3. Znajdź przecięcie rozwiązań nierówności na linii współrzędnych.

4. Zapisz odpowiedź w postaci przedziału liczbowego.

Rozważ przykłady:

Odpowiedź:

Odpowiedź: brak rozwiązań

4. Zabezpieczenie tematu.

Praca z podręcznikiem nr 1016, nr 1018, nr 1022

5. Niezależna praca według opcji ( Karty zadań dla uczniów na stołach)

Niezależna praca

opcja 1

Rozwiąż układ nierówności: