Przykłady:
\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(\leq0\)
\(\frac(1)(2x)\) \(+\) \(\frac(x)(x+1)\) \(<\)\(\frac{1}{2}\)
\(\frac(6)(x+1)\) \(>\) \(\frac(x^2-5x)(x+1)\) .
Przy rozwiązywaniu ułamkowych nierówności wymiernych stosuje się metodę przedziałową. Dlatego jeśli podany poniżej algorytm sprawia Ci trudności, zapoznaj się z artykułem nt .
Jak rozwiązać ułamkowe nierówności wymierne:
Algorytm rozwiązywania ułamkowych nierówności wymiernych.
notatki z lekcji 2-4 [Zvereva L.P.]
Algebra 9. klasa UMK: ALGEBRA-9. KL., A.G. MORDKOVICH.P.V. Siemionow, 2014. Poziom - nauka podstawowa Temat lekcji: Układy nierówności wymiernych Łączna liczba godzin przeznaczonych na przestudiowanie tematu - 4 godziny Miejsce lekcji w systemie zajęć z tematu Lekcja nr 2, nr 3; Nr 4. Cel lekcji: Nauczenie studentów tworzenia układów nierówności, a także nauczenie rozwiązywania gotowych układów zaproponowanych przez autora podręcznika. Cele lekcji: Wykształcenie umiejętności: swobodnego rozwiązywania analitycznego układów nierówności, a także umiejętności przeniesienia rozwiązania na prostą w celu prawidłowego zapisania odpowiedzi, samodzielnej pracy z zadanym materiałem. Planowane rezultaty: Studenci powinni potrafić rozwiązywać gotowe układy, a także tworzyć układy nierówności w oparciu o warunki tekstowe zadań i rozwiązywać opracowany model. Wsparcie techniczne lekcji: UMK: ALGEBRA-9TH CLASS, A.G. MORDKOVICH.P.V. Siemionow. Zeszyt ćwiczeń, projektor do wykonania liczenie mentalne, wydruki zadań dodatkowych dla mocnych uczniów. Dodatkowe wsparcie metodologiczne i dydaktyczne dla lekcji (możliwe są linki do zasobów internetowych): 1. Podręcznik N.N. Khlevnyuk, M.V. Iwanowa, V.G. Iwaszczenko, N.S. Melkova „Kształcenie umiejętności obliczeniowych na lekcjach matematyki, klasy 5-9” 2.G.G. Levitas „dyktanda matematyczne” klasy 7-11.3. T.G. Gulina „Symulator matematyczny” 5-11 (4 poziomy trudności) Nauczyciel matematyki: Zvereva L.P. Lekcja nr 2 Cele: Wykształcenie umiejętności rozwiązywania układu nierówności wymiernych z wykorzystaniem interpretacji geometrycznej w celu zilustrowania wyniku rozwiązania. Postęp lekcji 1. Moment organizacyjny: Przygotowanie klasy do pracy, przekazanie tematu i celu lekcji 11 Sprawdzenie pracy domowej 1. Część teoretyczna: * Co to jest zapis analityczny racjonalna nierówność* Jaki jest zapis analityczny systemu nierówności wymiernych * Co to znaczy rozwiązać system nierówności * Jaki jest wynik rozwiązania układu nierówności wymiernych. 2. Część praktyczna: *Rozwiąż na tablicy zadania, które sprawiały uczniom trudność. Podczas odrabiania zadań domowych II1 Wykonywanie ćwiczeń. 1.Powtórz metody rozkładu na czynniki wielomianu. 2. Powtórz, na czym polega metoda przedziałowa przy rozwiązywaniu nierówności. 3. Rozwiąż układ. Rozwiązanie prowadzi silny uczeń przy tablicy pod okiem nauczyciela. 1) Rozwiążmy nierówność 3x – 10 > 5x – 5; 3x – 5x> – 5 + 10; – 2х>5; X< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х>Rozwiązanie tego układu nierówności x> Odpowiedź: x> 6. Rozwiąż zadanie nr 4.10 (c) na tablicy i w zeszytach. Rozwiążmy nierówność 5x2 – 2x + 1 ≤ 0. 5x2–2x + 1 = 0; D = 4 – 20 = –16< 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 >0. 2x2 + 5x + 10 = 0; D = –55< 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >x> – 2, następnie – 2< х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р>7. 8. Powtórzenie przestudiowanego wcześniej materiału. Rozwiąż nr 2.33. Niech prędkość początkowa rowerzysty będzie wynosić x km/h, po zmniejszeniu będzie wynosić (x – 3) km/h. 15x – 45 + 6x = 1,5x(x – 3); 21x – 45 = 1,5x2 – 4,5x; 1,5x2 – 25,5x + 45 = 0 | : 1,5; wtedy x2 – 17x + 30 = 0; D = 169; x1 = 15; x2 = 2 nie spełnia znaczenia problemu. ODPOWIEDŹ: 15 km/h; 12 km/godz. IV Wniosek z lekcji: Na lekcji nauczyliśmy się rozwiązywać układy nierówności typu złożonego, szczególnie modułowo, próbowaliśmy swoich sił w samodzielnej pracy. Robienie znaków. Praca domowa: wykonaj test pracy domowej nr 1 od nr 7 do nr 10 na s. 23. 32–33, nr 4.34 (a; b), nr 4.35 (a; b). Lekcja 4 Przygotowanie do testu Cele: podsumowanie i usystematyzowanie przestudiowanego materiału, przygotowanie uczniów do testu na temat „Systemy racjonalnych nierówności”. Postęp lekcji 1. Moment organizacyjny: Przygotowanie klasy do pracy, przekazanie tematu i celów lekcja. 11.Powtórzenie studiowanego materiału. *Co to znaczy rozwiązać układ nierówności *Jaki jest wynik rozwiązania układu nierówności racjonalnych 1. Zbierz kartki z testu domowego. 2. Jakie zasady stosuje się przy rozwiązywaniu nierówności? Wyjaśnij rozwiązanie nierówności: a) 3x – 8<х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 >0; b) – 2x2 + x – 5 > 0; c) 3x2 – x + 4 ≤ 0. 4. Sformułuj definicję układu nierówności z dwiema zmiennymi. Co to znaczy rozwiązać układ nierówności? 5. Jaka jest metoda przedziałów, która jest aktywnie wykorzystywana w rozwiązywaniu nierówności wymiernych? Wyjaśnij to na przykładzie rozwiązania nierówności: (2x – 4)(3 – x) ≥ 0; I11. Ćwiczenia szkoleniowe. 1. Rozwiąż nierówność: a) 12(1 – x) ≥ 5x – (8x + 2); b) – 3x2 + 17x + 6< 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 >0, x> – 2. Nie odpowiada to ani zadaniu a), ani zadaniu b). Oznacza to, że możemy założyć, że p ≠ 2, czyli podana nierówność jest kwadratowa. a) Nierówność kwadratowa postaci ax2 + bx + c> 0 nie ma rozwiązań, jeśli a< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с>0 jest spełnione dla dowolnych wartości x, jeśli a> 0 i D< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р>IV. Podsumowanie lekcji. Musisz powtórzyć cały materiał, którego się nauczyłeś w domu i przygotować się do testu. Praca domowa: nr 1.21 (b; d), nr 2.15 (c; d); nr 4,14 (g), nr 4,28 (g); Nr 4.19 (a), nr 4.33 (d).
Przykłady:
Umieść znaki na odstępach osi liczbowej. Przypomnę zasady umieszczania znaków:
Wyznaczamy znak w skrajnym prawym przedziale - weź liczbę z tego przedziału i podstaw ją do nierówności zamiast X. Następnie określamy znaki w nawiasach i wynik mnożenia tych znaków;
Przykłady:
Wybierz wymagane interwały. Jeśli jest dostępny osobno stojący korzeń, a następnie zaznacz pole, aby nie zapomnieć o umieszczeniu go w odpowiedzi (patrz przykład poniżej).
Przykłady:
Zapisz w swojej odpowiedzi wyróżnione spacje i korzenie oznaczone flagą (jeśli występują).
Przykłady:
Odpowiedź: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪
Algebra, klasa IX UMK: A.G. Mordkovich. Algebra. 9 klasa. O 2:00 Część 1. Podręcznik; Część 2. Książka problemów; M.: Mnemosyne, 2010 Poziom nauczania: podstawowy Temat lekcji: Systemy nierówności racjonalnych. (Pierwsza lekcja na ten temat, łącznie na jego studiowanie przeznaczono 3 godziny) Lekcja na temat studiowania nowego tematu. Cel lekcji: powtórzenie rozwiązywania nierówności liniowych; wprowadzić pojęcia układu nierówności, wyjaśnić rozwiązanie najprostszych układów nierówności liniowych; rozwinąć umiejętność rozwiązywania układów nierówności liniowych o dowolnej złożoności. Cele: Edukacyjne: przestudiowanie tematu w oparciu o istniejącą wiedzę, utrwalenie umiejętności praktycznych i umiejętności rozwiązywania w efekcie układów nierówności liniowych niezależna praca studentów oraz działalność wykładowo-doradczą najlepiej przygotowanych z nich. Edukacyjne: rozwój zainteresowanie poznawcze, samodzielność myślenia, pamięć, inicjatywa uczniów poprzez zastosowanie metod komunikacyjnych i zadaniowych oraz elementów nauczania problemowego. Edukacyjne: kształtowanie umiejętności komunikacyjnych, kultura komunikacji, współpraca. Metody wykładu: - wykład z elementami konwersacji i nauczania problemowego; -samodzielna praca studentów z wiedzą teoretyczną i praktyczny materiał zgodnie z podręcznikiem; -rozwój kultury formalizowania rozwiązań układów nierówności liniowych. Oczekiwane rezultaty: uczniowie zapamiętają, jak rozwiązywać nierówności liniowe, zaznacz przecięcie rozwiązań nierówności na osi liczbowej, naucz się rozwiązywać układy nierówności liniowych. Wyposażenie lekcji: tablica szkolna, Rozdawać(aplikacja), podręczniki, zeszyty ćwiczeń. Treść lekcji: 1. Organizowanie czasu. Sprawdzanie pracy domowej. 2. Aktualizowanie wiedzy. Uczniowie wraz z nauczycielem wypełniają na tablicy tabelę: Odstęp między figurami nierówności Poniżej znajduje się gotowa tabela: Odstęp między figurami nierówności 3. Dyktando matematyczne. Przygotowanie do postrzegania nowego tematu. 1. Korzystając z przykładowej tabeli, rozwiąż nierówności: Opcja 1 Opcja 2 Opcja 3 Opcja 4 2. Rozwiąż nierówności, narysuj dwa obrazki na tej samej osi i sprawdź, czy liczba 5 jest rozwiązaniem dwóch nierówności: Opcja 1 Opcja 2 Opcja 3 Opcja 4 4. Wyjaśnienie nowego materiału . Objaśnienie nowego materiału (s. 40-44): 1. Zdefiniuj układ nierówności (s. 41). Definicja: Kilka nierówności z jedną zmienną x tworzy układ nierówności, jeśli zadaniem jest znalezienie wszystkich takich wartości zmiennej, dla których każda z podanych nierówności ze zmienną zamienia się w poprawną nierówność liczbową. 2. Wprowadzić pojęcie rozwiązania szczegółowego i ogólnego układu nierówności. Dowolną taką wartość x nazywamy rozwiązaniem (lub konkretnym rozwiązaniem) układu nierówności. Zbiór wszystkich szczegółowych rozwiązań systemu nierówności reprezentuje ogólne rozwiązanie systemu nierówności. 3. Rozważ w podręczniku rozwiązanie systemów nierówności według przykładu nr 3 (a, b, c). 4. Podsumuj rozumowanie, rozwiązując system:. 5. Konsolidacja nowego materiału. Rozwiąż zadania z nr 4.20 (a, b), 4.21 (a, b). 6. Praca próbna Sprawdź przyswojenie nowego materiału aktywnie pomagając w rozwiązywaniu zadań według opcji: Opcja 1 a, c nr 4.6, 4.8 Opcja 2 b, d nr 4.6, 4.8 7. Podsumowanie. Refleksja Jakich nowych pojęć nauczyłeś się dzisiaj? Czy nauczyłeś się znajdować rozwiązania układu nierówności liniowych? W czym odniosłeś największy sukces, jakie aspekty udało Ci się osiągnąć najlepiej? 8. Praca domowa: nr 4,5, 4,7.; teoria w podręczniku s. 40-44; Dla uczniów ze zwiększoną motywacją nr 4.23 (c, d). Aplikacja. Opcja 1. Odstęp między rysowaniem nierówności 2.Rozwiąż nierówności, narysuj dwa rysunki na tej samej osi i sprawdź, czy liczba 5 jest rozwiązaniem dwóch nierówności: Rysowanie nierówności Odpowiedź na pytanie. Opcja 2. Odstęp między rysowaniem nierówności 2. Rozwiąż nierówności, narysuj dwa rysunki na tej samej osi i sprawdź, czy liczba 5 jest rozwiązaniem dwóch nierówności: Rysowanie nierówności Odpowiedź na pytanie. Opcja 3. Odstęp między rysowaniem nierówności 2. Rozwiąż nierówności, narysuj dwa rysunki na tej samej osi i sprawdź, czy liczba 5 jest rozwiązaniem dwóch nierówności: Rysowanie nierówności Odpowiedź na pytanie. Opcja 4. Odstęp między rysowaniem nierówności 2. Rozwiąż nierówności, narysuj dwa rysunki na tej samej osi i sprawdź, czy liczba 5 jest rozwiązaniem dwóch nierówności: Rysowanie nierówności Odpowiedź na pytanie.
Pobierz: Algebra 9kl - notatki [Bezdenezhnykh L.V.].docx
