Dział oraz licznik i mianownik ułamka na nich wspólny dzielnik , różni się od jednego, nazywa się redukując ułamek.
Skrócić ułamek wspólny, musisz podzielić jego licznik i mianownik przez tę samą liczbę naturalną.
Liczba ta jest największym wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika danego ułamka.
Możliwe są następujące rozwiązania formularze rejestrujące decyzję Przykłady redukcji ułamków zwykłych.
Student ma prawo wyboru dowolnej formy nagrania.
Przykłady. Uprość ułamki.
Zmniejsz ułamek o 3 (podziel licznik przez 3;
podzielić mianownik przez 3).
Zmniejsz ułamek o 7.
Wskazane działania wykonujemy w liczniku i mianowniku ułamka.
Otrzymaną frakcję zmniejsza się o 5.
Skróćmy ten ułamek 4)
NA 5,7³- największy wspólny dzielnik (NWD) licznika i mianownika, na który składają się wspólne czynniki licznika i mianownika, podane do potęgi o najmniejszym wykładniku.
Rozłóżmy licznik i mianownik tego ułamka na czynniki pierwsze.
Otrzymujemy: 756=2²·3³·7 I 1176=2³·3,7².
Określ GCD (największy wspólny dzielnik) licznika i mianownika ułamka 5) .
Jest to iloczyn wspólnych czynników wziętych z najniższymi wykładnikami.
gcd(756, 1176)= 2²·3·7.
Licznik i mianownik tego ułamka dzielimy przez ich gcd, czyli przez 2²·3·7 otrzymujemy ułamek nieredukowalny 9/14
.
Lub można było zapisać rozkład licznika i mianownika w postaci iloczynu czynników pierwszych, bez korzystania z pojęcia potęgi, a następnie zmniejszyć ułamek, skreślając te same czynniki w liczniku i mianowniku. Gdy nie ma już identycznych czynników, pozostałe czynniki mnożymy osobno w liczniku i osobno w mianowniku i wynikowy ułamek wypisujemy 9/14 .
I wreszcie udało się zmniejszyć tę frakcję 5) stopniowo, stosując znaki dzielenia liczb zarówno do licznika, jak i mianownika ułamka. Pomyślmy tak: liczby 756 I 1176 kończą się liczbą parzystą, co oznacza, że obie liczby są podzielne przez 2 . Zmniejszamy ułamek przez 2 . Licznikiem i mianownikiem nowego ułamka są liczby 378 I 588 również podzielone na 2 . Zmniejszamy ułamek przez 2 . Zauważamy, że liczba 294 - nawet i 189 jest nieparzysta i redukcja o 2 nie jest już możliwa. Sprawdźmy podzielność liczb 189 I 294 NA 3 .
(1+8+9)=18 dzieli się przez 3, a (2+9+4)=15 dzieli się przez 3, stąd same liczby 189 I 294 Są podzielone na 3 . Zmniejszamy ułamek przez 3 . Dalej, 63 jest podzielna przez 3 i 98 - NIE. Przyjrzyjmy się innym czynnikom pierwszym. Obie liczby są podzielne przez 7 . Zmniejszamy ułamek przez 7 i otrzymujemy ułamek nieredukowalny 9/14 .
Aby zrozumieć, jak redukować ułamki, spójrzmy najpierw na przykład.
Skracanie ułamka oznacza dzielenie licznika i mianownika przez to samo. Zarówno 360, jak i 420 kończą się cyfrą, więc możemy zmniejszyć ten ułamek o 2. W nowym ułamku zarówno 180, jak i 210 są również podzielne przez 2, więc zmniejszamy ten ułamek o 2. W liczbach 90 i 105 suma cyfr jest podzielna przez 3, więc obie te liczby są podzielne przez 3, zmniejszamy ułamek przez 3. W nowym ułamku 30 i 35 kończą się na 0 i 5, co oznacza, że obie liczby są podzielne przez 5, więc redukujemy ułamek przez 5. Wynikowy ułamek sześciu siódmych jest nieredukowalny. To jest ostateczna odpowiedź.
Do tej samej odpowiedzi możemy dojść w inny sposób.
Zarówno 360, jak i 420 kończą się zerem, co oznacza, że są podzielne przez 10. Zmniejszamy ułamek o 10. W nowym ułamku zarówno licznik 36, jak i mianownik 42 dzielimy przez 2. Ułamek zmniejszamy o 2. W następny ułamek zarówno licznik 18, jak i mianownik 21 dzielimy przez 3, co oznacza, że zmniejszamy ułamek o 3. Doszliśmy do wyniku - sześć siódmych.
I jeszcze jedno rozwiązanie.
Następnym razem przyjrzymy się przykładom redukowania ułamków.
Wygodny i prosty kalkulator internetowy ułamki z szczegółowe rozwiązanie Może:
- Dodawaj, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków online,
- Otrzymaj gotowe rozwiązanie ułamków wraz ze zdjęciem i wygodnie je przenieś.
Wynik rozwiązywania ułamków będzie tutaj...
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Znak ułamka "/" + - *:
_usuń Wyczyść
Nasz kalkulator ułamków online umożliwia szybkie wprowadzanie danych. Aby na przykład rozwiązać ułamki zwykłe, po prostu napisz 1/2+2/7
do kalkulatora i naciśnij przycisk „ Rozwiązuj ułamki”. Kalkulator napisze do Ciebie szczegółowe rozwiązanie ułamków i wyda obraz łatwy do skopiowania.
Znaki używane do pisania w kalkulatorze
Przykład rozwiązania możesz wpisać z klawiatury lub za pomocą przycisków.
Funkcje kalkulatora ułamków online
Kalkulator ułamków może wykonywać operacje tylko na 2 ułamkach prostych. Mogą być one poprawne (licznik jest mniejszy od mianownika) lub niepoprawne (licznik jest większy od mianownika). Liczby w liczniku i mianownikach nie mogą być ujemne ani większe niż 999.Nasz kalkulator online rozwiązuje ułamki zwykłe i doprowadza odpowiedź do właściwej postaci - redukuje ułamek i w razie potrzeby wybiera całą część.
Jeśli chcesz rozwiązać ułamki ujemne, po prostu użyj właściwości minus. Przy mnożeniu i dzieleniu ułamków ujemnych minus przez minus daje plus. Oznacza to, że iloczyn i podział ułamków ujemnych jest równy iloczynowi i podziałowi tych samych ułamków dodatnich. Jeśli podczas mnożenia lub dzielenia jeden ułamek jest ujemny, po prostu usuń minus i dodaj go do odpowiedzi. Dodając ułamki ujemne, wynik będzie taki sam, jak w przypadku dodawania tych samych ułamków dodatnich. Jeśli dodasz jeden ułamek ujemny, będzie to równoznaczne z odjęciem tego samego ułamka dodatniego.
Odejmując ułamki ujemne, wynik będzie taki sam, jak gdyby je zamieniono i zamieniono na dodatnie. To znaczy minus przez minus in w tym przypadku daje plus, ale zmiana warunków nie zmienia sumy. Te same zasady stosujemy przy odejmowaniu ułamków, z których jeden jest ujemny.
Aby rozwiązać ułamki mieszane (ułamki, w których cała część) po prostu podziel całą część na ułamek. Aby to zrobić, pomnóż całą część przez mianownik i dodaj do licznika.
Jeśli chcesz rozwiązać 3 lub więcej ułamków online, powinieneś rozwiązać je jeden po drugim. Najpierw policz pierwsze 2 ułamki, następnie rozwiąż kolejny ułamek zgodnie z otrzymaną odpowiedzią i tak dalej. Wykonuj operacje pojedynczo, po 2 ułamki na raz, aż w końcu otrzymasz poprawną odpowiedź.
Jeśli będziemy musieli podzielić 497 przez 4, to podczas dzielenia zobaczymy, że 497 nie jest równomiernie podzielne przez 4, tj. pozostała część podziału pozostaje. W takich przypadkach mówi się, że jest zakończone dzielenie z resztą, a rozwiązanie jest zapisane w następujący sposób:
497: 4 = 124 (1 reszta).
Składniki dzielenia po lewej stronie równości nazywane są tak samo, jak przy dzieleniu bez reszty: 497 - dywidenda, 4 - rozdzielacz. Nazywa się wynik dzielenia z resztą niepełny prywatny. W naszym przypadku jest to liczba 124. I wreszcie ostatni element, którego nie ma zwykły podział, - reszta. W przypadkach, gdy nie ma reszty, mówi się, że jedna liczba jest dzielona przez drugą bez śladu lub całkowicie. Uważa się, że przy takim podziale reszta wynosi zero. W naszym przypadku reszta wynosi 1.
Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.
Dzielenie można sprawdzić mnożąc. Jeśli na przykład istnieje równość 64: 32 = 2, wówczas sprawdzenie można wykonać w następujący sposób: 64 = 32 * 2.
Często w przypadkach, gdy wykonywane jest dzielenie z resztą, wygodnie jest zastosować równość
a = b * n + r,
gdzie a jest dywidendą, b jest dzielnikiem, n jest ilorazem częściowym, r jest resztą.
Iloraz liczb naturalnych można zapisać w postaci ułamka zwykłego.
Licznik ułamka to dzielna, a mianownik to dzielnik.
Ponieważ licznik ułamka jest dzielną, a mianownik jest dzielnikiem, wierzą, że linia ułamka oznacza czynność dzielenia. Czasami wygodnie jest zapisać dzielenie w postaci ułamka zwykłego bez użycia znaku „:”.
Iloraz dzielenia liczb naturalnych m i n można zapisać w postaci ułamka zwykłego \(\frac(m)(n)\), gdzie licznik m jest dzielną, a mianownik n jest dzielnikiem:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Następujące zasady są prawdziwe:
Aby otrzymać ułamek \(\frac(m)(n)\), należy podzielić jednostkę na n równych części (udziałów) i wziąć m takich części.
Aby otrzymać ułamek \(\frac(m)(n)\), należy podzielić liczbę m przez liczbę n.
Aby znaleźć część całości, należy podzielić liczbę odpowiadającą całości przez mianownik i wynik pomnożyć przez licznik ułamka wyrażającego tę część.
Aby znaleźć całość z jej części, należy podzielić liczbę odpowiadającą tej części przez licznik i wynik pomnożyć przez mianownik ułamka wyrażającego tę część.
Jeśli zarówno licznik, jak i mianownik ułamka zostaną pomnożone przez tę samą liczbę (z wyjątkiem zera), wartość ułamka nie ulegnie zmianie:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną podzielone przez tę samą liczbę (z wyjątkiem zera), wartość ułamka nie ulegnie zmianie:
\(\duży \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ta właściwość nazywa się główna właściwość ułamka.
Dwie ostatnie transformacje nazywane są redukując ułamek.
Jeśli ułamki muszą być reprezentowane jako ułamki o tym samym mianowniku, wówczas nazywa się to działanie sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.
Ułamki właściwe i niewłaściwe. Liczby mieszane
Wiesz już, że ułamek można uzyskać, dzieląc całość na równe części i biorąc kilka takich części. Na przykład ułamek \(\frac(3)(4)\) oznacza trzy czwarte jednego. W wielu zadaniach opisanych w poprzednim akapicie ułamki były używane do przedstawienia części całości. Zdrowy rozsądek podpowiada, że część powinna być zawsze mniejsza od całości, ale co z ułamkami takimi jak \(\frac(5)(5)\) lub \(\frac(8)(5)\)? Oczywiste jest, że nie jest to już część jednostki. Prawdopodobnie dlatego nazywa się ułamki, których licznik jest większy lub równy mianownikowi ułamki niewłaściwe. Pozostałe ułamki, czyli ułamki, których licznik jest mniejszy od mianownika, nazywane są poprawne ułamki.
Jak wiadomo, każdy ułamek zwykły, zarówno właściwy, jak i niewłaściwy, można traktować jako wynik podzielenia licznika przez mianownik. Dlatego w matematyce, w odróżnieniu od potocznego języka, określenie „ułamek niewłaściwy” nie oznacza, że zrobiliśmy coś złego, a jedynie to, że licznik tego ułamka jest większy lub równy mianownikowi.
Jeśli liczba składa się z części całkowitej i ułamka, to taka ułamki nazywane są mieszanymi.
Na przykład:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 to część całkowita, a \(\frac(2)(3) \) to część ułamkowa.
Jeżeli licznik ułamka \(\frac(a)(b)\) jest podzielny przez liczbę naturalną n, to aby podzielić ten ułamek przez n, jego licznik należy podzielić przez tę liczbę:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Jeżeli licznik ułamka \(\frac(a)(b)\) nie jest podzielny przez liczbę naturalną n, to aby podzielić ten ułamek przez n, należy pomnożyć jego mianownik przez tę liczbę:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Zauważ, że druga zasada jest również prawdziwa, gdy licznik jest podzielny przez n. Dlatego możemy go użyć, gdy trudno na pierwszy rzut oka określić, czy licznik ułamka jest podzielny przez n, czy nie.
Działania z ułamkami. Dodawanie ułamków.
Operacje arytmetyczne można wykonywać na liczbach ułamkowych, podobnie jak na liczbach naturalnych. Przyjrzyjmy się najpierw dodawaniu ułamków. Dodawanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach jest łatwe. Znajdźmy na przykład sumę \(\frac(2)(7)\) i \(\frac(3)(7)\). Łatwo zrozumieć, że \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian.
Używając liter, regułę dodawania ułamków o podobnych mianownikach można zapisać w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Jeśli chcesz dodać ułamki za pomocą różne mianowniki, to należy je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika. Na przykład:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
W przypadku ułamków, podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, obowiązują przemienne i łączne właściwości dodawania.
Dodawanie frakcji mieszanych
Wywoływane są takie oznaczenia, jak \(2\frac(2)(3)\). frakcje mieszane. W tym przypadku wywoływana jest liczba 2 cała część ułamek mieszany, a liczba \(\frac(2)(3)\) jest jego liczbą część ułamkowa. Zapis \(2\frac(2)(3)\) czyta się następująco: „dwa i dwie trzecie”.
Dzieląc liczbę 8 przez liczbę 3, możesz otrzymać dwie odpowiedzi: \(\frac(8)(3)\) i \(2\frac(2)(3)\). Wyrażają tę samą liczbę ułamkową, tj. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Zatem ułamek niewłaściwy \(\frac(8)(3)\) jest reprezentowany jako ułamek mieszany \(2\frac(2)(3)\). W takich przypadkach mówią, że z ułamka niewłaściwego podkreślił całą część.
Odejmowanie ułamków zwykłych (liczb ułamkowych)
Odejmowanie liczb ułamkowych, podobnie jak liczb naturalnych, określa się na podstawie działania dodawania: odejmowanie drugiej od jednej liczby oznacza znalezienie takiej liczby, która po dodaniu do drugiej daje pierwszą. Na przykład:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) ponieważ \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)
Zasada odejmowania ułamków o podobnych mianownikach jest podobna do zasady dodawania takich ułamków:
Aby znaleźć różnicę między ułamkami o tych samych mianownikach, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian.
Używając liter, reguła ta jest zapisana w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Mnożenie ułamków
Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy pomnożyć jego liczniki i mianowniki i zapisać pierwszy iloczyn jako licznik, a drugi jako mianownik.
Używając liter, regułę mnożenia ułamków można zapisać w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Korzystając ze sformułowanej reguły, możesz pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, przez ułamek mieszany, a także pomnożyć ułamki mieszane. Aby to zrobić, musisz zapisać liczbę naturalną jako ułamek o mianowniku 1, ułamek mieszany - jako ułamek niewłaściwy.
Wynik mnożenia należy uprościć (jeśli to możliwe) poprzez zmniejszenie ułamka i wyodrębnienie całej części ułamka niewłaściwego.
W przypadku ułamków zwykłych, podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, obowiązują przemienne i kombinacyjne właściwości mnożenia, a także rozdzielność mnożenia względem dodawania.
Podział ułamków
Weźmy ułamek \(\frac(2)(3)\) i „odwróćmy go”, zamieniając licznik z mianownikiem. Otrzymujemy ułamek \(\frac(3)(2)\). Ten ułamek nazywa się odwracać ułamki \(\frac(2)(3)\).
Jeśli teraz „odwrócimy” ułamek \(\frac(3)(2)\), otrzymamy pierwotny ułamek \(\frac(2)(3)\). Dlatego ułamki takie jak \(\frac(2)(3)\) i \(\frac(3)(2)\) nazywane są wzajemnie odwrotne.
Na przykład ułamki \(\frac(6)(5) \) i \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) i \(\frac (18 )(7)\).
Używając liter, ułamki odwrotne można zapisać w następujący sposób: \(\frac(a)(b) \) i \(\frac(b)(a) \)
Jest jasne, że iloczyn ułamków odwrotnych jest równy 1. Na przykład: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Używając ułamków odwrotnych, możesz sprowadzić dzielenie ułamków do mnożenia.
Zasada dzielenia ułamka przez ułamek jest następująca:
Aby podzielić ułamek przez drugi, należy pomnożyć dywidendę przez odwrotność dzielnika.
Używając liter, regułę dzielenia ułamków można zapisać w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Jeśli dywidenda lub dzielnik jest Liczba naturalna lub ułamek mieszany, to aby zastosować regułę dzielenia ułamków, należy najpierw przedstawić go jako ułamek niewłaściwy.
