Nierówności mocy są przykładami rozwiązań. Równania i nierówności wykładnicze. Co to jest funkcja wykładnicza

Gdzie rolą $b$ może być zwykła liczba, a może coś trudniejszego. Przykłady? Tak proszę:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ kwadrat ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\end(align)\]

Myślę, że znaczenie jest jasne: istnieje funkcja wykładnicza $((a)^(x))$, jest ona porównywana z czymś, a następnie proszona o znalezienie $x$. W szczególnie klinicznych przypadkach zamiast zmiennej $x$ można umieścić jakąś funkcję $f\left(x \right)$ i w ten sposób nieco skomplikować nierówność. :)

Oczywiście w niektórych przypadkach nierówność może wyglądać na poważniejszą. Na przykład:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Albo nawet to:

Ogólnie rzecz biorąc, złożoność takich nierówności może być bardzo różna, ale ostatecznie sprowadzają się one do prostej konstrukcji $((a)^(x)) \gt b$. I jakoś sobie z takim projektem poradzimy (w szczególnie przypadkach klinicznych, gdy nic nie przychodzi nam do głowy, pomogą nam logarytmy). Dlatego teraz nauczymy się rozwiązywać tak proste konstrukcje.

Rozwiązanie najprostszych nierówności wykładniczych

Spójrzmy na coś bardzo prostego. Na przykład tutaj jest:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Oczywiście liczbę po prawej stronie można przepisać jako potęgę dwójki: $4=((2)^(2))$. Zatem pierwotna nierówność została przepisana w bardzo wygodnej formie:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

A teraz ręce mrowią, żeby „przekreślić” dwójki stojące u podstaw stopni, aby uzyskać odpowiedź $x \gt 2$. Ale zanim cokolwiek skreślimy, przypomnijmy sobie potęgę dwójki:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Jak widać, im większa liczba w wykładniku, tym większa liczba wyjściowa. „Dzięki, Cap!” zawoła jeden z uczniów. Czy dzieje się to inaczej? Niestety, to się zdarza. Na przykład:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ prawo))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Tutaj również wszystko jest logiczne: im większy stopień, tym więcej razy liczba 0,5 jest mnożona przez siebie (czyli dzielona na pół). Zatem wynikowa sekwencja liczb maleje, a różnica między pierwszą a drugą sekwencją występuje tylko w podstawie:

• Jeśli podstawa stopnia $a \gt 1$, to wraz ze wzrostem wykładnika $n$ rośnie także liczba $((a)^(n))$;
• I odwrotnie, jeśli $0 \lt a \lt 1$, to w miarę wzrostu wykładnika $n$ liczba $((a)^(n))$ będzie się zmniejszać.

Podsumowując te fakty otrzymujemy najważniejsze stwierdzenie, na którym opiera się całe rozwiązanie nierówności wykładniczych:

Jeśli $a \gt 1$, to nierówność $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ jest równoważna nierówności $x \gt n$. Jeśli $0 \lt a \lt 1$, to nierówność $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ jest równoważna nierówności $x \lt n$.

Innymi słowy, jeśli podstawa jest większa niż jedność, możesz ją po prostu usunąć - znak nierówności nie ulegnie zmianie. A jeśli podstawa jest mniejsza niż jeden, można ją również usunąć, ale znak nierówności również będzie musiał zostać zmieniony.

Należy pamiętać, że nie uwzględniliśmy opcji $a=1$ i $a\le 0$. Ponieważ w takich przypadkach istnieje niepewność. Załóżmy, jak rozwiązać nierówność w postaci $((1)^(x)) \gt 3$? Jedynka do dowolnej potęgi znowu da jedynkę – nigdy nie otrzymamy trójki lub więcej. Te. nie ma rozwiązań.

W przypadku zasad ujemnych jest to jeszcze bardziej interesujące. Rozważmy na przykład następującą nierówność:

\[((\lewo(-2 \prawo))^(x)) \gt 4\]

Na pierwszy rzut oka wszystko jest proste:

Prawidłowy? Ale nie! Wystarczy zastąpić kilka liczb parzystych i kilka nieparzystych zamiast $x$, aby mieć pewność, że rozwiązanie jest błędne. Spójrz:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Strzałka w prawo ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Strzałka w prawo ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Strzałka w prawo ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Jak widać, znaki są naprzemienne. Ale wciąż są stopnie ułamkowe i inna cyna. Jak na przykład zamówić policzenie $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus dwa podniesione do pierwiastka z siedmiu)? Nie ma mowy!

Dlatego dla pewności zakładamy, że we wszystkich nierównościach wykładniczych (a przy okazji także w równaniach) $1\ne a \gt 0$. A potem wszystko zostało rozwiązane bardzo prosto:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]

Ogólnie rzecz biorąc, jeszcze raz pamiętaj o głównej zasadzie: jeśli podstawa równania wykładniczego jest większa niż jeden, możesz ją po prostu usunąć; a jeśli podstawa jest mniejsza niż jeden, można ją również usunąć, ale zmieni to znak nierówności.

Przykłady rozwiązań

Rozważmy zatem kilka prostych nierówności wykładniczych:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

Podstawowe zadanie jest we wszystkich przypadkach takie samo: sprowadzić nierówności do najprostszej postaci $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. To właśnie zrobimy teraz z każdą nierównością, jednocześnie powtarzając własności potęg i funkcję wykładniczą. Więc chodźmy!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Co można tutaj zrobić? Cóż, po lewej stronie mamy już wyrażenie poglądowe - nic nie trzeba zmieniać. Ale po prawej stronie jest jakiś badziew: ułamek, a nawet pierwiastek z mianownika!

Pamiętaj jednak o zasadach pracy z ułamkami i potęgami:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

Co to znaczy? Po pierwsze, możemy łatwo pozbyć się ułamka, zamieniając go na wykładnik ujemny. A po drugie, skoro mianownikiem jest pierwiastek, dobrze byłoby zamienić go na stopień - tym razem z wykładnikiem ułamkowym.

Zastosujmy te działania sekwencyjnie do prawej strony nierówności i zobaczmy, co się stanie:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \prawo))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \lewo(-1 \prawo)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Nie zapominaj, że podnosząc stopień do potęgi, wykładniki tych stopni są dodawane. Ogólnie rzecz biorąc, pracując z równaniami wykładniczymi i nierównościami, absolutnie konieczne jest poznanie przynajmniej najprostszych zasad pracy z potęgami:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

Właściwie właśnie zastosowaliśmy ostatnią zasadę. Dlatego nasza pierwotna nierówność zostanie przepisana w następujący sposób:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Teraz pozbywamy się dwójki u podstawy. Ponieważ 2 > 1, znak nierówności pozostaje taki sam:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

To całe rozwiązanie! Główna trudność wcale nie polega na funkcji wykładniczej, ale na kompetentnej transformacji pierwotnego wyrażenia: musisz ostrożnie i tak szybko, jak to możliwe, doprowadzić je do najprostszej formy.

Rozważmy drugą nierówność:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Tak sobie. Tutaj czekamy na ułamki dziesiętne. Jak już wielokrotnie mówiłem, w każdym wyrażeniu z potęgą należy pozbyć się ułamków dziesiętnych - często jest to jedyny sposób na szybkie i łatwe rozwiązanie. Oto, czego się pozbędziemy:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ prawda))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Strzałka w prawo ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\lewo(\frac(1)(10) \prawo))^(2)). \\\end(align)\]

Przed nami znowu najprostsza nierówność, a nawet z podstawą 1/10, tj. mniej niż jeden. Cóż, usuwamy podstawy, jednocześnie zmieniając znak z „mniej” na „większy” i otrzymujemy:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Należy pamiętać, że odpowiedź jest dokładnie zbiorem iw żadnym wypadku nie jest konstrukcją postaci $x \lt -1$. Bo formalnie taka konstrukcja nie jest w ogóle zbiorem, tylko nierównością względem zmiennej $x$. Tak, to bardzo proste, ale to nie jest odpowiedź!

Ważna uwaga. Nierówność tę można rozwiązać w inny sposób - sprowadzając obie części do potęgi o podstawie większej niż jeden. Spójrz:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Strzałka w prawo ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Po takim przekształceniu ponownie otrzymujemy nierówność wykładniczą, ale o podstawie 10 > 1. A to oznacza, że ​​można po prostu skreślić dziesiątkę - znak nierówności się nie zmieni. Otrzymujemy:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

Jak widać, odpowiedź jest dokładnie taka sama. Jednocześnie uchroniliśmy się od konieczności zmiany znaku i ogólnie pamiętamy tam pewne zasady. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Jednak nie pozwól, żeby cię to przestraszyło. Cokolwiek znajduje się we wskaźnikach, sama technologia rozwiązywania nierówności pozostaje taka sama. Dlatego najpierw zauważamy, że 16 = 2 4 . Przepiszmy pierwotną nierówność, biorąc pod uwagę ten fakt:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Brawo! Mamy zwykłą nierówność kwadratową! Znak nigdzie się nie zmienił, ponieważ podstawą jest dwójka - liczba większa niż jeden.

Funkcja zera na osi liczbowej

Ustawiamy znaki funkcji $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - oczywiście jej wykres będzie parabolą z gałęziami w górę, więc będą „plusy” " na bokach. Nas interesuje obszar, w którym funkcja jest mniejsza od zera, tj. $x\in \left(2;5 \right)$ jest odpowiedzią na pierwotny problem.

Na koniec rozważmy inną nierówność:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Ponownie widzimy funkcję wykładniczą z ułamkiem dziesiętnym w podstawie. Zamieńmy ten ułamek na ułamek zwykły:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\RightArrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\lewo(((5)^(-1)) \prawo))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

W tym przypadku skorzystaliśmy z uwagi poczynionej wcześniej - zmniejszyliśmy bazę do liczby 5\u003e 1, aby ułatwić nam dalszą decyzję. Zróbmy to samo z prawą stroną:

\[\frac(1)(25)=((\lewo(\frac(1)(5) \prawo))^(2))=((\lewo(((5)^(-1)) \ prawo))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Przepiszmy pierwotną nierówność, biorąc pod uwagę obie transformacje:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]

Podstawy po obu stronach są takie same i większe niż jeden. Po prawej i lewej stronie nie ma innych terminów, więc po prostu „przekreślamy” piątki i otrzymujemy bardzo proste wyrażenie:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Tutaj trzeba zachować ostrożność. Wielu uczniów lubi po prostu wyciągać pierwiastek kwadratowy z obu stron nierówności i zapisywać coś w rodzaju $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Nigdy nie powinieneś tego robić, ponieważ pierwiastkiem dokładnego kwadratu jest moduł, a w żadnym wypadku pierwotna zmienna:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\lewo| x\prawo|\]

Jednak praca z modułami nie należy do najprzyjemniejszych, prawda? Więc nie będziemy pracować. Zamiast tego po prostu przesuwamy wszystkie wyrazy w lewo i rozwiązujemy zwykłą nierówność za pomocą metody przedziałowej:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(wyrównaj)$

Ponownie zaznaczamy uzyskane punkty na osi liczbowej i patrzymy na znaki:

Ponieważ rozwiązywaliśmy nieścisłą nierówność, wszystkie punkty na wykresie zostały zacienione. Dlatego odpowiedź będzie następująca: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nie jest przedziałem, ale segmentem.

Ogólnie chciałbym zauważyć, że w nierównościach wykładniczych nie ma nic skomplikowanego. Znaczenie wszystkich przekształceń, które dzisiaj wykonaliśmy, sprowadza się do prostego algorytmu:

• Znajdź podstawę, do której sprowadzimy wszystkie stopnie;
• Ostrożnie wykonaj przekształcenia, aby otrzymać nierówność w postaci $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Oczywiście zamiast zmiennych $x$ i $n$ mogą istnieć znacznie bardziej złożone funkcje, ale to nie zmienia znaczenia;
• Przekreśl podstawy stopni. W tym przypadku znak nierówności może się zmienić, jeśli podstawa $a \lt 1$.

W rzeczywistości jest to uniwersalny algorytm rozwiązywania wszystkich takich nierówności. A wszystko inne, co zostanie ci powiedziane na ten temat, to tylko konkretne sztuczki i triki mające na celu uproszczenie i przyspieszenie transformacji. Oto jedna z tych sztuczek, o których teraz porozmawiamy. :)

metoda racjonalizacji

Rozważmy inną partię nierówności:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

No właśnie, co jest w nich takiego wyjątkowego? Są również lekkie. Chociaż przestań! Czy pi jest podniesione do potęgi? Jakie bzdury?

A jak podnieść liczbę $2\sqrt(3)-3$ do potęgi? Lub $3-2\sqrt(2)$? Kompilatorzy problemów najwyraźniej wypili za dużo „Głogu” przed zabraniem się do pracy. :)

Tak naprawdę nie ma nic złego w tych zadaniach. Przypomnę: funkcja wykładnicza jest wyrażeniem w postaci $((a)^(x))$, gdzie podstawą $a$ jest dowolna liczba dodatnia z wyjątkiem jedności. Liczba π jest dodatnia – to już wiemy. Liczby $2\sqrt(3)-3$ i $3-2\sqrt(2)$ są również dodatnie - łatwo to sprawdzić, jeśli porównamy je z zerem.

Okazuje się, że wszystkie te „przerażające” nierówności niczym nie różnią się od prostych, omówionych powyżej? I robią to w ten sam sposób? Tak, absolutna racja. Jednak na ich przykładzie chciałbym rozważyć jeden trik, który pozwala zaoszczędzić mnóstwo czasu na samodzielnej pracy i egzaminach. Porozmawiajmy o racjonalizacji. Zatem uwaga:

Dowolna nierówność wykładnicza postaci $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ jest równoważna nierówności $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ po prawej) \gt 0 $.

Ot cała metoda :) Myślałeś, że będzie jakaś następna gra? Nic takiego! Ale ten prosty fakt, zapisany dosłownie w jednym wierszu, znacznie uprości naszą pracę. Spójrz:

\[\begin(macierz) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Nie ma już funkcji wykładniczych! I nie musisz pamiętać, czy znak się zmienia, czy nie. Ale pojawia się nowy problem: co zrobić z pieprzonym mnożnikiem \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Nie wiemy, jaka jest dokładna wartość pi. Jednak kapitan wydaje się wskazywać na oczywistość:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\około 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

Ogólnie rzecz biorąc, dokładna wartość π nie przeszkadza nam zbytnio - ważne jest, abyśmy zrozumieli, że w każdym razie $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. jest stałą dodatnią i możemy przez nią podzielić obie strony nierówności:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Jak widać, w pewnym momencie musieliśmy podzielić przez minus jeden i zmienił się znak nierówności. Na koniec rozwinąłem trójmian kwadratowy zgodnie z twierdzeniem Vieta - oczywiste jest, że pierwiastki są równe $((x)_(1))=5$ i $((x)_(2))=- 1 $. Następnie wszystko rozwiązuje się klasyczną metodą przedziałów:

Wszystkie punkty są przebijane, ponieważ pierwotna nierówność jest ścisła. Nas interesuje obszar o wartościach ujemnych, więc odpowiedź brzmi $x\in \left(-1;5 \right)$. To jest rozwiązanie. :)

Przejdźmy do następnego zadania:

\[((\lewo(2\sqrt(3)-3 \prawo))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Tutaj wszystko jest proste, ponieważ po prawej stronie znajduje się jednostka. I pamiętamy, że jednostką jest dowolna liczba podniesiona do potęgi zera. Nawet jeśli ta liczba jest wyrażeniem irracjonalnym, stojąc u podstawy po lewej stronie:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3\prawo))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \prawo))^(0)); \\\end(align)\]

Zatem racjonalizujmy:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Pozostaje tylko poradzić sobie ze znakami. Mnożnik $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ nie zawiera zmiennej $x$ - jest to po prostu stała i musimy obliczyć jej znak. Aby to zrobić, zwróć uwagę na następujące kwestie:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(macierz)\]

Okazuje się, że drugi czynnik nie jest tylko stałą, ale stałą ujemną! A przy dzieleniu przez nią znak pierwotnej nierówności zmieni się na przeciwny:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Teraz wszystko staje się całkiem oczywiste. Pierwiastki kwadratowego trójmianu po prawej stronie to $((x)_(1))=0$ i $((x)_(2))=2$. Zaznaczamy je na osi liczbowej i patrzymy na znaki funkcji $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Nas interesują interwały oznaczone znakiem plus. Pozostaje tylko zapisać odpowiedź:

Przejdźmy do następnego przykładu:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ prawo))^(16-x))\]

Cóż, tutaj wszystko jest dość oczywiste: podstawy są potęgami tej samej liczby. Dlatego napiszę wszystko krótko:

\[\begin(macierz) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\lewo(((3)^(-2)) \prawo))^(16-x)) \\\end(macierz)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ lewo(16-x\prawo))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Jak widać w procesie przekształceń musieliśmy pomnożyć przez liczbę ujemną, więc zmienił się znak nierówności. Na sam koniec ponownie zastosowałem twierdzenie Viety do rozkładu na czynniki trójmianu kwadratowego. W rezultacie odpowiedź będzie następująca: $x\in \left(-8;4 \right)$ - kto chce, może to sprawdzić rysując oś liczbową, zaznaczając punkty i licząc znaki. W międzyczasie przejdziemy do ostatniej nierówności z naszego „zbioru”:

\[((\lewo(3-2\sqrt(2) \prawo))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Jak widać, podstawa jest znowu liczbą niewymierną, a jednostka znów jest po prawej stronie. Dlatego przepisujemy naszą nierówność wykładniczą w następujący sposób:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ prawo))^(0))\]

Racjonalizujmy:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Jednakże jest całkiem oczywiste, że $1-\sqrt(2) \lt 0$, ponieważ $\sqrt(2)\około 1,4... \gt 1$. Dlatego drugi czynnik jest ponownie stałą ujemną, przez którą można podzielić obie części nierówności:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(macierz)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Zmień bazę na inną

Osobnym problemem w rozwiązywaniu nierówności wykładniczych jest poszukiwanie „właściwej” bazy. Niestety, na pierwszy rzut oka nie zawsze jest oczywiste, co przyjąć za podstawę i co zrobić jako stopień tej podstawy.

Ale nie martw się: nie ma tu magii i „tajnych” technologii. W matematyce każdą umiejętność, której nie można poddać algorytmizacji, można łatwo rozwinąć poprzez praktykę. Ale w tym celu będziesz musiał rozwiązać problemy o różnych poziomach złożoności. Są to na przykład:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ koniec(wyrównaj)\]

Trudny? Straszny? Tak, to łatwiejsze niż kurczak na asfalcie! Spróbujmy. Pierwsza nierówność:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Cóż, myślę, że tutaj wszystko jest jasne:

Przepisujemy pierwotną nierówność, redukując wszystko do podstawy „dwa”:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Tak, tak, dobrze zrozumiałeś: właśnie zastosowałem opisaną powyżej metodę racjonalizacji. Teraz musimy pracować ostrożnie: otrzymaliśmy nierówność ułamkowo-wymierną (to taka, która ma zmienną w mianowniku), więc przed zrównaniem czegoś do zera należy wszystko sprowadzić do wspólnego mianownika i pozbyć się stałego czynnika .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Teraz używamy standardowej metody interwałowej. Zera licznika: $x=\pm 4$. Mianownik dąży do zera tylko wtedy, gdy $x=0$. W sumie na osi liczbowej należy zaznaczyć trzy punkty (wszystkie punkty są wykreślone, ponieważ znak nierówności jest ścisły). Otrzymujemy:

Jak można się domyślić, kreskowanie oznacza odstępy, w których wyrażenie po lewej stronie przyjmuje wartości ujemne. Dlatego do ostatecznej odpowiedzi od razu wejdą dwa przedziały:

Końce przedziałów nie są uwzględnione w odpowiedzi, ponieważ pierwotna nierówność była ścisła. Nie jest wymagana dalsza weryfikacja tej odpowiedzi. Pod tym względem nierówności wykładnicze są znacznie prostsze niż nierówności logarytmiczne: brak DPV, brak ograniczeń itp.

Przejdźmy do następnego zadania:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Tutaj też nie ma żadnych problemów, skoro wiemy już, że $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, zatem całą nierówność można przepisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\lewo(-2\prawo)\prawo. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Uwaga: w trzeciej linii postanowiłem nie tracić czasu na drobiazgi i natychmiast podzielić wszystko przez (-2). Minul wszedł do pierwszego nawiasu (teraz wszędzie są plusy), a dwójka została zmniejszona stałym mnożnikiem. Dokładnie tak należy postępować dokonując realnych obliczeń dla pracy niezależnej i kontrolnej - nie trzeba bezpośrednio malować każdej akcji i transformacji.

Następnie w grę wchodzi znana metoda interwałów. Zera licznika: ale ich nie ma. Ponieważ dyskryminator będzie ujemny. Z kolei mianownik jest zerowany tylko wtedy, gdy $x=0$ — tak jak ostatnim razem. Cóż, jasne jest, że ułamek będzie przyjmować wartości dodatnie na prawo od $x=0$, a ujemne na lewo. Ponieważ interesują nas tylko wartości ujemne, ostateczna odpowiedź to $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

A co należy zrobić z ułamkami dziesiętnymi w nierównościach wykładniczych? Zgadza się: pozbądź się ich, zamieniając je w zwykłe. Tutaj tłumaczymy:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\lewo(\frac(4)(25) \prawo))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Strzałka w prawo ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \prawo))^(x)). \\\end(align)\]

Cóż, co otrzymaliśmy w podstawach funkcji wykładniczych? I otrzymaliśmy dwie wzajemnie odwrotne liczby:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ prawo))^(x))=((\lewo(((\lewo(\frac(4)(25) \prawo))^(-1)) \prawo))^(x))=((\ lewo(\frac(4)(25) \prawo))^(-x))\]

Zatem pierwotną nierówność można przepisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \prawo))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]

Oczywiście przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie ich wskaźniki sumują się, co miało miejsce w drugiej linii. Ponadto przedstawiliśmy jednostkę po prawej stronie, również jako potęgę o podstawie 4/25. Pozostaje tylko zracjonalizować:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Zauważ, że $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, tj. drugi czynnik jest stałą ujemną i po podzieleniu przez niego znak nierówności ulegnie zmianie:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Strzałka w prawo x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Na koniec ostatnia nierówność z bieżącego „zbioru”:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

W zasadzie idea rozwiązania tutaj jest również jasna: wszystkie funkcje wykładnicze składające się na nierówność należy sprowadzić do podstawy „3”. Ale w tym celu musisz trochę majstrować przy korzeniach i stopniach:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

Biorąc pod uwagę te fakty, pierwotną nierówność można przepisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

Zwróć uwagę na drugą i trzecią linię obliczeń: zanim zrobisz coś z nierównością, pamiętaj o doprowadzeniu tego do postaci, o której mówiliśmy na samym początku lekcji: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Tak długo, jak masz lewe lub prawe lewe mnożniki, dodatkowe stałe itp., nie można dokonywać racjonalizacji i „przekreślania” podstaw! Niezliczone zadania zostały wykonane źle z powodu niezrozumienia tego prostego faktu. Sam stale obserwuję ten problem u moich uczniów, kiedy dopiero zaczynamy analizować nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Wróćmy jednak do naszego zadania. Spróbujmy tym razem obejść się bez racjonalizacji. Przypominamy: podstawa stopnia jest większa niż jeden, więc trójki można po prostu przekreślić - znak nierówności się nie zmieni. Otrzymujemy:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

To wszystko. Ostateczna odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Podświetlanie stabilnego wyrażenia i zastępowanie zmiennej

Podsumowując, proponuję rozwiązać cztery kolejne nierówności wykładnicze, które są już dość trudne dla nieprzygotowanych studentów. Aby sobie z nimi poradzić, należy pamiętać o zasadach pracy ze stopniami. W szczególności wyjmowanie wspólnych czynników z nawiasów.

Ale najważniejsze jest, aby nauczyć się rozumieć: co dokładnie można ująć w nawias. Takie wyrażenie nazywamy stabilnym - można je oznaczyć nową zmienną i w ten sposób pozbyć się funkcji wykładniczej. Spójrzmy więc na zadania:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Zacznijmy od pierwszej linijki. Tę nierówność zapisujemy osobno:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Zauważ, że $((5)^(x+2))=(5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, więc prawa strona może przepisać:

Zauważ, że w nierówności nie ma innych funkcji wykładniczych poza $((5)^(x+1))$. I ogólnie zmienna $x$ nie występuje nigdzie indziej, więc wprowadźmy nową zmienną: $((5)^(x+1))=t$. Otrzymujemy następującą konstrukcję:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Wracamy do pierwotnej zmiennej ($t=((5)^(x+1))$), pamiętając jednocześnie, że 1=5 0 . Mamy:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

To całe rozwiązanie! Odpowiedź: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Przejdźmy do drugiej nierówności:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Tutaj wszystko jest takie samo. Zauważ, że $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Następnie lewą stronę można przepisać:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \prawo. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Strzałka w prawo x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]

W przybliżeniu tak należy podjąć decyzję o prawdziwej kontroli i niezależnej pracy.

Cóż, spróbujmy czegoś trudniejszego. Oto na przykład nierówność:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Jaki jest tutaj problem? Przede wszystkim podstawy funkcji wykładniczych po lewej stronie są różne: 5 i 25. Jednak 25 \u003d 5 2, więc pierwszy wyraz można przekształcić:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Jak widać, najpierw sprowadziliśmy wszystko do tej samej podstawy, a potem zauważyliśmy, że pierwszy wyraz można łatwo sprowadzić do drugiego - wystarczy po prostu rozwinąć wykładnik. Teraz możemy już bezpiecznie wprowadzić nową zmienną: $((5)^(2x+2))=t$, a cała nierówność zostanie przepisana w następujący sposób:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Powtórzę: nie ma problemu! Ostateczna odpowiedź: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Przechodząc do ostatniej nierówności w dzisiejszej lekcji:

\[((\lewo(0,5 \prawo))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Pierwszą rzeczą, na którą należy zwrócić uwagę, jest oczywiście ułamek dziesiętny w podstawie pierwszego stopnia. Trzeba się go pozbyć, a jednocześnie sprowadzić wszystkie funkcje wykładnicze do tej samej podstawy - liczby „2”:

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\lewo(((2)^(-1)) \prawo))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Strzałka w prawo ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Świetnie, zrobiliśmy pierwszy krok – wszystko doprowadziło do tego samego fundamentu. Teraz musimy podkreślić stabilne wyrażenie. Zauważ, że $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Jeśli wprowadzimy nową zmienną $((2)^(4x+6))=t$, to pierwotną nierówność można zapisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]

Naturalnie może pojawić się pytanie: jak dowiedzieliśmy się, że 256 = 2 8? Niestety, tutaj wystarczy znać potęgę dwójki (a jednocześnie potęgę trójki i piątki). Cóż, albo podziel 256 przez 2 (możesz podzielić, ponieważ 256 to liczba parzysta), aż otrzymamy wynik. Będzie to wyglądać mniej więcej tak:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Podobnie jest z trójką (liczby 9, 27, 81 i 243 to jej potęgi) i siódemką (liczby 49 i 343 też warto zapamiętać). Cóż, ta piątka ma również „piękne” stopnie naukowe, które musisz znać:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

Oczywiście wszystkie te liczby można w razie potrzeby przywrócić w umyśle, po prostu sukcesywnie mnożąc je przez siebie. Jeśli jednak musisz rozwiązać kilka nierówności wykładniczych, a każda kolejna jest trudniejsza od poprzedniej, to ostatnią rzeczą, o której chcesz myśleć, są potęgi niektórych liczb. I w tym sensie problemy te są bardziej złożone niż „klasyczne” nierówności, które rozwiązuje się metodą przedziałową.

Mam nadzieję, że ta lekcja pomogła Ci w opanowaniu tego tematu. Jeżeli coś nie jest jasne, pytaj w komentarzach. I do zobaczenia w kolejnych tutorialach. :)