Co musisz wiedzieć o ikonach nierówności? Ikona nierówności więcej (> ), Lub mniej (< ) są nazywane ścisły. Z ikonami więcej lub równe (≥ ), mniejszy lub równy (≤ ) są nazywane nie rygorystyczne. Ikona nie równe (≠ ) jest samodzielny, ale trzeba też cały czas rozwiązywać przykłady z taką ikoną. I będziemy.)
Sama ikona nie ma większego wpływu na proces rozwiązania. Ale pod koniec rozwiązania, przy wyborze ostatecznej odpowiedzi, znaczenie ikony pojawia się z pełną mocą! Jak zobaczymy poniżej, na przykładach. Jest trochę żartów...
Nierówności, podobnie jak równości, istnieją wierny i niewierny. Tutaj wszystko jest proste, bez sztuczek. Powiedzmy 5 > 2 jest poprawną nierównością. 5 < 2 jest nieprawidłowe.
Takie przygotowanie działa na nierówności jakikolwiek i proste aż do zgrozy.) Wystarczy poprawnie wykonać dwie (tylko dwie!) czynności elementarne. Te działania są znane każdemu. Ale, co jest typowe, ościeżnice w tych działaniach są głównym błędem w rozwiązywaniu nierówności, tak… Dlatego te działania należy powtórzyć. Działania te nazywane są w następujący sposób:
Transformacje tożsamościowe nierówności.
Transformacje tożsamościowe nierówności są bardzo podobne do transformacji tożsamościowych równań. Właściwie to jest główny problem. Różnice przemknęły mi przez myśl i... dotarły.) Dlatego te różnice podkreślę szczególnie. Zatem pierwsza identyczna transformacja nierówności:
1. Do obu części nierówności można dodać (odjąć) tę samą liczbę lub wyrażenie. Każdy. Znak nierówności nie ulegnie zmianie.
W praktyce regułę tę stosuje się jako przeniesienie wyrazów z lewej strony nierówności na prawą stronę (i odwrotnie) ze zmianą znaku. Ze zmianą znaku terminu, a nie nierównością! Reguła „jeden na jednego” jest taka sama, jak zasada dotycząca równań. Jednak następujące identyczne przekształcenia w nierównościach różnią się znacznie od tych w równaniach. Dlatego zaznaczam je na czerwono:
2. Obie części nierówności można pomnożyć (podzielić) przez to samopozytywnynumer. Dla każdegopozytywny Nie zmieni się.
3. Obie części nierówności można pomnożyć (podzielić) przez to samonegatywny numer. Dla każdegonegatywnynumer. Znak nierówności z tegozmieni się na odwrotne.
Pamiętasz (masz nadzieję...), że równanie można pomnożyć/dzielić przez wszystko. Oraz dla dowolnej liczby i dla wyrażenia z x. O ile nie jest to zero. On, równanie, nie jest z tego powodu ani gorący, ani zimny.) To się nie zmienia. Ale nierówności są bardziej wrażliwe na mnożenie/dzielenie.
Dobry przykład na długą pamięć. Zapisujemy nierówność, która nie budzi wątpliwości:
5 > 2
Pomnóż obie strony przez +3, otrzymujemy:
15 > 6
Czy są jakieś zastrzeżenia? Nie ma zastrzeżeń.) A jeśli pomnożymy obie części pierwotnej nierówności przez -3, otrzymujemy:
15 > -6
I to jest jawne kłamstwo.) Kompletne kłamstwo! Oszukiwanie ludzi! Ale gdy tylko znak nierówności zostanie odwrócony, wszystko układa się na swoim miejscu:
15 < -6
O kłamstwach i oszustwach - nie tylko przysięgam.) „Zapomniałem zmienić znak nierówności…”- Ten dom błąd w rozwiązywaniu nierówności. Ta błaha i nieskomplikowana zasada skrzywdziła już tak wiele osób! Którzy zapomnieli...) Więc przysięgam. Może pamiętaj...)
Ci, którzy są szczególnie uważni, zauważą, że nierówności nie można pomnożyć przez wyrażenie z x. Szacunek uważny!) A dlaczego nie? Odpowiedź jest prosta. Nie znamy znaku tego wyrażenia przy x. Może być dodatnia, ujemna... Dlatego nie wiemy, jaki znak nierówności postawić po mnożeniu. Zmienić to czy nie? Nieznany. Oczywiście to ograniczenie (zakaz mnożenia/dzielenia nierówności przez wyrażenie z x) można ominąć. Jeśli naprawdę tego potrzebujesz. Ale to już temat na inne lekcje.
To wszystko identyczne przekształcenia nierówności. Przypomnę jeszcze raz, że dla nich pracują każdy nierówności. A teraz możesz przejść do konkretnych typów.
Nierówności liniowe. Rozwiązanie, przykłady.
Nierówności liniowe nazywane są nierównościami, w których x jest pierwszego stopnia i nie ma dzielenia przez x. Typ:
x+3 > 5x-5
Jak rozwiązuje się te nierówności? Są bardzo łatwe do rozwiązania! Mianowicie: za pomocą zmniejszamy najbardziej zagmatwaną nierówność liniową prosto do odpowiedzi. To całe rozwiązanie. Podkreślę główne punkty rozwiązania. Aby uniknąć głupich błędów.)
Rozwiązujemy tę nierówność:
x+3 > 5x-5
Rozwiązujemy w taki sam sposób, jak równanie liniowe. Z jedyną różnicą:
Zwróć szczególną uwagę na znak nierówności!
Pierwszy krok jest najczęstszy. Z x - w lewo, bez x - w prawo... Jest to pierwsza identyczna transformacja, prosta i bezproblemowa.) Tylko nie zapomnij zmienić znaków przenoszonych prętów.
Znak nierówności zostaje zachowany:
x-5x > -5-3
Przedstawiamy podobne.
Znak nierówności zostaje zachowany:
4x > -8
Pozostaje zastosować ostatnią identyczną transformację: podzielić obie części przez -4.
Dzielić przez negatywny numer.
Znak nierówności zostanie odwrócony:
X < 2
To jest odpowiedź.
W ten sposób rozwiązuje się wszystkie nierówności liniowe.
Uwaga! Punkt 2 jest narysowany na biało, tj. niepomalowany. Pusty w środku. Oznacza to, że nie jest ona uwzględniona w odpowiedzi! Celowo narysowałem ją tak zdrową. Taki punkt (pusty, nie zdrowy!)) w matematyce nazywa się wypunktowany punkt.
Pozostałe liczby na osi można zaznaczyć, ale nie jest to konieczne. Liczby obce, które nie są związane z naszą nierównością, mogą być mylące, tak… Trzeba tylko pamiętać, że wzrost liczb idzie w kierunku strzałki, tj. cyfry 3, 4, 5 itd. Czy w prawo dwójki i liczby 1, 0, -1 itd. - w lewo.
Nierówność x < 2 - ścisły. X jest ściśle mniejsze niż dwa. W razie wątpliwości sprawdzenie jest proste. Podstawiamy liczbę wątpliwą w nierówności i myślimy: „Dwa to mniej niż dwa? Oczywiście, że nie!” Dokładnie. Nierówność 2 < 2 zło. Dwójka nie jest dobra na odpowiedź.
Czy singiel wystarczy? Z pewnością. Mniej ... A zero jest dobre, a -17 i 0,34 ... Tak, wszystkie liczby mniejsze niż dwa są dobre! A nawet 1,9999.... Przynajmniej trochę, ale mniej!
Zatem zaznaczamy wszystkie te liczby na osi liczb. Jak? Tutaj są opcje. Pierwszą opcją jest wylęganie. Najedź myszką na zdjęcie (lub dotknij zdjęcia na tablecie) i zobacz, że obszar wszystkich x odpowiadających warunkowi x jest zacieniony < 2 . To wszystko.
Rozważmy drugą opcję w drugim przykładzie:
X ≥ -0,5
Narysuj oś, zaznacz liczbę -0,5. Lubię to:
Czy zauważyłeś różnicę?) No tak, trudno nie zauważyć... Ta kropka jest czarna! Zamalowany. Oznacza to, że -0,5 zawarte w odpowiedzi. Tutaj, nawiasem mówiąc, sprawdzam i dezorientuję kogoś. Zastępujemy:
-0,5 ≥ -0,5
Jak to? -0,5 to nic więcej niż -0,5! Jest więcej ikon...
W porządku. W nieścisłej nierówności odpowiednie jest wszystko, co pasuje do ikony. I równa się pasuje i więcej Dobry. Dlatego w odpowiedzi uwzględniono -0,5.
Zatem zaznaczyliśmy na osi -0,5, pozostaje zaznaczyć wszystkie liczby większe niż -0,5. Tym razem zaznaczam zakres odpowiednich wartości x jarzmo(od słowa łuk) zamiast wylęgać się. Najedź kursorem na zdjęcie i zobacz tę kokardkę.
Nie ma szczególnej różnicy między kreskowaniem a łukami. Zrób tak, jak mówi nauczyciel. Jeśli nie ma nauczyciela, narysuj ramiona. W bardziej złożonych zadaniach kreskowanie jest mniej oczywiste. Można się pomylić.
W ten sposób rysuje się nierówności liniowe na osi. Przechodzimy do kolejnej osobliwości nierówności.
Napisz odpowiedź na nierówności.
W równaniach było dobrze.) Znaleźliśmy x i zapisaliśmy odpowiedź, na przykład: x \u003d 3. W nierównościach istnieją dwie formy zapisu odpowiedzi. Jeden - w postaci końcowej nierówności. Dobry do prostych przypadków. Na przykład:
X< 2.
To jest pełna odpowiedź.
Czasami trzeba napisać to samo, ale w innej formie, poprzez luki numeryczne. Wtedy wpis zaczyna wyglądać bardzo naukowo):
x ∈ (-∞; 2)
Pod ikoną ∈ ukrywanie tego słowa "należy".
Wpis brzmi następująco: x należy do przedziału od minus nieskończoności do dwóch nie licząc. Całkiem logiczne. X może być dowolną liczbą spośród wszystkich możliwych liczb od minus nieskończoności do dwóch. Podwójny X nie może być, jak mówi nam to słowo "nie licząc".
Gdzie to jest w odpowiedzi "nie licząc"? Fakt ten został odnotowany w odpowiedzi. okrągły nawias bezpośrednio po dwójce. Gdyby dwójka została uwzględniona, nawias byłby kwadrat. Oto ona: ]. W poniższym przykładzie zastosowano taki nawias.
Zapiszmy odpowiedź: x ≥ -0,5 przez interwały:
x ∈ [-0,5; +∞)
czyta: x należy do przedziału od minus 0,5, w tym, aż do plus nieskończoności.
Nieskończoności nigdy nie da się włączyć. To nie jest liczba, to jest symbol. Dlatego w takich wpisach nieskończoność zawsze występuje w nawiasie.
Ta forma zapisu jest wygodna w przypadku złożonych odpowiedzi składających się z kilku luk. Ale - tylko dla ostatecznych odpowiedzi. W wynikach pośrednich, gdzie oczekuje się dalszego rozwiązania, lepiej zastosować zwykłą formę, w postaci prostej nierówności. Zajmiemy się tym w odpowiednich tematach.
Popularne zadania z nierównościami.
Same nierówności liniowe są proste. Dlatego zadania często stają się trudniejsze. Więc pomyśleć, że było to konieczne. To, jeśli z przyzwyczajenia, nie jest zbyt przyjemne.) Ale jest przydatne. Pokażę przykłady takich zadań. Nie po to, żebyś się ich uczył, to zbyteczne. I żeby się nie bać, spotykając się z podobnymi przykładami. Trochę myśli - i wszystko jest proste!)
1. Znajdź dwa dowolne rozwiązania nierówności 3x - 3< 0
Jeśli nie jest jasne, co zrobić, pamiętaj o głównej zasadzie matematyki:
Jeśli nie wiesz co robić, zrób co możesz!
X < 1
I co? Nic specjalnego. O co nas pytają? Mamy znaleźć dwie konkretne liczby będące rozwiązaniem nierówności. Te. pasuje do odpowiedzi. Dwa każdy liczby. Właściwie to jest żenujące.) Odpowiednie są kilka wartości 0 i 0,5. Kilka -3 i -8. Tak, jest nieskończona liczba tych par! Jaka jest prawidłowa odpowiedz?!
Odpowiadam: wszystko! Dowolna para liczb, z których każda jest mniejsza niż jeden, byłaby poprawna odpowiedź. Napisz co chcesz. Idźmy dalej.
2. Rozwiąż nierówność:
4x - 3 ≠ 0
Takie prace są rzadkością. Ale jako nierówności pomocnicze, na przykład przy znajdowaniu ODZ lub przy znajdowaniu dziedziny funkcji, spotyka się je cały czas. Taką nierówność liniową można rozwiązać jako zwykłe równanie liniowe. Tylko wszędzie, z wyjątkiem znaku „=” ( równa się) umieść znak „ ≠ " (nie równe). Dojdziesz więc do odpowiedzi ze znakiem nierówności:
X ≠ 0,75
W bardziej złożonych przykładach lepiej jest zrobić wszystko inaczej. Zrównaj nierówność. Lubię to:
4x - 3 = 0
Rozwiąż je spokojnie zgodnie z instrukcją i uzyskaj odpowiedź:
x = 0,75
Najważniejsze, żeby na samym końcu, zapisując ostateczną odpowiedź, nie zapomnieć, że znaleźliśmy x, co daje równość. I potrzebujemy - nierówność. Dlatego po prostu nie potrzebujemy tego X.) I musimy to zapisać odpowiednią ikoną:
X ≠ 0,75
Takie podejście skutkuje mniejszą liczbą błędów. Ci, którzy rozwiązują równania na maszynie. A dla tych, którzy nie rozwiązują równań, nierówności są w rzeczywistości bezużyteczne ...) Kolejny przykład popularnego zadania:
3. Znajdź najmniejsze całkowite rozwiązanie nierówności:
3(x - 1) < 5x + 9
Najpierw po prostu rozwiązujemy nierówność. Otwieramy nawiasy, przenosimy, dajemy podobne ... Otrzymujemy:
X > - 6
Czy to się nie wydarzyło!? Czy postępowałeś zgodnie ze znakami? A za znakami członków i za znakiem nierówności…
Wyobraźmy sobie jeszcze raz. Musimy znaleźć konkretną liczbę pasującą zarówno do odpowiedzi, jak i warunku „najmniejsza liczba całkowita”. Jeśli nie przyjdzie ci to od razu do głowy, możesz po prostu wziąć dowolną liczbę i ją obliczyć. Dwa jest większe niż minus sześć? Z pewnością! Czy istnieje odpowiednia mniejsza liczba? Oczywiście. Na przykład zero jest większe niż -6. A jeszcze mniej? Potrzebujemy najmniejszego z możliwych! Minus trzy to więcej niż minus sześć! Można już złapać wzór i przestać głupio sortować liczby, prawda?)
Przybliżamy liczbę do -6. Na przykład -5. Odpowiedź wykonana, -5 > - 6. Czy potrafisz znaleźć inną liczbę mniejszą niż -5, ale większą niż -6? Możesz na przykład -5,5... Przestań! Powiedziano nam cały rozwiązanie! Nie toczy się -5,5! A co z minusem sześć? Eee! Nierówność jest ścisła, minus 6 jest nie mniejsze niż minus 6!
Zatem prawidłowa odpowiedź to -5.
Mam nadzieję, że wszystko jest jasne przy wyborze wartości z rozwiązania ogólnego. Inny przykład:
4. Rozwiąż nierówność:
7 < 3x+1 < 13
Jak! Takie wyrażenie nazywa się potrójna nierówność.Ściśle mówiąc, jest to skrócona notacja systemu nierówności. Ale w niektórych zadaniach nadal musisz rozwiązać takie potrójne nierówności ... Rozwiązuje się to bez żadnych systemów. Przez te same identyczne przekształcenia.
Trzeba uprościć, doprowadzić tę nierówność do czystego X. Ale... Co gdzie przenieść!? Nadszedł czas, aby pamiętać, że przesuwanie w lewo-prawo jest skrócona forma pierwsza identyczna transformacja.
A pełny formularz wygląda tak: Do obu części równania (nierówność) można dodać/odjąć dowolną liczbę lub wyrażenie.
Są tu trzy części. Zastosujemy więc identyczne przekształcenia do wszystkich trzech części!
Pozbądźmy się więc tego w środkowej części nierówności. Odejmij jeden od całej środkowej części. Aby nierówność się nie zmieniła, od pozostałych dwóch części odejmujemy jeden. Lubię to:
7 -1< 3x+1-1 < 13-1
6 < 3x < 12
Już lepiej, prawda?) Pozostaje podzielić wszystkie trzy części na trzy:
2 < X < 4
To wszystko. To jest odpowiedź. X może być dowolną liczbą od dwóch (bez uwzględnienia) do czterech (bez uwzględnienia). Ta odpowiedź jest również zapisywana w odstępach, takie wpisy będą w nierównościach kwadratowych. Tam są najczęstsze.
Na koniec lekcji powtórzę najważniejszą rzecz. Sukces w rozwiązywaniu nierówności liniowych zależy od umiejętności przekształcania i upraszczania równań liniowych. Jeśli jednocześnie podążaj za znakiem nierówności, nie będzie żadnych problemów. Czego Ci życzę. Nie ma problemu.)
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)
możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
W artykule rozważymy rozwiązanie nierówności. Porozmawiajmy otwarcie jak zbudować rozwiązanie nierówności z jasnymi przykładami!
Zanim rozważymy rozwiązanie nierówności na przykładach, zajmijmy się podstawowymi pojęciami.
Wprowadzenie do nierówności
nierówność nazywa się wyrażeniem, w którym funkcje są połączone znakami relacji >, . Nierówności mogą być zarówno numeryczne, jak i alfabetyczne.
Nierówności z dwoma znakami relacji nazywane są podwójnymi, z trzema - potrójnymi itp. Na przykład:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nierówności zawierające znak > lub lub nie są ścisłe.
Rozwiązanie nierówności jest dowolną wartością zmiennej, dla której ta nierówność jest prawdziwa.
"Rozwiąż nierówność" oznacza, że trzeba znaleźć zbiór wszystkich jego rozwiązań. Są różne metody rozwiązywania nierówności. Dla rozwiązania nierówności użyj osi liczbowej, która jest nieskończona. Na przykład, rozwiązanie nierówności x > 3 to przedział od 3 do +, a liczba 3 nie jest wliczona w ten przedział, więc punkt na prostej jest oznaczony pustym okręgiem, ponieważ nierówność jest ostra. 
+
Odpowiedź będzie brzmiała: x (3; +).
Wartość x=3 nie wchodzi w skład zbioru rozwiązań, zatem nawias jest okrągły. Znak nieskończoności jest zawsze ujęty w nawias. Znak oznacza „przynależność”.
Zastanów się, jak rozwiązać nierówności, korzystając z innego przykładu ze znakiem:
x2
-
+
Wartość x=2 wchodzi w skład zbioru rozwiązań, zatem nawias kwadratowy i punkt na prostej oznaczono wypełnionym okręgiem.
Odpowiedź będzie brzmiała: x )
