Trapez jest szczególnym przypadkiem czworokąta, w którym jedna para boków jest równoległa. Termin „trapez” pochodzi od greckie słowoτράπεζα, czyli „stół”, „stół”. W tym artykule przyjrzymy się rodzajom trapezu i jego właściwościom. Ponadto dowiemy się, jak obliczyć poszczególne elementy to Na przykład przekątna trapez równoramienny, linia środkowa, powierzchnia itp. Materiał przedstawiony jest w stylu elementarnej popularnej geometrii, czyli w łatwo dostępnej formie.
Informacje ogólne
Najpierw dowiedzmy się, czym jest czworokąt. Ta figura jest szczególnym przypadkiem wielokąta zawierającego cztery boki i cztery wierzchołki. Dwa wierzchołki czworokąta, które nie sąsiadują ze sobą, nazywane są przeciwległymi. To samo można powiedzieć o dwóch niesąsiadujących ze sobą stronach. Główne typy czworokątów to równoległobok, prostokąt, romb, kwadrat, trapez i naramienny.
Wróćmy więc do trapezów. Jak już powiedzieliśmy, liczba ta ma dwa równoległe boki. Nazywa się je bazami. Pozostałe dwa (nierównoległe) to boki boczne. W materiałach egzaminacyjnych i różnych testy bardzo często można spotkać się z zadaniami związanymi z trapezami, których rozwiązanie często wymaga od studenta posiadania wiedzy nie przewidzianej w programie. Szkolny kurs geometrii zapoznaje uczniów z właściwościami kątów i przekątnych, a także linii środkowej trapez równoramienny. Ale oprócz tego wspomniana figura geometryczna ma inne cechy. Ale o nich trochę później...
Rodzaje trapezu
Istnieje wiele rodzajów tej figury. Jednak najczęściej zwyczajowo rozważa się dwa z nich - równoramienne i prostokątne.
1. Trapez prostokątny to figura, w której jeden z boków jest prostopadły do podstaw. Jej dwa kąty są zawsze równe dziewięćdziesięciu stopniom.
2. Trapez równoramienny to figura geometryczna, której boki są sobie równe. Oznacza to, że kąty przy podstawach są również równe parami.
Główne zasady metodologii badania właściwości trapezu
Główną zasadą jest stosowanie tzw. podejścia zadaniowego. Właściwie nie ma potrzeby wprowadzania nowych własności tej figury do teoretycznego przebiegu geometrii. Można je odkrywać i formułować w procesie rozwiązywania różnorodnych problemów (najlepiej systemowych). Jednocześnie bardzo ważne jest, aby nauczyciel wiedział, jakie zadania należy przypisać uczniom w danym momencie proces edukacyjny. Co więcej, każdą właściwość trapezu można przedstawić jako kluczowe zadanie w systemie zadań.
Drugą zasadą jest tak zwana spiralna organizacja badania „niezwykłych” właściwości trapezu. Oznacza to powrót w procesie uczenia się do indywidualnych cech danej figury geometrycznej. Dzięki temu uczniowie łatwiej je zapamiętają. Na przykład właściwość czterech punktów. Można to udowodnić zarówno badając podobieństwo, jak i później używając wektorów. Natomiast równoważność trójkątów przylegających do boków figury można udowodnić, stosując nie tylko własności trójkątów o jednakowych wysokościach narysowanych do boków leżących na tej samej prostej, ale także korzystając ze wzoru S = 1/2( ab*sinα). Ponadto możesz pracować na trapezie wpisanym lub trójkącie prostokątnym na trapezie wpisanym itp.
Wykorzystanie „pozaszkolnych” cech figury geometrycznej w treści zajęć szkolnych jest technologią zadaniową do ich nauczania. Ciągłe odwoływanie się do badanych właściwości podczas przechodzenia przez inne tematy pozwala studentom na głębsze poznanie trapezu i gwarantuje sukces w rozwiązywaniu postawionych problemów. Zacznijmy więc studiować tę cudowną postać.
Elementy i właściwości trapezu równoramiennego
Jak już zauważyliśmy, ta figura geometryczna ma równe boki. Znany jest również jako prawidłowy trapez. Dlaczego jest tak niezwykły i dlaczego otrzymał taką nazwę? Osobliwością tej figury jest to, że nie tylko boki i kąty u podstaw są równe, ale także przekątne. Ponadto suma kątów trapezu równoramiennego wynosi 360 stopni. Ale to nie wszystko! Ze wszystkich znanych trapezów tylko trapez równoramienny można opisać jako okrąg. Wynika to z faktu, że suma przeciwnych kątów tej figury wynosi 180 stopni i tylko pod tym warunkiem można opisać okrąg wokół czworoboku. Kolejną właściwością rozważanej figury geometrycznej jest to, że odległość od wierzchołka podstawy do rzutu przeciwległego wierzchołka na prostą zawierającą tę podstawę będzie równa linii środkowej.
Teraz zastanówmy się, jak znaleźć kąty trapezu równoramiennego. Rozważmy rozwiązanie tego problemu, pod warunkiem, że znane są wymiary boków figury.
Rozwiązanie
Zazwyczaj czworokąt jest zwykle oznaczany literami A, B, C, D, gdzie BS i AD są podstawami. W trapezie równoramiennym boki są równe. Założymy, że ich rozmiar jest równy X, a rozmiary podstaw są równe Y i Z (odpowiednio mniejsze i większe). Aby przeprowadzić obliczenia, należy narysować wysokość H z kąta B. W rezultacie powstaje trójkąt prostokątny ABN, gdzie AB jest przeciwprostokątną, a BN i AN są przyprostokątnymi. Obliczamy długość nogi AN: od większej podstawy odejmujemy mniejszą i dzielimy wynik przez 2. Zapisujemy to w postaci wzoru: (Z-Y)/2 = F. Teraz obliczamy ostrość kąt trójkąta, korzystamy z funkcji cos. Otrzymujemy następujący wpis: cos(β) = X/F. Teraz obliczamy kąt: β=arcos (X/F). Ponadto, znając jeden kąt, możemy określić drugi, w tym celu wykonujemy elementarną operację arytmetyczną: 180 - β. Wszystkie kąty są zdefiniowane.
Istnieje drugie rozwiązanie tego problemu. Najpierw obniżamy go od rogu do wysokości H. Obliczamy wartość nogi BN. Wiemy, że kwadrat przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równy sumie kwadratów nóg. Otrzymujemy: BN = √(X2-F2). Dalej używamy funkcja trygonometryczna tg. W rezultacie mamy: β = arctan (BN/F). Znaleziono kąt ostry. Następnie definiujemy to podobnie jak w przypadku pierwszej metody.
Własność przekątnych trapezu równoramiennego
Najpierw napiszmy cztery zasady. Jeżeli przekątne w trapezie równoramiennym są prostopadłe, to:
Wysokość figury będzie równa sumie podstaw podzielonej przez dwa;
Jego wysokość i linia środkowa są równe;
Środek okręgu to punkt, w którym ;
Jeśli bok boczny zostanie podzielony przez punkt styczności na odcinki H i M, wówczas będzie równy pierwiastek kwadratowy produkty tych segmentów;
Czworokąt utworzony przez punkty styczne, wierzchołek trapezu i środek okręgu wpisanego jest kwadratem, którego bok jest równy promieniowi;
Pole figury jest równe iloczynowi podstaw i iloczynu połowy sumy podstaw i jej wysokości.
Podobne trapezy
Ten temat jest bardzo wygodny do badania właściwości tego. Na przykład przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty, a te sąsiadujące z podstawami są podobne, a te sąsiadujące z bokami są równej wielkości. Stwierdzenie to można nazwać właściwością trójkątów, na które trapez jest podzielony przez jego przekątne. Pierwszą część tego stwierdzenia można udowodnić za pomocą znaku podobieństwa pod dwoma kątami. Aby udowodnić drugą część, lepiej zastosować metodę podaną poniżej.
Dowód twierdzenia
Przyjmujemy, że figura ABSD (AD i BS są podstawami trapezu) jest podzielona przez przekątne VD i AC. Punkt ich przecięcia to O. Otrzymujemy cztery trójkąty: AOS - u dolnej podstawy, BOS - u górnej podstawy, ABO i SOD po bokach. Trójkąty SOD i BOS mają wspólną wysokość, jeśli odcinki BO i OD są ich podstawami. Stwierdzamy, że różnica między ich obszarami (P) jest równa różnicy między tymi segmentami: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Zatem PSOD = PBOS/K. Podobnie trójkąty BOS i AOB mają wspólną wysokość. Za ich podstawy przyjmujemy segmenty CO i OA. Otrzymujemy PBOS/PAOB = CO/OA = K i PAOB = PBOS/K. Wynika z tego, że PSOD = PAOB.
Aby utrwalić materiał, zaleca się uczniom znalezienie połączenia między obszarami powstałych trójkątów, na które trapez jest podzielony przez jego przekątne, rozwiązując następujący problem. Wiadomo, że trójkąty BOS i AOD mają równe pola, konieczne jest znalezienie pola trapezu. Ponieważ PSOD = PAOB, oznacza to PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Z podobieństwa trójkątów BOS i AOD wynika, że BO/OD = √(PBOS/PAOD). Zatem PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Otrzymujemy PSOD = √(PBOS*PAOD). Wtedy PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.
Właściwości podobieństwa
Kontynuując rozwijanie tego tematu, można udowodnić inny ciekawe funkcje trapez. Zatem korzystając z podobieństwa można wykazać własność odcinka przechodzącego przez punkt utworzony przez przecięcie przekątnych tej figury geometrycznej, równoległych do podstaw. W tym celu rozwiążmy następujące zadanie: musimy znaleźć długość odcinka RK przechodzącego przez punkt O. Z podobieństwa trójkątów AOD i BOS wynika, że AO/OS = AD/BS. Z podobieństwa trójkątów AOP i ASB wynika, że AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Stąd otrzymujemy RO=BS*BP/(BS+BP). Podobnie z podobieństwa trójkątów DOC i DBS wynika, że OK = BS*AD/(BS+AD). Stąd otrzymujemy RO=OK i RK=2*BS*AD/(BS+AD). Odcinek przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych, równoległy do podstaw i łączący dwa boki boczne, dzieli się na pół przez punkt przecięcia. Jego długość jest średnią harmoniczną podstaw figury.
Rozważmy następującą właściwość trapezu, zwaną własnością czterech punktów. Punkty przecięcia przekątnych (O), przecięcie kontynuacji boków (E), a także środki podstaw (T i F) zawsze leżą na tej samej prostej. Można to łatwo udowodnić metodą podobieństwa. Powstałe trójkąty BES i AED są podobne i w każdym z nich środkowe ET i EJ dzielą kąt wierzchołkowy E na równe części. Zatem punkty E, T i F leżą na tej samej prostej. Podobnie punkty T, O, Zh leżą na tej samej prostej, co wynika z podobieństwa trójkątów BOS i AOD. Stąd wnioskujemy, że wszystkie cztery punkty – E, T, O i F – będą leżeć na tej samej linii prostej.
Korzystając z podobnych trapezów, możesz poprosić uczniów o znalezienie długości odcinka (LS), który dzieli figurę na dwie podobne. Odcinek ten musi być równoległy do podstaw. Ponieważ powstałe trapezy ALFD i LBSF są podobne, to BS/LF = LF/AD. Wynika z tego, że LF=√(BS*AD). Stwierdzamy, że odcinek dzielący trapez na dwa podobne ma długość równą średniej geometrycznej długości podstaw figury.
Rozważ następującą właściwość podobieństwa. Opiera się na odcinku dzielącym trapez na dwie równe figury. Zakładamy, że trapez ABSD jest podzielony odcinkiem EH na dwa podobne. Z wierzchołka B pominięto wysokość, którą odcinkiem EN dzielimy na dwie części – B1 i B2. Otrzymujemy: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 i PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Następnie tworzymy układ, którego pierwsze równanie to (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, a drugie (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Wynika z tego, że B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) i BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Stwierdzamy, że długość odcinka dzielącego trapez na dwie równe części jest równa pierwiastkowi kwadratowemu długości podstaw: √((BS2+AD2)/2).
Ustalenia dotyczące podobieństwa
W ten sposób udowodniliśmy, że:
1. Odcinek łączący środki boków trapezu jest równoległy do AD i BS i równy średniej arytmetycznej BS i AD (długość podstawy trapezu).
2. Prosta przechodząca przez punkt O przecięcia przekątnych równoległych do AD i BS będzie równa średniej harmonicznej liczb AD i BS (2*BS*AD/(BS+AD)).
3. Odcinek dzielący trapez na podobne ma długość średniej geometrycznej podstaw BS i AD.
4. Element dzielący figurę na dwie równe części ma długość średniego kwadratu liczb AD i BS.
Aby utrwalić materiał i zrozumieć powiązania pomiędzy rozważanymi segmentami, uczeń musi je skonstruować dla konkretnego trapezu. Z łatwością potrafi wskazać linię środkową oraz odcinek przechodzący przez punkt O – przecięcie przekątnych figury – równoległy do podstaw. Ale gdzie będzie zlokalizowany trzeci i czwarty? Odpowiedź ta doprowadzi ucznia do odkrycia pożądanej zależności pomiędzy wartościami średnimi.
Odcinek łączący środki przekątnych trapezu
Rozważ następującą właściwość tej figury. Zakładamy, że odcinek MH jest równoległy do podstaw i dzieli przekątne na pół. Nazwijmy punkty przecięcia Ш i Ш.Odcinek ten będzie równy połowie różnicy podstaw. Przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo. MS to środkowa linia trójkąta ABS, równa się BS/2. MSH jest środkową linią trójkąta ABD i jest równa AD/2. Następnie otrzymujemy, że ShShch = MSh-MSh, zatem ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.
Środek ciężkości
Przyjrzyjmy się, jak wyznacza się ten element dla danej figury geometrycznej. Aby to zrobić, konieczne jest przedłużenie podstaw w przeciwnych kierunkach. Co to znaczy? Musisz dodać dolną podstawę do górnej podstawy - w dowolnym kierunku, na przykład w prawo. I przedłużamy dolny o długość górnego w lewo. Następnie łączymy je po przekątnej. Punkt przecięcia tego odcinka z linią środkową figury jest środkiem ciężkości trapezu.
Trapezy wpisane i opisane
Wymieńmy cechy takich liczb:
1. Trapez można wpisać w okrąg tylko wtedy, gdy jest równoramienny.
2. Trapez można opisać wokół okręgu pod warunkiem, że suma długości ich podstaw jest równa sumie długości boków.
Następstwa okręgu:
1. Wysokość opisanego trapezu jest zawsze równa dwóm promieniom.
2. Bok opisywanego trapezu obserwujemy od środka okręgu pod kątem prostym.
Pierwszy wniosek jest oczywisty, ale aby udowodnić drugi, należy ustalić, że kąt SOD jest prosty, co w rzeczywistości również nie jest równe dużo pracy. Ale znajomość tej właściwości pozwoli ci używać trójkąta prostokątnego przy rozwiązywaniu problemów.
Określmy teraz te konsekwencje dla trapezu równoramiennego wpisanego w okrąg. Okazuje się, że wysokość jest średnią geometryczną podstaw figury: H=2R=√(BS*AD). Ćwicząc podstawową technikę rozwiązywania problemów trapezowych (zasada rysowania dwóch wysokości), student musi rozwiązać następujące zadanie. Zakładamy, że BT jest wysokością figury równoramiennej ABSD. Konieczne jest znalezienie odcinków AT i TD. Korzystając ze wzoru opisanego powyżej, nie będzie to trudne.
Teraz zastanówmy się, jak określić promień koła za pomocą obszaru opisanego trapezu. Obniżamy wysokość od wierzchołka B do podstawy AD. Ponieważ okrąg jest wpisany w trapez, to BS+AD = 2AB lub AB = (BS+AD)/2. Z trójkąta ABN znajdujemy sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Otrzymujemy PABSD = (BS+BP)*R, z czego wynika, że R = PABSD/(BS+BP).
Wszystkie wzory na linię środkową trapezu
Teraz czas przejść dalej ostatni element tej figury geometrycznej. Zastanówmy się, jaka jest środkowa linia trapezu (M):
1. Przez podstawy: M = (A+B)/2.
2. Przez wysokość, podstawę i narożniki:
M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;
M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.
3. Poprzez wysokość, przekątne i kąt między nimi. Na przykład D1 i D2 to przekątne trapezu; α, β - kąty między nimi:
M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.
4. Powierzchnia przelotowa i wysokość: M = P/N.
Dobry wieczór! Och, te ograniczone lub wpisane kręgi, figury geometryczne. Tak trudno się pomylić. co i kiedy.
Spróbujmy to najpierw rozgryźć za pomocą sformułowań. Dany jest okrąg opisany na obwodzie. Inaczej mówiąc, trapez ten jest wpisany w okrąg.
Pamiętajmy, że możemy opisać jedynie okrąg wokół . Z kolei trapez równoramienny to trapez, którego boki są równe.
Spróbujmy rozwiązać problem. Wiemy, że podstawy trapezu równoramiennego ADCB wynoszą 6 (DC) i 4 (AB). A promień opisanego koła wynosi 4. Musisz znaleźć wysokość trapezu FK.
FK to wysokość trapezu. Musimy to znaleźć, ale wcześniej pamiętajmy, że punkt O jest środkiem okręgu. A OS, OD, OA, OB to znane promienie.
W OFC znamy przeciwprostokątną, która jest promieniem okręgu, a noga FC = połowa podstawy DC = 3 cm (ponieważ DF = FC).
Teraz znajdźmy OF:
A w trójkącie prawym OKB znamy także przeciwprostokątną, ponieważ jest to promień okręgu. A KB jest równe połowie AB; KB = 2 cm I korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy odcinek OK:
- Odcinek łączący środki przekątnych trapezu jest równy połowie różnicy podstaw
- Trójkąty utworzone przez podstawy trapezu i odcinki przekątnych aż do ich punktu przecięcia są podobne
- Trójkąty utworzone z odcinków przekątnych trapezu, których boki leżą na bokach trapezu - są równej wielkości (mają tę samą powierzchnię)
- Jeśli przedłużymy boki trapezu w kierunku mniejszej podstawy, to przetną się one w jednym punkcie z linią prostą łączącą środki podstaw
- Odcinek łączący podstawy trapezu i przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu dzieli się przez ten punkt w proporcji równej stosunkowi długości podstaw trapezu
- Odcinek równoległy do podstaw trapezu i poprowadzony przez punkt przecięcia przekątnych jest podzielony przez ten punkt na pół, a jego długość jest równa 2ab/(a + b), gdzie a i b są podstawami trapezu trapez
Własności odcinka łączącego środki przekątnych trapezu
Połączmy środki przekątnych trapezu ABCD, w wyniku czego otrzymamy odcinek LM.
Odcinek łączący środki przekątnych trapezu leży na środku trapezu.
Ten segment równolegle do podstaw trapezu.
Długość odcinka łączącego środki przekątnych trapezu jest równa połowie różnicy jego podstaw.
LM = (AD - BC)/2
Lub
LM = (a-b)/2
Własności trójkątów utworzonych przez przekątne trapezu
Trójkąty utworzone przez podstawy trapezu i punkt przecięcia przekątnych trapezu - są podobne.
Trójkąty BOC i AOD są podobne. Ponieważ kąty BOC i AOD są pionowe, są one równe.
Kąty OCB i OAD są kątami wewnętrznymi leżącymi poprzecznie z prostymi równoległymi AD i BC (podstawy trapezu są do siebie równoległe) i sieczną AC, zatem są sobie równe.
Kąty OBC i ODA są równe z tego samego powodu (wewnętrzne w poprzek).
Ponieważ wszystkie trzy kąty jednego trójkąta są równe odpowiednim kątom innego trójkąta, wówczas trójkąty te są podobne.
Co z tego wynika?
Aby rozwiązać problemy geometryczne, podobieństwo trójkątów stosuje się w następujący sposób. Jeśli znamy długości dwóch odpowiednich elementów trójkątów podobnych, to znajdujemy współczynnik podobieństwa (dzielimy jeden przez drugi). Stąd długości wszystkich pozostałych elementów są powiązane ze sobą dokładnie tą samą wartością.
Właściwości trójkątów leżących na boku i przekątnych trapezu
Rozważmy dwa trójkąty leżące po bokach trapezu AB i CD. Są to trójkąty AOB i COD. Pomimo tego, że rozmiary poszczególnych boków tych trójkątów mogą być zupełnie inne, ale pola trójkątów utworzonych przez boki boczne i punkt przecięcia przekątnych trapezu są równe, to znaczy, że trójkąty są równej wielkości.
Jeśli przedłużymy boki trapezu w kierunku mniejszej podstawy, to punkt przecięcia boków będzie pokrywają się z linią prostą przechodzącą przez środek podstaw.
W ten sposób każdy trapez można rozwinąć w trójkąt. W której:
- Trójkąty utworzone przez podstawy trapezu o wspólnym wierzchołku w miejscu przecięcia przedłużonych boków są podobne
- Linia prosta łącząca środki podstaw trapezu jest jednocześnie środkową zbudowanego trójkąta
Właściwości odcinka łączącego podstawy trapezu
Jeśli narysujesz odcinek, którego końce leżą na podstawach trapezu, który leży w punkcie przecięcia przekątnych trapezu (KN), to stosunek jego odcinków składowych od boku podstawy do punktu przecięcia przekątnych (KO/ON) będzie równy stosunkowi podstaw trapezu(BC/AD).
KO/ON = BC/AD
Ta nieruchomość wynika z podobieństwa odpowiednich trójkątów (patrz wyżej).
Własności odcinka równoległego do podstaw trapezu
Jeśli narysujemy odcinek równoległy do podstaw trapezu i przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu, to będzie on miał następujące właściwości:
- Określona odległość (KM) podzieloną przez punkt przecięcia przekątnych trapezu
- Długość sekcji przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu i równoległy do podstaw jest równy KM = 2ab/(a + b)
Wzory na znalezienie przekątnych trapezu
a, b- podstawy trapezowe
płyta CD- boki trapezu
d1 d2- przekątne trapezu
α β - kąty o większej podstawie trapezu
Wzory na znalezienie przekątnych trapezu poprzez podstawy, boki i kąty u podstawy
Pierwsza grupa wzorów (1-3) odzwierciedla jedną z głównych właściwości przekątnych trapezowych:
1. Suma kwadratów przekątnych trapezu jest równa sumie kwadratów boków plus dwukrotność iloczynu jego podstaw. Tę właściwość przekątnych trapezowych można udowodnić jako osobne twierdzenie
2 . Wzór ten uzyskuje się poprzez przekształcenie poprzedniego wzoru. Kwadrat drugiej przekątnej jest rzucany przez znak równości, po czym pierwiastek kwadratowy jest wyodrębniany z lewej i prawej strony wyrażenia.
3 . Ten wzór na znalezienie długości przekątnej trapezu jest podobny do poprzedniego, z tą różnicą, że po lewej stronie wyrażenia pozostaje kolejna przekątna
Kolejna grupa formuł (4-5) ma podobne znaczenie i wyraża podobną zależność.
Grupa wzorów (6-7) pozwala znaleźć przekątną trapezu, jeśli znana jest większa podstawa trapezu, jeden bok i kąt przy podstawie.
Wzory na znalezienie przekątnych trapezu na podstawie wysokości
Zadanie.
Przekątne trapezu ABCD (AD | | BC) przecinają się w punkcie O. Znajdź długość podstawy BC trapezu, jeśli podstawa AD = 24 cm, długość AO = 9 cm, długość OS = 6 cm.
Rozwiązanie.
Rozwiązanie tego problemu jest ideologicznie absolutnie identyczne z poprzednimi problemami.
Trójkąty AOD i BOC są podobne pod trzema kątami - AOD i BOC są pionowe, a pozostałe kąty są parami równe, ponieważ powstają przez przecięcie jednej linii i dwóch równoległych linii.
Ponieważ trójkąty są podobne, wszystkie ich wymiary geometryczne są ze sobą powiązane, podobnie jak znane nam wymiary geometryczne odcinków AO i OC zgodnie z warunkami zadania. To jest
AO/OC = AD/BC
9/6 = 24 / p.n.e
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Odpowiedź: 16cm
Zadanie .
W trapezie ABCD wiadomo, że AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Znajdź obszar trapezu. 
Rozwiązanie .
Aby obliczyć wysokość trapezu licząc od wierzchołków mniejszych podstaw B i C, obniżamy o dwie wysokości do większej podstawy. Ponieważ trapez jest nierówny, oznaczamy długość AM = a, długość KD = b ( nie mylić z zapisem we wzorze znalezienie pola trapezu). Ponieważ podstawy trapezu są równoległe i obniżyliśmy dwie wysokości prostopadle do większej podstawy, wówczas MBCK jest prostokątem.
Oznacza
AD = AM+BC+KD
za + 8 + b = 24
a = 16 - b
Trójkąty DBM i ACK są prostokątne, zatem ich kąty proste utworzone są przez wysokości trapezu. Oznaczmy wysokość trapezu przez h. Następnie z twierdzenia Pitagorasa
H. 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
I
godz. 2 + (24 - b) 2 = 13 2
Weźmy pod uwagę, że a = 16 - b, to w pierwszym równaniu
godz. 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
godz. 2 = 425 - (8 + b) 2
Podstawiamy wartość kwadratu wysokości do drugiego równania otrzymanego z twierdzenia Pitagorasa. Otrzymujemy:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Zatem KD = 12
Gdzie
godz. 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Znajdź obszar trapezu poprzez jego wysokość i połowę sumy podstaw
, gdzie a b - podstawa trapezu, h - wysokość trapezu
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 cm 2
Odpowiedź: pole trapezu wynosi 80 cm2.
Praca projektowa„Ciekawe właściwości trapezu” Ukończyli: uczniowie 10. klasy Kudzaeva Ellina Bazzaeva Diana MKOU Liceum im. N.Batako Kierownik: Gagieva A.O. 20 listopada 2015
Cel pracy: Rozważ właściwości trapezu, który kurs szkolny geometrie nie są badane, ale przy rozwiązywaniu problemów geometrycznych egzaminu Unified State Exam z rozszerzonej części C 4 może być konieczna znajomość i umiejętność dokładnego zastosowania tych właściwości.
Właściwości trapezu: Jeśli trapez jest podzielony linią równoległą do jego podstaw równą a i b, na dwa równe trapezy. Następnie odcinek tej linii, zawarty pomiędzy bokami bocznymi, jest równy B
Właściwość odcinka przechodzącego przez punkt przecięcia przekątnych trapezu. Odcinek równoległy do podstaw przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych jest równy: a w c
Właściwości trapezu: Odcinek prosty równoległy do podstaw trapezu, zamknięty wewnątrz trapezu, jest podzielony na trzy części przez jego przekątne. Wtedy segmenty przylegające do boków są sobie równe. MP=OK R M O K
Własności trapezu równoramiennego: Jeżeli w trapez można wpisać okrąg, to promień okręgu jest średnią proporcjonalną do odcinków, na które punkt styczny dzieli bok. O S V A D. E O
Właściwości trapezu równoramiennego: Jeżeli środek okręgu opisanego leży u podstawy trapezu, to jego przekątna jest prostopadła do boku O A B C D
Właściwości trapezu równoramiennego: W trapez równoramienny można wpisać okrąg, jeśli bok boczny jest równy jego linii środkowej. SVA D godz
1) Jeżeli w opisie problemu jest napisane, że w trapez prostokątny wpisano okrąg, można skorzystać z następujących właściwości: 1. Suma podstaw trapezu jest równa sumie boków. 2. Odległości wierzchołka trapezu od punktów stycznych okręgu wpisanego są równe. 3. Wysokość trapezu prostokątnego jest równa jego mniejszemu bokowi i równa średnicy okręgu wpisanego. 4. Środek okręgu wpisanego jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów trapezu. 5. Jeżeli punkt styczny dzieli bok na odcinki m i n, to promień okręgu wpisanego jest równy
Właściwości trapezu prostokątnego, w który wpisano okrąg: 1) Czworokąt utworzony przez środek okręgu wpisanego, punkty styczności i wierzchołek trapezu - kwadrat, którego bok jest równy promieniowi. (AMOE i BKOM to kwadraty o boku r). 2) Jeżeli w trapez prostokątny wpisano okrąg, to pole trapezu jest równe iloczynowi jego podstaw: S=AD*BC
Dowód: Pole trapezu jest równe iloczynowi połowy sumy jego podstaw i wysokości: Oznaczmy CF=m, FD=n. Ponieważ odległości wierzchołków do punktów stycznych są równe, wysokość trapezu jest równa dwóm promieniom okręgu wpisanego, a
I. Dwusieczne kątów bocznych trapezu przecinają się pod kątem 90°. 1)∠ABC+∠BAD=180° (jako jednostronny wewnętrzny z AD∥BC i sieczną AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90° (ponieważ dwusieczne przecinają kąty na pół). 3) Ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi 180°, w trójkącie ABK mamy: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180°, stąd ∠AKB=180-90=90°. Wniosek: Dwusieczne kątów na bocznej stronie trapezu przecinają się pod kątem prostym. Stwierdzenia tego używa się przy rozwiązywaniu problemów na trapezie, w który wpisany jest okrąg.
I I. Punkt przecięcia dwusiecznych trapezu przylegających do boku bocznego leży na linii środkowej trapezu. Niech dwusieczna kąta ABC przecina bok AD w punkcie S. Wtedy trójkąt ABS jest równoramienny o podstawie BS, co oznacza, że jego dwusieczna AK jest jednocześnie środkową, czyli punkt K jest środkiem BS. Jeżeli M i N są środkami boków trapezu, to MN jest linią środkową trapezu i MN∥AD. Ponieważ M i K są środkami AB i BS, wówczas MK jest linią środkową trójkąta ABS i MK∥AS. Ponieważ przez punkt M można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą do tej, punkt K leży na linii środkowej trapezu.
III. Punkt przecięcia dwusiecznej ostre rogi u podstawy trapezu należy do innej podstawy. W tym przypadku trójkąty ABK i DCK są równoramienne o podstawach odpowiednio AK i DK. Zatem BC=BK+KC=AB+CD. Wniosek: Jeżeli dwusieczne kątów ostrych trapezu przecinają się w punkcie należącym do mniejszej podstawy, to mniejsza podstawa jest równa sumie boków bocznych trapezu. Trapez równoramienny w tym przypadku ma mniejszą podstawę dwukrotnie większą od jego boku.
I V. Punkt przecięcia dwusiecznych kąty rozwarte u podstawy trapezu należy do innej podstawy. W tym przypadku trójkąty ABF i DCF są równoramienne o podstawach odpowiednio BF i CF. Zatem AD=AF+FD=AB+CD. Wniosek: Jeżeli dwusieczne kątów rozwartych trapezu przecinają się w punkcie należącym do większej podstawy, to większa podstawa jest równa sumie bocznych boków trapezu. W tym przypadku trapez równoramienny ma większą podstawę, która jest dwa razy większa niż jego bok.
Jeśli trapez równoramienny z boki a, b, c, można wpisać d i wokół niego opisać okręgi, wówczas pole trapezu jest równe
