jako kategoria ontologiczna odzwierciedla miarę możliwości zaistnienia dowolnego bytu w dowolnych warunkach. W przeciwieństwie do matematycznych i logicznych interpretacji tego pojęcia, ontologiczne V. nie wiąże się z koniecznością wyrażenia ilościowego. Wartość V. ujawnia się w kontekście rozumienia determinizmu i natury rozwoju w ogóle.
Świetna definicja
Niepełna definicja ↓
PRAWDOPODOBIEŃSTWO
pojęcie, które charakteryzuje ilości. miara możliwości pojawienia się pewnego wydarzenia w określonym czasie. warunki. W naukowym wiedzy istnieją trzy interpretacje V. Klasyczne pojęcie V., które wyrosło z matematyki. analiza hazard a najpełniej opracowany przez B. Pascala, J. Bernoulliego i P. Laplace'a, uważa V. jako stosunek liczby przypadków korzystnych do Łączna wszystko jednakowo możliwe. Na przykład rzucanie Iri kostka do gry, który ma 6 twarzy, można się spodziewać utraty każdej z nich przy V. równym 1/6, ponieważ żadna ściana nie ma przewagi nad drugą. Taka symetria wyników doświadczenia jest szczególnie brana pod uwagę przy organizowaniu gier, ale jest stosunkowo rzadka w badaniu obiektywnych wydarzeń w nauce i praktyce. Klasyczny Interpretacja V. ustąpiła miejsca statystyce. koncepcje V., których sedno jest słuszne. obserwacja pojawienia się określonego zdarzenia w czasie trwania. doświadczenie w ściśle ustalonych warunkach. Praktyka potwierdza, że im częściej zdarzenie ma miejsce, tym większy jest stopień obiektywnej możliwości jego wystąpienia, czyli V. Zatem statystycznie. Interpretacja V. opiera się na pojęciu relacji. częstotliwości, cięcie można określić empirycznie. V. jako teoretyczne. koncepcja ta nigdy jednak nie pokrywa się z określoną empirycznie częstotliwością, jednak pod wieloma względami. przypadkach praktycznie niewiele różni się od krewnych. częstotliwość znaleziona w wyniku czasu trwania. obserwacje. Wielu statystyków uważa V. za „podwójne” odniesienie. częstotliwość, krawędź jest określana przez statystykę. badanie wyników obserwacyjnych
lub eksperymenty. Mniej realistyczna była definicja V. w odniesieniu do granicy. częstotliwości imprez masowych, czyli kolektywów, zaproponowane przez R. Misesa. Jak dalszy rozwój Podejście częstotliwościowe do V. przedstawia dyspozycyjną lub skłonność do interpretacji V. (K. Popper, J. Hecking, M. Bunge, T. Setl). Zgodnie z tą interpretacją V. charakteryzuje m.in. właściwość generowania warunków. eksperyment. instalacji, aby uzyskać sekwencję masowych zdarzeń losowych. To właśnie ta postawa daje początek fizyczności dyspozycje lub predyspozycje, V. to-rykh można sprawdzić za pomocą względnego. częstotliwości.
Statystyczny Interpretacja V. dominuje nad naukową. wiedzę, ponieważ odzwierciedla specyfikę. charakter wzorców tkwiących w zjawiskach masowych o charakterze przypadkowym. W wielu fizycznych, biologicznych, ekonomicznych, demograficznych i inne procesy społeczne, konieczne jest uwzględnienie działania wielu czynników losowych, żyto charakteryzuje się stabilną częstotliwością. Identyfikacja tej stabilnej częstotliwości i ilości. jego ocena za pomocą V. pozwala ujawnić konieczność, która przebija się przez kumulatywne działanie wielu wypadków. Tutaj manifestuje się dialektyka przekształcenia przypadku w konieczność (por. F. Engels, w księdze: K. Marks i F. Engels, Soch., t. 20, s. 535-36).
Rozumowanie logiczne lub indukcyjne charakteryzuje związek między przesłankami a zakończeniem rozumowania niedemonstracyjnego, a w szczególności indukcyjnego. W przeciwieństwie do dedukcji, przesłanki indukcji nie gwarantują prawdziwości wniosku, a jedynie czynią go mniej lub bardziej wiarygodnym. Wiarygodność tę, przy precyzyjnie sformułowanych przesłankach, można niekiedy oszacować za pomocą V. Wartość tego V. określa się najczęściej przez porównanie. pojęcia (większe niż, mniejsze lub równe), a czasem w sposób liczbowy. Logika interpretacja jest często wykorzystywana do analizy rozumowania indukcyjnego i budowania różnych systemów logik probabilistycznych (R. Carnap, R. Jeffrey). W semantyce koncepcje logiczne. V. często definiuje się jako stopień potwierdzenia jednego twierdzenia przez innych (np. hipotezę jego danych empirycznych).
W związku z rozwojem teorii podejmowania decyzji i gier, tzw. personalistyczna interpretacja V. Chociaż V. w tym przypadku wyraża stopień wiary podmiotu i zaistnienie określonego zdarzenia, to same V. muszą być tak dobrane, aby spełnione były aksjomaty obliczania V.. V. przy takiej interpretacji wyraża nie tyle stopień subiektywnej, co raczej rozsądnej wiary. W konsekwencji decyzje podejmowane na podstawie takiego V. będą racjonalne, ponieważ nie uwzględniają psychologicznego. cechy i skłonności podmiotu.
Od epistemologicznego t. sp. różnica między statystyką., logiczna. a interpretacje personalistyczne V. polegają na tym, że jeśli pierwsza charakteryzuje obiektywne właściwości i relacje zjawisk masowych o charakterze przypadkowym, to dwie ostatnie analizują cechy podmiotowego, świadomego. działalność człowieka w warunkach niepewności.
PRAWDOPODOBIEŃSTWO
jeden z najważniejsze koncepcje nauka, charakteryzująca szczególną systemową wizję świata, jego strukturę, ewolucję i poznanie. Specyfika probabilistycznego spojrzenia na świat ujawnia się poprzez uwzględnienie w liczbie podstawowe koncepcje istnienie pojęć losowości, niezależności i hierarchii (idee poziomów w strukturze i determinacji systemów).
Idee o prawdopodobieństwie powstały w starożytności i odnosiły się do cech naszej wiedzy, przy czym rozpoznano obecność wiedzy probabilistycznej, która różni się od wiedzy rzetelnej i fałszywej. Wpływ idei prawdopodobieństwa na myślenie naukowe, na rozwój wiedzy jest bezpośrednio związany z rozwojem teorii prawdopodobieństwa jako dyscypliny matematycznej. Geneza matematycznej doktryny prawdopodobieństwa sięga XVII wieku, kiedy to rozwinął się rdzeń pojęć, które pozwalają. cechy ilościowe (numeryczne) i wyrażające ideę probabilistyczną.
Intensywne zastosowania prawdopodobieństwa do rozwoju wiedzy znajdują się na drugim piętrze. 19- I piętro. XX wiek Prawdopodobieństwo weszło w struktury takich podstawowych nauk przyrodniczych, jak klasyczna fizyka statystyczna, genetyka, teoria kwantów, cybernetyka (teoria informacji). W związku z tym prawdopodobieństwo uosabia ten etap rozwoju nauki, który obecnie określa się mianem nauki nieklasycznej. Aby ujawnić nowość, cechy probabilistycznego sposobu myślenia, należy wyjść od analizy przedmiotu teorii prawdopodobieństwa i podstaw jej licznych zastosowań. Teoria prawdopodobieństwa jest zwykle definiowana jako dyscyplina matematyczna, która bada prawa masowych zjawisk losowych w określonych warunkach. Losowość oznacza, że w ramach masowego charakteru istnienie każdego elementarnego zjawiska nie zależy i nie jest zdeterminowane istnieniem innych zjawisk. Jednocześnie sama masowość zjawisk ma stabilną strukturę, zawiera pewne prawidłowości. Zjawisko masy jest dość ściśle podzielone na podsystemy, a względna liczba zjawisk elementarnych w każdym z podsystemów (częstotliwość względna) jest bardzo stabilna. Ta stabilność jest porównywana z prawdopodobieństwem. Zjawisko masowe jako całość charakteryzuje się rozkładem prawdopodobieństw, tj. przyporządkowaniem podsystemów i odpowiadającym im prawdopodobieństwem. Język teorii prawdopodobieństwa jest językiem rozkładów prawdopodobieństwa. W związku z tym teorię prawdopodobieństwa definiuje się jako abstrakcyjną naukę operowania rozkładami.
Prawdopodobieństwo zrodziło w nauce idee dotyczące regularności statystycznych i systemów statystycznych. Ostatnia esencja układy utworzone z niezależnych lub quasi niezależnych podmiotów, ich strukturę charakteryzują rozkłady prawdopodobieństwa. Ale jak można tworzyć systemy z niezależnych podmiotów? Zazwyczaj przyjmuje się, że w celu utworzenia układów o cechach integralnych konieczne jest istnienie dostatecznie stabilnych wiązań pomiędzy ich elementami, które spajają układy. Stabilność systemów statystycznych wynika z obecności warunków zewnętrznych, środowiska zewnętrznego, zewnętrznego i nie siły wewnętrzne. Sama definicja prawdopodobieństwa opiera się zawsze na ustaleniu warunków powstania inicjału zjawisko masowe. Inną ważną ideą charakteryzującą paradygmat probabilistyczny jest idea hierarchii (podporządkowania). Idea ta wyraża związek między cechami poszczególnych elementów a integralnymi cechami systemów: te ostatnie są niejako budowane na tych pierwszych.
Znaczenie metod probabilistycznych w poznaniu polega na tym, że pozwalają one badać i teoretycznie wyrażać wzorce struktury i zachowania obiektów i systemów, które mają hierarchiczną, „dwupoziomową” strukturę.
Analiza charakteru prawdopodobieństwa opiera się na jego częstotliwości, interpretacji statystycznej. Jednak bardzo długi czas w nauce dominowało takie rozumienie prawdopodobieństwa, które nazwano logicznym lub indukcyjnym prawdopodobieństwem. Prawdopodobieństwo logiczne jest zainteresowane pytaniami o ważność odrębnego, indywidualnego sądu w określonych warunkach. Czy można ocenić stopień potwierdzenia (wiarygodności, prawdziwości) wniosku indukcyjnego (wniosku hipotetycznego) w formie ilościowej? W trakcie tworzenia teorii prawdopodobieństwa takie pytania były wielokrotnie dyskutowane i zaczęły mówić o stopniach potwierdzenia hipotetycznych wniosków. Ta miara prawdopodobieństwa jest określona przez dostępne ta osoba informacje, jego doświadczenie, poglądy na świat i psychologiczne nastawienie. We wszystkich takich przypadkach wielkość prawdopodobieństwa nie podlega ścisłym pomiarom i praktycznie leży poza kompetencjami teorii prawdopodobieństwa jako spójnej dyscypliny matematycznej.
Obiektywna, częstościowa interpretacja prawdopodobieństwa została ustalona w nauce z dużym trudem. Początkowo na rozumienie istoty prawdopodobieństwa silny wpływ miały te poglądy filozoficzne i metodologiczne, które były charakterystyczne dla nauka klasyczna. Historycznie, kształtowanie się metod probabilistycznych w fizyce następowało pod decydującym wpływem idei mechaniki: systemy statystyczne traktowano po prostu jako mechaniczne. Ponieważ odpowiednie problemy nie zostały rozwiązane ścisłymi metodami mechaniki, pojawiły się twierdzenia, że odwołanie się do metod probabilistycznych i prawidłowości statystycznych jest wynikiem niekompletności naszej wiedzy. W historii rozwoju klasycznej fizyki statystycznej podejmowano liczne próby uzasadnienia jej na podstawie mechaniki klasycznej, ale wszystkie one nie powiodły się. Podstawą prawdopodobieństwa jest to, że wyraża cechy struktury pewnej klasy systemów innych niż systemy mechaniki: stan elementów tych systemów charakteryzuje się niestabilnością i szczególnym (nieredukowalnym do mechaniki) charakterem oddziaływań .
Wejście prawdopodobieństwa do poznania prowadzi do zanegowania pojęcia sztywnego determinizmu, do zanegowania podstawowego modelu bytu i poznania wypracowanego w procesie formowania się nauki klasycznej. Podstawowe modele reprezentowane przez teorie statystyczne są odmienne, więcej ogólny charakter: zawierają idee przypadkowości i niezależności. Idea prawdopodobieństwa wiąże się z ujawnieniem wewnętrznej dynamiki obiektów i systemów, której nie da się w pełni zdeterminować zewnętrznymi warunkami i okolicznościami.
Koncepcja probabilistycznej wizji świata, opartej na absolutyzacji idei niepodległości (jak poprzednio paradygmat sztywnej determinacji), teraz ujawniła swoje ograniczenia, które najsilniej wpływają na przejście nowoczesna nauka do Metody analityczne badania układów złożonych oraz fizycznych i matematycznych podstaw zjawisk samoorganizacji.
Świetna definicja
Niepełna definicja ↓
Chcesz wiedzieć, które? kursy matematyczne na sukces Twojego zakładu? Wtedy są dwa dla ciebie. dobre wieści. Po pierwsze: aby obliczyć zdolność przełajową, nie trzeba przeprowadzać skomplikowanych obliczeń i wydawać duża liczba czas. Wystarczy, aby skorzystać proste formuły, co zajmie kilka minut. Po drugie, po przeczytaniu tego artykułu z łatwością będziesz w stanie obliczyć prawdopodobieństwo przejścia dowolnej transakcji.
Aby poprawnie określić drożność, musisz wykonać trzy kroki:
- Oblicz procent prawdopodobieństwa wyniku zdarzenia według biura bukmachera;
- Oblicz prawdopodobieństwo samodzielnie na podstawie danych statystycznych;
- Sprawdź wartość zakładu, biorąc pod uwagę oba prawdopodobieństwa.
Rozważmy szczegółowo każdy z kroków, używając nie tylko formuł, ale także przykładów.
Szybkie przejście
Obliczanie prawdopodobieństwa zawartego w kursach zakładów
Pierwszym krokiem jest sprawdzenie, z jakim prawdopodobieństwem bukmacher ocenia szanse na konkretny wynik. W końcu jasne jest, że bukmacherzy nie obstawiają tak po prostu kursów. W tym celu stosujemy następującą formułę:
PB=(1/K)*100%,
gdzie P B jest prawdopodobieństwem wyniku według biura bukmachera;
K - kursy bukmacherskie na wynik.
Załóżmy, że szanse na zwycięstwo londyńskiego Arsenalu w pojedynku z Bayernem wynoszą 4. Oznacza to, że prawdopodobieństwo jego zwycięstwa przez BC wynosi (1/4) * 100% = 25%. Albo Djokovic gra przeciwko South. Mnożnik zwycięstwa Novaka wynosi 1,2, jego szanse wynoszą (1/1,2)*100%=83%.
W ten sposób bukmacher sam ocenia szanse na sukces każdego gracza i drużyny. Po wykonaniu pierwszego kroku przechodzimy do drugiego.
Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia przez gracza
Drugim punktem naszego planu jest nasza własna ocena prawdopodobieństwa zdarzenia. Ponieważ nie możemy matematycznie uwzględnić takich parametrów jak motywacja, ton gry, zastosujemy uproszczony model i będziemy korzystać tylko ze statystyk poprzednich spotkań. Aby obliczyć statystyczne prawdopodobieństwo wyniku, używamy wzoru:
PI\u003d (UM / M) * 100%,
gdziePI- prawdopodobieństwo zdarzenia według gracza;
UM - liczba udanych meczów, w których miało miejsce takie wydarzenie;
M to całkowita liczba dopasowań.
Aby było to jaśniejsze, podajmy przykłady. Andy Murray i Rafael Nadal rozegrali 14 meczów. W 6 z nich zarejestrowano łącznie poniżej 21 meczów, w 8 - łącznie ponad. Konieczne jest ustalenie prawdopodobieństwa, że następny mecz zostanie rozegrany dla sumy powyżej: (8/14)*100=57%. Valencia rozegrała 74 mecze na Mestalla przeciwko Atlético, w których odniosła 29 zwycięstw. Prawdopodobieństwo wygranej Walencji: (29/74)*100%=39%.
A wszyscy wiemy o tym tylko dzięki statystykom poprzednich gier! Oczywiście takiego prawdopodobieństwa nie da się obliczyć dla jakiejś nowej drużyny lub gracza, więc ta strategia obstawiania jest odpowiednia tylko dla meczów, w których przeciwnicy spotykają się nie po raz pierwszy. Teraz wiemy, jak określać obstawianie i własne prawdopodobieństwa wyników, a także mamy całą wiedzę, aby przejść do ostatniego kroku.
Określanie wartości zakładu
Wartość (wartościowość) zakładu i pasowalność są bezpośrednio powiązane: im wyższa wycena, tym większa szansa na spasowanie. Wartość oblicza się w następujący sposób:
V=PI*K-100%,
gdzie V jest wartością;
P I - prawdopodobieństwo wyniku według lepszego;
K - kursy bukmacherskie na wynik.
Powiedzmy, że chcemy postawić na Milan, który wygra mecz z Romą i obliczyliśmy, że prawdopodobieństwo wygranej Czerwonych-Czarnych wynosi 45%. Bukmacher oferuje nam za ten wynik współczynnik 2,5. Czy taki zakład byłby wartościowy? Wykonujemy obliczenia: V \u003d 45% * 2,5-100% \u003d 12,5%. Świetnie, mamy wartościowy zakład z dużymi szansami na spasowanie.
Weźmy inny przypadek. Maria Szarapowa gra z Petrą Kvitovą. Chcemy zawrzeć umowę, aby Maria wygrała, co według naszych obliczeń ma 60% prawdopodobieństwo. Bukmacherzy oferują za ten wynik mnożnik 1,5. Określ wartość: V=60%*1,5-100=-10%. Jak widać, ten zakład nie ma żadnej wartości i należy się go powstrzymać.
Wszystko na świecie dzieje się deterministycznie lub losowo...
Arystoteles
Prawdopodobieństwo: podstawowe zasady
Teoria prawdopodobieństwa oblicza prawdopodobieństwa różnych zdarzeń. Podstawowe w teorii prawdopodobieństwa jest pojęcie zdarzenia losowego.
Na przykład rzucasz monetą, która losowo ląduje na herbie lub ogonie. Nie wiesz z góry, po której stronie wyląduje moneta. Zawierasz umowę ubezpieczenia, nie wiesz z góry, czy płatności będą realizowane, czy nie.
W obliczeniach aktuarialnych trzeba umieć oszacować prawdopodobieństwo różnych zdarzeń, więc teoria prawdopodobieństwa odgrywa kluczową rolę. Żadna inna gałąź matematyki nie radzi sobie z prawdopodobieństwem zdarzeń.
Przyjrzyjmy się bliżej losowi monety. Istnieją dwa wzajemnie wykluczające się wyniki: herb lub ogon. Wynik rzutu jest losowy, ponieważ obserwator nie może analizować i brać pod uwagę wszystkich czynników, które wpływają na wynik. Jakie jest prawdopodobieństwo herbu? Większość odpowie ½, ale dlaczego?
Niech formalnie ALE oznacza utratę herbu. Niech rzuca się monetą n raz. Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia ALE można określić jako proporcję tych rolek, które dają herb:
gdzie nłączna liczba rzutów n(A) liczba herbów.
Relacja (1) nazywa się częstotliwość rozwój ALE w długiej serii testów.
Okazuje się, że w różnych seriach testów odpowiadająca częstość w ogóle n klastry wokół jakiejś stałej wartości ROCZNIE). Ta wartość nazywa się prawdopodobieństwo zdarzenia ALE i jest oznaczony literą R- skrót od angielskie słowo prawdopodobieństwo - prawdopodobieństwo.
Formalnie mamy:
(2)
To prawo nazywa się prawo wielkich liczb.
Jeżeli moneta jest prawidłowa (symetryczna), to prawdopodobieństwo otrzymania herbu jest równe prawdopodobieństwu otrzymania reszki i wynosi ½.
Wynajmować ALE oraz W pewne zdarzenia, na przykład, czy miało miejsce zdarzenie ubezpieczeniowe. Związek dwóch wydarzeń to wydarzenie polegające na realizacji wydarzenia ALE, rozwój W lub oba wydarzenia razem. Przecięcie dwóch wydarzeń ALE oraz W nazwany eventem polegającym na realizacji jako event ALE i wydarzenia W.
Podstawowe zasady prawdopodobieństwa zdarzeń są następujące:
1. Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia wynosi od zera do jednego:
2. Niech A i B będą dwoma zdarzeniami, a więc:
Brzmi to tak: prawdopodobieństwo połączenia dwóch zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń minus prawdopodobieństwo przecięcia się zdarzeń. Jeżeli zdarzenia są niezgodne lub nie nakładają się, to prawdopodobieństwo połączenia (suma) dwóch zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw. To prawo nazywa się prawem wzbogacenie prawdopodobieństwa.
Mówimy, że zdarzenie jest pewne, jeśli jego prawdopodobieństwo jest równe 1. Analizując pewne zjawiska, pojawia się pytanie, w jaki sposób zaistnienie zdarzenia wpływa na W na wydarzenie ALE. W tym celu wpisz warunkowe prawdopodobieństwo :
(4)
Brzmi to tak: prawdopodobieństwo wystąpienia ALE na warunkach W równa się prawdopodobieństwu krzyżowania ALE oraz W podzielone przez prawdopodobieństwo zdarzenia W.
Formuła (4) zakłada, że prawdopodobieństwo zdarzenia W Powyżej zera.
Formuła (4) może być również zapisana jako:
(5)
To jest formuła pomnożenie prawdopodobieństw.
Znany również jako prawdopodobieństwo warunkowe. a posteriori prawdopodobieństwo zdarzenia ALE- prawdopodobieństwo wystąpienia ALE po ataku W.
W tym przypadku samo prawdopodobieństwo nazywa się apriorycznie prawdopodobieństwo. Istnieje kilka innych ważnych formuł, które są często używane w obliczeniach aktuarialnych.
Wzór na całkowite prawdopodobieństwo
Załóżmy, że przeprowadzany jest eksperyment, którego warunki można z góry poczynić wzajemnie wzajemnie wykluczające się założenia (hipotezy):
Zakładamy, że albo hipoteza ma miejsce, albo… albo. Prawdopodobieństwa tych hipotez są znane i równe:
Wtedy formuła się trzyma kompletny prawdopodobieństwa :
(6)
Prawdopodobieństwo zdarzenia ALE równa się sumie iloczynów prawdopodobieństwa wystąpienia ALE dla każdej hipotezy o prawdopodobieństwie tej hipotezy.
Formuła Bayesa
Formuła Bayesa
pozwala na ponowne obliczenie prawdopodobieństwa hipotez w świetle Nowa informacja, co dało wynik ALE.
Wzór Bayesa w w pewnym sensie jest odwrotnością wzoru całkowitego prawdopodobieństwa.
Rozważ następujący praktyczny problem.
Zadanie 1
Załóżmy, że doszło do katastrofy lotniczej, a eksperci zajmują się badaniem jej przyczyn. Z góry znane są cztery powody, dla których doszło do katastrofy: albo przyczyna, albo, albo. Według dostępnych statystyk te przyczyny mają następujące prawdopodobieństwo:
Podczas badania miejsca katastrofy znaleziono ślady zapłonu paliwa, według statystyk prawdopodobieństwo tego zdarzenia z tego czy innego powodu jest następujące:
Pytanie: jaka jest najbardziej prawdopodobna przyczyna katastrofy?
Oblicz prawdopodobieństwa przyczyn pod warunkiem wystąpienia zdarzenia ALE.
To pokazuje, że pierwszy powód jest najbardziej prawdopodobny, ponieważ jego prawdopodobieństwo jest maksymalne.
Zadanie 2
Rozważ lądowanie samolotu na lotnisku.
Podczas lądowania warunki pogodowe mogą wyglądać następująco: brak zachmurzenia niskiego (), zachmurzenie niskie (). W pierwszym przypadku prawdopodobieństwo udanego lądowania wynosi P1. W drugim przypadku - R2. Jest oczywiste, że P1>P2.
Urządzenia umożliwiające lądowanie na ślepo mają prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy R. Jeśli jest niska zachmurzenie i przyrządy do lądowania na ślepo zawodzą, prawdopodobieństwo udanego lądowania wynosi P3, oraz P3<Р2 . Wiadomo, że dla danego lotniska ułamek dni w roku z niską zachmurzeniem jest równy .
Znajdź prawdopodobieństwo bezpiecznego lądowania samolotu.
Musimy znaleźć prawdopodobieństwo.
Istnieją dwie wzajemnie wykluczające się opcje: urządzenia do lądowania na ślepo działają, urządzenia do lądowania na ślepo zawiodły, więc mamy:
Stąd, zgodnie ze wzorem całkowitego prawdopodobieństwa:
Zadanie 3
Firma ubezpieczeniowa zajmuje się ubezpieczeniem na życie. 10% ubezpieczonych w tej firmie to palacze. Jeżeli ubezpieczony nie pali, prawdopodobieństwo jego śmierci w ciągu roku wynosi 0,01. Jeżeli jest palaczem, to prawdopodobieństwo to wynosi 0,05.
Jaki jest odsetek palaczy wśród ubezpieczonych, którzy zmarli w ciągu roku?
Opcje odpowiedzi: (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90%.
Rozwiązanie
Wprowadźmy wydarzenia:
Stan problemu oznacza, że
Ponadto, ponieważ zdarzenia i tworzą kompletną grupę parami niezgodnych zdarzeń, to .
Prawdopodobieństwo, które nas interesuje, to .
Korzystając ze wzoru Bayesa, mamy:
więc poprawną opcją jest ( W).
Zadanie 4
Towarzystwo ubezpieczeniowe sprzedaje umowy ubezpieczenia na życie w trzech kategoriach: standardowej, uprzywilejowanej i ultrauprzywilejowanej.
50% wszystkich ubezpieczonych to osoby standardowe, 40% preferowane, a 10% bardzo preferowane.
Prawdopodobieństwo zgonu w ciągu roku dla standardowego ubezpieczonego wynosi 0,010, dla uprzywilejowanego 0,005, a dla ultraubezpieczonego 0,001.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że zmarły ubezpieczony jest bardzo uprzywilejowany?
Rozwiązanie
Rozważmy następujące wydarzenia:
Jeśli chodzi o te zdarzenia, prawdopodobieństwo, którym jesteśmy zainteresowani, wynosi . Według warunku:
Ponieważ zdarzenia , , tworzą kompletną grupę parami niekompatybilnych zdarzeń, korzystając ze wzoru Bayesa mamy:
Zmienne losowe i ich charakterystyka
Niech jakaś zmienna losowa, na przykład szkoda z pożaru lub wysokość wypłat ubezpieczenia.
Zmienna losowa jest w pełni scharakteryzowana przez swoją dystrybuantę.
Definicja. Funkcjonować 
nazywa funkcja dystrybucyjna
zmienna losowa ξ
.
Definicja. Jeśli istnieje funkcja taka, że dla arbitralnych a wykonywane
wtedy mówimy, że zmienna losowa ξ To ma gęstość rozkładu prawdopodobieństwa f(x).
Definicja. Wynajmować . Dla funkcji rozkładu ciągłego F teoretyczny α-kwantyl nazywa się rozwiązaniem równania.
To może nie być jedyne rozwiązanie.
Kwantyl poziomu ½ zwany teoretycznym mediana , kwantyle poziomu ¼ oraz ¾ -dolny i górny kwartyl odpowiednio.
W zastosowaniach aktuarialnych ważną rolę odgrywają: Nierówność Czebyszewa:
dla każdego
Symbol matematyczny oczekiwania.
Brzmi to tak: prawdopodobieństwo, że moduł jest większy niż mniejszy lub równy oczekiwanemu modułowi podzielonemu przez .
Żywotność jako zmienna losowa
Niepewność momentu śmierci jest głównym czynnikiem ryzyka w ubezpieczeniach na życie.
O momencie śmierci jednostki nie można powiedzieć nic konkretnego. Jeśli jednak mamy do czynienia z dużą jednorodną grupą ludzi i nie interesuje nas los poszczególnych osób z tej grupy, to znajdujemy się w ramach rachunku prawdopodobieństwa jako nauki o masowych zjawiskach losowych o własności stabilności częstotliwości.
Odpowiednio, możemy mówić o oczekiwanej długości życia jako zmiennej losowej T.
funkcja przetrwania
W teorii prawdopodobieństwa opisują stochastyczną naturę dowolnej zmiennej losowej T funkcja dystrybucyjna F(x), które definiuje się jako prawdopodobieństwo, że zmienna losowa T mniej niż liczba x:
.
W matematyce aktuarialnej przyjemnie jest pracować nie z dystrybuantą, ale z dodatkową dystrybuantą 
.
Pod względem długowieczności jest to prawdopodobieństwo, że dana osoba dożyje odpowiedniego wieku x lat.
nazywa funkcja przetrwania(funkcja przetrwania):
Funkcja przeżycia ma następujące właściwości:
W tablicach trwania życia zwykle przyjmuje się, że jest ich trochę limit wieku (ograniczenie wieku) (z reguły lata) i odpowiednio w x>.
Opisując śmiertelność prawami analitycznymi przyjmuje się zwykle, że czas życia jest nieograniczony, jednak rodzaj i parametry praw dobiera się tak, aby prawdopodobieństwo życia w pewnym wieku było znikome.
Funkcja przeżycia ma proste znaczenie statystyczne.
Załóżmy, że obserwujemy grupę noworodków (najczęściej), które obserwujemy i możemy utrwalać momenty ich śmierci.
Oznaczmy liczbę żyjących przedstawicieli tej grupy w wieku do . Następnie:
.
Symbol mi tutaj i poniżej jest używany do oznaczenia matematycznego oczekiwania.
Tak więc funkcja przeżycia jest równa średniej proporcji tych, którzy dożyli wieku z pewnej ustalonej grupy noworodków.
W matematyce aktuarialnej często pracuje się nie z funkcją przeżycia, ale z właśnie wprowadzoną wartością (po ustaleniu początkowej wielkości grupy).
Funkcję przeżycia można zrekonstruować z gęstości:
Charakterystyka długości życia
Z praktycznego punktu widzenia ważne są następujące cechy:
1 . Przeciętny dożywotni
,
2
. Dyspersja dożywotni
,
gdzie 
,
- Prawdopodobieństwo - stopień (miara względna, ocena ilościowa) możliwości wystąpienia jakiegoś zdarzenia. Kiedy przyczyny zaistnienia jakiegoś możliwego zdarzenia przeważają nad przyczynami przeciwstawnymi, wtedy to zdarzenie nazywa się prawdopodobnym, w przeciwnym razie - mało prawdopodobnym lub nieprawdopodobnym. Przewaga podstaw pozytywnych nad negatywnymi i odwrotnie może być w różnym stopniu, w wyniku czego prawdopodobieństwo (i nieprawdopodobieństwo) jest większe lub mniejsze. Dlatego prawdopodobieństwo szacowane jest często na poziomie jakościowym, zwłaszcza w przypadkach, gdy mniej lub bardziej dokładna ocena ilościowa jest niemożliwa lub niezwykle trudna. Możliwe są różne gradacje „poziomów” prawdopodobieństwa.
Badanie prawdopodobieństwa z matematycznego punktu widzenia jest szczególną dyscypliną - teorią prawdopodobieństwa. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce matematycznej pojęcie prawdopodobieństwa jest sformalizowane jako numeryczna charakterystyka zdarzenia - miara prawdopodobieństwa (lub jej wartość) - miara zbioru zdarzeń (podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych), przyjmująca wartości z
(\styl wyświetlania 0)
(\styl wyświetlania 1)
Oznaczający
(\styl wyświetlania 1)
Odpowiada ważnemu wydarzeniu. Zdarzenie niemożliwe ma prawdopodobieństwo 0 (nie zawsze jest odwrotnie). Jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia wynosi
(\displaystyle p)
Wtedy prawdopodobieństwo jego niewystąpienia jest równe
(\displaystyle 1-p)
W szczególności prawdopodobieństwo
(\displaystyle 1/2)
Oznacza równe prawdopodobieństwo wystąpienia i niewystąpienia zdarzenia.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa opiera się na koncepcji równoważności prawdopodobieństwa wyników. Prawdopodobieństwo to stosunek liczby wyników faworyzujących dane zdarzenie do łącznej liczby równie prawdopodobnych wyników. Na przykład prawdopodobieństwo trafienia orła lub reszki w losowym rzucie monetą wynosi 1/2, jeśli założymy, że występują tylko te dwie możliwości i są one jednakowo prawdopodobne. Tę klasyczną „definicję” prawdopodobieństwa można uogólnić na przypadek nieskończonej liczby możliwych wartości – na przykład, jeśli zdarzenie może wystąpić z równym prawdopodobieństwem w dowolnym punkcie (liczba punktów jest nieskończona) na jakimś ograniczonym obszarze przestrzeń (płaszczyzna), to prawdopodobieństwo, że wystąpi w jakiejś części tego dopuszczalnego obszaru jest równe stosunkowi objętości (powierzchni) tej części do objętości (powierzchni) obszaru wszystkich możliwych punktów .
Empiryczna „definicja” prawdopodobieństwa związana jest z częstością występowania zdarzenia, polegającą na tym, że przy wystarczająco dużej liczbie prób częstotliwość powinna zmierzać do obiektywnego stopnia prawdopodobieństwa tego zdarzenia. We współczesnej prezentacji teorii prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo definiuje się aksjomatycznie, jako szczególny przypadek abstrakcyjnej teorii miary zbioru. Niemniej jednak związek między abstrakcyjną miarą a prawdopodobieństwem, wyrażający stopień prawdopodobieństwa zdarzenia, to właśnie częstotliwość jego obserwacji.
Opis probabilistyczny niektórych zjawisk upowszechnił się we współczesnej nauce, w szczególności w ekonometrii, fizyce statystycznej układów makroskopowych (termodynamicznych), gdzie nawet w przypadku klasycznego deterministycznego opisu ruchu cząstek, deterministyczny opis całego układu cząstek nie jest praktycznie możliwe i właściwe. W fizyce kwantowej same opisywane procesy mają charakter probabilistyczny.
Teoria prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się badaniem wzorców zjawisk losowych: zdarzeń losowych, zmiennych losowych, ich właściwości i operacji na nich.
Przez długi czas teoria prawdopodobieństwa nie miała jasnej definicji. Powstał dopiero w 1929 roku. Powstanie teorii prawdopodobieństwa jako nauki przypisuje się średniowieczu i pierwszym próbom matematycznej analizy hazardu (rzuty, kości, ruletka). Francuscy matematycy z XVII wieku Blaise Pascal i Pierre de Fermat odkryli pierwsze probabilistyczne wzorce, które pojawiają się podczas rzucania kostką podczas badania przewidywania wygranych w grach hazardowych.
Teoria prawdopodobieństwa powstała jako nauka z przekonania, że pewne prawidłowości leżą u podstaw masowych zdarzeń losowych. Teoria prawdopodobieństwa bada te wzorce.
Teoria prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem zdarzeń, których występowanie nie jest pewne. Pozwala ocenić stopień prawdopodobieństwa wystąpienia niektórych zdarzeń w porównaniu z innymi.
Na przykład: nie da się jednoznacznie określić wyniku rzucania orłami lub reszkami, ale przy wielokrotnym rzucaniu wypada w przybliżeniu taka sama liczba orłów i reszek, co oznacza, że prawdopodobieństwo, że spadnie orła lub reszka jest równe do 50%.
test w tym przypadku nazywa się wykonanie pewnego zestawu warunków, czyli w tym przypadku rzucanie monetą. Wyzwanie można rozegrać nieograniczoną liczbę razy. W tym przypadku zespół warunków obejmuje czynniki losowe.
Wynik testu to wydarzenie. Wydarzenie ma miejsce:
- Niezawodny (zawsze pojawia się w wyniku testów).
- Niemożliwe (nigdy się nie dzieje).
- Losowe (może, ale nie musi wystąpić w wyniku testu).
Na przykład podczas rzucania monetą zdarzenie niemożliwe – moneta wyląduje na krawędzi, zdarzenie losowe – utrata „orzełków” lub „reszek”. Konkretny wynik testu nazywa się elementarne wydarzenie. W wyniku testu zachodzą tylko zdarzenia elementarne. Całość wszystkich możliwych, różnych, konkretnych wyników testu nazywa się elementarna przestrzeń wydarzenia.
Podstawowe pojęcia teorii
Prawdopodobieństwo- stopień prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia. Kiedy przyczyny zaistnienia jakiegoś możliwego zdarzenia przeważają nad przyczynami przeciwstawnymi, wtedy to zdarzenie nazywa się prawdopodobnym, w przeciwnym razie - mało prawdopodobnym lub nieprawdopodobnym.
Wartość losowa- jest to wartość, która w wyniku testu może przyjąć taką lub inną wartość i nie wiadomo z góry, która. Na przykład: liczba remiz na dzień, liczba trafień z 10 strzałami itp.
Zmienne losowe można podzielić na dwie kategorie.
- Dyskretna zmienna losowa wywoływana jest taka wielkość, która w wyniku testu może przybierać określone wartości z określonym prawdopodobieństwem, tworząc zbiór przeliczalny (zbiór, którego elementy można ponumerować). Ten zbiór może być skończony lub nieskończony. Na przykład liczba strzałów przed pierwszym trafieniem w cel jest dyskretną zmienną losową, ponieważ wartość ta może przyjąć nieskończoną, choć policzalną liczbę wartości.
- Ciągła zmienna losowa jest wielkością, która może przyjąć dowolną wartość z pewnego skończonego lub nieskończonego przedziału. Oczywiście liczba możliwych wartości ciągłej zmiennej losowej jest nieskończona.
Przestrzeń prawdopodobieństwa- koncepcja wprowadzona przez A.N. Kołmogorowa w latach 30. XX wieku w celu sformalizowania pojęcia prawdopodobieństwa, co dało początek szybkiemu rozwojowi teorii prawdopodobieństwa jako rygorystycznej dyscypliny matematycznej.
Przestrzeń prawdopodobieństwa jest trójką (czasami umieszczoną w nawiasach ostrych: , gdzie
Jest to zbiór arbitralny, którego elementy nazywane są zdarzeniami elementarnymi, wynikami lub punktami;
- sigma-algebra podzbiorów zwanych zdarzeniami losowymi;
- miara probabilistyczna lub prawdopodobieństwo, tj. sigma-addytywna miara skończona taka, że .
Twierdzenie De Moivre-Laplace'a- jedno z twierdzeń granicznych teorii prawdopodobieństwa, ustanowione przez Laplace'a w 1812 roku. Twierdzi, że liczba sukcesów w powtórzeniu tego samego losowego eksperymentu z dwoma możliwymi wynikami ma w przybliżeniu rozkład normalny. Pozwala znaleźć przybliżoną wartość prawdopodobieństwa.
Jeżeli dla każdej z niezależnych prób prawdopodobieństwo wystąpienia jakiegoś zdarzenia losowego jest równe () i jest liczbą prób, w których ono faktycznie występuje, to prawdopodobieństwo ważności nierówności jest zbliżone (dla dużych ) do wartości całki Laplace'a.
Funkcja dystrybucji w teorii prawdopodobieństwa- funkcja charakteryzująca rozkład zmiennej losowej lub wektora losowego; prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą lub równą x, gdzie x jest dowolną liczbą rzeczywistą. W pewnych warunkach całkowicie określa zmienną losową.
Wartość oczekiwana- średnia wartość zmiennej losowej (jest to rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej, rozpatrywany w teorii prawdopodobieństwa). W literaturze angielskiej jest oznaczony w języku rosyjskim -. W statystyce często używa się notacji.
Niech zostanie podana przestrzeń prawdopodobieństwa i określona na niej zmienna losowa. Jest to z definicji funkcja mierzalna. Następnie, jeśli istnieje całka Lebesgue'a po przestrzeni , to nazywa się ją oczekiwaniem matematycznym lub wartością średnią i jest oznaczana przez .
Wariancja zmiennej losowej- miara rozrzutu danej zmiennej losowej, czyli jej odchylenia od oczekiwań matematycznych. Wyznaczony w literaturze rosyjskiej i zagranicznej. W statystykach często używane jest oznaczenie lub. Pierwiastek kwadratowy z wariancji nazywany jest odchyleniem standardowym, odchyleniem standardowym lub rozrzutem standardowym.
Niech będzie zmienną losową określoną na pewnej przestrzeni prawdopodobieństwa. Następnie
gdzie symbol oznacza oczekiwanie matematyczne.
W teorii prawdopodobieństwa nazywa się dwa zdarzenia losowe niezależny jeśli wystąpienie jednego z nich nie zmienia prawdopodobieństwa wystąpienia drugiego. Podobnie dwie zmienne losowe nazywane są zależny jeśli wartość jednego z nich wpływa na prawdopodobieństwo wartości drugiego.
Najprostszą postacią prawa wielkich liczb jest twierdzenie Bernoulliego, które mówi, że jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia jest takie samo we wszystkich próbach, to wraz ze wzrostem liczby prób częstotliwość zdarzenia zmierza do prawdopodobieństwa zdarzenia i przestaje być przypadkowy.
Prawo wielkich liczb w teorii prawdopodobieństwa mówi, że średnia arytmetyczna skończonej próbki ze stałego rozkładu jest zbliżona do średniej teoretycznej tego rozkładu. W zależności od rodzaju zbieżności rozróżnia się słabe prawo dużych liczb, gdy zachodzi zbieżność prawdopodobieństwa, oraz silne prawo dużych liczb, gdy zbieżność prawie na pewno zachodzi.
Ogólne znaczenie prawa wielkich liczb polega na tym, że wspólne działanie dużej liczby identycznych i niezależnych czynników losowych prowadzi do wyniku, który w granicach nie zależy od przypadku.
Na tej właściwości opierają się metody szacowania prawdopodobieństwa oparte na analizie próbki skończonej. Dobrym przykładem jest przewidywanie wyników wyborów na podstawie badania próby wyborców.
Centralne twierdzenia graniczne- klasa twierdzeń w rachunku prawdopodobieństwa stwierdzająca, że suma wystarczająco dużej liczby słabo zależnych zmiennych losowych o w przybliżeniu tej samej skali (żaden z wyrazów nie dominuje, nie wnosi decydującego wkładu do sumy) ma rozkład bliski normalna.
Ponieważ wiele zmiennych losowych w aplikacjach powstaje pod wpływem kilku słabo zależnych czynników losowych, ich rozkład uważa się za normalny. W takim przypadku należy przestrzegać warunku, że żaden z czynników nie jest dominujący. Centralne twierdzenia graniczne w tych przypadkach uzasadniają zastosowanie rozkładu normalnego.
