§ 1 การเลือกรากสมการในสถานการณ์จริง

ลองพิจารณาสถานการณ์จริงนี้:

อาจารย์และผู้ฝึกหัดร่วมกันสร้างชิ้นส่วนคัสตอม 400 ชิ้น ยิ่งไปกว่านั้น อาจารย์ทำงาน 3 วัน และนักเรียน 2 วัน แต่ละคนทำมากี่ชิ้นครับ?

มาสร้างแบบจำลองพีชคณิตของสถานการณ์นี้กันดีกว่า ให้นายผลิตชิ้นส่วนภายใน 1 วัน และนักศึกษาอยู่ที่รายละเอียด จากนั้นอาจารย์จะทำ 3 ส่วนใน 3 วัน และนักเรียนจะทำ 2 ส่วนใน 2 วัน พวกเขาจะผลิต 3 + 2 ส่วนด้วยกัน เนื่องจากตามเงื่อนไข มีการผลิตชิ้นส่วนทั้งหมด 400 ชิ้น เราจึงได้สมการ:

สมการผลลัพธ์เรียกว่าสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัว ที่นี่เราต้องค้นหาคู่ของตัวเลข x และ y ซึ่งสมการจะอยู่ในรูปของความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แท้จริง โปรดทราบว่าถ้า x = 90, y = 65 เราจะได้ความเท่าเทียมกัน:

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

เนื่องจากได้รับความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง คู่ของตัวเลข 90 และ 65 จะเป็นคำตอบของสมการนี้ แต่วิธีแก้ปัญหาที่พบไม่ใช่เพียงวิธีเดียว ถ้า x = 96 และ y = 56 เราจะได้ความเท่าเทียมกัน:

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

นี่เป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แท้จริงด้วย ซึ่งหมายความว่าคู่ของตัวเลข 96 และ 56 ก็เป็นคำตอบของสมการนี้เช่นกัน แต่คู่ของตัวเลข x = 73 และ y = 23 จะไม่ใช่คำตอบของสมการนี้ ในความเป็นจริง 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 จะให้ค่าความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ไม่ถูกต้องแก่เรา 265 = 400 ควรสังเกตว่าหากเราพิจารณาสมการที่สัมพันธ์กับสถานการณ์จริงนี้ ก็จะมีคู่ของตัวเลขที่ การแก้สมการนี้จะไม่ใช่การแก้สมการ ตัวอย่างเช่น ตัวเลขสองสามตัว:

x = 200 และ y = -100

เป็นวิธีแก้สมการ แต่นักเรียนไม่สามารถสร้างส่วน -100 ได้ ดังนั้นตัวเลขคู่ดังกล่าวจึงไม่สามารถตอบคำถามของโจทย์ได้ ดังนั้น ในสถานการณ์จริงแต่ละสถานการณ์ จึงจำเป็นต้องใช้แนวทางที่สมเหตุสมผลในการเลือกรากของสมการ

มาสรุปผลลัพธ์แรกกัน:

สมการในรูปแบบ ax + by + c = 0 โดยที่ a, b, c เป็นตัวเลขใดๆ เรียกว่าสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว

วิธีแก้สมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัวคือคู่ของตัวเลขที่สอดคล้องกับ x และ y ซึ่งสมการจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แท้จริง

§ 2 กราฟของสมการเชิงเส้น

การบันทึกคู่นี้ (x;y) ทำให้เรานึกถึงความเป็นไปได้ที่จะพรรณนาว่ามันเป็นจุดที่มีพิกัด xy y บนระนาบ ซึ่งหมายความว่าเราสามารถรับแบบจำลองทางเรขาคณิตของสถานการณ์เฉพาะได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการ:

2x + y - 4 = 0

ลองเลือกคู่ตัวเลขหลายคู่ที่จะแก้สมการนี้และสร้างจุดด้วยพิกัดที่พบ ให้สิ่งเหล่านี้เป็นจุด:

A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6)

โปรดทราบว่าจุดทั้งหมดอยู่บนเส้นเดียวกัน เส้นนี้เรียกว่ากราฟของสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัว มันเป็นแบบจำลองกราฟิก (หรือเรขาคณิต) ของสมการที่กำหนด

ถ้าคู่ของตัวเลข (x;y) เป็นคำตอบของสมการ

ax + vy + c = 0 แล้วจุด M(x;y) อยู่ในกราฟของสมการ เราอาจพูดในทางกลับกัน: ถ้าจุด M(x;y) อยู่ในกราฟของสมการ ax + y + c = 0 แล้วคู่ของตัวเลข (x;y) จะเป็นคำตอบของสมการนี้

จากหลักสูตรเรขาคณิตเรารู้:

ในการสร้างเส้นตรง คุณต้องมี 2 จุด ดังนั้นหากต้องการสร้างกราฟของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว ก็เพียงพอที่จะรู้คำตอบเพียง 2 คู่เท่านั้น แต่การคาดเดารากไม่ใช่ขั้นตอนที่สะดวกหรือมีเหตุผลเสมอไป คุณสามารถปฏิบัติตามกฎอื่นได้ เนื่องจากค่าแอบซิสซาของจุด (ตัวแปร x) เป็นตัวแปรอิสระ คุณจึงสามารถให้ค่าใดๆ ก็ได้ตามสะดวก เมื่อแทนตัวเลขนี้ลงในสมการ เราจะพบค่าของตัวแปร y

ตัวอย่างเช่น ให้สมการดังนี้:

ให้ x = 0 แล้วเราจะได้ 0 - y + 1 = 0 หรือ y = 1 ซึ่งหมายความว่าถ้า x = 0 แล้ว y = 1 คู่ตัวเลข (0;1) คือคำตอบของสมการนี้ มาตั้งค่าตัวแปร x: x = 2 อีกค่าหนึ่ง จากนั้นเราจะได้ 2 - y + 1 = 0 หรือ y = 3 คู่ของตัวเลข (2;3) ก็เป็นคำตอบของสมการนี้เช่นกัน จากจุดสองจุดที่พบ ก็สามารถสร้างกราฟของสมการ x - y + 1 = 0 ได้แล้ว

คุณสามารถทำได้: ขั้นแรกกำหนดค่าเฉพาะให้กับตัวแปร y จากนั้นจึงคำนวณค่าของ x

§ 3 ระบบสมการ

หาสอง ตัวเลขธรรมชาติซึ่งผลรวมคือ 11 และผลต่างคือ 1

เพื่อแก้ปัญหานี้ อันดับแรกเราต้องสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (กล่าวคือ แบบจำลองพีชคณิต) ให้เลขตัวแรกเป็น x และเลขตัวที่สอง y จากนั้นผลรวมของตัวเลข x + y = 11 และผลต่างของตัวเลข x - y = 1 เนื่องจากสมการทั้งสองเกี่ยวข้องกับตัวเลขเดียวกัน เงื่อนไขเหล่านี้จึงต้องเป็นไปตามพร้อมกัน โดยปกติในกรณีเช่นนี้ จะใช้บันทึกพิเศษ สมการจะถูกเขียนไว้ด้านล่างอีกสมการหนึ่งและรวมกับเครื่องหมายปีกกา

บันทึกดังกล่าวเรียกว่าระบบสมการ

ทีนี้มาสร้างชุดคำตอบให้กับแต่ละสมการกัน เช่น กราฟของแต่ละสมการ ลองใช้สมการแรก:

ถ้า x = 4 แล้ว y = 7 ถ้า x = 9 แล้ว y = 2

ลองลากเส้นตรงผ่านจุด (4;7) และ (9;2) กัน

ลองใช้สมการที่สอง x - y = 1 ถ้า x = 5 แล้ว y = 4 ถ้า x = 7 แล้ว y = 6 เรายังวาดเส้นตรงผ่านจุด (5;4) และ (7;6 ). เราได้รับแบบจำลองทางเรขาคณิตของปัญหา คู่ของตัวเลขที่เราสนใจ (x;y) จะต้องเป็นคำตอบของสมการทั้งสอง ในรูปเราเห็นจุดเดียวที่อยู่บนเส้นทั้งสอง นี่คือจุดตัดของเส้น

พิกัดคือ (6;5) ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาคือ: หมายเลขแรกที่ต้องการคือ 6 หมายเลขที่สองคือ 5

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้:

1. Mordkovich A.G. พีชคณิตเกรด 7 ใน 2 ส่วนตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับ สถาบันการศึกษา/ เอ.จี. มอร์ดโควิช. – ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 10 ปรับปรุง – มอสโก, “Mnemosyne”, 2007
2. Mordkovich A.G. พีชคณิตเกรด 7 ใน 2 ส่วนตอนที่ 2 หนังสือปัญหาสำหรับสถาบันการศึกษา / [A.G. มอร์ดโควิชและคนอื่น ๆ]; เรียบเรียงโดย A.G. Mordkovich - ฉบับที่ 10 แก้ไข - มอสโก, "Mnemosyne", 2550
3. ของเธอ. Tulchinskaya พีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 การสำรวจแบบสายฟ้าแลบ: คู่มือสำหรับนักเรียนของสถาบันการศึกษาทั่วไป ฉบับที่ 4 แก้ไขและขยาย มอสโก "Mnemosyne", 2551
4. Alexandrova L.A. พีชคณิตเกรด 7 ใจความ งานทดสอบวี แบบฟอร์มใหม่สำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป เรียบเรียงโดย A.G. Mordkovich, มอสโก, “Mnemosyne”, 2011
5. อเล็กซานโดรวา แอล.เอ. พีชคณิตเกรด 7 ทำงานอิสระสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป เรียบเรียงโดย A.G. Mordkovich - ฉบับที่ 6, โปรเฟสเซอร์, มอสโก, “ Mnemosyne”, 2010

เรื่อง:ฟังก์ชันเชิงเส้น

บทเรียน:สมการเชิงเส้นด้วยสองตัวแปรและกราฟของมัน

เราเริ่มคุ้นเคยกับแนวคิดของแกนพิกัดและระนาบพิกัด เรารู้ว่าแต่ละจุดบนระนาบกำหนดตัวเลขคู่หนึ่ง (x; y) โดยไม่ซ้ำกัน โดยตัวเลขแรกคือค่าสัมบูรณ์ของจุด และตัวที่สองคือเลขลำดับ

เรามักจะพบสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัวบ่อยครั้งมาก ซึ่งคำตอบคือคู่ของตัวเลขที่สามารถแสดงบนระนาบพิกัดได้

สมการของแบบฟอร์ม:

โดยที่ a, b, c เป็นตัวเลข และ

เรียกว่าสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร x และ y สองตัว การแก้สมการดังกล่าวจะเป็นคู่ของตัวเลข x และ y ใดๆ แทนที่ด้วยสมการเราจะได้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

ตัวเลขคู่หนึ่งจะแสดงบนระนาบพิกัดเป็นจุด

สำหรับสมการดังกล่าว เราจะเห็นคำตอบมากมาย กล่าวคือ ตัวเลขหลายคู่ และจุดที่สอดคล้องกันทั้งหมดจะอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวกัน

ลองดูตัวอย่าง:

หากต้องการหาคำตอบของสมการนี้ คุณต้องเลือกคู่ตัวเลข x และ y ที่สอดคล้องกัน:

อนุญาต จากนั้นสมการดั้งเดิมจะกลายเป็นสมการที่ไม่ทราบค่า:

,

นั่นคือตัวเลขคู่แรกที่เป็นคำตอบของสมการที่กำหนด (0; 3) เราได้จุด A(0; 3)

อนุญาต . เราได้สมการดั้งเดิมที่มีตัวแปรตัวเดียว: จากตรงนี้เราได้จุด B(3; 0)

ใส่คู่ของตัวเลขลงในตาราง:

ลองพล็อตจุดบนกราฟแล้ววาดเส้นตรง:

โปรดทราบว่าจุดใดๆ บนเส้นตรงจะเป็นคำตอบของสมการที่กำหนด มาตรวจสอบกัน - หาจุดที่มีพิกัดแล้วใช้กราฟเพื่อค้นหาพิกัดที่สอง เป็นที่ชัดเจนว่า ณ จุดนี้ ลองแทนตัวเลขคู่นี้ลงในสมการกัน เราได้ 0=0 - ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าจุดที่วางอยู่บนเส้นตรงคือวิธีแก้ปัญหา

ในตอนนี้ เราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าจุดใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นที่สร้างขึ้นคือคำตอบของสมการ ดังนั้นเราจึงยอมรับว่าสิ่งนี้เป็นจริงและจะพิสูจน์ในภายหลัง

ตัวอย่างที่ 2 - สร้างกราฟสมการ:

มาสร้างตารางกัน เราต้องการเพียงสองจุดในการสร้างเส้นตรง แต่เราจะใช้จุดที่สามเพื่อควบคุม:

ในคอลัมน์แรกเราใช้อันที่สะดวกเราจะพบได้จาก:

, ,

ในคอลัมน์ที่สอง เราใช้อันที่สะดวก มาหา x:

, , ,

มาตรวจสอบและค้นหา:

, ,

มาสร้างกราฟกันเถอะ:

ลองคูณสมการที่กำหนดด้วยสอง:

จากการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว ชุดของคำตอบจะไม่เปลี่ยนแปลง และกราฟจะยังคงเหมือนเดิม

สรุป: เราเรียนรู้ที่จะแก้สมการด้วยตัวแปรสองตัวและสร้างกราฟ เราเรียนรู้ว่ากราฟของสมการดังกล่าวเป็นเส้นตรง และจุดใดๆ บนเส้นนี้คือคำตอบของสมการ

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. และอื่น ๆ พีชคณิต 7 ฉบับที่ 6 อ. : การตรัสรู้. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. พีชคณิต 7 ม.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. และอื่นๆ พีชคณิต 7.ม.: ตรัสรู้. 2549

2. พอร์ทัลสำหรับการดูแบบครอบครัว ()

ภารกิจที่ 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. พีชคณิต 7 หมายเลข 960 ข้อ 210;

ภารกิจที่ 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. พีชคณิต 7 หมายเลข 961 ข้อ 210;

ภารกิจที่ 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. พีชคณิต 7 หมายเลข 962 ข้อ 210;

ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ที่เราเผชิญหน้ากันเป็นครั้งแรก สมการที่มีตัวแปรสองตัวแต่มีการศึกษาเฉพาะในบริบทของระบบสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัวเท่านั้น ด้วยเหตุนี้มันจึงหลุดไปจากสายตา ทั้งบรรทัดปัญหาที่มีเงื่อนไขบางประการมาใช้กับสัมประสิทธิ์ของสมการที่จำกัดเงื่อนไขเหล่านั้น นอกจากนี้ วิธีการแก้ปัญหาเช่น “แก้สมการในจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนเต็ม” ก็จะถูกละเว้นเช่นกัน แม้ว่าใน สื่อการสอบ Unified Stateและต่อไป การสอบเข้าปัญหาประเภทนี้เริ่มมีมากขึ้นเรื่อยๆ

สมการใดจะเรียกว่าสมการที่มีตัวแปรสองตัว

ตัวอย่างเช่น สมการ 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 หรือ xy = 12 เป็นสมการที่อยู่ในตัวแปรสองตัว

พิจารณาสมการ 2x – y = 1 มันจะเป็นจริงเมื่อ x = 2 และ y = 3 ดังนั้นค่าตัวแปรคู่นี้จึงเป็นคำตอบของสมการที่เป็นปัญหา

ดังนั้นการแก้สมการใด ๆ ที่มีตัวแปรสองตัวคือชุดของคู่อันดับ (x; y) ซึ่งเป็นค่าของตัวแปรที่เปลี่ยนสมการนี้ให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง

สมการที่มีไม่ทราบค่าสองตัวสามารถ:

ก) มีทางออกหนึ่งทางตัวอย่างเช่น สมการ x 2 + 5y 2 = 0 มี การตัดสินใจเท่านั้น (0; 0);

ข) มีหลายโซลูชั่นตัวอย่างเช่น (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 มีคำตอบ 4 แบบ: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2); - 2);

วี) ไม่มีวิธีแก้ปัญหาตัวอย่างเช่น สมการ x 2 + y 2 + 1 = 0 ไม่มีคำตอบ

ช) มีทางแก้มากมายนับไม่ถ้วนตัวอย่างเช่น x + y = 3 ผลเฉลยของสมการนี้จะเป็นตัวเลขที่ผลรวมเท่ากับ 3 ชุดคำตอบของสมการนี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบ (k; 3 – k) โดยที่ k เป็นจำนวนจริงใดๆ ตัวเลข.

วิธีการหลักในการแก้สมการที่มีตัวแปรสองตัวคือวิธีการที่ใช้นิพจน์การแยกตัวประกอบ การแยกกำลังสองสมบูรณ์ โดยใช้คุณสมบัติของสมการกำลังสอง นิพจน์ที่จำกัด และวิธีการประมาณค่า โดยปกติสมการจะถูกแปลงเป็นรูปแบบที่สามารถหาระบบในการค้นหาสิ่งที่ไม่ทราบได้

การแยกตัวประกอบ

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการ: xy – 2 = 2x – y

สารละลาย.

เราจัดกลุ่มคำศัพท์ตามวัตถุประสงค์ของการแยกตัวประกอบ:

(xy + y) – (2x + 2) = 0 จากแต่ละวงเล็บ เราจะหาตัวประกอบร่วมออกมา:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0 เรามี:

y = 2, x – จำนวนจริงใดๆ หรือ x = -1, y – จำนวนจริงใดๆ

ดังนั้น, คำตอบคือทุกคู่ของแบบฟอร์ม (x; 2), x € R และ (-1; y), y € R

ความเท่ากันของจำนวนที่ไม่เป็นลบเป็นศูนย์

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการ: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y)

สารละลาย.

การจัดกลุ่ม:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0 ตอนนี้แต่ละวงเล็บสามารถพับได้โดยใช้สูตรผลต่างกำลังสอง

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0

ผลรวมของนิพจน์ที่ไม่ใช่เชิงลบสองตัวจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ 3x – 2 = 0 และ 2y – 3 = 0

ซึ่งหมายความว่า x = 2/3 และ y = 3/2

คำตอบ: (2/3; 3/2)

วิธีการประมาณค่า

ตัวอย่างที่ 3

แก้สมการ: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2

สารละลาย.

ในแต่ละวงเล็บเราเลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2 ลองประมาณกัน ความหมายของสำนวนในวงเล็บ

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 และ (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 ดังนั้นด้านซ้ายของสมการจะมีค่าอย่างน้อย 2 เสมอ ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นได้หาก:

(x + 1) 2 + 1 = 1 และ (y – 2) 2 + 2 = 2 ซึ่งหมายถึง x = -1, y = 2

คำตอบ: (-1; 2)

มาทำความรู้จักกับวิธีอื่นในการแก้สมการด้วยตัวแปรสองตัวในระดับที่สอง วิธีนี้ประกอบด้วยการรักษาสมการดังนี้ กำลังสองเทียบกับตัวแปรบางตัว.

ตัวอย่างที่ 4

แก้สมการ: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0

สารละลาย.

ลองแก้สมการเป็นสมการกำลังสองของ x กัน เรามาค้นหาความแตกต่างกัน:

ง = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . สมการจะมีคำตอบก็ต่อเมื่อ D = 0 นั่นคือถ้า y = 4 เราแทนค่า y ลงในสมการดั้งเดิมแล้วพบว่า x = 3

คำตอบ: (3; 4)

บ่อยครั้งอยู่ในสมการที่มีสิ่งไม่รู้สองตัวที่ระบุ ข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวแปร.

ตัวอย่างที่ 5

แก้สมการด้วยจำนวนเต็ม: x 2 + 5y 2 = 20x + 2

สารละลาย.

ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ x 2 = -5y 2 + 20x + 2 ทางด้านขวาของสมการเมื่อหารด้วย 5 จะได้เศษเป็น 2 ดังนั้น x 2 จึงหารด้วย 5 ไม่ลงตัว แต่กำลังสองของ a จำนวนที่หารด้วย 5 ไม่ลงตัวจะให้เศษเป็น 1 หรือ 4 ดังนั้น ความเท่าเทียมกันจึงเป็นไปไม่ได้และไม่มีวิธีแก้

คำตอบ: ไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 6

แก้สมการ: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3

สารละลาย.

เรามาเน้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์ในแต่ละวงเล็บ:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3 ทางด้านซ้ายของสมการมักจะมากกว่าหรือเท่ากับ 3 เสมอ หากมีความเท่าเทียมกัน |x| – 2 = 0 และ y + 3 = 0 ดังนั้น x = ± 2, y = -3

คำตอบ: (2; -3) และ (-2; -3)

ตัวอย่างที่ 7

สำหรับจำนวนเต็มลบทุกคู่ (x;y) จะเป็นไปตามสมการ
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, คำนวณผลรวม (x + y) โปรดระบุจำนวนเงินที่น้อยที่สุดในคำตอบของคุณ

สารละลาย.

มาเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37 เนื่องจาก x และ y เป็นจำนวนเต็ม กำลังสองของมันจึงเป็นจำนวนเต็มด้วย เราจะได้ผลรวมของกำลังสองของจำนวนเต็มสองตัวเท่ากับ 37 ถ้าเราบวก 1 + 36 ดังนั้น:

(x – y) 2 = 36 และ (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 และ (y + 2) 2 = 36

เมื่อแก้ระบบเหล่านี้และพิจารณาว่า x และ y เป็นลบ เราจะพบวิธีแก้ปัญหา: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8)

คำตอบ: -17

อย่าสิ้นหวังหากคุณมีปัญหาในการแก้สมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว ด้วยการฝึกฝนเพียงเล็กน้อย คุณก็จะจัดการกับสมการต่างๆ ได้

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่ทราบวิธีแก้สมการในตัวแปรสองตัวใช่ไหม?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

คำแนะนำ

วิธีการทดแทนแสดงตัวแปรหนึ่งและแทนที่ลงในสมการอื่น คุณสามารถแสดงตัวแปรใดๆ ได้ตามดุลยพินิจของคุณ ตัวอย่างเช่น เขียน y จากสมการที่สอง:
x-y=2 => y=x-2จากนั้นแทนที่ทุกอย่างลงในสมการแรก:
2x+(x-2)=10 ย้ายทุกสิ่งโดยไม่มี “x” ไปทางด้านขวาแล้วคำนวณ:
2x+x=10+2
3x=12 ถัดไป เพื่อให้ได้ x ให้หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 3:
x=4 ดังนั้น คุณพบ “x” ค้นหา "ย. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ "x" ลงในสมการที่คุณใช้แทน "y":
ย=x-2=4-2=2
ย=2.

ทำการตรวจสอบ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสมการ:
2*4+2=10
4-2=2
พบสิ่งแปลกปลอมอย่างถูกต้องแล้ว!

วิธีบวกหรือลบสมการ กำจัดตัวแปรใดๆ ได้ทันที ในกรณีของเรา การใช้ “y” จะง่ายกว่า
เนื่องจากใน "y" มีเครื่องหมาย "+" และในเครื่องหมายที่สอง "-" คุณจึงสามารถดำเนินการเพิ่มเติมได้เช่น พับด้านซ้ายไปทางซ้าย และพับด้านขวาไปทางขวา:
2x+y+(x-y)=10+2แปลง:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4แทนที่ “x” ลงในสมการใดๆ แล้วหา “y”:
2*4+y=10
8+y=10
ย=10-8
y=2โดยวิธีที่ 1 คุณจะเห็นว่าพบได้อย่างถูกต้อง

หากไม่มีตัวแปรที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน จำเป็นต้องแปลงสมการเล็กน้อย
ในสมการแรกเรามี “2x” และสมการที่สองเรามีแค่ “x” เพื่อให้ x ลดลงระหว่างการบวก ให้คูณสมการที่สองด้วย 2:
x-y=2
2x-2y=4จากนั้นลบส่วนที่สองออกจากสมการแรก:
2x+y-(2x-2y)=10-4 โปรดทราบว่าหากมีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ หลังจากเปิดแล้ว ให้เปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
หา y=2x โดยแสดงจากสมการใดๆ เช่น
x=4

วิดีโอในหัวข้อ

เคล็ดลับ 2: วิธีแก้สมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัว

สมการเขียนในรูปแบบทั่วไป ax+bу+c=0 เรียกว่าสมการเชิงเส้นที่มีสอง ตัวแปร. สมการดังกล่าวประกอบด้วยวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์ ดังนั้นในปัญหาจะมีการเสริมด้วยบางสิ่งเสมอ - สมการอื่นหรือเงื่อนไขจำกัด ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขที่ได้จากปัญหา ให้แก้สมการเชิงเส้นด้วยสอง ตัวแปรควร วิธีทางที่แตกต่าง.

คุณจะต้องการ

• - สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว
• - สมการที่สองหรือเงื่อนไขเพิ่มเติม

คำแนะนำ

เมื่อกำหนดระบบสมการเชิงเส้นสองสมการ ให้แก้ดังนี้ เลือกสมการอันใดอันหนึ่งซึ่งมีสัมประสิทธิ์อยู่ ตัวแปรเล็กลงและแสดงตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง เช่น x จากนั้นแทนค่าที่มี y นี้ลงในสมการที่สอง ในสมการผลลัพธ์จะมีตัวแปร y เพียงตัวเดียว ให้ย้ายทุกส่วนที่มี y ไปทางซ้าย และส่วนที่ว่างไปทางขวา ค้นหา y และแทนที่ลงในสมการดั้งเดิมใดๆ เพื่อหา x

มีอีกวิธีหนึ่งในการแก้ระบบสมการสองสมการ คูณสมการหนึ่งด้วยตัวเลขเพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง เช่น x เท่ากันในทั้งสองสมการ จากนั้นลบสมการอันหนึ่งออกจากอีกสมการหนึ่ง (หากด้านขวามือไม่เท่ากับ 0 อย่าลืมลบด้านขวามือด้วยวิธีเดียวกัน) คุณจะเห็นว่าตัวแปร x หายไปและเหลือเพียงตัวแปร y เพียงตัวเดียว แก้สมการผลลัพธ์ และแทนที่ค่าที่พบของ y ลงในความเท่าเทียมกันดั้งเดิมใดๆ หาเอ็กซ์

วิธีที่สามในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการคือแบบกราฟิก วาดระบบพิกัดและกราฟเส้นตรงสองเส้นที่มีสมการอยู่ในระบบของคุณ ในการดำเนินการนี้ให้แทนที่ค่า x สองค่าใด ๆ ลงในสมการและค้นหาค่า y ที่สอดคล้องกันซึ่งจะเป็นพิกัดของจุดที่เป็นของเส้น วิธีที่สะดวกที่สุดในการค้นหาจุดตัดกับแกนพิกัดคือการแทนที่ค่า x=0 และ y=0 พิกัดของจุดตัดกันของสองเส้นนี้จะเป็นภารกิจ

หากมีสมการเชิงเส้นเพียงสมการเดียวในเงื่อนไขของปัญหา คุณจะได้รับเงื่อนไขเพิ่มเติมซึ่งคุณสามารถใช้หาวิธีแก้ปัญหาได้ อ่านปัญหาอย่างละเอียดเพื่อค้นหาเงื่อนไขเหล่านี้ ถ้า ตัวแปร x และ y ระบุระยะทาง ความเร็ว น้ำหนัก คุณสามารถตั้งค่าขีดจำกัด x≥0 และ y≥0 ได้ตามใจชอบ ค่อนข้างเป็นไปได้ที่ x หรือ y ซ่อนจำนวนแอปเปิ้ล ฯลฯ – แล้วค่าจะเป็นได้เพียง . ถ้า x คืออายุของลูกชาย ก็ชัดเจนว่าเขาไม่สามารถมีอายุมากกว่าพ่อได้ ดังนั้นให้ระบุสิ่งนี้ในเงื่อนไขของปัญหา

แหล่งที่มา:

• วิธีแก้สมการด้วยตัวแปรตัวเดียว

ด้วยตัวมันเอง สมการกับสาม ไม่ทราบมีคำตอบมากมาย ส่วนใหญ่มักจะเสริมด้วยสมการหรือเงื่อนไขอีกสองข้อ แนวทางการตัดสินใจจะขึ้นอยู่กับข้อมูลเริ่มต้นเป็นส่วนใหญ่

คุณจะต้องการ

• - ระบบสมการสามสมการที่มีสามไม่ทราบ

คำแนะนำ

ถ้าสองในสามระบบมีเพียงสองในสามของระบบที่ไม่รู้จัก ให้พยายามแสดงตัวแปรบางตัวในรูปของตัวแปรอื่นๆ และแทนที่ตัวแปรเหล่านั้นเป็น สมการกับสาม ไม่ทราบ. เป้าหมายของคุณในกรณีนี้คือทำให้เป็นเรื่องปกติ สมการกับบุคคลที่ไม่รู้จัก หากเป็นเช่นนั้น วิธีแก้ไขเพิ่มเติมก็ค่อนข้างง่าย - แทนที่ค่าที่พบลงในสมการอื่นแล้วค้นหาค่าที่ไม่ทราบอื่นๆ ทั้งหมด

ระบบสมการบางระบบสามารถลบออกจากสมการหนึ่งด้วยอีกสมการหนึ่งได้ ดูว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะคูณตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งเพื่อยกเลิกค่าที่ไม่รู้จักสองตัวพร้อมกัน หากมีโอกาสให้ใช้ประโยชน์จากมัน เป็นไปได้มากว่าการแก้ปัญหาครั้งต่อไปจะไม่ใช่เรื่องยาก โปรดจำไว้ว่าเมื่อคูณด้วยตัวเลข คุณต้องคูณทั้งด้านซ้ายและด้านขวา ในทำนองเดียวกัน เมื่อลบสมการ คุณต้องจำไว้ว่าจะต้องลบทางด้านขวามือด้วย

หากวิธีการก่อนหน้านี้ไม่ช่วยให้ใช้ ในลักษณะทั่วไปคำตอบของสมการใดๆ ที่มีสาม ไม่ทราบ. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เขียนสมการใหม่ในรูปแบบ a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 ตอนนี้สร้างเมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ x (A) เมทริกซ์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก (X) และเมทริกซ์ของตัวแปรอิสระ (B) โปรดทราบว่าโดยการคูณเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ด้วยเมทริกซ์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก คุณจะได้เมทริกซ์ที่มีเงื่อนไขอิสระ นั่นคือ A*X=B

ค้นหาเมทริกซ์ A กำลัง (-1) โดยการค้นหาครั้งแรก โปรดทราบว่าไม่ควรเท่ากับศูนย์ หลังจากนั้นให้คูณเมทริกซ์ผลลัพธ์ด้วยเมทริกซ์ B ดังนั้นคุณจะได้รับเมทริกซ์ X ที่ต้องการซึ่งระบุค่าทั้งหมด

คุณยังสามารถหาคำตอบของระบบสมการสามสมการได้โดยใช้วิธีของแครมเมอร์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สาม ∆ ที่สอดคล้องกับเมทริกซ์ระบบ จากนั้นค้นหาปัจจัยอีกสามตัวอย่างต่อเนื่อง ∆1, ∆2 และ ∆3 โดยแทนที่ค่าของเงื่อนไขอิสระแทนค่าของคอลัมน์ที่เกี่ยวข้อง ตอนนี้หา x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆

แหล่งที่มา:

• การแก้สมการโดยไม่ทราบค่าสามค่า

การแก้ระบบสมการเป็นเรื่องที่ท้าทายและน่าตื่นเต้น ยิ่งระบบซับซ้อนมากเท่าไหร่ ก็ยิ่งน่าสนใจในการแก้ปัญหามากขึ้นเท่านั้น บ่อยที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ มัธยมมีระบบสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว แต่ในคณิตศาสตร์ระดับสูงอาจมีตัวแปรมากกว่า ระบบสามารถแก้ไขได้หลายวิธี

คำแนะนำ

วิธีการแก้ระบบสมการที่ใช้กันทั่วไปคือการทดแทน ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องแสดงตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่งและแทนที่ตัวแปรนั้นลงในตัวที่สอง สมการระบบจึงเป็นผู้นำ สมการสู่ตัวแปรหนึ่ง ตัวอย่างเช่น จากสมการต่อไปนี้: 2x-3y-1=0;x+y-3=0

จากนิพจน์ที่สอง จะสะดวกในการแสดงตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง โดยย้ายทุกอย่างไปทางด้านขวาของนิพจน์ โดยไม่ลืมเปลี่ยนเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์: x = 3-y

เปิดวงเล็บ: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 เราแทนที่ค่าผลลัพธ์ y ลงในนิพจน์: x=3-y;x=3-1;x=2 .

ในนิพจน์แรก ทุกพจน์คือ 2 คุณสามารถนำ 2 ออกจากวงเล็บไปเป็นคุณสมบัติการกระจายของการคูณได้: 2*(2x-y-3)=0 ตอนนี้นิพจน์ทั้งสองส่วนสามารถลดลงได้ด้วยจำนวนนี้ จากนั้นจึงแสดงเป็น y เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์มอดุลัสของนิพจน์มีค่าเท่ากับ 1: -y = 3-2x หรือ y = 2x-3

เช่นเดียวกับในกรณีแรกที่เราทดแทน การแสดงออกนี้ในวินาที สมการและเราได้รับ: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 แทนค่าผลลัพธ์ลงในนิพจน์: y=2x -3;y=4-3=1.

เราเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของ y มีค่าเท่ากัน แต่ต่างกันที่เครื่องหมาย ดังนั้น หากเราบวกสมการเหล่านี้ เราจะกำจัด y ออกไปโดยสิ้นเชิง: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 7x- 14=0; x=2 แทนค่า x ลงในสมการใดก็ได้จากสองสมการของระบบแล้วได้ y=1

วิดีโอในหัวข้อ

ไบควอดราติก สมการแสดงถึง สมการระดับที่สี่ แบบฟอร์มทั่วไปซึ่งแสดงด้วยนิพจน์ ax^4 + bx^2 + c = 0 วิธีแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับการใช้วิธีการทดแทนสิ่งที่ไม่ทราบ ใน ในกรณีนี้ x^2 ถูกแทนที่ด้วยตัวแปรอื่น ดังนั้นผลลัพธ์ที่ได้คือสี่เหลี่ยมจัตุรัสธรรมดา สมการซึ่งจำเป็นต้องแก้ไข

คำแนะนำ

แก้สมการกำลังสอง สมการซึ่งเกิดจากการทดแทน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกให้คำนวณค่าตามสูตร: D = b^2? 4เอซี ในกรณีนี้ ตัวแปร a, b, c คือสัมประสิทธิ์ของสมการของเรา

ค้นหารากของสมการกำลังสอง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หารากที่สองของโซลูชันที่ได้รับ หากมีวิธีแก้ปัญหาหนึ่งวิธี ก็จะมีสองวิธี - ค่าบวกและค่าลบของรากที่สอง หากมีคำตอบสองข้อ สมการกำลังสองจะมีสี่ราก

วิดีโอในหัวข้อ

วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นแบบดั้งเดิมวิธีหนึ่งคือวิธีเกาส์ ประกอบด้วยการกำจัดตัวแปรตามลำดับเมื่อใช้ระบบสมการ การเปลี่ยนแปลงอย่างง่ายถูกแปลเป็นระบบแบบขั้นตอน โดยจะพบตัวแปรทั้งหมดตามลำดับโดยเริ่มจากตัวสุดท้าย

คำแนะนำ

ขั้นแรก นำระบบสมการมาอยู่ในรูปแบบที่สิ่งที่ไม่ทราบทั้งหมดอยู่ในลำดับที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด ตัวอย่างเช่น X ที่ไม่รู้จักทั้งหมดจะปรากฏก่อนในแต่ละบรรทัด Y ทั้งหมดจะมาหลัง X, Z ทั้งหมดจะมาหลัง Y เป็นต้น ไม่ควรมีสิ่งที่ไม่ทราบทางด้านขวาของแต่ละสมการ กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ต่อหน้าค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักแต่ละค่าในใจ รวมถึงค่าสัมประสิทธิ์ทางด้านขวาของแต่ละสมการด้วย

แนวทางของผู้เขียนในหัวข้อนี้ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ สมการที่มีตัวแปรสองตัวจะเกิดขึ้นครั้งแรกในหลักสูตรชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 สมการหนึ่งที่มีตัวแปรสองตัวจะมีคำตอบจำนวนอนันต์ สิ่งนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนโดยกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น ซึ่งกำหนดให้เป็น ax + by=c ในหลักสูตรของโรงเรียน นักเรียนจะศึกษาระบบสมการสองสมการที่มีตัวแปรสองตัว เป็นผลให้ปัญหาทั้งชุดที่มีเงื่อนไข จำกัด เกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ของสมการตลอดจนวิธีการแก้ไขไม่อยู่ในสายตาของครูและนักเรียน

เรากำลังพูดถึงการแก้สมการโดยไม่ทราบค่าสองตัวเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนธรรมชาติ

ที่โรงเรียน มีการศึกษาจำนวนธรรมชาติและจำนวนเต็มในชั้นประถมศึกษาปีที่ 4-6 เมื่อสำเร็จการศึกษา นักเรียนบางคนอาจจำความแตกต่างระหว่างชุดตัวเลขเหล่านี้ไม่ได้

อย่างไรก็ตาม ปัญหาเช่น "แก้สมการของรูปแบบ ax + by=c เป็นจำนวนเต็ม" พบมากขึ้นในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยและในสื่อการสอบ Unified State

การแก้สมการที่ไม่แน่นอนจะพัฒนาความคิดเชิงตรรกะ ความฉลาด และความใส่ใจในการวิเคราะห์

ฉันเสนอให้พัฒนาบทเรียนหลายบทในหัวข้อนี้ ฉันไม่มีคำแนะนำที่ชัดเจนเกี่ยวกับกำหนดเวลาของบทเรียนเหล่านี้ องค์ประกอบบางอย่างสามารถใช้ได้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 (สำหรับชั้นเรียนที่แข็งแกร่ง) บทเรียนเหล่านี้สามารถใช้เป็นพื้นฐานและพัฒนาหลักสูตรวิชาเลือกขนาดเล็กเกี่ยวกับการฝึกอบรมก่อนอาชีวศึกษาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 และแน่นอนว่าสื่อนี้สามารถนำไปใช้ในเกรด 10-11 เพื่อเตรียมตัวสอบได้

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• การทำซ้ำและการวางนัยทั่วไปของความรู้ในหัวข้อ “สมการลำดับที่หนึ่งและสอง”
• การเลี้ยงดู ความสนใจทางปัญญาสู่เรื่องวิชาการ
• พัฒนาความสามารถในการวิเคราะห์ สร้างภาพรวม ถ่ายทอดความรู้สู่สถานการณ์ใหม่

บทที่ 1.

ในระหว่างเรียน

1) องค์กร ช่วงเวลา.

2) การอัพเดตความรู้พื้นฐาน

คำนิยาม. สมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัวคือสมการของรูปแบบ

mx + ny = k โดยที่ m, n, k คือตัวเลข, x, y คือตัวแปร

ตัวอย่าง: 5x+2y=10

คำนิยาม. การแก้สมการที่มีตัวแปรสองตัวคือคู่ของค่าของตัวแปรที่เปลี่ยนสมการให้มีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

สมการที่มีตัวแปรสองตัวที่มีคำตอบเหมือนกันเรียกว่าสมการที่เท่ากัน

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

สมการนี้สามารถมีคำตอบได้จำนวนเท่าใดก็ได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะรับค่า x ใดๆ และค้นหาค่า y ที่สอดคล้องกัน

ให้ x = 2, y = -2.5 2+6 = 1

x = 4, y = -2.5 4+6 =- 4

คู่ตัวเลข (2;1); (4;-4) – การแก้สมการ (1)

สมการนี้มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

3) ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์

สมการไม่แน่นอน (ไดโอแฟนไทน์) คือสมการที่มีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว

ในศตวรรษที่ 3 ค.ศ – ไดโอแฟนทัสแห่งอเล็กซานเดรียเขียน "เลขคณิต" ซึ่งเขาขยายชุดตัวเลขให้เป็นจำนวนตรรกยะและแนะนำสัญลักษณ์พีชคณิต

ไดโอแฟนตัสยังพิจารณาปัญหาของการแก้สมการไม่แน่นอนด้วย และเขาได้ให้วิธีการแก้สมการไม่แน่นอนระดับที่ 2 และ 3 ไว้ด้วย

4) ศึกษาเนื้อหาใหม่

คำจำกัดความ: สมการไดโอแฟนไทน์ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันลำดับที่หนึ่งซึ่งมีค่าไม่ทราบสองตัว x, y คือสมการที่มีรูปแบบ mx + ny = k โดยที่ m, n, k, x, y Z k0

คำชี้แจง 1.

ถ้าพจน์อิสระในสมการ (1) หารด้วยค่าที่มากที่สุดไม่ลงตัว ตัวหารร่วม(GCD) ของตัวเลข m และ n จากนั้นสมการ (1) จะไม่มีคำตอบจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง: 34x – 17y = 3

GCD (34; 17) = 17, 3 หารด้วย 17 ไม่ลงตัว จึงไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม

ให้ k หารด้วย gcd (m, n) ด้วยการหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมด เราจึงมั่นใจได้ว่า m และ n จะกลายเป็นจำนวนเฉพาะ

คำชี้แจง 2

ถ้า m และ n ของสมการ (1) ตรงกัน จำนวนเฉพาะแล้วสมการนี้จะมีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งวิธี

คำชี้แจง 3

ถ้าสัมประสิทธิ์ m และ n ของสมการ (1) เป็นจำนวนเฉพาะ สมการนี้จะมีคำตอบมากมายอย่างไม่สิ้นสุด:

โดยที่ (; ) คือคำตอบใดๆ ของสมการ (1), t Z

คำนิยาม. สมการไดโอแฟนไทน์ที่เป็นเนื้อเดียวกันลำดับที่หนึ่งซึ่งมีค่าไม่ทราบสองตัว x, y คือสมการที่มีรูปแบบ mx + ny = 0 โดยที่ (2)

คำชี้แจง 4

ถ้า m และ n เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นคำตอบใดๆ ของสมการ (2) จะมีรูปแบบ

5) การบ้าน. แก้สมการด้วยจำนวนเต็ม:

1. 9x – 18ป = 5
2. x + y= xy
3. เด็กหลายคนกำลังเก็บแอปเปิ้ล เด็กผู้ชายแต่ละคนเก็บได้ 21 กก. และเด็กผู้หญิงเก็บได้ 15 กก. รวมน้ำหนักได้ 174 กก. มีเด็กผู้ชายกี่คนและเด็กผู้หญิงกี่คนเก็บแอปเปิ้ล?

ความคิดเห็น บน บทเรียนนี้ไม่มีตัวอย่างการแก้สมการในจำนวนเต็ม นั่นเป็นเหตุผล การบ้านเด็กตัดสินใจตามข้อความที่ 1 และการเลือก

บทที่ 2

1) ช่วงเวลาขององค์กร

2) ตรวจการบ้าน

1) 9x – 18ป = 5

5 หารด้วย 9 ไม่ลงตัว ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม

เมื่อใช้วิธีการเลือกคุณจะพบวิธีแก้ปัญหา

คำตอบ: (0;0), (2;2)

3) มาสร้างสมการกัน:

ให้เด็กผู้ชายเป็น x, x Z และเด็กผู้หญิง y, y Z จากนั้นเราจะสร้างสมการ 21x + 15y = 174

นักเรียนหลายคนเขียนสมการแล้วยังแก้สมการไม่ได้

คำตอบ: เด็กชาย 4 คน เด็กผู้หญิง 6 คน

3) การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

เมื่อประสบปัญหาในการทำการบ้าน นักเรียนจึงเชื่อมั่นว่าจำเป็นต้องเรียนรู้วิธีการแก้สมการที่ไม่แน่นอน ลองดูบางส่วนของพวกเขา

I. วิธีพิจารณาเศษที่เหลือจากการหาร

ตัวอย่าง. แก้สมการด้วยจำนวนเต็ม 3x – 4y = 1

ด้านซ้ายของสมการหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นด้านขวาจะต้องหารลงตัว ลองพิจารณาสามกรณี

คำตอบ: ที่ไหน m Z.

วิธีที่อธิบายไว้นั้นสะดวกในการใช้งานหากตัวเลข m และ n ไม่น้อย แต่ก็สามารถแยกย่อยเป็นปัจจัยง่ายๆ ได้

ตัวอย่าง: แก้สมการในจำนวนเต็ม

ให้ y = 4n แล้ว 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) หารด้วย 4

y = 4n+1 จากนั้น 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n หารด้วย 4 ไม่ลงตัว

y = 4n+2 จากนั้น 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n หารด้วย 4 ไม่ลงตัว

y = 4n+3 จากนั้น 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n หารด้วย 4 ไม่ลงตัว

ดังนั้น y = 4n ดังนั้น

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

คำตอบ: โดยที่ n Z

ครั้งที่สอง สมการไม่แน่นอนของระดับที่ 2

วันนี้ในบทเรียนเราจะพูดถึงคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์อันดับสองเท่านั้น

และสมการทุกประเภท เราจะพิจารณากรณีที่สามารถใช้ผลต่างของสูตรกำลังสองหรือวิธีแยกตัวประกอบวิธีอื่นได้

ตัวอย่าง: แก้สมการด้วยจำนวนเต็ม

13 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นจึงแยกตัวประกอบได้เพียง 4 วิธีเท่านั้น: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

ลองพิจารณากรณีเหล่านี้

คำตอบ: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3)

4) การบ้าน.

ตัวอย่าง. แก้สมการด้วยจำนวนเต็ม:

(x - y)(x + y)=4

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
ย = 0	ไม่พอดี	ไม่พอดี
2x = -4	ไม่พอดี	ไม่พอดี
x = -2
ย = 0

คำตอบ: (-2;0), (2;0)

คำตอบ: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

วี)

คำตอบ: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5)

ผลลัพธ์. การแก้สมการจำนวนเต็มหมายความว่าอย่างไร?

คุณรู้วิธีแก้สมการที่ไม่แน่นอนอย่างไร

แอปพลิเคชัน:

แบบฝึกหัดสำหรับการฝึกอบรม

1) แก้โจทย์เป็นจำนวนเต็ม

ก) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
ข) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
ค) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
ง) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2ม., y = 4 + 9ม., ม. Z
จ) 9x – 11ป = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
จ) 7x – 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ก) 19x – 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
ชั่วโมง) 28x – 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) หาคำตอบจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบของสมการ