Oh-oh-oh-oh-oh… no to bladzi, jakbyś sobie to zdanie czytał =) Jednak wtedy relaks pomoże, zwłaszcza, że ​​dzisiaj kupiłam odpowiednie akcesoria. Dlatego przejdźmy do pierwszej części, mam nadzieję, że pod koniec artykułu utrzymam pogodny nastrój.

Wzajemny układ dwóch linii prostych

Przypadek, gdy sala śpiewa chórem. Dwie linie mogą:

1) mecz;

2) być równoległe: ;

3) lub przecinają się w jednym punkcie: .

Pomoc dla manekinów : proszę zapamiętać matematyczny znak przecięcia , będzie on występował bardzo często. Wpis oznacza, że ​​linia przecina się z linią w punkcie.

Jak określić względną pozycję dwóch linii?

Zacznijmy od pierwszego przypadku:

Dwie linie pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich odpowiednie współczynniki są proporcjonalne czyli istnieje taka liczba „lambda”, że równości

Rozważmy linie proste i skomponujmy trzy równania z odpowiednich współczynników: . Z każdego równania wynika, że ​​zatem te linie się pokrywają.

Rzeczywiście, jeśli wszystkie współczynniki równania pomnóż przez -1 (zmień znaki) i wszystkie współczynniki równania zmniejszyć o 2, otrzymasz to samo równanie: .

Drugi przypadek, gdy linie są równoległe:

Dwie linie są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki przy zmiennych są proporcjonalne: , ale.

Jako przykład rozważ dwie proste linie. Sprawdzamy proporcjonalność odpowiednich współczynników dla zmiennych :

Oczywiste jest jednak, że .

I trzeci przypadek, gdy linie się przecinają:

Dwie linie przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych NIE są proporcjonalne, czyli NIE ma takiej wartości „lambda”, że równości są spełnione

Tak więc dla linii prostych skomponujemy system:

Z pierwszego równania wynika, że ​​, a z drugiego równania: , a więc system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem współczynniki przy zmiennych nie są proporcjonalne.

Wniosek: linie przecinają się

W problemach praktycznych można zastosować rozważany schemat rozwiązania. Nawiasem mówiąc, jest bardzo podobny do algorytmu sprawdzania wektorów pod kątem kolinearności, który rozważaliśmy w lekcji. Pojęcie liniowej (nie)zależności wektorów. Podstawa wektorowa. Ale jest bardziej cywilizowany pakiet:

Przykład 1

Sprawdź względną pozycję linii:

Rozwiązanie na podstawie badania kierowania wektorami linii prostych:

a) Z równań znajdujemy wektory kierunkowe linii: .

, więc wektory nie są współliniowe, a linie przecinają się.

Na wszelki wypadek postawię kamień ze wskazówkami na skrzyżowaniu:

Reszta przeskakuje przez kamień i podąża dalej prosto do Kashchei the Deathless =)

b) Znajdź wektory kierunkowe linii:

Linie mają ten sam wektor kierunku, co oznacza, że ​​są równoległe lub takie same. Tutaj wyznacznik nie jest konieczny.

Oczywiście współczynniki niewiadomych są proporcjonalne, natomiast .

Sprawdźmy, czy równość jest prawdziwa:

W ten sposób,

c) Znajdź wektory kierunkowe linii:

Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów:
, dlatego wektory kierunku są współliniowe. Linie są równoległe lub pokrywają się.

Współczynnik proporcjonalności „lambda” jest łatwo widoczny bezpośrednio ze stosunku współliniowych wektorów kierunkowych. Można to jednak również znaleźć za pomocą współczynników samych równań: .

Teraz dowiedzmy się, czy równość jest prawdziwa. Oba wolne terminy mają wartość zero, więc:

Wynikowa wartość spełnia to równanie (na ogół spełnia je dowolna liczba).

W ten sposób linie się pokrywają.

Odpowiadać:

Bardzo szybko nauczysz się (lub nawet już się nauczyłeś) jak rozwiązywać rozważany problem ustnie i dosłownie w ciągu kilku sekund. W związku z tym nie widzę powodu, aby oferować coś na samodzielne rozwiązanie, lepiej położyć jeszcze jedną ważną cegłę w geometrycznym fundamencie:

Jak narysować linię równoległą do danej?

Za nieznajomość tego najprostszego zadania Słowik Zbójca surowo karze.

Przykład 2

Prostą określa równanie . Napisz równanie dla linii równoległej przechodzącej przez punkt.

Rozwiązanie: Oznacz nieznaną linię literą . Co mówi o tym warunek? Linia przechodzi przez punkt. A jeśli linie są równoległe, to oczywiste jest, że wektor kierunkowy linii „ce” nadaje się również do skonstruowania linii „te”.

Wyciągamy wektor kierunkowy z równania:

Odpowiadać:

Geometria przykładu wygląda prosto:

Weryfikacja analityczna składa się z następujących kroków:

1) Sprawdzamy, czy linie mają ten sam wektor kierunkowy (jeśli równanie prostej nie jest odpowiednio uproszczone, to wektory będą współliniowe).

2) Sprawdź, czy punkt spełnia otrzymane równanie.

Weryfikacja analityczna w większości przypadków jest łatwa do wykonania ustnie. Spójrz na te dwa równania, a wielu z was szybko zorientuje się, jak linie są równoległe bez żadnego rysunku.

Przykłady do samodzielnego rozwiązywania dzisiaj będą twórcze. Ponieważ nadal musisz konkurować z Babą Jagą, a ona, wiesz, jest miłośniczką wszelkiego rodzaju zagadek.

Przykład 3

Napisz równanie dla prostej przechodzącej przez punkt równoległy do ​​prostej, jeśli

Istnieje racjonalny i niezbyt racjonalny sposób rozwiązania. Najkrótsza droga to koniec lekcji.

Zrobiliśmy trochę pracy z liniami równoległymi i wrócimy do nich później. Przypadek zbiegających się linii jest mało interesujący, rozważmy więc problem, który jest Ci dobrze znany ze szkolnego programu nauczania:

Jak znaleźć punkt przecięcia dwóch linii?

Jeśli prosto przecinają się w punkcie , to jego współrzędne są rozwiązaniem układy równań liniowych

Jak znaleźć punkt przecięcia linii? Rozwiąż system.

Twoje zdrowie geometryczne znaczenie układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi to dwie przecinające się (najczęściej) linie proste na płaszczyźnie.

Przykład 4

Znajdź punkt przecięcia linii

Rozwiązanie: Istnieją dwa sposoby rozwiązania - graficzny i analityczny.

Graficznym sposobem jest po prostu narysowanie podanych linii i znalezienie punktu przecięcia bezpośrednio z rysunku:

Oto nasz punkt: . Aby to sprawdzić, należy podstawić jego współrzędne do każdego równania prostej, powinny pasować zarówno tam, jak i tam. Innymi słowy, współrzędne punktu są rozwiązaniem układu. W rzeczywistości rozważaliśmy graficzny sposób rozwiązania układy równań liniowych z dwoma równaniami, dwiema niewiadomymi.

Metoda graficzna oczywiście nie jest zła, ale są zauważalne wady. Nie, nie chodzi o to, że siódmoklasiści decydują w ten sposób, chodzi o to, że wykonanie poprawnego i DOKŁADNEGO rysunku zajmie trochę czasu. Ponadto niektóre linie nie są tak łatwe do skonstruowania, a sam punkt przecięcia może znajdować się gdzieś w trzydziestym królestwie poza arkuszem zeszytu.

Dlatego bardziej celowe jest poszukiwanie punktu przecięcia metodą analityczną. Rozwiążmy system:

Do rozwiązania układu wykorzystano metodę terminowego dodawania równań. Aby rozwinąć odpowiednie umiejętności, odwiedź lekcję Jak rozwiązać układ równań?

Odpowiadać:

Weryfikacja jest banalna - współrzędne punktu przecięcia muszą spełniać każde równanie układu.

Przykład 5

Znajdź punkt przecięcia linii, jeśli się przecinają.

To jest przykład zrób to sam. Wygodnie jest podzielić problem na kilka etapów. Analiza stanu sugeruje, że konieczne jest:
1) Napisz równanie prostej.
2) Napisz równanie prostej.
3) Znajdź względną pozycję linii.
4) Jeśli linie się przecinają, znajdź punkt przecięcia.

Opracowanie algorytmu działania jest typowe dla wielu problemów geometrycznych i będę się na tym wielokrotnie koncentrować.

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu samouczka:

Para butów nie jest jeszcze zużyta, bo przeszliśmy do drugiej części lekcji:

Prostopadłe linie. Odległość od punktu do linii.
Kąt między liniami

Zacznijmy od typowego i bardzo ważnego zadania. W pierwszej części nauczyliśmy się budować linię prostą równoległą do podanej, a teraz chata na udkach kurczaka obróci się o 90 stopni:

Jak narysować linię prostopadłą do danej?

Przykład 6

Prostą określa równanie . Napisz równanie dla prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt.

Rozwiązanie: Wiadomo z założenia , że . Byłoby miło znaleźć wektor kierunkowy linii prostej. Ponieważ linie są prostopadłe, sztuczka jest prosta:

Z równania „usuwamy” wektor normalny: , który będzie wektorem kierującym prostej.

Układamy równanie prostej przez punkt i wektor kierujący:

Odpowiadać:

Rozłóżmy szkic geometryczny:

Hmmm... Pomarańczowe niebo, pomarańczowe morze, pomarańczowy wielbłąd.

Weryfikacja analityczna rozwiązania:

1) Wyodrębnij wektory kierunkowe z równań i z pomocą iloczyn skalarny wektorów dochodzimy do wniosku, że proste są rzeczywiście prostopadłe: .

Nawiasem mówiąc, możesz używać normalnych wektorów, to jeszcze prostsze.

2) Sprawdź, czy punkt spełnia otrzymane równanie .

Weryfikacja znowu jest łatwa do przeprowadzenia werbalnie.

Przykład 7

Znajdź punkt przecięcia prostych prostopadłych, jeśli równanie jest znane i kropka.

To jest przykład zrób to sam. W zadaniu jest kilka akcji, więc wygodnie jest ułożyć rozwiązanie punkt po punkcie.

Nasza ekscytująca podróż trwa:

Odległość od punktu do linii

Przed nami prosty pas rzeki i naszym zadaniem jest dotarcie do niego jak najkrótszą drogą. Nie ma przeszkód, a najbardziej optymalną trasą będzie ruch po pionie. Oznacza to, że odległość od punktu do linii jest długością odcinka prostopadłego.

Odległość w geometrii jest tradycyjnie oznaczana grecką literą „ro”, na przykład: - odległość od punktu „em” do linii prostej „de”.

Odległość od punktu do linii wyraża się wzorem

Przykład 8

Znajdź odległość od punktu do linii

Rozwiązanie: wystarczy ostrożnie podstawić liczby do wzoru i wykonać obliczenia:

Odpowiadać:

Wykonajmy rysunek:

Odległość znaleziona od punktu do linii jest dokładnie długością czerwonego odcinka. Jeśli wykonasz rysunek na papierze w kratkę w skali 1 jednostki. \u003d 1 cm (2 komórki), wówczas odległość można zmierzyć zwykłą linijką.

Rozważ inne zadanie według tego samego rysunku:

Zadanie polega na znalezieniu współrzędnych punktu symetrycznego względem punktu względem prostej . Proponuję wykonać czynności samodzielnie, jednak przedstawię algorytm rozwiązania z wynikami pośrednimi:

1) Znajdź linię prostopadłą do prostej.

2) Znajdź punkt przecięcia linii: .

Obie czynności zostały szczegółowo omówione w tej lekcji.

3) Punkt jest środkiem segmentu. Znamy współrzędne środka i jednego z końców. Za pomocą wzory na współrzędne środka odcinka odnaleźć .

Nie będzie zbyteczne sprawdzanie, czy odległość jest również równa 2,2 jednostki.

Tutaj mogą pojawić się trudności w obliczeniach, ale w wieży bardzo pomaga mikrokalkulator, który pozwala policzyć zwykłe ułamki. Doradzałem wiele razy i ponownie polecę.

Jak znaleźć odległość między dwiema równoległymi liniami?

Przykład 9

Znajdź odległość między dwiema równoległymi liniami

To kolejny przykład niezależnego rozwiązania. Mała wskazówka: istnieje nieskończenie wiele sposobów rozwiązania. Podsumowanie na końcu lekcji, ale lepiej spróbuj sam zgadnąć, myślę, że udało ci się dobrze rozproszyć swoją pomysłowość.

Kąt między dwiema liniami

Jakikolwiek kąt, wtedy ościeżnica:


W geometrii kąt pomiędzy dwiema liniami prostymi jest uważany za kąt MNIEJSZY, z którego automatycznie wynika, że ​​nie może być rozwarty. Na rysunku kąt wskazany przez czerwony łuk nie jest uważany za kąt między przecinającymi się liniami. A jego „zielony” sąsiad lub przeciwnie zorientowany szkarłatny róg.

Jeśli linie są prostopadłe, każdy z 4 kątów można przyjąć jako kąt między nimi.

Czym różnią się kąty? Orientacja. Po pierwsze, kierunek „przewijania” narożnika jest fundamentalnie ważny. Po drugie, kąt zorientowany ujemnie jest zapisywany ze znakiem minus, na przykład, jeśli .

Dlaczego to powiedziałem? Wydaje się, że można sobie poradzić ze zwykłą koncepcją kąta. Faktem jest, że we wzorach, za pomocą których znajdziemy kąty, łatwo można uzyskać wynik ujemny, co nie powinno Cię zaskoczyć. Kąt ze znakiem minus nie jest gorszy i ma bardzo specyficzne znaczenie geometryczne. Na rysunku dla kąta ujemnego konieczne jest wskazanie strzałką jego orientacji (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

Jak znaleźć kąt między dwiema liniami? Istnieją dwie działające formuły:

Przykład 10

Znajdź kąt między liniami

Rozwiązanie oraz Metoda pierwsza

Rozważmy dwie linie proste podane przez równania w formie ogólnej:

Jeśli prosto nie prostopadłe, następnie zorientowany kąt między nimi można obliczyć ze wzoru:

Zwróćmy szczególną uwagę na mianownik - to jest dokładnie iloczyn skalarny wektory kierunkowe linii prostych:

Jeśli , to znika mianownik wzoru, a wektory będą prostopadłe, a proste prostopadłe. Dlatego poczyniono zastrzeżenie dotyczące nieprostopadłości linii w sformułowaniu.

Na podstawie powyższego rozwiązanie jest wygodnie sformalizowane w dwóch krokach:

1) Oblicz iloczyn skalarny wektorów kierujących linii prostych:
więc linie nie są prostopadłe.

2) Kąt między liniami znajdujemy według wzoru:

Korzystając z funkcji odwrotnej, łatwo jest znaleźć sam kąt. W tym przypadku korzystamy z nieparzystości łuku stycznego (patrz rys. Wykresy i własności funkcji elementarnych):

Odpowiadać:

W odpowiedzi podajemy dokładną wartość, a także przybliżoną wartość (najlepiej zarówno w stopniach, jak iw radianach), obliczoną za pomocą kalkulatora.

No minus, więc minus, w porządku. Oto ilustracja geometryczna:

Nic dziwnego, że kąt okazał się mieć orientację ujemną, ponieważ w warunkach problemu pierwsza liczba jest linią prostą i właśnie od niej zaczęło się „skręcanie” kąta.

Jeśli naprawdę chcesz uzyskać dodatni kąt, musisz zamienić proste linie, czyli wziąć współczynniki z drugiego równania i weź współczynniki z pierwszego równania . Krótko mówiąc, musisz zacząć od bezpośredniego .

Umiejętność znalezienia odległości między różnymi obiektami geometrycznymi jest ważna przy obliczaniu pola powierzchni figur i ich objętości. W tym artykule zastanowimy się, jak znaleźć odległość od punktu do linii prostej w przestrzeni i na płaszczyźnie.

Opis matematyczny linii prostej

Aby zrozumieć, jak znaleźć odległość od punktu do linii prostej, należy zająć się kwestią matematycznej specyfikacji tych obiektów geometrycznych.

Wszystko jest proste z punktem, opisuje je układ współrzędnych, których liczba odpowiada wymiarowi przestrzeni. Na przykład na płaszczyźnie są to dwie współrzędne, w przestrzeni trójwymiarowej - trzy.

Jeśli chodzi o obiekt jednowymiarowy - linię prostą, do jego opisu stosuje się kilka rodzajów równań. Rozważmy tylko dwa z nich.

Pierwszy rodzaj nazywa się równaniem wektorowym. Poniżej znajdują się wyrażenia dla linii w przestrzeni trójwymiarowej i dwuwymiarowej:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + a × (a; b; c);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

W wyrażeniach tych współrzędne o indeksach zerowych opisują punkt, przez który przechodzi dana prosta, układ współrzędnych (a; b; c) i (a; b) to tzw. wektory kierunkowe dla odpowiedniej prostej, α to a parametr, który może przyjąć dowolną wartość rzeczywistą.

Równanie wektorowe jest wygodne w tym sensie, że wyraźnie zawiera wektor kierunkowy prostej, której współrzędne można wykorzystać do rozwiązywania problemów równoległości lub prostopadłości różnych obiektów geometrycznych, na przykład dwóch prostych.

Drugi typ równania, który rozważymy dla linii prostej, nazywa się ogólnym. W przestrzeni tę formę podają ogólne równania dwóch płaszczyzn. W samolocie ma następującą postać:

A × x + B × y + C = 0

Kiedy wykonuje się kreślenie, często zapisuje się je jako zależność od x / y, czyli:

y = -A / B × x +(-C / B)

Tutaj wyraz swobodny -C / B odpowiada współrzędnej przecięcia prostej z osią y, a współczynnik -A / B jest związany z kątem nachylenia prostej do osi x.

Pojęcie odległości między linią a punktem

Po zapoznaniu się z równaniami możesz bezpośrednio przejść do odpowiedzi na pytanie, jak znaleźć odległość od punktu do linii prostej. W klasie 7 szkoły zaczynają rozważać tę kwestię, ustalając odpowiednią wartość.

Odległość między linią a punktem to długość odcinka prostopadłego do tej linii, który jest pomijany w rozpatrywanym punkcie. Poniższy rysunek przedstawia prostą r i punkt A. Niebieska linia przedstawia odcinek prostopadły do ​​prostej r. Jego długość to wymagana odległość.

Przedstawiono tutaj przypadek 2D, jednak ta definicja odległości jest również poprawna dla problemu 3D.

Wymagane formuły

W zależności od postaci, w jakiej zapisane jest równanie prostej i w jakiej przestrzeni rozwiązywany jest problem, można podać dwa podstawowe wzory, które odpowiadają na pytanie, jak obliczyć odległość między prostą a punktem.

Oznacz znany punkt symbolem P 2 . Jeżeli równanie prostej podane jest w postaci wektorowej, to dla odległości d między rozpatrywanymi obiektami wzór obowiązuje:

d = || / |v¯|

To znaczy, aby wyznaczyć d, należy obliczyć moduł iloczynu wektorowego wektora bezpośredniego v¯ i wektora P 1 P 2 ¯, którego początek leży w dowolnym punkcie P 1 na prostej, a koniec to w punkcie P 2 , a następnie podziel ten moduł przez długość v ¯. Ta formuła jest uniwersalna dla płaskiej i trójwymiarowej przestrzeni.

Jeżeli problem rozpatrywany jest na płaszczyźnie w układzie współrzędnych xy, a równanie prostej podane jest w postaci ogólnej, to poniższy wzór pozwala wyznaczyć odległość od linii prostej do punktu w następujący sposób:

Linia prosta: A × x + B × y + C = 0;

Punkt: P 2 (x 2; y 2; z 2);

Odległość: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / (A 2 + B 2)

Powyższy wzór jest dość prosty, ale jego zastosowanie jest ograniczone warunkami podanymi powyżej.

Współrzędne rzutu punktu na prostą i odległość

Możesz też odpowiedzieć na pytanie, jak obliczyć odległość punktu od prostej, w inny sposób, nie wymagający zapamiętywania powyższych wzorów. Metoda ta polega na wyznaczeniu punktu na linii prostej, który jest rzutem punktu pierwotnego.

Załóżmy, że istnieje punkt M i prosta r. Rzut na r punktu M odpowiada pewnemu punktowi M 1 . Odległość od M do r jest równa długości wektora MM 1 ¯.

Jak znaleźć współrzędne M 1 ? Bardzo prosta. Wystarczy przypomnieć, że wektor liniowy v¯ będzie prostopadły do ​​MM 1 ¯, czyli ich iloczyn skalarny musi być równy zero. Dodając do tego warunku fakt, że współrzędne M 1 muszą spełniać równanie prostej r, otrzymujemy układ prostych równań liniowych. W wyniku jego rozwiązania otrzymuje się współrzędne rzutu punktu M na r.

Opisana w tym akapicie metoda wyznaczania odległości od prostej do punktu może być użyta dla płaszczyzny i przestrzeni, ale jej zastosowanie wymaga znajomości równania wektorowego dla prostej.

Zadanie w samolocie

Teraz pora pokazać, jak wykorzystać przedstawiony aparat matematyczny do rozwiązywania rzeczywistych problemów. Załóżmy, że na płaszczyźnie znajduje się punkt M(-4; 5). Konieczne jest znalezienie odległości od punktu M do linii prostej, którą opisuje ogólne równanie:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

Oznacza to, że M nie leży na linii.

Ponieważ równanie prostej nie jest podane w ogólnej postaci, sprowadzamy je do takiego, aby móc skorzystać z odpowiedniego wzoru, mamy:

y = 3 × x + 6

3 x x - y + 6 = 0

Teraz możesz podstawić znane liczby do wzoru na d:

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3,48

Zadanie w kosmosie

Rozważmy teraz przypadek w kosmosie. Niech prosta będzie opisana następującym równaniem:

(x; y; z) = (1; -1; 0) + α × (3; -2; 1)

Jaka jest odległość od niego do punktu M(0; 2; -3)?

Podobnie jak w poprzednim przypadku sprawdzamy, czy M należy do danej linii. Aby to zrobić, podstawiamy współrzędne do równania i przepisujemy je wyraźnie:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;

y \u003d 2 \u003d -1 -2 × α => α \u003d -3/2;

Ponieważ otrzymuje się różne parametry α, to M nie leży na tej linii. Teraz obliczamy odległość od niego do linii prostej.

Aby użyć wzoru na d, weź dowolny punkt na linii, na przykład P(1; -1; 0), a następnie:

Obliczmy iloczyn poprzeczny między PM¯ a wektorem kierunkowym prostej v¯. Otrzymujemy:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

Teraz podstawiamy moduły znalezionego wektora i wektora v¯ do wzoru na d, otrzymujemy:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2,95

Taką odpowiedź można było uzyskać za pomocą opisanej powyżej metody, która polega na rozwiązaniu układu równań liniowych. W tym i poprzednich problemach obliczone wartości odległości od prostej do punktu prezentowane są w jednostkach odpowiedniego układu współrzędnych.

Wzór do obliczania odległości od punktu do prostej w płaszczyźnie

Jeżeli podane zostanie równanie prostej Ax + By + C = 0, to odległość od punktu M(M x , M y) do prostej można znaleźć za pomocą następującego wzoru

Przykłady zadań do obliczania odległości od punktu do prostej w płaszczyźnie

Przykład 1

Znajdź odległość między prostą 3x + 4y - 6 = 0 a punktem M(-1, 3).

Rozwiązanie. Zastąp we wzorze współczynniki prostej i współrzędne punktu

Odpowiadać: odległość od punktu do linii wynosi 0,6.

równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty prostopadłe do wektora Ogólne równanie płaszczyzny

Niezerowy wektor prostopadły do ​​danej płaszczyzny nazywa się wektor normalny (lub w skrócie normalna ) dla tego samolotu.

Niech w przestrzeni współrzędnych (w prostokątnym układzie współrzędnych) daną:

kropka ;

b) wektor niezerowy (ryc. 4.8, a).

Wymagane jest napisanie równania dla płaszczyzny przechodzącej przez punkt prostopadle do wektora Koniec dowodu.

Rozważmy teraz różne typy równań prostej w płaszczyźnie.

1) Ogólne równanie samolotuP .

Z wyprowadzenia równania wynika, że ​​jednocześnie A, B oraz C nie równa 0 (wyjaśnij dlaczego).

Punkt należy do samolotu P tylko wtedy, gdy jego współrzędne spełniają równanie płaszczyzny. W zależności od współczynników A, B, C oraz D samolot P zajmuje taką czy inną pozycję.

- płaszczyzna przechodzi przez początek układu współrzędnych, - płaszczyzna nie przechodzi przez początek układu współrzędnych,

- płaszczyzna jest równoległa do osi X,

X,

- płaszczyzna jest równoległa do osi Tak,

- płaszczyzna nie jest równoległa do osi Tak,

- płaszczyzna jest równoległa do osi Z,

- płaszczyzna nie jest równoległa do osi Z.

Sam udowodnij te stwierdzenia.

Równanie (6) można łatwo wyprowadzić z równania (5). Rzeczywiście, niech punkt leży w samolocie P. Wówczas jego współrzędne spełniają równanie Odejmując równanie (7) od równania (5) i grupując wyrazy otrzymujemy równanie (6). Rozważmy teraz odpowiednio dwa wektory ze współrzędnymi. Ze wzoru (6) wynika, że ​​ich iloczyn skalarny jest równy zero. Dlatego wektor jest prostopadły do ​​wektora Początek i koniec ostatniego wektora są odpowiednio w punktach należących do płaszczyzny P. Dlatego wektor jest prostopadły do ​​płaszczyzny P. Odległość od punktu do płaszczyzny P, którego ogólne równanie to określa wzór Dowód tego wzoru jest całkowicie podobny do dowodu wzoru na odległość między punktem a prostą (patrz rys. 2).
Ryż. 2. Do wyprowadzenia wzoru na odległość między płaszczyzną a linią prostą.

Rzeczywiście, odległość d między linią a samolotem jest

gdzie jest punkt leżący na płaszczyźnie. Stąd, podobnie jak w wykładzie nr 11, otrzymujemy powyższy wzór. Dwie płaszczyzny są równoległe, jeśli ich wektory normalne są równoległe. Stąd otrzymujemy warunek równoległości dwóch płaszczyzn - współczynniki ogólnych równań płaszczyzn. Dwie płaszczyzny są prostopadłe, jeśli ich wektory normalne są prostopadłe, stąd warunek prostopadłości dwóch płaszczyzn, jeśli znane są ich równania ogólne

Narożnik f między dwiema płaszczyznami jest równy kątowi między ich wektorami normalnymi (patrz rys. 3) i dlatego można ją obliczyć ze wzoru
Określanie kąta między płaszczyznami.

(11)

Odległość od punktu do samolotu i jak go znaleźć

Odległość od punktu do samolot to długość prostopadłej opuszczonej z punktu do tej płaszczyzny. Odległość od punktu do płaszczyzny można znaleźć co najmniej na dwa sposoby: geometryczny oraz algebraiczny.

Metodą geometryczną najpierw musisz zrozumieć, jak pion jest położony od punktu do płaszczyzny: może leży na jakiejś wygodnej płaszczyźnie, jest to wysokość w jakimś wygodnym (lub nie tak) trójkącie, a może ta pion jest ogólnie wysokością w jakiejś piramidzie .

Po tym pierwszym i najtrudniejszym etapie problem rozpada się na kilka konkretnych problemów planimetrycznych (być może na różnych płaszczyznach).

W sposób algebraiczny aby znaleźć odległość od punktu do płaszczyzny, należy wprowadzić układ współrzędnych, znaleźć współrzędne punktu i równanie płaszczyzny, a następnie zastosować wzór na odległość od punktu do płaszczyzny.

Ten artykuł mówi na ten temat « odległość od punktu do linii », definicje odległości od punktu do prostej są rozpatrywane wraz z ilustrowanymi przykładami metodą współrzędnych. Każdy blok teorii na końcu pokazał przykłady rozwiązywania podobnych problemów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Odległość od punktu do linii jest określana przez określenie odległości od punktu do punktu. Rozważmy bardziej szczegółowo.

Niech będzie prosta a i punkt M 1 nie należący do danej prostej. Narysuj przez nią linię ułożoną prostopadle do linii a. Weź punkt przecięcia linii jako H 1. Otrzymujemy, że M 1 H 1 jest prostopadłą, która została obniżona z punktu M 1 do prostej a.

Definicja 1

Odległość od punktu M 1 do linii prostej a nazywamy odległością między punktami M 1 i H 1 .

Istnieją zapisy definicji z figurą długości prostopadłej.

Definicja 2

Odległość od punktu do linii to długość prostopadłej narysowanej od danego punktu do danej linii.

Definicje są równoważne. Rozważ poniższy rysunek.

Wiadomo, że odległość od punktu do linii prostej jest najmniejsza ze wszystkich możliwych. Spójrzmy na to na przykładzie.

Jeśli weźmiemy punkt Q leżący na prostej a, nie pokrywający się z punktem M 1, to otrzymamy, że odcinek M 1 Q nazywamy ukośnym, obniżonym z M 1 do prostej a. Należy wskazać, że prostopadła z punktu M 1 jest mniejsza niż jakakolwiek inna skośna poprowadzona od punktu do linii prostej.

Aby to udowodnić, rozważmy trójkąt M 1 Q 1 H 1 , gdzie M 1 Q 1 jest przeciwprostokątną. Wiadomo, że jego długość jest zawsze większa niż długość którejkolwiek z nóg. Stąd mamy, że M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Początkowe dane do znalezienia od punktu do prostej pozwalają na zastosowanie kilku metod rozwiązywania: poprzez twierdzenie Pitagorasa, definicje sinusa, cosinusa, tangensa kąta i inne. Większość tego typu zadań rozwiązuje się w szkole na lekcjach geometrii.

Gdy przy wyznaczaniu odległości punktu od prostej można wprowadzić układ współrzędnych prostokątnych, wówczas stosowana jest metoda współrzędnych. W tym akapicie rozważymy dwie główne metody znajdowania pożądanej odległości od danego punktu.

Pierwsza metoda polega na znalezieniu odległości jako prostopadłej narysowanej od M 1 do prostej a. Druga metoda wykorzystuje równanie normalne prostej a do znalezienia wymaganej odległości.

Jeśli na płaszczyźnie znajduje się punkt o współrzędnych M 1 (x 1, y 1) położony w prostokątnym układzie współrzędnych, linia prosta a i musisz znaleźć odległość M 1 H 1, możesz obliczyć na dwa sposoby. Rozważmy je.

Pierwszy sposób

Jeżeli istnieją współrzędne punktu H 1 równe x 2, y 2, to odległość od punktu do prostej oblicza się ze współrzędnych ze wzoru M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Przejdźmy teraz do znalezienia współrzędnych punktu H 1.

Wiadomo, że linia prosta w O x y odpowiada równaniu linii prostej w płaszczyźnie. Spróbujmy zdefiniować linię prostą a poprzez pisanie ogólnego równania prostej lub równania ze spadkiem. Układamy równanie prostej przechodzącej przez punkt M 1 prostopadle do danej prostej a. Oznaczmy linię bukiem b . H 1 to punkt przecięcia prostych a i b, więc aby określić współrzędne, należy skorzystać z artykułu, który dotyczy współrzędnych punktów przecięcia dwóch prostych.

Widać, że algorytm wyznaczania odległości od danego punktu M 1 (x 1, y 1) do prostej a wykonywany jest według punktów:

Definicja 3

• znalezienie ogólnego równania linii prostej a , mającej postać A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, lub równanie ze współczynnikiem nachylenia, mające postać y \u003d k 1 x + b 1;
• uzyskanie ogólnego równania linii b, które ma postać A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 lub równanie o nachyleniu y \u003d k 2 x + b 2, jeśli linia b przecina punkt M 1 i jest prostopadły do ​​danej linii a;
• wyznaczenie współrzędnych x 2, y 2 punktu H 1, który jest punktem przecięcia a i b, w tym celu rozwiązywany jest układ równań liniowych A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 lub y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• obliczenie wymaganej odległości od punktu do linii prostej za pomocą wzoru M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Drugi sposób

Twierdzenie to może pomóc odpowiedzieć na pytanie o znalezienie odległości od danego punktu do danej linii na płaszczyźnie.

Twierdzenie

Prostokątny układ współrzędnych ma O x y ma punkt M 1 (x 1, y 1), z którego narysowana jest linia prosta a do płaszczyzny, dane równaniem normalnym płaszczyzny, o postaci cos α x + cos β y - p \u003d 0, równe modulo wartości uzyskanej po lewej stronie równania normalnej linii prostej, obliczonej przy x = x 1, y = y 1, oznacza, że ​​M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - str.

Dowód

Prosta a odpowiada równaniu normalnemu płaszczyzny, które ma postać cos α x + cos β y - p = 0, wtedy n → = (cos α , cos β) jest uważane za wektor normalny prostej a w a odległość od początku do linii a z p jednostek . Konieczne jest przedstawienie wszystkich danych na rysunku, dodanie punktu o współrzędnych M 1 (x 1, y 1) , gdzie wektor promienia punktu M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1 ) . Konieczne jest narysowanie linii prostej od punktu do linii prostej, którą oznaczymy M 1 H 1 . Konieczne jest pokazanie rzutów M 2 i H 2 punktów M 1 i H 2 na prostą przechodzącą przez punkt O wektorem kierunkowym postaci n → = (cos α , cos β) oraz rzutem numerycznym wektora będzie oznaczony jako O M 1 → = (x 1 , y 1) w kierunku n → = (cos α , cos β) jako n p n → O M 1 → .

Wariacje zależą od położenia samego punktu M1. Rozważ poniższy rysunek.

Wyniki ustalamy za pomocą wzoru M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Następnie sprowadzamy równość do tej postaci M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p aby otrzymać n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Iloczyn skalarny wektorów daje w wyniku przekształcony wzór postaci n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , który jest iloczynem w postaci współrzędnych forma n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Stąd otrzymujemy, że n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Wynika z tego, że M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Twierdzenie zostało udowodnione.

Otrzymujemy, że aby znaleźć odległość od punktu M 1 (x 1, y 1) do prostej a na płaszczyźnie, należy wykonać kilka czynności:

Definicja 4

• otrzymanie równania normalnego prostej a cos α · x + cos β · y - p = 0, pod warunkiem, że nie ma go w zadaniu;
• obliczenie wyrażenia cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , gdzie otrzymana wartość przyjmuje M 1 H 1 .

Zastosujmy te metody do rozwiązywania problemów ze znalezieniem odległości punktu od płaszczyzny.

Przykład 1

Znajdź odległość od punktu o współrzędnych M 1 (- 1 , 2) do prostej 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Rozwiązanie

Użyjmy pierwszej metody do rozwiązania.

Aby to zrobić, musisz znaleźć ogólne równanie linii b, która przechodzi przez dany punkt M 1 (- 1 , 2) prostopadle do linii 4 x - 3 y + 35 = 0 . Widać z warunku, że prosta b jest prostopadła do prostej a, to jej wektor kierunkowy ma współrzędne równe (4, - 3). W ten sposób mamy możliwość zapisania równania kanonicznego prostej b na płaszczyźnie, ponieważ istnieją współrzędne punktu M 1, należy do prostej b. Wyznaczmy współrzędne wektora kierunkowego prostej b . Otrzymujemy, że x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Otrzymane równanie kanoniczne należy przekonwertować na ogólne. Wtedy to rozumiemy

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Znajdźmy współrzędne punktów przecięcia linii, które przyjmiemy jako oznaczenie H 1. Przekształcenia wyglądają tak:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Z powyższego wynika, że ​​współrzędne punktu H 1 wynoszą (-5; 5) .

Należy obliczyć odległość od punktu M 1 do prostej a. Mamy współrzędne punktów M 1 (- 1, 2) i H 1 (- 5, 5), następnie podstawiamy do wzoru na znalezienie odległości i otrzymujemy

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Drugie rozwiązanie.

Aby rozwiązać w inny sposób, konieczne jest uzyskanie równania normalnego prostej. Obliczamy wartość współczynnika normalizującego i mnożymy obie strony równania 4 x - 3 y + 35 = 0 . Stąd otrzymujemy, że współczynnik normalizujący wynosi - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , a równanie normalne będzie miało postać - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Zgodnie z algorytmem obliczeniowym należy uzyskać równanie normalne prostej i obliczyć je z wartościami x = - 1 , y = 2 . Wtedy to rozumiemy

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Stąd otrzymujemy, że odległość od punktu M 1 (- 1 , 2) do danej prostej 4 x - 3 y + 35 = 0 ma wartość - 5 = 5 .

Odpowiadać: 5 .

Widać, że w tej metodzie ważne jest użycie równania normalnego prostej, ponieważ ta metoda jest najkrótsza. Ale pierwsza metoda jest wygodna, ponieważ jest spójna i logiczna, chociaż ma więcej punktów obliczeniowych.

Przykład 2

Na płaszczyźnie znajduje się prostokątny układ współrzędnych O x y z punktem M 1 (8, 0) i prostą y = 1 2 x + 1. Znajdź odległość od danego punktu do linii prostej.

Rozwiązanie

Rozwiązanie w pierwszy sposób oznacza sprowadzenie danego równania o współczynniku nachylenia do równania ogólnego. Upraszczając, możesz to zrobić inaczej.

Jeżeli iloczyn nachyleń linii prostopadłych wynosi -1, to nachylenie linii prostopadłej do danego y = 1 2 x + 1 wynosi 2. Teraz otrzymujemy równanie prostej przechodzącej przez punkt o współrzędnych M 1 (8, 0) . Mamy, że y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Przechodzimy do znalezienia współrzędnych punktu H 1, czyli punktów przecięcia y \u003d - 2 x + 16 i y \u003d 1 2 x + 1. Tworzymy układ równań i otrzymujemy:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Wynika z tego, że odległość od punktu o współrzędnych M 1 (8 , 0) do prostej y = 1 2 x + 1 jest równa odległości od punktu początkowego i końcowego o współrzędnych M 1 (8 , 0) i H 1 (6 , 4) . Obliczmy i otrzymajmy, że M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Rozwiązaniem w drugim sposobie jest przejście z równania ze współczynnikiem do jego postaci normalnej. Oznacza to, że otrzymujemy y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, wtedy wartość współczynnika normalizującego wyniesie - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Wynika z tego, że równanie normalne prostej przyjmuje postać - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Policzmy od punktu M 1 8 , 0 do prostej postaci - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Otrzymujemy:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Odpowiadać: 2 5 .

Przykład 3

Należy obliczyć odległość od punktu o współrzędnych M 1 (-2 , 4) do prostych 2 x - 3 = 0 i y+1 = 0 .

Rozwiązanie

Otrzymujemy równanie postaci normalnej prostej 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Następnie przystępujemy do obliczenia odległości od punktu M 1 - 2, 4 do prostej x - 3 2 = 0. Otrzymujemy:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Równanie linii prostej y + 1 = 0 ma współczynnik normalizujący o wartości -1. Oznacza to, że równanie przyjmie postać -y-1 = 0. Przechodzimy do obliczenia odległości od punktu M 1 (- 2 , 4) do prostej - y - 1 = 0 . Otrzymujemy, że równa się - 4 - 1 = 5.

Odpowiadać: 3 1 2 i 5 .

Rozważmy szczegółowo wyznaczenie odległości od danego punktu płaszczyzny do osi współrzędnych O x i O y.

W prostokątnym układzie współrzędnych oś O y ma równanie linii prostej, która jest niekompletna i ma postać x \u003d 0, a O x - y \u003d 0. Równania są normalne dla osi współrzędnych, wówczas konieczne jest wyznaczenie odległości od punktu o współrzędnych M 1 x 1 , y 1 do linii prostych. Odbywa się to na podstawie wzorów M 1 H 1 = x 1 i M 1 H 1 = y 1 . Rozważ poniższy rysunek.

Przykład 4

Znajdź odległość od punktu M 1 (6, - 7) do linii współrzędnych znajdujących się na płaszczyźnie O x y.

Rozwiązanie

Ponieważ równanie y \u003d 0 odnosi się do linii O x, możesz znaleźć odległość od M 1 przy danych współrzędnych do tej linii za pomocą wzoru. Otrzymujemy, że 6 = 6 .

Ponieważ równanie x \u003d 0 odnosi się do linii O y, odległość od M 1 do tej linii można znaleźć za pomocą wzoru. Wtedy otrzymujemy, że - 7 = 7 .

Odpowiadać: odległość od M 1 do O x ma wartość 6, a od M 1 do O y ma wartość 7.

Gdy w przestrzeni trójwymiarowej mamy punkt o współrzędnych M 1 (x 1, y 1, z 1), konieczne jest wyznaczenie odległości od punktu A do prostej a.

Rozważ dwa sposoby, które pozwalają obliczyć odległość od punktu do linii prostej a znajdującej się w przestrzeni. Pierwszy przypadek dotyczy odległości od punktu M 1 do prostej, gdzie punkt na prostej nazywa się H 1 i stanowi podstawę prostopadłej narysowanej od punktu M 1 do prostej a. Drugi przypadek sugeruje, że punktów tej płaszczyzny należy szukać jako wysokości równoległoboku.

Pierwszy sposób

Z definicji mamy, że odległość od punktu M 1 położonego na prostej a jest długością prostopadłej M 1 H 1, wtedy otrzymujemy to ze znalezionymi współrzędnymi punktu H 1, wtedy znajdujemy odległość pomiędzy M 1 (x 1, y 1, z 1 ) i H 1 (x 1, y 1, z 1) na podstawie wzoru M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Otrzymujemy, że całe rozwiązanie polega na znalezieniu współrzędnych podstawy prostopadłej narysowanej od M 1 do prostej a. Odbywa się to w następujący sposób: H 1 to punkt, w którym prosta a przecina się z płaszczyzną przechodzącą przez dany punkt.

Oznacza to, że algorytm wyznaczania odległości od punktu M 1 (x 1, y 1, z 1) do prostej a przestrzeni implikuje kilka punktów:

Definicja 5

• sporządzenie równania płaszczyzny χ jako równania płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt prostopadły do ​​prostej;
• wyznaczenie współrzędnych (x 2 , y 2 , z 2) należących do punktu H 1 będącego punktem przecięcia prostej a i płaszczyzny χ ;
• obliczenie odległości od punktu do prostej ze wzoru M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Drugi sposób

Z warunku, że mamy prostą a, to możemy wyznaczyć wektor kierunkowy a → = a x, a y, a z o współrzędnych x 3, y 3, z 3 i pewnym punktem M 3 należącym do prostej a. Mając współrzędne punktów M 1 (x 1 , y 1) i M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → można obliczyć:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Konieczne jest odłożenie wektorów a → \u003d a x, a y, a z i M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 z punktu M 3, połącz i uzyskaj figura równoległoboku. M 1 H 1 to wysokość równoległoboku.

Rozważ poniższy rysunek.

Mamy, że wysokość M 1 H 1 jest pożądaną odległością, musisz ją znaleźć za pomocą wzoru. Oznacza to, że szukamy M 1 H 1 .

Oznacz obszar równoległoboku literą S, znajduje się za pomocą wzoru za pomocą wektora a → = (a x , a y , a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Wzór powierzchni ma postać S = a → × M 3 M 1 → . Ponadto powierzchnia figury jest równa iloczynowi długości jej boków i wysokości, otrzymujemy, że S \u003d a → M 1 H 1 z a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, która jest długością wektora a → \u003d (a x, a y, a z) , który jest równy bokowi równoległoboku. Stąd M 1 H 1 jest odległością od punktu do prostej. Można go znaleźć za pomocą wzoru M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Aby znaleźć odległość od punktu o współrzędnych M 1 (x 1, y 1, z 1) do prostej a w przestrzeni, należy wykonać kilka punktów algorytmu:

Definicja 6

• wyznaczenie wektora kierunkowego prostej a - a → = (a x , a y , a z) ;
• obliczenie długości wektora kierunkowego a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• uzyskanie współrzędnych x 3 , y 3 , z 3 należących do punktu M 3 znajdującego się na prostej a;
• obliczenie współrzędnych wektora M 3 M 1 → ;
• znalezienie iloczynu krzyżowego wektorów a → (a x, a y, a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 jako a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 aby otrzymać długość według wzoru a → × M 3 M 1 → ;
• obliczenie odległości od punktu do prostej M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Rozwiązywanie problemów ze znalezieniem odległości od danego punktu do danej prostej w przestrzeni

Przykład 5

Znajdź odległość od punktu o współrzędnych M 1 2 , - 4 , - 1 do prostej x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Rozwiązanie

Pierwsza metoda zaczyna się od zapisania równania płaszczyzny χ przechodzącej przez M 1 i prostopadłej do danego punktu. Otrzymujemy wyrażenie takie jak:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu H 1, który jest punktem przecięcia płaszczyzny χ z linią prostą określoną przez warunek. Konieczne jest przejście od formy kanonicznej do formy przecinającej się. Następnie otrzymujemy układ równań postaci:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 r + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 r + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Należy obliczyć układ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 metodą Cramera, to otrzymujemy, że:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Stąd mamy H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Drugą metodę należy rozpocząć od wyszukania współrzędnych w równaniu kanonicznym. Aby to zrobić, zwróć uwagę na mianowniki ułamka. Wtedy a → = 2 , - 1 , 5 jest wektorem kierunkowym prostej x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Konieczne jest obliczenie długości według wzoru a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Jest oczywiste, że prosta x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 przecina punkt M 3 (-1 , 0 , - 5), stąd mamy, że wektor o początku M 3 (- 1 , 0 , - 5 ) i jego koniec w punkcie M 1 2 , - 4 , - 1 to M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Znajdź iloczyn wektorowy a → = (2, - 1, 5) i M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Otrzymujemy wyrażenie postaci a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

otrzymujemy, że długość iloczynu poprzecznego wynosi a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Mamy wszystkie dane, aby użyć wzoru do obliczenia odległości od punktu dla linii prostej, więc stosujemy go i otrzymujemy:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Odpowiadać: 11 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Pierwszy poziom

Współrzędne i wektory. Kompleksowy przewodnik (2019)

W tym artykule rozpoczniemy dyskusję na temat jednej „magicznej różdżki”, która pozwoli zredukować wiele problemów z geometrii do prostej arytmetyki. Ta „różdżka” może znacznie ułatwić Ci życie, zwłaszcza gdy czujesz się niepewnie w budowaniu figur przestrzennych, przekrojów itp. Wszystko to wymaga pewnej wyobraźni i umiejętności praktycznych. Metoda, którą zaczniemy tutaj rozważać, pozwoli ci niemal całkowicie abstrahować od wszelkiego rodzaju konstrukcji geometrycznych i rozumowania. Metoda nazywa się „metoda współrzędnych”. W tym artykule rozważymy następujące pytania:

1. Płaszczyzna współrzędnych
2. Punkty i wektory na płaszczyźnie
3. Budowanie wektora z dwóch punktów​
4. Długość wektora (odległość między dwoma punktami)​
5. Współrzędne punktu środkowego
6. Iloczyn skalarny wektorów​
7. Kąt między dwoma wektorami

Myślę, że już zgadłeś, dlaczego metoda współrzędnych jest tak nazywana? Prawdą jest, że otrzymał taką nazwę, ponieważ nie operuje obiektami geometrycznymi, ale ich cechami liczbowymi (współrzędnymi). A sama transformacja, która umożliwia przejście od geometrii do algebry, polega na wprowadzeniu układu współrzędnych. Jeśli oryginalna figura była płaska, współrzędne są dwuwymiarowe, a jeśli figura jest trójwymiarowa, współrzędne są trójwymiarowe. W tym artykule rozważymy tylko przypadek dwuwymiarowy. A głównym celem artykułu jest nauczenie Cię, jak korzystać z podstawowych technik metody współrzędnych (czasami okazują się przydatne przy rozwiązywaniu problemów planimetrycznych w części B Unified State Examination). Kolejne dwa rozdziały na ten temat poświęcone są omówieniu metod rozwiązywania problemów C2 (problem stereometrii).

Gdzie logiczne byłoby rozpoczęcie omawiania metody współrzędnych? Prawdopodobnie z koncepcją układu współrzędnych. Pamiętaj, kiedy ją poznałeś. Wydaje mi się, że w 7 klasie, kiedy dowiedziałeś się na przykład o istnieniu funkcji liniowej. Przypomnę, że zbudowałeś go punkt po punkcie. Pamiętasz? Wybrałeś dowolną liczbę, wstawiłeś ją do wzoru i obliczyłeś w ten sposób. Na przykład jeśli, to, jeśli, to itd. Co uzyskałeś w rezultacie? I otrzymałeś punkty ze współrzędnymi: i. Następnie narysowałeś „krzyżyk” (układ współrzędnych), wybrałeś na nim skalę (ile komórek będziesz miał jako pojedynczy odcinek) i zaznaczyłeś na nim otrzymane punkty, które następnie połączyłeś linią prostą, powstałą linią jest wykresem funkcji.

Jest kilka rzeczy, które należy wyjaśnić bardziej szczegółowo:

1. Wybierasz jeden segment ze względu na wygodę, aby wszystko ładnie i kompaktowo mieściło się na zdjęciu

2. Zakłada się, że oś biegnie od lewej do prawej, a oś od dołu do góry

3. Przecinają się pod kątem prostym, a punkt ich przecięcia nazywa się początkiem. Jest oznaczony literą.

4. W zapisie współrzędnej punktu np. po lewej w nawiasie znajduje się współrzędna punktu wzdłuż osi, a po prawej wzdłuż osi. W szczególności oznacza po prostu, że punkt

5. Aby ustawić dowolny punkt na osi współrzędnych należy podać jego współrzędne (2 cyfry)

6. Dla dowolnego punktu leżącego na osi,

7. Dla dowolnego punktu leżącego na osi,

8. Oś nazywa się osią x

9. Oś nazywa się osią y

Teraz zróbmy z tobą kolejny krok: zaznacz dwa punkty. Połącz te dwa punkty linią. I postawmy strzałkę tak, jakbyśmy rysowali odcinek od punktu do punktu: to znaczy, że uczynimy nasz odcinek skierowanym!

Pamiętasz, jaka jest inna nazwa kierowanego segmentu? Zgadza się, nazywa się to wektorem!

Tak więc, jeśli połączymy kropkę z kropką, a początkiem będzie punkt A, a końcem punkt B, wtedy otrzymujemy wektor. Ty też robiłeś tę konstrukcję w 8 klasie, pamiętasz?

Okazuje się, że wektory, podobnie jak punkty, mogą być oznaczone dwiema liczbami: liczby te nazywane są współrzędnymi wektora. Pytanie: czy uważasz, że wystarczy znać współrzędne początku i końca wektora, aby znaleźć jego współrzędne? Okazuje się, że tak! I bardzo łatwo to zrobić:

Tak więc, ponieważ w wektorze punktem jest początek, a koniec wektor ma następujące współrzędne:

Na przykład, jeśli, to współrzędne wektora

Teraz zróbmy odwrotnie, znajdź współrzędne wektora. Co musimy w tym celu zmienić? Tak, musisz zamienić początek i koniec: teraz początek wektora będzie w punkcie, a koniec w punkcie. Następnie:

Przyjrzyj się uważnie, jaka jest różnica między wektorami i? Ich jedyną różnicą są znaki we współrzędnych. Są przeciwne. Ten fakt jest napisany tak:

Czasami, jeśli nie jest wyraźnie określone, który punkt jest początkiem wektora, a który końcem, wektory są oznaczone nie dwiema wielkimi literami, ale jedną małą literą, na przykład: itp.

Teraz trochę ćwiczyć i znajdź współrzędne następujących wektorów:

Badanie:

Teraz rozwiąż problem nieco trudniejszy:

Torus wektorowy ze złomem typu on-cha-scrap w punkcie ma co-lub-di-on-you. Znajdź di-te punkty abs-cis-su.

Wszystko to jest dość prozaiczne: niech będą współrzędne punktu. Następnie

Skompilowałem system, określając współrzędne wektora. Wtedy punkt ma współrzędne. Interesuje nas odcięta. Następnie

Odpowiadać:

Co jeszcze można zrobić z wektorami? Tak, prawie wszystko jest takie samo jak w przypadku zwykłych liczb (z wyjątkiem tego, że nie można dzielić, ale można mnożyć na dwa sposoby, z których jeden omówimy tutaj nieco później)

1. Wektory można łączyć ze sobą
2. Wektory można od siebie odejmować
3. Wektory można mnożyć (lub dzielić) przez dowolną liczbę niezerową
4. Wektory można mnożyć ze sobą

Wszystkie te operacje mają dość wizualną reprezentację geometryczną. Na przykład trójkąt (lub równoległobok) rządzi dodawaniem i odejmowaniem:

Wektor rozciąga się, kurczy lub zmienia kierunek po pomnożeniu lub podzieleniu przez liczbę:

Tutaj jednak interesuje nas pytanie, co dzieje się ze współrzędnymi.

1. Przy dodawaniu (odejmowaniu) dwóch wektorów dodajemy (odejmujemy) ich współrzędne element po elemencie. To znaczy:

2. Podczas mnożenia (dzielenia) wektora przez liczbę wszystkie jego współrzędne są mnożone (dzielone) przez tę liczbę:

Na przykład:

· Znajdź-di-suma ko-or-di-nat wiek-do-ra.

Najpierw znajdźmy współrzędne każdego z wektorów. Oba mają ten sam początek - punkt początkowy. Ich końce są inne. Następnie, . Teraz obliczamy współrzędne wektora Następnie suma współrzędnych wektora wynikowego jest równa.

Odpowiadać:

Teraz samodzielnie rozwiąż następujący problem:

· Znajdź sumę współrzędnych wektora

Sprawdzamy:

Rozważmy teraz następujący problem: mamy dwa punkty na płaszczyźnie współrzędnych. Jak znaleźć odległość między nimi? Niech będzie pierwszy punkt, a drugi. Oznaczmy odległość między nimi jako . Zróbmy następujący rysunek dla jasności:

Co ja zrobiłem? Najpierw połączyłem punkty, a także narysowałem linię równoległą do osi z punktu i narysowałem linię równoległą do osi z punktu. Czy przecinały się w punkcie, tworząc cudowną figurę? Dlaczego jest cudowna? Tak, ty i ja wiemy prawie wszystko o trójkącie prostokątnym. Cóż, na pewno twierdzenie Pitagorasa. Pożądanym segmentem jest przeciwprostokątna tego trójkąta, a segmenty to nogi. Jakie są współrzędne punktu? Tak, można je łatwo znaleźć na zdjęciu: ponieważ segmenty są równoległe do osi i odpowiednio ich długości są łatwe do znalezienia: jeśli oznaczymy odpowiednio długości segmentów przez, to

Użyjmy teraz twierdzenia Pitagorasa. Znamy długości nóg, znajdziemy przeciwprostokątną:

Zatem odległość między dwoma punktami jest sumą pierwiastków kwadratów różnic względem współrzędnych. Lub - odległość między dwoma punktami to długość łączącego je odcinka. Łatwo zauważyć, że odległość między punktami nie zależy od kierunku. Następnie:

Z tego wyciągamy trzy wnioski:

Poćwiczmy trochę obliczanie odległości między dwoma punktami:

Na przykład, jeśli, to odległość między i wynosi

Albo chodźmy inaczej: znajdź współrzędne wektora

I znajdź długość wektora:

Jak widać, jest tak samo!

Teraz poćwicz trochę na własną rękę:

Zadanie: znajdź odległość między podanymi punktami:

Sprawdzamy:

Oto kilka innych problemów dla tej samej formuły, choć brzmią nieco inaczej:

1. Znajdź-di-te kwadrat długości powieki do-ra.

2. Nai-di-te kwadrat długości powieki do ra

Domyślam się, że łatwo sobie z nimi poradzisz? Sprawdzamy:

1. A to dla uwagi) Już wcześniej znaleźliśmy współrzędne wektorów: . Wtedy wektor ma współrzędne. Kwadrat jego długości będzie wynosił:

2. Znajdź współrzędne wektora

Wtedy kwadrat jego długości wynosi

Nic skomplikowanego, prawda? Prosta arytmetyka, nic więcej.

Poniższe zagadki nie dają się jednoznacznie sklasyfikować, służą raczej ogólnej erudycji i umiejętności rysowania prostych obrazków.

1. Znajdź-d-te sinusy kąta-od-przycięcie-z-wycięcia, połącz-jeden-ty-ty punkt, z osią odciętych.

oraz

Jak zamierzamy to zrobić tutaj? Musisz znaleźć sinus kąta między osią a osią. A gdzie możemy szukać sinusa? Zgadza się, w trójkącie prostokątnym. Więc co musimy zrobić? Zbuduj ten trójkąt!

Ponieważ współrzędne punktu, a następnie odcinek jest równy, a odcinek. Musimy znaleźć sinus kąta. Przypomnę więc, że sinus to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej

Co nam zostało do zrobienia? Znajdź przeciwprostokątną. Możesz to zrobić na dwa sposoby: przez twierdzenie Pitagorasa (nogi są znane!) lub przez wzór na odległość między dwoma punktami (właściwie tak samo jak pierwsza metoda!). Pójdę w drugą stronę:

Odpowiadać:

Następne zadanie wyda ci się jeszcze łatwiejsze. Ona - na współrzędnych punktu.

Zadanie 2. Od tego momentu per-pen-di-kular jest opuszczany na oś odciętych. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Zróbmy rysunek:

Podstawą pionu jest punkt, w którym przecina oś x (oś) dla mnie jest to punkt. Rysunek pokazuje, że ma współrzędne: . Interesuje nas odcięta - czyli składnik "X". Ona jest równa.

Odpowiadać: .

Zadanie 3. W warunkach poprzedniego zadania znajdź sumę odległości od punktu do osi współrzędnych.

Zadanie jest generalnie elementarne, jeśli wiesz, jaka jest odległość od punktu do osi. Wiesz, że? Mam nadzieję, ale nadal przypominam:

Czyli na moim rysunku, położonym nieco wyżej, przedstawiłem już jedną taką prostopadłą? Jaka to oś? do osi. A jaka jest jego długość? Ona jest równa. Teraz sam narysuj prostopadłą do osi i znajdź jej długość. Będzie równy, prawda? Wtedy ich suma jest równa.

Odpowiadać: .

Zadanie 4. W warunkach zadania 2 znajdź rzędną punktu symetrycznego do punktu wokół osi x.

Myślę, że intuicyjnie rozumiesz, czym jest symetria? Ma ją bardzo wiele obiektów: wiele budynków, stołów, płaszczyzn, wiele kształtów geometrycznych: kula, walec, kwadrat, romb itp. Z grubsza mówiąc symetrię można rozumieć następująco: figura składa się z dwóch (lub więcej) identyczne połówki. Ta symetria nazywa się osiową. Czym więc jest oś? Jest to dokładnie linia, wzdłuż której figurę można, względnie mówiąc, „pociąć” na identyczne połówki (na tym rysunku oś symetrii jest prosta):

Wróćmy teraz do naszego zadania. Wiemy, że szukamy punktu symetrycznego względem osi. Wtedy ta oś jest osią symetrii. Musimy więc zaznaczyć punkt, aby oś przecięła segment na dwie równe części. Spróbuj sam oznaczyć taki punkt. Teraz porównaj z moim rozwiązaniem:

Czy zrobiłeś to samo? Dobrze! W znalezionym punkcie interesuje nas rzędna. Ona jest równa

Odpowiadać:

Teraz powiedz mi, po chwili zastanowienia, jaka będzie odcięta punktu symetrycznego względem punktu A względem osi y? Jaka jest twoja odpowiedź? Poprawna odpowiedź: .

Ogólnie regułę można napisać tak:

Punkt symetryczny do punktu wokół osi X ma współrzędne:

Punkt symetryczny do punktu wokół osi y ma współrzędne:

Cóż, teraz to jest naprawdę przerażające. zadanie: Znajdź współrzędne punktu, który jest symetryczny względem punktu względem początku. Najpierw myślisz sam, a potem patrzysz na mój rysunek!

Odpowiadać:

Ale już problem równoległoboku:

Zadanie 5: Punkty to ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Znajdź punkty dee-te lub-dee-on-tu.

Możesz rozwiązać ten problem na dwa sposoby: logiczny i metodą współrzędnych. Najpierw zastosuję metodę współrzędnych, a następnie powiem, jak możesz zdecydować inaczej.

Jest całkiem jasne, że odcięta punktu jest równa. (leży na prostopadłej narysowanej od punktu do osi x). Musimy znaleźć rzędnego. Wykorzystajmy fakt, że nasza figura jest równoległobokiem, co oznacza. Znajdź długość odcinka, korzystając ze wzoru na odległość między dwoma punktami:

Obniżamy prostopadłość łączącą punkt z osią. Punkt przecięcia jest oznaczony literą.

Długość segmentu jest równa. (znajdź problem sam, gdzie omawialiśmy ten moment), wtedy znajdziemy długość odcinka za pomocą twierdzenia Pitagorasa:

Długość odcinka jest dokładnie taka sama jak jego rzędna.

Odpowiadać: .

Inne rozwiązanie (podam tylko zdjęcie, które to ilustruje)

Postęp rozwiązania:

1. Wydatki

2. Znajdź współrzędne i długość punktu

3. Udowodnij to.

Inny problem z długością cięcia:

Punkty to-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Znajdź długość jego linii środkowej, par-ral-lel-noy.

Czy pamiętasz, jaka jest środkowa linia trójkąta? Wtedy dla ciebie to zadanie jest elementarne. Jeśli nie pamiętasz, to ci przypomnę: środkowa linia trójkąta to linia łącząca punkty środkowe przeciwległych boków. Jest równoległy do ​​podstawy i równy jej połowie.

Baza jest segmentem. Musieliśmy wcześniej poszukać jego długości, jest równa. Wtedy długość linii środkowej jest o połowę krótsza i równa.

Odpowiadać: .

Komentarz: Ten problem można rozwiązać w inny sposób, do którego przejdziemy nieco później.

W międzyczasie oto kilka zadań dla Ciebie, poćwicz na nich, są dość proste, ale pomagają „włożyć rękę” metodą współrzędnych!

1. Punkty pojawiają się-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Znajdź długość jego linii środkowej.

2. Punkty i yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Znajdź punkty dee-te lub-dee-on-tu.

3. Znajdź długość od cięcia, połącz drugi punkt i

4. Znajdź-di-te obszar dla-red-shen-noy fi-gu-ry na samolocie ko-or-di-nat-noy.

5. Okrąg o środku na-cha-le ko-or-di-nat przechodzi przez punkt. Znajdź-de-te jej ra-di-wąsy.

6. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, opisz-san-noy w pobliżu kąta-no-ka, szczyty-shi-ny czegoś-ro-go mają ko-lub - di-na-you współ-od-odpowiedz-ale

Rozwiązania:

1. Wiadomo, że linia środkowa trapezu jest równa połowie sumy jego podstaw. Podstawa jest równa, ale podstawa. Następnie

Odpowiadać:

2. Najprostszym sposobem rozwiązania tego problemu jest zauważenie tego (reguła równoległoboku). Oblicz współrzędne wektorów i nie jest trudne: . Podczas dodawania wektorów dodawane są współrzędne. Następnie ma współrzędne. Punkt ma te same współrzędne, ponieważ początek wektora to punkt o współrzędnych. Interesuje nas rz. Ona jest równa.

Odpowiadać:

3. Działamy natychmiast według wzoru na odległość między dwoma punktami:

Odpowiadać:

4. Spójrz na zdjęcie i powiedz, między którymi dwiema figurami jest zacieniony obszar „ściśnięty”? Jest umieszczony pomiędzy dwoma kwadratami. Wtedy powierzchnia pożądanej figury jest równa powierzchni dużego kwadratu minus powierzchnia małego. Bok małego kwadratu to odcinek łączący punkty, a jego długość wynosi

Wtedy powierzchnia małego kwadratu to

To samo robimy z dużym kwadratem: jego bok to odcinek łączący punkty, a jego długość jest równa

Wtedy powierzchnia dużego placu to

Obszar pożądanej figury znajduje się według wzoru:

Odpowiadać:

5. Jeśli okrąg ma początek jako środek i przechodzi przez punkt, to jego promień będzie dokładnie równy długości odcinka (zrób rysunek, a zrozumiesz, dlaczego jest to oczywiste). Znajdź długość tego segmentu:

Odpowiadać:

6. Wiadomo, że promień okręgu opisanego na prostokącie jest równy połowie jego przekątnej. Znajdźmy długość dowolnej z dwóch przekątnych (w końcu w prostokącie są one równe!)

Odpowiadać:

Cóż, poradziłeś sobie ze wszystkim? Nie było trudno to rozgryźć, prawda? Jest tu tylko jedna zasada – móc zrobić obraz wizualny i po prostu „odczytać” z niego wszystkie dane.

Zostało nam bardzo niewiele. Są jeszcze dwa punkty, które chciałbym omówić.

Spróbujmy rozwiązać ten prosty problem. Niech dwa punkty i zostaną podane. Znajdź współrzędne środka segmentu. Rozwiązanie tego problemu jest następujące: niech punkt będzie pożądanym środkiem, wtedy ma współrzędne:

To znaczy: współrzędne środka odcinka = średnia arytmetyczna odpowiednich współrzędnych końców odcinka.

Ta zasada jest bardzo prosta i zazwyczaj nie sprawia uczniom trudności. Zobaczmy, w jakich problemach i jak jest używany:

1. Znajdź-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th-th-th punkt i

2. Punkty to yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Znajdź-di-te or-di-na-tu punkty re-se-che-niya jego dia-go-on-lei.

3. Znajdź-di-te abs-cis-su środka koła, opisz-san-noy w pobliżu prostokąta-no-ka, wierzchołki-shi-mamy coś-ro-go co-or-di- na-ty współ-z-vet-stvenno-ale.

Rozwiązania:

1. Pierwsze zadanie to po prostu klasyka. Działamy natychmiast, określając środek odcinka. Ma współrzędne. Rzędna jest równa.

Odpowiadać:

2. Łatwo zauważyć, że dany czworokąt jest równoległobokiem (nawet rombem!). Możesz to udowodnić sam, obliczając długości boków i porównując je ze sobą. Co wiem o równoległoboku? Jego przekątne są przecinane przez punkt przecięcia! Aha! Więc jaki jest punkt przecięcia przekątnych? To jest środek dowolnej przekątnej! Wybiorę w szczególności przekątną. Wtedy punkt ma współrzędne.Rzędna punktu jest równa.

Odpowiadać:

3. Jaki jest środek okręgu opisanego wokół prostokąta? Zbiega się z punktem przecięcia jego przekątnych. Co wiesz o przekątnych prostokąta? Są równe, a punkt przecięcia jest podzielony na pół. Zadanie zostało zredukowane do poprzedniego. Weźmy na przykład przekątną. Wtedy jeśli jest środkiem opisanego okręgu, to jest środkiem. Szukam współrzędnych: odcięta jest równa.

Odpowiadać:

Teraz poćwicz trochę na własną rękę, podam tylko odpowiedzi na każdy problem, abyś mógł się sprawdzić.

1. Nai-di-te ra-di-us circle-no-sti, opisz-san-noy w pobliżu trójkąta-no-ka, wierzchołki kogoś-ro-go mają ko-or-di -bez panów

2. Znajdź-di-te or-di-na-tu środek okręgu, opisz san-noy w pobliżu trójkąta-no-ka, wierzchołki-shi-mamy coś-ro-go współrzędne

3. Jakie promienie powinny mieć okrąg ze środkiem w punkcie stykającym się z osią odciętych?

4. Znajdź-di-te lub-di-na-tym punkcie ponownego ponownego-se-che-chingu osi i od-cięcia, connect-nya-yu-th-tego punktu i

Odpowiedzi:

Czy wszystko się udało? Naprawdę mam na to nadzieję! Teraz - ostatnie pchnięcie. Teraz bądź szczególnie ostrożny. Materiał, który teraz wyjaśnię, dotyczy nie tylko problemów z prostymi metodami współrzędnych w części B, ale jest również wszechobecny w zadaniu C2.

Której z moich obietnic jeszcze nie dotrzymałem? Pamiętasz, jakie operacje na wektorach obiecałem wprowadzić, a które ostatecznie wprowadziłem? Czy na pewno niczego nie zapomniałem? Zapomniałem! Zapomniałem wyjaśnić, co oznacza mnożenie wektorów.

Istnieją dwa sposoby pomnożenia wektora przez wektor. W zależności od wybranej metody otrzymamy przedmioty o różnym charakterze:

Produkt wektorowy jest dość skomplikowany. Jak to zrobić i dlaczego jest to potrzebne, omówimy z Tobą w następnym artykule. I w tym skupimy się na produkcie skalarnym.

Istnieją już dwa sposoby, które pozwalają nam to obliczyć:

Jak się domyślasz, wynik powinien być taki sam! Spójrzmy więc najpierw na pierwszy sposób:

Iloczyn skalarny przez współrzędne

Znajdź: - wspólny zapis iloczynu skalarnego

Wzór na obliczenia jest następujący:

To znaczy iloczyn skalarny = suma iloczynów współrzędnych wektorów!

Przykład:

Znajdź-dee-te

Rozwiązanie:

Znajdź współrzędne każdego z wektorów:

Iloczyn skalarny obliczamy według wzoru:

Odpowiadać:

Widzisz, absolutnie nic skomplikowanego!

Cóż, teraz spróbuj sam:

Find-di-te-scalar-noe pro-from-ve-de-nie-wiek-to-ditch i

Czy udało Ci się? Może zauważył małą sztuczkę? Sprawdźmy:

Współrzędne wektorowe, jak w poprzednim zadaniu! Odpowiadać: .

Oprócz współrzędnej istnieje inny sposób obliczania iloczynu skalarnego, a mianowicie poprzez długości wektorów i cosinus kąta między nimi:

Oznacza kąt między wektorami i.

Oznacza to, że iloczyn skalarny jest równy iloczynowi długości wektorów i cosinusowi kąta między nimi.

Po co nam ta druga formuła, skoro mamy pierwszą, która jest o wiele prostsza, przynajmniej nie ma w niej cosinusów. I potrzebujemy tego, abyśmy z pierwszego i drugiego wzoru mogli wywnioskować, jak znaleźć kąt między wektorami!

Zapamiętajmy więc wzór na długość wektora!

Następnie, jeśli połączę te dane z formułą iloczynu skalarnego, otrzymam:

Ale z drugiej strony:

Więc co mamy? Mamy teraz wzór do obliczenia kąta między dwoma wektorami! Czasami, dla zwięzłości, jest to również napisane tak:

Oznacza to, że algorytm obliczania kąta między wektorami jest następujący:

1. Obliczamy iloczyn skalarny poprzez współrzędne
2. Znajdź długości wektorów i pomnóż je
3. Wynik z punktu 1 podzielić przez wynik z punktu 2

Poćwiczmy na przykładach:

1. Znajdź kąt między powiekami-do-ra-mi i. Podaj swoją odpowiedź w stopniach.

2. W warunkach poprzedniego zadania znajdź cosinus między wektorami

Zróbmy tak: pomogę ci rozwiązać pierwszy problem, a drugi spróbuję zrobić sam! Zgadzam się? W takim razie zacznijmy!

1. Te wektory to nasi starzy przyjaciele. Rozważaliśmy już ich iloczyn skalarny i był równy. Ich współrzędne to: , . Następnie znajdujemy ich długości:

Następnie szukamy cosinusa między wektorami:

Jaki jest cosinus kąta? To jest róg.

Odpowiadać:

Cóż, teraz sam rozwiąż drugi problem, a następnie porównaj! Podam tylko bardzo krótkie rozwiązanie:

2. ma współrzędne, ma współrzędne.

Niech będzie kątem między wektorami i wtedy

Odpowiadać:

Należy zauważyć, że zadania bezpośrednio na wektorach i metoda współrzędnych w części B pracy egzaminacyjnej są dość rzadkie. Jednak zdecydowaną większość problemów C2 można łatwo rozwiązać, wprowadzając układ współrzędnych. Możesz więc potraktować ten artykuł jako podstawę, na podstawie której wykonamy dość podchwytliwe konstrukcje, których będziemy potrzebować do rozwiązywania złożonych problemów.

WSPÓŁRZĘDNE I WEKTORY. POZIOM ŚREDNIOZAAWANSOWANY

Ty i ja nadal studiujemy metodę współrzędnych. W ostatniej części wyprowadziliśmy szereg ważnych formuł, które pozwalają:

1. Znajdź współrzędne wektora
2. Znajdź długość wektora (alternatywnie: odległość między dwoma punktami)
3. Dodaj, odejmij wektory. Pomnóż je przez liczbę rzeczywistą
4. Znajdź środek segmentu
5. Oblicz iloczyn skalarny wektorów
6. Znajdź kąt między wektorami

Oczywiście cała metoda współrzędnych nie mieści się w tych 6 punktach. Leży u podstaw takiej nauki, jak geometria analityczna, z którą zapoznasz się na uniwersytecie. Chcę tylko zbudować fundament, który pozwoli rozwiązywać problemy w jednym stanie. egzamin. Ustaliliśmy zadania części B w Teraz nadszedł czas, aby przejść na jakościowo nowy poziom! Ten artykuł będzie poświęcony metodzie rozwiązywania tych problemów C2, w których zasadne byłoby przejście na metodę współrzędnych. O tej racjonalności decyduje to, co należy znaleźć w problemie i jaka jest podana liczba. Więc użyłbym metody współrzędnych, jeśli pytania brzmią:

1. Znajdź kąt między dwiema płaszczyznami
2. Znajdź kąt między linią a płaszczyzną
3. Znajdź kąt między dwiema liniami
4. Znajdź odległość od punktu do samolotu
5. Znajdź odległość od punktu do linii
6. Znajdź odległość od linii prostej do płaszczyzny
7. Znajdź odległość między dwiema liniami

Jeśli liczba podana w warunku problemu jest ciałem obrotowym (kula, walec, stożek ...)

Odpowiednie liczby dla metody współrzędnych to:

1. prostopadłościan
2. Piramida (trójkątna, czworokątna, sześciokątna)

Również z mojego doświadczenia niewłaściwe jest stosowanie metody współrzędnych dla:

1. Znajdowanie obszarów przekrojów
2. Obliczenia objętości ciał

Należy jednak od razu zauważyć, że trzy „niekorzystne” sytuacje dla metody współrzędnych są w praktyce dość rzadkie. W większości zadań może stać się twoim wybawcą, zwłaszcza jeśli nie jesteś zbyt silny w konstrukcjach trójwymiarowych (które czasami są dość skomplikowane).

Jakie są wszystkie liczby, które wymieniłem powyżej? Nie są już płaskie, takie jak kwadrat, trójkąt, koło, ale obszerne! W związku z tym musimy wziąć pod uwagę nie dwuwymiarowy, ale trójwymiarowy układ współrzędnych. Jest zbudowana dość łatwo: oprócz odciętej i rzędnych wprowadzimy kolejną oś, oś aplikacji. Rysunek schematycznie pokazuje ich względne położenie:

Wszystkie są wzajemnie prostopadłe, przecinają się w jednym punkcie, który nazwiemy początkiem. Oś odciętych, jak poprzednio, będzie oznaczona, oś rzędnych - , a wprowadzoną oś aplikacyjną - .

Jeśli wcześniej każdy punkt na płaszczyźnie charakteryzowały się dwiema liczbami - odciętą i rzędną, to każdy punkt w przestrzeni jest już opisany trzema liczbami - odcięta, rzędna, aplikacja. Na przykład:

W związku z tym odcięta punktu jest równa, rzędna to , a aplikacja to .

Czasami odcięta punktu nazywana jest również rzutem punktu na oś odciętych, rzędna to rzut punktu na oś y, a aplikacja to rzut punktu na oś aplikacji. W związku z tym, jeśli podano punkt, to punkt o współrzędnych:

nazwany rzutem punktu na płaszczyznę

nazwany rzutem punktu na płaszczyznę

Powstaje naturalne pytanie: czy wszystkie formuły wyprowadzone dla przypadku dwuwymiarowego są poprawne w przestrzeni? Odpowiedź brzmi tak, są po prostu i mają taki sam wygląd. Dla małego szczegółu. Myślę, że już zgadłeś, który. We wszystkich formułach będziemy musieli dodać jeszcze jeden termin odpowiadający za oś aplikacji. Mianowicie.

1. Jeżeli podano dwa punkty: , to:

• Współrzędne wektora:
• Odległość między dwoma punktami (lub długość wektora)
• Środek segmentu ma współrzędne

2. Jeśli podano dwa wektory: a, to:

• Ich iloczyn skalarny to:
• Cosinus kąta między wektorami to:

Jednak przestrzeń nie jest taka prosta. Jak rozumiesz, dodanie jeszcze jednej współrzędnej wprowadza znaczne urozmaicenie spektrum postaci „żyjących” w tej przestrzeni. A dla dalszej narracji muszę wprowadzić pewne, z grubsza mówiąc, „uogólnienie” linii prostej. Ta „uogólnienie” będzie samolotem. Co wiesz o samolocie? Spróbuj odpowiedzieć na pytanie, czym jest samolot? Bardzo trudno powiedzieć. Jednak wszyscy intuicyjnie wyobrażamy sobie, jak to wygląda:

Z grubsza mówiąc, jest to rodzaj niekończącego się „listka” wbitego w przestrzeń. Przez „nieskończoność” należy rozumieć, że płaszczyzna rozciąga się we wszystkich kierunkach, czyli jej powierzchnia jest równa nieskończoności. Jednak to wyjaśnienie „na palcach” nie daje najmniejszego pojęcia o budowie samolotu. I będziemy tym zainteresowani.

Zapamiętajmy jeden z podstawowych aksjomatów geometrii:

• Linia prosta przechodzi przez dwa różne punkty na płaszczyźnie, a ponadto tylko jeden:

Lub jego analog w kosmosie:

Oczywiście pamiętasz, jak wyprowadzić równanie prostej z dwóch podanych punktów, to wcale nie jest trudne: jeśli pierwszy punkt ma współrzędne: a drugi, to równanie prostej będzie wyglądało następująco:

Przeszedłeś to w 7 klasie. W przestrzeni równanie prostej wygląda tak: załóżmy, że mamy dwa punkty o współrzędnych: , wtedy równanie przechodzącej przez nie prostej ma postać:

Na przykład linia przechodzi przez punkty:

Jak należy to rozumieć? Należy przez to rozumieć: punkt leży na prostej, jeśli jego współrzędne spełniają następujący układ:

Nie będziemy zbytnio zainteresowani równaniem prostej, ale musimy zwrócić uwagę na bardzo ważną koncepcję wektora kierunkowego prostej. - dowolny niezerowy wektor leżący na danej linii lub równolegle do niej.

Na przykład oba wektory są wektorami kierunku linii prostej. Niech będzie punktem leżącym na linii prostej i będzie jego wektorem kierunkowym. Wtedy równanie prostej można zapisać w postaci:

Po raz kolejny nie będę się zbytnio interesował równaniem linii prostej, ale naprawdę muszę pamiętać, czym jest wektor kierunku! Ponownie: jest to DOWOLNY niezerowy wektor leżący na linii lub równolegle do niej.

Wycofać trzypunktowe równanie płaszczyzny nie jest już taka trywialna i zwykle nie jest objęta kursem w szkole średniej. Ale na próżno! Ta technika jest niezbędna, gdy do rozwiązywania złożonych problemów uciekamy się do metody współrzędnych. Zakładam jednak, że masz ochotę nauczyć się czegoś nowego? Co więcej, będziesz mógł zaimponować swojemu nauczycielowi na uniwersytecie, gdy okaże się, że już wiesz, jak posługiwać się techniką, którą zwykle uczy się na kursach geometrii analitycznej. Więc zacznijmy.

Równanie płaszczyzny nie różni się zbytnio od równania prostej na płaszczyźnie, a mianowicie ma postać:

niektóre liczby (nie wszystkie równe zeru), ale zmienne, na przykład: itp. Jak widać, równanie płaszczyzny nie różni się zbytnio od równania prostej (funkcja liniowa). Jednak pamiętasz, o czym się z tobą kłóciliśmy? Powiedzieliśmy, że jeśli mamy trzy punkty, które nie leżą na jednej prostej, to równanie płaszczyzny jest z nich jednoznacznie przywracane. Ale jak? Spróbuję ci to wyjaśnić.

Ponieważ równanie płaszczyzny to:

A punkty należą do tej płaszczyzny, to podstawiając współrzędne każdego punktu do równania płaszczyzny, powinniśmy uzyskać poprawną tożsamość:

Tak więc istnieje potrzeba rozwiązania trzech równań już z niewiadomymi! Dylemat! Jednak zawsze możemy tak założyć (w tym celu musimy podzielić przez). W ten sposób otrzymujemy trzy równania z trzema niewiadomymi:

Nie rozwiążemy jednak takiego systemu, tylko wypiszemy zagadkowe wyrażenie, które z niego wynika:

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy podane punkty

\[\lewo| (\begin(tablica)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(tablica)) \right| = 0\]

Zatrzymaj się! Co to jeszcze jest? Jakiś bardzo nietypowy moduł! Jednak obiekt, który widzisz przed sobą, nie ma nic wspólnego z modułem. Obiekt ten nazywany jest wyznacznikiem trzeciego rzędu. Odtąd, kiedy będziesz miał do czynienia z metodą współrzędnych na płaszczyźnie, często natkniesz się na te właśnie wyznaczniki. Co to jest wyznacznik trzeciego rzędu? Co dziwne, to tylko liczba. Pozostaje zrozumieć, jaką konkretną liczbę porównamy z wyznacznikiem.

Napiszmy najpierw wyznacznik trzeciego rzędu w bardziej ogólnej formie:

Gdzie są jakieś liczby. Ponadto przez pierwszy indeks rozumiemy numer wiersza, a przez indeks numer kolumny. Na przykład oznacza to, że podana liczba znajduje się na przecięciu drugiego rzędu i trzeciej kolumny. Zadajmy pytanie: jak dokładnie wyliczymy taki wyznacznik? To znaczy, z jaką konkretną liczbą będziemy ją porównywać? Dla wyznacznika dokładnie trzeciego rzędu istnieje heurystyczna (wizualna) reguła trójkąta, która wygląda tak:

1. Iloczyn elementów głównej przekątnej (od lewego górnego rogu do prawego dolnego) iloczynu elementów tworzących pierwszy trójkąt „prostopadle” do głównej przekątnej iloczynu elementów tworzących drugi trójkąt „prostopadle” do głównej przekątna
2. Iloczyn elementów przekątnej drugorzędnej (od prawego górnego do lewego dolnego) iloczynu elementów tworzących pierwszy trójkąt „prostopadły” do przekątnej drugorzędnej iloczynu elementów tworzących drugi trójkąt „prostopadle” do druga przekątna
3. Wtedy wyznacznik jest równy różnicy między wartościami uzyskanymi na etapie i

Jeśli zapiszemy to wszystko liczbami, otrzymamy następujące wyrażenie:

Nie musisz jednak zapamiętywać metody obliczania w tej formie, wystarczy po prostu trzymać trójkąty w głowie i samą ideę, co jest dodawane do czego, a co następnie od czego odejmowane).

Zilustrujmy metodę trójkątów na przykładzie:

1. Oblicz wyznacznik:

Zastanówmy się, co dodajemy, a co odejmujemy:

Warunki, które są oznaczone „plusem”:

To jest główna przekątna: iloczyn elementów to

Pierwszy trójkąt „prostopadle do głównej przekątnej: iloczyn elementów wynosi

Drugi trójkąt „prostopadle do głównej przekątnej: iloczyn elementów wynosi

Dodajemy trzy liczby:

Terminy z „minusem”

To jest przekątna boczna: iloczyn elementów wynosi

Pierwszy trójkąt „prostopadle do przekątnej wtórnej: iloczyn elementów wynosi

Drugi trójkąt „prostopadle do przekątnej wtórnej: iloczyn elementów wynosi

Dodajemy trzy liczby:

Pozostaje tylko odjąć od sumy składników plus sumę składników minus:

W ten sposób,

Jak widać, w obliczaniu wyznaczników trzeciego rzędu nie ma nic skomplikowanego i nadprzyrodzonego. Po prostu ważne jest, aby pamiętać o trójkątach i nie popełniać błędów arytmetycznych. Teraz spróbuj sam policzyć:

Sprawdzamy:

1. Pierwszy trójkąt prostopadły do ​​głównej przekątnej:
2. Drugi trójkąt prostopadły do ​​głównej przekątnej:
3. Suma warunków plus:
4. Pierwszy trójkąt prostopadły do ​​bocznej przekątnej:
5. Drugi trójkąt prostopadły do ​​bocznej przekątnej:
6. Suma terminów z minusem:
7. Suma składników plus minus suma składników minus:

Oto jeszcze kilka wyznaczników dla Ciebie, sam oblicz ich wartości i porównaj z odpowiedziami:

Odpowiedzi:

Czy wszystko się zgadzało? Świetnie, możesz iść dalej! Jeśli są trudności, moja rada jest taka: w Internecie jest kilka programów do obliczania wyznacznika online. Wystarczy wymyślić własny wyznacznik, samemu go obliczyć, a następnie porównać z tym, co wylicza program. I tak dalej, aż wyniki zaczną się zgadzać. Jestem pewien, że ten moment nie potrwa długo!

Wróćmy teraz do wyznacznika, który napisałem, gdy mówiłem o równaniu płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty:

Wystarczy bezpośrednio obliczyć jego wartość (metoda trójkąta) i ustawić wynik na zero. Naturalnie, ponieważ są to zmienne, otrzymasz wyrażenie zależne od nich. To właśnie to wyrażenie będzie równaniem płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty, które nie leżą na jednej linii prostej!

Zilustrujmy to prostym przykładem:

1. Skonstruuj równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty

Tworzymy wyznacznik dla tych trzech punktów:

Uproszczenie:

Teraz obliczamy to bezpośrednio zgodnie z zasadą trójkątów:

\[(\left| (\begin(tablica)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(tablica)) \ right| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Zatem równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty to:

Teraz spróbuj samodzielnie rozwiązać jeden problem, a następnie omówimy go:

2. Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty

Omówmy teraz rozwiązanie:

Wykonujemy wyznacznik:

I oblicz jego wartość:

Wtedy równanie płaszczyzny ma postać:

Albo redukując przez, otrzymujemy:

Teraz dwa zadania do samokontroli:

1. Skonstruuj równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty:

Odpowiedzi:

Czy wszystko się zgadzało? Ponownie, jeśli są pewne trudności, moja rada jest taka: bierzesz z głowy trzy punkty (z dużym prawdopodobieństwem nie będą leżeć na jednej linii prostej), budujesz na nich samolot. A potem sprawdź się online. Na przykład na stronie:

Jednak za pomocą wyznaczników zbudujemy nie tylko równanie płaszczyzny. Pamiętaj, powiedziałem ci, że dla wektorów definiowany jest nie tylko iloczyn skalarny. Istnieje również wektor, a także produkt mieszany. A jeśli iloczyn skalarny dwóch wektorów będzie liczbą, to iloczyn wektorowy dwóch wektorów będzie wektorem, a ten wektor będzie prostopadły do ​​podanych:

Co więcej, jego moduł będzie równy powierzchni równoległoboku zbudowanego na wektorach i. Będziemy potrzebować tego wektora do obliczenia odległości od punktu do prostej. Jak obliczyć iloczyn poprzeczny wektorów i czy podano ich współrzędne? Znowu z pomocą przychodzi nam wyznacznik trzeciego porządku. Zanim jednak przejdę do algorytmu obliczania iloczynu krzyżowego, muszę zrobić małą dygresję liryczną.

Ta dygresja dotyczy wektorów bazowych.

Schematycznie pokazano je na rysunku:

Jak myślisz, dlaczego nazywa się je podstawowymi? Fakt jest taki :

Lub na zdjęciu:

Trafność tej formuły jest oczywista, ponieważ:

produkt wektorowy

Teraz mogę zacząć wprowadzać produkt krzyżowy:

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów to wektor obliczany zgodnie z następującą zasadą:

Podajmy teraz kilka przykładów obliczania iloczynu krzyżowego:

Przykład 1: Znajdź iloczyn krzyżowy wektorów:

Rozwiązanie: Dokonuję wyznacznika:

I obliczam to:

Teraz, od pisania przez wektory bazowe, powrócę do zwykłej notacji wektorowej:

W ten sposób:

Spróbuj teraz.

Gotowy? Sprawdzamy:

I tradycyjnie dwa zadania do kontroli:

1. Znajdź iloczyn krzyżowy następujących wektorów:
2. Znajdź iloczyn krzyżowy następujących wektorów:

Odpowiedzi:

Produkt mieszany trzech wektorów

Ostatnią potrzebną mi konstrukcją jest iloczyn mieszany trzech wektorów. Podobnie jak skalar, jest liczbą. Można to obliczyć na dwa sposoby. - przez wyznacznik, - przez mieszany produkt.

Mianowicie załóżmy, że mamy trzy wektory:

Następnie mieszany iloczyn trzech wektorów, oznaczony jako, można obliczyć jako:

1. - czyli iloczyn mieszany jest iloczynem skalarnym wektora i iloczynem wektorowym dwóch innych wektorów

Na przykład mieszany produkt trzech wektorów to:

Spróbuj sam obliczyć za pomocą iloczynu wektorowego i upewnij się, że wyniki się zgadzają!

I znowu - dwa przykłady samodzielnego rozwiązania:

Odpowiedzi:

Wybór układu współrzędnych

Cóż, teraz mamy wszystkie niezbędne podstawy wiedzy do rozwiązywania złożonych problemów stereometrycznych w geometrii. Zanim jednak przejdziemy bezpośrednio do przykładów i algorytmów ich rozwiązywania, uważam, że warto zastanowić się nad pytaniem: jak dokładnie wybierz układ współrzędnych dla konkretnej figury. W końcu to wybór względnego położenia układu współrzędnych i figury w przestrzeni ostatecznie określi, jak uciążliwe będą obliczenia.

Przypominam, że w tej sekcji rozważamy następujące liczby:

1. prostopadłościan
2. Pryzmat prosty (trójkątny, sześciokątny…)
3. Piramida (trójkątna, czworokątna)
4. Czworościan (taki sam jak trójkątna piramida)

Do prostopadłościanu lub sześcianu polecam następującą konstrukcję:

Oznacza to, że umieszczę figurę „w rogu”. Kostka i pudełko to bardzo dobre figury. Dla nich zawsze możesz łatwo znaleźć współrzędne jego wierzchołków. Na przykład, jeśli (jak pokazano na rysunku)

wtedy współrzędne wierzchołków to:

Oczywiście nie musisz o tym pamiętać, ale pamiętanie, jak najlepiej ustawić sześcian lub prostokątne pudełko, jest pożądane.

prosty pryzmat

Pryzmat jest postacią bardziej szkodliwą. Możesz go zaaranżować w przestrzeni na różne sposoby. Myślę jednak, że najlepszą opcją jest:

Trójkątny pryzmat:

Oznacza to, że umieszczamy jeden z boków trójkąta całkowicie na osi, a jeden z wierzchołków pokrywa się z początkiem.

Pryzmat sześciokątny:

Oznacza to, że jeden z wierzchołków pokrywa się z początkiem, a jeden z boków leży na osi.

Piramida czworokątna i sześciokątna:

Sytuacja podobna do sześcianu: łączymy dwa boki podstawy z osiami współrzędnych, łączymy jeden z wierzchołków z początkiem. Jedyną małą trudnością będzie obliczenie współrzędnych punktu.

Dla heksagonalnej piramidy - tak samo jak dla heksagonalnego graniastosłupa. Głównym zadaniem ponownie będzie znalezienie współrzędnych wierzchołka.

Czworościan (trójkątna piramida)

Sytuacja jest bardzo podobna do tej, którą podałem dla trójkątnego graniastosłupa: jeden wierzchołek pokrywa się z początkiem, jeden bok leży na osi współrzędnych.

Cóż, teraz ty i ja jesteśmy wreszcie blisko rozpoczęcia rozwiązywania problemów. Z tego, co powiedziałem na samym początku artykułu, można wyciągnąć następujący wniosek: większość zadań C2 można podzielić na 2 kategorie: problemy dotyczące kąta i problemy dotyczące odległości. Najpierw rozważymy problemy ze znalezieniem kąta. Z kolei dzielą się na następujące kategorie (w miarę wzrostu złożoności):

Problemy ze znalezieniem narożników

1. Znajdowanie kąta między dwiema liniami
2. Znajdowanie kąta między dwiema płaszczyznami

Rozważmy te problemy po kolei: zacznijmy od znalezienia kąta między dwiema liniami prostymi. Daj spokój, pamiętaj, czy ty i ja rozwiązywaliśmy już podobne przykłady? Pamiętasz, bo już mieliśmy coś podobnego... Szukaliśmy kąta między dwoma wektorami. Przypominam, jeśli podane są dwa wektory: a, to kąt między nimi znajduje się z relacji:

Teraz mamy cel - znalezienie kąta między dwiema liniami prostymi. Przejdźmy do „płaskiego obrazu”:

Ile kątów otrzymujemy, gdy przecinają się dwie linie? Już rzeczy. To prawda, że ​​tylko dwa z nich nie są równe, podczas gdy inne są względem nich pionowe (a zatem pokrywają się z nimi). Więc pod jakim kątem powinniśmy wziąć pod uwagę kąt między dwiema liniami prostymi: lub? Tutaj zasada brzmi: kąt między dwiema liniami prostymi zawsze nie przekracza stopni. Oznacza to, że z dwóch kątów zawsze wybierzemy kąt o najmniejszym stopniu. Oznacza to, że na tym zdjęciu kąt między dwiema liniami jest równy. Aby nie zawracać sobie głowy znajdowaniem za każdym razem najmniejszego z dwóch kątów, sprytni matematycy zaproponowali skorzystanie z modułu. Zatem kąt między dwiema liniami prostymi jest określony wzorem:

Jako uważny czytelnik powinien był zadać sobie pytanie: skąd właściwie bierzemy te liczby, których potrzebujemy do obliczenia cosinusa kąta? Odpowiedź: weźmiemy je z wektorów kierunkowych linii! Tak więc algorytm znajdowania kąta między dwiema liniami jest następujący:

1. Stosujemy formułę 1.

Lub bardziej szczegółowo:

1. Szukamy współrzędnych wektora kierunkowego pierwszej prostej
2. Szukamy współrzędnych wektora kierunkowego drugiej linii
3. Oblicz moduł ich iloczynu skalarnego
4. Szukamy długości pierwszego wektora
5. Szukamy długości drugiego wektora
6. Pomnóż wyniki z punktu 4 przez wyniki z punktu 5
7. Wynik z punktu 3 dzielimy przez wynik z punktu 6. Otrzymujemy cosinus kąta między prostymi
8. Jeśli ten wynik pozwala nam dokładnie obliczyć kąt, szukamy go
9. W przeciwnym razie piszemy przez arcus cosinus

Cóż, teraz pora przejść do zadań: szczegółowo zademonstruję rozwiązanie dwóch pierwszych, krótko przedstawię rozwiązanie drugiego, a odpowiedzi podam tylko w dwóch ostatnich zadaniach, musisz zrób dla nich wszystkie obliczenia.

Zadania:

1. W prawym tet-ra-ed-re, znajdź-di-te kąt między tobą-tak-te-ra-ed-ra a stroną me-di-a-noy bo-ko-jak.

2. W prawym do przodu six-coal-pi-ra-mi-de sto-ro-na-os-no-va-niya są w jakiś sposób równe, a boczne żebra są równe, znajdź kąt między prostą linie i.

3. Długości wszystkich krawędzi prawoskrzydłowych czterech-ty-rech-węgla-noy pi-ra-mi-dy są sobie równe. Znajdź kąt między liniami prostymi i jeśli od-re-zok - ty-tak-tam, biorąc pod uwagę pi-ra-mi-dy, punkt jest se-re-di-na jej bo-ko-th żebrze

4. Na krawędzi sześcianu od-me-che-do punktu, tak aby Znajdź-di-te kąt między liniami prostymi i

5. Punkt - se-re-di-na krawędziach sześcianu Nai-di-te kąt między liniami prostymi i.

Nieprzypadkowo ułożyłem zadania w takiej kolejności. Chociaż nie miałeś jeszcze czasu, aby zacząć nawigować metodą współrzędnych, ja sam przeanalizuję najbardziej „problematyczne” liczby i zostawię cię na najprostszym sześcianie! Stopniowo musisz nauczyć się pracować ze wszystkimi figurami, będę zwiększał złożoność zadań z tematu na temat.

Zacznijmy rozwiązywać problemy:

1. Narysuj czworościan, umieść go w układzie współrzędnych, jak sugerowałem wcześniej. Ponieważ czworościan jest regularny, wszystkie jego powierzchnie (w tym podstawa) są regularnymi trójkątami. Ponieważ nie podano nam długości boku, mogę przyjąć ją równą. Myślę, że rozumiesz, że kąt tak naprawdę nie będzie zależał od tego, jak bardzo nasz czworościan będzie „rozciągnięty”?. Narysuję również wysokość i medianę w czworościanie. Po drodze narysuję jego podstawę (przyda się też nam).

Muszę znaleźć kąt pomiędzy a. Co wiemy? Znamy tylko współrzędne punktu. Musimy więc znaleźć więcej współrzędnych punktów. Teraz myślimy: punkt jest punktem przecięcia wysokości (lub dwusiecznych lub środkowych) trójkąta. Kropka to podwyższony punkt. Punkt jest środkiem segmentu. W końcu musimy znaleźć: współrzędne punktów: .

Zacznijmy od najprostszego: współrzędnych punktu. Spójrz na rysunek: Widać wyraźnie, że przyłożenie punktu jest równe zeru (punkt leży na płaszczyźnie). Jego rzędna jest równa (ponieważ jest to mediana). Trudniej jest znaleźć jego odciętą. Można to jednak łatwo zrobić na podstawie twierdzenia Pitagorasa: Rozważ trójkąt. Jej przeciwprostokątna jest równa, a jedna z nóg jest równa Wtedy:

Wreszcie mamy:

Teraz znajdźmy współrzędne punktu. Jasne jest, że jego zastosowanie jest znowu równe zeru, a jego rzędna jest taka sama jak punktu. Znajdźmy jego odciętą. Robi się to dość trywialnie, jeśli się o tym pamięta wysokości trójkąta równobocznego są podzielone przez punkt przecięcia w proporcji licząc od góry. Ponieważ:, to pożądana odcięta punktu, równa długości odcinka, jest równa:. Zatem współrzędne punktu to:

Znajdźmy współrzędne punktu. Oczywiste jest, że jego odcięta i rzędna pokrywają się z odciętą i rzędną punktu. A aplikacja jest równa długości segmentu. - to jedna z nóg trójkąta. Przeciwprostokątna trójkąta to segment - noga. Jest wyszukiwana z powodów, które zaznaczyłem pogrubioną czcionką:

Punkt jest środkiem segmentu. Następnie musimy zapamiętać wzór na współrzędne środka odcinka:

To wszystko, teraz możemy poszukać współrzędnych wektorów kierunkowych:

Cóż, wszystko gotowe: podstawiamy wszystkie dane do formuły:

W ten sposób,

Odpowiadać:

Nie należy bać się takich „strasznych” odpowiedzi: dla problemów C2 jest to powszechna praktyka. Raczej byłbym zaskoczony „piękną” odpowiedzią w tej części. Ponadto, jak zauważyłeś, praktycznie nie uciekałem się do niczego innego niż twierdzenie Pitagorasa i własność wysokości trójkąta równobocznego. To znaczy, aby rozwiązać problem stereometryczny, użyłem minimum stereometrii. Zysk w tym jest częściowo „wygaszany” przez dość kłopotliwe obliczenia. Ale są dość algorytmiczne!

2. Narysuj regularną sześciokątną piramidę wraz z układem współrzędnych oraz jej podstawą:

Musimy znaleźć kąt między liniami i. Tym samym nasze zadanie sprowadza się do znalezienia współrzędnych punktów: . Znajdziemy współrzędne ostatnich trzech z małego rysunku, a współrzędną wierzchołka znajdziemy poprzez współrzędną punktu. Dużo pracy, ale muszę zacząć!

a) Współrzędna: jasne jest, że jej aplikacja i rzędna wynoszą zero. Znajdźmy odciętą. Aby to zrobić, rozważ trójkąt prostokątny. Niestety, znamy w nim tylko przeciwprostokątną, która jest równa. Spróbujemy znaleźć nogę (ponieważ jasne jest, że dwukrotna długość nogi da nam odciętą punktu). Jak możemy tego szukać? Pamiętajmy, jaką figurę mamy u podstawy piramidy? To jest foremny sześciokąt. Co to znaczy? Oznacza to, że wszystkie boki i wszystkie kąty są równe. Musimy znaleźć jeden taki zakątek. Jakieś pomysły? Pomysłów jest dużo, ale jest formuła:

Suma kątów regularnego n-kąta wynosi .

Zatem suma kątów sześciokąta foremnego to stopnie. Wtedy każdy z kątów jest równy:

Spójrzmy jeszcze raz na zdjęcie. Oczywiste jest, że segment jest dwusieczną kąta. Wtedy kąt to stopnie. Następnie:

Więc gdzie.

Więc ma współrzędne

b) Teraz możemy łatwo znaleźć współrzędną punktu: .

c) Znajdź współrzędne punktu. Ponieważ jego odcięta pokrywa się z długością segmentu, jest równa. Znalezienie rzędnej również nie jest bardzo trudne: jeśli połączymy punkty i oznaczymy punkt przecięcia prostej, powiedzmy. (zrób to sam prosta konstrukcja). Zatem rzędna punktu B jest równa sumie długości odcinków. Spójrzmy ponownie na trójkąt. Następnie

Wtedy od Wtedy punkt ma współrzędne

d) Teraz znajdź współrzędne punktu. Rozważ prostokąt i udowodnij, że Tak więc współrzędne punktu to:

e) Pozostaje znaleźć współrzędne wierzchołka. Oczywiste jest, że jego odcięta i rzędna pokrywają się z odciętą i rzędną punktu. Znajdźmy aplikację. Od tego czasu. Rozważmy trójkąt prostokątny. Według stanu problemu boczna krawędź. To jest przeciwprostokątna mojego trójkąta. Wtedy wysokość piramidy to noga.

Wtedy punkt ma współrzędne:

To wszystko, mam współrzędne wszystkich interesujących mnie punktów. Szukam współrzędnych wektorów kierunkowych linii prostych:

Szukamy kąta między tymi wektorami:

Odpowiadać:

Znowu przy rozwiązywaniu tego problemu nie zastosowałem żadnych wyrafinowanych sztuczek, z wyjątkiem wzoru na sumę kątów n-kąta foremnego oraz definicji cosinusa i sinusa trójkąta prostokątnego.

3. Ponieważ znowu nie podano nam długości krawędzi w piramidzie, uznam je za równe jeden. Tak więc, ponieważ WSZYSTKIE krawędzie, a nie tylko boczne, są sobie równe, to u podstawy piramidy i ja leży kwadrat, a ściany boczne są regularnymi trójkątami. Narysujmy taką piramidę, a także jej podstawę na płaszczyźnie, zaznaczając wszystkie dane podane w tekście zadania:

Szukamy kąta między a. Dokonuję bardzo krótkich obliczeń, gdy będę szukał współrzędnych punktów. Będziesz musiał je „odszyfrować”:

b) - środek segmentu. Jej współrzędne:

c) Znajdę długość odcinka korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie. Znajdę według twierdzenia Pitagorasa w trójkącie.

Współrzędne:

d) - środek segmentu. Jego współrzędne to

e) Współrzędne wektorowe

f) Współrzędne wektorowe

g) Szukam kąta:

Kostka to najprostsza figura. Jestem pewien, że sam sobie z tym poradzisz. Odpowiedzi na problemy 4 i 5 są następujące:

Znajdowanie kąta między linią a płaszczyzną

Cóż, czas na proste łamigłówki się skończył! Teraz przykłady będą jeszcze trudniejsze. Aby znaleźć kąt między linią a płaszczyzną, postępujemy następująco:

1. Używając trzech punktów budujemy równanie płaszczyzny
   ,
   stosując wyznacznik trzeciego rzędu.
2. Przez dwa punkty szukamy współrzędnych wektora kierunkowego prostej:
3. Stosujemy wzór do obliczenia kąta między linią prostą a płaszczyzną:

Jak widać, ten wzór jest bardzo podobny do tego, którego użyliśmy do znalezienia kątów między dwiema liniami. Struktura prawej strony jest taka sama, a po lewej szukamy teraz sinusa, a nie cosinusa, jak poprzednio. Cóż, dodano jedną paskudną akcję - poszukiwanie równania samolotu.

Nie odkładajmy rozwiązywanie przykładów:

1. Os-no-va-ni-em prosto-moja nagroda-jesteśmy-la-et-xia równy-ale-biedny-ren-ny trójkąt-zdobądź-z-tą nagrodą-jesteśmy równi. Znajdź kąt między linią prostą a płaszczyzną

2. W prostokątnym pa-ral-le-le-pi-pe-de z Zachodniego Nai-di-te kąt między linią prostą a płaszczyzną

3. W prawoskrętnym sześciowęglowym pryzmacie wszystkie krawędzie są równe. Znajdź kąt między linią prostą a płaszczyzną.

4. W prawym trójkątnym pi-ra-mi-de z os-but-va-ni-em od zachodu żebra kąta Nai-di-te, ob-ra-zo-van -ny samolot os -no-va-niya i prosto-my, przechodząc przez se-re-di-na żeber i

5. Długości wszystkich krawędzi prawego czworokątnego pi-ra-mi-dy z wierzchołkiem są sobie równe. Znajdź kąt między linią prostą a płaszczyzną, jeśli punkt jest se-re-di-na bo-ko-in-tej krawędzi pi-ra-mi-dy.

Znowu rozwiążę szczegółowo dwa pierwsze problemy, trzeci krótko, a dwa ostatnie pozostawiam do samodzielnego rozwiązania. Ponadto miałeś już do czynienia z piramidami trójkątnymi i czworokątnymi, ale jeszcze nie z pryzmatami.

Rozwiązania:

1. Narysuj pryzmat oraz jego podstawę. Połączmy to z układem współrzędnych i zaznaczmy wszystkie dane, które są podane w opisie problemu:

Przepraszam za pewne nieprzestrzeganie proporcji, ale dla rozwiązania problemu to w rzeczywistości nie jest tak ważne. Samolot to tylko „tylna ściana” mojego pryzmatu. Wystarczy zgadnąć, że równanie takiej płaszczyzny ma postać:

Można to jednak również pokazać bezpośrednio:

Wybieramy dowolne trzy punkty na tej płaszczyźnie: na przykład .

Zróbmy równanie samolotu:

Ćwiczenie dla Ciebie: sam oblicz ten wyznacznik. Udało Ci się? Wtedy równanie płaszczyzny ma postać:

Lub po prostu

W ten sposób,

Aby rozwiązać ten przykład, muszę znaleźć współrzędne wektora kierującego prostej. Ponieważ punkt pokrywał się z początkiem, współrzędne wektora po prostu pokrywają się ze współrzędnymi punktu.Aby to zrobić, najpierw znajdujemy współrzędne punktu.

Aby to zrobić, rozważ trójkąt. Narysujmy wysokość (jest to również mediana i dwusieczna) od góry. Ponieważ wtedy rzędna punktu jest równa. Aby znaleźć odciętą tego punktu, musimy obliczyć długość odcinka. Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

Wtedy punkt ma współrzędne:

Kropka to „podwyższona” kropka:

Następnie współrzędne wektora:

Odpowiadać:

Jak widać, nie ma nic fundamentalnie trudnego w rozwiązywaniu takich problemów. W rzeczywistości „prostość” figury, takiej jak pryzmat, upraszcza nieco ten proces. Przejdźmy teraz do następnego przykładu:

2. Rysujemy równoległościan, rysujemy w nim płaszczyznę i linię prostą, a także osobno rysujemy jego dolną podstawę:

Najpierw znajdujemy równanie płaszczyzny: współrzędne trzech leżących w niej punktów:

(pierwsze dwie współrzędne są uzyskiwane w sposób oczywisty, a ostatnią współrzędną z obrazka można łatwo znaleźć z punktu). Następnie układamy równanie płaszczyzny:

Obliczamy:

Szukamy współrzędnych wektora kierunku: jasne jest, że jego współrzędne pokrywają się ze współrzędnymi punktu, prawda? Jak znaleźć współrzędne? Są to współrzędne punktu podniesione o jeden wzdłuż osi aplikacji! . Następnie szukamy pożądanego kąta:

Odpowiadać:

3. Narysuj regularną sześciokątną piramidę, a następnie narysuj w niej płaszczyznę i linię prostą.

Tutaj nawet problematyczne jest narysowanie samolotu, nie wspominając o rozwiązaniu tego problemu, ale metoda współrzędnych nie obchodzi! To w jego wszechstronności leży jego główna zaleta!

Samolot przechodzi przez trzy punkty: . Szukamy ich współrzędnych:

jeden) . Samodzielnie wyświetl współrzędne dwóch ostatnich punktów. W tym celu będziesz musiał rozwiązać problem za pomocą sześciokątnej piramidy!

2) Budujemy równanie samolotu:

Szukamy współrzędnych wektora: . (Zobacz ponownie problem trójkątnej piramidy!)

3) Szukamy kąta:

Odpowiadać:

Jak widać, w tych zadaniach nie ma nic nadnaturalnie trudnego. Musisz tylko bardzo uważać na korzenie. Na dwa ostatnie problemy podam tylko odpowiedzi:

Jak widać, technika rozwiązywania problemów jest wszędzie taka sama: głównym zadaniem jest znalezienie współrzędnych wierzchołków i zastąpienie ich niektórymi formułami. Pozostaje nam rozważyć jeszcze jedną klasę problemów do obliczania kątów, a mianowicie:

Obliczanie kątów między dwiema płaszczyznami

Algorytm rozwiązania będzie następujący:

1. Dla trzech punktów szukamy równania pierwszej płaszczyzny:
2. Dla pozostałych trzech punktów szukamy równania drugiej płaszczyzny:
3. Stosujemy formułę:

Jak widać, wzór jest bardzo podobny do dwóch poprzednich, za pomocą których szukaliśmy kątów między liniami prostymi oraz między linią prostą a płaszczyzną. Więc zapamiętanie tego nie będzie dla ciebie trudne. Przejdźmy od razu do problemu:

1. Sto ro-na podstawie prawego trójkątnego graniastosłupa jest równa, a przekątna ściany bocznej jest równa. Znajdź kąt między płaszczyzną a płaszczyzną podstawy nagrody.

2. W prawym do przodu four-you-re-coal-noy pi-ra-mi-de wszystkie krawędzie kogoś są równe, znajdź sinus kąta między samolotem a samolotem Ko-Stu, przechodzącym przez punkt per-pen-di-ku-lyar-ale prosto-mój.

3. W zwykłym pryzmacie czterowęglowym boki os-no-va-nia są równe, a krawędzie boczne są równe. Na krawędzi od-mnie-che-do rzeczy tak. Znajdź kąt między płaszczyznami i

4. W prawym czworokątnym pryzmacie boki podstaw są równe, a krawędzie boczne są równe. Na krawędzi od-mnie-che-do punktu, tak aby Znajdź kąt między płaszczyznami i.

5. W sześcianie znajdź co-si-nus kąta między płaszczyznami i

Rozwiązania problemów:

1. Rysuję regularny (u podstawy - trójkąt równoboczny) trójkątny pryzmat i zaznaczam na nim płaszczyzny, które pojawiają się w stanie zadania:

Musimy znaleźć równania dwóch płaszczyzn: Równanie bazowe otrzymuje się w sposób banalny: możesz zrobić odpowiedni wyznacznik dla trzech punktów, ale od razu zrobię równanie:

Teraz znajdźmy równanie Punkt ma współrzędne Punkt - Ponieważ - mediana i wysokość trójkąta, łatwo jest znaleźć za pomocą twierdzenia Pitagorasa w trójkącie. Wtedy punkt ma współrzędne: Znajdź aplikację punktu Aby to zrobić, rozważ trójkąt prostokątny

Następnie otrzymujemy następujące współrzędne: Układamy równanie płaszczyzny.

Obliczamy kąt między płaszczyznami:

Odpowiadać:

2. Wykonanie rysunku:

Najtrudniejsze jest zrozumienie, jaki to tajemniczy samolot, przechodzący przez punkt prostopadle. Cóż, najważniejsze jest to, co to jest? Najważniejsze jest uważność! Rzeczywiście, linia jest prostopadła. Linia jest również prostopadła. Wtedy płaszczyzna przechodząca przez te dwie linie będzie prostopadła do linii, a przy okazji przejdzie przez punkt. Ta płaszczyzna przechodzi również przez szczyt piramidy. Potem pożądany samolot - A samolot jest już nam dany. Poszukujemy współrzędnych punktów.

Znajdujemy współrzędną punktu przez punkt. Z małego rysunku łatwo wywnioskować, że współrzędne punktu będą wyglądały następująco: Co pozostało do znalezienia, aby znaleźć współrzędne wierzchołka piramidy? Nadal trzeba obliczyć jego wysokość. Odbywa się to za pomocą tego samego twierdzenia Pitagorasa: najpierw udowodnij to (trywialnie z małych trójkątów tworzących kwadrat u podstawy). Ponieważ pod warunkiem mamy:

Teraz wszystko gotowe: współrzędne wierzchołków:

Układamy równanie samolotu:

Jesteś już ekspertem w obliczaniu wyznaczników. Z łatwością otrzymasz:

Lub inaczej (jeśli obie części pomnożymy przez pierwiastek z dwójki)

Teraz znajdźmy równanie samolotu:

(Nie zapomniałeś, jak otrzymujemy równanie samolotu, prawda? Jeśli nie rozumiesz, skąd wzięła się ta minus jeden, wróć do definicji równania samolotu! To po prostu zawsze okazywało się wcześniej że mój samolot należał do pochodzenia!)

Obliczamy wyznacznik:

(Możesz zauważyć, że równanie płaszczyzny pokrywało się z równaniem prostej przechodzącej przez punkty i! Pomyśl dlaczego!)

Teraz obliczamy kąt:

Musimy znaleźć sinus:

Odpowiadać:

3. Podchwytliwe pytanie: co to jest pryzmat prostokątny, co myślisz? To dla ciebie po prostu dobrze znany równoległościan! Rysowanie od razu! Nie możesz nawet osobno przedstawić podstawy, tutaj nie ma z niej większego pożytku:

Płaszczyzna, jak zauważyliśmy wcześniej, jest zapisana jako równanie:

Teraz robimy samolot

Natychmiast układamy równanie samolotu:

Szukasz kąta

Teraz odpowiedzi na dwa ostatnie problemy:

Cóż, teraz jest czas na przerwę, ponieważ ty i ja jesteśmy wspaniali i wykonaliśmy świetną robotę!

Współrzędne i wektory. Poziom zaawansowany

W tym artykule omówimy z Tobą inną klasę problemów, które można rozwiązać za pomocą metody współrzędnych: problemy odległościowe. Mianowicie rozważymy następujące przypadki:

1. Obliczanie odległości między liniami skośnymi.

Porządkowałem dane zadania wraz ze wzrostem ich złożoności. Najłatwiej jest znaleźć odległość od punktu do płaszczyzny a najtrudniejsze jest znalezienie odległość między przecinającymi się liniami. Chociaż oczywiście nie ma rzeczy niemożliwych! Nie zwlekajmy i od razu przystąpmy do rozważenia pierwszej klasy problemów:

Obliczanie odległości od punktu do płaszczyzny

Czego potrzebujemy, aby rozwiązać ten problem?

1. Współrzędne punktu

Tak więc, gdy tylko zdobędziemy wszystkie niezbędne dane, stosujemy formułę:

Powinieneś już wiedzieć, jak budujemy równanie samolotu z poprzednich problemów, które analizowałem w ostatniej części. Przejdźmy od razu do rzeczy. Schemat jest następujący: 1, 2 - pomagam ci zdecydować, a szczegółowo 3, 4 - tylko odpowiedź, sam podejmujesz decyzję i porównujesz. Zaczęła się!

Zadania:

1. Dana kostka. Długość krawędzi sześcianu wynosi Znajdź-di-te odległość od se-re-di-ny od cięcia do płaskiego

2. Biorąc pod uwagę prawe-vil-naya cztery-ty-rekh-węgiel-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe krawędź sto-ro-na os-no-va-nia jest równa. Znajdź-di-te odległości od punktu do płaszczyzny, gdzie - se-re-di-na krawędziach.

3. W prawym trójkątnym pi-ra-mi-de z os-but-va-ni-em, druga krawędź jest równa, a sto ro-on os-no-vaniya jest równe. Znajdź te odległości od góry do samolotu.

4. W prawoskrętnym sześciowęglowym pryzmacie wszystkie krawędzie są równe. Znajdź te odległości od punktu do płaszczyzny.

Rozwiązania:

1. Narysuj sześcian o pojedynczych krawędziach, zbuduj odcinek i płaszczyznę, oznacz literą środek odcinka

.

Najpierw zacznijmy od prostego: znajdź współrzędne punktu. Od tego czasu (pamiętaj o współrzędnych środka segmentu!)

Teraz składamy równanie płaszczyzny na trzy punkty

\[\lewo| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Teraz mogę zacząć szukać odległości:

2. Zaczynamy od rysunku, na którym zaznaczamy wszystkie dane!

W przypadku piramidy dobrze byłoby narysować jej podstawę osobno.

Nawet to, że rysuję jak łapa kurczaka, nie przeszkodzi nam w łatwym rozwiązaniu tego problemu!

Teraz łatwo jest znaleźć współrzędne punktu

Ponieważ współrzędne punktu

2. Skoro współrzędne punktu a są środkiem odcinka, to

Możemy łatwo znaleźć współrzędne dwóch kolejnych punktów na płaszczyźnie, układamy równanie płaszczyzny i upraszczamy je:

\[\lewo| (\left| (\begin(tablica)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Ponieważ punkt ma współrzędne: , obliczamy odległość:

Odpowiedź (bardzo rzadko!):

Cóż, zrozumiałeś? Wydaje mi się, że wszystko tutaj jest tak samo techniczne, jak w przykładach, które rozważaliśmy z wami w poprzedniej części. Jestem więc pewien, że jeśli opanowałeś ten materiał, to nie będzie Ci trudno rozwiązać pozostałe dwa problemy. Po prostu dam ci odpowiedzi:

Obliczanie odległości od linii do płaszczyzny

W rzeczywistości nie ma tu nic nowego. Jak można ustawić linię i płaszczyznę względem siebie? Mają wszystkie możliwości: przecinają się, czyli linia prosta jest równoległa do płaszczyzny. Jak myślisz, jaka jest odległość od linii do płaszczyzny, z którą przecina się dana linia? Wydaje mi się, że jasne jest, że taka odległość jest równa zeru. Nieciekawy przypadek.

Drugi przypadek jest trudniejszy: tutaj odległość jest już niezerowa. Ponieważ jednak linia jest równoległa do płaszczyzny, każdy punkt linii znajduje się w równej odległości od tej płaszczyzny:

W ten sposób:

A to oznacza, że ​​moje zadanie zostało zredukowane do poprzedniego: szukamy współrzędnych dowolnego punktu na prostej, szukamy równania płaszczyzny, obliczamy odległość od punktu do płaszczyzny. W rzeczywistości takie zadania na egzaminie są niezwykle rzadkie. Udało mi się znaleźć tylko jeden problem, a dane w nim zawarte były takie, że metoda współrzędnych nie miała do niego zastosowania!

Przejdźmy teraz do innej, znacznie ważniejszej klasy problemów:

Obliczanie odległości punktu od linii

Czego będziemy potrzebować?

1. Współrzędne punktu, z którego szukamy odległości:

2. Współrzędne dowolnego punktu leżącego na linii prostej

3. Kierunkowe współrzędne wektora prostej

Jakiej formuły używamy?

Co oznacza dla Ciebie mianownik tego ułamka i dlatego powinno być jasne: jest to długość wektora kierunkowego prostej. Oto bardzo skomplikowany licznik! Wyrażenie oznacza moduł (długość) iloczynu wektorowego wektorów i Jak obliczyć iloczyn wektorowy, omówiliśmy w poprzedniej części pracy. Odśwież swoją wiedzę, teraz nam się przyda!

Zatem algorytm rozwiązywania problemów będzie następujący:

1. Szukamy współrzędnych punktu, z którego szukamy odległości:

2. Szukamy współrzędnych dowolnego punktu na linii, do którego szukamy odległości:

3. Budowanie wektora

4. Budujemy wektor kierunkowy prostej

5. Oblicz iloczyn krzyżowy

6. Szukamy długości wynikowego wektora:

7. Oblicz odległość:

Mamy dużo pracy, a przykłady będą dość złożone! Więc teraz skup całą swoją uwagę!

1. Dana jest praworęcznym trójkątnym pi-ra-mi-da z wierzchołkiem. Sto-ro-na os-no-va-niya pi-ra-mi-dy jest równe, ty-tak-ta jest równe. Znajdź-di-te odległości od se-re-di-ny krawędzi bo-ko-tej do linii prostej, gdzie punkty i są se-re-di-ny żeber i co-from-vet -stven-ale.

2. Długości żeber i kąt prosty-no-para-ral-le-le-pi-pe-da są odpowiednio równe, a odległość Find-di-te od top-shi-ny do straight-my

3. W prawym sześciowęglowym pryzmacie wszystkie krawędzie roju są równe odległości znajdź-d-tych od punktu do linii prostej

Rozwiązania:

1. Wykonujemy zgrabny rysunek, na którym zaznaczamy wszystkie dane:

Mamy dla Ciebie dużo pracy! Na początek chciałbym opisać słowami czego będziemy szukać i w jakiej kolejności:

1. Współrzędne punktów i

2. Współrzędne punktu

3. Współrzędne punktów i

4. Współrzędne wektorów i

5. Ich produkt krzyżowy

6. Długość wektora

7. Długość produktu wektorowego

8. Odległość od do

Cóż, mamy dużo pracy! Podwińmy rękawy!

1. Aby znaleźć współrzędne wysokości piramidy, musimy znać współrzędne punktu, jego zastosowanie wynosi zero, a rzędna jest równa odciętej. Wreszcie otrzymaliśmy współrzędne:

Współrzędne punktu

2. - środek segmentu

3. - środek segmentu

punkt środkowy

4. Współrzędne

Współrzędne wektorowe

5. Oblicz iloczyn wektorowy:

6. Długość wektora: najprościej zamienić, że odcinek jest linią środkową trójkąta, czyli jest równy połowie podstawy. Aby.

7. Rozważamy długość produktu wektorowego:

8. Na koniec znajdź odległość:

Uff, to wszystko! Powiem szczerze: rozwiązanie tego problemu tradycyjnymi metodami (poprzez konstrukcje) byłoby znacznie szybsze. Ale tutaj sprowadziłem wszystko do gotowego algorytmu! Myślę, że algorytm rozwiązania jest dla Ciebie jasny? Dlatego poproszę o samodzielne rozwiązanie pozostałych dwóch problemów. Porównaj odpowiedzi?

Powtarzam: łatwiej (szybciej) rozwiązać te problemy za pomocą konstrukcji, niż uciekać się do metody współrzędnych. Zademonstrowałem ten sposób rozwiązywania tylko po to, by pokazać ci uniwersalną metodę, która pozwala ci „niczego nie uzupełniać”.

Na koniec rozważ ostatnią klasę problemów:

Obliczanie odległości między liniami skośnymi

Tutaj algorytm rozwiązywania problemów będzie podobny do poprzedniego. Co mamy:

3. Dowolny wektor łączący punkty pierwszej i drugiej linii:

Jak znaleźć odległość między liniami?

Formuła to:

Licznikiem jest moduł iloczynu mieszanego (wprowadziliśmy go w poprzedniej części), a mianownikiem - jak w poprzednim wzorze (moduł iloczynu wektorowego wektorów kierujących prostych, odległości między którymi patrzymy dla).

Przypomnę ci, że

następnie wzór na odległość można przepisać jako:

Podziel ten wyznacznik przez wyznacznik! Chociaż, szczerze mówiąc, nie mam tu ochoty na żarty! Ta formuła jest w rzeczywistości bardzo kłopotliwa i prowadzi do dość skomplikowanych obliczeń. Na twoim miejscu używałbym tego tylko w ostateczności!

Spróbujmy rozwiązać kilka problemów powyższą metodą:

1. W prawym trójkątnym pryzmacie wszystkie krawędzie są w jakiś sposób równe, znajdź odległość między liniami prostymi i.

2. Biorąc pod uwagę trójkątny pryzmat w kształcie prawego dziobu, wszystkie krawędzie os-no-va-niya kogoś są równe Se-che-tion, przechodząc przez drugie żebro i se-re-di-nu żebra są yav-la-et-sya kwadrat-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie między prostymi-we-mi i

Ja decyduję o pierwszym, a na jego podstawie decydujesz o drugim!

1. Rysuję pryzmat i zaznaczam linie i

Współrzędne punktu C: wtedy

Współrzędne punktu

Współrzędne wektorowe

Współrzędne punktu

Współrzędne wektorowe

Współrzędne wektorowe

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(tablica))\\(\begin(tablica)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(tablica))\end(tablica)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Rozważamy iloczyn krzyżowy między wektorami i

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(tablica)\end(tablica) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Teraz rozważymy jego długość:

Odpowiadać:

Teraz postaraj się dokładnie wykonać drugie zadanie. Odpowiedzią na to będzie:.

Współrzędne i wektory. Krótki opis i podstawowe formuły

Wektor jest segmentem skierowanym. - początek wektora, - koniec wektora.
Wektor jest oznaczony przez lub.

Całkowita wartość wektor - długość odcinka reprezentującego wektor. Oznaczony jako.

Współrzędne wektora:

,
gdzie są końce wektora \displaystyle a .

Suma wektorów: .

Iloczyn wektorów:

Iloczyn skalarny wektorów: