Wyrażenia i zadania matematyczne wymagają dużo dodatkowej wiedzy. NOC jest jednym z głównych, szczególnie często używanym w temacie.Temat jest studiowany w liceum, podczas gdy nie jest on szczególnie trudny do zrozumienia materiału, nie będzie trudno wybrać osobie znającej potęgi i tabliczkę mnożenia niezbędne liczby i znajdź wynik.
Definicja
Wspólna wielokrotność to liczba, którą można całkowicie podzielić na dwie liczby jednocześnie (a i b). Najczęściej tę liczbę uzyskuje się przez pomnożenie oryginalnych liczb a i b. Liczba musi być podzielna przez obie liczby naraz, bez odchyleń.
NOC to skrócona nazwa, która pochodzi od pierwszych liter.
Sposoby na zdobycie numeru
Aby znaleźć LCM, metoda mnożenia liczb nie zawsze jest odpowiednia, znacznie lepiej nadaje się do prostych liczb jednocyfrowych lub dwucyfrowych. Zwyczajowo dzieli się na czynniki, im większa liczba, tym więcej będzie czynników.
Przykład 1
W najprostszym przykładzie szkoły zwykle przyjmują liczby proste, jednocyfrowe lub dwucyfrowe. Na przykład musisz rozwiązać następujące zadanie, znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 7 i 3, rozwiązanie jest dość proste, po prostu je pomnóż. W rezultacie jest liczba 21, po prostu nie ma mniejszej liczby.
Przykład #2
Druga opcja jest znacznie trudniejsza. Podano liczby 300 i 1260, znalezienie LCM jest obowiązkowe. Aby rozwiązać zadanie, zakłada się następujące działania:
Rozkład pierwszej i drugiej liczby na najprostsze czynniki. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Pierwszy etap został zakończony.
Drugi etap to praca z już uzyskanymi danymi. Każda z otrzymanych liczb musi uczestniczyć w obliczeniu końcowego wyniku. Dla każdego czynnika z pierwotnych liczb pobierana jest największa liczba wystąpień. LCM jest liczbą wspólną, więc czynniki z liczb muszą się w niej powtarzać do ostatniej, nawet te, które występują w jednym wystąpieniu. Obie liczby początkowe mają w swoim składzie liczby 2, 3 i 5, w różnym stopniu, 7 jest tylko w jednym przypadku.
Aby obliczyć ostateczny wynik, musisz wziąć do równania każdą liczbę w największej z ich reprezentowanych potęg. Pozostaje tylko pomnożyć i uzyskać odpowiedź, przy prawidłowym wypełnieniu zadanie bez wyjaśnienia składa się z dwóch kroków:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOK = 6300.
To całe zadanie, jeśli spróbujesz obliczyć pożądaną liczbę przez pomnożenie, odpowiedź na pewno nie będzie poprawna, ponieważ 300 * 1260 = 378 000.
Badanie:
6300 / 300 = 21 - prawda;
6300/1260 = 5 jest poprawne.
Poprawność wyniku określa się przez sprawdzenie - podzielenie LCM przez obie liczby pierwotne, jeżeli liczba jest w obu przypadkach liczbą całkowitą, to odpowiedź jest prawidłowa.
Co oznacza NOC w matematyce?
Jak wiecie, w matematyce nie ma ani jednej bezużytecznej funkcji, ta nie jest wyjątkiem. Najczęstszym celem tej liczby jest doprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika. Czego zwykle uczy się w klasach 5-6 liceum. Jest to również dodatkowo wspólny dzielnik dla wszystkich wielokrotności, jeśli takie warunki występują w problemie. Takie wyrażenie może znaleźć wielokrotność nie tylko dwóch liczb, ale także znacznie większej liczby - trzy, pięć i tak dalej. Im więcej liczb - tym więcej czynności w zadaniu, ale złożoność tego nie wzrasta.
Na przykład, biorąc pod uwagę liczby 250, 600 i 1500, musisz znaleźć ich całkowity LCM:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ten przykład szczegółowo opisuje rozkład na czynniki, bez redukcji.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Aby skomponować wyrażenie, należy wymienić wszystkie czynniki, w tym przypadku podaje się 2, 5, 3 - dla wszystkich tych liczb wymagane jest określenie maksymalnego stopnia.
Uwaga: wszystkie mnożniki muszą zostać doprowadzone do pełnego uproszczenia, jeśli to możliwe, rozkładając je do poziomu pojedynczych cyfr.
Badanie:
1) 3000 / 250 = 12 - prawda;
2) 3000 / 600 = 5 - prawda;
3) 3000 / 1500 = 2 jest poprawne.
Ta metoda nie wymaga żadnych sztuczek ani zdolności na poziomie geniuszu, wszystko jest proste i jasne.
Inny sposób
W matematyce wiele jest ze sobą powiązanych, wiele można rozwiązać na dwa lub więcej sposobów, to samo dotyczy znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności, LCM. Poniższą metodę można zastosować w przypadku prostych liczb dwucyfrowych i jednocyfrowych. Zestawiana jest tabela, w której mnożnik jest wprowadzany pionowo, mnożnik poziomo, a iloczyn jest wskazywany w przecinających się komórkach kolumny. Tabelę można odzwierciedlić za pomocą linii, bierze się liczbę i zapisuje wyniki pomnożenia tej liczby przez liczby całkowite, od 1 do nieskończoności, czasami wystarczy 3-5 punktów, poddaje się drugą i kolejne liczby do tego samego procesu obliczeniowego. Wszystko dzieje się, dopóki nie zostanie znaleziona wspólna wielokrotność.
Mając liczby 30, 35, 42, musisz znaleźć LCM, który łączy wszystkie liczby:
1) Wielokrotności 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 itd.
2) Wielokrotności 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 itd.
3) Wielokrotności 42: 84, 126, 168, 210, 252 itd.
Widać, że wszystkie liczby są zupełnie inne, jedyną wspólną liczbą jest 210, więc będzie to LCM. Wśród procesów związanych z tym obliczeniem występuje również największy wspólny dzielnik, który jest obliczany według podobnych zasad i często spotykany w sąsiednich problemach. Różnica jest niewielka, ale wystarczająco znacząca, LCM polega na obliczeniu liczby podzielnej przez wszystkie podane wartości początkowe, a GCD zakłada obliczenie największej wartości, przez którą dzielone są liczby początkowe.
Kalkulator online pozwala szybko znaleźć największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch lub dowolną inną liczbę liczb.
Kalkulator do znajdowania GCD i NOC
Znajdź GCD i NOC
Znaleziono GCD i NOC: 5806
Jak korzystać z kalkulatora
- Wprowadź liczby w polu wprowadzania
- W przypadku wpisania błędnych znaków pole wejściowe zostanie podświetlone na czerwono
- naciśnij przycisk "Znajdź GCD i NOC"
Jak wpisywać cyfry
- Liczby są wprowadzane oddzielone spacjami, kropkami lub przecinkami
- Długość wprowadzanych liczb nie jest ograniczona, więc znalezienie gcd i lcm długich liczb nie będzie trudne
Co to jest NOD i NOK?
Największy wspólny dzielnik kilku liczb to największa naturalna liczba całkowita, przez którą wszystkie liczby pierwotne są podzielne bez reszty. Największy wspólny dzielnik jest w skrócie GCD.
Najmniejsza wspólna wielokrotność kilka liczb to najmniejsza liczba podzielna przez każdą z pierwotnych liczb bez reszty. Najmniejsza wspólna wielokrotność jest skrócona jako NOC.
Jak sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez inną liczbę bez reszty?
Aby dowiedzieć się, czy jedna liczba jest podzielna przez drugą bez reszty, możesz użyć pewnych własności podzielności liczb. Następnie łącząc je można sprawdzić podzielność przez niektóre z nich i ich kombinacje.
Niektóre oznaki podzielności liczb
1. Znak podzielności liczby przez 2
Aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez dwa (czy jest parzysta), wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę tej liczby: jeśli jest równa 0, 2, 4, 6 lub 8, to liczba jest parzysta, co oznacza, że jest podzielna przez 2.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 2.
Rozwiązanie: spójrz na ostatnią cyfrę: 8 oznacza, że liczba jest podzielna przez dwa.
2. Znak podzielności liczby przez 3
Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3. Tak więc, aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez 3, musisz obliczyć sumę cyfr i sprawdzić, czy jest podzielna przez 3. Nawet jeśli suma cyfr okazała się bardzo duża, możesz powtórzyć ten sam proces ponownie.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 3.
Rozwiązanie: liczymy sumę cyfr: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 3, co oznacza, że liczba jest podzielna przez trzy.
3. Znak podzielności liczby przez 5
Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnia cyfra to zero lub pięć.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 5.
Rozwiązanie: spójrz na ostatnią cyfrę: 8 oznacza, że liczba NIE jest podzielna przez pięć.
4. Znak podzielności liczby przez 9
Ten znak jest bardzo podobny do znaku podzielności przez trzy: liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 9.
Rozwiązanie: obliczamy sumę cyfr: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 9, co oznacza, że liczba jest podzielna przez dziewięć.
Jak znaleźć GCD i LCM dwóch liczb?
Jak znaleźć NWD dwóch liczb
Najprostszym sposobem obliczenia największego wspólnego dzielnika dwóch liczb jest znalezienie wszystkich możliwych dzielników tych liczb i wybranie największej z nich.
Rozważ tę metodę na przykładzie znalezienia GCD(28, 36) :
- Rozkładamy obie liczby na czynniki: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
- Znajdujemy wspólne czynniki, czyli takie, które obie liczby mają: 1, 2 i 2.
- Obliczamy iloczyn tych czynników: 1 2 2 \u003d 4 - jest to największy wspólny dzielnik liczb 28 i 36.
Jak znaleźć LCM dwóch liczb
Istnieją dwa najczęstsze sposoby znajdowania najmniejszej wielokrotności dwóch liczb. Pierwszy sposób polega na tym, że możesz wypisać pierwsze wielokrotności dwóch liczb, a następnie wybrać spośród nich taką liczbę, która będzie wspólna dla obu liczb i jednocześnie najmniejsza. Drugim jest znalezienie GCD tych liczb. Po prostu rozważmy to.
Aby obliczyć LCM, musisz obliczyć iloczyn pierwotnych liczb, a następnie podzielić go przez poprzednio znaleziony GCD. Znajdźmy LCM dla tych samych numerów 28 i 36:
- Znajdź iloczyn liczb 28 i 36: 28 36 = 1008
- gcd(28, 36) jest już znane jako 4
- LCM(28, 36) = 1008/4 = 252.
Znajdowanie GCD i LCM dla wielu liczb
Największy wspólny dzielnik można znaleźć dla kilku liczb, a nie tylko dla dwóch. W tym celu liczby do wyszukania dla największego wspólnego dzielnika są rozkładane na czynniki pierwsze, a następnie znajduje się iloczyn wspólnych czynników pierwszych tych liczb. Ponadto, aby znaleźć GCD kilku liczb, możesz użyć następującej relacji: nwd(a, b, c) = nwd(ww(a, b), c).
Podobna zależność dotyczy również najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb: LKM(a, b, c) = LKM(LCM(a, b), c)
Przykład: znajdź GCD i LCM dla numerów 12, 32 i 36.
- Najpierw rozliczmy liczby na czynniki: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
- Znajdźmy wspólne czynniki: 1, 2 i 2 .
- Ich iloczyn da gcd: 1 2 2 = 4
- Teraz znajdźmy LCM: w tym celu najpierw znajdujemy LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
- Aby znaleźć LCM wszystkich trzech liczb, musisz znaleźć NWD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , NWD = 1 2. 2 3 = 12 .
- LCM(12,32,36) = 96 36/12 = 288.
Definicja. Największa liczba naturalna, przez którą liczby a i b są podzielne bez reszty, nazywa się największy wspólny dzielnik (gcd) te liczby.
Znajdźmy największy wspólny dzielnik liczb 24 i 35.
Dzielnikami 24 będą liczby 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a dzielnikami 35 będą liczby 1, 5, 7, 35.
Widzimy, że liczby 24 i 35 mają tylko jeden wspólny dzielnik - liczbę 1. Takie liczby są nazywane pierwotna.
Definicja. Liczby naturalne nazywają się pierwotna jeśli ich największy wspólny dzielnik (gcd) wynosi 1.
Największy wspólny dzielnik (GCD) można znaleźć bez wypisywania wszystkich dzielników podanych liczb.
Faktorując liczby 48 i 36 otrzymujemy:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Z czynników uwzględnionych w rozwinięciu pierwszej z tych liczb usuwamy te, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby (tj. dwie dwójki).
Pozostają dzielniki 2 * 2 * 3. Ich iloczyn wynosi 12. Ta liczba jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 48 i 36. Znaleziono również największy wspólny dzielnik trzech lub więcej liczb.
Znaleźć Największy wspólny dzielnik
2) z czynników uwzględnionych w rozwinięciu jednej z tych liczb skreślić te, które nie są uwzględnione w rozwinięciu innych liczb;
3) znaleźć iloczyn pozostałych czynników.
Jeżeli wszystkie podane liczby są podzielne przez jedną z nich, to liczba ta wynosi Największy wspólny dzielnik podane liczby.
Na przykład największym wspólnym dzielnikiem 15, 45, 75 i 180 jest 15, ponieważ dzieli wszystkie inne liczby: 45, 75 i 180.
Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM)
Definicja. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczby naturalne a i b to najmniejsza liczba naturalna będąca wielokrotnością liczby a i b. Najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) z liczb 75 i 60 można znaleźć bez wypisywania wielokrotności tych liczb w rzędzie. Aby to zrobić, rozkładamy 75 i 60 na proste czynniki: 75 \u003d 3 * 5 * 5 i 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Wypiszmy czynniki uwzględnione w rozwinięciu pierwszej z tych liczb i dodajmy do nich brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia drugiej liczby (czyli łączymy czynniki).
Otrzymujemy pięć czynników 2 * 2 * 3 * 5 * 5, których iloczyn wynosi 300. Ta liczba jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 75 i 60.
Znajdź także najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb.
Do znajdź najmniej wspólną wielokrotność kilka liczb naturalnych, potrzebujesz:
1) rozłożyć je na czynniki pierwsze;
2) wypisz czynniki uwzględnione w rozwinięciu jednej z liczb;
3) dodać do nich brakujące czynniki z rozwinięć pozostałych liczb;
4) znaleźć iloczyn powstałych czynników.
Zauważ, że jeśli jedna z tych liczb jest podzielna przez wszystkie inne, to ta liczba jest najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb.
Na przykład najmniejsza wspólna wielokrotność 12, 15, 20 i 60 będzie równa 60, ponieważ jest podzielna przez wszystkie podane liczby.
Pitagoras (VI wiek pne) i jego uczniowie badali kwestię podzielności liczb. Liczbę równą sumie wszystkich jej dzielników (bez samej liczby) nazwali liczbą idealną. Na przykład liczby 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) są idealne. Następne liczby doskonałe to 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejczycy znali tylko trzy pierwsze liczby doskonałe. Czwarty - 8128 - stał się znany w I wieku. n. mi. Piąty - 33 550 336 - został znaleziony w XV wieku. Do 1983 roku znanych było już 27 doskonałych liczb. Ale do tej pory naukowcy nie wiedzą, czy istnieją liczby nieparzyste doskonałe, czy istnieje największa liczba doskonała.
Zainteresowanie starożytnych matematyków liczbami pierwszymi wynika z faktu, że każda liczba jest albo pierwsza, albo może być reprezentowana jako iloczyn liczb pierwszych, to znaczy liczby pierwsze są jak cegły, z których zbudowane są pozostałe liczby naturalne.
Zapewne zauważyłeś, że liczby pierwsze w szeregu liczb naturalnych występują nierównomiernie – w niektórych częściach szeregu jest ich więcej, w innych mniej. Ale im dalej poruszamy się wzdłuż szeregu liczb, tym rzadsze są liczby pierwsze. Powstaje pytanie: czy istnieje ostatnia (największa) liczba pierwsza? Starożytny grecki matematyk Euklides (III wiek p.n.e.) w swojej książce „Początki”, która przez dwa tysiące lat była głównym podręcznikiem matematyki, dowiódł, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, to znaczy za każdą liczbą pierwszą kryje się parzysta większa liczba pierwsza.
Aby znaleźć liczby pierwsze, inny grecki matematyk tego samego czasu, Eratostenes, wymyślił taką metodę. Zapisał wszystkie liczby od 1 do jakiejś liczby, a następnie wykreślił jednostkę, która nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną, a następnie przekreślił przez jedną wszystkie liczby po 2 (liczby będące wielokrotnością 2, czyli 4, 6, 8 itd.). Pierwsza pozostała liczba po 2 to 3. Następnie, po dwóch, wszystkie liczby po 3 zostały przekreślone (liczby będące wielokrotnościami 3, tj. 6, 9, 12 itd.). w końcu tylko liczby pierwsze pozostały nieskreślone.
Rozważ trzy sposoby znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności.
Wyszukiwanie przez faktoring
Pierwszym sposobem jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez rozłożenie podanych liczb na czynniki pierwsze.
Załóżmy, że musimy znaleźć LCM liczb: 99, 30 i 28. Aby to zrobić, rozkładamy każdą z tych liczb na czynniki pierwsze:
Aby żądana liczba była podzielna przez 99, 30 i 28, konieczne i wystarczające jest, aby zawierała wszystkie czynniki pierwsze tych dzielników. Aby to zrobić, musimy wziąć wszystkie czynniki pierwsze tych liczb do najwyższej występującej potęgi i pomnożyć je przez siebie:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Tak więc LCM (99, 30, 28) = 13 860. Żadna inna liczba mniejsza niż 13 860 nie jest podzielna przez 99, 30 lub 28.
Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność podanych liczb, musisz rozłożyć je na czynniki pierwsze, a następnie wziąć każdy czynnik pierwszy o największym wykładniku, jaki występuje, i pomnożyć te czynniki przez siebie.
Ponieważ liczby względnie pierwsze nie mają wspólnych czynników pierwszych, ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa iloczynowi tych liczb. Na przykład trzy liczby: 20, 49 i 33 są względnie pierwsze. Dlatego
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.
To samo należy zrobić, szukając najmniejszej wspólnej wielokrotności różnych liczb pierwszych. Na przykład LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Znajdowanie według wyboru
Drugim sposobem jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez dopasowanie.
Przykład 1. Gdy największa z podanych liczb jest równo podzielna przez inne podane liczby, to LCM tych liczb jest równy większej z nich. Na przykład, biorąc pod uwagę cztery liczby: 60, 30, 10 i 6. Każda z nich jest podzielna przez 60, zatem:
NOC(60, 30, 10, 6) = 60
W innych przypadkach, aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, stosuje się następującą procedurę:
- Określ największą liczbę z podanych liczb.
- Następnie znajdujemy liczby będące wielokrotnościami największej liczby, mnożąc ją przez liczby naturalne w kolejności rosnącej i sprawdzając, czy pozostałe podane liczby są podzielne przez otrzymany iloczyn.
Przykład 2. Mając trzy liczby 24, 3 i 18. Wyznacz największą z nich - jest to liczba 24. Następnie znajdź wielokrotności 24, sprawdzając, czy każda z nich jest podzielna przez 18 i przez 3:
24 1 = 24 jest podzielne przez 3, ale nie jest podzielne przez 18.
24 2 = 48 - podzielne przez 3, ale niepodzielne przez 18.
24 3 \u003d 72 - podzielne przez 3 i 18.
Zatem LCM(24, 3, 18) = 72.
Wyszukiwanie za pomocą wyszukiwania sekwencyjnego LCM
Trzecim sposobem jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności poprzez sukcesywne znajdowanie LCM.
LCM dwóch danych liczb jest równy iloczynowi tych liczb podzielonemu przez ich największy wspólny dzielnik.
Przykład 1. Znajdź LCM dwóch podanych liczb: 12 i 8. Określ ich największy wspólny dzielnik: NWD (12, 8) = 4. Pomnóż te liczby:
Produkt dzielimy na ich GCD:
Tak więc LCM(12, 8) = 24.
Aby znaleźć LCM trzech lub więcej liczb, stosuje się następującą procedurę:
- Najpierw znajduje się LCM dowolnych dwóch z podanych liczb.
- Następnie LCM znalezionej najmniejszej wspólnej wielokrotności i trzeciej podanej liczby.
- Następnie LCM wynikowej najmniejszej wspólnej wielokrotności i czwartej liczby, i tak dalej.
- W ten sposób wyszukiwanie LCM trwa tak długo, jak długo są liczby.
Przykład 2. Znajdźmy LCM trzech podanych liczb: 12, 8 i 9. W poprzednim przykładzie znaleźliśmy LCM liczb 12 i 8 (jest to liczba 24). Pozostaje znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność 24 i trzecią podaną liczbę - 9. Wyznacz ich największy wspólny dzielnik: gcd (24, 9) = 3. Pomnóż LCM przez liczbę 9:
Produkt dzielimy na ich GCD:
Tak więc LCM(12, 8, 9) = 72.
Kontynuujmy dyskusję na temat najmniejszej wspólnej wielokrotności, którą rozpoczęliśmy w sekcji LCM - Najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady. W tym temacie przyjrzymy się sposobom znalezienia LCM dla trzech liczb lub więcej, przeanalizujemy pytanie, jak znaleźć LCM liczby ujemnej.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) przez gcd
Ustaliliśmy już relację między najmniejszą wspólną wielokrotnością a największym wspólnym dzielnikiem. Teraz nauczmy się definiować LCM poprzez GCD. Najpierw zastanówmy się, jak to zrobić dla liczb dodatnich.
Definicja 1
Najmniejszą wspólną wielokrotność można znaleźć przez największy wspólny dzielnik za pomocą wzoru LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .
Przykład 1
Konieczne jest znalezienie LCM o numerach 126 i 70.
Rozwiązanie
Weźmy a = 126 , b = 70 . Zastąp wartości we wzorze obliczania najmniejszej wspólnej wielokrotności przez największy wspólny dzielnik LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Znajduje NWD liczb 70 i 126. W tym celu potrzebujemy algorytmu Euclid: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , stąd gcd (126 , 70) = 14 .
Obliczmy LCM: LCM (126, 70) = 126 70: NWD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Odpowiadać: LCM (126, 70) = 630.
Przykład 2
Znajdź nok liczb 68 i 34.
Rozwiązanie
GCD w tym przypadku jest łatwe do znalezienia, ponieważ 68 jest podzielne przez 34. Oblicz najmniejszą wspólną wielokrotność, korzystając ze wzoru: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Odpowiadać: LCM(68, 34) = 68.
W tym przykładzie zastosowaliśmy regułę znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności dodatnich liczb całkowitych aib: jeśli pierwsza liczba jest podzielna przez drugą, to LCM tych liczb będzie równy pierwszej liczbie.
Znalezienie LCM przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze
Przyjrzyjmy się teraz, jak znaleźć LCM, który opiera się na rozkładzie liczb na czynniki pierwsze.
Definicja 2
Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, musimy wykonać kilka prostych kroków:
- tworzymy iloczyn wszystkich czynników pierwszych liczb, dla których musimy znaleźć LCM;
- wykluczamy wszystkie czynniki pierwsze z otrzymanych produktów;
- iloczyn otrzymany po wyeliminowaniu wspólnych czynników pierwszych będzie równy LCM danych liczb.
Ten sposób znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności opiera się na równości LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Jeśli spojrzysz na wzór, stanie się jasne: iloczyn liczb a i b jest równy iloczynowi wszystkich czynników, które biorą udział w ekspansji tych dwóch liczb. W tym przypadku NWD dwóch liczb jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych, które są jednocześnie obecne w faktoryzacji tych dwóch liczb.
Przykład 3
Mamy dwie liczby 75 i 210 . Możemy je rozłożyć w ten sposób: 75 = 3 5 5 oraz 210 = 2 3 5 7. Jeśli zrobisz iloczyn wszystkich czynników dwóch pierwotnych liczb, otrzymasz: 2 3 3 5 5 5 7.
Jeśli wykluczymy czynniki wspólne dla liczb 3 i 5, otrzymamy iloczyn postaci: 2 3 5 5 7 = 1050. Ten produkt będzie naszym LCM dla numerów 75 i 210.
Przykład 4
Znajdź LCM liczb 441 oraz 700 , rozkładając obie liczby na czynniki pierwsze.
Rozwiązanie
Znajdźmy wszystkie czynniki pierwsze liczb podanych w warunku:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Otrzymujemy dwa łańcuchy liczb: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7 .
Iloczyn wszystkich czynników, które brały udział w ekspansji tych liczb będzie wyglądał następująco: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Znajdźmy wspólne czynniki. Ta liczba to 7 . Wykluczamy go z produktu ogólnego: 2 2 3 3 5 5 7 7. Okazuje się, że NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Odpowiadać: LCM (441, 700) = 44 100 .
Podajmy jeszcze jedno sformułowanie metody znajdowania LCM przez rozkład liczb na czynniki pierwsze.
Definicja 3
Wcześniej wykluczyliśmy z całkowitej liczby czynników wspólnych dla obu liczb. Teraz zrobimy to inaczej:
- Rozłóżmy obie liczby na czynniki pierwsze:
- dodaj do iloczynu czynników pierwszych pierwszej liczby brakujące czynniki drugiej liczby;
- otrzymujemy produkt, który będzie pożądanym LCM dwóch liczb.
Przykład 5
Wróćmy do liczb 75 i 210 , dla których szukaliśmy już LCM w jednym z poprzednich przykładów. Podzielmy je na proste czynniki: 75 = 3 5 5 oraz 210 = 2 3 5 7. Do iloczynu czynników 3 , 5 i 5 numer 75 dodaj brakujące czynniki 2 oraz 7 numery 210 . Otrzymujemy: 2 3 5 5 7 . To jest LCM liczb 75 i 210.
Przykład 6
Konieczne jest obliczenie LCM liczb 84 i 648.
Rozwiązanie
Rozłóżmy liczby z warunku na czynniki pierwsze: 84 = 2 2 3 7 oraz 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodaj do iloczynu czynników 2 , 2 , 3 i 7
liczby 84 brakujące czynniki 2 , 3 , 3 i
3
numery 648 . Otrzymujemy produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność 84 i 648.
Odpowiadać: LCM (84, 648) = 4536.
Znalezienie LCM trzech lub więcej liczb
Niezależnie od tego, z iloma liczbami mamy do czynienia, algorytm naszych działań zawsze będzie taki sam: konsekwentnie znajdziemy LCM dwóch liczb. W tym przypadku istnieje twierdzenie.
Twierdzenie 1
Załóżmy, że mamy liczby całkowite a 1 , a 2 , … , a k. NOC mk z tych liczb znajduje się w obliczeniach sekwencyjnych m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .
Przyjrzyjmy się teraz, w jaki sposób twierdzenie można zastosować do konkretnych problemów.
Przykład 7
Należy obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność czterech liczb 140 , 9 , 54 i 250 .
Rozwiązanie
Wprowadźmy notację: 1 \u003d 140, 2 \u003d 9, 3 \u003d 54, 4 \u003d 250.
Zacznijmy od obliczenia m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9 ). Użyjmy algorytmu Euklidesa, aby obliczyć NWD liczb 140 i 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Otrzymujemy: NWD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: NWD(140, 9) = 140 9:1 = 1260. Dlatego m 2 = 1 260 .
Teraz obliczmy według tego samego algorytmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . W trakcie obliczeń otrzymujemy m 3 = 3 780.
Pozostaje nam obliczyć m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Działamy według tego samego algorytmu. Otrzymujemy m 4 \u003d 94 500.
LCM czterech liczb z przykładowego warunku to 94500 .
Odpowiadać: LCM (140, 9, 54, 250) = 94500.
Jak widać obliczenia są proste, ale dość pracochłonne. Aby zaoszczędzić czas, możesz iść w drugą stronę.
Definicja 4
Oferujemy następujący algorytm działań:
- rozłożyć wszystkie liczby na czynniki pierwsze;
- do iloczynu czynników pierwszej liczby dodaj brakujące czynniki z iloczynu drugiej liczby;
- dodaj brakujące czynniki trzeciej liczby do iloczynu otrzymanego na poprzednim etapie itp.;
- wynikowy iloczyn będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością wszystkich liczb z warunku.
Przykład 8
Konieczne jest znalezienie LCM pięciu liczb 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Rozwiązanie
Rozłóżmy wszystkie pięć liczb na czynniki pierwsze: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Liczby pierwsze, czyli liczba 7, nie mogą być rozłożone na czynniki pierwsze. Takie liczby pokrywają się z ich rozkładem na czynniki pierwsze.
Teraz weźmy iloczyn czynników pierwszych 2, 2, 3 i 7 liczby 84 i dodajmy do nich brakujące czynniki drugiej liczby. Rozłożyliśmy liczbę 6 na 2 i 3. Te czynniki są już w iloczynie pierwszej liczby. Dlatego je pomijamy.
Nadal dodajemy brakujące mnożniki. Zwracamy się do liczby 48, z iloczynu czynników pierwszych, z których bierzemy 2 i 2. Następnie dodajemy prosty czynnik 7 z czwartej liczby oraz dzielniki 11 i 13 piątej. Otrzymujemy: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność z pięciu pierwotnych liczb.
Odpowiadać: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.
Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb ujemnych
Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb ujemnych, liczby te należy najpierw zastąpić liczbami o przeciwnym znaku, a następnie wykonać obliczenia według powyższych algorytmów.
Przykład 9
LCM(54, −34) = LCM(54, 34) i LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888).
Takie działania są dopuszczalne ze względu na to, że jeśli przyjmie się, że a oraz − a- liczby przeciwne
następnie zbiór wielokrotności a pokrywa się ze zbiorem wielokrotności liczby − a.
Przykład 10
Konieczne jest obliczenie LCM liczb ujemnych − 145 oraz − 45 .
Rozwiązanie
Zmieńmy liczby − 145 oraz − 45 do ich przeciwnych numerów 145 oraz 45 . Teraz, korzystając z algorytmu, obliczamy LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305, po wcześniejszym określeniu GCD za pomocą algorytmu Euclid.
Otrzymujemy, że LCM liczb − 145 i − 45 równa się 1 305 .
Odpowiadać: LCM (-145, -45) = 1 305.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
