Historia kości. Kości Online Kości i niezależność

Stwierdzenie Einsteina, że ​​Bóg nie gra w kości ze wszechświatem, zostało błędnie zinterpretowane

Niewiele sloganów Einsteina było tak szeroko cytowanych jak jego uwaga, że ​​Bóg nie gra w kości ze wszechświatem. Ludzie naturalnie odbierają tę jego dowcipną uwagę jako dowód na to, że był dogmatycznie przeciwny mechanice kwantowej, która uważa losowość za cechę świata fizycznego. Kiedy jądro pierwiastka promieniotwórczego rozpada się, dzieje się to samoistnie, nie ma reguły, która dokładnie powie, kiedy i dlaczego to nastąpi. Kiedy cząstka światła pada na półprzezroczyste lustro, zostaje od niego odbita lub przechodzi. Wynik może być dowolny, aż do momentu, w którym nastąpiło to zdarzenie. I nie trzeba iść do laboratorium, aby zobaczyć tego rodzaju proces: wiele stron internetowych pokazuje strumienie liczb losowych generowanych przez liczniki Geigera lub urządzenia optyki kwantowej. Ponieważ liczby te są nieprzewidywalne nawet w zasadzie, idealnie nadają się do kryptografii, statystyk i turniejów pokera online.

Einstein, jak głosi standardowa legenda. nie zgodził się z faktem, że niektóre zdarzenia ze względu na swój charakter są nieokreślone. - po prostu się zdarzają i nic nie można zrobić, aby dowiedzieć się dlaczego. Pozostając niemal we wspaniałej izolacji, otoczony równymi sobie, trzymał się obiema rękami mechanicznego Wszechświata fizyki klasycznej, mechanicznie odmierzając sekundy, w których każda chwila przesądza o tym, co wydarzy się w następnej. Linia kostki wskazywała na drugą stronę jego życia: tragedię rewolucjonisty, który stał się reakcjonistą, który zrewolucjonizował fizykę swoją teorią względności, ale – jak to dyplomatycznie ujął Niels Bohr – w obliczu teorii kwantowej „pominięty na obiad”.

Jednak przez lata wielu historyków, filozofów i fizyków kwestionowało tę interpretację tej historii. Zanurzając się w morzu wszystkiego, co faktycznie powiedział Einstein, odkryli, że jego sądy na temat nieprzewidywalności były bardziej radykalne i bardziej dopracowane, niż się to zwykle przedstawia. „Próba odkopania prawdziwej historii przypomina misjonarstwo” – mówi Don Howard (Don A. Howard), historyk z Uniwersytetu Notre Dame. „To niesamowite, gdy zagłębiasz się w archiwa i widzisz rozbieżność z ogólnie przyjętymi poglądami. zaakceptowany pomysł.” Jak pokazał on i inni historycy nauki, Einstein uznał niedeterministyczny charakter mechaniki kwantowej – co nie jest zaskakujące, gdyż to on odkrył jej indeterminizm. Nigdy nie przyznał, że indeterminizm ma fundamentalną naturę. Wszystko to wskazywało, że problem pojawia się na głębszym poziomie rzeczywistości, którego teoria nie odzwierciedlała. Jego krytyka nie była mistyczna, ale skupiała się na konkretnych problemach naukowych, które do dziś pozostają nierozwiązane.

Pytanie, czy wszechświat jest mechanizmem zegarowym, czy kostką do gry, podważa podstawy tego, czym według nas jest fizyka: poszukiwaniem prostych zasad leżących u podstaw zdumiewającej różnorodności natury. Jeśli coś dzieje się bez powodu, kładzie to kres racjonalnym dociekaniom. „Fundamentalny indeterminizm oznaczałby koniec nauki” – powiedział Andrew S. Friedman, kosmolog z Massachusetts Institute of Technology. Jednak filozofowie na przestrzeni dziejów wierzyli, że indeterminizm jest warunkiem koniecznym wolnej woli człowieka. Albo wszyscy jesteśmy mechanizmami mechanizmu zegarowego i dlatego wszystko, co robimy, jest z góry określone, albo jesteśmy czynnikiem naszego własnego przeznaczenia, w takim przypadku Wszechświat nadal nie powinien być deterministyczny.

Ta dychotomia ma bardzo realne konsekwencje w sposobie, w jaki społeczeństwo pociąga ludzi do odpowiedzialności za swoje czyny. Nasz system prawny opiera się na założeniu wolnej woli; aby oskarżonego można było uznać za winnego, musiał on działać umyślnie. Sądy nieustannie zastanawiają się nad pytaniem: a co, jeśli dana osoba jest niewinna z powodu szaleństwa, młodzieńczej impulsywności lub zepsutego środowiska społecznego?

Jednak ilekroć ludzie mówią o dychotomii, zwykle starają się zdemaskować ją jako błędne przekonanie. Rzeczywiście wielu filozofów uważa, że ​​mówienie o tym, czy wszechświat jest deterministyczny, czy niedeterministyczny, nie ma sensu. Mogą to być jedno i drugie, w zależności od tego, jak duży i złożony jest przedmiot badań: cząstki, atomy, cząsteczki, komórki, organizmy, psychika, społeczności. „Różnica między determinizmem a indeterminizmem zależy od poziomu zbadania problemu” – mówi Christian List, filozof w London School of Economics and Political Science. „Nawet jeśli zaobserwujesz determinizm na jakimś szczególnym poziomie, jest to całkiem zgodne z indeterminizmem zarówno na wyższym, jak i niższym poziomie”. Atomy w naszych mózgach mogą zachowywać się w całkowicie deterministyczny sposób, jednocześnie pozostawiając nam swobodę działania, tak jak atomy i narządy funkcjonują na różnych poziomach.

Podobnie Einstein poszukiwał deterministycznego poziomu subkwantowego, nie przecząc jednocześnie, że poziom kwantowy jest probabilistyczny.

Czemu Einstein się sprzeciwił?

To, w jaki sposób Einstein zyskał miano antyteorii kwantowej, jest tajemnicą prawie tak wielką jak sama mechanika kwantowa. Sama koncepcja kwantu – dyskretnej jednostki energii – była owocem jego refleksji w 1905 roku i przez półtorej dekady bronił jej niemal samodzielnie. Einstein to zasugerował. co fizycy uważają dziś za główne cechy fizyki kwantowej, takie jak dziwna zdolność światła do zachowywania się jak cząstka i jak fala, i to właśnie na podstawie swoich refleksji na temat fizyki fal Erwin Schrödinger opracował najszerzej akceptowane sformułowanie kwantu teoria z lat 20. Einstein również nie był przeciwnikiem przypadku. W 1916 roku wykazał, że gdy atomy emitują fotony, czas i kierunek emisji są zmiennymi losowymi.

„Jest to sprzeczne z popularnym portretem Einsteina, przeciwstawianym podejściu probabilistycznemu” – argumentuje Jan von Plato z Uniwersytetu Helsińskiego. Jednak Einstein i jemu współcześni stanęli przed poważnym problemem. Zjawiska kwantowe są przypadkowe, ale sama teoria kwantowa nie. Równanie Schrödingera jest w 100% deterministyczne. Opisuje cząstkę lub układ cząstek za pomocą tak zwanej funkcji falowej, która wykorzystuje falową naturę cząstek i wyjaśnia falowy wzór, jaki tworzy zbiór cząstek. Równanie przewiduje z całkowitą pewnością, co stanie się z funkcją falową w danym momencie. Pod wieloma względami równanie to jest bardziej deterministyczne niż prawa ruchu Newtona: nie prowadzi do nieporozumień, takich jak osobliwość (gdzie ilości stają się nieskończone i dlatego nie da się ich opisać) czy chaos (gdzie ruch staje się nieprzewidywalny).

Haczyk polega na tym, że determinizm równania Schrödingera jest determinizmem funkcji falowej, a funkcji falowej nie można zaobserwować bezpośrednio, w przeciwieństwie do położenia i prędkości cząstek. Zamiast tego funkcja falowa określa wielkości, które można zaobserwować i prawdopodobieństwo każdego z możliwych wyników. Teoria pozostawia otwartą kwestię, czym jest sama funkcja falowa i czy należy ją rozumieć dosłownie jako rzeczywistą falę w naszym materialnym świecie. W związku z tym otwarte pozostaje pytanie: czy obserwowana przypadkowość jest immanentną właściwością natury, czy tylko jej fasadą? „Twierdzi się, że mechanika kwantowa jest niedeterministyczna, ale jest to zbyt pochopny wniosek” – mówi filozof Christian Wuthrich z Uniwersytetu Genewskiego w Szwajcarii.

Werner Heisenberg, kolejny z pionierów, który położył podwaliny pod teorię kwantową, postrzegał funkcję falową jako mgłę potencjalnego istnienia. Jeśli nie da się jasno i jednoznacznie wskazać, gdzie cząstka się znajduje, to dzieje się tak dlatego, że tak naprawdę cząstka nie znajduje się nigdzie w określonym miejscu. Dopiero gdy zaobserwujesz cząstkę, materializuje się ona gdzieś w przestrzeni. Funkcję falową można rozmazać na dużym obszarze przestrzeni, ale w momencie dokonania obserwacji natychmiast się zapada, kurczy do wąskiego punktu zlokalizowanego w jednym konkretnym miejscu i nagle pojawia się tam cząstka. Ale nawet jeśli spojrzysz na cząstkę, huk! - nagle przestaje zachowywać się deterministycznie i wskakuje do stanu końcowego, jak dziecko chwytające krzesło w grze „muzyczne krzesła”. (Zabawa polega na tym, że dzieci chodzą okrągłym tańcem w rytm muzyki wokół krzeseł, których jest o jeden mniej niż graczy, i gdy tylko muzyka ucichnie, starają się usiąść na wolnym miejscu).

Nie ma żadnego prawa, które regulowałoby ten upadek. Nie ma na to równania. To się po prostu zdarza – to wszystko! Upadek stał się kluczowym elementem interpretacji kopenhaskiej: poglądu na mechanikę kwantową nazwanego na cześć miasta, w którym Bohr i jego instytut wraz z Heisenbergiem wykonali większość przełomowej pracy. (Jak na ironię, sam Bohr nigdy nie rozpoznał załamania się funkcji falowej.) Szkoła kopenhaska uważa obserwowaną losowość fizyki kwantowej za jej nominalną cechę, niepoddającą się dalszym wyjaśnieniom. Większość fizyków się z tym zgadza, jedną z przyczyn jest znany z psychologii tzw. efekt zakotwiczenia, czyli efekt zakotwiczenia: jest to wyjaśnienie w pełni zadowalające i pojawiło się jako pierwsze. Choć Einstein nie był przeciwnikiem mechaniki kwantowej, zdecydowanie był przeciwnikiem jej kopenhaskiej interpretacji. Zaczął od poglądu, że akt pomiaru powoduje przerwę w ciągłej ewolucji układu fizycznego i właśnie w tym kontekście zaczął wyrażać swój sprzeciw wobec boskiego rzucania kośćmi. „To właśnie nad tą kwestią ubolewa Einstein w 1926 r., a nie nad wszechogarniającym metafizycznym twierdzeniem, że determinizm jest absolutnie koniecznym warunkiem” – argumentuje Howard.

Wielość rzeczywistości.A jednak, czy świat jest deterministyczny, czy nie? Odpowiedź na to pytanie zależy nie tylko od podstawowych praw ruchu, ale także od poziomu, na jakim opisujemy układ. Rozważmy pięć atomów w gazie poruszających się deterministycznie (górny diagram). Zaczynają się niemal w tym samym miejscu i stopniowo się rozchodzą. Jednak na poziomie makroskopowym (dolny diagram) widoczne są nie pojedyncze atomy, ale amorficzny przepływ w gazie. Po pewnym czasie gaz prawdopodobnie zostanie losowo rozdzielony na kilka strumieni. Ta losowość na poziomie makro jest produktem ubocznym nieznajomości przez obserwatora praw na poziomie mikro, jest obiektywną właściwością natury, która odzwierciedla sposób, w jaki atomy łączą się. Podobnie Einstein założył, że deterministyczna wewnętrzna struktura wszechświata prowadzi do probabilistycznej natury sfery kwantowej.

Jest mało prawdopodobne, aby upadek był rzeczywistym procesem, argumentował Einstein. Wymagałoby to natychmiastowego działania na odległość – tajemniczego mechanizmu, dzięki któremu, powiedzmy, zarówno lewa, jak i prawa strona funkcji falowej zapadają się w ten sam maleńki punkt, nawet jeśli żadna siła nie koordynuje ich zachowania. Nie tylko Einstein, ale każdy fizyk jego czasów uważał, że taki proces jest niemożliwy, musiałby zachodzić szybciej niż prędkość światła, co jest w oczywistej sprzeczności z teorią względności. W rzeczywistości mechanika kwantowa nie daje ci tylko kości, ale daje ci pary kości, które zawsze mają tę samą twarz, nawet jeśli rzucisz jedną w Vegas, a drugą w Vega. Dla Einsteina wydawało się oczywiste, że kości muszą być naładowane, co pozwala z wyprzedzeniem i w ukryty sposób wpływać na wynik rzutów. Jednak szkoła kopenhaska zaprzecza takiej możliwości, sugerując, że kostki rzeczywiście natychmiast wpływają na siebie w ogromnej przestrzeni kosmicznej. Ponadto Einsteina niepokoiła siła, jaką Kopenhaga przypisywała aktowi pomiaru. Czym w ogóle jest pomiar? Może jest to coś, co mogą zrobić tylko czujące istoty, a nawet profesorowie etatowi? Heisenberg i inni przedstawiciele szkoły kopenhaskiej nigdy nie precyzowali tej koncepcji. Niektórzy sugerują, że otaczającą rzeczywistość tworzymy w naszych umysłach w trakcie jej obserwacji. Pomysł ten brzmi poetycko, a może nawet zbyt poetycko. Einstein uważał również, że szczytem kopenhaskiej arogancji było stwierdzenie, że mechanika kwantowa jest kompletna i że jest to ostateczna teoria, która nigdy nie zostanie zastąpiona przez inną. Wszystkie teorie, łącznie z własną, uważał za pomosty do czegoś jeszcze większego.

W rzeczywistości. Howard argumentuje, że Einstein chętnie zaakceptowałby indeterminizm, gdyby mógł uzyskać odpowiedzi na wszystkie swoje problemy, które należy rozwiązać – gdyby na przykład ktoś mógł jasno określić, czym jest pomiar i w jaki sposób cząstki mogą pozostawać zsynchronizowane bez działań dalekosiężnych. O tym, że Einstein uważał indeterminizm za problem wtórny, świadczy to, że postawił te same wymagania wobec deterministycznych alternatyw w stosunku do szkoły kopenhaskiej, a także je odrzucił. Inny historyk, Arthur Fine z Uniwersytetu Waszyngtońskiego. wierzy. Że Howard wyolbrzymia podatność Einsteina na indeterminizm, zgadza się jednak, że jego sądy opierają się na mocniejszych podstawach, niż zwykło sądzić kilka pokoleń fizyków na podstawie strzępków jego wypowiedzi na temat gry w kości.

przypadkowe myśli

Jeśli opowiesz się za szkołą kopenhaską, wierzył Einstein, odkryjesz, że zaburzenie kwantowe jest takie samo jak wszystkie inne rodzaje zaburzeń w fizyce: jest produktem głębszego wglądu. Taniec maleńkich cząstek pyłu w wiązce światła zdradza złożony ruch cząsteczek, a emisja fotonów lub radioaktywny rozpad jąder jest podobnym procesem, sądził Einstein. Jego zdaniem mechanika kwantowa jest teorią wartościującą, która wyraża ogólne zachowanie elementów składowych natury, ale nie ma wystarczającej rozdzielczości, aby uchwycić poszczególne szczegóły.

Głębsza, pełniejsza teoria w pełni wyjaśni ruch - bez żadnych tajemniczych skoków. Z tego punktu widzenia funkcja falowa jest opisem zbiorczym, jako stwierdzenie, że zwykła kostka, jeśli zostanie rzucona wiele razy, spadnie mniej więcej tyle samo razy na każdą stronę. Załamanie się funkcji falowej nie jest procesem fizycznym, ale zdobywaniem wiedzy. Jeśli rzucisz sześciościenną kostką i wypadnie, powiedzmy, czwórka, zakres opcji od jednego do sześciu kurczy się, lub można powiedzieć, zawija się do rzeczywistej wartości „cztery”. Podobny do boga demon, który potrafi śledzić szczegóły struktury atomowej wpływającej na wynik rzutu kostką (tj. dokładnie zmierzyć, w jaki sposób Twoja ręka popycha i obraca kostkę, zanim uderzy ona w stół), nigdy nie będzie mówił o zawaleniu się.

Intuicję Einsteina wzmocniły jego wczesne prace nad zbiorowym skutkiem ruchu molekularnego, prowadzone w dziedzinie fizyki zwanej mechaniką statystyczną, w których wykazał, że fizyka może być probabilistyczna nawet wtedy, gdy zjawiska opierają się na rzeczywistości deterministycznej. W 1935 roku Einstein napisał do filozofa Karla Poppera: „Nie sądzę, abyś miał rację, twierdząc, że na podstawie teorii deterministycznej nie da się wyciągać wniosków statystycznych. Weźmy na przykład klasyczną mechanikę statystyczną (teorię gazów lub teorię gazów teoria ruchów Browna).” Prawdopodobieństwa w rozumieniu Einsteina były równie realne, jak w interpretacji szkoły kopenhaskiej. Manifestując się w podstawowych prawach ruchu, odzwierciedlają inne właściwości otaczającego świata, nie są jedynie artefaktami ludzkiej ignorancji. Einstein zasugerował Popperowi jako przykład rozważenie cząstki poruszającej się po okręgu ze stałą prędkością; prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w danym odcinku łuku kołowego odzwierciedla symetrię jej trajektorii. Podobnie prawdopodobieństwo, że kostka wyląduje na danej ściance, wynosi jedną szóstą, ponieważ ma ona sześć równych ścian. „Rozumiał lepiej niż większość wówczas, że ważna fizyka kryje się w szczegółach prawdopodobieństwa statystyczno-mechanicznego” – mówi Howard.

Kolejną lekcją mechaniki statystycznej było to, że obserwowane przez nas wielkości niekoniecznie istnieją na głębszym poziomie. Na przykład gaz ma temperaturę, ale nie ma sensu mówić o temperaturze pojedynczej cząsteczki gazu. Przez analogię Einstein doszedł do wniosku, że teoria subkwantowa jest konieczna, aby oznaczać radykalne odejście od mechaniki kwantowej. W 1936 roku napisał: „Nie ma wątpliwości, że mechanika kwantowa uchwyciła piękny element prawdy<...>Nie sądzę jednak, że mechanika kwantowa będzie punktem wyjścia w poszukiwaniu tego fundamentu i odwrotnie, nie można przejść od termodynamiki (odpowiednio mechaniki statystycznej) do podstaw mechaniki. „Aby wypełnić ten głębszy poziom, Einstein poprowadził poszukiwania w kierunku jednolitej teorii dziedziny, w której cząstki są pochodnymi struktur, które wcale nie są podobne do cząstek. Krótko mówiąc, konwencjonalna mądrość mówiąca, że ​​Einstein nie zgodził się na probabilistyczny charakter fizyki kwantowej, jest błędna. Próbował wyjaśniać przypadkowość, a nie sprawiać wrażenie, że w ogóle jej nie ma.

Uczyń swój poziom najlepszym

Chociaż projekt ujednoliconej teorii Einsteina nie powiódł się, podstawowe założenia jego intuicyjnego podejścia do losowości nadal są aktualne: indeterminizm może wynikać z determinizmu. Poziom kwantowy i subkwantowy – lub jakakolwiek inna para poziomów w hierarchii natury – składają się z różnych typów struktur, zatem podlegają różnym typom praw. Prawo rządzące jednym poziomem może naturalnie dopuszczać element przypadku, nawet jeśli prawa niższego poziomu są w pełni uregulowane. „Deterministyczna mikrofizyka nie daje podstaw deterministycznej makrofizyce” – mówi filozof Jeremy Butterfield z Uniwersytetu w Cambridge.

Wyobraź sobie kostkę na poziomie atomowym. Sześcian może składać się z niewyobrażalnie dużej liczby konfiguracji atomowych, które gołym okiem są całkowicie nie do odróżnienia od siebie. Jeśli zastosujesz którąkolwiek z tych konfiguracji podczas obracania się kości, doprowadzi to do określonego wyniku – ściśle deterministycznego. W niektórych konfiguracjach kostka zatrzyma się z jedną kropką na górnej powierzchni, w innych zatrzyma się z dwoma. itp. Dlatego pojedynczy stan makroskopowy (jeśli wprawisz sześcian w obrót) może prowadzić do kilku możliwych wyników makroskopowych (jedna z sześciu ścian będzie na górze). „Jeśli opiszemy kość na poziomie makro, możemy o niej pomyśleć jako o systemie stochastycznym, który pozwala na obiektywną losowość” – mówi Liszt, który bada koniugację poziomów pod kierunkiem Marcusa Pivato, matematyka z Uniwersytetu Cergy-Pontoise we Francji.

Chociaż wyższy poziom opiera się na niższym poziomie, jest on autonomiczny. Aby opisać kości, trzeba pracować na poziomie, na którym kostki istnieją jako takie, a robiąc to, nie sposób nie pominąć atomów i ich dynamiki. Jeśli krzyżujesz jeden poziom z drugim, popełniasz sztuczkę z podstawieniem kategorii: to tak, jakby pytać o przynależność polityczną kanapki z łososiem (by posłużyć się przykładem filozofa z Uniwersytetu Columbia, Davida Alberta). „Kiedy mamy do czynienia ze zjawiskiem, które można opisać na różnych poziomach, musimy zachować szczególną ostrożność koncepcyjną, aby nie pomylić poziomów” – mówi List. Z tego powodu wynik rzutu kostką nie wygląda po prostu losowo. To jest naprawdę losowe. Boski demon mógłby się przechwalać, że dokładnie wie, co się stanie, ale wie tylko, co stanie się z atomami. Nawet nie podejrzewa, czym jest kostka, ponieważ jest to informacja na wyższym poziomie. Demon nigdy nie widzi lasu, tylko drzewa. Jest niczym bohater opowieści argentyńskiego pisarza Jorge Luisa Borgesa „Funes pamięci” – człowiek, który wszystko pamięta, ale niczego nie pojmuje. „Myślenie oznacza zapominanie o różnicach, uogólnianie, abstrahowanie” – pisze Borges. Aby demon wiedział, po której stronie spadną kości, należy wyjaśnić, czego szukać. „Jedynym sposobem, w jaki demon może dostać się do tego, co dzieje się na najwyższym poziomie, jest szczegółowy opis tego, jak definiujemy granicę między poziomami” – mówi List. Rzeczywiście po tym demon prawdopodobnie stanie się zazdrosny, że jesteśmy śmiertelnikami.

Logika poziomów działa również dokładnie w odwrotnym kierunku. Niedeterministyczna mikrofizyka może prowadzić do deterministycznej makrofizyki. Piłka baseballowa może być wykonana z cząstek wykazujących chaotyczne zachowanie, ale jej lot jest całkowicie przewidywalny; losowość kwantowa, uśrednianie. znika. Podobnie gazy składają się z cząsteczek, które poruszają się niezwykle złożonymi – i w istocie niedeterministycznymi – ruchami, ale ich temperatura i inne właściwości podlegają prawom tak prostym jak dwa i dwa. Bardziej spekulacyjnie, niektórzy fizycy, na przykład Robert Laughlin z Uniwersytetu Stanforda, sugerują, że najniższy poziom w ogóle nie ma znaczenia. Cegiełkami może być wszystko, a mimo to ich zbiorowe zachowanie będzie takie samo. W końcu układy tak różnorodne, jak cząsteczki wody, gwiazdy w galaktyce i samochody na autostradzie, podlegają tym samym prawom przepływu płynów.

Wreszcie wolne

Kiedy pomyślimy w kategoriach poziomów, znika obawa, że ​​indeterminizm może oznaczać koniec nauki. Nie ma wokół nas wysokiego muru, który chroniłby nasz praworządny fragment Wszechświata przed podatną na anarchię i niezrozumiałą resztą. Tak naprawdę świat jest tortem złożonym z determinizmu i indeterminizmu. Na przykład klimatem Ziemi rządzą deterministyczne prawa ruchu Newtona, ale prognoza pogody jest probabilistyczna, a sezonowe i długoterminowe trendy klimatyczne są ponownie przewidywalne. Biologia również wynika z fizyki deterministycznej, ale organizmy i ekosystemy wymagają innych metod opisu, takich jak ewolucja darwinowska. „Determinizm nie wyjaśnia absolutnie wszystkiego” – zauważa filozof z Tufts University Daniel Dennett. „Dlaczego pojawiły się żyrafy? Bo kto to ustalił: niech tak będzie?”

W tym warstwowym torcie znajdują się ludzie. Mamy potężne poczucie wolnej woli. Często podejmujemy nieprzewidywalne i przeważnie istotne decyzje, rozumiemy, że mogliśmy zrobić inaczej (i często żałujemy, że tego nie zrobiliśmy). Od tysiącleci tak zwani libertarianie, zwolennicy filozoficznej doktryny o wolnej woli (nie mylić z ruchem politycznym!), argumentowali, że wolność osoby wymaga wolności cząstki. Coś musi zniszczyć deterministyczny bieg zdarzeń, jak na przykład losowość kwantowa czy „odchylenia”, których – jak sądzili niektórzy starożytni filozofowie – mogą doświadczyć atomy podczas swego ruchu (wprowadzono koncepcję przypadkowego, nieprzewidywalnego odchylenia atomu od jego pierwotnej trajektorii). filozofia starożytna Lukrecjusza w obronie atomistycznej doktryny Epikura).

Główny problem związany z tym tokiem rozumowania polega na tym, że uwalnia on cząsteczki, ale pozostawia nas jako niewolników. Nie ma znaczenia, czy twoja decyzja została z góry ustalona w czasie Wielkiego Wybuchu, czy przez małą cząstkę, to wciąż nie jest twoja decyzja. Aby być wolnymi, potrzebujemy indeterminizmu, nie na poziomie cząstek, ale na poziomie ludzkim. Jest to możliwe, ponieważ poziom ludzki i poziom cząstek są od siebie niezależne. Nawet jeśli wszystko, co robisz, można by prześledzić od pierwszych kroków, jesteś panem swoich działań, ponieważ ani ty, ani twoje działania nie istnieją na poziomie materii, a jedynie na poziomie makro świadomości. „To makroindeterminizm oparty na mikrodeterminizmie prawdopodobnie gwarantuje wolną wolę” – powiedział Butterfield. Makroindeterminizm nie jest powodem twoich decyzji. To jest twoja decyzja.

Niektórzy prawdopodobnie sprzeciwią się i powiedzą Ci, że nadal jesteś marionetką, a prawa natury działają jak lalkarz, a Twoja wolność to nic innego jak iluzja. Ale samo słowo „iluzja” przywodzi na myśl miraże na pustyni i kobiety przecięte na pół: to wszystko nie istnieje w rzeczywistości. Makroindeterminizm to nie to samo. Jest to całkiem realne, ale nie fundamentalne. Można to porównać do życia. Pojedyncze atomy są materią całkowicie nieożywioną, ale ich ogromna masa może żyć i oddychać. „Wszystko, co ma związek z agentami, ich stanami intencji, decyzjami i wyborami – żaden z tych bytów nie ma nic wspólnego z pojęciowym zestawem narzędzi podstawowej fizyki, ale to nie znaczy, że te zjawiska nie są rzeczywiste” – zauważa List oznacza po prostu, że wszystkie one są zjawiskami na znacznie wyższym poziomie.”

Błędem kategorycznym, jeśli nie całkowitą ignorancją, byłoby opisywanie ludzkich decyzji w kategoriach mechaniki ruchu atomów w głowie. Zamiast tego konieczne jest użycie wszystkich koncepcji psychologii: pragnienia, możliwości, intencji. Dlaczego piłem wodę, a nie wino? Bo chciałem. Moje pragnienia wyjaśniają moje działania. W większości przypadków, gdy zadajemy pytanie „Dlaczego?”, szukamy motywacji danej osoby, a nie jej pochodzenia fizycznego. Wyjaśnienia psychologiczne dopuszczają rodzaj indeterminizmu, o którym mówi List. Na przykład teoretycy gier modelują proces podejmowania decyzji przez człowieka, przedstawiając szereg opcji i wyjaśniając, którą z nich byś wybrał, gdybyś działał racjonalnie. Twoja swoboda wyboru konkretnej opcji reguluje Twój wybór, nawet jeśli nigdy tej opcji nie wybierzesz.

Oczywiście argumenty Lista nie wyjaśniają w pełni wolnej woli. Hierarchia poziomów otwiera przestrzeń dla wolnej woli, oddzielając psychologię od fizyki i dając nam możliwość robienia nieoczekiwanych rzeczy. Musimy jednak wykorzystać tę szansę. Gdybyśmy na przykład podejmowali wszystkie decyzje poprzez rzucanie monetą, nadal byłoby to uważane za makroindeterminizm, ale trudno byłoby to kwalifikować jako wolną wolę w jakimkolwiek znaczącym sensie. Z drugiej strony podejmowanie decyzji przez niektóre osoby może być tak wyczerpujące, że nie można powiedzieć, że działają swobodnie.

Takie podejście do problemu determinizmu nadaje sens interpretacji teorii kwantów, która została zaproponowana kilka lat po śmierci Einsteina w 1955 roku. Nazywano ją interpretacją wielu światów lub interpretacją Everetta. Jej zwolennicy argumentują, że mechanika kwantowa opisuje zbiór wszechświatów równoległych - multiwers, który zachowuje się ogólnie deterministycznie, ale nam wydaje się niedeterministyczny, ponieważ możemy zobaczyć tylko jeden wszechświat. Na przykład atom może emitować foton w prawo lub w lewo; teoria kwantowa pozostawia wynik tego wydarzenia otwartym. Zgodnie z interpretacją wielu światów taki obraz można zaobserwować, ponieważ dokładnie taka sama sytuacja ma miejsce w niezliczonej liczbie wszechświatów równoległych: w niektórych z nich foton leci deterministycznie w lewo, a w pozostałych w prawo. Nie będąc w stanie dokładnie określić, w którym z wszechświatów się znajdujemy, nie możemy przewidzieć, co się stanie, dlatego od wewnątrz sytuacja ta wydaje się niewytłumaczalna. „W kosmosie nie ma prawdziwej losowości, ale dla oka obserwatora zdarzenia mogą wydawać się losowe” – wyjaśnia kosmolog Max Tegmark z Massachusetts Institute of Technology, znany zwolennik tego poglądu. „Losowość odzwierciedla twoją niezdolność do określenia, gdzie jesteś."

To jakby powiedzieć, że kostkę do gry lub mózg można zbudować z dowolnej z niezliczonych konfiguracji atomów. Ta konfiguracja sama w sobie może być deterministyczna, ale ponieważ nie możemy wiedzieć, która z nich odpowiada naszej kostce lub naszemu mózgowi, zmuszeni jesteśmy założyć, że wynik jest niedeterministyczny. Zatem wszechświaty równoległe nie są jakąś egzotyczną ideą krążącą w chorej wyobraźni. Nasze ciało i nasz mózg to maleńkie wieloświaty, to różnorodność możliwości zapewnia nam wolność.

Najpopularniejszą formą jest sześcian, po każdej stronie którego widnieją liczby od jednego do sześciu. Gracz rzucając go na płaską powierzchnię, widzi wynik na górnej ściance. Kości są prawdziwym ustnikiem przypadku, szczęścia lub pecha.

Wypadek.
Kostki (kości) istnieją od dawna, ale sześcioboczna forma, która stała się tradycyjna, została nabyta około 2600 roku p.n.e. mi. Starożytni Grecy uwielbiali grać w kości, a w ich legendach jako ich wynalazca wymieniany jest bohater Palamedes, niesłusznie oskarżony o zdradę przez Odyseusza. Według legendy wymyślił tę grę, aby zabawiać żołnierzy oblegających Troję, schwytanych dzięki ogromnemu drewnianemu koniowi. Rzymianie w czasach Juliusza Cezara również bawili się różnymi grami w kości. Po łacinie sześcian nazywano datum, co oznacza „dany”.

Zakazy.
W średniowieczu, około XII wieku, kości stały się w Europie bardzo popularne: kostki, które można wszędzie zabrać ze sobą, cieszą się popularnością zarówno wśród wojowników, jak i chłopów. Mówi się, że było ponad sześćset różnych gier! Produkcja kości staje się odrębnym zawodem. Król Ludwik IX (1214-1270), który powrócił z krucjaty, nie aprobował hazardu i nakazał zakaz produkcji kości do gry w całym królestwie. Władzom bardziej niż samej grze nie podobały się zamieszki z nią związane – grano wtedy głównie w tawernach, a zabawy często kończyły się bójkami i dźgnięciami. Ale żadne zakazy nie przeszkodziły kostkom przetrwać czasu i przetrwać do dziś.

Kości z „ładunekem”!
O wyniku rzutu kostką zawsze decyduje przypadek, ale niektórzy oszuści próbują to zmienić. Wiercąc otwór w matrycy i wlewając do niej ołów lub rtęć, można mieć pewność, że wałek będzie za każdym razem dawał ten sam efekt. Taka kostka nazywana jest „naładowaną”. Wykonane z różnych materiałów, czy to złota, kamienia, kryształu, kości, kostki mogą mieć różne kształty. Małe kostki w kształcie piramidy (czworościanu) znaleziono w grobowcach egipskich faraonów, którzy zbudowali wielkie piramidy! W różnych okresach wykonywano kości o 8, 10, 12, 20, a nawet 100 bokach. Zwykle nanoszone są na nie cyfry, ale w ich miejscu mogą pojawić się także litery lub obrazy, dające pole do popisu dla wyobraźni.

Jak rzucić kostką.
Kości mają nie tylko różne kształty, ale także różne sposoby gry. Zasady niektórych gier wymagają, aby rzut był wykonywany w określony sposób, zwykle w celu uniknięcia obliczonego rzutu lub zapobieżenia zatrzymaniu się kości w pozycji przechylonej. Czasami mocowana jest do nich specjalna szyba, aby uniknąć oszukiwania lub spadnięcia ze stołu do gry. W angielskiej grze w krepę wszystkie trzy kości muszą koniecznie uderzyć w stół do gry lub ścianę, aby nie pozwolić oszustom na imitowanie rzutu poprzez proste poruszanie kostkami, ale nie obracanie ich.

Losowość i prawdopodobieństwo.
Kości zawsze dają losowy wynik, którego nie można przewidzieć. Za pomocą jednej kości gracz ma tyle samo szans na wyrzucenie 1, co 6 – o wszystkim decyduje przypadek. Z drugiej strony przy dwóch kostkach poziom losowości maleje, ponieważ gracz ma więcej informacji o wyniku: przykładowo przy dwóch kostkach liczbę 7 można uzyskać na kilka sposobów - rzucając 1 i 6, 5 i 2 lub 4 i 3... Ale możliwość zdobycia liczby 2 jest tylko jedna: dwa razy rzucić 1. Zatem prawdopodobieństwo zdobycia 7 jest większe niż zdobycia 2! Nazywa się to teorią prawdopodobieństwa. Wiele gier jest związanych z tą zasadą, szczególnie gry cashowe.

O użyciu kości.
Dice może być samodzielną grą bez innych elementów. Jedyne, co praktycznie nie istnieje, to gry na pojedynczą kostkę. Przepisy wymagają co najmniej dwóch (np. Naleśnik). Aby grać w pokera w kości, potrzebujesz pięciu kości, długopisu i papieru. Celem jest wypełnienie kombinacji podobnych do kombinacji gry karcianej o tej samej nazwie, zapisując za nie punkty w specjalnej tabeli. Ponadto kostka jest bardzo popularną częścią gier planszowych, która pozwala przenosić żetony lub decydować o wyniku bitew w grach.

Die jest rzucone.
W 49 r. p.n.e. mi. młody Juliusz Cezar podbił Galię i wrócił do Pompejów. Senatorowie obawiali się jednak jego władzy i postanowili rozwiązać jego armię, zanim wróci. Przyszły cesarz, dotarwszy do granic republiki, postanawia złamać porządek, przekraczając go wojskiem. Przed przekroczeniem Rubikonu (rzeki będącej granicą) powiedział swoim legionistom „Alea jacta est” („kości zostały rzucone”). To powiedzenie stało się frazesem, którego znaczenie jest takie, że podobnie jak w grze, po podjęciu pewnych decyzji, nie można się już wycofać.

Napisane przez projektanta Tylera Sigmana na temat „Gamasutra”. Pieszczotliwie nazywam go artykułem o „włosach w nozdrzach orka”, ale całkiem dobrze opisuje podstawy prawdopodobieństwa w grach.

Temat tego tygodnia

Do dzisiaj prawie wszystko, o czym mówiliśmy, było deterministyczne, a w zeszłym tygodniu przyjrzeliśmy się bliżej mechanice przechodniej i rozłożyliśmy ją tak szczegółowo, jak tylko udało mi się to wyjaśnić. Ale do tej pory nie zwracaliśmy uwagi na ogromny aspekt wielu gier, a mianowicie na aspekty niedeterministyczne, czyli innymi słowy - losowość. Zrozumienie natury losowości jest bardzo ważne dla projektantów gier, ponieważ tworzymy systemy, które wpływają na wrażenia gracza z danej gry, dlatego musimy wiedzieć, jak te systemy działają. Jeśli w systemie występuje losowość, musisz to zrozumieć Natura tę losowość i jak ją zmienić, aby uzyskać oczekiwane rezultaty.

Kostka do gry

Zacznijmy od czegoś prostego: rzucenia kostką. Kiedy większość ludzi myśli o kostkach, na myśl przychodzą sześciościenne kości znane jako k6. Ale większość graczy widziała wiele innych kości: czterościenne (d4), ośmiościenne (d8), dwunastościenne (d12), dwudziestościenne (d20)… i jeśli prawdziwy maniaku, możesz mieć gdzieś jakieś 30-ścienne lub 100-ścienne kości. Jeśli nie jesteś zaznajomiony z tą terminologią, „d” oznacza kość, a liczba po niej wskazuje, ile ma ścian. Jeśli zanim„d” oznacza liczbę, oznacza ilość kostki po rzuceniu. Na przykład w Monopoly rzucasz 2k6.

Zatem w tym przypadku wyrażenie „kostka do gry” jest oznaczeniem umownym. Istnieje ogromna liczba innych generatorów liczb losowych, które nie mają kształtu plastikowego bloku, ale pełnią tę samą funkcję generowania liczby losowej od 1 do n. Zwykłą monetę można również traktować jako dwuścienną kostkę d2. Widziałem dwa projekty siedmiościennej kostki: jeden wyglądał jak kostka do gry, a drugi bardziej przypominał siedmiościenny drewniany ołówek. Dreidel czworościenny (znany również jako titotum) jest analogiem kości czworościennej. Wirujące pole gry ze strzałkami w grze „Chutes & Ladders”, gdzie wynik może wynosić od 1 do 6, odpowiada sześciościennej kostce. Generator liczb losowych w komputerze może utworzyć dowolną liczbę od 1 do 19, jeśli projektant wyda takie polecenie, chociaż komputer nie ma 19-ściennej kostki (ogólnie powiem więcej o prawdopodobieństwie wypadnięcia liczb komputer o godz Następny tydzień). Chociaż wszystkie te przedmioty wyglądają inaczej, w rzeczywistości są równoważne: masz równe szanse na uzyskanie jednego z kilku wyników.

Kości mają kilka interesujących właściwości, o których musimy wiedzieć. Po pierwsze, prawdopodobieństwo wylosowania dowolnej ścianki jest takie samo (zakładam, że rzucasz właściwą kostką, a nie niewłaściwą geometrią). Więc jeśli chcesz wiedzieć Średnia wartość roll (znany również wśród probabilistów jako „oczekiwanie matematyczne”), zsumuj wartości wszystkich krawędzi i podziel tę sumę przez ilość twarze. Średnia wartość rzutu standardową sześciościenną kostką wynosi 1+2+3+4+5+6 = 21, podzielona przez liczbę ścianek (6) i otrzymujemy średnią wartość 21/6 = 3,5. Jest to przypadek szczególny, ponieważ zakładamy, że wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne.

A co jeśli masz specjalne kości? Widziałem na przykład grę z sześciościenną kostką ze specjalnymi naklejkami na ściankach: 1, 1, 1, 2, 2, 3, więc zachowuje się jak dziwna trójścienna kostka, która z większym prawdopodobieństwem wyrzuci liczba 1 niż 2 i 2 niż 3. Jaka jest średnia wartość rzutu tą kością? Zatem 1+1+1+2+2+3 = 10 podzielone przez 6 równa się 5/3, czyli około 1,66. Jeśli więc masz tę konkretną kość, a gracze rzucą trzema kośćmi, a następnie zsumują wyniki, wiesz, że przybliżona suma ich rzutów wyniesie około 5 i możesz zrównoważyć grę w oparciu o to założenie.

Kości i niezależność

Jak już mówiłem, wychodzimy z założenia, że ​​wypadnięcie każdej ściany jest jednakowo prawdopodobne. To nie zależy od tego, ile kości rzucisz. Każdy rzut kostką mimo wszystko, co oznacza, że ​​poprzednie rzuty nie wpływają na wyniki kolejnych rzutów. Przy wystarczającej liczbie testów na pewno to zrobisz ogłoszenie„serie” liczb, takie jak rzucanie głównie wyższymi lub niższymi wartościami lub innymi cechami, o czym porozmawiamy później, ale to nie znaczy, że kości są „gorące” lub „zimne”. Jeśli rzucisz standardową sześciościenną kostką i liczba 6 wypadnie dwa razy z rzędu, prawdopodobieństwo, że w następnym rzucie wypadnie 6, również wynosi 1/6. Prawdopodobieństwa nie zwiększa fakt, że kostka jest „rozgrzana”. Prawdopodobieństwo nie maleje, ponieważ liczba 6 wypadła już dwa razy z rzędu, co oznacza, że ​​teraz wypadnie kolejna twarz. (Oczywiście, jeśli rzucisz dwadzieścia razy kostką i za każdym razem wypadnie liczba 6, szansa, że ​​cyfra 6 wypadnie za dwudziestym pierwszym razem jest dość duża... ponieważ może to oznaczać, że wybrałeś złą kość !) Ale jeśli masz odpowiednią kostkę, prawdopodobieństwo wypadnięcia z każdej ze ścianek jest takie samo, niezależnie od wyników pozostałych rzutów. Można też sobie wyobrazić, że za każdym razem zamieniamy kostki, czyli jeśli dwa razy z rzędu wypadnie liczba 6, to usuwamy „gorące” kości z gry i zastępujemy je nową sześciościenną kostką. Przepraszam, jeśli ktoś z Was już o tym wiedział, ale musiałem to wyjaśnić, zanim przejdziemy dalej.

Jak sprawić, by rzut kostką był mniej lub bardziej losowy

Porozmawiajmy o tym, jak uzyskać różne wyniki na różnych kostkach. Jeśli rzucisz kostką tylko raz lub kilka razy, gra będzie bardziej losowa, jeśli kość będzie miała więcej krawędzi. Im więcej razy rzucasz kostką lub im więcej rzucasz, tym bardziej wyniki zbliżają się do średniej. Na przykład, jeśli rzucisz 1k6+4 (tj. raz standardową sześciościenną kostką i do wyniku dodasz 4), średnia będzie liczbą z zakresu od 5 do 10. Jeśli rzucisz 5k2, średnia będzie również liczbą z zakresu 5 i 10. Ale przy rzucie sześciościenną kostką prawdopodobieństwo wyrzucenia liczb 5, 8 lub 10 jest takie samo. Wynikiem rzutu 5k2 będą przeważnie liczby 7 i 8, rzadziej inne wartości. Ta sama seria, nawet ta sama średnia (7,5 w obu przypadkach), ale charakter losowości jest inny.

Poczekaj minutę. Czy nie mówiłem właśnie, że kostki nie nagrzewają się ani nie ochładzają? A teraz mówię, że jeśli rzucasz dużą ilością kości, to wyniki rzutów są bliższe średniej? Dlaczego?

Pozwól mi wyjaśnić. Jeśli rzucasz jeden kostką, prawdopodobieństwo wypadnięcia z każdej ścianki jest takie samo. Oznacza to, że jeśli rzucisz dużą liczbą kości, z biegiem czasu każda ściana pojawi się mniej więcej tyle samo razy. Im więcej kości rzucisz, tym bardziej całkowity wynik będzie zbliżony do średniej. Nie dzieje się tak dlatego, że wyrzucona liczba „powoduje” wyrzucenie innej liczby, która jeszcze nie wypadła. Ponieważ mała passa 6 (albo 20, czy cokolwiek innego) nie będzie wielką sprawą, jeśli rzucisz kostką jeszcze dziesięć tysięcy razy i przeważnie wypadnie w środku... może teraz będziesz miał kilka liczb o wysokiej wartości, ale może później kilka liczb o niskiej wartości i z biegiem czasu zbliżą się do wartości średniej. Nie dlatego, że poprzednie rzuty wpływają na kości (poważnie, kości są zbudowane z Plastikowy, nie ma dość rozumu, żeby pomyśleć „och, minęło dużo czasu, odkąd wypadła dwójka”), ale ponieważ tak zwykle dzieje się w przypadku wielu rzutów kostką. Mała seria powtarzających się liczb będzie prawie niewidoczna w dużej liczbie wyników.

Zatem dość łatwo jest obliczyć dla jednego losowego rzutu kostką, przynajmniej jeśli chodzi o obliczenie średniej wartości rzutu. Istnieją również sposoby obliczenia „jak losowe” jest coś, można powiedzieć, że wyniki rzutu 1k6+4 będą „bardziej losowe” niż 5k2, w przypadku 5k2 rozkład wyrzuconych wyników będzie bardziej równomierny, zwykle oblicza się dla tego odchylenie standardowe, a im większa wartość, tym bardziej losowe będą wyniki, ale wymaga to więcej obliczeń, niż chciałbym dzisiaj podać (wyjaśnię ten temat później). Jedyne, o co cię proszę, to to, że ogólnie rzecz biorąc, im mniej kości zostanie rzuconych, tym bardziej losowy. I jeszcze jedno uzupełnienie na ten temat: im więcej stron ma kość, tym większa losowość, ponieważ masz więcej opcji.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo za pomocą liczenia

Możesz mieć pytanie: jak możemy obliczyć dokładne prawdopodobieństwo wystąpienia określonego wyniku? Jest to właściwie ważne w wielu grach, ponieważ jeśli rzucisz kostką, prawdopodobnie początkowo uzyskasz optymalny wynik. Odpowiedź brzmi: musimy obliczyć dwie wartości. Najpierw oblicz maksymalną liczbę wyników podczas rzucania kostką (niezależnie od tego, jaki będzie wynik). Następnie policz liczbę korzystnych wyników. Dzieląc drugą wartość przez pierwszą, otrzymujesz pożądane prawdopodobieństwo. Aby uzyskać procent, wynik pomnóż przez 100.

Przykłady:

Oto bardzo prosty przykład. Chcesz wyrzucić 4 lub więcej i raz rzucić kostką sześciościenną. Maksymalna liczba wyników wynosi 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Spośród nich 3 wyniki (4, 5, 6) są korzystne. Aby obliczyć prawdopodobieństwo, dzielimy 3 przez 6 i otrzymujemy 0,5 lub 50%.

Oto przykład, który jest nieco bardziej skomplikowany. Chcesz uzyskać parzystą liczbę w rzucie 2k6. Maksymalna liczba wyników wynosi 36 (6 na każdą kostkę, a ponieważ jedna kość nie wpływa na drugą, mnożymy 6 wyników przez 6 i otrzymujemy 36). Trudność w przypadku tego typu pytań polega na tym, że łatwo jest policzyć dwa razy. Na przykład, w rzeczywistości istnieją dwa możliwe wyniki 3 w rzucie 2k6: 1+2 i 2+1. Wyglądają tak samo, ale różnica polega na tym, jaka liczba jest wyświetlana na pierwszej kostce, a jaka na drugiej. Możesz także wyobrazić sobie, że kostki są w różnych kolorach, więc na przykład w tym przypadku jedna kostka jest czerwona, a druga niebieska. Następnie policz liczbę możliwości uzyskania liczby parzystej: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2 +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+ 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). Okazuje się, że na 36 opcji korzystnego wyniku jest 18, podobnie jak w poprzednim przypadku prawdopodobieństwo wyniesie 0,5 lub 50%. Być może nieoczekiwane, ale całkiem trafne.

Symulacja Monte Carlo

A co jeśli masz za dużo kostek do wykonania tego obliczenia? Na przykład chcesz wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia w sumie 15 lub więcej przy rzucie 8k6. Istnieje WIELE różnych indywidualnych wyników dla ośmiu kości i ręczne obliczenie ich zajęłoby bardzo dużo czasu. Nawet jeśli znajdziemy jakieś dobre rozwiązanie, aby pogrupować różne serie rzutów kostkami, liczenie i tak zajmie bardzo dużo czasu. W tym przypadku najłatwiejszym sposobem obliczenia prawdopodobieństwa nie jest obliczanie ręczne, ale użycie komputera. Istnieją dwa sposoby obliczania prawdopodobieństwa na komputerze.

Pierwszy sposób pozwala uzyskać dokładną odpowiedź, ale wymaga trochę programowania lub pisania skryptów. Zasadniczo komputer sprawdzi każdą możliwość, oceni i policzy całkowitą liczbę iteracji oraz liczbę iteracji odpowiadających pożądanemu wynikowi, a następnie udzieli odpowiedzi. Twój kod może wyglądać mniej więcej tak:

int liczba wygranych=0, liczba całkowita=0;

for (int i=1; tj<=6; i++) {

dla (int j=1; j<=6; j++) {

dla (int k=1; k<=6; k++) {

… // wstaw tutaj więcej pętli

if (i+j+k+… >= 15) (

prawdopodobieństwo float = liczba wygranych/liczba całkowita;

Jeśli nie jesteś programistą i zależy Ci tylko na niedokładnej, ale przybliżonej odpowiedzi, możesz zasymulować tę sytuację w Excelu, gdzie rzucisz kilka tysięcy razy 8k6 i otrzymasz odpowiedź. Aby rzucić 1k6 w Excelu, użyj poniższej formuły:

PODŁOGA(RANDA()*6)+1

Istnieje nazwa sytuacji, gdy nie znasz odpowiedzi i po prostu próbujesz wiele razy - Symulacja Monte Carlo i jest to świetne rozwiązanie, na którym można się oprzeć, gdy próbujesz obliczyć prawdopodobieństwo, ale jest to zbyt skomplikowane. Wspaniałą rzeczą jest to, że w tym przypadku nie musimy rozumieć, jak działa matematyka i wiemy, że odpowiedź będzie „całkiem dobra”, ponieważ, jak już wiemy, im więcej rzutów, tym bardziej wynik zbliża się do Średnia wartość.

Jak łączyć niezależne badania

Jeśli pytasz o wiele powtarzających się, ale niezależnych prób, wynik jednego rzutu nie wpływa na wynik innych rzutów. Istnieje inne, prostsze wyjaśnienie tej sytuacji.

Jak odróżnić coś zależnego od niezależnego? W zasadzie, jeśli można wyodrębnić każdy rzut kostką (lub serię rzutów) jako osobne zdarzenie, wówczas jest ono niezależne. Na przykład, jeśli chcemy wyrzucić w sumie 15, rzucając 8k6, tego przypadku nie można podzielić na kilka niezależnych rzutów kostką. Ponieważ dla wyniku obliczasz sumę wartości wszystkich kości, wynik rzucony na jedną kostkę wpływa na wyniki, które należy rzucić na innych kośćch, ponieważ tylko sumując wszystkie wartości otrzymasz pożądany rezultat.

Oto przykład niezależnych rzutów: grasz w kości i rzucasz kilka razy kostkami sześciościennymi. Aby pozostać w grze, w pierwszym rzucie musisz wyrzucić 2 lub więcej. Przy drugim rzucie 3 lub więcej. Trzeci wymaga 4 lub więcej, czwarty wymaga 5 lub więcej, piąty wymaga 6. Jeśli wszystkie pięć rzutów zakończy się sukcesem, wygrywasz. W tym przypadku wszystkie rzuty są niezależne. Tak, jeśli jeden rzut się nie powiedzie, będzie to miało wpływ na wynik całej gry, ale jeden rzut nie wpływa na inny rzut. Na przykład, jeśli drugi rzut kośćmi będzie bardzo udany, nie wpływa to na prawdopodobieństwo, że kolejne rzuty będą równie udane. Dlatego możemy osobno rozważyć prawdopodobieństwo każdego rzutu kostką.

Jeśli masz oddzielne, niezależne prawdopodobieństwa i chcesz wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo Wszystko zdarzenia nadejdą, określasz indywidualne prawdopodobieństwo każdego z nich i mnożysz je. Inny sposób: jeśli użyjesz spójnika „i” do opisania kilku warunków (na przykład, jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia jakiegoś zdarzenia losowego I jakieś inne niezależne zdarzenie losowe?), oblicz poszczególne prawdopodobieństwa i pomnóż je.

Nie ma znaczenia, co myślisz nigdy nie sumuj prawdopodobieństw niezależnych. To częsty błąd. Aby zrozumieć, dlaczego jest to błędne podejście, wyobraź sobie sytuację, w której rzucasz monetą 50/50 i chcesz wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia orła dwa razy z rzędu. Każda strona ma 50% szans na wypadnięcie reszki, więc jeśli dodasz te dwa prawdopodobieństwa, otrzymasz 100% szans na wypadnięcie reszki, ale wiemy, że to nieprawda, ponieważ mogą wypaść dwie kolejne reszki. Jeśli zamiast tego pomnożysz te dwa prawdopodobieństwa, otrzymasz 50% * 50% = 25%, co jest poprawną odpowiedzią na obliczenie prawdopodobieństwa zdobycia orła dwa razy z rzędu.

Przykład

Wróćmy do gry w kości sześciościenne, gdzie najpierw musisz wyrzucić liczbę wyższą niż 2, potem wyższą niż 3 i tak dalej. do 6. Jakie są szanse, że w danej serii 5 rzutów wszystkie wyniki będą korzystne?

Jak wspomniano powyżej, są to niezależne próby, dlatego obliczamy prawdopodobieństwo dla każdego pojedynczego rzutu, a następnie je mnożymy. Prawdopodobieństwo, że wynik pierwszego rzutu będzie korzystny, wynosi 5/6. Drugi - 4/6. Trzeci - 3/6. Czwarty - 2/6, piąty - 1/6. Mnożąc wszystkie te wyniki, otrzymujemy około 1,5%… Zatem wygrana w tej grze jest dość rzadka, więc jeśli dodasz ten element do swojej gry, będziesz potrzebować całkiem sporego jackpota.

Negacja

Oto kolejna przydatna wskazówka: czasami trudno jest obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia, ale łatwiej jest określić, jakie są szanse, że zdarzenie nastąpi. nie przyjdzie.

Załóżmy na przykład, że mamy inną grę i rzucasz 6k6 i jeśli przynajmniej raz wyrzucisz 6, wygrywasz. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej?

W tym przypadku należy rozważyć wiele opcji. Być może wypadnie jedna cyfra 6, tj. jedna z kostek wyrzuci 6, a pozostałe wyrzucą od 1 do 5, i jest 6 opcji, która z kości wyrzuci 6. Następnie możesz wyrzucić 6 na dwóch, trzech lub nawet więcej, i za każdym razem musimy wykonać osobne obliczenia, więc łatwo się pomylić.

Ale jest inny sposób rozwiązania tego problemu, spójrzmy na to z drugiej strony. Ty stracić Jeśli nic z kostki nie wypadnie liczba 6. W tym przypadku mamy sześć niezależnych prób, prawdopodobieństwo każdej z nich wynosi 5/6 (na kostce może spaść dowolna liczba inna niż 6). Pomnóż je, a otrzymasz około 33%. Zatem prawdopodobieństwo przegranej wynosi 1 do 3.

Dlatego prawdopodobieństwo wygranej wynosi 67% (czyli 2 do 3).

Z tego przykładu wynika, że jeśli obliczasz prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi, odejmij wynik od 100%. Jeśli prawdopodobieństwo wygranej wynosi 67%, to prawdopodobieństwo stracić — 100% minus 67% lub 33%. I wzajemnie. Jeśli trudno jest obliczyć jedno prawdopodobieństwo, ale łatwo jest obliczyć przeciwne, oblicz przeciwne prawdopodobieństwo, a następnie odejmij od 100%.

Warunki podłączenia dla jednego niezależnego testu

Nieco wcześniej powiedziałem, że nigdy nie należy sumować prawdopodobieństw w niezależnych próbach. Czy są przypadki, w których Móc zsumować prawdopodobieństwa? Tak, w jednej konkretnej sytuacji.

Jeśli chcesz obliczyć prawdopodobieństwo wielu niepowiązanych ze sobą korzystnych wyników w tym samym badaniu, zsumuj prawdopodobieństwa każdego korzystnego wyniku. Na przykład prawdopodobieństwo wyrzucenia 4, 5 lub 6 na 1k6 wynosi suma prawdopodobieństwo wyrzucenia 4, prawdopodobieństwo wyrzucenia 5 i prawdopodobieństwo wyrzucenia 6. Możesz także pomyśleć o tej sytuacji w następujący sposób: jeśli użyjesz spójnika „lub” w pytaniu dotyczącym prawdopodobieństwa (na przykład, co jest prawdopodobieństwo Lub inny wynik jednego zdarzenia losowego?), obliczyć poszczególne prawdopodobieństwa i zsumować je.

Pamiętaj, że kiedy sumujesz wszystkie możliwe wyniki w grze suma wszystkich prawdopodobieństw musi być równa 100%. Jeśli suma nie jest równa 100%, Twoje obliczenia zostały wykonane błędnie. Jest to dobry sposób na ponowne sprawdzenie obliczeń. Na przykład analizowałeś prawdopodobieństwo uzyskania wszystkich kombinacji w pokerze, jeśli zsumujesz wszystkie wyniki, powinieneś otrzymać dokładnie 100% (lub przynajmniej wartość całkiem bliską 100%, jeśli użyjesz kalkulatora, możesz mieć mały błąd zaokrągleń, ale jeśli ręcznie dodasz dokładne liczby, wszystko powinno się sumować). Jeśli suma nie jest zbieżna, najprawdopodobniej nie wziąłeś pod uwagę niektórych kombinacji lub błędnie obliczyłeś prawdopodobieństwa niektórych kombinacji, a następnie musisz ponownie sprawdzić swoje obliczenia.

Nierówne prawdopodobieństwa

Do tej pory zakładaliśmy, że każda ścianka wykrojnika wypada z tą samą częstotliwością, bo tak działa wykrojnik. Ale czasami masz do czynienia z sytuacją, w której możliwe są różne wyniki i tak jest różny porzucić szanse. Na przykład w jednym z rozszerzeń gry karcianej „Wojna nuklearna” znajduje się pole gry ze strzałką, która określa wynik wystrzelenia rakiety: w zasadzie zadaje ona normalne obrażenia, mniej więcej obrażenia, ale czasami obrażenia są podwoi się lub potroi, albo rakieta eksploduje na platformie startowej i wyrządzi ci krzywdę, lub nastąpi inne zdarzenie. W przeciwieństwie do planszy ze strzałkami w „Chutes & Ladders” czy „A Game of Life”, wyniki planszy w „Wojnie nuklearnej” są nierówne. Niektóre sekcje pola gry są większe i strzałka zatrzymuje się na nich znacznie częściej, podczas gdy inne są bardzo małe i strzałka zatrzymuje się na nich rzadko.

Na pierwszy rzut oka kość wygląda mniej więcej tak: 1, 1, 1, 2, 2, 3; już o tym rozmawialiśmy, jest to coś w rodzaju ważonego 1d3, dlatego musimy podzielić wszystkie te sekcje na równe części, znaleźć najmniejszą jednostkę miary będącą jej wielokrotnością, a następnie przedstawić sytuację jako d522 (lub jakiś inny ), gdzie zestaw ścianek kości będzie przedstawiał tę samą sytuację, ale z większą liczbą wyników. Jest to jeden ze sposobów rozwiązania problemu, technicznie wykonalny, ale istnieje prostszy sposób.

Wróćmy do naszych standardowych sześciościennych kości. Powiedzieliśmy, że aby obliczyć średnią wartość rzutu zwykłą kostką, należy zsumować wartości na wszystkich ściankach i podzielić je przez liczbę ścianek, ale jak Dokładnie czy obliczenia trwają? Można to wyrazić inaczej. W przypadku kości sześciościennej prawdopodobieństwo wyrzucenia każdej ścianki wynosi dokładnie 1/6. Teraz mnożymy Exodus każda krawędź prawdopodobieństwo ten wynik (w tym przypadku 1/6 dla każdej ściany), a następnie zsumuj otrzymane wartości. Zatem sumując (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6 ), otrzymujemy taki sam wynik (3,5), jak w powyższym obliczeniu. W rzeczywistości obliczamy to za każdym razem: mnożymy każdy wynik przez prawdopodobieństwo tego wyniku.

Czy możemy wykonać te same obliczenia dla strzałki na polu gry w grze „Wojna nuklearna”? Oczywiście możemy. A jeśli podsumujemy wszystkie znalezione wyniki, otrzymamy wartość średnią. Wszystko, co musimy zrobić, to obliczyć prawdopodobieństwo każdego wyniku dla strzałki na boisku i pomnożyć przez wynik.

Inny przykład

Ta metoda obliczania średniej polegająca na pomnożeniu każdego wyniku przez jego indywidualne prawdopodobieństwo jest również odpowiednia, jeśli wyniki są równie prawdopodobne, ale mają różne zalety, na przykład jeśli rzucisz kostką i wygrasz więcej po jednej stronie niż po drugiej. Weźmy na przykład grę rozgrywającą się w kasynie: stawiasz zakład i rzucasz 2k6. Jeśli wypadną trzy liczby o niskiej wartości (2, 3, 4) lub cztery liczby o dużej wartości (9, 10, 11, 12), wygrasz kwotę równą Twojemu zakładowi. Liczby o najniższej i najwyższej wartości są wyjątkowe: jeśli wyrzucisz 2 lub 12 rzutów, wygrywasz dwa razy więcej niż Twoja oferta. Jeśli pojawi się inny numer (5, 6, 7, 8), przegrywasz zakład. To całkiem prosta gra. Ale jakie jest prawdopodobieństwo wygranej?

Zacznijmy od policzenia, ile razy możesz wygrać:

• Maksymalna liczba wyników przy rzucie 2k6 wynosi 36. Jaka jest liczba korzystnych wyników?
• Jest 1 opcja, że ​​wypadną dwa i 1 opcja, że ​​wypadnie dwanaście.
• Istnieją 2 opcje wyrzucenia trzech i jedenastu.
• Istnieją 3 opcje wyrzucenia czterech i 3 możliwości wyrzucenia dziesiątki.
• Istnieją 4 opcje dla dziewięciu, które się pojawią.
• Podsumowując wszystkie opcje, otrzymujemy liczbę korzystnych wyników 16 z 36.

Zatem w normalnych warunkach wygrasz 16 razy z 36 możliwych... prawdopodobieństwo wygranej jest nieco mniejsze niż 50%.

Ale w dwóch przypadkach z tych 16 wygrasz dwa razy więcej, tj. to jak wygrać dwa razy! Jeśli zagrasz w tę grę 36 razy, za każdym razem stawiając 1 $ i każdy z możliwych wyników pojawi się raz, wygrasz w sumie 18 $ (w rzeczywistości wygrywasz 16 razy, ale dwa z tych razy będą liczone jako dwie wygrane). Jeśli zagrasz 36 razy i wygrasz 18 dolarów, czy to nie oznacza, że ​​masz równe szanse?

Nie spiesz się. Jeśli policzysz, ile razy możesz przegrać, otrzymasz 20, a nie 18. Jeśli zagrasz 36 razy, stawiając za każdym razem 1 $, wygrasz w sumie 18 $ przy wszystkich wyrzuconych kursach... ale przegrasz Łączna kwota 20 $ za wszystkie 20 złych wyników! W rezultacie będziesz nieco w tyle: tracisz średnio 2 $ netto na każde 36 rozegranych gier (można też powiedzieć, że tracisz średnio 1/18 $ dziennie). Teraz widzisz, jak łatwo w tym przypadku popełnić błąd i błędnie obliczyć prawdopodobieństwo!

permutacja

Do tej pory zakładaliśmy, że kolejność rzucania liczb nie ma znaczenia podczas rzucania kostką. Rzut 2+4 jest taki sam jak rzut 4+2. W większości przypadków ręcznie liczymy liczbę korzystnych wyników, jednak czasami ta metoda jest niepraktyczna i lepiej zastosować wzór matematyczny.

Przykładem takiej sytuacji jest gra w kości „Farkle”. W każdej nowej rundzie rzucasz 6k6. Jeśli będziesz mieć szczęście i wypadną wszystkie możliwe wyniki 1-2-3-4-5-6 (Straight), otrzymasz duży bonus. Jakie jest prawdopodobieństwo, że tak się stanie? W tym przypadku istnieje wiele opcji utraty tej kombinacji!

Rozwiązanie jest następujące: na jednej kostce (i tylko na jednej) należy wyrzucić liczbę 1! Na ile sposobów można uzyskać liczbę 1 na jednej kostce? Sześć, ponieważ jest 6 kości i na każdej z nich można wyrzucić liczbę 1. W związku z tym weź jedną kostkę i odłóż ją na bok. Teraz na jednej z pozostałych kostek powinna spaść liczba 2. Jest na to pięć możliwości. Weź kolejną kostkę i odłóż ją na bok. Następnie wynika z tego, że cztery z pozostałych kości mogą wyrzucić 3, trzy z pozostałych kości mogą wyrzucić 4, dwie z pozostałych kości mogą wyrzucić 5 i kończysz z jedną kostką, na której musisz wyrzucić 6 (w tym drugim przypadku przypadku jest tylko jedna kostka i nie ma wyboru). Aby obliczyć liczbę korzystnych wyników dla prostej kombinacji, mnożymy wszystkie różne, niezależne opcje: 6x5x4x3x2x1 = 720 - wygląda na to, że istnieje całkiem sporo opcji dla tej kombinacji.

Aby obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania strita, musimy podzielić 720 przez liczbę wszystkich możliwych wyników i wyrzucić 6k6. Jaka jest liczba wszystkich możliwych wyników? Każda kostka może wyrzucić 6 ścian, więc mnożymy 6x6x6x6x6x6 = 46656 (znacznie większa liczba!). Dzielimy 720/46656 i otrzymujemy prawdopodobieństwo równe w przybliżeniu 1,5%. Jeśli projektowałeś tę grę, przydałaby Ci się ta wiedza, abyś mógł stworzyć odpowiedni system punktacji. Teraz rozumiemy, dlaczego w grze „Farkle” dostajesz tak duży bonus, jeśli trafisz kombinację „strat”, ponieważ taka sytuacja jest dość rzadka!

Wynik jest interesujący także z innego powodu. Przykład pokazuje, jak rzadko w krótkim czasie faktycznie wypada wynik odpowiadający prawdopodobieństwu. Oczywiście gdybyśmy rzucili kilkoma tysiącami kości, dość często pojawiałyby się różne strony kości. Ale kiedy rzucamy tylko sześcioma kostkami, prawie nigdy nie zdarza się, żeby każda z twarzy wypadła! Wychodząc z tego jasno widać, że naiwnością jest oczekiwać, że teraz wypadnie kolejna twarz, która jeszcze nie wypadła, „ponieważ od dawna nie pozbyliśmy się cyfry 6, czyli teraz wypadnie. ”

Słuchaj, twój generator liczb losowych jest uszkodzony...

Prowadzi to nas do powszechnego błędnego przekonania na temat prawdopodobieństwa: założenia, że ​​wszystkie wyniki występują z tą samą częstotliwością. w krótkim czasie, co w rzeczywistości nie ma miejsca. Jeśli rzucimy kostką kilka razy, częstotliwość występowania każdej z twarzy nie będzie taka sama.

Jeśli kiedykolwiek pracowałeś nad grą online z jakimś generatorem liczb losowych, najprawdopodobniej spotkałeś się z sytuacją, w której gracz pisze do pomocy technicznej i informuje, że Twój generator liczb losowych jest uszkodzony i nie wyświetla liczb losowych, a on doszedł do tego wniosku, ponieważ właśnie zabił 4 potwory z rzędu i otrzymał 4 dokładnie takie same nagrody, a nagrody te powinny spadać tylko w 10% przypadków, więc to Prawie nigdy nie powinien odbywać się, co to oznacza oczywiścieże twój generator liczb losowych jest uszkodzony.

Zajmujesz się matematyką. 1/10*1/10*1/10*1/10 równa się 1 na 10 000, co oznacza, że ​​jest to dość rzadkie. I to właśnie gracz próbuje ci powiedzieć. Czy w tym przypadku jest jakiś problem?

Wszystko zależy od okoliczności. Ilu graczy jest teraz na twoim serwerze? Załóżmy, że masz dość popularną grę i codziennie gra w nią 100 000 osób. Ilu graczy zabije cztery potwory z rzędu? Wszystko jest możliwe, kilka razy dziennie, ale załóżmy, że połowa z nich po prostu handluje różnymi przedmiotami na aukcjach, rozmawia na serwerach RP lub wykonuje inne czynności w grze, więc tylko połowa z nich faktycznie poluje na potwory. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ktoś czy ta sama nagroda odpadnie? W tej sytuacji możesz spodziewać się, że ta sama nagroda będzie spadać przynajmniej kilka razy dziennie!

Swoją drogą, dlatego wydaje się, że przynajmniej co kilka tygodni ktoś wygra na loterii, nawet jeśli to ktoś nigdy ty lub twoi przyjaciele nie przychodzicie. Jeśli co tydzień będzie grać wystarczająca liczba osób, jest szansa, że ​​będzie ich co najmniej jeden szczęście... ale jeśli Ty grasz na loterii, masz mniejsze szanse na zdobycie pracy w Infinity Ward.

Mapy i uzależnienia

Omówiliśmy zdarzenia niezależne, takie jak rzut kostką, i teraz znamy wiele potężnych narzędzi do analizy losowości w wielu grach. Obliczanie prawdopodobieństwa jest nieco bardziej skomplikowane, jeśli chodzi o dobieranie kart z talii, ponieważ każda dobrana przez nas karta wpływa na pozostałe karty w talii. Jeśli masz standardową talię składającą się z 52 kart i wylosujesz na przykład 10 kier, a chcesz poznać prawdopodobieństwo, że następna karta będzie w tym samym kolorze, prawdopodobieństwo się zmieniło, ponieważ usunąłeś już jedną kartę serca z pokład. Każda usunięta karta zmienia prawdopodobieństwo pojawienia się następnej karty w talii. Ponieważ w tym przypadku poprzednie zdarzenie wpływa na następne, nazywamy to prawdopodobieństwem zależny.

Pamiętaj, że mówiąc „karty” mam na myśli każdy mechanika gry, w której istnieje zbiór obiektów i usuwasz jeden z obiektów bez jego ponownego umieszczania, „talia kart” w tym przypadku jest analogiczna do worka żetonów, z którego usuwasz jeden żeton i go nie odkładasz, lub urna, z której usuwa się kolorowe kulki (właściwie nigdy nie widziałem gry, w której wyjmowano urnę z kolorowymi kulkami, ale wygląda na to, że nauczyciele prawdopodobieństwa z jakiegoś powodu wolą ten przykład).

Właściwości zależności

Chciałbym wyjaśnić, że jeśli chodzi o karty, zakładam, że dobierasz karty, patrzysz na nie i usuwasz je z talii. Każde z tych działań jest ważną właściwością.

Gdybym miał talię, powiedzmy, sześciu kart ponumerowanych od 1 do 6, przetasowałem je, wyciągnąłem jedną kartę, a następnie ponownie przetasowałem wszystkie sześć kart, byłoby to to samo, co rzucenie sześciościenną kostką; jeden wynik nie ma wpływu na następny. Tylko jeśli dobiorę karty i ich nie zamienię, wynik wyciągnięcia karty z numerem 1 zwiększy prawdopodobieństwo, że następnym razem dobiorę kartę z numerem 6 (prawdopodobieństwo będzie rosło do momentu, aż w końcu wylosuję tę kartę lub do Tasuję karty).

Fakt, że my patrzymy na kartach też jest ważne. Jeśli wyjmę kartę z talii i nie spojrzę na nią, nie mam żadnych dodatkowych informacji i prawdopodobieństwo tak naprawdę się nie zmienia. Może to brzmieć nielogicznie. W jaki sposób zwykłe odwrócenie karty może magicznie zmienić szanse? Ale jest to możliwe, ponieważ prawdopodobieństwo nieznanych pozycji możesz obliczyć tylko na podstawie faktu, że ty Wiesz, że. Na przykład, jeśli przetasujesz standardową talię kart, odkryjesz 51 kart i żadna z nich nie będzie damą trefl, będziesz wiedział ze 100% pewnością, że pozostała karta jest damą trefl. Jeśli przetasujesz standardową talię kart i dobierzesz 51 kart, pomimo na nich, wówczas prawdopodobieństwo, że pozostała karta będzie królową trefl, nadal będzie wynosić 1/52. Po otwarciu każdej karty uzyskasz więcej informacji.

Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń zależnych odbywa się na tych samych zasadach, co w przypadku zdarzeń niezależnych, z tą różnicą, że jest nieco bardziej skomplikowane, ponieważ prawdopodobieństwa zmieniają się po odkryciu kart. Dlatego należy pomnożyć wiele różnych wartości, zamiast mnożyć tę samą wartość. W rzeczywistości oznacza to, że musimy połączyć wszystkie obliczenia, które wykonaliśmy, w jedną kombinację.

Przykład

Tasujesz standardową talię 52 kart i dobierasz dwie karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujesz parę? Istnieje kilka sposobów obliczenia tego prawdopodobieństwa, ale być może najprostszy jest następujący: jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli wylosujesz jedną kartę, nie będziesz mógł wylosować pary? Prawdopodobieństwo to wynosi zero, więc tak naprawdę nie ma znaczenia, którą kartę wylosujesz jako pierwszą, pod warunkiem, że pasuje do drugiej. Nieważne, którą kartę wylosujemy jako pierwszą, nadal mamy szansę na wylosowanie pary, zatem prawdopodobieństwo, że po wylosowaniu pierwszej karty uda nam się wylosować parę, wynosi 100%.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga karta będzie pasować do pierwszej? W talii pozostało 51 kart, a 3 z nich pasują do pierwszej karty (właściwie byłoby to 4 z 52, ale jedną z pasujących kart już usunąłeś, kiedy dobierałeś pierwszą kartę!), więc prawdopodobieństwo wynosi 1 /17. (Więc następnym razem, gdy gość po drugiej stronie stołu grający w Texas Hold'em powie: „Świetnie, kolejna para? Dzisiaj mam szczęście”, będziesz wiedział, że istnieje duże prawdopodobieństwo, że blefuje.)

A co jeśli dodamy dwóch jokerów i mamy w talii 54 karty i chcemy wiedzieć jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania pary? Pierwszą kartą może być Joker, a następnie talia będzie zawierać tylko jeden karta, a nie trzy, które będą pasować. Jak znaleźć prawdopodobieństwo w tym przypadku? Dzielimy prawdopodobieństwa i mnożymy każdą możliwość.

Naszą pierwszą kartą może być joker lub inna karta. Prawdopodobieństwo wylosowania jokera wynosi 2/54, prawdopodobieństwo wylosowania innej karty wynosi 52/54.

Jeśli pierwszą kartą jest joker (2/54), prawdopodobieństwo, że druga karta będzie równa pierwszej, wynosi 1/53. Mnożenie wartości (możemy je pomnożyć, bo to osobne zdarzenia i chcemy Zarówno zdarzenia miały miejsce) i otrzymujemy 1/1431 - mniej niż jedną dziesiątą procenta.

Jeśli najpierw dobierzesz inną kartę (52/54), prawdopodobieństwo trafienia drugiej karty wynosi 3/53. Mnożymy wartości i otrzymujemy 78/1431 (nieco ponad 5,5%).

Co robimy z tymi dwoma wynikami? Nie przecinają się i chcemy znać prawdopodobieństwo wszyscy z nich, więc podsumowujemy wartości! Otrzymujemy ostateczny wynik 79/1431 (wciąż około 5,5%).

Gdybyśmy chcieli mieć pewność co do trafności odpowiedzi, moglibyśmy obliczyć prawdopodobieństwo wszystkich innych możliwych wyników: wylosowania jokera i niedopasowania drugiej karty lub wyciągnięcia innej karty i nie dopasowania drugiej karty i zsumowania ich wszystkich z prawdopodobieństwem wygranej otrzymalibyśmy dokładnie 100%. Nie podam tutaj obliczeń, ale możesz spróbować wykonać obliczenia, aby to sprawdzić.

Paradoks Monty’ego Halla

To prowadzi nas do dość znanego paradoksu, który często dezorientuje wielu, a mianowicie paradoksu Monty'ego Halla. Nazwa paradoksu pochodzi od Monty'ego Halla, gospodarza programu telewizyjnego Let's Make a Deal. Jeśli nigdy nie widziałeś tego programu, było to przeciwieństwo programu telewizyjnego „The Price Is Right”. W „The Price Is Right” gospodarzem (dawniej Bob Barker, teraz jest… Drew Carey? W każdym razie…) jest twoim przyjacielem. On chce abyś mógł wygrać pieniądze lub fajne nagrody. Stara się zapewnić Ci każdą szansę na wygraną, o ile potrafisz odgadnąć, ile faktycznie warte są sponsorowane przedmioty.

Monty Hall zachował się inaczej. Był jak zły bliźniak Boba Barkera. Jego celem było zrobienie z ciebie idioty w ogólnokrajowej telewizji. Jeśli byłeś w programie, był twoim przeciwnikiem, grałeś przeciwko niemu i szanse były na jego korzyść. Może jestem ostry, ale kiedy szansa, że ​​zostaniesz wybrany na przeciwnika, wydaje się wprost proporcjonalna do tego, czy masz na sobie śmieszny kostium, dochodzę do podobnych wniosków.

Ale jeden z najsłynniejszych memów serialu brzmiał tak: przed tobą było troje drzwi i nazywały się Drzwi nr 1, Drzwi nr 2 i Drzwi nr 3. Mogłeś wybrać dowolne drzwi... za darmo! Za jednymi z tych drzwi znajdowała się wspaniała nagroda, na przykład nowy samochód. Za drugimi drzwiami nie było żadnych nagród, te dwoje drzwi nie miało żadnej wartości. Ich celem było upokorzenie Cię, więc to nie tak, że za nimi w ogóle nic nie było, było za nimi coś, co wyglądało głupio, jak koza za nimi albo wielka tubka pasty do zębów, czy coś… coś, co dokładnie było Nie nowe auto.

Wybrałeś jedne z drzwi i Monty już miał je otworzyć, aby dać ci znać, czy wygrałeś, czy nie… ale poczekaj, zanim się dowiemy spójrzmy na jeden z te drzwi ty nie wybrany. Ponieważ Monty wie, za którymi drzwiami kryje się nagroda, a nagroda jest tylko jedna i dwa drzwi, których nie wybrałeś, bez względu na wszystko, zawsze może otworzyć drzwi, za którymi nie kryje się nagroda. „Wybierasz Drzwi nr 3? W takim razie otwórzmy Drzwi 1, żeby pokazać, że nie kryje się za nimi żadna nagroda. A teraz, z hojności, oferuje ci szansę zamiany wybranych Drzwi nr 3 na te za Drzwiami nr 2. W tym miejscu pojawia się kwestia prawdopodobieństwa: czy możliwość wyboru innych drzwi zwiększa czy zmniejsza Twoje szansa na wygraną, czy pozostanie taka sama? Jak myślisz?

Prawidłowa odpowiedź: możliwość wyboru innych drzwi wzrasta prawdopodobieństwo wygranej od 1/3 do 2/3. To jest nielogiczne. Jeśli nie spotkałeś się wcześniej z tym paradoksem, prawdopodobnie myślisz: czekaj, otwierając jedne drzwi, magicznie zmieniliśmy prawdopodobieństwo? Ale jak widzieliśmy na powyższym przykładzie mapy, tak jest Dokładnie co się stanie, gdy otrzymamy więcej informacji. Oczywiste jest, że prawdopodobieństwo wygranej przy pierwszym wyborze wynosi 1/3 i myślę, że wszyscy się co do tego zgodzą. Kiedy otwierają się jedne drzwi, w ogóle nie zmienia to prawdopodobieństwa wygranej dla pierwszego wyboru, prawdopodobieństwo nadal wynosi 1/3, ale to oznacza, że ​​prawdopodobieństwo, że inny drzwi prawidłowe to teraz 2/3.

Spójrzmy na ten przykład z drugiej strony. Wybierasz drzwi. Prawdopodobieństwo wygranej wynosi 1/3. Sugeruję zmianę dwa innymi drzwiami, co faktycznie proponuje Monty Hall. Oczywiście otwiera jedne z drzwi, żeby pokazać, że nie kryje się za nimi żadna nagroda, ale on Zawsze można, więc to niczego nie zmienia. Oczywiście będziesz chciał wybrać inne drzwi!

Jeśli nie do końca rozumiesz ten problem i potrzebujesz bardziej przekonującego wyjaśnienia, kliknij ten link, aby przejść do świetnej małej aplikacji Flash, która pozwoli Ci bardziej szczegółowo zbadać ten paradoks. Możesz zacząć od około 10 drzwi, a następnie stopniowo przechodzić do gry z trzema drzwiami; istnieje również symulator, w którym możesz wybrać dowolną liczbę drzwi od 3 do 50 i zagrać lub przeprowadzić kilka tysięcy symulacji i zobaczyć, ile razy wygrałbyś, gdybyś grał.

Notatka od nauczyciela wyższej matematyki i specjalisty od równowagi gry Maksyma Sołdatowa, której Schreiber oczywiście nie miał, ale bez której raczej trudno zrozumieć tę magiczną transformację:

Wybierz drzwi, jedne z trzech, prawdopodobieństwo „wygrania” 1/3. Teraz masz 2 strategie: zmienić wybór po otwarciu niewłaściwych drzwi lub nie. Jeśli nie zmienisz swojego wyboru, prawdopodobieństwo pozostanie 1/3, ponieważ wybór następuje dopiero na pierwszym etapie i musisz od razu zgadnąć, ale jeśli się zmienisz, możesz wygrać, jeśli najpierw wybierzesz niewłaściwe drzwi ( potem otworzą inny, zły, pozostanie prawdziwy, zmieniasz decyzję, po prostu ją podejmuj)
Prawdopodobieństwo wybrania niewłaściwych drzwi na początku wynosi 2/3, więc okazuje się, że zmieniając decyzję, zwiększasz prawdopodobieństwo wygranej 2 razy

Powrót do paradoksu Monty Halla

Jeśli chodzi o sam program, Monty Hall o tym wiedział, bo nawet jeśli jego przeciwnicy nie byli dobrzy z matematyki, On dobrze ją rozumie. Oto, co zrobił, aby nieco zmienić grę. Jeśli wybrałeś drzwi, za którymi znajdowała się nagroda, których prawdopodobieństwo wynosi 1/3, to tak Zawsze zaoferował Ci możliwość wyboru innych drzwi. Ponieważ wybrałeś samochód, a potem zamieniłeś go na kozę i wyglądasz całkiem głupio, a tego właśnie potrzebuje, ponieważ jest w pewnym sensie złym facetem. Ale jeśli wybierzesz drzwi, za którymi nie będzie nagrody, tylko połowa w takim przypadku poprosi Cię o wybranie innych drzwi, a w innych przypadkach po prostu pokaże Ci nową kozę i opuścisz scenę. Przeanalizujmy tę nową grę, w której Monty Hall może wybierać dają Ci szansę wyboru innych drzwi lub nie.

Załóżmy, że postępuje według następującego algorytmu: jeśli wybierzesz drzwi z nagrodą, zawsze oferuje ci możliwość wyboru innych drzwi, w przeciwnym razie prawdopodobieństwo, że zaproponuje ci inne drzwi lub podaruje ci kozę, wynosi 50/50. Jakie jest prawdopodobieństwo Twojej wygranej?

W jednej z trzech opcji od razu wybierasz drzwi, za którymi znajduje się nagroda, a gospodarz zaprasza Cię do wybrania kolejnych drzwi.

Z pozostałych dwóch opcji z trzech (początkowo wybierasz drzwi bez nagrody) w połowie przypadków gospodarz poprosi Cię o wybranie innych drzwi, a w drugiej połowie przypadków tak się nie stanie. Połowa 2/3 to 1/3, tj. w jednym przypadku na trzy dostaniesz kozę, w jednym przypadku na trzy wybierzesz złe drzwi i gospodarz poprosi Cię o wybranie innych i w jednym przypadku na trzy wybierzesz prawe drzwi i poprosi Cię o wybranie innych drzwi.

Jeśli gospodarz zasugeruje wybór innych drzwi, to już wiemy, że jeden z trzech przypadków, kiedy dał nam kozę i wychodzimy, nie miał miejsca. Jest to przydatna informacja, ponieważ oznacza, że ​​nasze szanse na wygraną uległy zmianie. W dwóch przypadkach na trzy mamy wybór, w jednym przypadku oznacza to, że zgadliśmy dobrze, a w drugim przypadku oznacza to, że zgadliśmy źle, więc jeśli w ogóle zaoferowano nam wybór, oznacza to, że prawdopodobieństwo naszej wygranej wynosi 50 / 50 i nie ma matematyczny korzyści, pozostań przy swoim wyborze lub wybierz inne drzwi.

Podobnie jak poker, jest to obecnie gra psychologiczna, a nie matematyczna. Monty zaoferował ci wybór, bo uważa cię za głupca, który nie wie, że wybór innych drzwi to „właściwa” decyzja i że będziesz się trzymał swojego wyboru, bo z psychologicznego punktu widzenia sytuacja wygląda tak, gdy wybierasz samochód, a potem zgubiłem, trudniej? A może uważa, że ​​jesteś mądry i wybierasz inne drzwi, a on daje ci tę szansę, ponieważ wie, że dobrze odgadłeś za pierwszym razem i że wpadniesz w pułapkę? A może jest dla siebie nietypowo miły i namawia Cię, żebyś zrobił coś w swoim osobistym interesie, bo dawno nie podarował samochodu, a jego producenci mówią mu, że publiczność się nudzi i lepiej, żeby wkrótce dał dużą nagrodę. żeby oceny nie spadły?

W ten sposób Monty'emu udaje się zaoferować wybór (czasami), a ogólne prawdopodobieństwo wygranej pozostaje 1/3. Pamiętaj, że prawdopodobieństwo, że natychmiast przegrasz, wynosi 1/3. Prawdopodobieństwo, że odgadniesz od razu wynosi 1/3, a w 50% przypadków wygrasz (1/3 x 1/2 = 1/6). Prawdopodobieństwo, że na początku zgadniesz źle, ale potem będziesz miał szansę wybrać inne drzwi, wynosi 1/3 i w 50% tych przypadków wygrasz (również 1/6). Dodaj dwie niezależne możliwości wygranej, a otrzymasz prawdopodobieństwo 1/3, więc niezależnie od tego, czy pozostaniesz przy swoim wyborze, czy wybierzesz inne drzwi, całkowite prawdopodobieństwo wygranej w całej grze wynosi 1/3... prawdopodobieństwo nie rośnie niż w sytuacji, w której odgadłbyś drzwi, a gospodarz pokazałby Ci, co kryje się za tymi drzwiami, bez możliwości wyboru innych drzwi! Dlatego też celem zaoferowania możliwości wyboru innych drzwi nie jest zmiana prawdopodobieństwa, ale sprawienie, aby proces decyzyjny był przyjemniejszy do oglądania w telewizji.

Swoją drogą, jest to jeden z powodów, dla których poker może być tak interesujący: w większości formatów pomiędzy rundami, podczas obstawiania (na przykład flop, turn i river w Texas Hold'em), karty są stopniowo odkrywane , a jeśli na początku gry masz jedno prawdopodobieństwo wygranej, to po każdej rundzie licytacji, gdy otwartych jest więcej kart, prawdopodobieństwo to się zmienia.

Paradoks chłopca i dziewczynki

To prowadzi nas do innego dobrze znanego paradoksu, który zwykle zaskakuje wszystkich, a mianowicie paradoksu chłopca i dziewczynki. Jedyna rzecz o której dziś piszę, a która nie jest bezpośrednio związana z grami (choć to chyba oznacza po prostu, że powinienem Was nakłonić do stworzenia odpowiednich mechanik gier). To raczej zagadka, ale interesująca i aby ją rozwiązać, musisz zrozumieć prawdopodobieństwo warunkowe, o którym mówiliśmy powyżej.

Zadanie: Mam znajomego z dwójką dzieci, przynajmniej jeden dziecko jest dziewczynką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko To samo dziewczyna? Załóżmy, że w każdej rodzinie szansa na urodzenie dziewczynki lub chłopca wynosi 50/50 i dotyczy to każdego dziecka (w rzeczywistości niektórzy mężczyźni mają więcej plemników w nasieniu z chromosomem X lub Y, więc prawdopodobieństwo zmienia się nieznacznie, jeśli wiesz, że jedno dziecko jest dziewczynką, prawdopodobieństwo posiadania dziewczynki jest nieco wyższe, dodatkowo istnieją inne warunki, na przykład hermafrodytyzm, ale aby rozwiązać ten problem, nie bierzemy tego pod uwagę i zakładamy, że narodziny dziecka są wydarzeniem niezależnym i prawdopodobieństwo urodzenia chłopca lub dziewczynki jest takie samo).

Ponieważ mówimy o szansie 1/2, intuicyjnie spodziewamy się, że odpowiedzią będzie prawdopodobnie 1/2 lub 1/4 albo inna okrągła liczba będąca wielokrotnością 2. Ale odpowiedź brzmi: 1/3 . Czekaj, dlaczego?

Trudność w tym przypadku polega na tym, że informacja, którą posiadamy, zmniejsza liczbę możliwości. Załóżmy, że rodzice są fanami Ulicy Sezamkowej i niezależnie od tego, czy dziecko urodziło się chłopcem czy dziewczynką, nadali swoim dzieciom imiona A i B. W normalnych okolicznościach istnieją cztery równie prawdopodobne możliwości: A i B to dwaj chłopcy, A i B są dwie dziewczynki, A to chłopiec, B to dziewczynka, A to dziewczynka, a B to chłopiec. Skoro to wiemy przynajmniej jeden dziecko jest dziewczynką, możemy wykluczyć możliwość, że A i B to dwaj chłopcy, pozostawiając nam trzy (wciąż równie prawdopodobne) możliwości. Jeżeli wszystkie możliwości są jednakowo prawdopodobne i są ich trzy, wiemy, że prawdopodobieństwo każdej z nich wynosi 1/3. Tylko w jednej z tych trzech opcji są oboje dzieci dwie dziewczynki, więc odpowiedź brzmi 1/3.

I znowu o paradoksie chłopca i dziewczynki

Rozwiązanie problemu staje się jeszcze bardziej nielogiczne. Wyobraź sobie, że mówię Ci, że moja przyjaciółka ma dwójkę dzieci i jedno dziecko - dziewczynka urodzona we wtorek. Załóżmy, że w normalnych warunkach prawdopodobieństwo urodzenia dziecka w jeden z siedmiu dni tygodnia jest takie samo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko będzie także dziewczynką? Można by pomyśleć, że odpowiedź nadal będzie wynosić 1/3; Jakie znaczenie ma wtorek? Jednak w tym przypadku intuicja nas zawodzi. Odpowiedź: 13/27 co jest nie tylko nieintuicyjne, ale także bardzo dziwne. O co chodzi w tym przypadku?

Tak naprawdę wtorek zmienia prawdopodobieństwo, bo nie wiemy Który dziecko urodziło się we wtorek lub prawdopodobnie dwoje dzieci urodziły się we wtorek. W tym przypadku stosujemy tę samą logikę, co powyżej, liczymy wszystkie możliwe kombinacje, gdy przynajmniej jedno dziecko to dziewczynka, która urodziła się we wtorek. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, załóżmy, że dzieci mają imiona A i B, kombinacje są następujące:

• A to dziewczynka, która urodziła się we wtorek, B to chłopiec (w tej sytuacji jest 7 możliwości, po jednej na każdy dzień tygodnia, w którym mógłby urodzić się chłopiec).
• B to dziewczynka urodzona we wtorek, A to chłopiec (również 7 możliwości).
• A to dziewczynka, która urodziła się we wtorek, B to dziewczynka, która urodziła się dnia inny dzień tygodnia (6 możliwości).
• B to dziewczynka urodzona we wtorek, A to dziewczynka, która nie urodziła się we wtorek (również 6 prawdopodobieństw).
• A i B to dwie dziewczynki, które urodziły się we wtorek (1 możliwość, trzeba na to zwrócić uwagę, żeby nie liczyć dwa razy).

Sumując, otrzymujemy 27 różnych, równie możliwych kombinacji narodzin dzieci i dni, z co najmniej jedną możliwością urodzenia dziewczynki we wtorek. Spośród nich 13 możliwości dotyczy narodzin dwóch dziewczynek. Wygląda to też zupełnie nielogicznie i wydaje się, że to zadanie zostało stworzone tylko po to, by przyprawić o ból głowy. Jeśli nadal zastanawia Cię ten przykład, teoretyk gier Jesper Juhl ma dobre wyjaśnienie tej kwestii na swojej stronie internetowej.

Jeśli obecnie pracujesz nad grą...

Jeśli w projektowanej przez Ciebie grze występuje losowość, jest to świetna okazja, aby ją przeanalizować. Wybierz dowolny element, który chcesz przeanalizować. Najpierw zadaj sobie pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia tego elementu według Twoich oczekiwań, jakie powinno być Twoim zdaniem w kontekście gry. Na przykład, jeśli tworzysz grę RPG i zastanawiasz się, jakie powinno być prawdopodobieństwo, że gracz będzie w stanie pokonać potwora w walce, zadaj sobie pytanie, jaki procent zwycięstw uważasz za odpowiedni. Zwykle podczas grania w konsolowe gry RPG gracze są bardzo sfrustrowani, gdy przegrywają, więc lepiej, aby nie przegrywali często… może w 10% przypadków lub mniej? Jeśli jesteś projektantem RPG, prawdopodobnie wiesz lepiej niż ja, ale musisz mieć podstawowe pojęcie o tym, jakie powinno być prawdopodobieństwo.

Następnie zadaj sobie pytanie, czy to jest coś zależny(jak karty) lub niezależny(jak kostki). Omów wszystkie możliwe wyniki i ich prawdopodobieństwa. Upewnij się, że suma wszystkich prawdopodobieństw wynosi 100%. Na koniec oczywiście porównaj swoje wyniki z oczekiwaniami. Niezależnie od tego, czy rzucisz kostką, czy karty zostaną wylosowane zgodnie z zamierzeniami, czy też zauważysz, że musisz dostosować wartości. I oczywiście, jeśli ty znajdować co wymaga regulacji, możesz użyć tych samych obliczeń, aby określić, jak bardzo coś należy dostosować!

Praca domowa

Twoja „praca domowa” w tym tygodniu pomoże ci udoskonalić umiejętności prawdopodobieństwa. Oto dwie gry w kości i gra karciana, które przeanalizujesz pod kątem prawdopodobieństwa, a także dziwna mechanika gry, którą kiedyś opracowałem, na której przetestujesz metodę Monte Carlo.

Gra nr 1 – Kości smoka

To gra w kości, którą kiedyś z kolegami wymyśliliśmy (dzięki Jebowi Havensowi i Jessemu Kingowi!), a która celowo zadziwia ludzi swoim prawdopodobieństwem. Jest to prosta gra kasynowa o nazwie „Dragon Bones”, polegająca na rywalizacji w kościach pomiędzy graczem a firmą. Otrzymujesz zwykłą kość 1k6. Celem gry jest wyrzucenie liczby wyższej niż liczba kasyna. Tomek otrzymuje niestandardowe 1k6 - takie same jak Twoje, ale zamiast jedynki po jednej stronie - wizerunek Smoka (stąd kasyno ma kość Smoka-2-3-4-5-6). Jeśli instytucja zdobędzie Smoka, automatycznie wygrywa, a Ty przegrywasz. Jeśli oboje uzyskacie ten sam numer, jest remis i rzucacie kostką ponownie. Wygrywa ten, kto wyrzuci największą liczbę.

Oczywiście nie wszystko układa się całkiem na korzyść gracza, gdyż kasyno ma przewagę w postaci twarzy Smoka. Ale czy tak jest naprawdę? Musisz to obliczyć. Ale wcześniej sprawdź swoją intuicję. Załóżmy, że wygrana wynosi 2 do 1. Jeśli więc wygrasz, zachowasz swój zakład i otrzymasz podwójną kwotę. Na przykład, jeśli postawisz 1 dolara i wygrasz, zatrzymasz tego dolara i otrzymasz dodatkowo 2 dolary, co daje w sumie 3 dolary. Jeśli przegrasz, przegrywasz tylko swój zakład. Zagrałbyś? Czy zatem intuicyjnie czujesz, że prawdopodobieństwo jest większe niż 2 do 1, czy nadal uważasz, że jest mniejsze? Innymi słowy, czy spodziewasz się wygrać więcej niż raz, czy mniej, czy raz w ciągu 3 gier?

Kiedy już poradzisz sobie z intuicją, zastosuj matematykę. Obie kości mają tylko 36 możliwych pozycji, więc z łatwością możesz je wszystkie policzyć. Jeśli nie masz pewności co do tej oferty 2 do 1, rozważ następującą kwestię: załóżmy, że grałeś w tę grę 36 razy (za każdym razem stawiając 1 $). Za każdą wygraną dostajesz 2 $, za każdą przegraną tracisz 1 $, a remis niczego nie zmienia. Policz wszystkie prawdopodobne wygrane i straty i zdecyduj, czy stracisz trochę dolarów, czy zyskasz. Następnie zadaj sobie pytanie, jak trafna okazała się Twoja intuicja. A potem - zdaj sobie sprawę, jakim jestem złoczyńcą.

I tak, jeśli już zastanawiałeś się nad tym pytaniem – celowo wprowadzam cię w błąd, zniekształcając prawdziwą mechanikę gier w kości, ale jestem pewien, że możesz pokonać tę przeszkodę przy dobrej myśli. Spróbuj rozwiązać ten problem samodzielnie. Wszystkie odpowiedzi opublikuję tutaj w przyszłym tygodniu.

Gra nr 2 – Rzut szczęścia

Jest to gra w kości zwana Lucky Roll (zwana także Klatką dla Ptaków, ponieważ czasami kostkami nie rzuca się, ale umieszcza się je w dużej drucianej klatce, podobnej do klatki Bingo). To prosta gra, która przebiega mniej więcej tak: postaw, powiedzmy, 1 dolara na liczbę z zakresu od 1 do 6. Następnie rzucasz 3k6. Za każdą kostkę, która trafi w Twój numer, otrzymasz 1 $ (i zachowasz swój pierwotny zakład). Jeśli Twój numer nie wyląduje na żadnej kostce, kasyno otrzyma Twojego dolara, a Ty nic. Jeśli więc postawisz na 1 i trzykrotnie trafisz 1 na twarz, otrzymasz 3 dolary.

Intuicyjnie wydaje się, że w tym meczu szanse są wyrównane. Każda kostka ma indywidualną szansę na wygraną 1 do 6, więc suma wszystkich trzech wynosi 3 do 6. Pamiętaj jednak oczywiście, że dodajesz trzy oddzielne kości i możesz je dodawać tylko wtedy, gdy mówimy o oddzielne zwycięskie kombinacje tych samych kości. Coś, co będziesz musiał pomnożyć.

Po obliczeniu wszystkich możliwych wyników (prawdopodobnie łatwiej jest to zrobić w Excelu niż ręcznie, jest ich 216), gra na pierwszy rzut oka nadal wygląda na parzystą-nieparzystą. Ale w rzeczywistości kasyno ma nadal większe szanse na wygraną – o ile więcej? W szczególności, ile pieniędzy spodziewasz się średnio stracić w rundzie gry? Wszystko, co musisz zrobić, to dodać wygrane i przegrane wszystkich 216 wyników, a następnie podzielić przez 216, co powinno być całkiem proste… Ale jak widzisz, istnieje kilka pułapek, w które możesz wpaść, dlatego mówię ci : Jeśli myślisz, że ta gra ma równe szanse na wygraną, to się mylisz.

Gra nr 3 – 5 Card Stud

Jeśli rozgrzałeś się już do poprzednich gier, sprawdźmy, co wiemy o prawdopodobieństwie warunkowym, na przykładzie tej gry karcianej. W szczególności wyobraźmy sobie pokera z talią 52 kart. Wyobraźmy sobie także 5-card stud, w którym każdy gracz otrzymuje tylko 5 kart. Nie możesz odrzucić karty, nie możesz dobrać nowej, nie ma wspólnej talii - dostajesz tylko 5 kart.

Poker królewski to 10-J-Q-K-A w jednej kombinacji, co daje w sumie cztery, więc istnieją cztery możliwe sposoby zdobycia pokera królewskiego. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymasz jedną z tych kombinacji.

Muszę Cię przestrzec przed jednym: pamiętaj, że możesz dobierać te pięć kart w dowolnej kolejności. Oznacza to, że na początku możesz wyciągnąć asa lub dziesiątkę, to nie ma znaczenia. Obliczając to, należy pamiętać, że w rzeczywistości istnieją więcej niż cztery sposoby na zdobycie pokera królewskiego, zakładając, że karty zostały rozdane w kolejności!

Gra nr 4 – Loteria MFW

Czwarte zadanie nie będzie tak łatwe do rozwiązania metodami, o których dzisiaj mówiliśmy, ale można łatwo zasymulować sytuację za pomocą programowania lub Excela. To na przykładzie tego problemu można wypracować metodę Monte Carlo.

Wspomniałem wcześniej o grze „Chron X”, nad którą kiedyś pracowałem i była tam jedna bardzo interesująca karta – loteria MFW. Oto jak to działało: użyłeś go w grze. Po zakończeniu rundy karty zostały ponownie rozdzielone i istniało 10% szans, że karta wypadnie z gry i losowy gracz otrzyma po 5 żetonów każdego rodzaju zasobu, który miał żeton na tej karcie. Karta została wprowadzona do gry bez ani jednego żetonu, ale za każdym razem, gdy pozostawała w grze na początku następnej rundy, otrzymywała jeden żeton. Istniało zatem 10% szans, że wprowadzisz ją do gry, runda się zakończy, karta opuści grę i nikt nic nie dostanie. Jeśli tak się nie stanie (z prawdopodobieństwem 90%), istnieje 10% szans (właściwie 9%, ponieważ to 10% z 90%), że opuści grę w następnej rundzie i ktoś otrzyma 5 zasobów. Jeśli karta opuści grę po jednej rundzie (10% z 81% dostępnych, więc prawdopodobieństwo wynosi 8,1%), ktoś otrzyma 10 jednostek, w kolejnej rundzie - 15, kolejnej 20 i tak dalej. Pytanie: Jaka jest oczekiwana wartość liczby zasobów, które otrzymasz z tej karty, gdy ostatecznie opuści ona grę?

Zwykle próbowalibyśmy rozwiązać ten problem, znajdując możliwość każdego wyniku i mnożąc przez liczbę wszystkich wyników. Zatem istnieje 10% szans, że otrzymasz 0 (0,1*0 = 0). 9%, że otrzymasz 5 zasobów (9%*5 = 0,45 zasobów). 8,1% tego, co otrzymujesz, to 10 (8,1%*10 = 0,81 całkowitych zasobów, wartość oczekiwana). I tak dalej. A potem wszystko podsumowalibyśmy.

A teraz problem jest dla Ciebie oczywisty: zawsze istnieje szansa, że ​​karta Nie opuszcza grę, aby móc w niej pozostać na zawsze, przez nieskończoną liczbę rund, tak aby możliwości obliczeń jakąkolwiek możliwość nie istnieje. Metody, których się dzisiaj nauczyliśmy, nie pozwalają nam obliczyć nieskończonej rekurencji, więc będziemy musieli ją sztucznie stworzyć.

Jeśli jesteś wystarczająco dobry w programowaniu, napisz program, który będzie symulował tę kartę. Powinieneś mieć pętlę czasową, która sprowadza zmienną do początkowej pozycji zero, pokazuje liczbę losową i przy 10% szansie, że zmienna wyjdzie z pętli. W przeciwnym razie dodaje 5 do zmiennej i pętla się powtarza. Kiedy w końcu opuści pętlę, zwiększ całkowitą liczbę uruchomień testowych o 1 i całkowitą liczbę zasobów (o ile zależy od miejsca zatrzymania zmiennej). Następnie zresetuj zmienną i zacznij od nowa. Uruchom program kilka tysięcy razy. Na koniec podziel całkowite zasoby przez całkowitą liczbę przebiegów i otrzymasz oczekiwaną wartość Monte Carlo. Uruchom program kilka razy, aby upewnić się, że otrzymane liczby są mniej więcej takie same; jeśli rozpiętość jest nadal duża, zwiększaj liczbę powtórzeń w pętli zewnętrznej, aż zaczniesz otrzymywać dopasowania. Możesz być pewien, że dowolne liczby, które otrzymasz, będą w przybliżeniu poprawne.

Jeśli dopiero zaczynasz programować (lub nawet jeśli tak jest), oto małe ćwiczenie, które rozgrzeje Twoje umiejętności posługiwania się Excelem. Jeśli jesteś projektantem gier, znajomość Excela nigdy nie jest zbędna.

Teraz bardzo przydatne będą dla Ciebie funkcje JEŻELI i RAND. RAND nie wymaga wartości, po prostu generuje losową liczbę dziesiętną z zakresu od 0 do 1. Zwykle łączymy ją z FLOOR oraz plusami i minusami, aby symulować rzut kostką, o czym wspomniałem wcześniej. Jednak w tym przypadku pozostawiamy tylko 10% szansy, że karta opuści grę, więc możemy po prostu sprawdzić, czy wartość RAND jest mniejsza niż 0,1 i nie martwić się już tym.

JEŻELI ma trzy znaczenia. W kolejności warunek, który jest prawdziwy lub nie, następnie wartość zwracana, jeśli warunek jest prawdziwy, i wartość zwracana, jeśli warunek jest fałszywy. Zatem następująca funkcja zwróci 5% czasu, a 0 w pozostałych 90% przypadków:
=JEŻELI(RANDA()<0.1,5,0)

Istnieje wiele sposobów ustawienia tego polecenia, ale użyłbym tej formuły dla komórki reprezentującej pierwszą rundę, powiedzmy, że jest to komórka A1:

JEŻELI(RANDA()<0.1,0,-1)

Tutaj używam zmiennej ujemnej oznaczającej „ta karta nie opuściła gry i nie dała jeszcze żadnych zasobów”. Zatem jeśli pierwsza runda dobiegnie końca i karta wypadnie z gry, A1 wynosi 0; w przeciwnym razie wynosi -1.

Dla następnej komórki reprezentującej drugą rundę:

JEŻELI(A1>-1, A1, JEŻELI(RANDA()<0.1,5,-1))

Zatem jeśli pierwsza runda się zakończy i karta natychmiast opuści grę, A1 wynosi 0 (liczba zasobów), a ta komórka po prostu skopiuje tę wartość. W przeciwnym razie A1 wynosi -1 (karta nie opuściła jeszcze gry), a ta komórka kontynuuje losowy ruch: w 10% przypadków zwróci 5 jednostek zasobów, przez resztę czasu jej wartość będzie nadal - 1. Jeśli zastosujemy tę formułę do dodatkowych komórek, otrzymamy dodatkowe rundy i niezależnie od tego, w której komórce trafisz, otrzymasz wynik końcowy (lub -1, jeśli karta nie opuściła gry po wszystkich rozegranych rundach).

Weź ten rząd komórek, który jest jedyną rundą na tej karcie, skopiuj i wklej kilkaset (lub tysiące) wierszy. Być może nie będziemy w stanie tego zrobić nieskończony przetestuj dla Excela (w tabeli jest ograniczona liczba komórek), ale przynajmniej możemy objąć większość przypadków. Następnie wybierz jedną komórkę, w której umieścisz średnią wyników wszystkich rund (Excel udostępnia do tego funkcję ŚREDNIA()).

W systemie Windows możesz przynajmniej nacisnąć klawisz F9, aby ponownie obliczyć wszystkie liczby losowe. Tak jak poprzednio, wykonaj tę czynność kilka razy i sprawdź, czy otrzymane wartości są takie same. Jeżeli rozpiętość jest zbyt duża, podwoić liczbę przebiegów i spróbować ponownie.

Nierozwiązane problemy

Jeśli tak się składa, że ​​masz dyplom z prawdopodobieństwa i powyższe problemy wydają ci się zbyt łatwe, oto dwa problemy, nad którymi chodzę od lat, ale niestety nie jestem dobry z matematyki, aby je rozwiązać. Jeśli nagle znasz rozwiązanie, napisz je tutaj w komentarzach, z przyjemnością je przeczytam.

Nierozwiązany problem nr 1: LoteriaMFW

Pierwszym nierozwiązanym problemem jest poprzednie zadanie domowe. Mogę z łatwością zastosować metodę Monte Carlo (używając C++ lub Excela) i być pewnym odpowiedzi na pytanie „ile zasobów otrzyma gracz”, ale nie wiem dokładnie, jak podać dokładną, możliwą do udowodnienia matematycznie odpowiedź (to jest ciągiem nieskończonym). Jeśli znasz odpowiedź, opublikuj ją tutaj... oczywiście po sprawdzeniu w Monte Carlo.

Nierozwiązany problem nr 2: Sekwencje kształtów

To zadanie (i znowu wykraczające daleko poza zadania rozwiązane na tym blogu) zostało mi rzucone przez znajomego gracza ponad 10 lat temu. Grając w blackjacka w Vegas, zauważył jedną interesującą cechę: kiedy wyjął karty z buta z 8 taliami, zobaczył dziesięć figurki w rzędzie (figurka lub karta figurki - 10, Joker, Król lub Królowa, więc w standardowej talii 52 kart jest ich 16, więc w bucie 416 kart jest ich 128). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w tym bucie co najmniej jedna sekwencja dziesięciu albo więcej figurki? Załóżmy, że zostały one przetasowane uczciwie, w losowej kolejności. (Albo, jeśli wolisz, jakie jest prawdopodobieństwo, że nie znaleziono nigdzie sekwencja dziesięciu lub więcej cyfr?)

Możemy uprościć zadanie. Oto sekwencja 416 części. Każda część to 0 lub 1. W całej sekwencji znajduje się 128 jedynek i 288 zer. Na ile sposobów można losowo przeplatać 128 1 z 288 0 i ile razy w ten sposób powstanie co najmniej jedna grupa dziesięciu lub więcej jedynek?

Za każdym razem, gdy podejmowałam się tego zadania, wydawało mi się to łatwe i oczywiste, jednak gdy tylko zagłębiałam się w szczegóły, nagle się rozpadało i wydawało mi się po prostu niemożliwe. Więc nie spiesz się z wymową odpowiedzi: usiądź, zastanów się dobrze, przestudiuj uwarunkowania problemu, spróbuj wstawić liczby rzeczywiste, ponieważ wszystkie osoby, z którymi rozmawiałem na temat tego problemu (w tym kilku doktorantów pracujących w tej dziedzinie) zareagował mniej więcej w ten sam sposób: „To całkiem oczywiste… o nie, czekaj, wcale nie oczywiste”. Właśnie w tym przypadku nie mam metody obliczenia wszystkich opcji. Z pewnością mógłbym brutalnie wymusić rozwiązanie problemu za pomocą algorytmu komputerowego, ale znacznie ciekawsze byłoby poznanie matematycznego sposobu rozwiązania tego problemu.

Tłumaczenie - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

Kości są używane przez człowieka od tysięcy lat.

W XXI wieku nowe technologie pozwalają rzucić kostką w dogodnym dla siebie momencie, a jeśli masz dostęp do Internetu, w dogodnym miejscu. Kostki są zawsze przy Tobie w domu lub w podróży.

Generator kostek umożliwia rzucanie w trybie online od 1 do 4 kostek.

Rzuć kostką online szczerze

Używając prawdziwych kości, można zastosować sztuczki ręczne lub specjalnie wykonane kości z przewagą jednej ze stron. Możesz na przykład obrócić sześcian wzdłuż jednej z osi, a wtedy zmieni się rozkład prawdopodobieństwa. Cechą naszych wirtualnych kostek jest zastosowanie programowego generatora liczb pseudolosowych. Pozwala to zapewnić naprawdę losowy wariant tego lub innego wyniku.

A jeśli dodasz tę stronę do zakładek, Twoje kości online nigdzie się nie zgubią i będą zawsze pod ręką, we właściwym czasie!

Niektórzy ludzie przystosowali się do używania kości online do wróżenia lub tworzenia prognoz i horoskopów.

Wesoły nastrój, dobry dzień i powodzenia!

Metoda komponowania muzyki z luźnym tekstem dźwiękowym; jako niezależny sposób komponowania muzyki ukształtował się w XX wieku. A. oznacza całkowite lub częściowe zrzeczenie się ścisłej kontroli kompozytora nad tekstem muzycznym, a nawet eliminację samej kategorii kompozytora-autora w tradycyjnym rozumieniu. Innowacja A. polega na korelacji trwale ustalonych składników tekstu muzycznego ze świadomie wprowadzoną przypadkowością, dowolną mobilnością materii muzycznej. Pojęcie A. może odnosić się zarówno do ogólnego układu części kompozycji (do formy), jak i do struktury jej tkanki. Do widzenia. Denisow, interakcja między stabilnością i ruchliwością tkaniny i formy daje 4 główne typy kombinacji, z których trzy - 2, 3 i 4 - mają charakter aleatoryczny: 1. Trwała tkanina - stabilna forma (zwykle tradycyjna kompozycja, opus Perfectum et absolutum; as, na przykład 6 symfonii Czajkowskiego); 2. Stabilna tkanina – forma mobilna; według W. Lutosława „A. formy” (P. Boulez, III sonata na fortepian, 1957); 3. Tkanina ruchoma - stabilna kształtowo; lub, według Lutosławskiego, „A. faktury” (Lutosławski, Kwartet smyczkowy, 1964, część główna); 4. Tkanina mobilna – forma mobilna; lub „A. klatka szybowa"(ze zbiorową improwizacją kilku wykonawców). Są to punkty węzłowe metody A., wokół których istnieje wiele różnych specyficznych typów i przypadków konstrukcji, różne stopnie zanurzenia w A.; ponadto naturalne są także metabole („modulacje”) - przejście z jednego typu lub typu na inny, także do tekstu stabilnego lub z niego.

A. rozpowszechniła się od lat pięćdziesiątych XX wieku, pojawiając się (wraz z sonoryka), w szczególności jako reakcja na skrajne zniewolenie struktury muzycznej w serializmie wieloparametrowym (patrz: dodekafonia). Tymczasem zasada swobody struktury w taki czy inny sposób ma starożytne korzenie. W istocie strumień dźwiękowy, a nie dzieło o unikalnej strukturze, to muzyka ludowa. Stąd niestabilność, „non-opus” muzyki ludowej, jej wariacja, wariancja i improwizacja. Nieprzewidywalność, improwizacja formy są charakterystyczne dla tradycyjnej muzyki Indii, ludów Dalekiego Wschodu i Afryki. Dlatego przedstawiciele A. aktywnie i świadomie odwołują się do podstawowych zasad muzyki orientalnej i ludowej. Elementy strzałek istniały także w europejskiej muzyce klasycznej. Przykładowo wśród klasyków wiedeńskich, którzy wyeliminowali zasadę ogólnego basu i całkowicie ustabilizowali tekst muzyczny (symfonie i kwartety I. Haydna), ostry kontrast stanowiła „kadencja” w formie koncertu instrumentalnego – wirtuozowskie solo, którego część kompozytor nie skomponował, lecz udostępniła według uznania wykonawcy (element A. formy). Komiczne „aleatoryczne” metody komponowania prostych sztuk teatralnych (menuetów) poprzez łączenie utworów muzycznych na kostkach (Würfelspiel) znane są już w czasach Haydna i Mozarta (traktat I.F. Kirnbergera „W każdej chwili gotowy kompozytor polonezów i menuetów” Berlinie, 1757).

W XX wieku. zasada „projektu indywidualnego” w formie zaczęła sugerować dopuszczalność wersji tekstowych dzieła (tj. A.). W 1907 r amerykański kompozytor C. Ives skomponował kwintet fortepianowy „Hallwe” en (= „Wigilia Wszystkich Świętych”), którego tekst podczas wykonywania na koncercie należy cztery razy z rzędu zagrać inaczej. klatka szybowa skomponowany w 1951 r „Muzyka zmian” na fortepian, którego tekst ułożył „manipulując przypadkami” (słowa kompozytora), wykorzystując w tym celu chińską „Księgę zmian”. Klasy-

przykład A. - „Utwór fortepianowy XI” K. Stockhausena, 1957. Na kartce papieru ok. Na 0,5 m2 w losowej kolejności znajduje się 19 fragmentów muzycznych. Pianista zaczyna od dowolnego z nich i gra je w przypadkowej kolejności, po przypadkowym spojrzeniu; na końcu poprzedniego fragmentu jest napisane, w jakim tempie i z jaką głośnością zagrać następny. Kiedy pianiście wydaje się, że zagrał już w ten sposób wszystkie fragmenty, należy je zagrać jeszcze raz, w tej samej losowej kolejności, ale w jaśniejszym brzmieniu. Po drugiej rundzie gra się kończy. Dla większego efektu zaleca się powtórzenie utworu aleatorycznego na jednym koncercie – słuchacz zobaczy inny utwór z tego samego materiału. Metoda A. jest szeroko stosowana przez współczesnych kompozytorów (Boulez, Stockhausen, Lutosławski, A. Wołkoński, Denisow, Schnitke itd.).

Warunek wstępny dla A. w XX wieku. weszły nowe prawa Harmonia i wynikające z nich tendencje do poszukiwania nowych form, które odpowiadają nowemu stanowi materiału muzycznego i są dla niego charakterystyczne awangarda. Aleatoryczna faktura była przed emancypacją zupełnie nie do pomyślenia dysonans rozwój muzyki atonalnej (patrz: dodekafonia). Zwolennik „ograniczonego i kontrolowanego” A. Lutosławskiego widzi w tym niewątpliwą wartość: „A. otworzyły się przede mną nowe i nieoczekiwane perspektywy. Przede wszystkim ogromne bogactwo rytmu, nieosiągalne innymi technikami. Denisow, uzasadniając „wprowadzanie do muzyki elementów przypadkowych”, twierdzi, że „daje nam to dużą swobodę w operowaniu materią muzyczną i pozwala na uzyskanie nowych efektów dźwiękowych<...>, ale idee dotyczące mobilności mogą dać dobre rezultaty tylko wtedy, gdy<... >jeśli destrukcyjne tendencje ukryte w mobilności nie niszczą konstruktywności niezbędnej do istnienia jakiejkolwiek formy sztuki.

Niektóre inne metody i formy muzyczne krzyżują się z A. Przede wszystkim są to: 1. improwizacja - wykonanie utworu skomponowanego w trakcie gry; 2. muzyka graficzna, które wykonawca improwizuje na podstawie wizualnych obrazów postawionego przed nim rysunku (np. I. Brown, Folio, 1952), przekładając je na obrazy dźwiękowe, lub według aleatorycznej grafiki muzycznej stworzonej przez kompozytora z fragmentów tekst muzyczny na kartce papieru (S. Bussotti, „Pasja do ogrodu”, 1966); 3. wydarzenie- akcja improwizowana (w tym sensie aleatoryczna). (Awans) z udziałem muzyki o dowolnej (quasi-) fabule (np. Happening A. Wołkonskiego „Replika” zespołu Madrigal w sezonie 1970/71); 4. formy muzyczne otwarte – czyli takie, których tekst nie jest trwale utrwalony, lecz jest uzyskiwany każdorazowo w procesie wykonawczym. Są to rodzaje kompozycji, które nie są zasadniczo zamknięte i pozwalają na nieskończoną kontynuację (na przykład przy każdym nowym wykonaniu), angielskojęzycznym. Praca w toku. Dla P. Bouleza jednym z bodźców, który skierował go do formy otwartej, była twórczość J. Joyce'a(„Ulisses”) i S. Mallarmé („Le Livre”). Przykładem kompozycji otwartej jest „Available Forms II” Earla Browna, czyli „Formy Potencjalne” na 98 instrumentów i dwóch dyrygentów (1962). Sam Brown wskazuje na powiązanie swojej otwartej formy z „mobilami” w sztukach wizualnych (zob.: sztuka kinetyczna) w szczególności A. Caldera („Calder Piece” na 4 perkusistów i telefon komórkowy Caldera, 1965). Wreszcie akcja „Gesamtkunst” przesiąknięta jest zasadami aleatorycznymi (patrz: Gezamtkunstwerk). 5. Multimedia, których specyfiką jest synchronizacja instalacje kilka dziedzin sztuki (np. koncert + wystawa malarstwa i rzeźby + wieczór poetycki w dowolnej kombinacji form plastycznych itp.). Istotą A. jest więc pogodzenie tradycyjnie ustalonego porządku artystycznego z orzeźwiającym fermentem nieprzewidywalności, przypadkowości – tendencją charakterystyczną dla kultura artystyczna XX wieku. ogólnie i nieklasycznej estetyki.

Dosł.: Denisov E.V. Elementy trwałe i ruchome formy muzycznej oraz ich wzajemne oddziaływanie.// Teoretyczne problemy form i gatunków muzycznych. M., 1971; Kohoutek C. Technika kompozytorska w muzyce XX wieku. M., 1976; Lutosławski W. Artykuły, be-

siwe włosy, wspomnienia. M., 1995; Bouleza P. Alea// Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L., Moguncja, 1958; Boulez R. Zu meiner III Sonate// Tamże, III. 1960; Schaffer B. Nowa muzyka (1958). Kraków, 1969; Schaffer B. Mały informator muzyki XX wieku (1958). Kraków, 1975; Stockhausena K. Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd.l, Köln, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. Darmstadt, 1967.